专题—二次函数与一元二次方程,abc意义
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2
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 △的符号：
y a>0, b<0, c>0, 0 x △>0.
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 △的符号：
y
a＞0
b＞0
c=0,
0 x
△>0.
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 △的符号：
y a<0,
b<0,
c>0, o x
△>0.
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 △的符号：
y a>0, b<0, c>0,
o
x
△=0.
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 △的符号：
y a>0, b=0, c=0, o x △=0.
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 △的符号：
y X=1
y abc 0 y abc 0
o
x
y abc 0
当x=-1时，对应的纵坐标y的值
y a b c 0 与直线x 1交点 y a b c 0 y a b c 0
y
y a bc 0 y a bc 0
A、abc＞0 B、b2-4ac＞0 C、2a+b＞0 D、4a-2b+c＜0
-1 o 1 x y
已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下 列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；④ B （a+c）2＜b2，其中正确的个数是 （ ） A、4个 C、2个 B、3个 D、1个
y a<0, b>0, c<0, o x △<0.
练习： 1.若抛物线y ax 2 bx c的图象如图，说出a，b， c的符号。 2.若抛物线y ax 2 bx c经过原点和第一二三 象限，则a，b，c的取值范围分别是 。
y
x
y o
图1
o
图2
x
y a b c 0 （4）与直线x 1交点 y a b c 0 当x=1时，对应的纵坐标y的值 y a b c 0
x
⑵c决定抛物线与y轴交点（0，c）的位置： ① c＞0 ----图象与y轴交点在y轴正半轴； ② c=0 ----图象过原点； ③ c＜0 -----图象与y轴交点在y轴负半轴。
练习： 指出下列二次函数与y轴交点的位置： 1.y=x 2 8x 7 2.y=-2x 2 9x 17 3.y=mx 2 kx-4k 2
y
x
⑶a，b决定抛物线对称轴的位置: b 对称轴是直线x = 2 a
① ② ③ a，b同号---- 对称轴在y轴左侧； b=0 ----对称轴是y轴； a，b异号---- 对称轴在y轴右侧
y
o
x
（4）△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：
① △＞0-----抛物线与x轴有两个交点； ② △＝0-----抛物线与x轴有唯一的公共点；
y
o
x=1
x
8、已知：一次函数y=ax+c与二次函数 y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致图 C ） 象是图中的（ y y
o
x （A） y y （B）
练习
o
x
o
x （C）
o （D）
x
已知二次函数 y=kx2－7x－7的图象与x轴有交点， 则k的取值范围是 ( B)
7 A、 k ≥ 4 7 C、 k ＞ 4
7 B、k≥ 且k 0 4 7 D、 k ＞ 且 k 0 4
抛物线位置与系数a，b，c的关系：
⑴a决定抛物线的开口方向： y a＞ 0 开口向上 a＜0 开口向下
>
0，
y
-1 o
1 x
已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①abc＞0；②b=2a； ③a+b+c＜0；④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的 个数是 （ C ）
A、2个
C、4个
B、3个
D、5个
y
-1 o
1
x
已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中下不正确的是 （ D ）
o
y a bc 0
x
X=-1
(5)已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,
2a-b的符合 2a+b的符合
与对称轴x=-1有关 与对称轴x=1有关
-2 -1
0
1
练习： 二次函数y ax 2 bx c的图象如图，用(<,>,=)填空: a
<
0，b
<
0，c
>
0，a+b+c
<
0，a-b+c
二次函数与一元二次方程 a,b,c的符号意义
• 对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），Δ=b2-4ac。 • 当Δ>0时,抛物线与x轴有 两 个交点，这两个交点的 横坐标是方程ax2+bx+c=0的两个不相等的根。
• 当Δ=0时,抛物线与x轴有一个交点。这时方程 ax2+bx+c=0有两个 相等 的根，此时这一个交点即 为抛物线的顶点。 • 当Δ<0时，抛物线与x轴 无 交点。这时方程 ax2+bx+c=0根的情况没有实数根。
③ △＜0-----抛物线与x轴无交点。
y o x
y o x
y
o
x
y百度文库
o x
y o x
y o
x
△>0--y>0,<0,=0
△=0--y≤0恒成立
△＜0--y<0恒成立
y
o x
y o x
y o
x
△>0--y>0,<0,=0 △=0--y≥0恒成立 △＜0--y>0恒成立
y (m 1) x 2mx m 3 若抛物线 位于x轴上方,求m的取值范围.
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 △的符号：
y a>0, b<0, c>0, 0 x △>0.
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 △的符号：
y
a＞0
b＞0
c=0,
0 x
△>0.
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 △的符号：
y a<0,
b<0,
c>0, o x
△>0.
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 △的符号：
y a>0, b<0, c>0,
o
x
△=0.
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 △的符号：
y a>0, b=0, c=0, o x △=0.
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 △的符号：
y X=1
y abc 0 y abc 0
o
x
y abc 0
当x=-1时，对应的纵坐标y的值
y a b c 0 与直线x 1交点 y a b c 0 y a b c 0
y
y a bc 0 y a bc 0
A、abc＞0 B、b2-4ac＞0 C、2a+b＞0 D、4a-2b+c＜0
-1 o 1 x y
已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下 列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；④ B （a+c）2＜b2，其中正确的个数是 （ ） A、4个 C、2个 B、3个 D、1个
y a<0, b>0, c<0, o x △<0.
练习： 1.若抛物线y ax 2 bx c的图象如图，说出a，b， c的符号。 2.若抛物线y ax 2 bx c经过原点和第一二三 象限，则a，b，c的取值范围分别是 。
y
x
y o
图1
o
图2
x
y a b c 0 （4）与直线x 1交点 y a b c 0 当x=1时，对应的纵坐标y的值 y a b c 0
x
⑵c决定抛物线与y轴交点（0，c）的位置： ① c＞0 ----图象与y轴交点在y轴正半轴； ② c=0 ----图象过原点； ③ c＜0 -----图象与y轴交点在y轴负半轴。
练习： 指出下列二次函数与y轴交点的位置： 1.y=x 2 8x 7 2.y=-2x 2 9x 17 3.y=mx 2 kx-4k 2
y
x
⑶a，b决定抛物线对称轴的位置: b 对称轴是直线x = 2 a
① ② ③ a，b同号---- 对称轴在y轴左侧； b=0 ----对称轴是y轴； a，b异号---- 对称轴在y轴右侧
y
o
x
（4）△=b2-4ac决定抛物线与x轴交点情况：
① △＞0-----抛物线与x轴有两个交点； ② △＝0-----抛物线与x轴有唯一的公共点；
y
o
x=1
x
8、已知：一次函数y=ax+c与二次函数 y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致图 C ） 象是图中的（ y y
o
x （A） y y （B）
练习
o
x
o
x （C）
o （D）
x
已知二次函数 y=kx2－7x－7的图象与x轴有交点， 则k的取值范围是 ( B)
7 A、 k ≥ 4 7 C、 k ＞ 4
7 B、k≥ 且k 0 4 7 D、 k ＞ 且 k 0 4
抛物线位置与系数a，b，c的关系：
⑴a决定抛物线的开口方向： y a＞ 0 开口向上 a＜0 开口向下
>
0，
y
-1 o
1 x
已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①abc＞0；②b=2a； ③a+b+c＜0；④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的 个数是 （ C ）
A、2个
C、4个
B、3个
D、5个
y
-1 o
1
x
已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中下不正确的是 （ D ）
o
y a bc 0
x
X=-1
(5)已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,
2a-b的符合 2a+b的符合
与对称轴x=-1有关 与对称轴x=1有关
-2 -1
0
1
练习： 二次函数y ax 2 bx c的图象如图，用(<,>,=)填空: a
<
0，b
<
0，c
>
0，a+b+c
<
0，a-b+c
二次函数与一元二次方程 a,b,c的符号意义
• 对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），Δ=b2-4ac。 • 当Δ>0时,抛物线与x轴有 两 个交点，这两个交点的 横坐标是方程ax2+bx+c=0的两个不相等的根。
• 当Δ=0时,抛物线与x轴有一个交点。这时方程 ax2+bx+c=0有两个 相等 的根，此时这一个交点即 为抛物线的顶点。 • 当Δ<0时，抛物线与x轴 无 交点。这时方程 ax2+bx+c=0根的情况没有实数根。
③ △＜0-----抛物线与x轴无交点。
y o x
y o x
y
o
x
y百度文库
o x
y o x
y o
x
△>0--y>0,<0,=0
△=0--y≤0恒成立
△＜0--y<0恒成立
y
o x
y o x
y o
x
△>0--y>0,<0,=0 △=0--y≥0恒成立 △＜0--y>0恒成立
y (m 1) x 2mx m 3 若抛物线 位于x轴上方,求m的取值范围.