定积分的概念(教案)
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1.5.3．定积分的概念
一、复习回顾：
1． 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：
2．上述两个问题的共性是什么？
二、新知探究
1．定积分的概念
注：
说明：（1）定积分()b
a f x dx ⎰是一个 ，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为
()b
a f x dx ⎰，而不是n S ．
（2）用定义求定积分的一般方法是：
（3）曲边图形面积：
变速运动路程：
变力做功：
例1：利用定积分的定义,计算
dx x ⎰102 、 dx x ⎰1
03 的值.
2．定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1
⎰b a dx x kf )(= ； 性质2 dx x g x f b a
⎰±)]()([= 性质3 ⎰⎰=c
a b a dx x f dx x f )()(
+ 3．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，
那么定积分()b
a f x dx ⎰表示由直线 和曲线 所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分
()b a f x dx ⎰的 几何意义。
思考：
（1）在[,]a b 上0)(≥x f ，()b a f x dx ⎰= （2）在[,]a b 上0)(≤x f ，()b
a f x dx ⎰=
（3）在[,]a b 上)(x f 变号，()b
a f x dx ⎰=
⑤
练习：
1、利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。
（1）
dx x ⎰20sin π
（2）dx x ⎰-212 （3）dx x ⎰-1
23
2、利用定积分的几何意义，说明下列各式成立
（1）
0sin 22=⎰-dx x π
π ， 0sin 20=⎰dx x π （2）dx x dx x ⎰⎰=200sin 2sin π
π
3、计算下列定积分
（1）dx b a ⎰1 （2）11x dx -⎰． （3） 5
0(24)x dx -⎰
（4）
dx x ⎰-1021 （5）120(2)x x dx -⎰
三、课堂小结：
①定积分的概念及性质②用定义法求简单的定积分③定积分的几何意义