二次函数与相似

二次函数与相似

相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探究两个三角形

相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等。

判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验。

如果已知∠A=∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边分别表示出来，按照对应边成比例，

分和两种情况列方程。

应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等。

应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）。

还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个一个直角三角形的锐角三角比

是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题。

1.(河南倒一)如图，直线与轴交于点A(3,0)，与轴交于点B，抛物线经过点A，B.

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；

（2）M（m，0）为轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N，

①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；

②点M在轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），

则称M，P，N三点为“共谐点”.请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值.

2.（武汉倒一）已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx上

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；

（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个

单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM=2PM，直接写出t的值．

3.（淄博倒一）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（1.5,0），在第一象限内与

直线y=x交于点B（2，t）．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；

（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4.（海南倒一）抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(5,0).

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）该抛物线与直线y=0.6x+3 相交于C、D两点,点P是抛物线上的动点且位于x轴下方.直线PM⊥x轴,分别与x 轴和直线CD交与点M、N.

①连结PC、PD,如图1,在点P运动过程中,△PCD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由；

②连结PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2.是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.

5.（2017·山东莱芜）抛物线y=ax2+bx+c过A（2,3）、B（4,3）、C（6，-5）三点.

（1）求抛物线的表达式

（2）如图①，抛物线上一点D在线段AC的上方，DE⊥AB交AC于点E，若满足，求点D的坐标. （3）如图②，F为抛物线顶点，过A作直线⊥AB，若点P在直线上运动，点Q在轴上运动，是否存在这样

的点P、Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与△ABF相似，若存在，求P、Q的坐标，并求此时△BPQ的面积；若不存在，请说明理由.

6.已知,抛物线y=a x2+bx+3(a<0)与x轴交于A(3,0)、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=1,D为抛物线的顶点,点E在y轴C点的上方,且CE=1/2.

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

(2)求证:直线DE是△ACD外接圆的切线;

(3)在直线AC上方的抛物线上找一点P,使S△ACP=1/2S△ACD ,求点P的坐标;

(4)在坐标轴上找一点M,使以点B、C、M为顶点的三角形与△ACD相似,直接写出点M的坐标.

7.如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．

（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；

（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落

在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；

（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．

1.【答案】（1）B（0，2），；（2）①点M的坐标为（，0）或M（，0）；②m=-1或m=或m=.

试题解析：

（1）直线与轴交于点，

∴，解得c=2

∴B（0，2），

∵抛物线经过点，

∴，∴b=

∴抛物线的解析式为；

（2）∵轴，M（m，0），∴N()

①有（1）知直线AB的解析式为，OA=3，OB=2

∵在△APM中和△BPN中，∠APM=∠BPN, ∠AMP=90°，

若使△APM中和△BPN相似，则必须∠NBP=90°或∠BNP =90°，

分两种情况讨论如下：

（I）当∠NBP=90°时，过点N作NC轴于点C，

则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m，

BC=

∵∠NBP=90°，∴∠NBC+∠ABO=90°，来源学|科|网

∴∠BNC=∠ABO，

∴Rt△NCB∽Rt△BOA