初二数学 特殊四边形中的动点问题 教师版
四边形动点问题解题技巧
四边形动点问题解题技巧引言四边形动点问题是数学中常见的一个问题，也称为四边形运动几何问题。
它涉及到一个四边形，其中三个顶点是固定不动的，而第四个顶点在运动当中。
本文将介绍四边形动点问题的基本概念和解题技巧，以帮助读者更好地理解和解决这类问题。
基本概念在开始讨论四边形动点问题之前，我们先来了解一些基本概念：1.四边形：四边形是由四个线段连接在一起形成的几何图形。
它有四个顶点和四条边。
2.动点：动点是指在一定时间内位置发生改变的点。
在四边形动点问题中，通常涉及到一个顶点作为动点，其位置会随着时间的变化而变化。
解题技巧解决四边形动点问题的关键是要能够分析和利用几何图形的性质。
以下是一些常用的解题技巧：折线法折线法是解决四边形动点问题的常用方法之一。
具体步骤如下：1.根据题目所给条件，确定四边形的固定顶点和动点。
2.假设动点在某一时刻位于四边形的某个位置，通过分析几何性质，确定其他顶点和边的位置。
3.根据动点随时间的变化，得出四边形其他顶点和边的变化规律。
4.利用求解几何图形的方法，求出动点的运动轨迹。
5.根据题目要求，确定动点的最终位置或特性。
共线关系在解决四边形动点问题时，有时可以利用共线关系来简化求解过程。
当四边形的三个固定顶点及其对应的边共线时，可以利用相似三角形的性质来求解动点的位置。
各种特殊情况的考虑在解决四边形动点问题时，有时需要考虑一些特殊情况，如四边形退化为三角形的情况、四边形退化为直线的情况等。
针对不同的特殊情况，需要采取相应的分析方法和解题技巧。
解题示例下面通过一个具体的例子来演示如何应用解题技巧解决四边形动点问题。
例题：一个矩形的两个对角线交于点O，其中一个顶点A固定不动，另一个顶点B在矩形的一侧边上以一定速度向下移动。
求矩形的另外两个顶点C和D的运动轨迹。
解答： 1. 设矩形的高为h，宽为w，动点B的初始位置为(0, h)。
2.假设动点B的坐标为(x, y)，根据矩形的性质，可以确定顶点C和D的坐标：–顶点C的坐标为(x+w, y)；–顶点D的坐标为(x+w, y-h)。
华东师大版数学八年级下册专题课堂特殊四边形与动点问题课件
[对应训练] 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝8 cm，点 P 从点 A 出发，
沿 AB 方向以每秒 2 cm 的速度向终点 B 运动．同时动点 Q 从点 B 出发沿 BC 方 向以每秒 1 cm 的速度向终点 C 运动，将△PQC 沿 BC 翻折，点 P 的对应点为点 P ′.设点 Q 运动的时间为 t 秒，则 t 的值为_83_____时，四边形 QPCP′为菱形．
分别从 0≤x≤1，1<x≤2，2<x≤2.5 时，y＝13 ，去求解．
[对应训练] 4．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的动点，且AE⊥EF于点E. 延长EF交正方形ABCD的外角平分线CP于点P，试判断AE与EP的大小关系，并说明 理由．
AE＝EP.理由：在AB上截取BN＝BE，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠B ＝90°，∴AN＝EC，∠1＝∠2＝45°，∴∠4＝135°，∵CP为正方形ABCD的外角 平 分 线 ， ∴∠PCE ＝ 135° ， ∴∠PCE ＝ ∠4 ， ∵∠AEP ＝ 90° ， ∴∠BEA ＋ ∠3 ＝ 90°，∵∠BAE＋∠BEA＝90°，∴∠3＝∠BAE，∴△ANE≌△ECP(ASA).∴AE＝ EP
二、矩形与动点 【例2】如图，在矩形ABCD中，AB＝24 cm，BC＝12 cm.点P沿AB边从A开始向点 B以2 cm/s的速度移动；点Q沿DA边从D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P，Q同 时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤12). (1)当t＝__4__时，△QAP为等腰直角三角形； (2)求四边形QAPC的面积． 分析：(1)由题意得，当AP＝AQ时，△QAP为等腰直角三角形，得出关于t的方程， 即可解得t的值；(2)根据S＝S△AQC＋S△APC，即可求得．
特殊平行四边形动点问题解题技巧
特殊平行四边形动点问题解题技巧《特殊平行四边形动点问题解题技巧：和动点斗志斗勇的日子》嘿，大家好呀！今天咱就来唠唠特殊平行四边形动点问题解题技巧这档子事儿。
咱就说，遇到这种动点问题啊，就像是和一个调皮的小精灵在玩捉迷藏。
它一会儿在这儿，一会儿又跑那儿去了，让人是又好气又好笑。
但咱可不能被它给吓住，得和它斗智斗勇才行。
首先呢，咱得有双“火眼金睛”，能快速地找出题目中的关键信息。
比如这个动点的运动轨迹是啥呀，是沿着边跑，还是在对角线上蹦跶。
这就像是找到了小精灵的行动路线，心里就有底了。
然后呢，咱得学会“以静制动”。
别管它怎么动，咱就把它当成静止的来分析。
比如说，在某个时刻，它在这个位置，那这个时候的图形有啥特点，跟其他条件一结合，能得出啥结论。
嘿，就这么一分析，好像那小精灵也不那么调皮了。
还有啊，要多画画图。
有时候光靠脑子想是不行滴，得动手画出来。
看着那图形在笔下一点点呈现，感觉就像在掌控整个局面一样。
而且呀，多画几种不同时刻的图，说不定就能找到规律，那小精灵的小把戏也就不攻自破啦。
再说说解题的时候，那可得思路清晰啊。
把各种条件、结论像串珠子一样串起来，可不能乱了套。
这就好比在给小精灵设陷阱，让它乖乖地掉进咱的圈套里。
咱还得有点“大胆假设”的精神。
碰到难题别退缩，大胆地去猜测一下，说不定还就猜中了呢。
就算没猜中，那也没啥损失呀，就当给大脑做个热身运动了。
总之，面对特殊平行四边形动点问题，咱可不能怕。
就把它当成一场有趣的挑战，和那个调皮的小精灵好好过过招。
只要咱掌握了这些解题技巧，再加上一点点细心、耐心和恒心，那小精灵最后还不得乖乖就范。
所以呀，大家都别怕，大胆地去和动点战斗吧！让我们在解题的海洋里畅游，享受那份攻克难题后的喜悦和成就感！加油哦，朋友们！。
八年级数学第4讲.四边形综合.尖子班.教师版.doc
4四边形综合满分晋级阶梯四边形 5级四边形 4级典型中点构造四边形 3 级四边形综合梯形寒季班春季班春季班第五讲第四讲第五讲漫画释义壮壮玩拼图知识互联网题型切片题型切片（两个）对应题目题动手操作题例 1，练习1；例 2，练习 2；例 3，练习 3；型目例 4，例 5，例 6，练习 4，练习 5．标四边形性质与判定综合编写思路本讲内容主要分为两个题型，题型一的动手操作题，近年来考查频率较高，并且对学生综合掌握所学几何部分的能力要求较高，三道例题分别代表了动手操作题的三大题型——折叠、分割、剪拼，并在练习部分各搭配一习题，在思路导航部分对这三类题型进行了总结，希望老师将此类题目的核心思路进行重点强调及讲解；题型二是在中考新大纲的要求下增加的新题型，寒假时已经进行了预热，旨在锻炼学生们综合运用四边形中各特殊图形之间的关系来进行解题的能力，这部分内容对学生的要求较高，每个题几乎都不只考查一种四边形的知识，本讲也可以看成在后几讲分块练习专题课之前的一个小结课．本讲的最后一道例题是2013 年 101 中学的一道期末考试题，此题根据2011 年大兴一模进行改变，增加了最后一问，近年改变题目之风盛行，老师们也可借此题进行发挥，比如训练 4 是首师大二附的期末考试题，此题也是根据2008 年北京中考题改编的，全面考查了特殊四边形的性质、判定等相关知识点．题型一：动手操作题思路导航在近年的中考试题中，几何内容的考查在不断推陈出新，但经典题型——动手操作题却经久不衰，大量出现在各地的中考试卷上．这种题型充分考查了学生的想象能力、构图能力及动手操作能力，主要有以下三个考查方式：1图形折叠图形的折叠是指某个图形或其部分沿某直线翻折，这条直线为对称轴．图形的折叠问题分两大类题型：⑴ 考查图形折叠的不变性：只需抓住不变量，既对应边相等，对应角相等；⑵ 考查图形折叠的折痕：只需抓住折痕垂直平分对应点所连成的线段且平分对应边所形成的夹角．2图形分割近年中考中图形分割的基本类型有：⑴把图形分割成面积相等的几部分（等面积）；⑵把图形分割成形状相同的几部分（相似或全等）；⑶把图形分割成轴对称或中心对称图形（等腰三角形或特殊四边形）；⑷把图形分割成满足特定要求的几部分．思路：只要抓住分割后图形的特殊性即可．3图形剪拼图形剪拼是一种常见的几何题目，“剪”就是将整体的图形分割为各个部分；而“拼”则是把若干分散的图形组合成为一个整体图形．思路：此类问题一般只需根据剪拼过程中面积不变即可．典题精练【例 1】如图，将边长为8cm 的正方形 ABCD 折叠，使点D落在 BC 边的中点E处，点A落在F处，折痕为 MN ，求折痕 MN 的长度．A DMA D A DM FM HF FKNN NB E CB EC B E C图 1 H图 2【解析】方法一：如图1，作 MH ∥BC， MN 是折痕，则MN DE只需证明△ MHN ≌△ DCE 得出 MN DE ，由勾股定理求出DE 4 5 ，所以 MN 4 5 ．方法二：延长 NE 交 AB 延长线于点 H ，由题意可知 NC 3， CE 4，NE 5∴△NEC ≌△ HEB ， HE 5，HN 10∵ DNMENM ，AB ∥ CD，∴ MH NH 10，MH 10 作NK AH ，KB BH3，MK 4，KN8∴ MN 45【点评】 此题是一道非常典型的考察折痕的问题，方法一是应用折痕垂直平分对应点连线段， 应用正方形的一个经典模型，将 MN 转化，方法二是折痕平分对应边所成的夹角，和平行线一起构成等腰三角形，建议老师仔细讲解此题．【例 2】 阅读下列材料：小明遇到一个问题： AD 是 △ ABC 的中线， 点 M 为 BC 边上任意一点 （不与点 D 重合），过点 M 作一直线，使其等分 △ ABC 的面积．ANBMDC图1他的做法是：如图 1，连结 AM ，过点 D 作 DN ∥ AM 交 AC 于点 N ，作直线 MN ，直线 MN 即为所求直线． 请你参考小明的做法，解决下列问题：⑴如图 2，在四边形 ABCD 中，AE 平分 ABCD 的面积， M 为 CD 边上一点，过 M 作一直线 MN ，使其等分四边形 ABCD 的面积（要求：在图2 中画出直线 MN ，并保留作图痕迹） ；⑵如图 3，求作过点 A 的直线 AE ，使其等分四边形 ABCD 的面积（要求：在图 3 中画出直线AE ，并保留作图痕迹） ．（ 2013 西城期末）ADBA CCM EDB 图2图 3【解析】 ⑴ 连接 AM ，过 E 作 EN ∥ AM ，交 AD 于 N ，再做直线MN 即可，如图．AB NCMED⑵ 取对角线 BD 的中点 M ，连接 AM 、 CM 、 AC ，过点 M 作 ME ∥ AC 交 CD 于 E ，直线 AE 就是所求直线，如图．DMEACB【例 3】 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为 a （ a>2 ）的正方形 ABCD 各边上分别截取AE=BF=CG=DH =1，当∠ AFQ=∠ BGM =∠ CHN=∠ DEP=45 °时，求正方形 MNPQ 的面积． 小明发现，分别延长 QE ，MF ， NG ， PH 交 FA ，GB ， HC ， ED 的延长线于点 R ， S ， T ， W ， 可得△ RQF ，△ SMG ，△ TNH ，△ WPE 是四个全等的等腰直角三角形（如图 2）请回答：⑴若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为；⑵求正方形 MNPQ 的面积；⑶参考小明思考问题的方法，解决问题：如图 3，在等边△ ABC 各边上分别截取 AD=BE=CF ，再分别过点 D ，E ， F 作 BC ，AC ，AB 的垂线，得到等边△ RPQ ，若△3 ，则 AD 的长为．S RPQ3（ 2013 北京中考 ）RAEDAEDW A QQH DMHMRPFPFPQF NNS BGB EBG CCC图 1图 2T图 3【解析】 ⑴ 四个等腰直角三角形的斜边长为a ，则斜边上的高为1a ，2每个等腰直角三角形的面积为：1 a 1 a 1 a 2，2 24则拼成的新正方形面积为：4 1a 2 a 2 ，即与原正方形 ABCD 面积相等，4∴ 这个新正方形的边长为 a⑵∵ 四个等腰直角三角形的面积和为 a 2 ，正方形 ABCD 的面积为 a 2 ， ∴S 正方形 MNPQ S △ ARE S △ DWH S △ GCT S △ SBF 4S △ ARE 4 1 12 22⑶ 如答图 1 所示，分别延长 RD ，QF ， PE ，交 FA ， EC ， DB 的延长线于点 S ， T ， W ．由题意易得： △RSF ，△ QET ，△ PDW 均为底角是 30°的等腰三角形，其底边长均等于 △ ABC 的边长． 不妨设等边三角形边长为a ，则 SF=AC=a ．如答图 2 所示，过点 R 作 RM ⊥ SF 于点 M ，则 MF = 1 SF= 1a ，2 2SADRPQFB EC TW答图 1MF 1 3 3 S 在 Rt △ RMF 中， RM=32aa36AN1 3 3D M∴S △ RSFa a a 2R2 6 12过点 A 作 AN ⊥ SD 于点 N ，设 AD=AS=x ，则 AN= 1x ， SD=2ND= 3x ，2 PQFBEC TW答图 2∴ S △ ADS111 32AD AN3 x x4 x22 2∵ 三个等腰三角形 △ RSF ， △ QET ， △ PDW 的面积和 = 3S △ RSF 33 a 23 a 2 ，正 △ ABC124的面积为3a 2 ，4∴ S △ RPQS △ ADS S △ CFT S △ BEW3S △ ADS ，∴ 33 322434 x ，解得 x 9解得 x 2 或 x 23 （舍去负数）3∴ x 2 ，即 AD 的长为 2，故答案为： a2 ．3 33题型二：四边形性质与判定综合思路导航特殊四边形之间的关系：从属关系 :四边形平行四边形梯形正等腰直角矩形梯形梯形方菱形形演变关系：一个角是直角一组邻边相等矩形两组对边分别平行平行四边形正方形一组邻边相等一个角是直角菱形两腰相等一组对边平行等腰梯形四边形另一组对边不平行梯形一个角是直角直角梯形两组对边都不平行任意四边形典题精练【例 4】如图 1，矩形 MNPQ 中，点 E、F、G、H 分别在 NP、PQ、QM 、MN 上，若∠ 1=∠ 2=∠ 3=∠ 4，则称四边形 EFGH 为矩形 MNPQ 的反射四边形．在图 2、图 3 中，四边形 ABCD 为矩形，且 AB=4 ，BC=8．M G Q A G D A D1FF3 2 HF HN4P B E CB E CE图 3图 1图 2⑴在图 2、图 3 中，点 E、F 分别在 BC、CD 边上，图 2 中的四边形 EFGH 是利用正方形网格在图上画出的矩形ABCD 的反射四边形．请你利用正方形网格在图 3 上画出矩形 ABCD 的反射四边形 EFGH ；⑵图 2、图 3 中矩形 ABCD 的反射四边形 EFGH 的周长是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图 3 中矩形 ABCD 的反射四边形EFGH 的周长各是多少；⑶图 2、图 3 中矩形 ABCD 的反射四边形 EFGH 的面积是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图 3 中矩形 ABCD 的反射四边形EFGH 的面积各是多少．（ 2013 门头沟区二模）【解析】⑴如图 3 所示：利用正方形网格在图 3 上画出矩形 ABCD 的反射四边形EFGH ．AGD HF⑵∵图2中 HE=2 5，EF 2 5 ，GF= 2 5 ，HG=2 5 ， B E C ∴四边形 EFGH 的周长为： 2 5 4 8 5 ，图3中HE=3 5，EF 5,GF 3 5,HG 5 ,∴四边形 EFGH 的周长为： 3 5 5 2 8 5∴图 2、图 3 中矩形 ABCD 的反射四边形EFGH 的周长是定值，定值是8 5⑶∵图 2 中四边形 EFGH 的面积为：14 8 16 ，211 213 6 2 12，图 3 中四边形 EFGH 的面积为： 4 8 22 2∴图 2、图 3 中矩形 ABCD 的反射四边形EFGH 的面积不是定值，它们的面积分别是16、12．【例 5】操作：如图①在正方形ABCD 中，点 E 是 BC 的中点，将△ ABE 沿 AE 折叠后得到△ AFE ，点F 在正方形 ABCD 内部，延长 AF 交 CD 于点 G．易知 FG=GC．探究：若将图①中的正方形改成矩形，其他条件不变，如图②，那么线段GF 与 GC 相等吗？请说明理由．拓展：如图③，将图①中的正方形ABCD 改为平行四边形，其他条件不变，若AB=3， AD=4，A D A D A DFF GFGGCB EC B E B E C图①图②图③【解析】探究： GF =GC，理由是：连接CF ，∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ B=∠ ECG=90°，∵△ ABE 沿 AE 折叠后得到△ AFE ，∴BE=EF，∠ GFE=∠AFE=∠B=90°，∵ BE=CE，∴EF=EC，∴∠ EFC=∠ ECF ，∴∠ GFC=∠ GCF，∴GF=GC．拓展：连接CF，∵△ ABE 沿 AE 折叠后得到△AFE ，B=∠AFE，边形 ABCD 是平行四边形，（ 2013 长春一模）A DFGB E CA D∴ ∠F∵ 四∴ AB∥ CD，G ∴ ∠BE CB+∠C=180 °，∵ ∠AFE+∠GFE =180 °，∴ ∠C=∠ GFE ，∵∠ EFC=∠ ECF ，∴∠ GFC=∠ GCF，∴ GF=GC．∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=3=AF ，∵ AD=4 ，∴△ AGD 的周长是 AD +DG+AF=4+DG +AF+FG=4+ DG +CG+AF=4+3+3=10 ．真题赏析【例 6】已知：如图1，在四边形ABCD 中， AD=BC，∠ A、∠ B 均为锐角．⑴当 A B 时，如图2， CD 与AB的位置关系是 CD AB ，大小关系是 CD AB ；⑵当A≠ B 时，CD与 AB 的大小关系是否还成立，证明你的结论．求证： AGC DAG ．D D FC D C CHA B A B A E图 1 图 2 图 3 【解析】⑴如图 1，作 DE 平行于 BC 交 AB 于点 E，∴∠ B=∠ AED ，∵∠ A=∠ B，∴∠ A=∠ AED ，∴AD=DE，∵ AD=CB，∴DE=CB，∵ DE∥ BC，∴四边形 CBED 为平行四边形，∴DC 平行且等于 EB，∵EB＜ AB，∴CD∥AB ，CD ＜ AB；⑵CD＜AB 还成立证明：如图2，分别过点 D 、 B 作 BC、 CD 的平行线，两线交于 F 点，作∠ ADF 的平分线交AB 于 G 点，连接GF．∴四边形 DCBF 为平行四边形∴FD =BC， DC=FB∵AD=BC∴AD=FD∴∠ ADG=∠ FDG ．在△ADG 和△FDG 中GB（2013 年 101 中学期末）D CA E B图 1DCFA G B图 2AD FDADG FDG ，DG DG∴△ ADG≌△ FDG （ SAS）∴AG=FG，∵在△BFG 中， FG +BG＞ BF，∴AG+BG＞ DC，∴DC＜AB ．⑶连接 AC，取 AC 中点 P，连接 PE、 PF， PE 交 AG 于 Q，延长 AD 、 EF 交于 R则 PF 1AD， PE1BC ，∵AD =BCR 2 2∴PF=PE，∴∠ PEF=∠ PFE ∵PE∥ BC， AG⊥ EF∴∠ AGC=∠ PQA=90°－∠ PEF ∵PF∥ AD ， AG⊥EF∴∠ DAG=90°－∠R=90°－∠ PFE ∴∠ AGC=∠ DAGD FCPGQHAE B图 3思维拓展训练 ( 选讲 )训练 1. 如图，小明将一块边长为 6 的正方形纸片折叠成领带形状，其中 D CF 30 ，B点落在 CF 边上的 B 处，则 AB 的长为______________．（海淀一模）A AAF E FB D BD′B′C C C【解析】 3 3 ．提示：将图形还原，将AB放在四边形AEBF 或△AEB中AF EB′计算 . 四边形 AEB F 是一个经典的基本模型.将它放大，如图所示， B D EAF EBF 90 ,AE AF,延长BE至M,使得EM BF,易证△ B AM 是等腰直角三角形，则B F B E.2 AB 在原图中可以计算得到：BF 2 26,BE 2 ,所以 2 AB 326，C AB 3 3 .训练 2. 如图，矩形纸片 ABCD 中， AB 26 厘米， BC 18.5 厘米，点点 P 是 AB 边上一动点．按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕 MN步骤二，过点 P 作 PT AB ，交MN所在的直线于点Q ，连接E 在 AD上，且AE6厘米，（如图①）；QE （如图②）．DMC DC TQ 10E EA N PB A P20B图①图②图③⑴无论点 P 在 AB 边上任何位置，都有PQ QE （填“”、“ ”、“ ”）；⑵如图③所示，将矩形纸片①当点 P 在 A点时， PT②当 PA 6 厘米时，PTABCD 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：与 MN 交于点Q1 ， Q1 点的坐标是（，）；与 MN 交于点Q2 ， Q2 点的坐标是（，）；③当 PA a 厘米时，在图③中用尺规作出MN （不要求写作法，要求保留作图痕迹），PT与 MN 交于点Q3，Q3点的坐标是（，）．DCDC10 10 EEA 20BA20B备用图备用图（崇文一模）【解析】 ⑴ 无论点 P 在 AB 边上任何位置，都有 PQ QE ；⑵ ①当点 P 在 A 点时， PT 与 MN 交于点 Q 1 ， Q 1 点的坐标是 0 ，3 ； ②当 PA 6 厘米时， PT 与 MN 交于点 Q 2 ， Q 2 点的坐标是 6 ，6 ；③当 PAa 厘米时，在图 ③ 中用尺规作出 MN （连接 EP ，作中垂线，作图略） ，连接 EP ，作中垂线， Q 3 点的坐标是设 Q 3 a ，y ，过 Q 3 作 Q 3 F AD 于 ∴ Q 3 F AP a ， Q 3 P y∵ Q 3 P Q 3 E ， ∴ Q 3 E y2 aa ， 3 ．12F ,∴ EFAF AEy62EF 22∵ Q 3EQ 3 F2y 6 221 2∴ ya ， ∴ y a 312∴ Q 3 点的坐标是 a ，a 23 ． 12【点评】 此题是一道考察折叠不变性的题，题目看似很难，其实只需要按照要求作图，再按照折叠不变性，列出方程．训练 3. 将矩形纸片 ABCD 分别沿两条不同的直线剪两刀， 使剪得的三块纸片恰能拼成一个三角形（不能有重叠和缝隙） . 图 1 中提供了一种剪拼成等腰三角形的示意图.APDAD①③EF②④BCBC图1 图2⑴ 请提供另一种剪拼成等腰三角形的方式，并在图2 中画出示意图；y yD D A AB C x B Cx图3 备用图⑵以点 B 为原点，BC所在直线为x 轴建立平面直角坐标系（如图），点D的坐标为8，5 ．若剪拼后得到等腰三角形MNP ，使点M、 N 在y轴上（M在 N 上方），点P在边 CD 上（不与C 、D重合）.设直线PM的解析式为y kx b（k0 ），请写出所有符合条件的k 的取值及相应的 b 的取值范围（不要求写解题过程）.（海淀期中统考）【分析】图形的拼接实质就是全等变换，抓住边的平行关系和线段的中点构造“8”形字.【解析】⑴答案不唯一，例如：ADA DADB CB CB C.⑵结论： k 5， 5 b 10 ；k3， b 8 ；k1， b 7 ．8 4 2提示：由题意，△ MNP 与矩形 ABCD 的面积相等，且P到MN的距离为8 ，故 MN 10 ．要使得拼接得到的△ MNP 为等腰三角形，三种情况：①PM PN ，如图给出了一种特殊的分割方法，P为CD中点，AM BN 2.5 ，P 8，2.5 ，M 0，7.5 ，此时直线 PM 的解析式满足k 5．若 P 不是CD中点，只需保持与刚才的分8割线平行即可，仍然可以拼接成符合条件的等腰三角形，所以 5 b 10 ；②PM MN ；因为P、M的水平距离为8， PM 10 ,所以P、M的竖直距离为 6 ，考虑到拼接前后部分是全等形，所以只需要AM DP 3 即可，如图所示.此时直线PM的解析式为y 3x 8 ，故 k34， b 8 .4③ PN MN ,实际就是M 、N互换位置，与上一种情况一样，此时直线PM 的解析式为y 1x 7 ，故 k1， b 7 .y y yM MMA D A D A DP PPB C x B C x B CxN N N【点评】此题比较新，是一道很好的试题，还有拓展空间．确定这个图形的关键点就是 D 点，我们可以一般化，如设 D m，n ， m，n为正实数，这将是一道比较难的数形结合的综合题．当然还可以这样进行改编，取 D 24，13 ，其他条件不变 .训练 4. 请阅读下列材料：问题：如图 1，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点A、B、E在同一条直线上，P 是线段 DF 的中点，连结PG、PC．若ABCBEF 60 ，探究 PG 与 PC 的位置关系及数量关系．小聪同学的思路是：延长GP 交 DC 于点H构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：C D C D CDP F P P FF GGGA B E A B EA B E图 1 图 2 图 3⑴直接写出上面问题中线段PG 与 PC 的关系及PG的值；PC⑵如图 2，在正方形 ABCD 和正方形 BEFG 中，点A、B、E在同一条直线上，P 是线段 DF 的中点，连结PG 、 PC ，探究 PG 与 PC 的位置关系及数量关系．⑶将图 2 中的条件“正方形 ABCD 和正方形 BEFG ”改为“矩形 ABCD 和矩形 BEFG ”其它条件不变，（如图 3），你在⑵中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（2013 首师大二附期末）【解析】⑴如图 1，延长 GP 交 CD 于 H，∵P 是 DF 的中点，∴ DP=FP．∵四边形 ABCD 和四边形BEFG 是菱形，DH CP FG点 A， B， E 在同一条直线上，∴ DC∥GF ，∴∠ HDP =∠ GFP．∴△ DHP ≌△ FGP （ ASA ），∴ HP=GP DH =FG∵ CD=CB， FG=GB∴CD-DH =CB -FG A B E图 1即： CH=CG∴△ HCG 是等腰三角形，∴ PC ⊥ PG ，∠ HCP =∠ GCP （等腰三角形三线合一） ∴∠ CPG=90°．∵∠ ABC=60°， ∴∠ DCB =120°，∴∠ GCP= 1∠ DCB =60°，2∴ Rt △CPG 中：PG3 ．PC故 PG ⊥PC ，PG=PC ，PG3 ．PC⑵ PG ⊥ PC 且 PG=PC ；理DHC由：如图 2，延长 GP 交 DC 于点 H ，四边形 ABCD 和 BEFG 是正方形，DC=BC ， BG=GF ，∠ FGB =∠GCD =∠ DCB =90°，∵PGF∴∴ABECD ∥ GF ，∠ CDP=∠ GFP ．是线段 DF 的中点，∴ DP=FP ．∴△ DHP ≌△ FGP （ ASA ），∴ DH =FG ， PH=PG ，∴ HC=GC ，∴△ HCG 是等腰直角三角形，∵ PH=PG∴ PG ⊥ PC 且 PG=PC ．⑶如图 3，延长 GP 交 DC 于点 H ， ∵ 四边形 ABCD 和 BEFG 是矩形，∴ FGB=∠ GCD=∠ DCB=90°，∴ CD ∥GF ， ∴∠ CDP=∠ GFP ． ∵ P 是线段 DF 的中点，∴ DP=FP ． ∴△ DHP ≌△ FGP （ ASA ），∴ PH=PG= 1HG ，2图 2∴∵ PD H CP F ∴△ HCG 是直角三角形，∴CP= 1HG，2∴PG=PC；GA B E图 3复习巩固题型一动手操作题巩固练习【练习 1】如图，矩形纸片ABCD 中， AB 8 ，将纸片折叠，使顶点 B 落在边 AD 上的点为E，折痕的一端 G 点在边 BC 上（ BG＜ GC），另一端 F 落在矩形的边上，BG10 ．⑴请你在备用图中画出满足条件的图形；⑵求出折痕 GF 的长．A D A D A DB G CB G CB G C备用图 1 备用图 2 备用图 3（平谷二模）【解析】⑴正确画出图⑴、图⑵⑵如图 1，当点 F 在 AB 上时，过点 G 作 GH⊥ AD，则四边形ABGH 为矩形，∴GH=AB=8， AH=BG=10，设 BF=x,由图形的折叠可知△BFG≌△ EFG，∴EG=BG=10，BF=EF=x,在 Rt△GEH 中，由勾股定理，得EH =6，∴ AE=4. ∵∠ A=90°， AF= 8x,EF x ,EF2AF2AE2 A EH D FB CG图1∴ x2 8 x 242解方程，得x 5. ∴ BF=5 ，2 2∵ BG=10，∴ FGBG BF 5 5.如图 2，当点 F 在 AD 边上时，连接 HG 、BE、 FG 因为四边形 HFGE 由四边形 ABGF 折叠得到，由折叠可知 ,BG=EG，AB =EH，∠ BGF =∠EGF ，∵EF∥ BG，∴∠ BGF =∠ EFG ，∴∠ EGF =∠ EFG，∴ EF=EG，∴ BG=EF，∴四边形 BGEF 为平行四边形又∵EF=EG，∴平行四边形BGEF 为菱形∴ BE，FG 互相垂直平分，在 Rt△EFH 中， EF=BG=10 ， EH=AB =8，由勾股定理可得 FH =AF=6 ，∴ AE=16，∴ BE=2AB 25 ，∴ BO=4 5 ，AE =8 ∴ FG=2OG=2 BG225BO =4【练习 2】⑴如图 1， AD 为 △ ABC 的中线，点E 在边 AC 上，过点 E 作一直线平分 △ ABC 的面积 .⑵如图 2，点 E 为平行四边形 ABCD 边 AD 上一点， 过点 E 作一直线平分平行四边形ABCD 的面积 .⑶如图 3，点 E 为梯形 ABCD 上底 AD 上一点，过点E 作一直线平分梯形 ABCD 的面积 .ADAEEDA EDAEBDCBCBCBC图1图 2图 3图【解析】 ⑴如图 1，连接 DE ，作 AF ∥DE 交 BC 于 F , EF 为所求 .⑵ 如图 2，连接 AC 和 BD 交于点 O ，直线 OE 为所求 .⑶如图 3，取 AB ， CD 的中点 M ， N,取 MN 中点 F ,直线 EF 为所求 .ADAEDAEEDMAEOMNFNBF DC BCBCBC图 1图2图 3图【练习 3】已知 : 如图， △ ABC 中， ACAB BC⑴在 BC 边上确定点 P 的位置，使 APCC ．请画出图形，不写画法；⑵在图中画出一条直线 l ，使得直线 l 分别与 AB 、 BC 边交于A点 M 、 N ．并且沿直线 l 将△ ABC 剪开后可拼成一个等腰梯形， 请画出直线 l 及拼接后的等腰梯形，并简要说明你的剪拼方法．说明：本题只需保留画图痕迹，无需尺规作图．BC（西城一模）【分析】 第一问比较简单．若抓住梯形中的常见辅助线以及第一问的提示作用，第二问就不难了．等腰梯形可以通过平移腰出现等腰三角形，那么等腰三角形也可以平移腰出等腰梯形就可以轻松找到裁剪线，问题就圆满解决了．【解析】 ⑴ 答案见图 4（任选一种即可） ．⑵ 答案见图 5．剪拼方法：取 AB 的中点 M ，过点 M 作 AP 的平行线 l ，与 BC 交于点 N ，过点 A 作 BC 的平A A H A行线，与 l 交于点 H ，将 △ BMN 绕点 M 顺时针旋转 180 到 △ AMH ，则四边形 ACNH 为拼接后的等腰梯形．题型二四边形性质与判定综合 巩固练习【练习4】如图，在线段 AE 的同侧作正方形 ABCD 和正方形 BEFG B EA B ，连接 EG 并延长交 DC 于点 M ，作M NA B ，垂足为点 N ， MN 交 BD 于点 P ，设正方形ABCD 的边长为 1．⑴ 证明：四边形 MPBG 是平行四边形；⑵ 设 BEx ，四边形 MNBG 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；⑶ 如果按题设作出的四边形BGMP 是菱形，求 BE 的长．【解析】 ⑴ ∵ 四边形 ABCD 、 BEFG 是正方形∴ ∠DBA ∠FEB 90 ， ∠ABD ∠BEG45 ，D MCGFPANBE（ 2013 东城区南片期末）∴ DB ∥ ME ．∵ MN AB ，CB AB ，∴ MN ∥CB ．∴ 四边形 MPBG 是平行四边形；⑵∵ 正方形 BEFG 中，设 BG BE x ．∵ CMGBEG 45 ，∴CGCMBN 1- x ．111 1 2x 1 ；∴ y （ GB MN ） BN1 x 1 x2 2 x ， 022⑶ 由四边形 BGMP 是菱形，则有 BG MG ，即 x2 1 x ．解得 x2- 2，∴ BE 2- 2 ．【练习 5】△ ABC 是等边三角形，点 D 是射线 BC 上的一个动点（点 D 不与点 B 、 C 重合），△ ADE 是以 AD 为边的等边三角形， 过点 E 作 BC 的平行线， 分别交射线 AB 、AC 于点 F 、G ，连接 BE ．⑴如图（ a ）所示，当点 D 在线段 BC 上时．探究四边形 BCGE 是怎样特殊的四边形？并说明 理由；⑵如图（ b ）所示，当点 D 在 BC 的延长线上运动到什么位置时，四边形 BCGE 是菱形？并说明理由．（ 2013 年十三分期中）AAE F GB DCB D C图 (a) F E G图 (b)【解析】⑴ ∵△ ABC 和△ ADE 都是等边三角形，∴AE=AD ， AB=AC，∠ EAD=∠ BAC=60°，又∵∠ EAB=∠ EAD -∠ BAD，∠ DAC=∠ BAC-∠ BAD，∴∠ EAB =∠ DAC ，∴△ AEB ≌△ ADC （SAS），∴∠ ABE =∠ C=60°．又∵∠ BAC=∠ C=60°，∴∠ ABE =∠ BAC ，∴EB∥ GC，又∵ EG∥BC，∴四边形 BCGE 是平行四边形；⑵当 CD =CB 时，四边形 BCGE 是菱形．理由：同⑴，△AEB≌△ ADC，∴BE=CD ，又∵四边形 BCGE 是菱形，∴BE=CB，∴CD =CB，即 CD=CB 时，四边形 BCGE 是菱形．第十六种品格：感恩子路借米孝敬父母中国有句古语：“ 百善孝为先” 。
四边形中的动点问题
四边形中的动点问题动点问题是初中数学中常见的问题之一。
这种问题涉及到一些物体或点在平面或空间中的运动轨迹，从而引发一系列有趣的问题。
本文将重点讨论四边形中的动点问题。
一、定义四边形是一个拥有四个端点并且每个端点有两条相邻的边相连的图形。
在四边形中，如果一些点在边界或内部移动，我们称这些点是动点。
二、基本问题四边形中的动点问题主要有三个基本问题：1. 四边形内任取一个动点，这个点的移动轨迹是什么？2. 四边形内任取两个动点，它们的运动是否有任何联系？3. 四边形内任取三个动点，它们是否存在特殊的位置关系？三、解决方法1. 关于第一个问题，我们可以采用向量法、坐标法、三角函数法等不同的方式来解决。
其中最常用的方法是向量法，即用向量表示动点在平面内的位置，并利用向量的加减法来求得动点的移动轨迹。
比如，对于任意一边AB，在边AB上取一点C，设动点P的向量表示为向量a，向量AC表示为向量b，则P点在AC向量上的投影可以表示为向量b’。
而向量a’可以表示为由向量b’平移而来的向量，其中平移的大小和方向取决于向量b和a之间的夹角。
2. 第二个问题比较复杂，需要利用向量叉乘、双曲线函数等高深的数学知识来解决。
一般来说，我们需要找到两个动点之间的代数关系式，再根据这个关系式来判断它们是否有联系。
比如，如果我们发现两个动点在一条直线上运动，则它们存在一定的约束条件，这个约束条件可以用向量叉乘来表达。
3. 第三个问题则是考验计算几何能力的问题。
一般来说，我们需要找到一种不变量来描述三个动点之间的特殊位置关系。
比如，如果我们发现这三个动点共线，则我们可以通过向量叉乘或线性方程组来计算它们的位置关系。
如果我们发现这三个点可以构成一个三角形，则我们可以通过三角形的几何性质来判断它们的位置关系。
如果我们发现这三个动点可以构成一个正方形或者矩形，则我们可以通过它们的对角线、边长、面积等几何参数来计算它们的位置关系。
四、典型例题1. 在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AE=CF。
(完整版)初二动点问题(含答案)
动态问题一、所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键：动中求静.数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想类型：1。
利用图形想到三角形全等，相似及三角函数2.分析题目，了解有几个动点，动点的路程,速度(动点怎么动)3.结合图形和题目,得出已知或能间接求出的数据4。
分情况讨论,把每种可能情况列出来，不要漏5.动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路6。
动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示,就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论二、例题：1、如图1,梯形ABCD中，AD∥ BC，∠B=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P，Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。
当t= 时,四边形是平行四边形；当t= 时,四边形是等腰梯形.2、如图2,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,且DM=1，N为对角线AC上任意一点,则DN+MN的最小值为．的长为 ；的长为 ;4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；（2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证：DE=AD—BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.5、数学课上，张老师出示了问题:如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BCEFCF于点F，求证：AE=EF．AB的中点M,连接ME,则AM=EC在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点"改为“点E是边BC上(除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由;（2）小华提出：如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确,请说明理由．ACBAED图1NMA BCDEMN图2ACBEDNM图36、如图， 射线MB上，MB=9，A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动，设P的运动时间为t.求（1）△ PAB为等腰三角形的t值；(2)△ PAB为直角三角形的t值；（3） 若AB=5且∠ABM=45 °,其他条件不变，直接写出△ PAB为直角三角形的t值（1）如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向CCA上由C点向A点运动①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时，能（2）若点Q以②中的运动速度从点C来的运动速度从点B边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次哪条边上相遇?A DFC GEB图1A DFC GEB图3A DFC GEB图2。
四边形中的动点问题(带答案)
四边形中的动点问题（带答案）四边形中的动点问题1、如图，把矩形ABCD沿 EF翻折，点B恰好落在AD边的B'处，若AE= 2, DE= 6,Z EFB= 60°, 则矩形ABCD勺面积是 _____________________2、如图，在四边形ABCD中对角线ACL BD 垂足为0,点E, F, G, H分别为边AD AB, BC CD 的中点•若AC= 8, BD= 6,则四边形EFGH的面积为3、如图，正方形ABCD勺边长为4,点P在DC 边上，且DP= 1,点Q是AC上一动点，则D® PQ 的最小值为 _____________________4、如图，在Rt△ ABC中，/ B= 90°,AC= 60 cm Z A= 60°，点D从点C出发沿CA方向以4 cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D, E 运动的时间是t s(0 < t < 15) •过点D作DF 丄BC于点F,连接DE EF.(1)求证：AE= DF;(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△ DEF为直角三角形？请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm射线AG// BC,点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t. (1)连接EF当EF经过AC边的中点D时，(1)求证：△ ADE^A CDF：6、在菱形ABCD中，/ B=60°,点E在射线BC上运动，/ EAF=60，点F在射线CD上(1)当点E在线段BC上时(如图1)( 1)求证：EC+CF=A； (2) 当点E在BC的延长线上时(如图2),线段EC CFAB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明图1 027、如图，在菱形ABC［中, AB=2 / DAB=60 , 点E 是AD边的中点.点M是AB边上一动点（不与点A重合）,延长ME交射线CD于点N 连接MD AN（1）求证：四边形AMDI是平行四边形；（2）填空：①当AM的值为时，四边形AMD是矩形；②当AM的值为时，四边形AMD是菱形.D8 如图，△ ABC中，点0是边AC上一个动点，过0作直线MN BC 设MN交/ BCA的平分线于点E, 交/ BCA 的外角平分线于点F.(1)探究：线段0E与OF的数量关系并加以证明；(2)当点0运动到何处，且△ ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？(3)当点0在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由.9、如图，已知菱形ABC［中, / ABC=60 , AB=8 过线段BD上的一个动点P (不与B、D重合)分别向直线AB AD作垂线，垂足分别为E、F.(1)BD的长是______ ;(2)连接PC当PE+PF+P(取得最小值时，此时PB的长是_______10、如图，/ MON=9°,矩形ABCD勺顶点A B 分别在边OM ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OMk运动，矩形ABCD勺形状保持不变，其中AB=2 BC=1运动过程中，点D到点O的最大距离为 __________________ .11、如图，已知矩形ABCD AD=4 CD=10 P是AB上一动点，M N E分别是PD PC CD的中点.(1)求证：四边形PMEI是平行四边形；(2)请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN 是菱形；(3)四边形PMEf有可能是矩形吗？若有可能,求出AP的长；若不可能，请说明理由.12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm AC=16cm AC BD相交于点0,若E, F 是AC上两动点，分别从A, C两点以相同的速度向C、A 运动，其速度为0.5cm/s。
四边形中的动态问题(动点)
四边形中的动态问题图形中的点、线的运动，构成了数学中的一个新问题——动态几何。
它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。
在解这类题时，要充分发挥空间想象的能力，往往不要被“动”所迷惑，而是要在“动”中求“静”，化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式，就能找到解决问题的途径。
例1、Rt△PMN中，∠P＝90°，PM＝PN，MN＝8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上。
令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动，直到C点与N点重合为止。
设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式？例练、菱形OABC的边长为4cm，∠AOC=600，动点P从O出发，以每秒1cm的速度沿O-A-B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从O出发，在OA上以每秒1cm的速度运动，在AB上以每秒2cm的速度沿O-A--B运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线，设P点运动的时间为x秒，这两条平行线在菱形上截出的图形的周长为ycm，问当x为多少时，周长y可能为一个定值，定值为多少？四边形动点问题(一)1.（1）如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论.2.已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P（A点除外），过P点作EF∥AB，分别交AC，BC于E，F点，作PM∥AC，交AB于M点，连接ME．（1）求证：四边形AEPM为菱形；（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？3. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD=5，BC=12，CD=，∠C=45°，点P是BC边上一动点，设PB的长为x．（1）当x的值为时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形；（2）当x的值为时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．4. 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=，∠B=45°．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于．5.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t=时，四边形MNCD是平行四边形．（2）当t=时，四边形MNCD是等腰梯形6.如图，在ΔABC中，D是BC的中点，BC=10㎝,AD=7㎝,从点A沿着A→D的方向运动，速度是每秒2㎝，连结CE,BE,过点B作BF∥CE,交射线AD于点F,设运动时间为t秒（0<t<3.5）（1）求证：ΔBDF≌ΔCDE（2）当t为何值时，四边形BFCE是矩形，说明理由（3）若四边形BFCE是矩形，当AB和CA满足什么条件时，四边形BFCE是正方形。
四边形中的动点问题(带答案)
四边形中的动点问题1、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠ EFB ＝2、如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H 分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为 _____3、如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ ＋PQ 的最小值为___________4、如图，在Rt△ABC中，∠ B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点 D 从点C出发沿CA方向以4cm/s 的速度向点A匀速运动，同时点E从点 A 出发沿AB 方向以2cm/s 的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts(0<t ≤15)．过点 D 作DF⊥ BC于点F，连接DE，EF.(1) 求证：AE＝DF；(2) 四边形AEFD能够成为菱形吗如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；(3)当t 为何值时，△ DEF为直角三角形请说明理由5、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm．射线AG∥BC，点E从点 A 出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动，同时点 F 从点 B 出发沿射线BC以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t.（1）连接EF，当EF经过AC边的中点 D 时，（1）求证：△ ADE≌△ CDF；：（2）当t 为____ s 时，四边形ACFE是菱形；6、在菱形ABCD中，∠ B=60°，点E在射线BC上运动，∠ EAF=60°，点 F 在射线CD上（1）当点E在线段BC上时（如图1），（1）求证：EC+CF=AB；（2）当点 E 在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB 有怎样的相等关系写出你的猜想，不需证明7、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ DAB=60°，点E是AD边的中点．点M 是AB边上一动点不与点 A 重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．（1）求证：四边形AMDN 是平行四边形；（2）填空：①当AM 的值为____ 时，四边形AMDN 是矩形；②当AM 的值为____ 时，四边形AMDN 是菱形．8、如图，△ ABC中，点O 是边AC上一个动点，过O 作直线MN ∥BC，设MN 交∠ BCA的平分线于点E，交∠ BCA 的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF 的数量关系并加以证明；（2）当点O 运动到何处，且△ ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形（3）当点O 在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗若是，请证明，若不是，则说明理由．9、如图，已知菱形ABCD中，∠ ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D 重合）分别向直线AB、AD 作垂线，垂足分别为E、F．（1）BD的长是___ ；（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB 的长是__10、如图，∠ MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON 上，当B在边ON 上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O 的最大距离为_____ ．11、如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P 是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．（1）求证：四边形PMEN 是平行四边形；（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN 是菱形；（3）四边形PMEN有可能是矩形吗若有可能，求出AP 的长；若不可能，请说明理由．12、如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD=12cm，AC=16cm，AC，BD相交于点O，若E，F 是AC上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A 运动，其速度为／s。
四边形动点问题解题技巧
四边形动点问题解题技巧
四边形动点问题是指在四边形中，指定一个或多个点 (动点) 的运动方式及方向，求其余点 (定点) 在发展过程中的坐标及对应数量关系的问题。
解决四边形动点问题需要掌握以下技巧:
1. 分析题意：认真阅读题干，了解动点的运动方式、方向及限制条件，提取关键信息，确定解题方向。
2. 建立坐标系：通常是在平面直角坐标系中解决这个问题，需要将动点的位置转化为坐标，以便于应用代数方法解决问题。
3. 建立等量关系：通过分析题目中的限制条件和运动方式，建立动点和定点的等量关系，通常可以用行程问题、角度问题等来表示。
4. 列方程解题：根据等量关系，列出代数方程，求解未知数的值，然后根据题意进行画图、分析、总结。
5. 分类讨论：对于存在角度限制或速度限制等问题的题目，需要进行分类讨论，以确保解答的正确性。
6. 注意细节：在解决问题的过程中，需要注意细节，如动点的速度、方向、持续时间等因素，以免出现不必要的错误。
综上所述，解决四边形动点问题需要有清晰的思路和扎实的数学知识基础，需要善于发现问题的本质，善于运用代数方法解决问题，同时需要注意细节和分类讨论。
人教版八年级数学下册-难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题
难点探究专题(选做)：特殊四边形中的综合性问题◆类型一特殊平行四边形的动态探究问题一、动点问题1．(2016·枣庄中考)如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝63，∠BAD＝60°，且AB>6 3.(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝10，求AE＋AF的值；(3)若△EFP的三个顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上运动，请直接写出AP的最大值和最小值．二、图形的变换问题2．如图①，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°<α<360°)得到正方形OE′F′G′，如图②.①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．◆类型二四边形间的综合性问题3．(2016·德州中考)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．(1)如图①，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；(2)如图②，点P是四边形ABCD内一点，且满足P A＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；(3)若改变(2)中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．(不必证明)参考答案与解析1．解：(1)如图①，过点P 作PG ⊥EF 于点G ，H 为PE 的中点，连接GH ，∴∠PGE＝90°，GH ＝PH ＝HE ＝12PE ＝3.∵PF ＝PE ，∴∠FPG ＝∠EPG ，FG ＝GE ＝12EF ＝3 3.在Rt △PGE 中，由勾股定理得PG ＝PE 2－GE 2＝62－（33）2＝3.∴PG ＝GH ＝PH ，即△GPH 为等边三角形，∴∠GPH ＝60°，∴∠FPE ＝∠FPG ＋∠GPE ＝2∠GPE ＝2×60°＝120°.(2)如图①，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，作PN ⊥AD 于点N ，∴∠ANP ＝∠AMP ＝90°.∵AC为菱形ABCD 的对角线，∴∠DAC ＝∠BAC ＝12∠DAB ＝30°，PM ＝PN .在Rt △PME 和Rt △PNF 中，PM ＝PN ，PE ＝PF ，∴Rt △PME ≌Rt △PNF ，∴ME ＝NF .∵∠P AM ＝30°，AP＝10，∴PM ＝12AP ＝5.由勾股定理得AM ＝P A 2－PM 2＝5 3.在△ANP 和△AMP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠NAP ＝∠MAP ，∠ANP ＝∠AMP ＝90°，AP ＝AP ，∴△ANP ≌△AMP ，∴AN ＝AM ＝5 3.∴AE ＋AF ＝(AM ＋ME )＋(AN －NF )＝AM ＋AN ＋ME －NF ＝10 3.(3)如图②，△EFP 的三个顶点分别在AB ，AD ，AC 上运动，点P 在P 1，P 之间运动．P 1O ＝PO ＝12PE ＝3，AE ＝EF ＝63，AO ＝AE 2－EO 2＝9.∴AP 的最大值为AO ＋OP ＝12，AP 的最小值为AO －OP 1＝6.2．(1)证明：如图，延长ED 交AG 于点H .∵四边形ABCD 与OEFG 均为正方形，∴OA ＝OD ，OG ＝OE ，∠AOG ＝∠DOE ＝90°，∴Rt △AOG ≌Rt △DOE ，∴∠AGO ＝∠DEO .∵∠AGO ＋∠GAO ＝90°，∴∠DEO ＋∠GAO ＝90°，∴∠AHE ＝90°，即DE ⊥AG ；(2)解：①在旋转过程中，∠OAG ′成为直角有以下两种情况：a ．α由0°增大到90°过程中，当∠OAG ′为直角时，∵OA ＝OD ＝12OG ＝12OG ′，∴∠AG ′O ＝30°，∠AOG ′＝60°.∵OA ⊥OD ，∴∠DOG ′＝90°－∠AOG ′＝30°，即α＝30°；b ．α由90°增大到180°过程中，当∠OAG ′为直角时，同理可求的∠AOG ′＝60°，∴α＝90°＋∠AOG ′＝150°.综上，当∠OAG ′为直角时，α＝30°或150°；②AF ′长的最大值是2＋22，此时α＝315°. 3．(1)证明：如图①中，连接BD .∵点E ，H 分别为边AB ，DA 的中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD .∵点F ，G 分别为边BC ，CD 的中点，∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴EH ∥FG ，EH ＝GF ，∴中点四边形EFGH 是平行四边形．(2)解：四边形EFGH 是菱形．理由如下：如图②中，连接AC ，BD .∵∠APB ＝∠CPD ，∴∠APB ＋∠APD ＝∠CPD ＋∠APD ，即∠APC ＝∠BPD .在△APC 和△BPD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝PB ，∠APC ＝∠BPD ，PC ＝PD ，∴△APC ≌△BPD ，∴AC ＝BD .∵点E ，F ，G 分别为边AB ，BC ，CD 的中点，∴EF ＝12AC ，FG ＝12BD ，∴EF ＝FG .∵四边形EFGH 是平行四边形，∴四边形EFGH 是菱形．(3)解：四边形EFGH 是正方形．理由如下：如图②中，设AC 与BD 交于点O .AC 与PD 交于点M ，AC 与EH 交于点N .∵△APC ≌△BPD ，∴∠ACP ＝∠BDP .∵∠DMO ＝∠CMP ，∴∠COD ＝∠CPD ＝90°.∵EH ∥BD ，AC ∥HG ，∴∠EHG ＝∠ENO ＝∠BOC ＝∠DOC ＝90°.∵四边形EFGH 是菱形，∴四边形EFGH 是正方形．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．19.2.3 一次函数与方程、不等式一．选择题（共8小题）1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（）A．x=2B．y=2C．x=﹣1D．y=﹣12．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx+b=0的解为（）A．x=﹣1B．x=2C．x=0D．x=33．一元一次方程ax﹣b=0的解x=3，函数y=ax﹣b的图象与x轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（﹣3，0）C．（a，0）D．（﹣b，0）4．已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．若方程x﹣3=0的解也是直线y=（4k+1）x﹣15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1D．±16．如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．7．如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m ＞nx+4n＞0的整数解为（）A．﹣1B．﹣5 C．﹣4D．﹣38．如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则不等式kx+b＜0的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜1C．x＜1 D．x＞1二．填空题（共10小题）9．若直线y=2x+b与x轴交于点（﹣3，0），则方程2x+b=0的解是_________．10．如图是一次函数y=kx+b的图象，则方程kx+b=0的解为_________．11．一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为_________．12．如图，已知直线y=ax﹣b，则关于x的方程ax﹣1=b的解x=_________．13．如图，直线y=kx+b分别交x轴和y轴于点A、B，则关于x的方程kx+b=0的解为_________．14．如图，已知函数y=2x+b和y=ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），根据图象可得方程2x+b=ax﹣3的解是_________．15．如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx﹣3的图象交于点P，则不等式kx﹣3＞2x+b的解集是_________．16．如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为_________．17．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是_________．18．如图，函数y=kx和的图象相交于A （a，2），则不等式的解集为_________．三．解答题（共4小题）19．如图，根据函数y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象，求：（1）方程kx+b=0的解；（2）式子k+b的值；（3）方程kx+b=﹣3的解．20．如图，直线l1：y=2x与直线l2：y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P．（1）写出不等式2x＞kx+3的解集：_________；（2）设直线l2与x轴交于点A，求△OAP的面积．21．在平面直角坐标系x0y中，直线y=kx+b（k≠0）过（1，3）和（3，1）两点，且与x轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≤0的解．22．在直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）经过（﹣2，1）和（2，3）两点，且与x 轴、y轴分别交于A、B两点，求不等式kx+b≥0的解集．。
初中数学：四边形中的动点问题 专题
(3)设经过 t s 时，PQ＝CD，分别过点 P，D 作 BC 边的垂线 PE， DF，垂足分别为 E，F.
当 CF＝EQ 时，四边形 PQCD 为梯形(腰相等)或者平行四边形． ∵∠B＝∠A＝∠DFB＝90°， ∴四边形 ABFD 是矩形．∴AD＝BF. ∵AD＝12 cm，BC＝18 cm， ∴CF＝BC－BF＝6 cm.
四边形中的动点问题
【例】 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AB ＝8 cm，AD＝12 cm，BC＝18 cm，点 P 从点 A 出发，以 1 cm/s 的速 度向点 D 运动；点 Q 从点 C 同时出发，以 2 cm/s 的速度向点 B 运动．规 定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点 P，Q 运动的时间为 t s.
解：不存在．理由： 要使四边形 PQCD 是菱形，则四边形 PQCD 一定是平行四边形． 由例知当 t＝4 s 时，四边形 PQCD 是平行四边形． 此时 DP＝12－t＝8≠10，即 DP≠DC， 所以按已知速度运动，四边形 PQCD 只能是平行四边形，不可能 是菱形．
【拓展变式 2】 从运动开始，当 t 取何值时，四边形 PQBA 是矩 形？
在 Rt△DQH 中，DH2＋QH2＝DQ2. ∴82＋|2t－6|2＝(2t)2. 解得 t＝265. 综上，当 t＝5 或 6 或265时，△DQC 是等腰三角形．
解：如图，由题意，得 AP＝t，DP＝12－t，CQ＝2t，BQ＝18－
2t. 要使四边形 PQBA 是矩形，已有∠B＝90°，AD∥BC，即 AP∥BQ，
只需满足 AP＝BQ，即 t＝18－2t，解得 t＝6. 所以当 t＝6 时，四边形 PQBA 是矩形．
【拓展变式 3】 在整个运动过程中是否存在 t 值，使得四边形 PQBA 是正方形？若存在，请求出 t 值；若不存在，请说明理由．
第十八章平行四边形四边形中的动点问题(教案)人教版八年级数学下册
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平行四边形中动点问题的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对动点问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现同学们对平行四边形内动点问题的探究表现得非常积极。他们对于动点的运动规律和性质有了初步的认识，也尝试着将这些知识应用到实际问题中。我觉得这是一个很好的开始，但也发现了一些需要改进的地方。
首先，理论讲授部分，我发现有些同学对动点问题的基本概念掌握不够扎实。可能是我讲解得不够细致，也可能是同学们对这些概念还不够熟悉。在以后的教学中，我需要更加注意这一点，尽量用简单易懂的语言和丰富的例子来帮助他们理解。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调动点的运动规律和利用平行四边形性质解题这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与动点问题相关的实际问题。
2.实行四边形中的运动规律和性质。
-难点二：在实际问题中，学生可能不知道如何选择合适的定理和性质来解决动点问题。教师应指导学生通过分析问题结构，识别关键信息，进而选择恰当的几何定理进行求解。
-难点三：针对不同动点问题，如路径最短、面积最大等，学生可能不知如何下手。教师应教授学生分类讨论和优化的方法，帮助学生理清思路，找到解题突破口。
4.培养合作意识和团队精神，在小组讨论和探究过程中，学会倾听、交流、表达和协作，共同解决问题。
专题二次函数与四边形(动点问题)专题(教学设计)
专题：二次函数与代几综合题专题（二次函数与四边形）首都师范大学附属丽泽中学张庆云教学目标：1.学生经历课上对简单动点问题的君朋讲习，理解特殊四边形的性质和判定，对简单动点问题的解题方法有初步的理解；2.经历较复杂背景下，动点问题的求解方法解题策略的归纳提升；3.在自主解题、君朋讲习和师生探究的学习过程中体会数形结合、分类讨论、方程思想等主要数学思想方法在解题中的应用，体会探索数学的乐趣。
教学重点：经历应用四边形的性质和判定定理解决二次函数与四边形形状问题教学难点：运用图形的性质和判定寻找运动中的特殊位置，利用方程思想解决问题教学过程：一、教师导学：教师将25题代几综合题的常见考点带着学生梳理，提炼解题策略。
本节课目标导学：点动、线动、面动构成的问题称为动态题．近几年来北京中考25题多是二次函数与几何图形相结合的代几综合题。
（一）常见考点:（1）确定二次函数解析式（2）与动点有关的存在性问题（直角、等角、等腰三角形、直角三角形、等腰三角形全等三角形、相似三角形、特殊四边形等）（3）函数类最值问题（4）运动问题中特殊位置的数量和位置关系（大胆猜想）本节课主要解决与动点有关的存在性问题的研究方法和策略（二）解题策略：动点（线、面）→画出符合条件的静态图形→设出关键点坐标→由点坐标表示线段长→建立模型（方程）→解方程求解符合条件的点坐标→验证符合题意二、君朋讲习问题串的（1）——（3）背景问题：如图，抛物线与x轴交A(-1,0)、B（3,0）两点，与y轴交于点C,顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上有一动点M，在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使以A,B,M,N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在直接写出M点的坐标.解：(2) ,说明：（1）（2）学生基本能在学生层面解决，教师针对学生问题进行归纳提升，分类问题，分类的标准，借助手中的尺子，动中取静。
（3）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m①求直线BC的解析式②用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF是平行四边形？提示工具：平面内任意两点P（a，b），Q（c，d）的距离公式说明：学生君朋讲习，体会解题策略，个别学生梳理，讲解分析，教师归纳动点问题的研究策略：关键点坐标——线段长——构建方程——解方程——验证（学生完成板书）解答略三、一题多变，提升能力提升1：问在刚在的背景下，四边形PEDF可能是菱形吗？如果可能，求m的值；如果不可能，请说明理由。
浙教版八年级数学下册第5章专题十二 特殊四边形中的动点问题
专题
∴△ADE≌△CDG. ∴AE＝CG. ∴AC＝AE＋CE＝CG＋CE. ∵AC＝ 2AB， ∴CE＋CG＝ 2AB.
专题
∵EM⊥BC，EN⊥CD，∴∠EMC＝∠ENC＝90°， ∴∠NEC＝45°，∴NE＝NC， ∴四边形EMCN是正方形． ∴EM＝EN，∠NEM＝90°. ∴∠MEF＋∠FEN＝90°. ∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEF＝90°. ∴∠DEN＋∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF.
专题
在△DEN 和△FEM 中， ∠ END＝NEEM＝，∠FME， ∠DEN＝∠FEM， ∴△DEN≌△FEM. ∴ED＝EF， ∴矩形 DEFG 是正方形．
专题
又∵EF⊥AC， ∴四边形AFCE为菱形． ∴AF＝CF. 设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm. 在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB2＋BF2 ＝AF2，即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5. ∴AF＝5 cm.
专题
(2)动点P，Q分别从A，C两点同时出发 ，沿△AFB和 △CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止， 点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的 速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s， 当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形 时，求t的值．
专题
若以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形， 则PC＝QA. ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD＝4 cm，AD＝BC＝8 cm. ∵AF＝CF＝5 cm，点P的速度为5 cm/s，点Q的速度 为4 cm/s，运动时间为t s，
专题
∴PC＝PF＋FC＝PF＋FA＝5t cm，QA ＝(AD＋CD)－(QD＋CD)＝(12－4t)cm. ∴5t＝12－4t，解得 t＝43. 故当以 A，C，P，Q 四点为顶点的四边 形是平行四边形时，t 的值为43.
初二数学-特殊四边形中的动点问题(教师版)
特殊四边形中的动点问题及解题方法1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？分析：（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．解答：解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形∴PD=CQ∴24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．（2）过D作DE⊥BC于E则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∴EC=BC-BE=2cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．（3）由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2解得：t=6.5（s）即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．2、如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．分析：（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．解答：解：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE= ∠ACB，同理，∠ACF= ∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．（3）△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵MN∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．3、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．分析：（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；（3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．综上所述可得出符合条件的t的值．解答:解：（1）∵AQ=3-t∴CN=4-（3-t）=1+t在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5在Rt△MNC中，cos∠NCM= = ，CM= ．（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形∴PC=QD，即4-t=t解得t=2．（3）如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即：（1+t）+1+t= （3+4+5）解得：t= （5分）而MN= NC= （1+t）∴S△MNC= （1+t）2= （1+t）2当t= 时，S△MNC=（1+t）2= ≠ ×4×3∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．（4）①当MP=MC时（如图1）则有：NP=NC即PC=2NC∴4-t=2（1+t）解得：t=②当CM=CP时（如图2）则有：（1+t）=4-t解得：t=③当PM=PC时（如图3）则有：在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2而MN= NC= （1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3∴[ （1+t）]2+（2t-3）2=（4-t）2解得：t1= ，t2=-1（舍去）∴当t= ，t= ，t= 时，△PMC为等腰三角形点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．4、直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A 、B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O ⇒B ⇒A 运动． （1）直接写出A 、B 两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t （秒），△OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当S= 485时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．分析：（1）分别令y=0，x=0，即可求出A 、B 的坐标； （2））因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q 由O 到A 的时间是8秒，点P 的速度是2，从而可求出，当P 在线段OB 上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t ，OP=2t ，S=t2，当P 在线段BA 上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t ，AP=6+10-2t=16-2t ，作PD ⊥OA 于点D ，由相似三角形的性质，得 PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案； （3）令S= 485，求出t 的值，进而求出OD 、PD ，即可求出P 的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M 的坐标． 解答： 解：（1）y=0，x=0，求得A （8，0）B （0，6）， （2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．∵点Q 由O 到A 的时间是 81=8（秒）， ∴点P 的速度是 6+108=2（单位长度/秒）． 当P 在线段OB 上运动（或O≤t≤3）时， OQ=t ，OP=2t ，S=t2．当P 在线段BA 上运动（或3＜t≤8）时， OQ=t ，AP=6+10-2t=16-2t ， 如图，做PD ⊥OA 于点D ，由 PDBO=APAB ，得PD= 48-6t5． ∴S= 12OQ•PD=- 35t2+245t ．（3）当S= 485时，∵ 485＞12×3×6∴点P 在AB 上 当S= 485时，- 35t2+245t= 485 ∴t=4∴PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8 AD= 82-(245)2= 325 ∴OD=8- 325= 85 ∴P （ 85， 245） M1（ 285， 245），M2（- 125， 245），M3（ 125，- 245） 点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象． 5.已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系，A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，，，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t 秒．（1）求直线BC 的解析式；（2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的27？ （3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；6.如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？四边形中的动点问题课后作业1. 如图，已知AD 与BC 相交于E ，∠1＝∠2＝∠3，BD ＝CD ，∠ADB ＝90°，CH ⊥AB 于H ，CH 交AD 于F.（1）求证：CD ∥AB ；（2）求证：△BDE ≌△ACE ；（3）若O 为AB 中点，求证：OF ＝12BE.2、如图1―4―2l ，在边长为a 的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，E 是异于A 、D 两点的动点，F 是CD 上的动点，满足A E ＋CF=a ，说明：不论E 、F 怎样移动，三角形BEF 总是正三角形．3、在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ． (1)求证：CF AB =；(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时， 四边形ABFC 是矩形，并说明理由．4、如图l －4－80，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，过点A 作AG ⊥EB ，垂足为G ，AG 交BD 于F ，则OE=OF ． （1）请证明0E=OF（2）解答（1）题后，某同学产生了如下猜测：对上述命题，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥EB ，AG 交 EB 的延长线于 G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其他条件不变，则仍有OE=OF ．问：猜测所得结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．5、如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．FEDCBACE6. 如图所示，有四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的四个顶点出发，沿着AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度向B 、C 、D 、A 各点移动。
八年级下册四边形动点问题和问题详解
八年级数学下册四边形动点问题专题1、如图，E 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，EF ⊥AB ，EG ⊥BC ，F 、G 是垂足，若正方形ABCD 周长为a ，则EF ＋EG 等于 。
2、如图，P 是正方形ABCD 一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与△CBP′重合，若PB=3，则PP′=3、在Rt △ABC 中 ∠C=90° AC=3 BC=4 P 为AB 上任意一点 过点P 分别作PE ⊥AC 于E PE ⊥BC 于点F 线段EF 的最小值是4、如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是 。
5、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD ，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为BF7、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=12，BD=16，E为AD的中点，点P在BD上移动，若△POE为等腰三角形，则所有符合条件的点P共有个．8、已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为。
9、如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16.点E是AB的中点，P、Q是BD上的动点，且始终保持PQ=2.则四边形AEPQ周长的最小值为_________．（结果保留根号）10、如图所示，在△ABC中，分别以AB.AC.BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE.等边△BCF．(1)求证：四边形DAEF是平行四边形；(2)探究下列问题：(只填满足的条件图所示，在△ABC中，分别以AB.AC.BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE.等边△BCF．，不需证明)①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足_________________________条件时，以D.A.E.F为顶点的四边形不存在．11、如图，矩形ABCD中，cm，cm，动点M从点D出发，按折线DCBAD方向以2 cm/s的速度运动，动点N从点D出发，按折线DABCD方向以1 cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点相遇？（2）若点E在线段BC上，且cm，若动点M、N同时出发，相遇时停止运动，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？12、如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒3cm 的速度向B移动，一直达到B止，点Q以每秒2cm的速度向D移动．（1）P、Q两点出发后多少秒时，四边形PBCQ的面积为36cm2？（2）是否存在某一时刻，使PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，说明理由．13、已知:如图,菱形ABCD中,∠BAD=120°,动点P在直线BC上运动,作∠APM=60°,且直线PM与直线CD 相交于点Q,Q点到直线BC的距离为QH.(1)若P在线段BC上运动,求证:CP=DQ.(2)若P在线段BC上运动,探求线段AC,CP,CH的一个数量关系,并证明你的结论.14、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=20 cm，BC=10 cm，DC=12 cm，点P和Q 同时从A、C出发，点P以4 cm/s的速度沿A-B一C-D运动，点Q从C开始沿CD边以1 cm/s的速度运动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．（1）t为何值时，四边形APQD是矩形；（2）t为何值时，四边形BCQP是等腰梯形；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．15、如图，已知ΔABC和ΔDEF是两个边长都为1cm的等边三角形，且B、D、C、E都在同一直线上，连接AD、CF.（1）求证：四边形ADFC是平行四边形；（2）若BD=0.3cm,ΔABC沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设ΔABC运动时间为t秒，①当t为何值时,□ADFC是菱形？请说明你的理由；②□ADFC有可能是矩形吗？若可能,求出t的值及此矩形的面积；若不可能,请说明理由.16、在△ABC中，点O是AC上的一个动点，过点O作MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于E，交∠BCA 的外角平分线于F。
动点问题教学设计
人教版八年级下册数学第十八章平行四边形教学设计课题：四边形中的动点问题董晨浩一、内容及其分析1、内容：四边形中的动点问题.2、分析：“动点问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，他们在线段、射线、或弧线上运动一类的开放性题目。
解决这一类问题的关键是动中求静，灵活运用有关的数学知识解决问题。
注重对几何图形运动变化能力的考察，从变化的角度和运动变化来研究四边形、函数，图像等图形。
通过对称、动点的运动等研究手段和方法来探索与发现图形性质及图形变化。
本节课选择基本图形为四边形，让学生经历探索的过程的能力立意，考查自主探究的能力，促进培养学生解决问题的能力。
综上所述本节课的难点：如何在动态问题中提炼出静态几何图形和数量关系。
二、教学目标及其分析根据教材的地位及作用，结合课程标准，从学生的学情出发。
我们将本节课的教学目标确定为：①知识与技能目标复习平行四边形、特殊平行四边形的相关知识、性质与判定；能初步应用特殊四边形的性质、判定、勾股定理等知识点综合解决动点问题的能力.②过程与方法目标（1）使学生经历探究“化动为静”、“以静制动”的过程.（2）在解决四边形动点问题的过程中，体会数形结合、转化、方程、函数、分类讨论的思想方法.③情感、态度与价值观目标在解决由变式逐层推进的问题时，培养学生的思维能力，养成主动探究的习惯，同时培养学生的合作意识和交流能力，体会探索发现的乐趣，增强学习数学的自信心。
2.分析：图形在动点运动过程中，观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程，在变化中找到不变的性质是解决数学重点和探究题型的基本思路，这也是动态几何数学问题中最研究的核心的数学素养，解决本节课的问题和达成目标的关键。
三、教学问题诊断分析动态几何的特点是问题背景是特殊图形、考查的问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系，分析过程中要特别关注图形的特性，特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
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特殊四边形中的动点问题及解题方法1、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB 边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？分析：（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．解答：解：（1）∵四边形PQCD平行为四边形∴PD=CQ∴24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．（2）过D作DE⊥BC于E则四边形ABED为矩形∴BE=AD=24cm∴EC=BC-BE=2cm∵四边形PQCD为等腰梯形∴QC-PD=2CE即3t-（24-t）=4解得：t=7（s）即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．（3）由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-（24-t）=2解得：t=6.5（s）即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．2、如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．分析：（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．（2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（3）利用已知条件及正方形的性质解答．解答：解：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO=CO，EO=FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE= ∠ACB，同理，∠ACF= ∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= （∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°，∴四边形AECF是矩形．（3）△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵MN∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．3、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．分析：（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN 已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；（3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC 面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值．综上所述可得出符合条件的t的值．解答:解：（1）∵AQ=3-t∴CN=4-（3-t）=1+t在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42∴AC=5在Rt△MNC中，cos∠NCM= = ，CM= ．（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形∴PC=QD，即4-t=t解得t=2．（3）如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即：（1+t）+1+t= （3+4+5）解得：t= （5分）而MN= NC= （1+t）∴S△MNC= （1+t）2= （1+t）2当t= 时，S△MNC=（1+t）2= ≠ ×4×3∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．（4）①当MP=MC时（如图1）则有：NP=NC即PC=2NC∴4-t=2（1+t）解得：t=②当CM=CP时（如图2）则有：（1+t）=4-t解得：t=③当PM=PC时（如图3）则有：在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2而MN= NC= （1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3∴[ （1+t）]2+（2t-3）2=（4-t）2解得：t1= ，t2=-1（舍去）∴当t= ，t= ，t= 时，△PMC为等腰三角形点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．4、直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O?B?A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．分析：（1）分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标；（2））因为OA=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，进而可求出点Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2，从而可求出，当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于点D，由相似三角形的性质，得 PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案；（3）令S= 485，求出t的值，进而求出OD、PD，即可求出P的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出M的坐标．解答：解：（1）y=0，x=0，求得A（8，0）B（0，6），（2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．∵点Q由O到A的时间是 81=8（秒），∴点P的速度是 6+108=2（单位长度/秒）．当P在线段OB上运动（或O≤t≤3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2．当P在线段BA上运动（或3＜t≤8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，如图，做PD ⊥OA 于点D ，由 PDBO=APAB ，得PD= 48-6t5．∴S= 12OQ?PD=- 35t2+245t ．（3）当S= 485时，∵ 485＞12×3×6∴点P 在AB 上当S= 485时，- 35t2+245t= 485∴t=4∴PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8AD= 82-(245)2= 325∴OD=8- 325= 85∴P （ 85， 245）M1（ 285， 245），M2（- 125， 245），M3（ 125，- 245）点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．5.已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系，A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，，，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒．（1）求直线BC 的解析式；（2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的27？ （3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围； 6.如图，已知△厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理A F D P EB QC 由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？四边形中的动点问题课后作业1. 如图，已知AD 与BC 相交于E ，∠1＝∠2＝∠3，BD ＝CD ，∠ADB ＝90°，CH ⊥AB 于H ，CH 交AD 于F.（1）求证：CD ∥AB ；（2）求证：△BDE ≌△ACE ； （3）若O 为AB 中点，求证：OF ＝12BE. 2、如图1―4―2l ，在边长为a 的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，E是异于A 、D 两点的动点，F 是CD 上的动点，满足A E ＋CF=a ，说明：不论E 、F 怎样移动，三角形BEF 总是正三角形．3、在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ．(1)求证：CF AB =；(2)当BC 与AF 满足什么数量关系时，四边形ABFC 是矩形，并说明理由．4、如图l －4－80，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，过点A 作AG ⊥EB ，垂足为G ，AG 交BD 于F ，则OE=OF ．（1）请证明0E=OF （2）解答（1）题后，某同学产生了如下猜测：对上述命题，若点E 在AC 的延长线上，AG ⊥EB ，AG交 EB 的延长线于 G ，AG 的延长线交DB 的延长线于点F ，其他条件不变，则仍有OE=OF ．问：猜测所得结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．5、如图，在梯形ABCD 中，354245AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，，∠．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 6. 如图所示，有四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的四个顶点出发，沿着AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度向B 、C 、D 、A 各点移动。