第五讲一元二次方程的整数整数解
一元二次方程的正整数解拔高题
训练专题三——一元二次方程的整数解一、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．（5分）若关于x的方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数时k的值有_________个．2．（5分）已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x﹣a﹣1=0的根都是一整数，那么符合条件的整数a有_________个．3．（5分）已知方程x2﹣1999x+m=0有两个质数解，则m=_________．4．（5分）给出四个命题：①整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根只能是无理数；④若a、b、c均为奇数，则方程ax2+bx+c=0没有有理数根，其中真命题是_________．5．（5分）已知关于x的一元二次方程x2+（2a﹣1）x+a2=0（a为整数）的两个实数根是x1、x2，则=_________．二、选择题（共1小题，每小题4分，满分4分）6．（4分）已知a，b为质数且是方程x2﹣13x+c=0的根，那么的值是（）A．B．C．D．三、解答题（共12小题，满分91分）7．（8分）试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r﹣1=0有根且只有整数根．8．（8分）当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1=0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．9．（8分）若关于x的方程ax2﹣2（a﹣3）x+（a﹣13）=0至少有一个整数根，求非负整数a的值．10．（8分）设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根．11．（7分）已知关于x的方程a2x2﹣（3a2﹣8a）x+2a2﹣13a+15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，求a的值．12．（6分）求使关于x的方程kx2+（k+1）x+（k﹣1）=0的根都是整数的k值．13．（6分）当n为正整数时，关于x的方程2x2﹣8nx+10x﹣n2+35n﹣76=0的两根均为质数，试解此方程．14．（6分）设关于x的二次方程（k2﹣6k+8）x2+（2k2﹣6k﹣4）x+k2=4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．15．（6分）已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2+2（2a﹣1）x+4（a﹣3）=0 至少有一个整数根，求a的值．16．（6分）已知p为质数，使二次方程x2﹣2px+p2﹣5p﹣1=0的两根都是整数，求出p的所有可能值．17．（12分）已知方程x2+bx+c=0与x2+cx+b=0各有两个整数根x1，x2，和x1′，x2′，且x1x2＞0，x1′x2′＞0．（1）求证：x1＜0，x2＜0，x1′＜0，x2′＜0；（2）求证：b﹣1≤c≤b+1；（3）求b，c的所有可能的值．18．（10分）如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程mx2﹣2x﹣m+1=0的根（m为整数），这样的直角三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．新课标九年级数学竞赛培训第05讲：一元二次方程的整数解参考答案与试题解析一、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）1．（5分）若关于x的方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的解都是整数，则符合条件的整数时k的值有5个．考点：一元二次方程的整数根与有理根。
一元二次方程整数解问题
一元二次方程整数解问题
对于“一元二次方程整数解问题”，我们首先一起来理解这个问题。
一元二次方程是数学中一种基础的方程形式，形如ax²+bx+c=0，其中a，b，c为已知数，x为未知数。
而整数解，则是指这个方程的解为整数。
给定一元二次方程ax²+bx+c=0，要求其整数解，我们需要先判断此方程是否有解。
这需要用到判别式Δ=b²-4ac。
如果Δ大于等于0，方程才有解。
得出两个根分别为x1=(-b+sqrt(Δ))/2a和x2=(-b-sqrt(Δ))/2a。
然后我们需要判断这两个根是否为整数。
即判断sqrt(Δ)是否为2a的倍数。
如果是，那么这两个解就为整数解。
例如，对于一元二次方程2x²-3x-2=0，首先计算判别式Δ=(-3)²-(4*2*-2)=25，然后求解得到两个根为x1=(3+sqrt(25))/2*2=5/2和x2=(3-sqrt(25))/2*2=-1/2。
可以看到这两个解都不是整数，所以这个方程没有整数解。
再例如，对于一元二次方程x²-5x+6=0，首先计算判别式Δ=(-5)²-(4*1*6)=1，然后求解得到两个根为x1=(5+sqrt(1))/2=3和x2=(5-sqrt(1))/2=2。
可以看到这两个解都是整数，所以这个方程的整数解为3和2。
通过以上的分析，你应该对一元二次方程整数解问题有所理解了。
若方程有解并且根为整数，则该方程有整数解；若没有解或者虽有解但解不为整数，则该方程没有整数解。
这就是一元二次方程整数解问题的全部内容。
一元二次方程整数根
23．（本小题满分7分）已知：关于x的一元二次方程2(32)220
--+-=．
m x m x m （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y=2(32)22
mx m x m
--+-
总过x轴上的一个固定点；
（3）若m为正整数，且关于x的一元二次方程2(32)220
--+-=有
m x m x m
两个不相等的整数根，把抛物线y=2(32)22
--+-向右平移4个单位长
mx m x m
度，求平移后的抛物线的解析式．（11房山一模）
23．已知：关于x的一元二次方程23(1)230
m为实数
m x m x m
--+-=()
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根；
（3）若m为整数，且方程的两个根均为正整数，求m的值.（11顺义一模）
23. 已知关于x 的方程(m -1)x 2-(2m-1)x +2=0有两个正整数根.
(1) 确定整数m 值；
(2) 在（1）的条件下，利用图象写出方程
(m -1)x 2-(2m -1)x +2+
x m =0的实数根的个数. （11东城一模）
23. 已知关于x 的方程k x 2+2x +2-k=0 (k 大于等于1)
（1）求证：方程总有两个是实数根；
（2）当k 取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数?(10东城二模)。
初中数学与整数有关的含参数一元二次方程的解法-9页精选文档
初中数学与整数有关的含参数一元二次方程的解法对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，基本依据是判别式，而必须具体问题具体分析。
这里经常要用到一些整除性质。
一元二次方程的整数解历来是数学竞赛中的热点问题之一，题型多变、难度大是这类问题的特点。
但其解法仍然是有章可循的。
一、巧用求根公式法例1、试确定m 为何值时，方程(m 2-1)x 2-6(3m-1)x ＋72＝0有两个不相等的正整数根。
解：首先，m 2-1≠0，则m ≠±1．又Δ=36(m-3)2＞0，所以m ≠3．用求根公式可得112,1621+=-=m x m x ∵ x 1，x 2是正整数，∴ m-1=1，2，3，6；且m+1=1，2，3，4，6，12。
解得m=2．这时x 1=6，x 2=4。
评析：一般来说，利用求根公式可以先把方程的根求出来，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，这是最自然、最常规的解法。
二、巧用因式分解法例2、已知方程a 2x 2 - ( 3a 2- 8a )x + 2a 2-13a +15 = 0（其中a 是非负整数）至少有一个整数根，求a 的值。
.分析：观察本题方程，可先用因式分解法将原方程转化为两个不定方程ax －2a+3=0和ax －a + 5 =0，然后利用整除的知识，求出非负整数a 的值。
解：原方程可化为： a 2x 2－(3a 2－8a)x ＋(2a －3)(a －5)＝0方程左边分解因式,得 (ax －2a ＋3)(ax －a ＋5)＝0 ∴ ax 321-= ax 512-=∵ 原方程至少有一个整数根， ∴ a 的值为3，或5，或1。
例3、当k 为何整数时，关于x 的二次方程x 2－3kx +2k 2－6=0两根都为整数。
分析：利用因式分解法将原方程转化为多个不定方程，然后利用整除的知识，求出整数k 的值.解：由x 2－3kx +2k 2－6=0，得 (x -2k )(x -k ) = 6∵ x 、k 为整数， ∴ 原方程化为⎩⎨⎧±=-±=-322k x k x 或 ⎩⎨⎧±=-±=-232k x k x 或 ⎩⎨⎧±=-±=-612k x k x 或 ⎩⎨⎧±=-±=-162k x k x ∵ 由于x －2k 与x －k 同号，故得八个不定方程组，解得k =－1，1，－5，5。
一元二次方程有整数解的条件
一元二次方程有整数解的条件一元二次方程是初中数学中的重要内容，它的解法和应用广泛存在于各个领域。
在解一元二次方程时，我们常常需要考虑方程是否有整数解。
那么，一元二次方程有整数解的条件是什么呢？一、判别式为完全平方数对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$，其判别式为 $D=b^2-4ac$。
当判别式为完全平方数时，方程就有整数解。
具体来说，如果 $D=m^2$，其中 $m$ 为整数，那么方程的解为 $x=\frac{-b\pm m}{2a}$。
例如，方程$x^2-6x+9=0$ 的判别式为 $D=6^2-4\times1\times9=0$，因此它有一个整数解 $x=3$。
二、系数的约数之积等于常数项的相反数如果一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的系数 $a$、$b$、$c$ 的约数之积等于常数项 $c$ 的相反数 $-c$，那么方程就有整数解。
具体来说，如果 $c$ 的约数之积为 $d_1d_2\cdots d_n$，那么 $a$、$b$、$c$ 的约数之积为 $a_1a_2\cdots a_m\cdot b_1b_2\cdots b_k\cdot d_1d_2\cdots d_n$，其中 $a_1,a_2,\cdots,a_m$ 是 $a$ 的正约数，$b_1,b_2,\cdots,b_k$ 是$b$ 的正约数。
例如，方程 $2x^2+5x-3=0$ 的系数 $a=2$，$b=5$，$c=-3$，$c$ 的约数为 $1$ 和 $3$，因此 $a$、$b$、$c$ 的约数之积为$2\times5\times1\times3=30$，满足条件，因此方程有整数解。
三、系数的最大公约数是常数项的约数如果一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的系数 $a$、$b$、$c$ 的最大公约数是常数项 $c$ 的约数，那么方程就有整数解。
具体来说，如果$\gcd(a,b,c)=d$，$c$ 的约数之一为 $d$，那么方程就有整数解。
含参数的一元二次方程整数解
含参数的一元二次方程整数解知识定位对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b 2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质。
知识梳理1、一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0)2、根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数. 3、设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么③ ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；④ x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)；⑤ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac(a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4、方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0⇔x 1=0 ，a+b+c=0⇔x 1=1 ，a －b+c=0⇔x 1=－1.例题精讲【试题来源】【题目】b 为何值时, 方程x 2 - bx - 2 = 0 和x 2 - 2x - b (b - 1) = 0有相同的整数根?并且求出它们相同的整数根.．【答案】1；2【解析】解：设相同的整数根为x 0, 由根的定义, 知x20- bx0 - 2 = 0, ①x20- 2x0-b(b - 1) = 0. ②① - ②并整理, 得(2 - b)[x0-(1 + b)]=0,②∴b = 2 或x0 = b + 1.当b = 2 时, 两方程均为x2-2x-2 = 0, 但无整数根;当x0 = b + 1 时, 代入①或②, 解之得b = 1, 于是公共根x0 =b + 1 = 2.【知识点】含参数的一元二次方程整数解【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x12+1993x22，…，Sn=x1n+1993x2n，则aS1993+bS1992+cS1991=【答案】0【解析】解：∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0， ax22+bx2+c=0。
一元二次方程的整数根问题讲解
一元二次方程的整数根问题讲解资料编号:202209071101对于含参一元二次方程,我们经常会遇到整数根的问题.这类问题的解决,往往要借助公式法或因式分解法,用参数表示出方程的两个实数根（或表示出其中一个实数根）,然后对结果进行变形处理,并作出讨论.得出参数的值之后,需要进行检验,看参数的值是否符合题意.例1. 已知关于x 的一元二次方程()0222=++-x m mx .（1）证明:不论m 为何值,方程总有实数根;（2）m 为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?分析:（1）要证明一元二次方程总有实数根,只需证明总有△≥0即可,注意△≥0是要证明的结论,不是证明的条件;（2）利用公式法或因式分解法,用参数表示出方程的根,然后对结果进行变形或作出讨论.得出参数的值后需要进行检验.（1）证明:()[]m m 822-+-=∆()22244-=+-=m m m ∵()22-m ≥0∴△≥0∴不论m 为何值,方程总有实数根;（2）解:()0222=++-x m mx ()m m m m m m x 2222222-±+=-±+=∴mm m m x m m m m m x 2222,12222221=+-+===-++= ∵m 为整数,21,x x 为正整数∴1=m 或2=m由题意可知:12≠m,∴2≠m ∴1=m .点评 （1）也可利用因式分解的方法求解方程,如下:由题意可知:0≠m()0222=++-x m mx()()()()02101210222=--=---=+--mx x x x mx x mx mx∴01=-x 或02=-mx ∴mx x 2,121==. （2）若把题目改为“已知关于x 的方程()0222=++-x m mx .”结果又将如何? 例2. 已知关于x 的一元二次方程05242=+--m x x 有两个不相等的实数根.（1） 求实数m 的取值范围;（2）若该方程的两个根都是符号相同的整数,求整数m 的值.分析:（1）根据方程有两个不相等的实数根,即0>∆,建立关于参数m 的不等式求解;（2）这里对参数m 的要求比较苛刻,有三点:①m 的值是整数;②保证方程的两个根符号相同;③保证方程的两个根都是整数.注意,最后要对求出的m 的值进行检验.解:（1）由题意可得:()()025442>---=∆m 解之得:21>m ; （2）由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧>->02521m m 解之得:2521<<m ∵m 为整数∴1=m 或2=m .当1=m 时,0342=+-x x ,解之得:3,121==x x ,符合题意;当2=m 时,0142=+-x x ,解之得:32,3221-=+=x x ,不符合题意,舍去. 综上所述,整数m 的值为1.例3. 已知关于x 的一元二次方程()01222=+++-k k x k x .（1）求证:无论k 取何值,方程都有两个不相等的实数根;（2）如果方程的两个实数根为21,x x ,且k 与21x x 都为整数,求k 所有可能的值. 分析:（1）只需证明无论k 取何值,都有0>∆即可;（2）由求根公式或因式分解的方法,求出方程的两个实数根,分别作为21,x x ,共有两种表示结果,分两种情况讨论.（1）证明:()[]()k k k +-+-=∆22412 ()01441222>=--+=k k k ∴无论k 取何值,方程都有两个不相等的实数根;（2）解:()01222=+++-k k x k x21122112±+=±+=k k x ∴k k x k k x =-+=+=++=2112,1211221或1,21+==k x k x 当k x k x =+=21,1时,k k k x x 11121+=+= ∵k 与21x x 都为整数 ∴1-=k 或1=k ;当1,21+==k x k x 时,111111121+-=+-+=+=k k k k k x x ∵k 与21x x 都为整数 ∴0=k 或2-=k .综上所述,1-=k 或1=k 或0=k 或2-=k . 例4. 关于x 的一元二次方程()01212=++--m mx x m .（1）求出方程的根;（2）m 为何整数时,此方程的两个根都为正整数? 解:（1）由题意可知:01≠-m ,1≠m . ()()()()()11122212114222-±=-±=--+--±=m m m m m m m m m x ∴111,1121=--=-+=m m x m m x ; （2）∵m 为整数,21,x x 为正整数121121111-+=-+-=-+=m m m m m x ∴11=-m 或21=-m∴2=m 或3=m .。
一元二次方程的整数根
所有可能的 p 值为 p = 3 或 p = 7 . 说明 :利用判别式是完全平方数 , 进而解 一个不定方程是求解一元二次方程整数根的 常用方法 . 例2 已知 a 、 b、 c 都是整数 , 且对一切 实数 x , 都有 ( x - a) ( x - 2 005) - 2 = ( x - b) ( x - c) 成立 . 求所有这样的有序数组 ( a , b , c) . 分析 : ( x - a) ( x - 2 005) - 2 = ( x - b) ( x - c ) 恒成立 , 即 x 2 - ( a + 2 005 ) x + ・ 2 005 a - 2 = ( x - b) ( x - c) 恒成立 , 这说明 2 x - ( a + 2 005) x + 2 005 a - 2 = 0 有两个整数根 b 、 c. 解 :由题设知 2 x - ( a + 2 005) x + 2 005 a - 2 = ( x - b) ( x - c) 恒成立 , 故 2 x - ( a + 2 005) x + 2 005 a - 2 = 0 有两个整数根 b 、 c. 所以 , Δ = ( a + 2 005) 2 - 4 ( 2 005 a - 2) = ( a - 2 005) 2 + 8 是完全平方数 . 令其为 n 2 , n 是正整数 , 则 ( n - a + 2 005) ( n + a - 2 005) = 8 . 由于 n - a + 2 005 与 n + a - 2 005 奇 偶性相同 , 且均大于 0 , 所以 , n - a + 2 005 = 2 , n - a + 2 005 = 4 , 或 n + a - 2 005 = 4 n + a - 2 005 = 2. 解得
聚焦一元二次方程的整数解问题
聚焦一元二次方程的整数解问题一元二次方程是一种形式为ax²+bx+c=0的二次方程，其中a、b、c为常数，且a≠0。
求解一元二次方程的整数解问题是数学中的一个重要课题。
在本文中，我们将讨论一元二次方程的整数解问题，并介绍一些解决这类问题的方法和技巧。
要解决一元二次方程的整数解问题，我们需要首先了解整数解的概念。
在数学中，整数解指的是使方程成立的整数。
对于一般的一元二次方程，它可能有零个、一个或两个不同的整数解。
我们可以通过因式分解、配方法、求根公式等多种方法来求解一元二次方程，但是对于整数解问题，我们需要特别注意解的整数性。
对于一般的一元二次方程ax²+bx+c=0，为了求解其整数解，可以通过观察其因式分解的形式来选择适当的方法。
首先，我们可以先对系数进行约定，确保a、b、c都是整数。
然后，我们可以考虑方程的因式分解的形式，如(x+d)(x+e)=0，其中d、e为整数。
如果方程确实可以表示为这种形式，那么我们可以利用因式分解的性质来求解。
具体地，当我们观察到方程的系数b和c满足b=-(d+e)和c=de时，我们可以得到(x+d)(x+e)=0的形式。
这时，我们就可以通过考察d和e的不同组合来找到使方程成立的整数解。
我们可以通过列举d和e的可能取值来尝试求解整数解。
例如，当c=6时，我们可以通过列出所有的因子对(1,6)(2,3)(-1,-6)(-2,-3)来尝试求解。
此外，我们还可以通过配方法来求解一元二次方程的整数解问题。
配方法的核心思想是通过添加适当的常数项将方程转化为一个可以因式分解的形式。
具体地，我们可以根据方程的系数来求得配方法的加法因子，然后将方程转化为完全平方的形式。
例如，对于方程x²+9x+18=0，我们可以观察到18=3*6、为了使方程的系数能够与3和6相加，我们可以在方程中添加3²-3²=0这一恒等式，并将方程转化为(x+3)²-9=0的形式。
第五讲一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
第5讲 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=±． 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程有两个不相等的实数根21,24b b acx -±-=．②0∆=⇔方程有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程没有实数根．④⇔≥∆0方程有（两个）实数根典例分析知识点1：求根的判别式的值例1：（1）一元二次方程2x 2﹣4x+1=0的根的判别式的值是 （2）已知关于x 的一元二次方程x 2+（m ﹣2）x+m ﹣2=0． （1）求根的判别式△的值（用含m 的代数式表示）． （2）当m=4时，求此一元二次方程根．知识点2：利用根的判别式不解方程判断根的情况 例2：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()25170x x +-=知识点：利用根的判别式求待定字母系数的取值范围（1）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2ax﹣3+a=0有实数根，则a ．（2）关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）=0有两个实数根．求m的取值范围；（3）已知分式，当x=2时，分式无意义，则a= ；当a＜6时，使分式无意义的x的值共有个．知识点4：利用根的情况判断三角形形状例4：已知a、b、c是三角形的三条边长，且关于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．知识点5：利用判别式求最值例5：阅读下列材料：求函数的最大值．解：将原函数转化成x的一元二次方程，得．∵x为实数，∴△==﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．根据材料给你的启示，求函数的最小值．知识点:6：一元二次方程的简单应用例6：（1）李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm 2，李明应该怎么剪这根铁丝？ （2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm 2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．（2）如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m ），用80m 长的篱笆围一个矩形场地．（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m 2？ （2）能否使所围矩形场地的面积为810m 2，为什么？（3）怎样围才能使围出的矩形场地面积最大？最大面积为多少？请通过计算说明．二、根与系数的关系 1、根与系数的关系如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．(此公式的大前提：0∆≥)2、以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=3、根与系数的关系主要应用于以下几个方面：① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程；④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．典例分析知识点7：利用方程中各项系数求两根的和与积 例7：不解方程，求下列方程的两根和与积．（1）x 2﹣2x ﹣3=0； （2）3x 2+x ﹣1=0； （3）x 2+4x ﹣1=0．知识点8：已知方程的一个根，求另一个根例8：⑴若方程240x x c -+=的一个根为23+，则方程的另一个根为 ，c = ．（2）已知关于x 的方程220x kx +-=的一个解与方程131x x +=-解相同． ⑴求k 的值；⑵求方程220x kx +-=的另一个解．知识点9：已知方程，求关于方程的两根的代数式的值 例9：（1）已知方程2350x x +-=的两根为1x 、2x ，则2212x x += ．（2）已知α、β是方程2250x x +-=的两个实数根，22ααβα++的值为 ． （3）已知α、β是方程2520x x ++=βααβ的值．（４）如果a ，b 都是质数，且2130a a m -+=，2130b b m -+=，求b aa b+的值．知识点10：根据根与系数的关系确定方程参数的值 例10：（1）设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是＿＿＿＿．（2）已知关于x 的方程22(23)30x k x k +-+-=有两个实数根1x ，2x ，且121211x x x x +=+，求k 值.（3）已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。
一元二次方程的公共根与整数根(讲义)
一元二次方程的公共根与整数根（讲义）知识点睛一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．二、整数根问题对于一元二次方程a某2b某c0(a0)的实根情况，可以用判别式b24ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程a某2b某c0(a0)有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴b24ac为完全平方数；⑵bb24ac2ak或bb24ac2ak，其中k为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．例题精讲一、一元二次方程的公共根【例1】求k的值，使得一元二次方程某2k某10，某2某(k2)0有相同的根，并求两个方程的根．ABC【例2】设a,b,c为ABC的三边，且二次三项式某22a某b2与某22c某b2有一次公因式，证明：一定是直角三角形．【例3】三个二次方程a某2b某c0，b某2c某a0，c某2a某b0有公共根．⑴求证：abc0；a3b3c3⑵求的值．abc【例4】试求满足方程某2k某70与某26某(k1)0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根．【例5】二次项系数不相等的两个二次方程(a1)某2(a22)某(a22a)0和abba的值．(b1)某(b2)某(b2b)0(其中a，b为正整数)有一个公共根，求baab222二、一元二次方程的整数根【例6】k为什么实数时，关于某的方程(6k)(9k)某2(11715k)某540的解都是整数？【例7】若关于某的方程6k9k某211715k某540的解都是整数，则符合条件的整数k的值有_______个．【例8】已知a是正整数，如果关于某的方程某3(a17)某2(38a)某560的根都是整数，求a的值及方程的整数根．【例9】若k为正整数，且关于k的方程(k21)某26(3k1)某720有两个相异正整数根，求k的值．【例10】关于某的二次方程(k26k8)某2(2k26k4)某k24的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．【例11】当m为何整数时，方程2某25m某2m25有整数解．【例12】已知关于某的方程4某28n某3n2和某2(n3)某2n220，是否存在这样的n值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由．【例13】求所有有理数r，使得方程r某2(r1)某(r1)0的所有根是整数．【例14】已知关于某的方程某2(a6)某a0的两根都是整数，求a的值．【例15】已知k为常数，关于某的一元二次方程(k22k)某2(46k)某80的解都是整数，求k的值．【例16】已知p为质数，二次方程某22p某p25p10的两根都是整数，请求出p的所有可能的值．【例17】已知12m40，且关于某的二次方程某22(m1)某m20有两个整数根，求整数m．abm2【例18】若一直角三角形两直角边的长，a、b(ab)均为整数，且满足．试求这个直角三ab4m角形的三边长．【例19】关于某的方程a某22(a3)某(a2)0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．【例20】已知方程a某23a28a某2a213a150(a是非负整数)至少有一个整数根，那么a．【例21】当m是什么整数时，关于某的一元二次方程m某24某40与某24m某4m24m50的根都是整数．【例22】设m为整数，且4m40，方程某222m3某4m214m80有两个整数根，求m的值及方程的根．【例23】当m为何整数时，方程2某25m某2m25有整数解．【例24】已知方程a某23a28a某2a213a150(a是非负整数)至少有一个整数根，那么a．【例25】若关于某的方程6k9k某211715k某540的解都是整数，则符合条件的整数k的值有_______个．【例26】设方程m某2(m2)某(m3)0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程所有的整数解．【例27】已知a是正整数，且使得关于某的一元二次方程a某22(2a1)某4(a3)0至少有一个整数根，求a的值．【例28】已知关于某的方程a2某2(3a28a)某2a213a150(其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．【例29】已知b，c为整数，方程5某2b某c0的两根都大于1且小于0，求b和c的值．【例30】已知a，b都是正整数，试问关于某的方程某2ab某求出来；如果没有，请给出证明．，且某1某20，【例31】已知方程某2b某c0及某2c某b0分别各有两个整数根某1,某2及某1,某20．某1某20；⑴求证：某10，某20，某10，某2⑵求证：b1≤c≤b1；⑶求b,c所有可能的值．1(ab)0是否有两个整数解？如果有，请2【例32】设p、q是两个奇整数，试证方程某22p某2q0不可能有有理根．【例33】试证不论n是什么整数，方程某216n某70没有整数解，方程中的是任何正的奇数．【例34】求方程a3bab32a22b240的所有整数解．某y(a2)某【例35】已知a为整数，关于某,y的方程组的所有解均为整数解，求a的值．23某y(a1)某2a2【例36】求方程【例37】求所有的整数对(某,y)，使某3某2y某y2y34某24某y4y247．【例38】设m是不为零的整数，关于某的二次方程m某2(m1)某10有有理根，求m的值．【例39】当m是什么整数时，关于某的一元二次方程m某24某40与某24m某4m24m50的根都是整数．【例40】a是正整数，关于某的方程某3(a17)某2(38a)某560的根都是整数，求a的值及方程的整数根．【例41】已知a,b是实数，关于某,y的方程组y某3a某2b某有整数解(某,y)，求a,b满足的关系式．ya某b某y3的所有正整数解．某2某yy27【例42】已知p为质数，使二次方程某22p某p25p10的两根都是整数，求出所有可能的p的值．【例43】设关于某的二次方程(k26k8)某2(2k26k4)某k24的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值．b为何值时，方程某2b某20和某22某b(b1)0有相同的整数根？并且求出它们的整数【例44】根？【例45】已知关于某的方程(a1)某22某a10的根都是整数，那么符合条件的整数a有___________个．【例46】求所有正实数a，使得方程某2a某4a0仅有整数根．【例47】方程(某a)(某8)10有两个整数根，求a的值．【例48】求所有的正整数a，b，c使得关于某的方程某23a某2b0,某23b某2c0,某23c某2a0的所有的根都是正整数．【例49】n为正整数，方程某2(31)某3n60有一个整数根，则n__________．【例50】求出所有正整数a，使方程a某22(2a1)某4(a3)0至少有一个整数根．【例51】已知方程(a21)某22(5a1)某240有两个不等的负整数根，则整数a的值是__________．【例52】不解方程，证明方程某21997某19970无整数根【例53】已知方程某21999某a0有两个质数根，则常数a________．【例54】已知方程某2m某m10有两个不相等的正整数根，求m的值．【例55】当m是什么整数时，关于某的方程某2(m1)某m10的两根都是整数？【例56】设方程m某2(m2)某(m3)0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程所有的整数解．【例57】已知a是正整数，如果关于某的方程某3a17某238a某560的根都是整数，求a的值及方程的整数根．【例58】若k为正整数，且关于k的方程k21某263k1某720有两个相异正整数根，求k的值．【例59】设a为质数，b，c为正整数，且满足292a2bc5094a1022b511cbc2求abc的值．。
一元二次方程的整数解
一元二次方程的整数解解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略：1、从求根入手，求出根的有理表达式，利用整数求解，形成12()()0x x x x --=的形式；2、从判别式入手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数（设2k ∆=），通过穷举，逼近求解3、从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因式分解求解。
4、从变换主元入手，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解。
注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关。
1、若关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数，求符合条件的整数k 的值。
2、已知a 、b 为质数且是方程2130x x c -+=的根，求a b b a+的值。
3、试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程2(2)10rx r x r +++-=有根且只有整数根。
4、当m 为整数时，关于x 的方程2(21)(21)10m x m x --++=是否有有理根？如果有求出m 的值；如果没有，请说明理由。
5、已知a 是正整数，如果关于x 的方程3(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根。
6、若关于x 的方程222(3)(13)0ax a x a --+-=至少有一个整数根，求非负整数a 的值。
解析：①当0a ≠时，变换主元得到2136(1)x a x -=-，此时1a ≥，则21361(1)x x -≥-，得到 (6)(2)0x x ++≤解得62x -≤≤且1x ≠，因为至少有一个x 的值为整数，则这个整数x 的值可能为6-、5-、4-、3-、2-、1-、0、2，②当0a =时，136x =（舍）课后作业1、已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的跟都是整数，求符合条件的所有整数a 。
一元二次方程的整数根问题的解题策略分析
一元二次方程的整数根问题的解题策略分析摘要：一元二次方程的整数根问题是初中数学竞赛常见的题型，由于这类问题涵盖了整数的性质，一元二次方程的相关知识，并且融合了许多数学思想方法而备受命题者的青睐，然而笔者发现，许多学生在解答这类问题时，仍然没有系统的思考方法，还要走很多的弯路，有时对题目甚至无从下手。
本文将常见的一元二次方程整数根问题的解法进行了整理，现分类讲解如下。
关键词：一元二次方程整数根整除根与系数关系一、利用一元二次方程两根的因式分解形式求解例1、当m是什么整数时，关于x的一元二次方程x2-mx-2m2-4=0的根为整数。
分析与解：由原方程得：x2-mx-2m2-4=4，分解因式，得(x+m)(x-2m)=4由于x、m均为整数，所以x+m、x-2m也为整数，故它们的取值有如下可能：解得，当m=0时，x=±2；当m=1时，x1=3,x2=-2；当m=-1时，x1=-3,x2=2；综上所述：当m=0、-1、1时，原方程的根为整数。
说明：当一元二次方程的根与参数都为整数时，可以利用因式分解将一元二次方程ax2+bx+c=zh整数（a≠0）化为a（x-x1）(x-x2)=整数（a≠0）的形式后再利用整除的性质求解。
二、利用一元二次方程根的判别式求解例2、m是何整数时，关于x的一元二次方程(m2-1)x2-6(3m-1)x+72=0有两个不相等的正整数根。
分析与解：由题意可知，m2-1≠0，即m≠±1，△=36（m-3）2，发现△是一个完全平方式，即方程的两根是可以表示为两个有理式：再利用整除性，要使得x1,x2都是正整数，则m-1=1、6、2、3；m+1=1、12、2、6、3、4，即可解得m=2、3，又考虑到方程是两个不相等的实数根，所以m≠3，综上所述：m=2。
说明：当判别式△是一个完全平方式或完全平方数时，即一元二次方程的根可以用有理式表示，则可直接求出方程的两根，再结合整除的性质进行求解；例3、当m是何整数时，关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0与x2-4mx+4m2-4m-5=0的根都是整数。
第五讲 一元二次方程根的判别式与根系关系
第五讲一元二次方程根的判别式与根系关系第一讲一元二次方程根的判别式与根系关系一、【基础知识精讲】1．一元二次二次方程根的判别式（1）根的判别式：一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 是否有实根，由b +4ac 决定，因此我们把叫做一元二次方程根的判别式，并用∆表示，即∆=b +4ac 。
（2）一元二次方程根的情况与判别式的关系：∆>0方程有∆=0方程有∆①使用前应先将方程化为一般形式；②使用此性质时要保证方程为一元二次方程，即a ≠0；③性质顺用、逆用均可；④不解方程，可以判断根的情况；⑤根据根的情况，可确定方程中字母系数的值或取值范围；2．根与系数的关系（韦达定理）（1）对于一元二次方程ax +bx +c =0(a ≠0) 的两根x 1, x 2，有222b ｃx 1+x 2=－，x 1∙x 2=a a（2）推论如果方程x +ｐx +ｑ=0的两个根是x 1, x 2，那么x 1+x 2=－ｐ，x 1∙x 2=ｑ（3）常用变形：x x +2x ) -21x 2x (x 1-x 2) =(x 1+x 2) -4x 1x 2 １+x ２=(1注：使用此性质要保证一元二次方程有两根，即a ≠0和∆≥0；（4）应用①不解方程，可求代数式的值；②根据两根之间的关系，可求方程中字母系数的值；③与根的判别式一起使用可确定根的符号问题。
２２2222二、【典型例题】知识点一一元二次二次方程根的判别式题型一根据根的情况求方程中字母系数的值【例1】（1）当m 取什么值时，关于x 的方程x 2+2(2m +1) x +(2m +2) 2=0。
①有两个相等实根；②有两个不相等的实根；③没有实根。
（2）是否存在这样的非负整数m ，使得关于x 的一元二次方程mx 2-2(3m -1) x +9m -1=0有两个不相等的实根，若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由。
【变式练习】（1）当m 为什么值时，关于x 的方程(m 2-4) x 2+2(m +1) x +1=0有实根。
初中数学 什么是一元二次方程的整数解
初中数学什么是一元二次方程的整数解一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，其一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b 和c是已知的实数常数，且a ≠ 0。
整数解是指能够使方程成立的整数值，即满足方程的x 值为整数。
要确定一元二次方程的整数解，我们可以使用以下方法：1. 因式分解法-如果一元二次方程可以被因式分解为(x - m)(x - n) = 0的形式，其中m和n都是整数，那么方程的整数解就是m和n。
-例如，方程x² - 5x + 6 = 0，可以因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0，所以方程的整数解是2和3。
2. 求根公式法-如果一元二次方程无法通过因式分解来求解，我们可以使用求根公式来计算方程的解。
-一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)。
-在使用求根公式时，我们需要保证判别式D（即b² - 4ac）是完全平方数，这样才能得到实数解，其中a、b和c都是整数。
-如果判别式D是完全平方数，那么方程的解可以通过求根公式计算得到，并且解是整数解。
-例如，方程x² - 7x + 10 = 0，判别式D = (-7)² - 4(1)(10) = 49 - 40 = 9，9是完全平方数。
-通过求根公式计算得到x = (7 ± √9) / 2 = (7 ± 3) / 2，所以方程的两个解分别是5和2，都是整数。
3. 综合判断-除了以上两种方法，我们还可以综合使用因式分解和求根公式的思想来判断方程是否有整数解。
-如果方程无法通过因式分解且判别式D不是完全平方数，那么方程没有整数解。
-例如，方程x² - 6x + 8 = 0，无法因式分解，判别式D = (-6)² - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4，4不是完全平方数。
一元二次方程整数根问题
一元二次方程整数根问题整数根问题是指求解方程中的根为整数的问题。
对于一元二次方程，其解可以通过求根公式得到，即：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)要使方程的解为整数，那么√(b^2 - 4ac) 必须是一个整数，并且分子(-b ± √(b^2 - 4ac))能够被2a整除。
现在我们来讨论一元二次方程整数根问题的求解方法。
首先，我们需要判断方程是否有整数解。
根据韦达定理，一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的两个根x1和x2的和等于-b/a，两个根的乘积等于c/a。
因此，如果b^2 - 4ac是一个完全平方数，并且b也能够被2a整除，那么方程就存在整数解。
接下来，我们需要找出满足上述条件的完全平方数以及能够整除b的2a的因子。
对于完全平方数的判断，一种常见的方法是通过试除法，即从1开始逐个尝试将数字平方，并与b^2 - 4ac进行比较。
如果找到一个平方数等于b^2 - 4ac，则方程存在整数解；否则，方程不存在整数解。
对于能够整除b的2a的因子的查找，我们可以通过因式分解的方式来获取对应的因子。
具体步骤如下：1.判断方程是否有整数解：- 计算判别式D = b^2 - 4ac；-判断D是否为完全平方数：（此处省略使用试除法判断完全平方数的具体步骤）；-判断b是否能够被2a整除；2.若方程有整数解，则寻找满足条件的解：-进行因式分解：将2a进行因式分解，找出所有的因子；-判断每个因子能否整除b；-若能整除b，则代入一元二次方程并计算解；通过上述步骤，我们可以找到一元二次方程的整数根。
需要注意的是，在实际求解过程中，可能会遇到以下情况：-判别式D不是一个完全平方数；-方程的系数a和b的范围较大；-存在复数解或实数解而非整数解；对于D不是完全平方数的情况，方程不存在整数解。
此时，我们可以考虑使用其他方法，如试除法、辗转相除法等寻找方程的实数或复数解。
一元二次方程的整数解问题
张雪云（四川省成都外国语学校 ６１１７００）张雪云四川省资阳市人，研究生学历，中学一级，四川省赛课一等奖，主要研究方向：数学学科教学。
含未知参数的一元二次方程无法直接求具体解，即使通过求根公式也只能得到含参数的两个根和判别式，无法得到方程参数的值．但是在若题目中隐含方程有根的条件，可以通过该条件得到判别式不小于零的约束，根据这个约束条件可得方程的未知参数的范围．由于求根公式带有除法运算，如果已知方程的根为整数，那么求根公式的分母必须是分子的约数．通过题目中隐含的这两个条件，通常可得方程的解和未知参数只能是可数的几个值，只需要把这几个值通过枚举的方式列出来就是题目的解．下面就常见题型、常用技巧以及求解问题所用的知识点作细致的讨论．１．分解因式 因式分解是得到含参一元二次方程的根的最快捷的方式．能够因式分解的一元二次方程我们首选因式分解，它的核心在于利用质因数分解或分离常系数法求解，再利用整数的性质及整除性理论解决问题．例１ 已知一元二次方程（ｍ－２）ｘ２－（２ｍ－５）ｘ＋（ｍ－３）＝０的根都是整数，求整数ｍ的值．分析 用因式分解得到两根为１和ｍ－３ｍ－２，题中要求方程的根和参数ｍ都是整数，因此我们对ｍ－３ｍ－２分离常数，用整数的性质及整除性理论即可解决问题．解 根据题意得ｍ≠１且Δ＝１＞０，因式分解，得（ｘ－１）［（ｍ－２）ｘ－（ｍ－３）］＝０，解得ｘ１＝１，ｘ２＝ｍ－３ｍ－２＝１－１ｍ－２，因为ｍ为整数且根都为整数，所以ｍ－２＝±１，可得ｍ的值为２或０．例２ 已知一元二次方程ａ２ ｘ２－（４ａ２＋ａ）ｘ＋３ａ２＋７ａ－６＝０至少有一个整数根，求自然数ａ的值．分析 此题相对例１而言，只是方程较为复杂，我们仍然用因式分解分解方程，求出含参解，用整数的性质及整除性理论解决问题．解 因为ａ２ ｘ２－（４ａ２＋ａ）ｘ＋３ａ２＋７ａ－６＝０是一元二次方程，所以ａ≠０，因式分解，得［ａｘ－（ａ＋３）］［ａｘ－（３ａ－２）］＝０，解得ｘ１＝１＋３ａ，ｘ２＝３－２ａ，因为ａ为自然数，当ｘ１为整数根时，ａ＝１或３，当ｘ２为整数根时，ａ＝１或２．综上所述，ａ的值为１或２或３．例３ 当整数ｍ为何值时，关于ｘ的方程２ｘ２＋３ｍｘ＋ｍ２＝３有整数解．分析 此题相对例１、例２而言，共同之处是方程左边能因式分解，不同之处是方程的右边是一个不为０的常数３，从而不能解出含参解，针对这种情况，我们对质因数３进行分解，利用参数和根都为整数的条件用枚举的方法一一枚举．解 因式分解，得（ｘ＋ｍ）（２ｘ＋ｍ）＝３，因为ｍ，ｘ都是整数，所以ｘ＋ｍ＝３，２ｘ＋ｍ＝１，｛ｘ＋ｍ＝－３，２ｘ＋ｍ＝－１，｛·１３·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版ｘ＋ｍ＝１，２ｘ＋ｍ＝３，｛ｘ＋ｍ＝－１，２ｘ＋ｍ＝－３，｛即ｘ＝－２，ｍ＝５，｛ｘ＝２，ｍ＝－５，｛ｘ＝２，ｍ＝－１，｛ｘ＝－２，ｍ＝１，｛所以ｍ＝±１或±５．注 当方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）可分解为（ｘ－ｍ）（ｘ－ｎ）＝ｋ（ｍ，ｎ，ｋ均为整数）时，可以将整数ｋ分解为两个整数ｋ１，ｋ２的乘积形式，即ｘ－ｍ＝ｋ１，ｘ－ｎ＝ｋ２｛或ｘ－ｍ＝ｋ２，ｘ－ｎ＝ｋ１，｛一一枚举求解．例４ 关于ｘ的一元二次方程（ｍ２－６ｍ＋８）ｘ２＋（２ｍ２－６ｍ－４）ｘ＋ｍ２－４＝０的两根都是整数，求实数ｍ的值．分析 本题的参数ｍ没有限定为整数的条件，因此我们考虑把参数ｍ消去，列出解的关系式，和例３一样利用质因数分解，通过枚举一一解出答案．解 因式分解，得［（ｍ－２）ｘ＋（ｍ＋２）］［（ｍ－４）ｘ＋（ｍ－２）］＝０，求得两根为ｘ１＝－１－４ｍ－２，ｘ２＝－１－２ｍ－４．显然ｘ１≠－１且ｘ２≠－１，则ｍ－２＝－４ｘ１＋１，ｍ－４＝－２ｘ２＋１，两式相减，得２＝－４ｘ１＋１＋２ｘ２＋１，整理化简，得ｘ２（ｘ１＋３）＝－２，因为ｘ１，ｘ２为整数，则ｘ１＝－５，ｘ２＝１，｛ｘ１＝－４，ｘ２＝２，｛ｘ１＝－２，ｘ２＝－２，｛ｘ１＝－１，ｘ２＝－１，｛（舍），所以ｍ＝３或６或１０３．２．韦达定理 当方程无法因式分解时，可考虑选择韦达定理进行参数枚举或消去参数．特别注意：用韦达定理一定要检验Δ≥０．例５ 已知ａ为正整数，关于ｘ的方程ｘ２＋（ａ＋１６）ｘ＋４２＝０的根都是整数，求ａ的值．分析 此题无法因式分解，我们可通过韦达定理得到根与系数的关系，利用参数和根为整数的约束条件分解质因数，直接枚举参数的值，从而解决问题．解 设方程的两根为ｘ１，ｘ２，则根据题意，得ｘ１＋ｘ２＝－（ａ＋１６）＜０，ｘ１ｘ２＝４２＞０，｛则ｘ１，ｘ２都是负整数，４２可分解为－１×（－４２）＝－２×（－２１）＝－３×（－１４）＝－６×（－７），所以ｘ１＋ｘ２＝－４３，－２３，－１７，－１３，所以ａ＝２７，７，１，－３，又因为ａ为正整数且Δ≥０，所以ａ＝２７，７，１．例６ 关于ｘ的方程ｋｘ２＋（２ｋ＋１）ｘ＋２ｋ－１＝０的根都是整数，求ｋ的值．分析 此题方程类型未明确，因此我们先对ｋ＝０和ｋ≠０两种情况进行讨论．当ｋ＝０时，方程转化为一元一次方程，易判断根的情况，进行取舍；当ｋ≠０时，通过韦达定理得到根的关系式，但此题的参数没有约束条件，和例５的情况不一样，因此我们考虑消去参数得到和、积关系式，对和、积关系式进行变形处理后，利用根为整数的条件分解质因数或分离常数求解．解 （１）当ｋ＝０时，ｘ－１＝０，ｘ＝１成立．（２）当ｋ≠０时，设两根为ｘ１，ｘ２，由韦达定理，得ｘ１＋ｘ２＝－（２ｋ＋１）ｋ＝－２－１ｋ，ｘ１ｘ２＝２ｋ－１ｋ＝２－１ｋ，烅烄烆①②由②－①，得 ｘ１ｘ２－ｘ１－ｘ２＝４，所以（ｘ１－１）（ｘ２－１）＝５，因为方程的根为整数，所以ｘ１－１＝１，－１，５，－５，ｘ２－１＝５，－５，１，－１，｛所以ｘ１＋ｘ２＝８或－４，·２３·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期所以ｋ＝－１１０或１２，当ｋ＝－１１０时，Δ＝４２５＞０，成立；当ｋ＝１２，Δ＝４＞０，成立，所以ｋ＝－１１０或１２．综上所述，ｋ＝－１１０或１２或０．３．判别式法 不能因式分解，也无法用韦达定理消去参数，或者解为有理数时，可选择判别式法，通过计算Δ，若有整数解必然有Δ是个完全平方数，来解出参数．例７ 已知整数ｍ，ｎ满足２ｍ２＋ｎ２＋３ｍ＋ｎ－１＝０，求ｍ，ｎ的值．分析 可以把已知等式看做以ｍ为主元的一元二次方程，ｎ为其参数，根据方程有解可以得到Δ≥０，然后求解关于ｎ的不等式方程，从而得到参数的取值范围，又根据参数ｎ为整数的条件直接枚举，即可解决问题．解 将２ｍ２＋ｎ２＋３ｍ＋ｎ－１＝０看做关于ｍ的一元二次方程，即２ｍ２＋３ｍ＋ｎ２＋ｎ－１＝０，要使方程有实数解，则必有Δ＝－８ｎ２－８ｎ＋１７≥０，所以ｎ＋１２（）２≤１９８，即－１９８槡－１２≤ｎ≤１９８槡－１２，又因为ｎ为整数，所以ｎ＝－２，－１，０，１，当ｎ＝－２时，ｍ１＝－１，ｍ２＝－１２（舍去）；当ｎ＝－１时，ｍ无整数解；当ｎ＝０时，ｍ无整数解；当ｎ＝１时，ｍ１＝－１，ｍ２＝－１２（舍去）；综上所述，ｍ＝－１，ｎ＝－２或１．注 对于二元方程可看做关于一个元的二次方程，由ｍ，ｎ为实数，则Δ≥０，从而求出ｎ的取值范围，应有“多元转为少元”的意识．例８ 已知关于ｘ的方程ｘ２－８ｘ－ｎ２＋８ｎ＋３３＝０的根都是整数，求整数ｎ的值．分析 此题如果我们继续用例７的方法，即Δ≥０，我们发现时ｎ２－８ｎ－１７≥０，解集为ｎ≥槡３３＋４或ｎ≤－槡３３＋４，若用枚举的方法将非常繁琐，因此我们可以令ｎ２－８ｎ－１７＝ｔ ２，通过配方和因式分解，结合质因数分解来解决问题．解 因为方程ｘ２－８ｘ－ｎ２＋８ｎ＋３３＝０有解，所以Δ＝４ｎ２－３２ｎ－６８≥０，又因为方程的根都是整数，所以Δ＝４（ｎ２－８ｎ－１７）为完全平方数，即ｎ２－８ｎ－１７为完全平方数．设ｎ２－８ｎ－１７＝ｔ ２，ｔ为自然数，所以（ｎ－４）２－ｔ ２＝３３，即（ｎ－４＋ｔ）（ｎ－４－ｔ）＝３３，注意到ｎ－４＋ｔ≥ｎ－４－ｔ，所以ｎ－４＋ｔ＝３３，ｎ－４－ｔ＝１，｛或ｎ－４＋ｔ＝１１，ｎ－４－ｔ＝３，｛或ｎ－４＋ｔ＝－３，ｎ－４－ｔ＝－１１，｛或ｎ－４＋ｔ＝－１，ｎ－４－ｔ＝－３３，｛解得ｎ＝２１，ｔ＝１６，｛或ｎ＝１１，ｔ＝４，｛或ｎ＝－３，ｔ＝４，｛或ｎ＝－１３，ｔ＝－１６，｛所以ｎ＝２１，１１，－３，－１３．注 当方程存在有理数解时，令Δ＝ｔ ２，其中ｔ为自然数，此时分两种情况：如果判别式Δ为二次式，通过配方和因式分解，结合质因数分解等数论方法求解；如果判别式Δ为一次式，将原参数用ｔ表示，解出两根关于ｔ的表达式，从而求出ｔ．·３３·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版。
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第五讲一元二次方程的整数整数解从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设厶= k2)，通过穷举，逼近求解；从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解.注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关.【例题求解】【例1】若关于x的方程(6_k)(9_k)x2 _(117_15k)x 54=0的解都是整数，则符合条件的整数是的值有__________ 个.注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论.【例2】已知a、b为质数且是方程x2 -13x c =0的根，那么- -的值是()a b127 A. -22125B.22C.12322121D.——22【例3】试确定切有理数r ,使得关于x的方程rx2 (r 2)x r 0有根且只有整数根【例4】当m为整数时，关于x的方程(2m-1)x2 -(2m 1)x ^0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由.注：一元二次方程ax2 bx 0 (a^ 0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=b2-4ac为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件.【例5】若关于x的方程ax2 -2(a -3)x • (a -13) =0至少有一个整数根，求非负整数a的值. 思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a的两个关系式中消去a也较困难，又因a的次数低于x的次数，故可将原方程变形为关于a的一次方程.学历训练1已知关于X的方程(a_1)x2• 2x_a _1 =0的根都是整数，那么符合条件的整数a有_____ .2.已知方程x2 -1999x • m =0有两个质数解，则m = _____________ .3 .给出四个命题：①整系数方程ax2 bx ^0(a^ 0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程ax2 bx ^0(a^0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程ax2 bx・c =0(a z0)的根只能是无理数；④若a、b、c均为奇数，则方程ax2 bx 0没有有理数根，其中真命题是_____________________________________ .4. 已知关于x的一元二次方程x2(2a-1)x a2=0 (a为整数)的两个实数根是为、x?,则肿1 -肿2 = __________ .5. 设rn为整数，且4<m<40 ,方程x2-2(2m—3)x ■ 4m2-14m ・8=0有两个整数根，求m的值及方程的根.(山西省竞赛题)6. 已知方程ax2 -(3a2 -8a)x 2a2 -13a 1^0 (a丰0)至少有一个整数根，求a的值.7. 求使关于x的方程kx2 (k 1)x k-^0的根都是整数的k直&当n为正整数时，关于x的方程2x2 -8nx，10x-n2• 35n-76=0的两根均为质数，试解此方程.9.设关于x的二次方程(k2 -6k，8)x2 (k2 -6k-4)x，k2 =4的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k的值.10•试求所有这样的正整数a，使得方程ax2 2(2a -1)x 4(a _3) =0至少有一个整数解.11 •已知p为质数，使二次方程x2 -2px p2 _5p-1 =0的两根都是整数，求出p的所有可能值.12 .已知方程x2，bx，c=0及x2cx 0分别各有两个整数根X i、X2及x；、X2，且X i x2>0, x1 x2>0.(1)求证：X1<0, X2<0, x；<0, X2< 0; (2)求证：b-1_c_b，1 ; (3)求b、c所有可能的值.13.如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程mx2 -2x-m V=0的根(m为整数),这样的直角三角形是否存在？若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由.4 =】+参考答案 E]一元二次方程的整数解 【例题求解】 5 当A = G 时，褐工=触当4=9时，得J--3,当内工6且世H9时•辉得耳《» 吕，斗=諾亍当&一人=±]*±氛工9 时‘比足整数*这时i = 7,5t 3 +15.-3t 当9一*=士1・土2*士3, ±6时.去是整数"这时居■ 10*8,11,7,12*15*3.编上所 述丄=3飞，7,415时酿方程的解为整忆 B a + b=\3.则 口/为 2T inc-a&=22. 门】当r=0时，得a 三寺不見整数； 怡〉当『工0时*设方程的两根为釘•业〈药£比)•则小+立=一宁，4片=弓于 , 2J -|^7Z —（X ）JJ ）=烈〒)+千 =3,有(2乃一1〉(2忌一】)= 7 丫百凤 为整数•且寸冬工“解得或 r=l f故所求一切有理数$为一专或】.若心・”2伽为l)I +^=n J (n + 2?M —l>(n —2m+ 1) — 4'n+ (2m — 1)=2 f n+ (2wI, n — (2m —1) = 2 i n~ ( Zm~'7 n + (2rn — 1)与n — (2m — 1 )奇偶性相同"故只可能有此与榊为整数矛盾•故心不可惟为完全平方数，方程不可能有有理报.a == ,；+ ；；；尹】①*解得：一2云才疼B 且 —l f j=— 2,0.1,2,3»4T 5»€ 分别代入①*得a=l+13・《的分数值已舍去》 【学力训练】-l-~y z. 3994 3.①②④ 4. ±1 5. A=4(2m +I)为完全平方数.又m 为4<m<40的整数.则m=12或24.当讯=讣时"劝=lh 业=2餉当« = 24时*$ = L 5 当<1=1时+z=l*当口工1时，工1 = 1*壮 38. Xj ="52. 6-显然 a^0t JT\ —2— ,JT E = 1 ——,从而可得 q « a T.当* = 0时山="当AH1时.设两个整数帳为有 1,3 或 5” ①①—②，得 X1 — JTi j r ==2②化(JL -DC JJ —1) = 3=1X3= ( — 1)X(-3),解得曲+壮=6 或巧 + 壮= -2. 即一 1_* = 6或_ 1_+ = _氛解得A=-y 或&="故稠足要或的点值为o>-y*i. 8-设陶顶数根为站申，.则及+找=4“一5为奇數皿曲必一避一偶+不妨设TI =2,代人原方程得M r -19H^18=O,W 得眄 =16 •检=日■当n = 16时.x? = 57$当丹=3时*斗―5. jTTg •消去氏得盘】找+3刁+2 = 0.即.Tn (令+3) = — 2. fjj -21 + 3I E + 3 — 1lw- 4#；廟:!鼻1.解得一4£工翟2,讨论得d=l*3,e 」0.11・6=4, 一4(p'-5p-l〉= 4(5p+l)为完全平方数•从而5/>+1为完全平方散・令5p+l«/i\注意到p>2.故n>4.且n 为赧数•于是5p-<n*l)(n-l).则”+1“一1中至少有一个是5的倍数・刃” =5&土1"为轅数) A5#>+l«25^±10*+l,p=*(5*±2)・由P为质».5*±2>1知*=】"■ 3或7•当p = 3时•原方程变为x:-6x-7 = 0.得小=一1•比=7$当p=7时•原方程变为^-Ux+B-O,得xi-=bx t-13.所以“一3 或7・12・假设Jj>0. lf| xjx：>0 知x,>0.Xi +x：" —6= i•还与已知Xi jfz>O.x\x\>0 矛馬•故Xi <0#x：<0.ffl)理/V0*V0・(2)<~(6-1) = ^^：+^|4-^ + 1 = (^ + 1)(^ + 1)>0»故对于方程”+工+6一0 进行同样讨论■得综上有6-l<c<6+l.(3)①当 *・6+1 时才<・一4 一亠 + 1・从而(T)+ l)(j-r + 1)=2=( —1) K(—2) = 1 X2."+1・一1 fxi +1 = —2故 - 。
或丄. ■由此算出厂5.「6符台狀意. lx:4-l=»—2 lx：+ 1«—1②当c=b・有xixt = 一(亠+x t)•从而(xi +l)(x2+l) = l,ia此.4 =乃=一2・故b=v = 4・符合尴意.③当c=6 — 1时.b^c+1.对方程F+cr + 6= 0作类似①讨论有6・6・『=5•煤上所述得三纽值.(6.c) = (6,5).(5> 6>«<4,4).13. n产片笔二竺L1■当加=1时」=2或0•这样的直角三角形不存在•假设还存在不为0或1的整数m・使得方程有整数根•则亦一勿+ 1・，"为«!»).即卅一加—必冇m(m-l)- (*-1)(*+1),而个连续的不为0 的整效的乘积•但和G+1〉、】和(*2-1)都不超连续彩数•故加工0且m#l时■卅一力+1不是某整数的平方•烁上所述•満足条件的夷角三角形不存在.。