经典正弦定理、余弦定理知识点总结及证明

正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法

——王彦文青铜峡一中

1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一

些简单的三角形度量问题．

2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和

方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问

题．

主要考查有关定理的应用、三角恒等变换

的能力、运算能力及转化的数学思想．解三角

形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或

证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度

以及角度等问题，且多以应用题的形式出现．

1．正弦定理

(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它

所对角的正弦的比相等，即．其

中R是三角形外接圆的半径．

(2)正弦定理的其他形式：

①a ＝2R sin A，b＝，c

＝；

②sin A＝a

2R

，sin B＝，

sin C＝；

③a∶b∶c＝______________________.

2．余弦定理

(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即

a2＝，b2＝，

c2＝ .

若令C＝90°，则c2＝，即为勾股定理．

(2)余弦定理的变形：cos A ＝，cos B＝，cos C＝ .

若C为锐角，则cos C>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cos C<0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角．

(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin2A ＝sin2B＋sin2C－2sin B sin C cos A，类似地，sin2B＝____________；sin2C＝__________________.注意式中隐含条件A＋B ＋C＝π.

3．解斜三角形的类型

(1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理．只有一解．

(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有___________________．如在△ABC中，已知a，

A为锐角

A为钝角

或直角图

形

关

系

式

a＝

b sin A

b sin A

a≥b a>b

解

的

个

数

①②③④

解时，只有一解．

(4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．

4．三角形中的常用公式或变式

(1)三角形面积公式S△＝＝＝____________＝____________＝____________．其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径．

(2)A＋B＋C＝π，则A＝__________，

A

2

＝__________，从而sin A＝____________，

cos A＝____________，tan A＝____________；

sin A 2＝__________，cos A 2＝__________， tan A

2＝________.tan A ＋tan B ＋tan C ＝__________.

(3)若三角形三边a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝____________⇔2sin B ＝____________⇔

2sin B 2＝cos A －C 2⇔2cos A ＋C 2＝cos A －C 2⇔tan

A 2tan C 2＝1

3

.

【自查自纠】

1．(1)a sin A ＝b sin B ＝c

sin C ＝2R

(2)①2R sin B 2R sin C ②

b 2R

c 2R

③sin A ∶sin B ∶sin C

2．(1)b 2＋c 2－2bc cos A c 2＋a 2－2ca cos B a 2＋b 2－2ab cos C a 2＋b 2 (2)b 2＋c 2－a 22bc c 2＋a 2－b 22ca a 2＋b 2－c

2

2ab

> <

(3)互化 sin 2C ＋sin 2

A －2sin C sin A cos

B sin 2A ＋sin 2

B －2sin A sin B cos

C 3．(1)正弦 (2)正弦 一解、两解或无解 ①一解 ②二解 ③一解 ④一解 (3)余弦 (4)余弦

4．(1)12ab sin C 12bc sin A 12ac sin B abc 4R

1

2

(a ＋b ＋c )r (2)π－(B ＋C )

π2－B ＋C 2

sin(B ＋C ) －cos(B ＋C ) －tan(B ＋C ) cos

B ＋

C 2

sin

B ＋

C 2

1tan

B ＋

C 2

tan A tan B tan C (3)a ＋c sin A ＋sin C

在△ABC 中，A >B 是sin A >sin B 的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件．故选C .

在△ABC 中，已知b ＝6，c ＝10，B ＝30°，则解此三角形的结果有( )

A ．无解

B ．一解

C ．两解

D ．一解或两解

解：由正弦定理知sin C ＝

c ·sin B b ＝5

6

，又由c >b >c sin B 知，C 有两解．也可依已知条件，画出△ABC ，由图知有两解．故选C .

(2013·陕西)设△ABC 的内角A, B, C

所对的边分别为a, b, c, 若b cos C ＋c cos B ＝a sin A, 则△ABC 的形状为( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不确定 解：由已知和正弦定理可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A ·sin A ，即sin(B ＋C )＝sin A sin A ，亦即sin A ＝sin A sin A .因为0

2.所以三角形为直角三角形．故选B .

(2012·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C

所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π

6

，c ＝23，则b ＝________．

解：由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝