第8章 梁的强度与刚度

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二、纯弯曲时梁的正应力：
１、中性层和中性轴的概念： 中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长， 有的变短。其中有一层既不伸长也不缩短， 这一层称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。
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故需重选。重选No.14号工字钢，h=140mm,δ=9.1mm,b=5.5mm。 虽然大于许用应力，但不 超过５％，设计规范允许 故可选用No.14工字钢。
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第二十八讲 梁的变形
提高梁的强度和刚度的措施
目的要求：掌握叠加法计算梁的变形。
教学重点：叠加法计算梁的变形。
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第八章 梁的强度与刚度
第二十四讲 梁的正应力


截面的二次矩 第二十五讲 弯曲正应力强度计算（一） 第二十六讲 弯曲正应力强度计算（二） 第二十七讲 弯曲切应力简介 第二十八讲 梁的变形概述 提高梁的强度和刚度
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第二十四讲 纯弯曲时梁的正应力 常用截面的二次矩
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第二十七讲 弯曲切应力简介
目的要求：掌握弯曲切应力的强度计算。
教学重点：最大弯曲切应力的计算。 教学难点：弯曲切应力公式的理解。
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§8-4 弯曲切应力简介
一、 弯曲切应力：
１、 梁横截面上的剪力由弯曲切应力成。 ２、 梁横截面上的弯曲切应力成二次抛物线 规律分布，中性轴处最大，上下边沿点为 零。 （如图）
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二、组合截面的二次矩 平行移轴定理
１、平行移轴定理：
截面对任一轴的二次矩等于它对平行于该 轴的形心轴的二次矩，加上截面面积与两轴 之间的距离平方的乘积。
IZ1=IZ+a2A
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２、例题：
例1：试求图示T形截面对其形心轴的惯性矩。
２、挠曲线方程：梁各点的挠度若能表达成
坐标的函数，其函数表达式称为挠曲线方程。 挠曲线方程 ｗ＝ｆ(ｘ) 挠曲线方程对坐标的一阶导数等于转角方程。
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§8-6 用叠加法计算梁的变形
一、 叠加原理：在弹性范围内，多个载荷引起的某
量值（例如挠度），等于每单个载荷引起的某量值 （挠度）的叠加。
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解：画出梁的弯矩图如图，最大弯矩在梁中
点。 由
矩形截面弯曲截面系数：
h=2b=0.238m 最后取h=240mm,b=120mm
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第二十六讲 弯曲正应力强度计算（二）
目的要求：掌握脆性材料的弯曲正应力强度
计算。
教学重点：脆性材料的弯曲正应力强度计算。
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三、 选择合理的截面：
１、截面的布置应该尽可能远离中性轴。 工字形、槽形和箱形截面都是很好的选择。 ２、脆性材料的抗拉能力和抗压能力不等， 应选择上下不对称的截面，例如T字形截面。
３、 由于脆性材料的弯曲梁其截面一般上下不对称，上下边
沿点到中性轴的距离不等，因此最大拉、压应力不一定发生 在弯矩绝对值最大处，要全面竟进行分析。
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三、 例题：
例1：如图所示的矩形截面外伸梁，
b=100mm，h=200mm，P1=10kN， P2=20kN，[σ]=10MPa，试校核此梁的强度。
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２、 弯曲正应力强度计算的步骤为：
(１)、 画梁的弯矩图，找出最大弯矩 （危险截面）。 (２)、 利用弯曲正应力强度条件求解。
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二、例题：
例1：简支矩形截面木梁如图所示，L=5m,承
受均布载荷q=3.6kN/m，木材顺 纹许用应力 ［σ］＝10MPa，梁截面的高宽比h/b=2，试 选择梁的截面尺寸。
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解：（1）求出梁的支座反力为 FA=0.75kN,FB=3.75kN （2）作梁的弯矩图如图（b） （3）分别校核B、C截面 B截面
可见最大拉应力发生在C截面的下边缘。 以上校核知：梁的正应力强度满足。 C截面
可见最大拉应力发生在C截 的下边缘。 以上校核知：梁的正应力强度满足。
２、纯弯曲时梁的正应力的分布规律：
以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯 矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线 性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿 点。
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３、纯弯曲时梁的正应力的计算公式：

（１）、任一点正应力的计算公式：
（２）、最大正应力的计算公式：

其中：M---截面上的弯矩； IZ---截面对中性轴(z轴)的惯性矩； y---所求应力的点到中性轴的距离。
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三、梁的刚度条件：梁的刚度计算以挠度为主
梁的刚度条件： ωmax≤[ω] θmax≤[θ] 1、刚度校核 2、截面设计 3、确定许可荷载 在设计梁时，一般是先按强度条件选择截面或许 可荷载，再用刚度条件校核，若不满足，再按刚度 条件设计。
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§8-3 弯曲正应力强度计算
一、 弯曲正应力强度条件：
１、 对于塑性材料，一般截面对中性轴上下 对称，最大拉、压应力相等，而塑性材料的 抗拉、压强度又相等。
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塑性材料的弯曲正应力强度条件为：
（1）、强度校核 （2）、截面设计 （3）、确定许可荷载
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三、 最大弯曲切应力的计算：
１、 矩形截面梁：最大弯曲切应力是平均应力的1.5倍
２、 圆形截面梁：最大弯曲切应力是平均应力的三分之四
３、 工字钢：最大弯曲切应力有两种算法 （１）、 公式：
（２）、 认为最大弯曲切应力近似等于腹板的平均切应力。
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教学难点：提高梁的强度和刚度的措施的理解。
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§8-5 梁的变形概述
１、挠度和转角：梁变形后杆件的轴线由直
线变为一条曲线。梁横截面的形心在铅垂方 向的位移称为挠度。挠度向上为正，向下为 负。梁横截面转动的角度称为转角，转角逆 时针转动为正，顺时针转动为负。
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解：1、作梁的弯矩图如图（b）
由梁的弯矩图可得： 2、强度校核
σmax>[σ] 即：此梁的强度不够。
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例2：T型截面铸铁梁如图，
Iz=136×104mm4,y1=30mm,y2=50mm,铁铸 的抗拉许用应力[σt]＝30MPa，抗压许用应力 [σc]＝160MPa，F=2.5kN,q=2kN/m，试校核 梁的强度。
教学难点：脆性材料的正应力分布规律及
弯曲正应力强度条件的建立。
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一、 脆性材料梁的弯曲正应力分析
1、脆性材料的弯曲梁其截面一般上下不对称，例如T字形截
面梁。
2、脆性材料的弯曲正应力强度计算中，脆性材料的抗拉强
度和抗压强度不等，抗拉能力远小于抗压能力，弯曲正应力 强度计算要分别早找出最大拉应力和最大压应力。
目的要求：掌握弯曲梁正应力的计算和正应力
分布规律。
教学重点：弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。
教学难点：平行移轴定理及其应用。
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§8-1 纯弯曲时梁的正应力
一、 纯弯曲概念：
１、纯弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力为零， 该梁段称为纯弯曲梁段。 ２、剪切弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力不为 零（存在剪力），该梁段称为剪切弯曲梁段。
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§8-7 提高梁的强度和刚度的措施
一、 合理安排梁的支承：
例如剪支梁受均布载荷，若将两端的支座均 向内移动0.2L，则最大弯矩只有原来最大弯 矩的五分之一。（图）
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二、 合理布置载荷：
将集中力变为分布力将减小最大弯矩的值。
说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式 均适用于剪切弯曲。
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§8-2 常用截面的二次矩
平行移轴定理
一、常用截面的二次矩和弯曲截面系数：
１、矩形截面：
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２、圆形截面和圆环形截面：
圆形截面
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圆环形截面
二、 用叠加法计算梁的变形：
１、步骤：将梁分为各个简单载荷作用下的几个 梁，简单载荷作用下梁的变形（挠度和转角）可查 表得到。然后再叠加。 ２、例题：
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例1：用叠加法求(a)图所示梁的最大挠度yc和
最大转角θc。 解：图(a)可分解为(b)、（c）两种情况的 叠加，分别查表得
解：1、求T形截面的形心座标yc
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2、求截面对形心轴z轴的惯性矩
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第二十五讲 弯曲正应力强度计算（一）
目的要求：掌握塑性材料弯曲正应力强度
计算。
教学重点：弯曲正应力强度条件的应用。
教学难点：弯曲正应力强度条件的理解。
四、 弯曲切应力的强度计算： １、 强度条件： பைடு நூலகம்max≤[τ] [τ]---梁所用材料的许用切应力
２、 例题：
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例１：如图所示简支梁，许用正应力
[σ]=140MPa，许用切应力[τ]=80MPa，试选 择工字钢型号。
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解： （１）由平衡方程求出支座反力 FA=6kN, FB=54kN （２）画出剪力图弯矩图 （３）由正应力强度条件选择型号 查型钢表：选用No.12.6号工字钢。 Wz=77.529cm3,h=126mm， δ=8.4mm, b=5mm （４）切应力校核