(完整版)2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计

2．4．1 平面向量数量积的物理背景及其含义

温溪高中徐佳

一、背景分析

1、学习任务分析

平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。

2、学生情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是较难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点仍是数量积的概念。

二、教学目标

1.知识与技能：掌握平面向量的数量积的定义、运算律及其物理意义。

2.过程与方法：

（1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和数学的关系。

（2）通过向量数量积定义的得出，体会简单归纳与严谨定义的区别。

(3)通过向量数量积分配律的学习，体会类比，猜想，证明的探索式学习方法。

3. 情感、态度与价值观：

通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。

三、教学重点、难点

重点：平面向量数量积的定义

难点：平面向量数量积的定义及平面向量数量积的定义的应用。

四、教学基本流程

五、教学准备

1实验教具：计算机、黑板、粉笔

2、教学支持资源：制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内容的呈现方式，以此来节约课时，增加课堂容量。

六、教学过程

思考3:对于两个非零向量a 与b , 设其夹角为B,把丨a| | b | cos B 叫 做a 与b 的数量积（或内积），记作 a • b ，即卩 a • b= | a| | b | cos 0 .

那么a • b 的运算结果是向量还是数 量？ 思考4：对于两个非零向量a 与b ， 其数量积a • b 何时为正数？何时为 负数？何时为零？

思考5:对于两个非零向量a 与b ， 设其夹角为0,那么| a | cos 0的几 何意义如何？

思考6:对于两个非零向量a 与b ， 设其夹角为0，| a | cos 0叫做向量 a 在b 方向上的投影.那么该投影一 定是正数吗？向量b 在a 方向上的投 影是什么？ 小结：向量的几何意义及投影的概念

定义 形成 探究 （一 ）:平 面向 量数 量积 的背 景与 含义

是F 与s 的夹角

思考2:功是一个标量，它由力和位 移两个向量所确定，能否把“功”看 学生理解 数量积的 定义。 回答后归

纳夹角特 征：两个 成两个向量的一种运算的结果？从 向量同起 中你得到那些启示？

小结：向量的数量积的定义及夹角的 点，若不 同起点平 为了数学自身的完 善，而是有其客观 背景和现实意义 的，从而产生了进 一步研究这种新运 算的愿望。使学生 在形式上认识数量 积的定义。

特征。

移至同起 占。

教师提出 问题，学 生思考。 教师可在

学生回答 的基础上 进一步归 纳夹角对 投影的正 负情况的 影响，加 深学生对 投影的认 识。

这样做不仅让学生 从“形”的角度重 新认识数量积的概 念，从中体会数量 积与向量投影的关 系，同时也更符合 知识的连贯性。让 学生体会数学的概 括性、严谨性及可 操作性。

少？ 力做的功：

W= | F| |s|cos ，