第8章 梁的强度与刚度
建筑力学第8章杆件的变形和刚度校核
9
8.3 平面弯曲梁的变形计算———叠加法（查表法） 从上一节例题可以看出，由于梁的变形微小， 而且梁的材料是在线弹性范围内工作的，因此梁的 挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。这样，梁 上某一荷载所引起的变形，不受同时作用的其他荷 载的影响，即各荷载对弯曲变形的影响是各自独立 的。因此，梁在几项荷载（集中力、集中力偶或分 布力）同时作用下某一截面的挠度和转角，就分别 等于每一项荷载单独作用下给截面的挠度和转角的 叠加。当每一项荷载所引起的转角在同一平面内（ 例如均在 xy平面内），其挠度都在同一方向上（ 例如均在 y轴方向）时，叠加就是代数和。
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小结 本章主要研究扭转轴和平面弯曲梁的变形计算 和刚度校核问题。 1）扭转轴的变形计算及刚度条件为
13
2）平面弯曲梁的变形计算可用积分法和叠加 法进行。用积分法求解梁变形就是正确列出各段梁 的弯矩方程，代入挠曲线近似微分方程，积分一次 得到转角方程，再积分一次得到挠曲线方程，然后 正确应用边界条件和连续条件确定积分常数。积分 法是求梁变形的基本方法，虽然计算比较烦琐，但 在理论上是比较重要的。
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2
图 8.2
3
图 8.3
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正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文
第8章 杆件的变形和刚度校核
为了避免受扭的轴产生过大的变形，除了要 保证强度条件以外，还要满足刚度要求。工程中 ，通常是用单位长度扭转角 θ 来限制轴的扭转变 形。因此，其刚度条件为
工程力学第八章__直梁弯曲
（3）构件特征：具有一个以上对称面的等截
面直梁。
§8－1 平面弯曲的力学模型
二、梁的力学模型 1．梁的结构形式 工程中梁的轴 线多为直线。无论截 面形状如何，在计算 简图中的梁，一般均 用与梁轴线重合的一 段直线表示
§8－1 平面弯曲的力学模型
2．梁的支座 梁的支撑情况，要通过分析来确定在载 荷作用平面内支座对梁的约束类型以及相 应的约束反力数目。一般情况下，可将梁 的支承简化为以下三种典型支座之一：
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
管钳的应用分析
在拧、卸管状零件 时，常常要使用管钳给 管件施加转矩，将管件 拧紧或卸下。当拆卸连 接牢固的管子时，常在 钳柄部分加套管，以增 大转矩。那么，在这种 情况下，钳牙是否会损 坏？
1一固定牙 2一可动牙 3-圆螺母 4一齿条 5一弹簧 6-钳柄 7-销轴
§8－2 弯曲内力——剪力和弯矩
2．改变加载方式，在结构允许的条件下，应 尽可能把集中力改变为分散力
集中力改变为分散力
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
工程应用
吊车与平板车
吊车简图
平板车过桥
§8－5 提高梁抗弯强度的主要措施
3．增加约束 如图a所示，某变速器 换挡杆1需要加工一个R8的 月牙槽，以往是把月牙槽 铣刀悬挂地装在铣床主轴 上，利用工作台的升降进 行铣削加工。
§8－3
弯曲正应力
2．中性轴与中性层
§8－3 弯曲正应力
二、正应力的分布规律
横截面上各点正应力的大小与该点到中性轴 的距离成正比：
y
max
y max
在中性轴处纤维长度不变，此处 不受力，正应力为零。
08第八章 弯曲变形
二、梁计算简图 1支座形式与支反力 作用在梁上的外力，包括载荷和支座反力 载荷和支座反力。工程中常见支座有以下 载荷和支座反力 三种形式: （1）固定铰支座。如图8-3（a）所示，固定铰支座限制梁在支承处 固定铰支座。 固定铰支座 任何方向的线位移，其支座反力可用2个正交分量表示，沿梁轴线方 向的XA和垂直于梁轴线方向的YA。 （2）活动铰支座。如图8-3（b）所示，活动铰支座只能限制梁在支 活动铰支座。 活动铰支座 承处垂直于支承面的线位移，支座反力可用一个分量FRA表示。 （3）固定端。如图8-3（c）所示，固定端支座限制梁在支承处的任 固定端。 固定端 何方向线位移和角位移，其支座反力可用3个分量表示，沿梁轴线方 向的XA和垂直于梁轴线方向的YA，以及位于梁轴平面内的反力偶 MA。
解：（1）列弯矩方程 选取A为坐标原点，坐标轴如图8-13所示。在截 面x处切开，取左段为研究对象，列平衡方程： （2）作弯矩图 由弯矩方程可知，弯矩M为x的一次函数，所以 弯矩图为一条斜直线。（由两点可画出一条直线）
例8-7图8-14（a）所示悬臂梁，在全梁上受集度 为q的均布载荷作用。作该梁的弯矩图。
例8-1：如图8-8所示悬臂梁，求图中1-1和2-2截 面上的剪力和弯矩。
解： （1） 计算1-1上的剪力和弯矩。 假想在1-1截面处把梁截开，考虑左段梁的平衡， 剪力和弯矩按正方向假设。
得：
（2） 计算2-2上的剪力和弯矩。假想在2-2截面 处把梁截开，考虑左段梁的平衡，剪力和弯矩按 正方向假设。
弯矩图如图8-11（b）所示，由于在C点处有集中力 偶Mo作用，C点左侧与C点右侧弯矩不变，有突变， 突变值即为集中力偶Me。如b>a，则最大弯矩发生 在集中力偶作用处右侧横截面上 。
例8-5：图8-12（a）所示简支梁，在全梁上受集 度为q的均布载荷，作此梁的弯矩图。
周建方版材料力学习题解答[第八章9]分析
![周建方版材料力学习题解答[第八章9]分析](https://img.taocdn.com/s3/m/cbb06210a417866fb94a8e07.png)
8-49现用某种黄铜材料制成的标准圆柱形试件做拉伸试验。
已知临近破坏时，颈缩中心部位的主应力比值为113321::::=σσσ；并已知这种材料当最大拉应力达到770MPa 时发生脆性断裂，最大切应力达到313MPa 时发生塑性破坏。
若对塑性破坏采用第三强度理论，试问现在试件将发生何种形式的破坏？并给出破坏时各主应力之值。
解： 令主应力分别为：σσ31=，σσσ==32脆性断裂时，由第一强度理论=1r σσσ31==770MPa所以，塑性破坏时，由第三强度理论 所以故，试件将发生脆性断裂。
破坏时MPa 7701=σ，MPa 25732==σσ8-50 钢制圆柱形薄壁压力容器（参见图8-13），其平均直径mm d 800=，壁厚mm 4=δ，材料的M P a ][120=σ，试根据强度理论确定容器的许可内压p 。
解：在压力容器壁上取一单元体，其应力状态为二向应力状态。
p pd 504'==δσ ，p pd1002"==δσ 其三个主应力为p 100"1==σσ， p 50'2==σσ，03=σ据第三强度理论所以 ，MPa p 2.13≤，许可内压MPa p 2.13= 据第四强度理论所以，MPa p 39.14≤，许可内压MPa p 39.14=8-51 空心薄壁钢球，其平均内径mm d 200=，承受内压MPa p 15=，钢的MPa ][160=σ。
试根据第三强度理论确定钢球的壁厚δ。
解：钢球上任一点应力状态如图示 其三个主应力为：σσσ==21，03=σ而 MPa MPa d p R R p δδδδππσ4342.0152222=⨯=⋅=⋅⋅=据第三强度理论 所以 mm m 69.41069.41601433=⨯=⨯≥-δ 8-52 图8-77所示两端封闭的铸铁圆筒，其直径mm d 100=，壁厚mm 10=δ，承受内压MPa p 5=，且在两端受压力kN F 100=和外扭矩m kN T ⋅=3作用，材料的许用拉应力MPa ][40=+σ，许用压应力MPa ][160=-σ，泊松比250.=ν，试用莫尔强度理论校核其强度。
工程力学第8章 变形及刚度计算
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40
解 （1）静力方面 取结点 A为研究对象，分析其受 力如图 8.15（b）所示，列出平衡方程：
（2）几何方面
（3）物理方面 由胡克定律，有：
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（4）补充方程 式（u）代入式（t），得：
再积分一次，得挠度方程
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例8.5 图8.7所示等截面简支梁受集中力F作用，已 知梁的抗弯刚度为EI，试求C截面处的挠度yC和A截面 的转角θA。
19
解 取坐标系如图所示，设左、右两段任一横截面 形心的坐标、挠度和转角分别为x1，y1，θ1和x2，y2， θ2。梁的支反力为
20
2
3
8.1.2 横向变形及泊松比 定义
4
5
8.2 圆轴扭转时的变形和刚度计算
8.2.1 圆轴扭转时的变形 在7.6节中提到，圆轴扭转时的变形可用相对扭转角 φ来表示，而扭转变形程度可用单位长度扭转角θ来表示。 由7.6.2节中的式（d），即
6
8.2.2 刚度计算 有些轴，除了满足强度条件外，还需要对其变形加 以限制，如机械工程中受力较大的主轴。工程中常限制 单位长度扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
（3）物理方面 由胡克定律，可得：
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（4）补充方程 将式（q）代入式（p），可得：
（5）求解 联立求解方程（o）和（r），可得：
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由上例可以看出解超静定问题的一般步骤为： （1）选取基本体系，列静力平衡方程； （2）列出变形谐调条件； （3）物理方面，将杆件的变形用力表示； （4）将物理关系式代入变形谐调条件，得到补充 方程； （5）联立平衡方程和补充方程，求解未知量。
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（1）静力方面 选取右端约束为多余约束，去掉该约束并代之以多 余支反力FB，如图8.14（b）所示，称为原超静定问题 的基本体系。所谓基本体系，是指去掉原超静定结构的 所有多余约束并代之以相应的多余支反力而得到的静定 结构。列出其平衡方程为：
材料力学-第八章叠加法求变形(3-4-5)
C
刚化
P
EI=
C
θc1
fc1
pa3 3EI
fc1
c1
pa2 2EI
2）AB部分引起的位移fc2、 θc2
P
A
θ B B2
C
fc2 刚化
EI=
B2
PaL 3EI
fc2 B2 a
PaL a 3EI
c c1 B2
θB2
P Pa
c
Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2 2EI
PaL 3EI
fc fc1 fc2
fc
pa3 3EI
MPa，[]=100
MPa，E=210
GPa，
w l
1 400
。
例题 5-7
解:一般情况下，梁的强度由正应力控制，选择梁横 截面的尺寸时，先按正应力强度条件选择截面尺寸， 再按切应力强度条件进行校核，最后再按刚度条件 进行校核。如果切应力强度条件不满足，或刚度条 件不满足，应适当增加横截面尺寸。
[例8-3]如图用叠加法求 wC、A、B
解：1.求各载荷产生的位移 2.将同点的位移叠加
=
wC
5qL4 384EI
A
qL3 24EI
B
qL3 24EI
+
PL3 48EI
PL2
16EI PL2
16EI
+
ML2 16EI
ML 3EI
ML 6EI
例题 5-4
试按叠加原理求图a所示简支梁的跨中截面的
16EI
1 qa4 24 EI
()
例题 5-5
图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB
段相同，但要注意原外伸梁的B截面是可以转动的，
工程力学第8章梁的弯曲应力与强度计算
弯曲应力的大小与外力矩、截面尺寸 和材料性质等因素有关。
弯曲应力的产生原因
当梁受到外力矩作用时，梁的横截面上的内力分布不均匀， 产生弯曲应力。
弯曲应力的产生与梁的弯曲变形有关，是梁在受到外力矩作 用时，抵抗弯曲变形的能力的表现。
弯曲应力的分类
正弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的正应 力称为正弯曲应力。
剪切弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的剪切 应力称为剪切弯曲应力。
扭曲弯曲应力
当梁受到外力矩作用时，在横截面上产生的扭曲 应力称为扭曲弯曲应力。
03
梁的弯曲应力计算
纯弯曲梁的正应力计算
01
公式：$sigma = frac{M}{I}$
方向的力，梁的宽度是截面的几何尺寸。
弯曲正应力和剪切应力的关系源自公式$sigma + tau = frac{M}{I} + frac{V}{b}$
描述
该公式表示弯曲正应力与剪切应力之间的关系，两者共同作用在梁上，决定了梁的强度和刚度。
04
梁的强度计算
强度计算的依据
梁的弯曲应力
01
梁在弯曲时，其内部的应力分布情况是决定其强度的关键因素。
机械零件
在机械零件设计中，如起 重机的吊臂、汽车的车身 等，梁的强度计算是保证 其正常工作的基础。
05
梁的弯曲应力与强度的关系
弯曲应力对强度的影响
弯曲应力是梁在受到垂直于轴线的力时产生的应力，它会 导致梁发生弯曲变形。弯曲应力的大小和分布与梁的跨度 、截面形状和材料等因素有关。
弯曲应力对梁的强度有显著影响。当弯曲应力过大时，梁 可能会发生断裂或过度变形，导致其承载能力下降。因此 ，在进行梁的设计和强度计算时，必须考虑弯曲应力的影 响。
工程力学第8章 变形及刚度计算
结构构件在满足强度要求条件下，若其变形过大， 会影响正常使用。本章将学习杆件的变 形及刚度计算。
1
8.1 轴向拉压杆的变形
杆件在发生轴向拉伸或轴向压缩变形时，其纵向尺 寸和横向尺寸一般都会发生改变，现分别予以讨论。 8.1.1 轴向变形 图8.1所示一等直圆杆，变形前原长为l，横向直径 为d；变形后长度为l′，横向直径为d′，则称
8.8 题8.8图所示一直径为d的圆轴，长度为l，A端 固定，B端自由，在长度方向受分布力偶m 作用发生扭 转变形。已知材料的切变模量为G，试求B端的转角。
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8.9 某传动轴，转速 n=150 r/min，传递的功率 P =60 kW，材料的切变模量为 G =80GPa，轴的单位长度 许用扭转角［θ］=0.5（°）/m，试设计轴的直径。
30
例 8.9 简支梁受力如图 8.11所示
31
8.4 简单超静定问题
8.4.1 超静定问题的概念 前面几章所研究的杆或杆系结构，其支座反力和内 力仅仅用静力平衡条件即可全部求解出来，这类问题称 为静定问题（staticallydeterminateproblem）。例如，图 8.12所示各结构皆为静定问题。在工程实际中，有时为 了提高强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使 静定问题变成了超静定问题或静不定问题 （staticallyindeterminateproblem）。超静定问题的特点 是，独立未知力的数目大于有效静力平衡方程式的数目， 仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座反力和内力。
52
8.5 高为l的圆截面锥形杆直立于地面上，如题8.5图 所示。已知材料的重度γ和弹性模量E，试求杆在自重作 用下的轴向变形Δl。
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梁的变形分析与刚度问题
w A
F C EI B
F (2l)3 Fl3
wC1 48EI
6EI
l
wC1 l
x 2.AB刚化，BD变形
例题
例 题 13-10
D
wC1
F (2l)3 48EI
Fl 3 6EI
w
F
EA l
A
C EI
2.AB刚化，BD变形
l
wC 2
wC2
wB2 2
l
lBD 2
Bx wB2
FNBDl 2EA
BD杆轴向拉伸：
Fl 2
Fl
2EA 4EA
wC
wC1
wC 2
Fl 3 6EI
Fl 4EA
（负号表达
）
例题
例 题 13-11
已知梁旳直径d 及 a, E,G
求 fC ? C ?
解：（1）AB刚化BC变形
z
a
Ax
y
F
fC1
Fa3 3EI
C1
Fa 2 2EI
（）
B
a
B
(C截面绕 x 轴转过旳角度）
3l 2 4x2
q0l 240EI
例题
例 题 13-9
求 fC ?
q
AC EI B ll22
fC2 0
q
q
2
2
fC1
fC2
q 2
fC
fC1
5 q 2 l 384EI
4
例题
例 题 13-9
3.求构造位移旳变形叠加法——分段刚化法
q
（1） q
A
EI F
B
C
A
l
f B1 cq
第八章__变形及刚度计算
8×103 ×180 o = 0.40 / m < [θ ] 4 9 π × 0.110 80×10 × ×π 32
满足刚度条件
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半 实心圆轴受扭， 时，横截面的最大切应力是原来的 8 倍？ 圆轴的扭转角是原来的 16 倍？
τ max MT MT = = W p πd 3 16
又因为BD段内虽然轴力 又因为 段内虽然轴力 为常数， 为常数，但截面面积又分两 所以要分4段求变形 段求变形。 段，所以要分 段求变形。
∆L AE =
∑ ∆L
i
= ∆L AB + ∆L BC
FN图
+ ∆L CD + ∆L DE =
∑
FN l EA
§ 8-1 轴向拉压杆的变形
已知杆的长度、 受力如图。 例 已知杆的长度、截面面 积，受力如图。 材料的 弹性模量 E = 2.1 × 10 5 MPa。求杆的总变形 。
A1 = 250mm
50kN
2
A 2 = 200mm
30kN E
∆L AB
2
解：用直接法画轴力图 用直接法画轴力图
20kN
∆L AE =
∑ ∆L
i
= ∆L AB + ∆L BC
A B C D 1m 2m 1m 3m 10KN + – – 40KN 20KN
+ ∆L CD + ∆L DE =
∑
3
FN l EA
§8—2
圆杆扭转时的变形和刚度计算
一、扭转变形——扭转角 扭转变形 扭转角
MT 扭转角： 扭转角： ϕ = θdx = dx ∫ ∫0 GI p l
l
单位： 单位：rad
完整word版,(最新)工程力学试题库(1)
《工程力学》试题库第一章静力学基本观点4.试计算图中力 F 对于 O点之矩。
解： M O(F)=07.试计算图中力 F 对于 O点之矩。
解：M O(F)= -Fa8.试计算图中力 F 对于 O点之矩。
解：M O(F)= F(l＋r)19.画出杆 AB的受力争。
24.画出销钉 A 的受力争。
物系受力争26.画出图示物系统中杆 AB、轮 C、整体的受力争。
29.画出图示物系统中支架AD、 BC、物体 E、整体的受力争。
30.画出图示物系统中横梁AB、立柱 AE、整体的受力争。
32.画出图示物系统中梁AC、CB、整体的受力争。
第二章平面力系3.图示三角支架由杆 AB，AC铰接而成，在 A 处作用有重力 G，求出图中 AB，AC所受的力（不计杆自重）。
解:（1）取销钉 A 画受力争如下图。
AB、 AC杆均为二力杆。
（2）建直角坐标系，列均衡方程：∑F x＝0，-F AB+F AC cos60°＝ 0∑F y＝0，F AC sin60 ° -G＝0（3）求解未知量。
F AB＝（拉）F AC＝（压）4.图示三角支架由杆 AB，AC铰接而成，在 A 处作用有重力 G，求出图中 AB， AC所受的力（不计杆自重）。
解（1）取销钉 A 画受力争如下图。
AB、 AC杆均为二力杆。
（2）建直角坐标系，列均衡方程：∑F x＝0，F AB-F AC cos60°＝ 0∑F y＝0，F AC sin60 ° -G＝ 0（3）求解未知量。
F AB＝（压）F AC＝（拉）6.图示三角支架由杆 AB，AC铰接而成，在 A 处作用有重力 G，求出图中 AB，AC所受的力（不计杆自重）。
解（1）取销钉 A 画受力争如下图。
AB、 AC杆均为二力杆。
（2）建直角坐标系，列均衡方程：∑F＝0，-FAB sin30 ° +F sin30 °＝ 0x AC∑F y＝0， F AB cos30° +F AC cos30° -G＝ 0（3）求解未知量。
梁的强度与刚度
第八章梁的强度与刚度第二十四讲梁的正应力截面的二次矩第二十五讲弯曲正应力强度计算（一）第二十六讲弯曲正应力强度计算（二）第二十七讲弯曲切应力简介第二十八讲梁的变形概述提高梁的强度和刚度第二十四讲纯弯曲时梁的正应力常用截面的二次矩目的要求：掌握弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。
教学重点：弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。
教学难点：平行移轴定理及其应用。
教学内容：第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算§8-1 纯弯曲时梁的正应力一、纯弯曲概念：１、纯弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力为零，该梁段称为纯弯曲梁段。
２、剪切弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力不为零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。
二、纯弯曲时梁的正应力：１、中性层和中性轴的概念：中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。
其中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。
中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。
２、纯弯曲时梁的正应力的分布规律：以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。
３、纯弯曲时梁的正应力的计算公式：（１）、任一点正应力的计算公式：（２）、最大正应力的计算公式：其中：M---截面上的弯矩；I Z---截面对中性轴(z轴)的惯性矩； y---所求应力的点到中性轴的距离。
说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式均适用于剪切弯曲。
§8-2 常用截面的二次矩平行移轴定理一、常用截面的二次矩和弯曲截面系数：１、矩形截面：２、圆形截面和圆环形截面：圆形截面圆环形截面其中：３、型钢：型钢的二次矩和弯曲截面系数可以查表。
二、组合截面的二次矩平行移轴定理１、平行移轴定理：截面对任一轴的二次矩等于它对平行于该轴的形心轴的二次矩，加上截面面积与两轴之间的距离平方的乘积。
I Z1=I Z+a2A２、例题：例1：试求图示T形截面对其形心轴的惯性矩。
解：1、求T形截面的形心座标yc2、求截面对形心轴z轴的惯性矩第二十五讲弯曲正应力强度计算（一）目的要求：掌握塑性材料弯曲正应力强度计算。
材料力学第8章梁的位移分析与刚度设计
材料力学第8章梁的位移分析与刚度设计梁的位移分析与刚度设计是材料力学中的重要内容，本章将详细讨论这一主题。
首先，我们将学习如何计算梁在受力作用下的位移，然后将介绍梁的刚度设计。
梁的位移分析是研究在给定外力作用下梁的变形情况。
梁的位移是描述梁形变的一个重要参数，它可以反映梁的刚度特性。
在计算梁的位移时，我们需要应用位移-力关系。
梁的位移可以通过积分方法求解。
首先，我们可以根据梁的几何形状和外力作用情况建立梁的运动方程。
然后，可以利用平衡方程进行求解。
在求解过程中，我们需要考虑梁的边界条件和材料的力学特性，如杨氏模量和截面积。
一般情况下，我们可以将梁的位移分为两个部分：切向位移和法向位移。
切向位移是梁沿梁轴方向的位移，用u表示。
法向位移是梁在横截面上的位移，用v表示。
通过计算这两个位移，可以得到梁的整体位移。
梁的位移分析对于工程设计非常重要。
它可以帮助我们了解梁的形变情况，从而设计更合理的结构。
此外，梁的位移还可以用于计算应力和应变，进一步分析梁的受力情况。
梁的刚度设计是根据梁的位移要求设计梁的刚度。
刚度是指梁对力的抵抗能力，可以表示梁的刚度特性。
在刚度设计中，我们需要根据梁的应力要求确定梁的截面形状和尺寸。
刚度设计的目标是使梁在承受一定荷载下的变形满足设计要求。
在设计过程中，我们需要考虑梁的强度和刚度，以确保梁的安全性和稳定性。
此外，我们还需要考虑经济性，尽可能减少材料的使用量。
在刚度设计中，我们可以使用材料的力学性质和梁的几何尺寸来计算梁的刚度。
常用的方法有弹性理论法和极限平衡法。
在弹性理论法中，我们可以根据梁的几何形状和外力作用，利用弹性力学公式计算梁的刚度。
在极限平衡法中，我们可以根据荷载条件和材料的破坏特性，计算梁的刚度限制。
总结起来，梁的位移分析与刚度设计是材料力学中的重要内容。
通过位移分析，我们可以了解梁的形变情况，并计算应力和应变。
刚度设计则可以帮助我们设计梁的刚度，确保结构的安全性和稳定性。
材料力学第8章梁的位移分析与刚度设计
梁的刚度设计的方法
梁的刚度设计可以采用多种方法，包括链接刚度法、等位弯矩法和等位剪力 法。这些方法根据不同的设计要求和结构特点选择使用。
• 链接刚度法：根据梁的端部连接方式和约束条件，计算刚度。 • 等位弯矩法：根据梁结构的弯矩分布，确定刚度。 • 等位剪力法：根据梁结构的剪力分布，确定刚度。
梁的刚度设计的实例分析
材料力学第8章梁的位移 分析与刚度设计
欢迎来到材料力学第8章的学习，今天我们将讨论梁的位移分析和刚度设计。 通过深入了解这些内容，您将掌握梁的变形规律和如何设计具有所需刚度的 梁结构。
梁的位移分析的目的
梁的位移分析旨在确定在给定荷载下梁结构的变形和位移。这有助于评估结 构的稳定性和合理性。
梁的位移分析方法
梁的位移分析可以使用多种方法进行，包括三公式法、超柔度法和部分均布 荷载法。每种方法都有其适用的情况。
• 三公式法：适用于较简单的力学模型。 • 超柔度法：适用于复杂的结构和不规则荷载。 • 部分均布荷载法：适用于均布荷载作用下的梁结构。
梁的刚度设计的原理
梁的刚度设计的原理是通过合理的截面设计和荷载分配来提供所需的结构刚 度。刚度设计旨在确保结构在服役荷载下具有合适的刚度和稳定性。
梁的位移分析与刚度设计的相关工程实例
最后，我们将探讨一些实际工程案例，展示梁的位移分析和刚度设计在真实项目中的应用。通过这些实例，您 将பைடு நூலகம்好地理解梁结构设计的挑战和解决方案。
让我们通过一些实例分析来加深对梁刚度设计的理解。使用不同的方法，我 们将设计和评估具有所需刚度的梁结构，并探讨设计选项的优劣。
梁的刚度设计的注意事项
在进行梁的刚度设计时，需要注意以下几点： • 合理的截面选择：选择适当的截面形状和尺寸，以满足刚度要求。 • 约束条件的考虑：考虑梁的端部约束条件对刚度的影响。 • 侧刚度的满足：确保梁在侧向荷载作用下具有足够的刚度。 • 梁的稳定性分析：分析梁结构的稳定性，确保其在设计荷载下不会失稳。
结构力学 第八章
根据工字形截面的特点,可知,截面的最大弯曲正应力为
σ max
8-2、受集度为 q 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为α=30o， 如图所示。己知该梁材料的弹性模量 E=10GPa；梁的尺寸为 l=4m，h=160mm；b=120mm；许用应力 [σ]=l20MPa;许可挠度[w]=l/1150。试校核梁的强度和刚度。
max My = F2 l = 1.0 × 0.8 = 0.8 ( kN .m )
14 号工字钢的抗弯截面模量分别为
Wz = 102cm3 ;
Wy = 16.1cm3
max 3 × 103 0.8 ×103 M zmax M y = + = + = 79.1× 106 ( Pa ) −6 −6 102 × 10 16.1×10 Wz Wy
8-10、受拉构件形状如图，己知截面尺寸为 40mm×5mm，承受轴向拉力 F=l2kN。现拉杆开有切口，如不 计应力集中影响，当材料的[σ]=100MPa 时，试确定切口的最大许可深度，并绘出切口截面的应力变 化图。
38MPa
100 MPa A-A 截面应力分布图
解、由于切口的存在，在切口截面载荷为偏心力，切口截面上的轴力和弯矩分别为
3 3 2⎤ ⎡1 ⎤ ⎡1 I zC = ⎢ ( 4a )( 2a ) + ( 4a )( 2a ) a 2 ⎥ + ⎢ a ( 4a ) + ( 4a )( a )( 2a ) ⎥ = 32a 4 ⎣12 ⎦ ⎣12 ⎦ 1 1 3 I yC = ( 2a )( 4a ) + ( 4a ) a 3 = 11a 4 12 12
2
, FN = qx x = qx sin α
第8章 梁的弯曲变形及其刚度计算(练习题)
在自由端承受集中力P作用的悬臂梁AB长度为l，
EI为常数。试求其转角与挠度方程，以及最大的转角
θmax与挠度ymax。
第8章 梁的弯曲变形及其刚度计算(练习题)
一、单项选择题
1、通常我们用（
A.挠度和转角 答案：A
）度量梁的弯曲变形。
C.角应变 D.应变
B.单位长度扭转角
bh3 8b 4 I1 12 12
hb 2b 1 I2 I1 12 12 4
3 4
bh2 4b 3 W1 6 6
hb 2 2b 3 1 W2 W1 6 6 2
wmax 2 4wmax 1
max 2 2 max 1
第8章 梁的弯曲变形及其刚度计算(练习题)
就能减小 max 。而梁的最大挠度和转角却与整个梁的 EI 都有关， 局部加大
第8章 梁的弯曲变形及其刚度计算(练习题)
2、如图所示，高宽比h/b=2的矩形截面梁，若将梁的横截 面由竖放改为平放，其它条件不变，则梁的最大挠度和最大正
应力分别为原来的——倍。
A.2和2 B.4和2 F
F
C.4和4
D.8和4
c h
z
y b
第8章 梁的弯曲变形及其刚度计算(练习题)
答案：B
wmax 与 EI 成反比， max 与 W 成反比。
一、单项选择题
3、在等直梁的最大弯矩所在截面附近，局部加大横截面的尺寸（ ）。
A.仅对提高梁的强度是有效的 C.对提高梁的强度和刚度都有效 B. 仅对提高梁的刚度是有效的 D. 对Wz
，式中 W z 是 M max 所在截面的抗弯截面系数，加大它 并不能显著地减小变形。 I
提高梁的强度和刚度的措施_工程力学_[共8页]
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平面弯曲内力 136第8章8.8提高梁的强度和刚度的措施从梁的弯曲正应力公式max max z M W σ=可知，梁的最大弯曲正应力与梁上的最大弯矩W max 成正比，与弯曲截面系数W z 成反比；从梁的挠度和转角的表达式可以看出梁的变形与跨度l 的高次方成正比，与梁的抗弯刚度EI z 成反比。
依据这些关系，可以采用以下措施来提高梁的强度和刚度，在满足梁的抗弯能力前提下，尽量减少材料的消耗。
1．合理安排梁的支承在梁的尺寸和截面形状已经设定的条件下，合理安排梁的支承，可以起到降低梁上最大弯矩的作用，同时也缩小了梁的跨度，从而提高了梁的强度和刚度。
以图8-25（a ）所示均布载荷作用下的简支梁为例，若将两端支座各向里侧移动0.2l ，如图8-25（b ）所示，梁上的最大弯矩只及原来的1/5，同时梁上的最大挠度和最大转角也变小了。
图8-25均布载荷作用下简支梁支撑的合理安排工程上常见的锅炉筒体和龙门吊车大梁的支承不在两端，而向中间移动一定的距离，就是这个道理，如图8-26（a ）、（b ）所示。
图8-26 工程中常见的支撑安排2．合理布置载荷载荷布置得合理也可以收到降低最大弯矩的效果。
例如将轴上的齿轮安置得紧靠轴承，就8.8本章小结137 会使齿轮传到轴上的力F 紧靠支座。
如图8-27所示的情况，轴的最大弯矩仅为max 536M Fl =；但如把集中力F 作用于轴的中点，则M max = Fl /4。
相比之下，前者的最大弯矩就减少很多。
此外，在情况允许的条件下，应尽可能把较大的集中力分散成较小的力，或者改变成分布载荷。
例如把作用于跨度中点的集中力F 分散成图8-28所示的两个集中力，则最大弯矩将由max 4Fl M =降为max 8Fl M =。
图8-27 齿轮上载荷的合理布置—载荷紧靠支座 图8-28 齿轮上载荷的合理布置—载荷分散 3．选择梁的合理截面梁的合理截面应该是用较小的截面面积获得较大的弯曲截面系数（或较大的截面二次矩）。
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解：画出梁的弯矩图如图，最大弯矩在梁中
点。 由
矩形截面弯曲截面系数：
h=2b=0.238m 最后取h=240mm,b=120mm
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第二十六讲 弯曲正应力强度计算（二）
目的要求：掌握脆性材料的弯曲正应力强度
计算。
教学重点：脆性材料的弯曲正应力强度计算。
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解：（1）求出梁的支座反力为 FA=0.75kN,FB=3.75kN （2）作梁的弯矩图如图（b） （3）分别校核B、C截面 B截面
可见最大拉应力发生在C截面的下边缘。 以上校核知：梁的正应力强度满足。 C截面
可见最大拉应力发生在C截 的下边缘。 以上校核知：梁的正应力强度满足。
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二、纯弯曲时梁的正应力：
１、中性层和中性轴的概念： 中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长， 有的变短。其中有一层既不伸长也不缩短， 这一层称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。
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三、 选择合理的截面：
１、截面的布置应该尽可能远离中性轴。 工字形、槽形和箱形截面都是很好的选择。 ２、脆性材料的抗拉能力和抗压能力不等， 应选择上下不对称的截面，例如T字形截面。
教学难点：脆性材料的正应力分布规律及
弯曲正应力强度条件的建立。
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一、 脆性材料梁的弯曲正应力分析
1、脆性材料的弯曲梁其截面一般上下不对称，例如T字形截
面梁。
2、脆性材料的弯曲正应力强度计算中，脆性材料的抗拉强
度和抗压强度不等，抗拉能力远小于抗压能力，弯曲正应力 强度计算要分别早找出最大拉应力和最大压应力。
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§8-3 弯曲正应力强度计算
一、 弯曲正应力强度条件：
１、 对于塑性材料，一般截面对中性轴上下 对称，最大拉、压应力相等，而塑性材料的 抗拉、压强度又相等。
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塑性材料的弯曲正应力强度条件为：
（1）、强度校核 （2）、截面设计 （3）、确定许可荷载
目的要求：掌握弯曲梁正应力的计算和正应力
分布规律。
教学重点：弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。
教学难点：平行移轴定理及其应用。
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§8-1 纯弯曲时梁的正应力
一、 纯弯曲概念：
１、纯弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力为零， 该梁段称为纯弯曲梁段。 ２、剪切弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力不为 零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。
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§8-7 提高梁的强度和刚度的措施
一、 合理安排梁的支承：
例如剪支梁受均布载荷，若将两端的支座均 向内移动0.2L，则最大弯矩只有原来最大弯 矩的五分之一。（图）
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二、 合理布置载荷：
将集中力变为分布力将减小最大弯矩的值。
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三、梁的刚度条件：梁的刚度计算以挠度为主
梁的刚度条件： ωmax≤[ω] θmax≤[θ] 1、刚度校核 2、截面设计 3、确定许可荷载 在设计梁时，一般是先按强度条件选择截面或许 可荷载，再用刚度条件校核，若不满足，再按刚度 条件设计。
解：1、求T形截面的形心座标yc
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2、求截面对形心轴z轴的惯性矩
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第二十五讲 弯曲正应力强度计算（一）
目的要求：掌握塑性材料弯曲正应力强度
计算。
教学重点：弯曲正应力强度条件的应用。
教学难点：弯曲正应力强度条件的理解。
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第八章 梁的强度与刚度
第二十四讲 梁的正应力
截面的二次矩 第二十五讲 弯曲正应力强度计算（一） 第二十六讲 弯曲正应力强度计算（二） 第二十七讲 弯曲切应力简介 第二十八讲 梁的变形概述 提高梁的强度和刚度
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第二十四讲 纯弯曲时梁的正应力 常用截面的二次矩
说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式 均适用于剪切弯曲。
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§8-2 常用截面的二次矩
平行移轴定理
一、常用截面的二次矩和弯曲截面系数：
１、矩形截面：
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２、圆形截面和圆环形截面：
圆形截面
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圆环形截面
故需重选。重选No.14号工字钢，h=140mm,δ=9.1mm,b=5.5mm。 虽然大于许用应力，但不 超过５％，设计规范允许 故可选用No.14工字钢。
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第二十八讲 梁的变形
提高梁的强度和刚度的措施
目的要求：掌握叠加法计算梁的变形。
教学重点：叠加法计算梁的变形。
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三、 最大弯曲切应力的计算：
１、 矩形截面梁：最大弯曲切应力是平均应力的1.5倍
２、 圆形截面梁：最大弯曲切应力是平均应力的三分之四
３、 工字钢：最大弯曲切应力有两种算法 （１）、 公式：
（２）、 认为最大弯曲切应力近似等于腹板的平均切应力。
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２、挠曲线方程：梁各点的挠度若能表达成
坐标的函数，其函数表达式称为挠曲线方程。 挠曲线方程 ｗ＝ｆ(ｘ) 挠曲线方程对坐标的一阶导数等于转角方程。
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§8-6 用叠加法计算梁的变形
一、 叠加原理：在弹性范围内，多个载荷引起的某
量值（例如挠度），等于每单个载荷引起的某量值 （挠度）的叠加。
教学难点：提高梁的强度和刚度的措施的理解。
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§8-5 梁的变形概述
１、挠度和转角：梁变形后杆件的轴线由直
线变为一条曲线。梁横截面的形心在铅垂方 向的位移称为挠度。挠度向上为正，向下为 负。梁横截面转动的角度称为转角，转角逆 时针转动为正，顺时针转动为负。
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２、 弯曲正应力强度计算的步骤为：
(１)、 画梁的弯矩图，找出最大弯矩 （危险截面）。 (２)、 利用弯曲正应力强度条件求解。
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二、例题：
例1：简支矩形截面木梁如图所示，L=5m,承
受均布载荷q=3.6kN/m，木材顺 纹许用应力 ［σ］＝10MPa，梁截面的高宽比h/b=2，试 选择梁的截面尺寸。
２、纯弯曲时梁的正应力的分布规律：
以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯 矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线 性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿 点。
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３、纯弯曲时梁的正应力的计算公式：
（１）、任一点正应力的计算公式：
（２）、最大正应力的计算公式：
其中：M---截面上的弯矩； IZ---截面对中性轴(z轴)的惯性矩； y---所求应力的点到中性轴的距离。
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解：1、作梁的弯矩图如图（b）
由梁的弯矩图可得： 2、强度校核
σmax>[σ] 即：此梁的强度不够。
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例2：T型截面铸铁梁如图，
Iz=136×104mm4,y1=30mm,y2=50mm,铁铸 的抗拉许用应力[σt]＝30MPa，抗压许用应力 [σc]＝160MPa，F=2.5kN,q=2kN/m，试校核 梁的强度。
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第二十七讲 弯曲切应力简介
目的要求：掌握弯曲切应力的强度计算。
教学重点：最大弯曲切应力的计算。 教学难点：弯曲切应力公式的理解。
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§8-4 弯曲切应力简介
一、 弯曲切应力：
１、 梁横截面上的剪力由弯曲切应力成。 ２、 梁横截面上的弯曲切应力成二次抛物线 规律分布，中性轴处最大，上下边沿点为 零。 （如图）
二、 用叠加法计算梁的变形：
１、步骤：将梁分为各个简单载荷作用下的几个 梁，简单载荷作用下梁的变形（挠度和转角）可查 表得到。然后再叠加。 ２、例题：
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例1：用叠加法求(a)图所示梁的最大挠度yc和
最大转角θc。 解：图(a)可分解为(b)、（c）两种情况的 叠加，分别查表得
３、 由于脆性材料的弯曲梁其截面一般上下不对称，上下边
沿点到中性轴的距离不等，因此最大拉、压应力不一定发生 在弯矩绝对值最大处，要全面竟进行分析。
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三、 例题：
例1：如图所示的矩形截面外伸梁，
b=100mm，h=200mm，P1=10kN， P2=20kN，[σ]=10MPa，试校核此梁的强度。
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二、组合截面的二次矩 平行移轴定理
１、平行移轴定理：
截面对任一轴的二次矩等于它对平行于该 轴的形心轴的二次矩，加上截面面积与两轴 之间的距离平方的乘积。
IZ1=IZ+a2A
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２、例题：
例1：试求图示T形截面对其形心轴τ] [τ]---梁所用材料的许用切应力