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平行四边形的性质及判定

一、平行四边形的性质

【知识要点及基础例题】

1、定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的中心对称性及性质定理1：平行四边形的对边相等。

例1、如图所示，已知四边形ABDE 是平行四边形，C 为边BD 延长线上一点，连结AC 、CE ，有AC=DE 。求证：AD=CE

练习：

如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 上一点，以AB 、BD 为邻边作平行四边形ABDE ，连结AD 、EC 。求证：△ADC ≌△ECD

3、平行四边形性质定理2：平行四边形的对角相等。

例2、如图，在平行四边形ABCD 中，︒=∠-∠40B A ，求平行四边形ABCD 各个内角的度数。

4、平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分。

例3、如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AB=4，AC=6，并且AB ⊥CA ，求对角线BD 的长。

练习：如图所示，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O 。若AC=14，BD=8,AB=10，则△OAB 的周长为（ ）

5、平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。

6、平行线间的距离

①两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。

②平行线的性质：平行线之间的距离处处相等。

例4、如图，直线21l l ∥，点P 在直线1l 上，点A 、B 在直线2l 上，设△PAB 面积为S 。

当点P 运动到1P 位置时，△PAB 与△AB P 1的面积相等吗？为什么？

练习：如图所示，直线121,l l l ∥和AB 的夹角︒=∠135DAB ，且AB=50mm,求两平行线21l l 和之间的距离。

【思维拓展】

一、利用平行四边形的性质进行计算

例1、若平行四边形ABCD 的对角线相交与O 点，且AB ≠BC ，过O 点作OE ⊥AC ，交BC 于E 。如果三角形ABE 的周长为b 。 则平行四边形ABCD 的周长是（ ）

（例1图）

例2、如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为AD 的中点，CE 交BA 的延长线于点F 。若BC=2AB ，，︒=∠70FBC 求EBC ∠的度数。

练习：1、如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为12，则FC 的长为（ ）

2、如图，在平行四边形ABCD 中，︒=∠70A ，将平行四边形ABCD 折叠，使点D 、C 分别落在点F 、E 处（点F 、E 都在AB 所在的直线上），折痕为MN ，则AMF ∠等于（ ）

二、利用平行四边形的性质进行证明

例3、如图甲所示，在平行四边形ABCD 中，AE 、BF 分别平分ABC DAB ∠∠和,并分别交CD 于点E 、F,AE 、BF 相交于点M 。（1）求证：AE ⊥BF ；（2）判断线段DF 与CE 的大小关系，并予以证明。（两种解法）

练习：如图，四边形ABCD 是平行四边形，O 是对角线AC 的中点，过点O 的直线EF 分别交AB 、DC 于点E 、F ，与CB 、AD 的延长线分别交于点G 、H 。除AB=CD ，AD=BC ，OA=OC 这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，请选出其中一对加以证明．

三、与平行四边形面积有关的计算

例4、如图，点E是平行四边形ABCD内任意一点，平行四边形ABCD的面积是6，连结点E与平行四边形的四个顶点，求图中阴影部分的面积。

练习：如图所示，在平行四边形ABCD中，点E为AC上一点，AE=2EC，点F为AB上一点，BF=2AF，△BEF的面积为2平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。

四、利用平行四边形的性质进行方案设计

例5、如图是一块平行四边形贴片ABCD，且AB=2AD。现在想用这块贴片截出一个直角三角形，并要求斜边与AB重合，且面积最大，能否截出符合条件的三角形？如果能截出，画出截线；如果不能截出，请说明理由。

练习：张大伯承包了一个呈四边形的池塘：如图所示，它的四个角A，B，C，D处均有一棵核桃树，张大伯今年养鱼喜获丰收，明年准备把池塘面积扩大一倍，但又不想毁掉这四棵大树，并且扩建后的池塘呈平行四边形形状．张大伯这一设想是否能实现？请你帮助他解决一下，并画出草图．

二、平行四边形的判定

【知识要点及基础例题】

平行四边形的判定方法1：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

例1、如图所示，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，P、Q分别是AB、CD上的点，且AP=CQ，求证：四边形PDQB 为平行四边形。

平行四边形判定方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

例2、如图所示，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别是CD 、AB 上的点，CM=AN ，E 、F 是AC 上的点，且AE=CF.

求证：四边形MENF 是平行四边形。

平行四边形判定3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

例3、如图所示，在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 的中点，BE 的延长线与CD 的延长线交于点F 。

（1）△ABE ≌△DFE （2）试连结BD 、AF ，判断四边形ABDF 的形状。

平行四边形判定4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

例4、如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是对角线A 、C 的三等分点，求证：四边形BFDE 是平行四边形。

平行四边形判定5：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

例5、如图所示，AE 、CF 分别是平行四边形ABCD 的内角BCD DAB ∠∠、的平分线。求证：四边形AECF 是平行四边形。

★★平行四边形判定方法的选择

平行四边形的五种判定方法：

①定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；