第4章 离散时间系统结构与滤波器设计1(系统结构)

M
M
在有限Z平面内有极点 b Y ( z) H ( z) 单位冲激响应为无限长序列 X ( z) 1 a z 系统结构存在反馈环节，需要递归运算； 分子只有常数项 b0 ，此时有限Z平面内只有极点， 称为全极点或自回归系统（AR系统），否则称之 为自回归滑动平均系统（ARMA系统）
N k 1 k
1 1 H (e jw ) 1 1 1 1 RP 20 lg( ) 1 1 H max (e jw ) 1 1 20 lg 20 lg(1 1 ) 20 lg j c H (e ) H ( e j c )
k 0 N 1 N 1 k 0 m 0
N 1
j
2 kn N
1 N
x(m)e
N 1 k 0
j
2 km N
e
j
2 kn N
1 x(m) N m 0
N 1 N 1 m 0
e
j
2 k ( nm) N

x(m) (n m rN )
m 0
M
h(n) bn (n 0, M )
在有限Z平面内没有极点，只有零点 系统的单位冲激响应将是有限长序列 系统结构无反馈环节 也称为全零点或滑动平均系统（MA系统）。
ak 0
y(n) ak y(n k ) bm x(n m)
k 1 m 0
0

IIR：

第四章 数字滤波器设计

一、滤波器设计基础 二、滤波器结构类型 三、IIR滤波器设计 四、FIR滤波器设计
4.1 滤波器设计基础

滤波器定义：
线性时不变系统的时域卷积和特性导致 系统在频域上对输入信号的滤波特性 滤波主要是指幅度特性的改变 滤波器的作用:



增强某一频段内信号，衰减另一频段信号， 有用信号的提取，噪声及干扰的滤除等
三、级联型

系统函数按进行因式分解后得到：
1 1k z 1 2k z 2 H ( z) K 1 2 1 z z k 1k 2k
r

写成二阶系统级联的原因?



二阶系统在某些系数为零时可以表示一阶系统， 也可以表示由两个实数所表示的一级系统级联成 的二阶系统； 可用用实系统简化实现两个共轭复数极点的系统； 在集成或多路复用时，采用相同形式的子网络结 构就更有意义。


滤波器性能要求，主要以频率响应的幅度特性的容 差来表征。 增益和衰减是滤波器的重要性能参数，其定义如下：
增益：G 20lg H (e jw ) 衰减：D G 20lg H (e jw )
5
通带指标

在通带中，滤波器的幅度响应 以误差 1 逼近1，这部分误 差称为通带容限，或者表示为 通带波纹 RP 、通带最大衰减 1
Y ( z ) ak z k Y ( z ) bm z m X ( z )
k 1 m 0
M
M

研究系统结构的出发点：


同一个离散时间系统，可以用不同结构来实现 不同运算结构，存贮单元和乘法次数不同，即实 现的复杂性和运算速度不同 不同运算结构性能及工程适用性不同
4.2.1 系统构成及表示
级联型
x ( n)
K


由多个二阶环节串联而成； 每个二阶基本节都用典范型结构实现
11
12
z 1 z 1
11
r1 z r1
r2
z 1 r 2
1
y ( n)
12


优点： 便于准确实现滤波器零、极点，调整滤波器频率响应性能 与直接II型相同具有最少的存储单元。 缺点： 由于信号是依次通过级联的各个环节，只要一个环节出现 了问题，便会影响整个系统的稳定性。
2 1 N 1 j N k ( mn) 1 m n rN e 其他 N k 0 0
x(n)
1 N
X (k )e
k 0
N 1
j
2 kn N
n 0,1...N 1
27


由此看出： 单位圆上N点的频率抽样变换得到的是原序列 x (n)。 在时轴上以抽样点数为周期的延拓 ~ 为此：
z 1 z
1
b2
bM
m
a2
aN
z 1 z 1
b
m 0
M
x ( n m)
a
k 1
M
k
y (n k )
二、 直接II型

交换其级联子系统的次序，系统函数不变。 合并相同的串行延时支路，称为直接II型结 构或典范型结构。
z 1
1
x ( n)
b0
a1
b1

y ( n)

a2 z
m 0 N 1

上式实际是线性移不变系统的卷积和公式，也 是 x(n) 延时的横向结构,称为横截型结构或卷积 型结构，也可称为直接型结构。
x ( n)
z 1
h(0)
z 1
h(1)
z 1
h(2) h( N 2) h( N 1) y ( n)
应用转置定理可得到转置直接型结构
x ( n)
2 k N
X (k ) X ( z ) |
z e
j

n
x(n)e

j
2 kn N
k 0,1,2,...N 1
25
X (k ) X ( z ) |
z e
j
2 k N
x(n)e
n 0
N 1
j
2 kn N
k 0,1,2,...N 1
1 N
X ( k )e
1 H (k ) N H ( z ) (1 z ) 2 k 0 j k N 1 N Hc ( z ) 1 e z
N 1 HK (z)
频域抽样

X ( z)
n
x ( n) z

n
2
滤波器分类

根据不同频段内的特性不同

滤波器有通带、阻带、过渡带之分等， 相应的滤波器就有低通滤波器、高通滤波器、带 通滤波器、带阻滤波器等。 “无限长冲激响应系统”，简称为IIR系统； “有限长单位冲激响应系统”，简称为FIR系统

按照系统单位冲激响应的时限特性


3
滤波器.2 IIR滤波器的基本结构


IIR滤波器主要特点是： H ( z) Y ( z) X ( z) 1 a z h(n) 为无限长序列； 1） H ( z ) 在有限Z平面上存在极点； 2） 3）实现结构上存在反馈环节，必须 采用递归型结构实现。 IIR滤波器的结构主要有:

如原序列不是有限长，则时域延拓必然造成混叠； 若原序列是一个有限长且长度小于采样点数N的序 列，则可以通过乘以窗函数得到原始序列，即：
二、级联型

将系统函数分解成实系数二阶因子的 乘积形式： N

H ( z ) 0 k 1k z 1 2 k z 2
k 1
2

级联结构如图所示
x ( n)
01
z 1 z 1
r0
z 1 r 1 z 1
y ( n)
11
12
r2
特点：
aN
z
b2
1

bM

仍能直接反映差分方程和系统参数关系； 对于N阶差分方程只需N个延时单元（系 统满足N≥M）， 比直接I型延时单元要少，节省存储单元 （软件实现），或节省寄存器（硬件实现） 是实现N阶滤波器所需的最少延时单元结 构，因而又称典范型。
直接型存在的问题


直接I型和II型都是直接实现，其共同的缺点 是结构系数与系统函数的零、极点关系不明显， 因而对滤波器性能控制不直接。 系统的极点在某些临界条件下对系数的变化过 于灵敏，从而使系统频率响应对系数的变化过 于灵敏，也就是对有限精度（有限字长）运算 过于灵敏，容易出现不稳定或较大误差。
四、并联型
x ( n)
N2 Ak 0k 1k z 1 H ( z ) G0 1 1 2 k z 2 k 1 1 ck z k 1 1 1k z N1
G0
Ak
ck
z 1
y ( n)
0k
1k
1k
z 1
1 2k z

优点：

x ( n)
01
z 1 z 1
r0
z 1 r 1 z 1
y ( n)
11
12
r2


每个级联子系统独立控制一对零点，便 于精确控制零点特性 所需要的系数 ik 比卷积型的系数 h(n) 要多，因而乘法次数也比卷积型多。
三、 频率抽样型

频率内插公式为FIR滤波器提供了另外 一种结构，频率抽样型结构。
X (e )
j
n
jn x ( n ) e


在采样定理的限制条件下，信号在时域 的采样可以恢复原始信号。 信号的Z域的单位圆上的变换(DTFT)也 可以恢复信号。

更为一般的讨论，在单位圆上抽样将导致 信号在时间域上发生怎样的变化？是否也 可以利用单位圆抽样恢复原始信号呢？
可以单独调整并联子系统的一对极点 各子系统间信号无交叉，利于系统的稳定性。 不能像级联型那样单独调整零点的位置，在要求 准确的传输零点的场合下，宜采用级联型结构。

缺点：

4.2.3 FIR滤波器的基本结构