趣味数学之魔术师的地毯
数学课堂中的“魔法”引入
数学课堂中的“魔法”引入作者：王晶来源：《考试周刊》2013年第81期摘要：新课的“引入环节”是高中数学教学的重要和必要环节。
每堂课开始，学生刚进教室，课间嬉闹轻松的余兴尚未消除，大部分学生的心思还在操场上游荡。
此时教师独具匠心、趣味横生的“引入”不仅能唤起学生好奇心和求知欲，还能使学生的注意力迅速地转移到学习上来。
通过教学实践，作者发现“魔法”引入这种独特、新颖的方式不但会引起学生注意，产生共鸣，激发学习动机和兴趣，还能起到承前启后，建立知识联系的作用。
关键词：“魔法”引入数学教学学习兴趣新课程改革体制下，高中数学的教学内容与人们的生活有着非常密切的联系。
因此在高中数学教学中，教师应密切联系学生生活实际，从学生熟悉的生活情景和感兴趣的事物出发，体现数学背景，为学生提供观察、操作、实践、探索的机会，从周围熟悉的事物中学习数学和理解数学，让数学课堂上的数学学习成为他们生活中有关的数学现象和经验的总结与升华，让现实数学世界与教学内容相互作用，构建完整的数学知识体系。
因此课堂教学中的“引入”环节自然成为有效教学的敲门砖。
有效的“引入”可以集中学生的注意力，活跃课堂气氛，激发学生的求知欲望，使学生感到数学也是一门有趣的学科。
就目前的教学引入来说，大部分被教师使用有复习引入、作业引入、目的引入、史话引入、故事引入、实践引入、讨论引入。
这些引入的方法各有各的特点，正如巴班斯基所说：“最有效而万能的方法，现在没有，将来也不可能有。
因为每一种教学方法，从本质上说，都是辩证的，就是说，每一种方法都有自己的优点和不足之处，都能有效地完成某些任务，而不能有效地完成其他任务；能有助于达到某些目的，而不利于达到其他目的。
”在这里我所要介绍的教学引入方式为“魔法”引入，顾名思义就是将当今广为流行的魔术与教学内容结合起来，激发学生的求知欲，使主动地参与到教学中，并完成规定的学习任务。
[案例1]在进行人教版数学必修3—P40案例3进位制的二进制教学中，可以通过魔术“心灵感应”激发学生的学习兴趣和求知欲，使学生主动地参与到二进制的学习之中。
童趣探索地毯上的图形面积：小学五年级数学公开课教案解析
童趣探索地毯上的图形面积：小学五年级数学公开课教案解析数学作为一门具有普遍性和客观性的科学，一直是受到广大教育家和家长的高度重视。
在小学阶段，数学教育的目标不仅是为了让学生掌握基本的算数技能，更重要的是要培养学生的思维能力和解决实际问题的能力。
本文将介绍一节小学五年级数学公开课的教案技巧——童趣探索地毯上的图形面积。
一、教学目标1.理解图形面积概念和计算方法。
2.通过观察图形面积的变化，能够认识到面积的大小与形状有关。
3.能够运用所学知识计算不规则图形面积。
二、教学准备教师需准备以下材料：1.一块长方形地毯。
2.一把尺子。
3.一些小的纸条。
4.一些小的物体（如玩具、笔、小球等）。
三、教学过程1.导入教师带着学生到宽敞的体育馆或教室，铺好一张长方形地毯。
让学生先观察地毯上的图形，思考这些图形有什么特点。
2.讲解概念引导学生思考图形的面积是什么意思，然后再向学生解释什么是面积。
教师可以举例表达，例如你现在站在一个矩形的草坪上，这个草坪两侧分别占据了10米和5米的长度。
那么这个草坪的面积就是50平方米，因为它是10米和5米的乘积。
接下来，让学生利用尺子测量地毯的长度和宽度，并求出整个地毯的面积。
强调一下，在测量时需要按照标准的方法来测量。
3.演示测量图形面积教师在地毯上随意的放一些小物体，让学生针对这些物体演示测量图形的面积。
教师可以询问学生，测量图形面积的方法是什么，让学生自己设想图形的长和宽，并用尺子按照标准的方法测量，并再次计算图形的面积。
在此基础上，让学生自己设计一些图形并测量它们的面积。
这将帮助学生更好地理解面积的概念，并提高他们的计算技能。
4.计算不规则图形面积接着，教师可以教授如何测量不规则图形的面积。
由于不规则图形无法按照标准形式计算面积，需要运用其他方法来计算面积。
教师可以示范利用小纸条来裁剪图形，将它们贴到标准形状（例如矩形或三角形）上计算面积。
此外，教师可以展示如何利用图形的重心及轮廓线来计算面积，让学生练习并熟练掌握计算不规则图形面积的方法。
2020-2021学年新教材数学人教A版必修第一册：第2章2.12.1.2两条直线平行和垂直的判定
2.1.2两条直线平行和垂直的判定学习目标核心素养1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件．2．能根据已知条件判断两直线的平行与垂直．3．能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题.通过对两条直线平行与垂直的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的数学素养.魔术师的地毯有一天，著名魔术大师拿了一块长宽都是13分米的地毯去找地毯匠，要求把这块正方形的地毯改制成宽8分米，长21分米的矩形，地毯匠对魔术师说：这不可能吧，正方形的面积是169平方分米，而矩形的面积只有168平方分米，除非裁去1平方分米．魔术师拿出事先准备好的两张图，对地毯匠说：“你就按图(1)的尺寸把地毯分成四块，然后按图(2)的样子拼在一起缝好就行了，我不会出错的，你尽管放心做吧”．地毯匠照着做了，缝了一量，果真是宽8分米，长21分米．魔术师拿着改好的地毯得意洋洋地走了．而地毯匠还在纳闷哩，这是什么回事呢？(1)(2)为了破解这个谜底，今天我们学习直线的平行与垂直．1．两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在 斜率不存在 条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°对应关系l 1∥l 2⇔k 1＝k 2l 1∥l 2⇔两直线斜率都不存在图示思考：如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？ [提示] 不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜率才相等． 2．两条直线垂直与斜率之间的关系图示对应关系l 1⊥l 2(两条直线的斜率都存在，且都不为零)⇔k 1k 2＝－1l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0⇒l 1⊥l 21．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平行的两条直线的斜率一定存在且相等． ( ) (2)斜率相等的两条直线(两直线不重合)一定平行． ( ) (3)只有斜率之积为－1的两条直线才垂直． ( ) (4)若两条直线垂直，则斜率乘积为－1． ( ) [提示] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．已知A (2,0)，B (3,3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k 等于( ) A ．－3 B ．3 C ．－13 D ．13 B [k AB ＝3－03－2＝3，∵l ∥AB ，∴k l ＝3.]3．若直线l 1，l 2的方向向量分别为(1，－3)和(1，k )，且l 1⊥l 2，则k ＝________. 13 [由于l 1⊥l 2，则(1，－3)·(1，k )＝0，即1－3k ＝0，∴k ＝13.]4．(教材P 58T 6(1)改编)l 1的斜率为－23，l 2经过点A (1,1)，B (0，m )，当l 1⊥l 2时，m 的值为________．－12 [由条件l 1⊥l 2得－23×m －1－1＝－1，解得m ＝－12.]两直线平行的判定及应用12①l 1经过点A (2,3)，B (－4,0)，l 2经过点M (－3,1)，N (－2,2)； ②l 1的斜率为－12，l 2经过点A (4,2)，B (2,3)； ③l 1平行于y 轴，l 2经过点P (0，－2)，Q (0,5)；④l 1经过点E (0,1)，F (－2，－1)，l 2经过点G (3,4)，H (2,3)．(2)试确定m 的值，使过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行．[思路探究] (1)先求出两直线的斜率，再利用斜率进行判断； (2)利用两直线平行的条件建立方程，解方程求得．[解] (1)①k AB ＝3－02－(－4)＝12，k MN ＝2－1－2－(－3)＝1，k AB ≠k MN ，所以l 1与l 2不平行．②l 1的斜率k 1＝－12，l 2的斜率k 2＝3－22－4＝－12，k 1＝k 2，所以l 1与l 2平行或重合．③由题意，知l 1的斜率不存在，且不与y 轴重合，l 2的斜率也不存在，且与y 轴重合，所以l 1∥l 2.④由题意，知k EF ＝－1－1－2－0＝1，k GH ＝3－42－3＝1，k EF ＝k GH ，所以l 1与l 2平行或重合．需进一步研究E ，F ，G ，H 四点是否共线，k FG ＝4－(－1)3－(－2)＝1.所以E ，F ，G ，H 四点共线，所以l 1与l 2重合．(2)由题意知CD 的斜率存在，则与其平行的直线AB 的斜率也存在，k AB ＝m －6－m，k CD ＝24＝12.由于AB ∥CD ，所以k AB ＝k CD ，即m －6－m＝12.解得m ＝－2.经验证m ＝－2时，直线AB 的斜率存在，故m 的值为－2.判断两条不重合直线是否平行的步骤[跟进训练]1．已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (4,3)，求顶点D 的坐标．[解] 设D (m ，n )，由题意，得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC . 所以⎩⎪⎨⎪⎧0－11－0＝3－n 4－m ，n －1m －0＝3－04－1，解得⎩⎨⎧m ＝3，n ＝4.所以顶点D 的坐标为(3,4).两直线垂直的判定及应用12①l 1经过点A (－1，－2)，B (1,2)；l 2经过点M (－2，－1)，N (2,1)； ②l 1的斜率为－10；l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；③l 1经过点A (3,4)，B (3,10)；l 2经过点M (－10,40)，N (10，40)．(2)已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －2,3)，直线l 2经过点C (2,3)，D (1，a －2)，如果l 1⊥l 2，求a 的值．[思路探究] (1)判断两直线垂直，当斜率存在时，利用k 1k 2＝－1，若有一条斜率不存在时，判断另一条斜率是否为0.(2)含字母的问题判断要分k 存在和不存在两种情况来解题． [解] (1)①k 1＝2－(－2)1－(－1)＝2，k 2＝1－(－1)2－(－2)＝12，k 1k 2＝1，∴l 1与l 2不垂直．②k 1＝－10，k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.③由A ，B 的横坐标相等得 l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴． k 2＝40－4010－(－10)＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2.(2)因为直线l 2经过点C (2,3)，D (1，a －2)，所以l 2的斜率存在，设为k 2. 当k 2＝0，即a －2＝3，亦即a ＝5时，A (3,5)，B (3,3)，显然直线l 1的斜率不存在，满足l 1⊥l 2；当k 2≠0，即a －2≠3，亦即a ≠5时，显然l 1的斜率存在，设为k 1，要满足题意，则k 1k 2＝－1，得3－a a －2－3·a －2－31－2＝－1，解得a ＝2.综上可知，a的值为5或2.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．[跟进训练]2．已知A (－m －3,2)，B (－2m －4,4)，C (－m ，m )，D (3,3m ＋2)，若直线AB ⊥CD ，求m 的值．[解] ∵A ，B 两点纵坐标不相等， ∴AB 与x 轴不平行．∵AB ⊥CD ， ∴CD 与x 轴不垂直，∴－m ≠3，m ≠－3.①当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1.当m＝－1时C，D 两点的纵坐标均为－1.∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．②当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得k AB＝4－2－2m－4－(－m－3)＝2－(m＋1)，k CD＝3m＋2－m3－(－m)＝2(m＋1)m＋3.∵AB⊥CD，∴k AB·k CD＝－1，即2－(m＋1)·2(m＋1)m＋3＝－1，解得m＝1.综上，m的值为1或－1.两直线平行与垂直的综合应用1．两直线l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是什么？[提示](1)两条直线的斜率存在；(2)两直线不重合．2．对任意两条直线，如果l1⊥l2，一定有k1k2＝－1吗？为什么？[提示]不一定．当两条直线的斜率都存在时，k1k2＝－1，还有另一种情况就是，一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为零．【例3】△ABC的顶点A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形，求m的值．[思路探究]由A为直角顶点可得k AB·k AC＝－1.[解]因为∠A为直角，则AC⊥AB，所以k AC·k AB＝－1，即m＋12－5·1＋11－5＝－1，得m＝－7.1．[变条件]本例中，将“C(2，m)”改为“C(2,3)”，你能判断三角形的形状吗？[解]如图，AB边所在的直线的斜率k AB＝－12，BC边所在直线的斜率k BC＝2.由k AB·k BC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°.∴△ABC是以点B为直角顶点的直角三角形．2．[变条件]本例中若改为∠A为锐角，其他条件不变，如何求解m的值？[解]由于∠A为锐角，故∠B或∠C为直角．若∠B为直角，则AB⊥BC，所以k AB·k BC＝－1，则1＋11－5·m－12－1＝－1，得m＝3.若∠C为直角，则AC⊥BC，所以k AC·k BC＝－1，即m＋12－5·m－12－1＝－1，得m＝±2.综上可知，m＝3或m＝±2.3．[变条件]若将本例中的条件“点A为直角顶点”去掉，改为若△ABC为直角三角形，如何求解m的值？[解]若∠A为直角，则AC⊥AB，所以k AC·k AB＝－1，即m＋12－5·1＋11－5＝－1，得m＝－7；若∠B为直角，则AB⊥BC，所以k AB·k BC＝－1，即1＋11－5·m－12－1＝－1，得m＝3；若∠C为直角，则AC⊥BC，所以k AC·k BC＝－1，即m＋12－5·m－12－1＝－1，得m＝±2.综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2.利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤1．两直线平行或垂直的判定方法斜率直线斜率均不存在平行或重合一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在垂直斜率均存在相等平行或重合积为－1垂直1．下列说法正确的是()A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2 B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1C ．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y 轴D ．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行D [对A ，两直线倾斜角相等，可能重合；对B ，若l 1⊥l 2，l 1与l 2中可能一条斜率不存在，另一条斜率为0；对C ，若直线斜率不存在，可能与y 轴重合；对D ，若两条直线斜率不相等，则两条直线一定不平行，综合可知D 正确．]2．若直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( ) A ．1a B ．aC ．－1aD ．－1a 或不存在D [由l 1⊥l 2，当a ≠0时，kl 2＝－1a ，当a ＝0时，l 2的斜率不存在，故应选D.]3．若经过点M (m,3)和N (2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________．145 [由题意知，直线MN 的斜率存在，因为MN ⊥l ， 所以k MN ＝m －32－m＝14，解得m ＝145.]4．若两条直线l 1，l 2的方向向量分别为(1,2)和(1，k )，当l 1∥l 2时，k 的值为________．2 [l 1∥l 2时k 1＝k 2或斜率均不存在，由条件可知k ＝2.]5．直线l 1经过点A (m,1)，B (－3,4)，直线l 2经过点C (1，m )，D (－1，m ＋1)，当l 1∥l 2或l 1⊥l 2时，分别求实数m 的值．[解] 直线l 1的方向向量为(－3－m,3)， 直线l 2的方向向量为(－2,1)． 当l 1∥l 2时－3－m －2＝31，得m ＝3；当l 1⊥l 2时，－2(－3－m )＋3＝0得m ＝－92， 故l 1∥l 2时m ＝3，l 1⊥l 2时m ＝－92.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
数学魔术师的地毯原理
数学魔术师的地毯原理
数学魔术师的地毯原理是一种利用数学知识和技巧来进行魔术表演的方法。
其原理可以简述如下：
1. 切分地毯：数学魔术师会事先准备好一块特殊设计的地毯，将其切分成若干个小块，并标上数字或符号。
2. 推断选择：在表演时，数学魔术师会请观众做出一些选择，例如选择一个数字或符号，并用手指随机指向一个或多个小块。
3. 运用数学：通过观察观众的选择和指向，数学魔术师会利用数学推断和运算的方法，快速计算出观众所选择的数字或符号。
4. 击中目标：最后，数学魔术师会准确地告诉观众他们选择的数字或符号，展示出自己惊人的预测能力。
这种地毯原理魔术的魅力在于它的简单性和出人意料的准确性，让观众产生一种神秘的感觉。
实际上，数学魔术师利用了数学的逻辑和推理能力来达到他们所表演的"魔术"效果。
互动教学：小学五年级数学地毯上的图形面积公开课教案案例
互动教学是一种基于现代教育技术的教学方法，它通过吸引学生参与、协作构建知识、实践训练等方式，促进学习效果的最大化。
在小学五年级数学教学中，数学地毯上的图形面积公开课教案是一种常用的互动教学教学案例。
本文就此展开探讨。
一、教学内容本次互动教学是基于小学五年级数学地毯上的图形面积知识点进行，教学目标为：学生能够掌握图形面积的计算方法，同时可以了解相应的推导过程。
具体教学内容如下：1.认识平行四边形和长方形2.掌握求长方形和平行四边形面积的方法3.掌握平行四边形面积和长方形面积的公式及应用二、教学步骤1.准备工作教师在课前准备好教学素材，包括课件、讲义、地毯面积和各种图形模型等。
同时，为了增强互动效果，教师还可以准备好可移动的教学工具，如地图、计算器等。
2.教学引入教师通过观察学生的实际需求，提出一些问题引导学生进入学习状态。
教师可以询问学生有关面积的概念，或者使用实物说明面积的含义。
3.教学探究为了激发学生的学习兴趣，教师可以安排形象直观的互动教学内容。
例如，在地毯上用各种图形模型教授形状的概念。
教师可以安排不同形状的图形面积计算讨论，同时提供计算方法、公式和例题。
4.教学应用掌握基本知识点后，学生需要进行进一步的应用训练，以检查他们的掌握情况。
教师可以在地毯上准备一些练习题，让学生在其上解答不同的形状和面积问题。
5.教学展示教学结束后，教师可以汇总引入、探究、应用的学科与知识点，并通过多媒体等方式进行展示，激发学生的学习兴趣，激励他们在今后的学习中保持创造性。
三、教学特点互动教学的特点是丰富多彩，也是其优点之一。
小学五年级数学地毯上的图形面积公开课教案同样具备这一特色。
以下是一些互动教学的特点。
1.多角度的视觉教学通过绘图、模拟等方式，辅助学生形象化思考，增强视觉感受，达到直观的教学效果。
2.探究性教学在平时的课堂中，教师将学生分组，让学生在自由调研、实验、观察等过程中自然掌握所学知识。
这种探究式教学能够让学生深入理解问题，形成创造性思维和习惯。
魔术师的地毯
基础部 罗明
知识回顾
有一天,著名魔术大师拿
了一块长宽都是13分米
的地毯去找地毯匠, 要求
把这块正方形的地毯改
制成宽8分米, 长21分米
的矩形.
如图所示
现在出现问题了，为什 么把正方形裁剪后拼成 长方形后，两者面积会 不等呢
现在我们就来揭开谜底
如左图，我们对长方形建立了平面直角 坐标系，则B点坐标为（8，21），E点 坐标为（3，8）
音乐中的黄金分割
左图是乐器之王钢 琴的琴键，我们看到在 它的一个八度之间包括 了13个键，其中8个白键， 5个黑键，而5个黑键分 成2且，一组2个，一组3 个，而2，3，5，8不恰 好是斐波那契数列中的 数吗？
从上面的这些例子，我们不难看出，数学与我们所学 的艺术是息息相关的，并不是同学们所认为的艺术与数学 是平行线，永不相交。
我们来看一下这三个数
1，1，2，3， 5，8，13， 21，34，55，89，…
这列数是非常著名的斐波那契数列。
原名叫比萨的列奥纳多， 又称斐波那契（Leonardo
Pisano ,Fibonacci, Leonardo
Bigollo，1175年-1250年）， 意大利数学家，将现代书写数
和乘数的位值表示法系统引入
对于这堂课，我们利用已经学会的直线斜率的知识去破 解了地毯的魔术，同时我们还去探索了数学与艺术之间的联系。 通过这堂课，我希望同学能多用科学去解释我们生活中 的现象，同时也多去发现我们学习生活中的数学。
作业
1、你能另外设计出一个这类魔术吗？ 2、你能找出数学在艺术中的其它应用吗？Leabharlann 由此可知O、E、B三点不共线
如果，我们把长方形放 大来看的话就是这样的
魔术师的地毯
魔术师的地毯
王芹
【期刊名称】《中学生数理化（八年级数学华师大版）》
【年(卷),期】2008(000)012
【摘要】@@ 一天,著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3 m的地毯去找地毯匠敬师傅(图1),要求把这块正方形的地毯改成宽0.8 m、长2.1 m的矩形.敬师傅对秋先生说:"你这位鼎鼎大名的魔术师,难道连小学算术都没有学过吗?边长为1.3 m的正方形面积为1.69 m2,而宽0.8 m、长2.1 m的矩形面积只有1.68 m2,两者并不相等啊!
【总页数】1页(P45)
【作者】王芹
【作者单位】无
【正文语种】中文
【相关文献】
1.刍议"拓展型知识"栏目中的数学基本活动经验——以"魔术师的地毯"为例
2.浅谈地毯、地毯衬垫及地毯胶粘剂有机化合物释放量的测定
3.浅谈地毯、地毯衬垫及地毯胶粘剂有机化合物释放量的测定
4.魔术师的地毯
5.让地毯中度清洗变得轻而易举——德国凯驰地毯结晶干洗技术与高泡地毯清洗方式之比较
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最新人教版高中数学必修2第三章魔术师的地毯
魔术师的地毯一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形．敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8米长2.1米的矩形面积只有1.68平方米，两者并不相等啊！除非裁去0.01平方米，不然没法做．”秋先生拿出他事先画好的两张设计图，对敬师傅说：“你先照这张图（图1.2）的尺寸把地毯裁成四块，然后照另一张图（图1.3）的样子把这四块拼在一起缝好就行了．魔术大师是从来不会错的，你放心做吧！”敬师傅照着做了，缝好一量，果真是宽0.8米长2.1米．魔术师拿着改好的地毯满意地走了，而敬师傅却还在纳闷儿：这是怎么回事呢？那0.01平方米的地毯到什么地方去了？你能帮敬师傅解开这个谜吗？过了几个月，魔术师秋先生又拿来一块地毯，长和宽都是1.2米，只是上面烧了一个烧饼大小（约0.01平方米）的窟窿．秋先生要求敬师傅将地毯剪剪拼拼把窟窿去掉，但长和宽仍旧是1.2米．敬师傅很为难，觉得这位魔术大师的要求不合理，根本无法做到．秋先生又拿出了自己的设计图纸，要敬师傅按图1.4的尺寸将地毯剪开，再按图1.5的样子拼在一起缝好．敬师傅照着做了，结果真的得到了一块长和宽仍是1.2米的地毯，而原来的窟窿却消失了．魔术师拿着补好的地毯得意洋洋地走了，而敬师傅还在想，补那窟窿的0.01平方米的地毯是哪里来的呢？你能帮敬师傅解开这个谜吗你准备如何着手去揭开魔术大秘密呢？通常的办法是根据他给的尺寸按某个比例（例如10：1）缩小，自己动手剪一剪、拼一拼，也就是做一具小模型，实际量一量，看看秘密藏在什么地方．这种做模型（或做实验）的方法，是科技工作者和工程技术人员通常采用的方法．这种方法要求操作和测量都非常精确，否则你就发现不了秘密．例如，按缩小后的尺寸，剪拼前后面积差应为1平方厘米，如果在你操作和测量过程中所产生的误差就已经大于1平方厘米了，那么你怎能发现那1平方厘米的面积差出在什么地方呢？数学工作者在研究和解决问题时，通常采用另一种方法—数学计算，即通过精细的数学计算来发现剪拼前后的面积差出在何处．现在我们先来分析第一个魔术。
中学趣味数学3姐妹巧分地毯
中学趣味数学3姐妹巧分地毯相传在专门久专门久往常，有一位勤劳善良的阿拉伯老人，他有三个女儿，一家人靠编织地毯坚持生活。
老人的织毯的手艺十分精湛，编织的地毯闻名于世。
随着时刻一天天过去，老人感受到自己的躯体越来越差了，因此就决定在离开人世之前要编织三块精美的地毯送给自己的三个女儿。
但是当他只织好一块的时候就不幸去世。
三个女儿都深爱着自己的父亲，每个人都想拥有这块地毯以作纪念。
可地毯只有一块，三个人如何能同时得到呢?依旧大女儿主意多，她对两个妹妹说：我们三姐妹把父亲留给我们的这块地毯分成三块，如此每人都能得一份!因此，三个女儿就把这块色彩斑斓的地毯摊开量了量，发觉这是一块正方形地毯。
小女儿心灵手巧，她把地毯叠成相同的三层，正预备把它裁开时，大女儿赶忙上前阻止道：小妹，不能如此分，你如此裁成的三块是三个长方形，而父亲留给我们的地毯是正方形的，我们不能改变地毯的形状，我们每人分得的地毯也应该是正方形的。
至于大小不一样没有关系的。
她们三姐妹只有把地毯重新摊开，按照大姐的分法开始研究，研究来研究去确实是没有一个好方法，因为一个正方形假如要分成4个小正方形容易，现在要分成3个正方形，这如何能办到呢?就在她们感到为难的时候，小妹突然有了个好主意，她对两个姐姐说：既然我们不能直截了当分成三个小正方形，我们能够把它多剪几块，然后再拼成三个正方形不就行了吗?二个姐姐都觉得那个主意好，二姐还补充了一个条件，说：我们也不能把这块地毯裁得过于零碎，裁的块数越少越好，最好是我们只裁成四块，其中有二块本身确实是正方形，另处两块放一起也能够拼成一个正方形。
三姐妹按照上面的分毯方案想呀想呀，最后依旧小妹聪慧，最先想出了一个巧妙的符合条件的分毯方案，她的分毯思路是如此的：“教书先生”可能是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当如何说也确实是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。
只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初显现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。
五年级数学教案：玩转地毯图形的面积计算
五年级数学教案：玩转地毯图形的面积计算地毯是我们生活中常见的实物，大到家里的地毯，小到桌子上的小毯子，都是由图形组成的。
在数学中，地毯图形也非常重要，如何计算地毯图形的面积，也是数学学习中不可缺少的内容之一。
本文将介绍如何在教学中玩转地毯图形的面积计算，提高孩子们的数学素养。
一、教学目标通过本教案的学习，我们希望让学生：1.了解地毯图形的组成结构和特点；2.掌握计算地毯图形面积的方法；3.运用数学知识，探索地毯面积的规律；4.锻炼学生的观察能力和逻辑思维能力。
二、教学准备1.准备PPT，并制定教学计划；2.准备实物或模型地毯，以便让学生更好地了解地毯图形的构成；3.准备一些练习题，以便巩固学生所学知识。
三、教学内容1.介绍地毯图形的组成结构和特点。
地毯图形是由多个几何图形组成的，包括矩形、三角形、梯形等。
学生可以通过观察实物或模型地毯，了解到地毯图形的特点，比如说地毯图形对称等等。
2.教授地毯图形面积的计算方法。
（1）矩形地毯。
对于矩形地毯，我们可以采用“长×宽”的方法计算其面积，公式为：面积=长×宽。
（2）三角形地毯。
对于三角形地毯，可以运用“底×高的一半”计算其面积，公式为：面积=底×高×1/2。
（3）梯形地毯。
对于梯形地毯，需要运用“上底+下底×高的一半”计算其面积，公式为：面积=（上底+下底）×高×1/2。
3.进一步运用数学知识，探索地毯面积的规律。
在学生掌握如何计算地毯面积之后，我们可以通过一些练习题，让学生更好地理解地毯面积的规律。
比如说，让学生比较两个面积相等的地毯，看一下它们的结构是否相同，是否可以重叠，是否可以“旋转”等等。
四、课外拓展在教学之外，我们也可以通过一些拓展活动，让学生进一步加深对地毯图形和面积计算的理解。
具体拓展活动如下：1.家里DIY一份地毯。
学生可以在家里自己DIY一份小地毯，可以自由选择材料和形状，并计算它的面积。
地毯上的数学文化
６
高／ ｅ ｍ
３ ￣ ２ ３
３
表 面 积 ／
ｃｍ
回
图 ４ 图 ５
１ ６ １ ６
１ ６ ｘ ２ ４ ５来自６ ５ ５ ２ ６ １ ２
格 ， 可 以 得 出 结 论 ： 在 二 仨二 召 乒 ＝ 二
转一 周 得 到 圆柱． （ ４ ）等 腰 梯 形 绕 一 条 底 第 二 列 １ 层 ； 从 上面 看有三列 ， 第 一列２ 排 ，
边 旋 转 一周 得 到 圆柱 ． （ ５ ）直 角 梯 形 绕 垂 第 二 列 １ 排 ， 第三列 １ 排． 直 于底 边 的腰 旋转 一 周得 到 圆柱． （ ６ ）圆 绕直径旋转一周得到球体．
图 １
向线段 平移至 右侧 ， 你会 发现 它们恰好 与
水平线 段及高 重合 ， 这 样 很 容 易 计 算 地 毯
的长为 ： ３ ＋ ２ ＝ ５ （ 米 ） ． 地毯 的面积为 ： ５ ｘ ｌ ＝ ５ （ 平方 米 ） ． 方 法三 ： 如 图２ ， 先 画 出 楼 梯 的
主视 图 、 左视 图、 俯 视
品， 且 该 纸 箱 所 用材 料 尽 可 能 少．
大时 ， 包 装 纸 箱 的表 面积 较 小 ．
【 分析 】 （ １ ）先 从 含 ２ 块 小 长 方 体 的 包
装纸 箱考虑 ：
包 装 纸 箱 外 观 尺 寸 长 ／ ｅ ｍ
方案 １ 方案 ２
方案 ３
宽／ ｃ ｍ
尔 尔 尔 尔 尔 乖 乖 乖 乖 乖 乖 尔 乖 尔 不 ： 尔 不
皿
俯 视 图
尔
图 ２
矫 ．
尔 不 ．
个正方体 ， 可发 现“ 我” 与“ 欢” 相对 ， “ 喜” 与 “ 学” 相对 ． “ 数” 与“ ★” 相对． 解 ： “ ★” 与“ 数” 相对．
探究与发现 魔术师的地毯 PPT
教学内容分析
本节课的内容是人教版高中数学必修2第三章 《直线与方程》的第一节《直线的倾斜角与斜率》 之后的“探究与发现”栏目。问题的引入会引起学 生极大的兴趣和强烈的好奇心，给予学生强大的动 力去进行动手操作、大胆猜想、推测原因、探究讨 论、证明推理、得出结论。
学生学情分析
《魔术师的地毯》是高一下学期的学习内容，该 阶段的学生在思想上已比较成熟，思考问题的角度也 趋于多样化，他们已经能够在教师的引导下积极主动 地思考问题、大胆猜测、动手实践，也能灵活运用电 子白板等辅助教学工具。
教学重点
1.探究用直线的斜率解决魔术师的地毯问题； 2.掌握用坐标法解决几何问题的方法； 3.让学生经历观察、发现、猜想、论证、反思、 拓展等探究过程．
教学难点
1.让学生建立起与地毯问题相关合理而简洁的数 学知识模型，树立几何问题代数化的思想； 2.让学生自主选择合适的数学知识进行探究活动； 3.让学生经历观察、发现、猜想、论证、反思、 拓展等探究过程．
教学目标分析
1.通过探究魔术师设置的秘密，让学生经历将地毯 问题抽象为数学中图形问题的过程，通过观察、模 拟操作，并从数据分析中发现问题、思考问题，强 化学生对数据的认识． 2.通过三点共线的判断（主要是斜率）、图形特征 的分析、图形面积的计算等，让学生经历将几何问 题代数化的过程，体会坐标法在解析几何中的地位 与作用． 3.通过对问题的深入研究，通过学生们发现问题、 分析问题、解决问题的全过程，提高他们的数学应 用能力和综合解决问题的能力。
模型改进 发现完美 问题6：在此基础上，按照秋先生的想法，使用如图的 形式如何裁剪才是完美的呢？
发现：把正方形按照黄金分割就可以使魔术的效果达 到完美，而不是趋于完美！
魔术师的地毯(10分钟)课件
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总结归纳、拓展延伸
2.撰写一篇研究报告，研究内容包括以下几个方面： （1）在整数范围内，边长为哪些数字的正方形按书上所述 方式进行切割重拼后相差的面积最小？ （2）它们的边长以及分割方法中的数据有什么样的规律？ （3）从数列的角度研究，这些数组成的数列有什么特点？ （4）你能再进一步研究这个数列吗？
教
教
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教
材
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学
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学
过
析
标
法
程
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教学过程
总结归纳、拓展延伸
大胆尝试、自编魔术
共同探究、寻找谜底
创设情境、开设迷局
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创设情境、开设迷局
数学魔术演示 魔术师的地毯
（一）
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创设情境、开设迷局
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共同探究、寻找谜底
（1）分组操作、原因初现 （2）科学依据、揭示谜底 （3）拼图魔术、不过如此
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魔术师的地毯
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教法
教
探究式教学法和启发式教学法，以启发、引导
法
为主,采用设疑的形式,逐步进行探究性学习。
学
法
学法
学生亲自动手实践的方法突出重点，用教师引 领、学生自主探究、合作交流及多媒体辅助的 方法突破难点。
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魔术师的地毯
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数列
斐波那契数列
在西方，最先研究这个数列的人是意大利比萨的列奥纳 多〃斐波那契，他描述兔子生长的数目时用上了这个数列。 假设： 第一个月有一对刚诞生的兔子 第两个月之后它们可以生育 每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子 兔子永不死去 设在n月有新生及可生育的兔子总共a对，n+1月就总共有b 对。在n+2月必定总共有a+b对：因为在n+2月的时候，所有在n 月就已存在的a对兔子皆已可以生育并诞下a对后代；同时在前 一月(n+1月)之b对兔子中，在当月属于新诞生的兔子尚不能生 育。 斐波那契数列又因数学家列昂纳多〃斐波那契以兔子繁殖 为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
真是不可思议！那神奇的1平方英尺究竟从哪里跑出来的呢？ 这就是斐波那契数列的奥妙所在。 为什么64＝65？其实这是利用了斐波那契数列的这个性质： 5、8、 13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不 过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到！
斐波那契数列
斐波那契数列指的是这样一个数列 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181， 6765，10946，17711，28657，46368
斐波那契数列
一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠 朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺、 宽5英尺的长方形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因 为8英尺的正方形地毯面积是 64平方英尺，如何能够拼出65平方英尺 的地毯？两者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师做到了。他 让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的！
魔术师的地毯
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练 习
1.已知直线的斜率k＝2, A 3,5）,（x, 7), C -1, y)是这条直线的三个点， （ B （ 求x,y的值。 2.已知（1,2）,（-1, 0), C 3, 4)三点，这三点是否在同一条直线上？ A B （ 3.已知四边形ABCD的四个顶点为（2,2+2 2）,（-2, 2), C 0,2-2 2), A B （ D 4, 2), 求证ABCD是矩形。 （
另外,这个问题还与著名的斐波那契数列:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
有关,这个数列的递推公式是
a1 a2 1, a个性质,就是a 2 n 1 an an 2 (1)2 当n 6时,a6 8, a7 13, a8 21, 132 8 21 1 当n 7时,a7 13, a8 21, a9 34, 212 13 34 1
3
魔术师的地毯真相
如果,我们将重叠之处用放大镜放大,发现重叠部分
ADBC其实是个平行四边形.
事实上,如图建立直角坐标
系,计算得BC斜率与AD斜率 相等, 又由图(1)知AD=BC, 故ADBC是平行四边形.
通过计算C点到AB距离,可
算出△ABC面积,进而算出 ADBC面积恰是1dm2
4
魔术师的地毯再发现
同学们,你们可以根据斐波那契数列的这个性质,象魔
术师那样,设计出两个图,使得面积增加1平方分米吗?
5
知识活用
图1
图2
图1拼成图2, 面积增加1平方分米
6
本节课收获
1. 学会了判定三点是否共线; 2. 学会了判定四边形是否为平行四边形; 3. 学会了斐波那契数列的一个性质; 4. 最重要的是,学会了不要迷信,要灵活运用所学的数 学知识去破除迷信.
大班数学教案地毯的形
大班数学教案-地毯的形状引言地毯是我们日常生活中常见的家居装饰品之一，它不仅能为房间增添美感，还有多种形状可供选择。
在大班数学教学中，引入地毯的形状可以帮助学生直观地理解和认识各种几何形状，进一步培养他们的观察力和数学思维。
本文档将介绍如何利用不同形状的地毯来进行数学教学。
地毯的形状地毯的形状五花八门，常见的形状包括：1.矩形：矩形地毯是最常见的地毯形状之一。
它有四条直边和四个直角，学生可以通过观察矩形地毯的边长和角度，了解矩形的性质和特点。
2.正方形：正方形地毯的四条边相等且四个角均为直角。
通过与矩形地毯的对比，学生可以理解正方形是特殊的矩形，同时认识到正方形的性质和特征。
3.圆形：圆形地毯没有直角和边，它具有半径和直径等重要特征。
通过观察圆形地毯的半径、直径和周长，学生可以学习圆形的性质和计算方法。
4.三角形：三角形地毯有三条边和三个角。
通过观察不同类型的三角形地毯，如等边三角形、等腰三角形和直角三角形等，学生可以学习三角形的性质和分类方法。
5.梯形：梯形地毯具有至少一对平行边和两个不同的底边。
学生可以通过观察梯形地毯的底边长度和高度，了解梯形的性质和计算方法。
地毯形状与数学教学利用地毯的形状进行数学教学可以有效地帮助学生理解和掌握不同几何形状的性质和特征。
下面是一些具体的教学活动和方法：1.圆形地毯的直径测量：给学生提供一个圆形地毯，让他们利用直尺测量地毯的直径，并完成相关的计算练习。
通过实际操作，学生可以掌握圆形的直径和周长的计算方法。
2.矩形地毯的边长比较：给学生提供两个矩形地毯，让他们观察和比较两个地毯的边长，并从中发现规律。
通过比较不同矩形地毯的边长，学生可以掌握矩形的性质和边长的关系。
3.三角形地毯的分类：给学生展示不同类型的三角形地毯，让他们观察和分类这些地毯。
通过观察和分类，学生可以学习三角形的性质和分类方法。
4.地毯形状的图形拼接：给学生提供一些拼图地毯，让他们将图形拼接成不同的形状。
大班数学教案：数字地毯
大班数学教案：数字地毯教学目标•理解数字地毯的构成，包含数码和图形•认识0-9十个数字及其大小、大小的比较和顺序•能够通过数字标识物品和数量教学内容1. 数字地毯的构成数字地毯由数码和图形组成。
数码是指阿拉伯数字0-9，图形是指用相应的数码组合而成的图形，如数字1由一个数码1组成，数字2由两个数码1组合而成。
数字地毯有很多形状和颜色，但最常见的是方形。
2. 认识0-9十个数字教师将数字地毯放在地上，让学生们围成一个圆形坐在数字地毯周围。
教师随机选出一个数字并大声说出来，学生们需要找到相应的数字站上去，重复多次直到所有数字都被认识和学生们能够迅速找到对应的数字。
3. 数字的大小和比较教师将两个数字地毯放在地上，让学生们排成两排面对面。
教师会问学生们两个数字哪个更大、哪个更小，学生们需要快速找到正确的数字，并举起相应的手指表示大小，例如数字7比数字3大，需要举起7个手指。
4. 数字的顺序教师将数字地毯放在地上，让学生们排成一列。
教师会问学生们数字的顺序是什么，学生们需要根据数字大小依次站在数字地毯上，从数字1到数字9。
5. 数字的标识物品和数量教师会拿出一些物品，例如水果和玩具，然后让学生们选出相应数量的物品并将它们放到数字地毯上。
例如，教师说“请拿出3个苹果放在数字3上”，学生们需要在数字3上放置三个苹果。
教学方法•观察法：观察数字地毯的构成和形状•聆听法：聆听教师的指令和问题•视觉教学法：通过学生们站在数字地毯上的方式帮助他们理解数字的大小和顺序•互动式教学法：学生们需要积极参与到各种活动中，并与教师和同学互动交流课堂扩展•让学生们分组，让其中一组担任教师角色，让他们来进行数字地毯的教学和问答。
这有助于加强学生们对数字地毯的理解和记忆。
•让学生们进行比赛，分别以时间和正确性计分。
这有助于激发学生们的学习热情和积极性。
总结数字地毯教学是一种新型有趣的教学方法，它可以帮助学生们更好地理解数字的概念和应用。
趣味数学——魔术师的地毯
趣味数学——魔术师的地毯标签：金师傅魔术师地毯数学魔术大师回答：3 浏览：4700 提问时间：2006-04-07 12:23一天，著名魔术大师邱先生拿了一块长和宽都是1、3米的地毯去找地毯奖金师傅，要求把这块正方形的地毯改制成宽0、8米、长2、1米的矩形，金师傅对邱先生说：“你这位鼎鼎大名的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长为1、3米的正方形面积为1、69平方米，而宽0、8米、长2、1米的矩形面积只有1、68平方米。
两者并不相等啊！除非裁去0、01平方米，不然没法做。
”邱先生拿出他事先画好的两张设计图，对金师傅说：“你先找这张图的尺寸把地毯裁成四块，然后再照另一张图的样子把这四块拼在一起缝好就行了。
魔术大师是从来不会出错的，你只管放心作吧！”金师傅照着做了，缝好一量，果真是宽0、8米、长2、1米，魔术师拿着改好的地毯得意洋洋的走了，而金师傅还在纳闷儿哩，这是怎么回事呢？那0、01平方米的地毯到什么地方去了呢？你能帮金师傅解开这个谜吗？解决这类问题，物理学家和工程师通常采用作模型的方法———当然要求做得足够精确。
而数学家通常采用计算的办法。
共2条评论...相关资料:壁纸魔术师2BV1.rar更多资料>>最佳答案此答案由提问者自己选择，并不代表爱问知识人的观点揪错┆评论西门吹雪[天外飞仙]为计算方便，以“分米”为单位按照魔术师的裁剪方法，拼接后中间不是一条直线，而是两条“折线”，可以计算出中间“重叠”正好为 1 平当分米如图：AC^=5^+2^=29, BC^=8^+3^=73, AB^=13^+5^=194由秦九韶的"三斜求积术"公式：三角形ABC的面积的平方S^=(1/4)[AC^AB^-((AC^+AB^-BC^)/2)^]=(1/4)[29*194-((29+194-73)/2)^]=(1/4)[5626-75^]=1/4∴三角形ABC的面积S=1/2“重叠”的面积=2S=1。
数学漂亮的地毯教案
数学漂亮的地毯教案教案标题：数学漂亮的地毯教学目标：1. 通过学习数学漂亮的地毯，学生将能够理解和应用平面图形的性质和特征。
2. 学生将能够运用数学知识和技能，设计和创建自己的数学漂亮的地毯。
3. 学生将培养创造力、团队合作和问题解决的能力。
教学资源：1. 平面图形的图片和实物样本。
2. 彩色纸、剪刀、胶水、彩色铅笔等美术工具。
3. 数学漂亮的地毯设计评估表。
教学步骤：引入活动：1. 引导学生观察和讨论不同的地毯图案和设计样式。
2. 引导学生思考，地毯上的图案和设计是否与数学有关。
探究活动：1. 将学生分成小组，每个小组选择一个平面图形（例如正方形、三角形、矩形等）作为他们的地毯设计基础。
2. 学生使用彩色纸和剪刀，根据选定的平面图形，设计和创建一个漂亮的地毯图案。
3. 学生可以使用不同颜色的纸，剪出各种形状和大小的图案，然后将它们粘贴在纸板上，以创建一个独特的地毯设计。
4. 学生在设计过程中应该考虑到图案的对称性、重复性和平衡性等数学概念。
展示和评估：1. 每个小组展示他们设计的数学漂亮的地毯，并解释他们选择的数学概念和设计原则。
2. 整个班级一起讨论和评估每个小组的地毯设计，以及它们是否满足了数学概念和设计原则。
3. 使用数学漂亮的地毯设计评估表，对每个小组的地毯进行评估，并给予建议和指导。
总结：1. 引导学生总结他们在设计和创建数学漂亮的地毯过程中学到的数学概念和设计原则。
2. 鼓励学生分享他们的创作和学习经验。
拓展活动：1. 学生可以在家庭作业中继续设计和创建数学漂亮的地毯，并写下他们的创作心得和体会。
2. 学生可以在班级展览或学校展示中展示他们的数学漂亮的地毯，并与其他同学分享他们的创作过程和成果。
教学评估：1. 观察学生在活动中的参与程度和合作能力。
2. 评估学生的地毯设计是否满足数学概念和设计原则。
3. 评估学生在总结和分享中对所学知识的理解和应用能力。
教学扩展：1. 鼓励学生进一步探究和研究数学与艺术的关系，尝试设计其他数学相关的创意作品。
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魔术师的地毯
一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形．敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8米长2.1米的矩形面积只有1.68平方米，两者并不相等啊！除非裁去0.01平方米，不然没法做．”秋先生拿出他事先画好的两张设计图，对敬师傅说：“你先照这张图（图1.2）的尺寸把地毯裁成四块，然后照另一张图（图1.3）的样子把这四块拼在一起缝好就行了．魔术大师是从来不会错的，你放心做吧！”敬师傅照着做了，缝好一量，果真是宽0.8米长2.1米．魔术师拿着改好的地毯满意地走了，而敬师傅却还在纳闷儿：这是怎么回事呢？那0.01平方米的地毯到什么地方去了？你能帮敬师傅解开这个谜吗？
过了几个月，魔术师秋先生又拿来一块地毯，长和宽都是1.2米，只是上面烧了一个烧饼大小（约0.01平方米）的窟窿．秋先生要求敬师傅将地毯剪剪拼拼把窟窿去掉，但长和宽仍旧是1.2米．敬师傅很为难，觉得这位魔术大师的要求不合理，根本无法做到．秋先生又拿出了自己的设计图纸，要敬师傅按图1.4的尺寸将地毯剪开，再按图1.5的样子拼在一起缝好．敬师傅照着做了，结果真的得到了一块长和宽仍是1.2米的地毯，而原来的窟窿却消失了．魔术师拿着补好的地毯得意洋洋地走了，而敬师傅还在想，补那窟窿的0.01平方米的地毯是哪里来的呢？你能帮敬师傅解开这个谜吗
你准备如何着手去揭开魔术大秘密呢？通常的办法是根据他给的尺寸按某个比例（例如10：1）缩小，自己动手剪一剪、拼一拼，也就是做一具小模型，实际量一量，看看秘密藏在什么地方．这种做模型（或做实验）的方法，是科技工作者和工程技术人员通常采用的方法．这种方法要求操作和测量都非常精确，否则你就发现不了秘密．例如，按缩小后的尺寸，剪拼前后面积差应为1平方厘米，如果在你操作和测量过程中所产生的误差就已经大于1平方厘米了，那么你怎能发现那1平方厘米的面积差出在什么地方呢？
数学工作者在研究和解决问题时，通常采用另一种方法—数学计算，即通过精细的数学计算来发现剪拼前后的面积差出在何处．
现在我们先来分析第一个魔术。
比较图1.2和图1.3将图1.2中的四块图形分别记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ（图1.6），而将图1.3中相应的四块分别记为，，，（图1.7）．现在的问题是，图1.6中的四块能否拼得像图1.7那样“严丝合缝”、“不重不漏”？也就是说，图1.7中所标的各个尺寸是否全都准确无误？例如图1.7中的为直角三角形，如果时，点是否恰好落在矩形的对角线上？同样，如果时，点是否恰好落在上？让我们通过计算来回答这个问题．
如图1.8建立直角
坐标系，以所在直
线为轴，所在
直线为轴，单位
长度表示0.1米，于是有（0，0），（0，21），
（8，21），（8，0），（0，13），（5，
13），（3，8），（8，8）．如何判断和是否恰好落在直线上呢？一种办法是，的坐标代入直线的方程，看是否满足方程；另一种办法是分别计算，，的斜率，比较它们是否相等．下面用后一种方法进行讨论．
设线段的斜率为，则有，，．比较之，由
得，即的斜角大于的斜角，的斜角又大于的斜角，可见和都不在对角线上，它们分别落在的两侧（图1.8）：又由
，
得，，即，．可知将图1.6中的四块图形按照图1.7拼接时，在矩形对角线附近重叠了一个小平行四边形（图1.8）．正是这一微小的重叠导致面积减少，减少的正是这个重叠的的面积．记（3，8）
到对角线（）的距离为，
米，
米，
．
把面积仅为0.01平方米的地毯拉成对角线长为米（约2.247米）的极细长的平行四边形，在一个大矩形的对角线附近重叠了这么一点点，当然很难觉察出来，魔术大是由正是利用了这一点蒙混过去，然而这一障眼法却怎么也逃不过精细的数学计算这一“火眼金睛”．
如果我们把上述分割正方形和构成矩形所涉及的四个数，从小到大排列起来，即
5，8，13，21，
这列数有什么规律呢？相邻两数之和，正好是紧跟着的第三个数．按照这个规律，5前面应该是（8－5＝）3，3前面应是（5－3＝）2，2前面应是（3－2＝）1，1前面应是（2－1＝）1，21后面应为（13＋21＝）34，34后面应为（21＋34＝）55，等等，于是得到数列
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…
这个数列的特点是，它的任意相邻三项中前两项之和即为第三项．我们称这个数列为斐波那契数列．魔术师的上述第一个地毯魔术中的四个数5，8，13，21只是斐波那契数列中的一段，从该数列中任意取出其他相邻的四个数，还能玩上述魔术吗？为了使计算简单一些，我们取出数字更小的一段3，5，8，13来试一试．把边长为8的正方形按图1.9分成四块，再拼成边长为5和13的矩形（图1.10）．
这时图形的面积由图1.9的64变成了图1.10的65，凭空增加了1个单位面积．通过完全类似的计算，我们发现图1.10的尺寸是不合理的，实际上在矩形对角线附近，同样会出现一个小平行四边形．不过这次不是一个重叠的平行四边形，而一具平行四边形空隙（图1.11）．这就是拼成的矩形比原来的下方形面积“增大”的秘密所在．
我们可以使用斐波那契数列的任何相邻四项，来玩上述分割重拼的魔术，我们发现，正方形比重拼成的矩形，时而少一个单位面积，时而又多一个单位面积．这是因为重拼时，在矩形对角线附近，有时会重叠一个细长的平行四边形（因此失去一个单位面积），有时又会出现一个细长的平行四边形空隙（因此多出一个单位面积）．面积何时变不，何时变大，有没有规律呢？
我们把斐波那契数列
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…
记为，，，，，…
这里，，，，，…，且具有递推关系
考察以为边长的正方形面积与以及为两边长的矩形面积之间的关系．随着从小到大依次取2，3，4，5，…，我们得到
当时有，即；
当时有，即；
当时有，即；
当时有，即；
从中我们发现，随着的奇偶变化，在上述关系式中，加1和减1交替出现．对于数列的第项，当是大于1的奇数时有，此时正方形的面积比矩形小1．写成统一的表示式就是．将斐波那契数列前后相邻两项的比，作成一个新的数列
，，，，，，，…
该数列的极限是一个定数（无理数），这个数有很重要的应用，而且还有一个非常好听的名字，叫“黄金分割比”．
相传早在欧几里得之前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约公元前400～前347）提出并解决了下列按比例分线段的问题：“将线段分为不相等的两段，使长段为全线段和短段的比例中项．”欧几里得把它收入《几何原本》之中，并称它分线段为中外比．据说“黄金分割”这个华贵的名字是中世纪著名画家达·芬奇取的，从此就广为留传，直至今日．
对于长度为的线段，使的分点称为“黄金分割点”（图
1.12）．设，则．即黄金分割比．从古希腊起直到今天，人们都认为这种比例在造型艺术上具有很高的美学价值．在所有矩形中，两边之比符合黄金分割比的矩形是最优美的．难怪日常生活中许多矩形用品和建筑中的矩形结构，往往是按黄金分割比设计的．甚至连人体自身的形体美，即最优美的身段，也遵循着黄金分割比．据说“维纳斯”雕像以及世界著名艺术珍品中的女神像，她们身体的腰以下部分的长度与整个身高的比，都近于0.618，于是人们就把这个比作为形体美的标准．芭蕾舞女演员腰以下部分的身长与身高之比，一般约在0.58左右，因此在她们翩翩起舞时，总是脚尖点地，使腰以下部分的长度增长8～10厘米，以图展示符合0.618身段比例的优美体形（图1.13），给观众以美的艺术享受．
黄金分割比不仅在艺术上，而且在工程技术上也有重要意义．工厂里广泛使用的“优选法”，就是黄金分割比的一种应用，因此有人干脆把优选法称为“0.618法”．
在实际应用时，黄金分割比可用斐波那契数列中相邻前后两项的比作为近似值来代替．
越大，比值越近似黄金分割比．
我们接着分析魔术师秋先生的第二个魔术，其秘密在哪里呢？补洞用的那一小块面积是从哪里来的呢？根据识破第一个魔术的经验，我们来考查拼成新的无洞正方形的各个尺寸（图1.14）是否全都准确无误？这就要追查到分割有洞正方形的各个尺寸（图1.15）是否全都准确无误码？在图1.15中分割正方形四边的尺寸是取定的，用不着怀疑．值得怀疑的是中间的那条分割线，它的尺寸可靠吗？其中是正确的，“”及“”对吗？
而它们正是新拼正方形两边上线段及的尺寸．如图1.15所示，分别以直线和为轴和轴建立坐标系，于是有（0，7），（12，12），（7，0），（7，3），要得到及的长度，只须求出点的坐标即可．是直线
与直线的交点．直线的方程是，即；直线
的方程是．两方程联立解得交点的坐标为（7，）．于是得到
，因而．这就是说，在新拼正方形（图1.14）中，左边上的线段
的长不是7而是，右边上的线段的长不是10而是．这样，新拼图形的左
边长为，右边长为，上下两边
，因此新拼图形不是边长为12的正方形，而是一个的长方形，
比原来的有洞正方形稍微短了一点点（短1个单位长的）．两者的面积相差
（单位面积），而这正好等于那个洞的面积．这个补洞的魔术之所以能够成功，靠的就是两者之差是一个很狭窄的细长条，不易被人觉察，但在精确的数学计算面前，秘密马上就被揭穿了．。