定积分的概念(教案)
定积分的概念教案
定积分的概念教案一、教学目标：1.了解定积分的定义和计算方法；2.掌握定积分的性质和应用；3.培养学生的数学计算能力和逻辑思维能力。
二、教学内容：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法；3.定积分的性质和应用。
三、教学重点：1.定积分的定义；2.定积分的计算方法。
四、教学难点：1.定积分的性质和应用；2.定积分与原函数的关系。
五、教学过程：Step 1 引入教师与学生展开对话，探讨学生对积分的了解：教师：同学们，你们对积分有什么了解？学生：积分就是求和。
教师：不错，积分的确是求和，但是定积分具体是什么呢？我们一起来探讨一下。
Step 2 定积分的定义教师向学生介绍定积分的定义：教师：定积分是微积分的一个重要概念，表示函数曲线与x轴之间的面积。
我们用符号∫来表示定积分，函数f(x)的定积分表示为∫f(x)dx，在积分号下面写上被积函数，dx表示自变量。
Step 3 定积分的计算方法教师通过示例向学生演示定积分的计算方法：教师：我们以函数f(x)=x^2为例，计算f(x)在区间[1,3]上的定积分。
教师在黑板上写下∫(1→3)x^2dx，并进行具体的计算步骤解释。
Step 4 定积分的性质和应用教师向学生介绍定积分的性质和应用，并通过例题进行讲解：教师：定积分具有线性性质、区间可加性和变量替换的性质，同时也可以用于计算面积、体积、质量等。
我们来看一个例题，计算函数f(x)=x在区间[-2,2]上的定积分，并解释其实际意义。
Step 5 定积分与原函数的关系教师引导学生思考定积分与原函数的关系：Step 6 总结与归纳教师与学生总结本节课的内容，并归纳出定积分的概念和性质：教师：同学们，通过本节课的学习，我们初步了解了定积分的定义、计算方法和性质。
下节课我们将进一步学习定积分的应用。
大家要做好预习哦！六、教学反思本节课通过引入、定义、示例演算等方式，使学生初步了解了定积分的概念和计算方法。
通过例题讲解，学生对定积分的应用有了基本的认识。
高中数学定积分的概念教案
高中数学定积分的概念教案一、教学目标：1.了解定积分的概念及其在数学中的重要性；2.掌握定积分的基本性质和计算方法；3.能够运用定积分求解实际问题。
二、教学重点及难点：1.定积分的概念和基本性质；2.定积分的计算方法；3.定积分在实际问题中的应用。
三、教学内容：1.定积分的概念a.通过求和的思想引入定积分的概念；b.定义定积分的符号表示及含义；c.定积分的几何意义和物理意义。
2.定积分的性质a.定积分的线性性质；b.定积分的可加性质；c.定积分的保号性质。
3.定积分的计算方法a.定积分的基本性质；b.定积分的换元法；c.定积分的分部积分法。
4.定积分在实际问题中的应用a.通过实际问题引入定积分的应用；b.运用定积分求解速度、面积、体积等实际问题。
四、教学过程：1.引入定积分的概念（10分钟）a.通过求和的思想引入定积分的概念；b.讲解定积分的符号表示及其含义。
2.定积分的性质（15分钟）a.讲解定积分的线性性质、可加性质和保号性质；b.举例说明定积分性质的运用。
3.定积分的计算方法（20分钟）a.讲解定积分的基本性质和计算方法；b.通过实例演示定积分的换元法和分部积分法。
4.定积分在实际问题中的应用（15分钟）a.通过实际问题引入定积分的应用；b.运用定积分求解速度、面积、体积等实际问题。
五、教学方法：1.讲授相结合：简洁明了地讲解定积分的概念和性质，结合实例演示计算方法；2.激发思考：通过引入实际问题，激发学生的思考和探究欲望；3.启发式教学：提出问题引导学生独立思考，培养学生的解决问题能力。
六、教学资源：1.教材：教材中相关知识点、例题及练习题；2.多媒体教学：投影仪、电脑等多媒体设备。
七、教学评估：1.课堂练习：课堂上针对性地布置练习，检验学生对定积分的理解和掌握程度；2.作业布置：课后布置练习题，巩固学生对定积分的掌握。
八、课堂小结：通过本节课的学习，相信同学们已经初步了解了定积分的概念、性质和计算方法，并能够运用定积分解决实际问题。
高中数学定积分的概念教案新人教版选修
高中数学定积分的概念教案新人教版选修一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质和计算方法。
2. 能够运用定积分解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。
二、教学内容1. 定积分的概念介绍定积分的定义、性质和计算方法，引导学生理解定积分的本质。
2. 定积分的计算讲解定积分的计算法则，包括牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法等，让学生掌握定积分的计算技巧。
3. 定积分在实际问题中的应用通过实际问题，引导学生运用定积分解决面积、体积、弧长等问题，提高学生的数学应用能力。
三、教学重点与难点1. 定积分的概念与性质2. 定积分的计算方法3. 定积分在实际问题中的应用四、教学方法1. 采用讲授法，讲解定积分的概念、性质和计算方法。
2. 利用例题，引导学生掌握定积分的计算技巧。
3. 结合实际问题，培养学生运用定积分解决实际问题的能力。
4. 组织讨论，让学生在探讨中深化对定积分概念的理解。
五、教学过程1. 引入：通过复习初中数学中的积分概念，引导学生思考如何将积分概念推广到无限区间。
2. 讲解：讲解定积分的定义、性质和计算方法，让学生理解定积分的本质。
3. 练习：布置定积分的计算练习题，让学生巩固所学知识。
4. 应用：结合实际问题，讲解定积分在面积、体积、弧长等方面的应用，让学生体会定积分的实用价值。
6. 作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、定积分的性质与计算法则1. 性质：定积分具有线性性质，即$\int_{a}^{b} f(x) \, dx + \int_{a}^{b} g(x) \, dx = \int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) \, dx$。
定积分与积分区间有关，即$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx$。
定积分与积分函数的单调性有关，即若$f(x)$ 在$[a, b]$ 上单调递增，则$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ 可以表示为$F(b) F(a)$，其中$F(x)$ 是$f(x)$ 的一个原函数。
高等数学教案ch-5-定积分
第五章 定积分教学目的：1、 理解定积分的概念。
2、 驾驭定积分的性质及定积分中值定理，驾驭定积分的换元积分法与分部积分法。
3、 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，驾驭牛顿—莱布尼茨公式。
4、 了解广义积分的概念并会计算广义积分。
教学重点：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法。
3、牛顿—莱布尼茨公式。
教学难点：1、 定积分的概念2、 积分中值定理3、 定积分的换元积分法分部积分法。
4、 变上限函数的导数。
§5. 1 定积分概念与性质一、定积分问题举例1. 曲边梯形的面积曲边梯形: 设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 由直线x =a 、x =b 、y =0及曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.求曲边梯形的面积的近似值:将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则全部小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 详细方法是: 在区间[a , b ]中随意插入若干个分点a =x 0< x 1< x 2< ⋅ ⋅ ⋅< x n -1< x n =b ,把[a , b ]分成n 个小区间[x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ],它们的长度依次为∆x 1= x 1-x 0 , ∆x 2= x 2-x 1 , ⋅ ⋅ ⋅ , ∆x n = x n -x n -1 .经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形. 在每个小区间[x i -1, x i ]上任取一点ξ i , 以[x i -1, x i ]为底、f (ξ i )为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ) , 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值, 即A ≈f (ξ 1)∆x 1+ f (ξ 2)∆x 2+⋅ ⋅ ⋅+ f (ξ n )∆x n ∑=∆=ni i i x f 1)(ξ.求曲边梯形的面积的精确值:明显, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A 的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令λ→0. 所以曲边梯形的面积为∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ. 2. 变速直线运动的路程设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数, 且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S .求近似路程:我们把时间间隔[T 1, T 2]分成n 个小的时间间隔∆t i , 在每个小的时间间隔∆t i 内, 物体运动看成是均速的, 其速度近似为物体在时间间隔∆t i 内某点ξ i 的速度v (τ i ), 物体在时间间隔∆t i 内 运动的距离近似为∆S i = v (τ i ) ∆t i . 把物体在每一小的时间间隔∆t i 内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 , T 2]内所经过的路程S 的近似值. 详细做法是: 在时间间隔[T 1 , T 2]内随意插入若干个分点T 1=t 0< t 1< t 2<⋅ ⋅ ⋅< t n -1< t n =T 2,把[T 1 , T 2]分成n 个小段[t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] ,各小段时间的长依次为∆t 1=t 1-t 0, ∆t 2=t 2-t 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n =t n -t n -1.相应地, 在各段时间内物体经过的路程依次为∆S 1, ∆S 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆S n .在时间间隔[t i -1, t i ]上任取一个时刻τ i (t i -1<τ i < t i ), 以τ i 时刻的速度v (τ i )来代替[t i -1, t i ]上各个时刻的速度, 得到部分路程∆S i 的近似值, 即∆S i = v (τ i ) ∆t i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).于是这n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值, 即∑=∆≈ni i i t v S 1)(τ;求精确值:记λ = max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 当λ→0时, 取上述和式的极限, 即得变速直线运动的路程∑=→∆=ni i i t v S 10)(lim τλ. 设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 求直线x =a 、x =b 、y =0及曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积.(1)用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把区间[a , b ]分成n 个小区间:[x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ⋅ ⋅ ⋅ , [x n -1, x n ], 记∆x i =x i -x i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).(2)任取ξ i ∈[x i -1, x i ], 以[x i -1, x i ]为底的小曲边梯形的面积可近似为i i x f ∆)(ξ (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求曲边梯形面积A 的近似值为∑=∆≈n i ii x f A 1)(ξ. (3)记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 所以曲边梯形面积的精确值为∑=→∆=n i i i x f A 10)(limξλ.设物体作直线运动, 已知速度v =v (t )是时间间隔[T 1, T 2]上t 的连续函数,且v (t )≥0, 计算在这段时间内物体所经过的路程S .(1)用分点T 1=t 0<t 1<t 2<⋅ ⋅ ⋅<t n -1<t n =T 2把时间间隔[T 1 , T 2]分成n 个小时间段: [t 0, t 1], [t 1, t 2], ⋅ ⋅ ⋅, [t n -1, t n ] , 记∆t i =t i -t i -1 (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).(2)任取τi ∈[t i -1, t i ], 在时间段[t i -1, t i ]内物体所经过的路程可近似为v (τi )∆t i(i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ); 所求路程S 的近似值为∑=∆≈n i ii t v S 1)(τ. (3)记λ=max{∆t 1, ∆t 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆t n }, 所求路程的精确值为∑=→∆=n i ii t v S 10)(lim τλ.二、定积分定义抛开上述问题的详细意义, 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括, 就抽象出下述定积分的定义. 定义 设函数f (x )在[a , b ]上有界, 在[a , b ]中随意插入若干个分点a =x 0< x 1< x 2< ⋅ ⋅ ⋅< x n -1< x n =b ,把区间[a , b ]分成n 个小区间[x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅, [x n -1, x n ] ,各小段区间的长依次为∆x 1=x 1-x 0, ∆x 2=x 2-x 1,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n =x n -x n -1.在每个小区间[x i -1, x i ]上任取一个点ξ i (x i -1< ξ i < x i ), 作函数值f (ξ i )与小区间长度∆x i 的乘积f (ξ i ) ∆x i (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) , 并作出和∑=∆=ni i i x f S 1)(ξ.记λ = max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 假如不论对[a , b ]怎样分法, 也不论在小区间[x i -1, x i ]上点ξ i 怎样取法, 只要当λ→0时, 和S 总趋于确定的极限I , 这时我们称这个极限I 为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰b a dx x f )(,即 ∑⎰=→∆=n i i i b a x f dx x f 10)(lim )(ξλ.其中f (x )叫做被积函数, f (x )dx 叫做被积表达式, x 叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, [a , b ]叫做积分区间. 定义 设函数f (x )在[a , b ]上有界, 用分点a =x 0<x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅<x n -1<x n =b 把[a , b ]分成n 个小区间: [x 0, x 1], [x 1, x 2], ⋅ ⋅ ⋅,[x n -1, x n ] , 记∆x i =x i -x i -1(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ).任ξ i ∈[x i -1, x i ] (i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 作和∑=∆=n i i ix f S 1)(ξ.记λ=max{∆x 1, ∆x 2,⋅ ⋅ ⋅, ∆x n }, 假如当λ→0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间[a , b ]的分法和ξ i 的取法无关, 则称这个极限为函数f (x )在区间[a , b ]上的定积分, 记作⎰ba dx x f )(,即∑⎰=→∆=ni i i b a x f dx x f 10)(lim )(ξλ. 依据定积分的定义, 曲边梯形的面积为⎰=b a dx x f A )(.变速直线运动的路程为dt t v S TT )(21⎰=. 说明:(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关, 即⎰⎰⎰==ba b a b a du u f dt t f dx x f )()()(.(2)和∑=∆n i i i x f 1)(ξ通常称为f (x )的积分和.(3)假如函数f (x )在[a , b ]上的定积分存在, 我们就说f (x )在区间[a , b ]上可积.函数f (x )在[a , b ]上满意什么条件时, f (x )在[a , b ]上可积呢？定理1 设f (x )在区间[a , b ]上连续, 则f (x ) 在[a , b ]上可积.定理2 设f (x )在区间[a , b ]上有界, 且只有有限个间断点, 则f (x ) 在[a , b ]上可积.定积分的几何意义:在区间[a , b ]上, 当f (x )≥0时, 积分⎰b a dx x f )(在几何上表示由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积; 当f (x )≤0时, 由曲线y =f (x )、两条直线x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方, 定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;⎰∑∑⎰--=∆--=∆==→=→ba n i i i n i i ib a dx x f x f x f dx x f )]([)]([lim )(lim )(1010ξξλλ.当f (x )既取得正值又取得负值时, 函数f (x )的图形某些部分在x 轴的上方, 而其它部分在x 轴的下方. 假如我们对面积赋以正负号, 在x 轴上方的图形面积赋以正号, 在x 轴下方的图形面积赋以负号, 则在一般情形下, 定积分⎰ba dx x f )(的几何意义为: 它是介于x 轴、函数f (x )的图形及两条直线x =a 、x =b 之间的各部分面积的代数和.用定积分的定义计算定积分:例1. 利用定义计算定积分dx x 210⎰.解 把区间[0, 1]分成n 等份, 分点为和小区间长度为n i x i =(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n -1), nx i 1=∆(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ) . 取ni i =ξ(i =1, 2,⋅ ⋅ ⋅, n ), 作积分和 ∑∑∑===⋅=∆=∆ni i n i i i n i i n n i x x f 121211)()(ξξ )12)(1(61113123++⋅==∑=n n n n i n n i )12)(11(61n n ++=. 因为n1=λ, 当λ→0时, n →∞, 所以 31)12)(11(61lim )(lim 10210=++=∆=∞→=→∑⎰n n x f dx x n n i i i ξλ. 利定积分的几何意义求积分: 例2. 用定积分的几何意义求⎰-10)1(dx x .解: 函数y =1-x 在区间[0, 1]上的定积分是以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积. 因为以y =1-x 为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是始终角三角形, 其底边长及高均为1, 所以211121)1(10=⨯⨯=-⎰dx x .三、定积分的性质两点规定:(1)当a =b 时,0)(=⎰b a dx x f . (2)当a >b 时, ⎰⎰-=a b b a dx x f dx x f )()(.性质1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差) 即 ⎰⎰⎰±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.证明:⎰±b a dx x g x f )]()([∑=→∆±=ni i i i x g f 10)]()([lim ξξλ∑∑=→=→∆±∆=n i i i n i i i x g x f 1010)(lim )(lim ξξλλ ⎰⎰±=b a b a dx x g dx x f )()(.性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面 即⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(.这是因为∑⎰=→∆=n i i i b a x kf dx x kf 10)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→b a n i i i dx x f k x f k )()(lim 10ξλ. 性质3 假如将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即⎰⎰⎰+=bc c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(. 这特性质表明定积分对于积分区间具有可加性.值得留意的是不论a ,b ,c 的相对位置如何总有等式⎰⎰⎰+=b cc a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 成立. 例如, 当a <b <c 时, 由于⎰⎰⎰+=c b b a c a dx x f dx x f dx x f )()()(, 于是有⎰⎰⎰-=c b c a b a dx x f dx x f dx x f )()()(⎰⎰+=b cc a dx x f dx x f )()(. 性质4 假如在区间[a b ]上f (x )≡1 则 a b dx dx b a b a -==⎰⎰1.性质5 假如在区间[a , b ]上 f (x )≥0, 则 ⎰≥b a dx x f 0)((a <b ).推论1 假如在区间[a , b ]上 f (x )≤ g (x ) 则 ⎰⎰≤b a b a dx x g dx x f )()((a <b ).这是因为g (x )-f (x )≥0, 从而 ⎰⎰⎰≥-=-b a b a b a dx x f x g dx x f dx x g 0)]()([)()(,所以 ⎰⎰≤b a b a dx x g dx x f )()(.推论2 ⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(|(a <b ).这是因为-|f (x )| ≤ f (x ) ≤ |f (x )|, 所以⎰⎰⎰≤≤-ba b a b a dx x f dx x f dx x f |)(|)(|)(|,即 ⎰⎰≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(|| .性质6 设M 及m 分别是函数f (x )在区间[a , b ]上的最大值及最小值, 则⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()((a <b ).证明 因为 m ≤ f (x )≤ M , 所以⎰⎰⎰≤≤b a b a b a Mdx dx x f mdx )(, 从而⎰-≤≤-b a a b M dx x f a b m )()()(.性质7 (定积分中值定理) 假如函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点ξ , 使下式成立:⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ. 这个公式叫做积分中值公式.证明 由性质6⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(,各项除以b -a 得⎰≤-≤b a M dx x f a b m )(1, 再由连续函数的介值定理, 在[a , b ]上至少存在一点ξ , 使⎰-=b a dx x f ab f )(1)(ξ, 于是两端乘以b -a 得中值公式⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ. 积分中值公式的几何说明:应留意: 不论a <b 还是a >b , 积分中值公式都成立.§5. 2 微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点起先作直线运动, 在t 时刻所经过的路程为S (t ), 速度为v =v (t )=S '(t )(v (t )≥0), 则在时间间隔[T 1, T 2]内物体所经过的路程S 可表示为)()(12T S T S -及dt t v TT )(21⎰, 即 )()()(1221T S T S dt t v TT -=⎰.上式表明, 速度函数v (t )在区间[T 1, T 2]上的定积分等于v (t )的原函数S (t )在区间[T 1, T 2]上的增量.这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？二、积分上限函数及其导数设函数f (x )在区间[a , b ]上连续, 并且设x 为[a , b ]上的一点. 我们把函数f (x )在部分区间[a , x ]上的定积分dx x f x a )(⎰称为积分上限的函数. 它是区间[a , b ]上的函数, 记为 Φ(x )dx x f x a )(⎰=, 或Φ(x )=dt t f x a )(⎰.定理1 假如函数f (x )在区间[a , b ]上连续, 则函数Φ(x )dx x f xa )(⎰=在[a , b ]上具有导数, 并且它的导数为Φ'(x ))()(x f dt t f dx d x a ==⎰(a ≤x <b ). 简要证明 若x ∈(a , b ), 取∆x 使x +∆x ∈(a , b ).∆Φ=Φ(x +∆x )-Φ(x )dt t f dt t f x a x x a)()(⎰⎰-=∆+ dt t f dt t f dt t f x a x x xx a )()()(⎰⎰⎰-+=∆+ x f dt t f x x x ∆==⎰∆+)()(ξ,应用积分中值定理, 有∆Φ=f (ξ)∆x ,其中ξ在x 与x +∆x 之间, ∆x →0时, ξ→x . 于是Φ'(x ))()(lim )(lim lim 00x f f f x xx x ===∆∆Φ=→→∆→∆ξξξ. 若x =a , 取∆x >0, 则同理可证Φ+'(x )= f (a ); 若x =b , 取∆x <0, 则同理可证Φ-'(x )= f (b ).定理2 假如函数f (x )在区间[a , b ]上连续, 则函数Φ(x )dx x f x a )(⎰=就是f (x )在[a , b ]上的一个原函数.定理的重要意义: 一方面确定了连续函数的原函数是存在的, 另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.三、牛顿--莱布尼茨公式定理3 假如函数F (x )是连续函数f (x )在区间[a , b ]上的一个原函数, 则)()()(a F b F dx x f ba -=⎰.此公式称为牛顿--莱布尼茨公式, 也称为微积分基本公式.这是因为F (x )和Φ(x )=dt t f x a )(⎰都是f (x )的原函数,所以存在常数C , 使F (x )-Φ(x )=C (C 为某一常数).由F (a )-Φ(a )=C 及Φ(a )=0, 得C =F (a ), F (x )-Φ(x )=F (a ).由F (b )-Φ(b )=F (a ), 得Φ(b )=F (b )-F (a ), 即)()()(a F b F dx x f b a -=⎰.证明: 已知函数F (x ) 是连续函数f (x ) 的一个原函数, 又依据定理2, 积分上限函数 Φ(x )=dt t f x a )(⎰也是f (x )的一个原函数. 于是有一常数C , 使F (x )-Φ(x )=C (a ≤x ≤b ).当x =a 时, 有F (a )-Φ(a )=C , 而Φ(a )=0, 所以C =F (a ); 当x =b 时, F (b )-Φ(b )=F (a ),所以Φ(b )=F (b )-F (a ), 即)()()(a F b F dx x f ba -=⎰. 为了便利起见, 可把F (b )-F (a )记成b a x F )]([, 于是)()()]([)(a F b F x F dx x f b a ba -==⎰. 进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系.例1. 计算⎰102dx x .解: 由于331x 是2x 的一个原函数, 所以 31031131]31[33103102=⋅-⋅==⎰x dx x . 例2 计算2311xdx +⎰-.解 由于arctan x 是211x+的一个原函数, 所以 31231][arctan 1--=+⎰x x dx )1arctan(3arctan --=πππ127)4 (3 =--=. 例3. 计算⎰--121dx x. 解: 1212|]|[ln 1----=⎰x dx x =ln 1-ln 2=-ln 2. 例4. 计算正弦曲线y =sin x 在[0, π]上与x 轴所围成的平面图形的面积.解: 这图形是曲边梯形的一个特例. 它的面积ππ00]cos [sin x xdx A -==⎰=-(-1)-(-1)=2.例5. 汽车以每小时36km 速度行驶, 到某处须要减速停车.设汽车以等加速度a =-5m/s 2刹车. 问从起先刹车到停车, 汽车走了多少距离？解 从起先刹车到停车所需的时间:当t =0时, 汽车速度v 0=36km/h 3600100036⨯=m/s =10m/s .刹车后t 时刻汽车的速度为v (t )=v 0+at =10-5t .当汽车停止时, 速度v (t )=0, 从v (t )=10-5t =0得, t =2(s ).于是从起先刹车到停车汽车所走过的距离为dt t dt t v s )510()(2020-==⎰⎰10]21510[202=⋅-=t t (m ), 即在刹车后, 汽车需走过10m 才能停住.例6. 设f (x )在[0, +∞)内连续且f (x )>0. 证明函数⎰⎰=x xdtt f dt t tf x F 00)()()(在(0, +∞)内为单调增加函数.证明: )()( 0x xf dt t tf dx d x =⎰, )()(0x f dt t f dx d x =⎰. 故 2000))(()()()()()(⎰⎰⎰-='x x x dt t f dtt tf x f dt t f x xf x F 200))(()()()(⎰⎰-=x x dt t f dt t f t x x f . 按假设, 当0<t <x 时f (t )>0, (x -t )f (t )> 0 , 所以 0)(0>⎰dt t f x , 0)()(0>-⎰dt t f t x x ,从而F '(x )>0 (x >0), 这就证明白F (x ) 在(0, +∞)内为单调增加函数. 例7. 求21cos 02lim x dt e x t x ⎰-→.解: 这是一个零比零型未定式, 由罗必达法则,e x xe x dt e x dte x x x t x x t x 212sin lim lim lim 222cos 02cos 1021cos 0==--→-→-→⎰⎰. 提示: 设⎰-=Φx t dt e x 12)(, 则⎰-=Φx t dt e x cos 12)(cos .x u x t e x x e dxdu u du d x dx d dt e dx d 222cos cos 1sin )sin ()()(cos ---⋅-=-⋅=⋅Φ=Φ=⎰.§5. 3 定积分的换元法和分部积分法一、换元积分法定理 假设函数f (x )在区间[a , b ]上连续, 函数x =ϕ(t )满意条件:(1)ϕ(α )=a , ϕ(β)=b ;(2)ϕ(t )在[α, β](或[β, α])上具有连续导数, 且其值域不越出[a , b ],则有dt t t f dx x f b a )()]([)(ϕϕβα'=⎰⎰.这个公式叫做定积分的换元公式.证明 由假设知, f (x )在区间[a , b ]上是连续, 因而是可积的; f [ϕ(t )]ϕ'(t )在区间[α, β](或[β, α])上也是连续的, 因而是可积的.假设F (x )是f (x )的一个原函数, 则 dx x f ba )(⎰=F (b )-F (a ).另一方面, 因为{F [ϕ(t )]}'=F '[ϕ(t )]ϕ'(t )= f [ϕ(t )]ϕ'(t ), 所以F [ϕ(t )]是f [ϕ(t )]ϕ'(t )的一个原函数, 从而 dt t t f )()]([ϕϕβα'⎰=F [ϕ(β )]-F [ϕ(α )]=F (b )-F (a ).因此 dt t t f dx x f b a )()]([)(ϕϕβα'=⎰⎰.例1 计算⎰-a dx x a 022(a >0).解 ⎰⎰⋅-=20sin 022cos cosπtdt a t a dx x a t a x a 令 ⎰⎰+==2022022)2cos 1(2cos ππdt t atdt a 220241]2sin 21[2a t t a ππ=+=. 提示: t a t a a x a cos sin 22222=-=-, dx =a cos t . 当x =0时t =0, 当x =a 时2π=t . 例2 计算xdx x sin cos 520⎰π.解 令t =cos x , 则x xd xdx x cos cos sin cos 520520⎰⎰-=ππ61]61[ 106105015cos ===-⎰⎰=t dt t dt t tx 令. 提示: 当x =0时t =1, 当2π=x 时t =0. 或 x xd xdx x cos cos sin cos 520520⎰⎰-=ππ 610cos 612cos 61]cos 61[66206=+-=-=ππx .例3 计算⎰-π053sin sin dx x x . 解dx x x dx x x |cos |sin sin sin 23053⎰⎰=-ππ⎰⎰-=πππ2232023cos sin cos sin xdx x xdx x⎰⎰-=πππ2232023sin sin sin sin x xd x xd54)52(52]sin 52[]sin 52[2252025=--=-=πππx x . 提示: |cos |sin )sin1(sin sin sin 232353x x x x x x =-=-.在]2,0[π上|cos x |=cos x , 在] ,2[ππ上|cos x |=-cos x .例4 计算dx x x ⎰++4122.解⎰⎰⎰+=⋅+-++=+312312124)3(21221 122dt t tdt t t dx x x t x 令322)]331()9327[(21]331[21313=+-+=+=t t .提示: 212-=t x , dx =tdt ; 当x =0时t =1, 当x =4时t =3. 例5 证明: 若f (x )在[-a , a ]上连续且为偶函数, 则⎰⎰=-aa a dx x f dx x f 0)(2)(.证明 因为dx x f dx x f dx x f aa aa )()()(00⎰⎰⎰+=--, 而 ⎰⎰⎰⎰-=-=---=-aa a tx a dx x f dt t f dt t f dx x f 0000)()()()(令,所以⎰⎰⎰+-=-aaaa dx x f dx x f dx x f 00)()()(⎰⎰⎰==+-=-aaa adx x f dx x f dx x f x f 00)(2)(2)]()([. 探讨:若f (x )在[-a , a ]上连续且为奇函数, 问=⎰-aa dx x f )(？ 提示: 若f (x )为奇函数, 则f (-x )+f (x ) =0, 从而0)]()([)(0=+-=⎰⎰-aa a dx x f x f dx x f .例6 若f (x )在[0, 1]上连续, 证明 (1)⎰⎰=2020)(cos )(sin ππdx x f dx x f ;(2)⎰⎰=πππ0)(sin 2)(sin dx x f dx x xf .证明 (1)令t x -=2π, 则dt t f dx x f )]2[sin()(sin 0220--=⎰⎰πππ⎰⎰=-=2020)(cos )]2[sin(πππdx x f dt t f .(2)令x =π-t , 则⎰⎰---=00)][sin()()(sin ππππdt t f t dx x xf⎰⎰-=--=πππππ00)(sin )()][sin()(dt t f t dt t f t ⎰⎰-=πππ00)(sin )(sin dt t tf dt t f ⎰⎰-=πππ00)(sin )(sin dx x xf dx x f , 所以⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf .例7 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥=-01 cos 110)(2x xx xe x f x , 计算⎰-41)2(dx x f .解 设x -2=t , 则⎰⎰⎰⎰---++==-20121412cos 11)()2(dtte dt tdt t f dx x f t 212121tan ]21[]2[tan 420012+-=-=---e e t t .提示: 设x -2=t , 则dx =dt ; 当x =1时t =-1, 当x =4时t =2. 二、分部积分法设函数u (x )、v (x )在区间[a , b ]上具有连续导数u '(x )、v '(x ), 由(uv )'=u 'v +u v '得u v '=u v -u 'v , 式两端在区间[a , b ]上积分得vdx u uv dx v u ba b a ba '-='⎰⎰][, 或vdu uv udv ba ba ba ⎰⎰-=][. 这就是定积分的分部积分公式.分部积分过程:][][⋅⋅⋅='-=-=='⎰⎰⎰⎰vdx u uv vdu uv udv dx v u ba ba ba b a ba ba . 例1 计算xdx arcsin 21⎰.解xdx arcsin 21⎰x xd x x arcsin ]arcsin[210210⎰-=dx x x 22101621--⋅=⎰π )1(11211222210x d x --+=⎰π212]1[12x -+=π12312-+=π. 例2 计算⎰10dx e x . 解 令t x =, 则⎰⎰=10102tdt e dx e t x⎰=102t tde⎰-=101 0 2 ][2dt e te t t 2 ][2210 =-=t e e . 例3 设⎰=20sin πxdx I n n , 证明(1)当n 为正偶数时, 22143231π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅-=n n n n I n ;(2)当n 为大于1的正奇数时, 3254231⋅⋅⋅⋅--⋅-=n n n n I n .证明 ⎰=20sin πxdx I n n ⎰--=201cos sin πx xd n ⎰--+-=2012 01sin cos ]sin [cos ππx xd x x n n⎰--=2022sin cos )1(πxdxx n n ⎰--=-202)sin (sin )1(πdx x x n n n⎰⎰---=-20202sin )1(sin )1(ππxdx n xdx n n n =(n -1)I n - 2-(n -1)I n , 由此得21--=n n I nn I .02214342522232212I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=,112325432421222122I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+,而2200ππ==⎰dx I , 1sin 201==⎰πxdx I ,因此22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m ,32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m .例3 设⎰=20sin πxdx I n n (n 为正整数), 证明 22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m ,32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m .证明 ⎰=20sin πxdx I n n ⎰--=201cos sin πx xd n⎰---+-=20222 01sin cos )1(]sin[cos ππxdx x n x x n n⎰--=-202)sin (sin )1(πdx x x n n n ⎰⎰---=-20202sin )1(sin )1(ππxdxn xdx n n n=(n -1)I n - 2-(n -1)I n ,由此得 21--=n n I nn I .02214342522232212I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=,112325432421222122I m m m m m m I m ⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+.特殊地 2200ππ==⎰dx I , 1sin 201==⎰πxdx I .因此 22143425222322122π⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=m m m m m m I m , 32543242122212212⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅+=+m m m m m m I m .§5. 4 反常积分 一、无穷限的反常积分定义1 设函数f (x )在区间[a , +∞)上连续, 取b >a . 假如极限dx x f bab )(lim⎰+∞→存在, 则称此极限为函数f (x )在无穷区间[a , +∞)上的反常积分, 记作dx x f a )(⎰+∞, 即dx x f dx x f bab a)(lim)(⎰⎰+∞→+∞=. 这时也称反常积分dx x f a )(⎰+∞收敛.假如上述极限不存在, 函数f (x )在无穷区间[a , +∞)上的反常积分dx x f a )(⎰+∞就没有意义, 此时称反常积分dx x f a )(⎰+∞发散.类似地, 设函数f (x )在区间(-∞, b ]上连续, 假如极限dx x f baa )(lim⎰-∞→(a <b )存在, 则称此极限为函数f (x )在无穷区间(-∞, b ]上的反常积分, 记作dx x f b)(⎰∞-, 即dx x f dx x f baa b )(lim )(⎰⎰-∞→∞-=. 这时也称反常积分dx x f b)(⎰∞-收敛. 假如上述极限不存在, 则称反常积分dx x f b)(⎰∞-发散. 设函数f (x )在区间(-∞, +∞)上连续, 假如反常积分dx x f )(0⎰∞-和dx x f )(0⎰+∞都收敛, 则称上述两个反常积分的和为函数f (x )在无穷区间(-∞, +∞)上的反常积分, 记作dx x f )(⎰+∞∞-, 即dx x f dx x f dx x f )()()(00⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=dx x f dx x f bb a a )(lim)(lim⎰⎰+∞→-∞→+=.这时也称反常积分dx x f )(⎰+∞∞-收敛.假如上式右端有一个反常积分发散, 则称反常积分dx x f )(⎰+∞∞-发散. 定义1' 连续函数f (x )在区间[a , +∞)上的反常积分定义为dx x f dx x f bab a)(lim)(⎰⎰+∞→+∞=.在反常积分的定义式中, 假如极限存在, 则称此反常积分收敛; 否则称此反常积分发散.类似地, 连续函数f (x )在区间(-∞, b ]上和在区间(-∞, +∞)上的反常积分定义为dx x f dx x f baa b)(lim)(⎰⎰-∞→∞-=.dx x f dx x f dx x f bb a a )(lim)(lim)(0⎰⎰⎰+∞→-∞→+∞∞-+=.反常积分的计算: 假如F (x )是f (x )的原函数, 则b a b ba b ax F dx x f dx x f )]([lim )(lim)(+∞→+∞→+∞==⎰⎰ )()(lim )()(lim a F x F a F b F x b -=-=+∞→+∞→.可采纳如下简记形式: )()(lim )]([)(a F x F x F dx x f x a a-==+∞→∞++∞⎰.类似地)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f x bb-∞→∞-∞--==⎰,)(lim )(lim )]([)(x F x F x F dx x f x x -∞→+∞→∞+∞-+∞∞--==⎰. 例1 计算反常积分dx x 211+⎰+∞∞-. 解∞+∞-+∞∞-=+⎰][arctan 112x dx x x x x x arctan lim arctan lim -∞→+∞→-=πππ=--=)2(2 .例2 计算反常积分⎰+∞-0dt te pt (p 是常数, 且p >0). 解∞+-∞+-+∞-⎰⎰⎰-==000]1[][pt pt pt tde pdt te dt te ∞+--⎰+-=0]11[dt e p te p pt pt ∞+----=02]11[pt pt e pte p 22211]11[lim p p e p te p pt pt t =+--=--+∞→. 提示: 01lim lim lim ===+∞→+∞→-+∞→pt t pt t pt t pe e t te . 例3 探讨反常积分dx x pa 1⎰+∞(a >0)的敛散性.解 当p =1时, dx x pa1⎰+∞dx x a 1⎰+∞=+∞==∞+ ][ln a x .当p <1时, dx x pa1⎰+∞+∞=-=∞+- 1]11[ap x p .当p >1时,1]11[11 1-=-=-∞+-+∞⎰p a x p dx x p ap pa.因此, 当p >1时, 此反常积分收敛, 其值为11--p a p; 当p ≤1时, 此反常积分发散.二、无界函数的反常积分定义2 设函数f (x )在区间(a , b ]上连续, 而在点a 的右邻域内无界. 取ε>0, 假如极限dx x f bt at )(lim ⎰+→存在, 则称此极限为函数f (x )在(a , b ]上的反常积分, 仍旧记作dx x f ba )(⎰, 即dx x f dx x f bt at b a )(lim )(⎰⎰+→=.这时也称反常积分dx x f ba )(⎰收敛.假如上述极限不存在, 就称反常积分dx x f ba )(⎰发散.类似地, 设函数f (x )在区间[a , b )上连续, 而在点b 的左邻域内无界. 取ε>0, 假如极限dx x f ta bt )(lim ⎰-→存在, 则称此极限为函数f (x )在[a , b )上的反常积分, 仍旧记作dx x f ba )(⎰, 即dx x f dx x f tab t b a )(lim )(⎰⎰-→=.这时也称反常积分dx x f ba )(⎰收敛. 假如上述极限不存在, 就称反常积分dx x f ba )(⎰发散.设函数f (x )在区间[a , b ]上除点c (a <c <b )外连续, 而在点c 的邻域内无界. 假如两个反常积分dx x f c a )(⎰与dx x f bc )(⎰都收敛, 则定义dx x f dx x f dx x f bc c a b a )()()(⎰⎰⎰+=.否则, 就称反常积分dx x f ba )(⎰发散.瑕点: 假如函数f (x )在点a 的任一邻域内都无界, 那么点a 称为函数f (x )的瑕点, 也称为无界定义2' 设函数f (x )在区间(a , b ]上连续, 点a 为f (x )的瑕点. 函数f (x )在(a , b ]上的反常积分定义为dx x f dx x f bt at b a )(lim )(⎰⎰+→=.在反常积分的定义式中, 假如极限存在, 则称此反常积分收敛; 否则称此反常积分发散. 类似地,函数f (x )在[a , b )(b 为瑕点)上的反常积分定义为dx x f dx x f ta bt b a )(lim )(⎰⎰-→=.函数f (x )在[a , c )⋃(c , b ] (c 为瑕点)上的反常积分定义为dx x f dx x f dx x f bt ct t a ct b a )(lim )(lim )(⎰⎰⎰+-→→+=.反常积分的计算:假如F (x )为f (x )的原函数, 则有b t at bta tb a x F dx x f dx x f )]([lim )(lim )(++→→==⎰⎰)(lim )()(lim )(x F b F t F b F ax at ++→→-=-=.可采纳如下简记形式:)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f ax ba ba +→-==⎰. 类似地, 有)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f bx ba ba -==-→⎰, 当a 为瑕点时,)(lim )()]([)(x F b F x F dx x f ax b a ba +→-==⎰;当b 为瑕点时,)()(lim )]([)(a F x F x F dx x f bx b a ba -==-→⎰.当c (a <c <b )为瑕点时,)](lim )([)]()(lim [)()()(x F b F a F x F dx x f dx x f dx x f cx c x bc c a b a +-→→-+-=+=⎰⎰⎰. 例4 计算反常积分⎰-adx xa 0221.解 因为+∞=--→221lim x a ax , 所以点a 为被积函数的瑕点.a aa x dx x a 022][arcsin 1=-⎰20arcsin lim π=-=-→a x a x .例5 探讨反常积分⎰-1121dx x的收敛性.解 函数21x在区间[-1, 1]上除x =0外连续, 且∞=→201lim x x .由于+∞=--=-=-→--⎰1)1(lim ]1[1001012x x dx xx , 即反常积分⎰-0121dx x 发散, 所以反常积分⎰-1121dx x发散.例6 探讨反常积分⎰-ba qa x dx )(的敛散性.解 当q =1时, +∞=-=-=-⎰⎰b a ba ba q a x ax dx a x dx )][ln()(.当q >1时, +∞=--=--⎰b a q ba q a x q a x dx 1])(11[)(. 当q <1时,q b a q ba q ab q a x qa x dx ----=--=-⎰1 1)(11])(11[)(. 因此, 当q <1时, 此反常积分收敛, 其值为q ab q ---1)(11; 当q ≥1时, 此反常积分发散.。
定积分的概念与微积分基本定理(优质课)教案
定积分的概念与微积分基本定理（优质课）教案教学目标：掌握定积分的计算，了解定积分的物理意义，会利用定积分求平面区域围成的面积.教学过程：一、定积分的概念：从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限，()()i ni n ni i x f n x f S ξξ∑∑=∞→=→∆=∆•=1101lim lim ()()i ni n n i i t v nt v S ξξ∑∑=∞→=→∆=∆•=1101lim lim事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限1定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b −=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x −上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：()()i ni ni i f n ab x f ξξ∑∑==−=∆•11当n →+∞）时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baf x dx ⎰即()baf x dx ⎰=()i ni n f n ab ξ∑=∞→−1lim其中函数()f x 叫做 ，x 叫做 变量，区间[,]a b 为 区间，b 积分 ，a 积分 。
说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ−∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=−∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=−=∑⎰ （3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰2定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数()f x 连续且恒有()0f x ≥。
定积分概念教案
教案图4.1图AB的很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化，引导学生探索性学习。
六、教学方法：根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的积极性。
七、教学手段：传统教学与多媒体资源相结合。
八、教学时数：1课时。
九、教学过程：1、由两个实际例子引出定积分的概念.定积分是积分学的另一个重要的基本概念，和导数概念一样，它也是在解决各种实际问题中逐渐形成并发展起来的，现已成为解决许多实际问题的有力工具．本节将首先从实际问题出发引出定积分的概念，并介绍定积分的几何意义．例1 求曲边梯形的面积．初等数学可以计算多边形、圆形和扇形等规则图形的面积，但对于较复杂的曲线所围成的图形(图4.1)的面积计算则无能为力．如图所示，我们总可以用若干互相垂直的直线将图形分割成如阴影部分所示的基本图形，它是由两条平行线段，一条与之垂直的线段，以及一条曲线弧所围成，这样的图形称为曲边梯形．特别地，当平行线之一缩为一点时，称为曲边三角形．那么，为什么要研究曲边梯形呢？因为求任何曲线围成的几何图形的面积，都可归结为求若干个曲边梯形的面积的代数和. 现把问题归结如下：求由直线0,,===y b x a x 和连续曲线)(x f y =(()0)f x ≥所围成的曲边梯形AabB (图4.2)的面积S ．如果曲边梯形的高不变,即C y =(常数),则根据矩形面积公式 面积=底⨯高)n .2)n , 作积分和∑==∆ni i i x 12ξ)12n +. n λ→∞⇔概念?。
高等数学教案ch-5-定积分
第五章定积分教学目的：1、理解定积分的概念。
2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿一莱布尼茨公式。
4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。
教学重点：1、定积分的性质及定积分中值定理2、定积分的换元积分法与分部积分法。
3、牛顿一莱布尼茨公式。
教学难点：1、定积分的概念2、积分中值定理3、定积分的换元积分法分部积分法。
4、变上限函数的导数。
§5, 1定积分概念与性质一、定积分问题举例1 .曲边梯形的面积曲边梯形：设函数y=f(x)在区间［a . b］上非负、连续，由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f (x)所围成的图形称为曲边梯形.其中曲线弧称为曲边.求曲边梯形的面积的近似值：将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形.每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替.每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积.则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值.具体方法是：在区间［a b］中任意插入若干个分点a=X0 ::：X i ::：x2 ：：：…r：Xn 4 ::：X n =b把［a b］分成n个小区间［x o .x i］ . ［x i .x2］ . ［x2 .X3］Jx nd .X n ］.它们的长度依次为二X i = X i-X o -X2= X2% X n = Xn ~Xn 4 .经过每一个分点作平行于y轴的直线段.把曲边梯形分成n个窄曲边梯形•在每个小区间［Xi4.Xi］上任取一点匕.以［Xi4.Xi］为底、f (©)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(=1. 2.•…‘n).把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值.即nA s f (巴1)&1 +f (巴2) &2+* …+f ('n )A x n =迟f GQx -im求曲边梯形的面积的精确值：显然.分点越多、每个小曲边梯形越窄.所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值.因此.要求曲边梯形面积A的精确值.只需无限地增加分点.使每个小曲边梯形的宽度趋于零•记-二max{ .lx i . .-xn}.于是.上述增加分点.使每个小曲边梯形的宽度趋于零.相当于令0，所以曲边梯形的面积为nA = lim ' f ( J. ：X i一-0y '2.变速直线运动的路程设物体作直线运动.已知速度v印(t)是时间间隔［T i T 2］上t的连续函数.且v(t)_O.计算在这段时间内物体所经过的路程S .求近似路程：我们把时间间隔［T i .T 2］分成n个小的时间间隔.址i .在每个小的时间间隔At i内.物体运动看成是均速的.其速度近似为物体在时间间隔.先内某点i的速度V(.i).物体在时间间隔.址i内运动的距离近似为AS= v(苗)孩.把物体在每一小的时间间隔i ti内运动的距离加起来作为物体在时间间隔［T i T 2］内所经过的路程S的近似值，具体做法是：在时间间隔［T i .T 2］内任意插入若干个分点T 1 =t 0 ::：t i ::：t 2 …t n」t n =T 2 .把［T i T 2］分成n个小段［t 0 .t i］ . ［t i .t 2］. ' ' '.［t n」.t n］.各小段时间的长依次为L t i =t i -t 0 L t 2 ~t 2 -t i ….■:t n "t n —t n」相应地.在各段时间内物体经过的路程依次为L S i L S2 L S n .在时间间隔［t i」.t i］上任取一个时刻.i(t i J：： j：：t i).以.i时刻的速度v(，i)来代替［t i/.t i］上各个时刻的速度.得到部分路程「S i的近似值.即心Si= v(E i) 0i (i=1 . 2 .…，n),于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S的近似值.即nS・：二v( i). ：t ii A求精确值：记•二max{ 't 1 ,t 2 t n}.当.-0时.取上述和式的极限.即得变速直线运动的路程nS =lim、v(.j) ：tj ,0 i d设函数y斗(x)在区间［a b］上非负、连续，求直线x=a、x=b、y=0及曲线y寸(x)所围成的曲边梯形的面积.(1) 用分点a次o ：：xi ：：：x2 ：：：…• ：：xn ,：：xn =b把区间［a b］分成n个小区间［x o .x i］ . ［x i .x2］ .［x2 决3］,….［x n4 .X n ］'记血mn (i =1 . 2 厂…* n).(2) 任取i ［X i 4 X i］以［X i 4刈为底的小曲边梯形的面积可近似为f (£)细(i=. 2 •…,n) 所求曲边梯形面积A的近似值为nA 八f ( i) ：X i .(3)记■ -max{二x i二X2 二x n}.所以曲边梯形面积的精确值为nA=lim「f ( ) x ,FT y设物体作直线运动.已知速度v二v(t)是时间间隔［T 1 T 2］上t的连续函数. 且v(t) _0 .计算在这段时间内物体所经过的路程S .(1)用分点T i4o：：tv：：t^ ■ ：：tnd ：：t^T2把时间间隔［T 1 T 2］分成n个小时间段［t o .t l］」t l 问，…F［t n」.t n］.记A t i =t i—t i_J (i=1 . 2 * n).⑵任取.i ［t iJ t i］在时间段［t i」t i］内物体所经过的路程可近似为v( .i)-：t i(iH . 2、…、n) 所求路程S的近似值为nS 八v( i) ：t ii生(3)记-=max{.毛..屯，人t n}.所求路程的精确值为nS =li叫' v( J ：t i ,二、定积分定义抛开上述问题的具体意义.抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括.就抽象出下述定积分的定义，定义设函数f(x)在［a b］上有界.在［a b］中任意插入若干个分点a 之0 ：：：X1 ::：x2 ：：：•…::：X n 4 ::：X n =b把区间［a b］分成n个小区间［X0.X1］ .［X1 .x2］.….［X n J .X n］.各小段区间的长依次为L X1 次1—X o =X2%—X1 L X n * —X nM .在每个小区间［X i J X i］上任取一个点i (X iJ< i ::: X i).作函数值f ( 1)与小区间长度.乂的乘积f (匕)& (i= . 2y n).并作出和ns，f( i/'Xi .i d记，=max{ ■：X^ . ：X2 ■x n}.如果不论对［a b］怎样分法.也不论在小区间［X iT .X i］上点i怎样取法.只要当■》0时.和S总趋于确定的极限I .这时我们称这个极限I为函数f (X)在区间［a . b］上的定积分.记作j f(x)dx .即jf(x)dx =lim 瓦 f (耳)纠，■■■ —0 i 4其中f (x)叫做被积函数 f (x)dx叫做被积表达式x叫做积分变量a叫做积分下限b叫做积分上限.［a b］叫做积分区间,定义设函数f(x)在［a b］上有界.用分点aa o：：：x i ：：：X2：：:x n_j ：：：x n=b把［a.b］分成n个小区间［x0 .X i］ .［X i 凶］.….［X n」.X n］.记&i 承i—X i」(i=1 . 2 ,n).任：［X i」.X i］ (i=1 . 2n) 作和nf( i，Xi .i 4记--max^x i L X2 L X n}.如果当，j 0时上述和式的极限存在且极限值与区间［a b］的分法和1的取法无关b则称这个极限为函数f(x)在区间［a b］上的定积分.记作f(x)dx .nbf(x)dx = lim 'a J—0 i 吕根据定积分的定义.曲边梯形的面积为A=a f(x)dx .变速直线运动的路程为S二；2v(t)dt .T1说明(1) 定积分的值只与被积函数及积分区间有关.而与积分变量的记法无关.即：f(x)dx 二：f(t)dt 二：f(u)du，n(2) 和‘二f ( i)「：X i通常称为f (x)的积分和.⑶如果函数f (x)在［a b］上的定积分存在.我们就说f (x)在区间［a b］上可积函数f(x)在［a b］上满足什么条件时 f (x)在［a b］上可积呢？定理1 设f (x)在区间［a b］上连续.则f (x)在［a b］上可积定理2 设f (x)在区间［a b］上有界.且只有有限个间断点.则f (x)在［a b］上可积定积分的几何意义：在区间［a b］上.当f(x)_0时.积分：f(x)dx在几何上表示由曲线y=f (x)、两条直线x=a、x=b与X轴所围成的曲边梯形的面积-当f(x) J0时.由曲线y =f (x)、两条直线x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方•定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值n nf (x)dx =lim ' f ( J X - -lim 7 [ - f ( J] =x =J0i 1■ 9 #-：[-f (x)]dx当f (x)既取得正值又取得负值时.函数f(x)的图形某些部分在X轴的上方.而其它部分在X轴的下方，如果我们对面积赋以正负号 .在x 轴上方的图形面积赋以正号 .在x 轴下方的图形面积 赋以负号.则在一般情形下.定积分［b f (x)dx 的几何意义为：它是介于x 轴、函数f(x)的图形及两 条直线X£、x=b 之间的各部分面积的代数和， 用定积分的定义计算定积分例1.利用定义计算定积分0x 2dx ,解 把区间［0 .1］分成n 等份.分点为和小区间长度为 x =^(^1 .2*…,n —1). »=1(i=1. 2,…,n).取4 =討=1 . 2 .…,n).作积分和因为’计0x 2dx TimJ f ( i ) % =li利定积分的几何意义求积分 例2 •用定积分的几何意义求(1 -x)dx ,解：函数y=1v 在区间［0 . 1］上的定积分是以y=1-X 为曲边.以区间［0 . 1］为底的曲边梯形的面 积,因为以y=1 为曲边.以区间［0 . 1］为底的曲边梯形是一直角三角形 .其底边长及高均为1 .所以0(1-x)d^lxV<^l2 ,三、定积分的性质 两点规定：(1)当 a =b 时.f f (x)dx =0 . ⑵当 a 法时.f f (x)dx =-( f (x)dx .性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)即f ［f (x) _g(x)］dx 二 f f(x)dx —f g(x)dx .n n n瓦«)纠咗¥纠迈G )21i 1i =1』nn讣］2活1 n(n 1)(2n 14(1n)(24).nimi (1 i )(2 存1.bn 证明:a [f (x)-g(x)]dx r lim j [f( J_g( i )]，x/. J ° i 4n n=lim '•二 f ( J L X 二lim '•二 g( d^x jD i 4： •■- —0 i A二：f(x)dx_ ：g(x)dx .性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面b b［kf(x)dx=k J f(x)dx .这是因为 f kf (x)dx =ljm 瓦 kf (U )^x i =k[im 》f G)Ax i =k [f (x)dx “ 性质' 如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即：f(x)dx 二：f(x)dx ：f(x)dx .这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性•值得注意的是不论 a b c 的相对位置如何总有等式：f(x)dx = a f(x)dx ：f(x)dx成立，例如.当a<b<c 时.由于a f(x)dx = ：f(x)dx ：f(x)dx .于是有£ f (x)dx = a f (x)dx —j f (x)dx = f f (x)dx + f f (x)dx ,4如果在区间[a b]上f (x)三1则 fldx = f dx =b -a ,f(x)dx _0(a :b).1 如果在区间[a .b]上f (x) _g(x)则：f(x)dx E ：g(x)dx(a ：：b).这是因为g (x) -f (x) _0 .从而：g(x)dx-：f(x)dx =〕g(x)-f(x)]dx_O .性质性质 5 如果在区间［a b ］上f (x) -0 .则 推论b ba f(x)dx z a g(x)dx ,推论 2 | :f(x)dx|/|f(x)|dx(a ：：：b), 这是因为 _|f (x)| <f (x) < |f (x)| .所以—j|f(x)|dxwff(x)dx 訂|f(x)|dx . bb|a f(x)dx^ a |f(x)|dx| .性质6设M 及m 分别是函数f(x)在区间［a b ］上的最大值及最小值.则m(b —a)乞 a f (x)dx 兰M (b —a) (a<b),证明 因为m_f (x)_M .所以 ,mdx 兰 j f (x)dx 兰 fM d x. 从而m(b -a)兰 f f (x)dx EM (b —a),性质7 (定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间［a b ］上连续.则在积分区间［a.b ］上至少 存在一个点'.使下式成立：：f(x)dx =f( )(b-a).这个公式叫做积分中值公式证明由性质6各项除以b£得m 兰-^ f f(x)dxEM . b -a a再由连续函数的介值定理 .在［a b ］上至少存在一点•.使 f ( )— ?f(x)dx . b —a a于是两端乘以b£得中值公式积分中值公式的几何解释 ：应注意：不论a<b 还是a>b .积分中值公式都成立所以 m(b -a门：f(x)dxEM (b -a).§5 2微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设物体从某定点开始作直线运动.在t时刻所经过的路程为S(t).速度为v=v(t)=S(t)(v(t)_O).则在时间间隔［「T2］内物体所经过的路程S可表示为S(T2) -S(T I)及；2v(t)dt .即Jv(t)dt =S(T2)-S(T I).T1上式表明.速度函数v(t)在区间［T1 T2］上的定积分等于v(t)的原函数S(t)在区间［T i T2］上的增量，这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？二、积分上限函数及其导数设函数f(x)在区间［a.b］上连续.并且设x为［a . b］上的一点■我们把函数f(x)在部分区间［a.x］上的定积分:f(x)dx称为积分上限的函数，它是区间［a b］上的函数.记为G(x)二：f (x)dx . 或:」(x)=：f(t)dt .定理1如果函数f(x)在区间［a b］上连续.则函数G(x) = ：f(x)dx在［a b］上具有导数.并且它的导数为①(x)=亠f f (t)dt =f (x)(a致<b).dx a简要证明若x：=(a .b).取L X使x7x：=(a.b),=(x±ix) -(x) = f 址f (t)dt -ff (t)dt=ff (t)dt +『也f (t)dt _『f(t)dtx f(t)dt =f( ).x应用积分中值定理.有f()「x其中在x与x：=x之间..x—0时―x，于是)"(x)，⑴巳叫亍二叭"T m x f(若x=a .取二x>0 .则同理可证「(x)=f(a) •若x=b .取匚x<0 .则同理可证_(x) = f(b),定理2如果函数f(x)在区间［a b］上连续.则函数"(X)=：f(x)dx就是f (x)在［a b］上的一个原函数，定理的重要意义：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的.另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.三、牛顿--莱布尼茨公式定理3如果函数F (x)是连续函数f(x)在区间［a b］上的一个原函数.则:f(x)dx=F(b)-F (a).此公式称为牛顿--莱布尼茨公式.也称为微积分基本公式，这是因为F(x)和①(x)=『f(t)dt都是f(x)的原函数.所以存在常数C .使F(x) -：：(x) V (C 为某一常数).由F(a)-「(a)=C 及::平a)=0 .得C=F(a) F(x)—G(x)二F(a).由F(b)—「(b)二F(a).得::」(b)丰(b)—F(a).即f(x)dx=F(b)-F(a),证明：已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数.又根据定理2 .积分上限函数G(x) = ：f(t)dt也是f(x)的一个原函数，于是有一常数 C.使F(x) -：：(x)£ (a^xJD).当x=a 时.有F(a)_G(a)=C. 而:」(a)=0 .所以C=F(a) .当x=b 时.F(b)_G(b) =F(a). 所以:•：」(b)扌(b)_F(a).即:f(x)dx=F(b)-F (a).为了方便起见.可把F(b) -F(a)记成[F(x)]b .于是:f(x)dx=[F(x)]b,=F(b)-F(a).进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系例1.计算0x2dx .解：由于1x3是x2的一个原函数.所以3fx2dx =[-x3]0=113-103=-,0 3 0 3 3 3#3 dx例2计算.d -d?，解由于arctan x是的一个原函数.所以％ =[arctanx]< =arctani 3—arctan(-1) =-3 -(例3.计算gdx .解：1dx =[ln | x|] ：2 斗n 1 Tn 2 =Tn 2 .■^x例4.计算正弦曲线y=sin x在[0 .二]上与x轴所围成的平面图形的面积解：这图形是曲边梯形的一个特例，它的面积A = 0 sin xdx =[ -cosx]旷亠(一1) -(一1) =2 “例5.汽车以每小时36km速度行驶.到某处需要减速停车设汽车以等加速度a=-5m/s2刹车问从开始刹车到停车.汽车走了多少距离？解从开始刹车到停车所需的时间：1当t=0时.汽车速度v o -36km/h m/s=10m/s , 3600刹车后t 时刻汽车的速度为v(t)二v o at =10-5t .当汽车停止时.速度v(t) =0 .从v(t)二10-5t £得.t =2(s),于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为s 二:v(t)dt = ：(10 -5t)dt 半0t -5 lt 2]0=10(m).即在刹车后.汽车需走过10m 才能停住.例6.设f(x)在［0,-：)内连续且f(x)>0，证明函数F(x)二 在(0 .；)内为单调增加函数证明：dx 0X tf(t)dt =xf(x )堆 0X f(t)dt =f(x ).故, xf(x )0 f(t)dt —f(x )0tf(t)dt f(x )0(x —t)f(t)dt F (x)=按假设.当 0do 时 f(t)>0.(x-t)f (t)>0 .所以；f(t)dt 0 • ；(x —t)f(t)dt 0 .从而F (x)>0 (x>0).这就证明了 F (x)在(0 .：：)内为单调增加函数叢广丹琵％0sx)吧①(u)裳4 (-si nx)7nx"：tf (t)dt :f(t)dt (0x f(t)dt)2 (: f(t)dt)2 例7.求lime x "dt osx解：这是一个零比零型未定式 由罗必达法则.lim x )0 dt os ^ lim x 2 x 「0 cosx 2 2 -1 e dt sin xe "os x —1 ----------- =lim x 0 x 2 2x _2e提示 设①(x)=fe*dt 则①(cosx)=『^e 4-2 dt§5,3定积分的换元法和分部积分法一、换元积分法定理假设函数f(x)在区间［a b］上连续.函数x=「(t)满足条件：⑴(:)a .(2) ：(t)在［:•.-］(或［「:］)上具有连续导数.且其值域不越出［a b］.则有:f(x)dx 二「f［「⑴］：(t)dt .这个公式叫做定积分的换元公式，证明由假设知f(x)在区间［a b］上是连续.因而是可积的f ［「⑴］「(t)在区间［:•「］(或「.:］)上也是连续的.因而是可积的.假设F(x)是f (x)的一个原函数.则:f(x)dx 二F(b)-F(a).另-方面.因为｛F[ (t)]｝丰[(t)] (t)二 f [ (t)] (t).所以F[ (t)]是 f [ ：(t)] (t)的一个原函数.一从而...f[ (t)b (t)dt =F[ f-)] -F[ G )]二F(b)-F(a).因此:f(x)dx=「f[ (t)]「(t)dt .例 1 计算l^a2-x2dx (a>0),解0、a2 _x2dx " ”叭 jacost acostdt二a202 cos2tdt =号02(1 cos2t)dta2“ 1 2 1 2^[t in 2t]o =4「a提示、、a2 _x2 = , a2 _a2sin2t =acost dx=a cos t 当x=0 时t=0当x=a时例 2 计算02 cos5xsinxdx ,解令t =cos x .则2 5252 cos5 xsin xdx - - 02 cos5 xd cosx令cosxzz t提示或当xn时t"当x=2时H5 52 cos5xsin xdx 2 cos5 xd cosx--[—cos6x]|? - -Icos6-cos6^-,6 0 6 2 6 6例 3 计算0 lsin3x -sin5xdx ,3T f ------------------------解0in3x -sin5 xdx =3'sin2 x|cosx|dx •二 3 -■ 3=02 sin2 xcosxdx - .二sin2 xcosxdx2二2 sin2 xdsin x- -sin2 xd sinx22 5' 2 5-n 2二[fsin2x]0 卡sin2x]?£*-(-2)5 0 5 2 5 5提示、、sin3x -sin5x psin3x(1 -sin2 x)二sin。
定积分的应用教案
定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义：定积分是函数在区间上的积累效果，表示为∫ab f(x)dx。
强调定积分表示的是函数在区间上的面积或长度。
1.2 定积分的性质介绍定积分的性质：线性性质、保号性、可积函数的有界性等。
通过示例说明定积分的性质在实际问题中的应用。
第二章：定积分的计算方法2.1 牛顿-莱布尼茨公式介绍牛顿-莱布尼茨公式：如果F(x) 是函数f(x) 的一个原函数，∫ab f(x)dx = F(b) F(a)。
解释原函数的概念：原函数是导函数的不定积分。
2.2 定积分的换元法介绍换元法的步骤：选择适当的代换变量，求导数，计算新积分。
通过具体例子演示换元法的应用。
第三章：定积分在几何中的应用3.1 平面区域的面积解释平面区域面积的概念：平面区域内所有点的坐标的绝对值的平均值。
利用定积分计算平面区域的面积，示例包括矩形、三角形、圆形等。
3.2 曲线围成的面积介绍利用定积分计算曲线围成的面积的方法：选择适当的上下限，计算定积分。
通过具体例子演示计算曲线围成的面积。
第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分与力的累积解释力的累积概念：力在一段时间内的积累效果。
利用定积分计算力的累积，示例包括恒力作用下的位移、变力作用下的位移等。
4.2 定积分与功的计算介绍利用定积分计算功的方法：计算力与位移的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算功的应用。
第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分与总成本解释总成本的概念：企业在生产一定数量产品所需的成本。
利用定积分计算总成本，示例包括固定成本和变动成本的情况。
5.2 定积分与总收益介绍利用定积分计算总收益的方法：计算产品的售价与销售数量的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算总收益的应用。
第六章：定积分在概率论中的应用6.1 定积分与概率密度解释概率密度的概念：随机变量在某个区间内的概率。
利用定积分计算概率密度，示例包括均匀分布、正态分布等。
定积分与微积分基本定理》教案
《定积分与微积分基本定理》教案一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的计算方法。
2. 掌握微积分基本定理，了解其应用。
3. 能够运用微积分基本定理解决实际问题。
二、教学内容1. 定积分的概念：定积分是函数在区间上的积累量，用符号∫表示。
2. 定积分的计算方法：牛顿-莱布尼茨公式、换元法、分部积分法等。
3. 微积分基本定理：微积分基本定理是定积分与导数之间的关系，表述为∫(f'(x)dx) = F(b) F(a)，其中F(x) 是f(x) 的一个原函数。
4. 微积分基本定理的应用：求解曲线下的面积、弧长、质心等问题的计算。
三、教学重点与难点1. 教学重点：定积分的概念、计算方法，微积分基本定理的理解与应用。
2. 教学难点：微积分基本定理的证明，定积分的计算方法的综合运用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解定积分的概念、计算方法，微积分基本定理的证明。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用微积分基本定理解决。
3. 练习法：课堂练习与课后作业，巩固所学知识。
五、教学安排1. 第一课时：定积分的概念与计算方法。
2. 第二课时：微积分基本定理的证明。
3. 第三课时：微积分基本定理的应用。
4. 第四课时：定积分的综合练习。
六、教学策略1. 互动讨论：鼓励学生提问，师生共同探讨定积分与微积分基本定理的相关问题。
2. 小组合作：同学之间分工合作，共同完成定积分的计算和应用问题。
3. 利用多媒体：通过动画、图像等直观展示定积分的几何意义和应用。
七、教学评价1. 课堂问答：检查学生对定积分概念、计算方法和微积分基本定理的理解。
2. 课后作业：布置有关定积分的计算和应用问题，检验学生掌握程度。
3. 课程报告：要求学生选择一个实际问题，运用微积分基本定理进行解决，以此评估学生的实际应用能力。
八、教学资源1. 教材：选用权威、实用的教材，如《微积分学导论》等。
2. 辅导资料：提供定积分与微积分基本定理的相关习题及解答。
高考数学Ι轮教案及其练习精析《定积分与微积分的基本定理
高考数学Ι轮精品教案及其练习精析《定积分与微积分的基本定理》教案章节：第一章定积分的概念教学目标：1. 理解定积分的概念，掌握定积分的定义和性质。
2. 学会计算简单的定积分，并能应用定积分解决实际问题。
教学内容：1. 定积分的定义2. 定积分的性质3. 定积分的计算方法4. 定积分的应用教学步骤：1. 引入定积分的概念，引导学生思考如何求解曲线下的面积。
2. 讲解定积分的定义，解释定积分的几何意义和物理意义。
3. 引导学生通过图形和实例理解定积分的性质，如线性性、保号性等。
4. 教授定积分的计算方法，如牛顿-莱布尼茨公式、分部积分法等。
5. 提供实际问题，让学生应用定积分解决实际问题，如计算曲线下的面积、求解弯曲线路的距离等。
教学练习：a. 定积分表示曲线下的面积。
b. 定积分具有线性性。
c. 定积分可以大于曲线下的面积。
a. 定积分的几何意义是曲线下的面积。
b. 定积分的物理意义是曲线下的质量。
c. 定积分的计算方法有牛顿-莱布尼茨公式和分部积分法。
a. ∫(从0到1) x^2 dxb. ∫(从1到2) e^x dx教学评价：1. 学生能够理解定积分的概念和性质。
2. 学生能够掌握定积分的计算方法。
3. 学生能够应用定积分解决实际问题。
教案章节：第二章微积分的基本定理教学目标：1. 理解微积分的基本定理，掌握微积分的基本定理的内容和应用。
2. 学会计算不定积分和定积分，并能应用微积分的基本定理解决实际问题。
教学内容：1. 微积分的基本定理的定义2. 微积分的基本定理的内容3. 微积分的基本定理的应用教学步骤：1. 引入微积分的基本定理，引导学生思考如何求解曲线的原函数。
2. 讲解微积分的基本定理，解释微积分的基本定理的意义和应用。
3. 引导学生通过图形和实例理解微积分的基本定理的应用，如计算曲线的面积、求解曲线与坐标轴的交点等。
4. 教授不定积分和定积分的计算方法，如基本积分表、换元积分法等。
《定积分的概念》教学教案
《定积分的概念》教学教案教学教案《定积分的概念》一、教学目标1.理解定积分的概念和基本性质；2.掌握计算定积分的方法和技巧；3.运用定积分解决实际问题。
二、教学重点1.定积分的概念和基本性质；2.计算定积分的方法和技巧。
三、教学难点1.理解定积分的概念和基本性质；2.运用定积分解决实际问题。
四、教学准备1.教材：数学教材、习题集等；2.工具：黑板、粉笔等。
五、教学过程Step 1 知识导入（5分钟）1.复习集中讨论上一节课的内容，引入定积分的概念。
2.提问：你们对定积分有什么了解？Step 2 定积分的概念（20分钟）1. 导入：引入定积分的基本概念，如Riemann和、分割、积分和面积的关系等。
2.讲解：通过具体的例子，解释定积分的定义和意义。
3.提问：如何通过曲线的面积概念引入定积分？Step 3 定积分的基本性质（15分钟）1.引入：引入定积分的基本性质，如线性性质、区间可加性、保号性等。
2.讲解：通过具体例子验证定积分的基本性质。
3.提问：如何理解定积分的线性性质？Step 4 计算定积分（25分钟）1.导入：通过几何问题，引入定积分的计算方法。
2.讲解：教授求定积分的方法和技巧，如代数法、几何法、换元法等。
3.举例：通过具体的例子讲解并计算定积分。
4.练习：让学生完成相应的练习题。
Step 5 运用定积分（20分钟）1.导入：通过实际问题引入定积分的应用。
2.讲解：教授定积分在物理学和经济学等领域的应用。
3.举例：通过实际问题的例子，展示定积分的应用过程。
4.提问：你对定积分的应用有何感悟？Step 6 拓展延伸（15分钟）1.讲解：让学生了解定积分的应用不仅限于一元函数，还可以推广到二元和多元函数。
2.提问：你能举例说明定积分在二元和多元函数中的应用吗？六、教学总结（10分钟）1.复习：对本节课的知识点进行复习。
2.总结：对本节课的教学内容进行总结，概括定积分的概念、基本性质和计算方法。
定积分思政教案
定积分思政教案教案标题：定积分思政教案一、教学目标：1. 理解定积分的概念和性质；2. 掌握定积分的计算方法；3. 了解定积分在思政教育中的应用。
二、教学重点和难点：1. 定积分的概念和性质；2. 定积分的计算方法；3. 定积分在思政教育中的应用。
三、教学准备：1. 教学课件；2. 教学实例和练习题；3. 思政教育相关资料。
四、教学过程：1. 导入：通过介绍一些与定积分相关的思政教育案例，引出定积分在思政教育中的重要性和应用。
2. 概念讲解：介绍定积分的定义和性质，引导学生理解定积分的概念和意义。
3. 计算方法：讲解定积分的计算方法，包括定积分的性质和基本公式，引导学生掌握定积分的计算技巧。
4. 思政教育案例分析：结合具体的思政教育案例，引导学生运用定积分的知识和方法进行分析和思考，加深对定积分在思政教育中的应用理解。
5. 练习与讨论：布置一些定积分的练习题，让学生进行练习并进行讨论，加深对定积分的理解和应用能力。
6. 思考与总结：引导学生思考定积分在思政教育中的作用和意义，总结本节课的学习内容和收获。
五、课堂延伸：1. 布置定积分的相关作业；2. 鼓励学生自主学习思政教育相关内容；3. 引导学生进行实际思政教育案例的分析和讨论。
六、教学反思：通过本节课的教学，学生能够深入理解定积分的概念和性质，掌握定积分的计算方法，并能够将定积分的知识应用到思政教育中，达到了教学目标。
同时，通过案例分析和讨论，学生的思维能力和综合素质也得到了提升。
在未来的教学中，可以进一步丰富思政教育案例，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
高中数学定积分的概念教案新人教版选修
高中数学定积分的概念教案新人教版选修一、教学目标1. 理解定积分的概念，掌握定积分的定义方法和性质。
2. 学会利用定积分解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力、创新能力和合作能力。
二、教学内容1. 定积分的概念：定积分的定义、定积分的性质。
2. 定积分的计算：牛顿-莱布尼茨公式、定积分的换元法、分部积分法。
3. 定积分在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 重点：定积分的概念、性质，定积分的计算方法。
2. 难点：定积分的理解和运用，定积分的计算技巧。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究定积分的概念和性质。
2. 利用案例分析法，让学生学会将实际问题转化为定积分问题。
3. 运用讨论法，培养学生的合作能力和创新思维。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考如何求解曲边图形的面积。
2. 探究定积分的概念：讲解定积分的定义，让学生理解定积分的基本思想。
3. 学习定积分的性质：引导学生通过举例，总结定积分的性质。
4. 定积分的计算：讲解牛顿-莱布尼茨公式，教授换元法和分部积分法。
5. 应用定积分解决实际问题：让学生分组讨论，选取实例进行分析。
6. 总结与反馈：对所学内容进行总结，收集学生反馈，及时调整教学方法。
六、教学评价1. 评价学生对定积分概念的理解程度，通过课堂提问、作业批改等方式进行。
2. 评价学生对定积分性质的掌握情况，通过课后练习、小测验等方式进行。
3. 评价学生运用定积分解决实际问题的能力，通过分组讨论、课堂展示等方式进行。
七、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，展示定积分的概念、性质和计算方法。
2. 教学案例：收集与生活实际相关的案例，用于引导学生运用定积分解决实际问题。
3. 练习题库：编写一定数量的练习题，用于巩固学生对定积分的理解和运用。
八、教学进度安排1. 第1周：导入定积分的概念，讲解定积分的定义和性质。
大学数学定积分的概念教案
课程名称：高等数学授课对象：大学本科生课时：2课时教学目标：1. 理解定积分的概念，掌握定积分的基本思想和定义过程。
2. 能够运用定积分的概念解决实际问题，如计算曲边梯形的面积。
3. 培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 定积分的概念2. 定积分的几何意义教学难点：1. 定积分的概念建立2. 定积分的几何意义教学准备：1. 教学课件2. 练习题3. 课堂演示工具教学过程：第一课时一、导入1. 介绍定积分产生的背景，如几何学、物理学等领域中面积、体积、功等问题。
2. 引导学生回顾导数的概念，引出定积分的定义。
二、讲授新课1. 定积分的概念（1）介绍定积分的定义：定积分是求一个函数在一个区间上的总和的极限。
（2）举例说明定积分的定义：如计算曲边梯形的面积。
（3）讲解定积分的几何意义：定积分的几何意义是求一个函数在一个区间上的净面积。
2. 定积分的性质（1）线性性质：定积分的线性性质是指定积分具有可加性和可逆性。
（2）保号性质：定积分的保号性质是指如果函数在一个区间上单调递增（或递减），则定积分的值也单调递增（或递减）。
三、课堂练习1. 计算定积分的值。
2. 根据定积分的几何意义，求解实际问题。
第二课时一、复习1. 回顾定积分的概念、性质和几何意义。
2. 复习课堂练习中的题目。
二、讲授新课1. 定积分的计算方法（1）积分公式：介绍基本的积分公式，如幂函数、指数函数、三角函数等。
（2）积分法则：介绍积分法则，如换元积分法、分部积分法等。
2. 定积分的应用（1）计算曲边梯形的面积。
（2）计算平面图形的面积。
（3）计算空间图形的体积。
三、课堂练习1. 计算定积分的值。
2. 根据定积分的应用，求解实际问题。
教学总结：通过本节课的学习，学生应该掌握定积分的概念、性质、计算方法和应用。
在教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动思考，培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
同时，通过实际问题，让学生体会定积分的实际应用价值。
定积分的概念教案
定积分的概念教案教学目标：了解定积分的概念及其几何意义，熟练掌握定积分的计算方法。
教学重点：掌握定积分的概念及其几何意义。
教学难点：运用定积分的概念解决实际问题。
教学准备：教师准备教材、教具和白板笔等。
教学过程：Step 1：导入问题教师可以提出一个实际问题，如：一辆汽车在1小时内的速度是多少？请学生思考并展开讨论。
Step 2：引入定积分教师出示一张速度-时间图像，简单介绍图像含义，即速度的变化情况。
Step 3：讨论定积分概念教师引导学生思考：如何根据速度-时间图像计算汽车在1小时内行驶的距离？学生可以按时间分割成不同的小段，并计算每个小段的行驶距离。
引出定积分的概念：将时间划分成无限小的小段，计算每个小段的行驶距离，并对其求和。
Step 4：定积分的计算方法教师介绍定积分的计算方法：将定积分问题转化为求函数的不定积分问题，然后根据不定积分的法则进行计算。
Step 5：定积分的几何意义教师引导学生思考：定积分的几何意义是什么？可以让学生按照概念中的思路进行讨论，并引导学生认识到定积分表示函数与横轴之间的面积。
Step 6：应用定积分解决实际问题教师出示一个实际问题，如：一块不规则形状的地块的面积如何计算？引导学生将地块的形状划分成无数个小矩形或小三角形，然后利用定积分的概念求解。
Step 7：练习与总结教师提供一些定积分的练习题，供学生巩固知识并提出问题。
在练习过程中，教师及时纠正学生的错误，引导学生总结定积分的计算方法和几何意义。
Step 8：课堂小结教师对本节课进行小结，强调定积分的概念及其几何意义，并鼓励学生继续探索和应用定积分。
Step 9：课后作业教师布置相关的课后作业，要求学生继续练习定积分的计算及应用，并预习下节课内容。
以上为定积分的概念教案。
定积分的概念(教案)
1.5.3．定积分的概念一、复习回顾：1． 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：2．上述两个问题的共性是什么？二、新知探究1．定积分的概念注：说明：（1）定积分()ba f x dx ⎰是一个 ，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为()ba f x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：（3）曲边图形面积：变速运动路程：变力做功：例1：利用定积分的定义,计算dx x ⎰102 、 dx x ⎰103 的值.2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1⎰b a dx x kf )(= ； 性质2 dx x g x f b a⎰±)]()([= 性质3 ⎰⎰=ca b a dx x f dx x f )()(+ 3．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线 和曲线 所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()b a f x dx ⎰的 几何意义。
思考：（1）在[,]a b 上0)(≥x f ，()ba f x dx ⎰= （2）在[,]ab 上0)(≤x f ，()ba f x dx ⎰=（3）在[,]a b 上)(x f 变号，()ba f x dx ⎰=⑤练习：1、利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。
（1）dx x ⎰20sin π（2）dx x ⎰-212 （3）dx x ⎰-1232、利用定积分的几何意义，说明下列各式成立（1）0sin 22=⎰-dx x ππ ， 0sin 20=⎰dx x π （2）dx x dx x ⎰⎰=200sin 2sin ππ3、计算下列定积分（1）dx b a ⎰1 （2）11x dx -⎰． （3） 50(24)x dx -⎰（4）dx x ⎰-1021 （5）120(2)x x dx -⎰三、课堂小结：①定积分的概念及性质②用定义法求简单的定积分③定积分的几何意义。
《定积分与微积分基本定理》教案
《定积分与微积分基本定理》教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义强调定积分的重要性1.2 定积分的性质演示定积分的几何意义证明定积分的可加性1.3 定积分的计算方法介绍牛顿-莱布尼茨公式演示定积分的计算步骤第二章：定积分的应用2.1 定积分在几何中的应用求解平面区域的面积求解曲线的弧长2.2 定积分在物理中的应用解释定积分在物理学中的意义求解物体的体积2.3 定积分在概率中的应用引入概率密度函数的概念求解概率问题第三章：微积分基本定理3.1 微积分基本定理的定义解释微积分基本定理的含义强调微积分基本定理的重要性3.2 微积分基本定理的证明介绍牛顿-莱布尼茨公式的证明过程解释微积分基本定理的证明方法3.3 微积分基本定理的应用演示微积分基本定理在实际问题中的应用求解实际问题中的定积分第四章：定积分的近似计算4.1 定积分的数值计算方法引入数值计算方法的概念介绍数值计算方法的原理4.2 定积分的数值计算实例演示定积分的数值计算过程分析数值计算的精度4.3 定积分的蒙特卡洛方法介绍蒙特卡洛方法的概念演示蒙特卡洛方法在定积分计算中的应用第五章：定积分的优化问题5.1 定积分的最值问题引入定积分最值问题的概念解释定积分最值问题的意义5.2 定积分的极值点问题介绍极值点的概念求解定积分的极值点5.3 定积分的优化应用演示定积分在实际问题中的应用求解实际问题中的定积分优化问题第六章：定积分的变限函数6.1 变限函数的概念解释变限函数的定义强调变限函数在定积分中的作用6.2 变限函数的极限介绍变限函数极限的概念证明变限函数极限的性质6.3 变限函数的定积分演示变限函数定积分的计算方法分析变限函数定积分的结果第七章：定积分的换元法7.1 换元法的概念解释换元法的定义强调换元法在定积分计算中的重要性7.2 换元法的步骤介绍换元法的计算步骤演示换元法在定积分计算中的应用7.3 换元法的注意事项分析换元法的适用条件讨论换元法可能遇到的问题第八章：定积分的分部积分法8.1 分部积分的概念解释分部积分法的定义强调分部积分法在定积分计算中的作用8.2 分部积分的步骤介绍分部积分的计算步骤演示分部积分法在定积分计算中的应用8.3 分部积分的推广介绍分部积分的推广形式讨论分部积分的扩展应用第九章：定积分的瑕点处理9.1 瑕点的概念解释瑕点的定义强调瑕点在定积分计算中的重要性9.2 瑕点的处理方法介绍瑕点的处理方法演示瑕点处理在定积分计算中的应用9.3 瑕点问题的进一步讨论分析瑕点问题的复杂性讨论瑕点问题的解决策略第十章：定积分的实际应用案例分析10.1 定积分在经济学中的应用引入经济学中的优化问题演示定积分在经济学中的应用10.2 定积分在生物学中的应用介绍生物学中的种群动力学问题求解生物学中的定积分问题10.3 定积分在工程学中的应用解释工程学中的质心问题应用定积分求解工程学问题第十一章：定积分的进一步拓展11.1 多元函数的定积分引入多元函数定积分概念解释多元函数定积分的计算方法11.2 定积分在多变量函数中的应用演示多元函数定积分在几何和物理问题中的应用求解多变量函数的定积分问题11.3 定积分的向量分析介绍向量分析与定积分的关系应用向量分析解决定积分问题第十二章：定积分的数值方法12.1 数值方法概述解释数值方法的定义和作用强调数值方法在定积分计算中的应用12.2 数值方法的原理与步骤介绍数值方法的原理和计算步骤演示数值方法在定积分计算中的应用12.3 常用数值方法分析讨论龙格-库塔和其他数值方法的优缺点分析不同数值方法在定积分计算中的应用场景第十三章：定积分的优化问题13.1 优化问题的定义与分类引入优化问题的概念解释优化问题的分类和特点13.2 定积分与优化问题的关系强调定积分在优化问题中的作用演示定积分在优化问题中的应用13.3 定积分优化问题的求解方法介绍常见的优化方法应用定积分求解优化问题第十四章：定积分在概率论中的应用14.1 概率论与定积分的关系解释概率论中定积分的作用强调定积分在概率论中的重要性14.2 定积分在概率密度函数中的应用引入概率密度函数的概念演示定积分在概率密度函数计算中的应用14.3 定积分在概率问题求解中的应用讨论定积分在概率问题求解中的方法求解概率问题中的定积分第十五章：定积分在现代科学技术中的应用15.1 定积分在物理学中的应用介绍定积分在物理学中的作用演示定积分在物理学问题中的应用15.2 定积分在化学中的应用解释定积分在化学问题中的重要性求解化学问题中的定积分15.3 定积分在其他学科中的应用分析定积分在其他学科领域的作用探讨定积分在不同学科中的应用前景重点和难点解析重点：1. 定积分的概念与性质：理解定积分的定义、几何意义以及其可加性等基本性质。
高中数学 第四章 定积分 1 定积分的概念教案(含解析)2数学教案
1定积分的概念如图，阴影部分是由抛物线f (x )＝x 2，直线x ＝1以及x 轴所围成的平面图形． 问题1：通常称这样的平面图形为什么？ 提示：曲边梯形．问题2：如何求出所给平面图形的面积近似值？提示：把平面图形分成多个小曲边梯形，求这些小曲边梯形的面积和． 问题3：你能求出近似值吗？提示：能．不妨将区间[0,1]五等分，如图所示．求出图甲或图乙所有阴影小矩形的面积和S 1或S 2，即为曲边梯形面积S 的近似值． 问题4：如何更精确地求出阴影部分的面积S? 提示：分割的曲边梯形数目越多，所求得面积越精确． 1．定积分的概念给定一个在区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )，将[a ，b ]区间分成n 份，分点为：a ＝x 0<x 1<x 2<…<x n －1<x n ＝b ，记Δx i 为第i 个小区间[x i －1，x i ]的长度，ξi 为这个小区间上一点，使f (ξi )在区间[x i －1，x i ]上的值最大，设S ＝f (ξ1)Δx 1＋…＋f (ξi )Δx i ＋…＋ f (ξn )Δx n .在这个小区间上取一点ζi ，使f (ζi )在区间[x i －1，x i ]上的值最小，设s ＝f (ζ1)Δx 1＋…＋f (ζi )Δx i ＋…＋f (ζn )Δx n .如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S 与s 的差也趋于0，此时，S 与s 同时趋于某一个固定的常数A ，就称A 是函数y ＝f (x )在区间 [a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛a bf (x )d x ＝A ，其中∫叫作积分号，a 叫作积分的下限，b叫作积分的上限，f (x )叫作被积函数．2．定积分的几何意义(1)当f (x )≥0时，⎠⎛a bf (x )d x 表示的是x ＝a 与x ＝b ，y ＝0和y ＝f (x )所围成曲边梯形的面积．(2)当f (x )(f (x )≥0)表示速度关于时间x 的函数时，⎠⎛a bf (x )d x 表示的是运动物体从x ＝a 到x ＝b 时所经过的路程．3．定积分的性质 (1)⎠⎛a b1d x ＝b －a ；(2)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛a bf (x )d x ；(3)⎠⎛a b[f (x )±g (x )]d x ＝⎠⎛a bf (x )d x ±⎠⎛a bg (x )d x ； (4)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x .1．由定义可得定积分⎠⎛a bf (x )d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t ＝⎠⎛a bf (u )d u .2．性质3对于有限个函数(两个以上)也成立．性质4对于把区间[a ，b ]分成有限个(两个以上)区间也成立．3．利用定积分求曲边梯形的面积的实质是“化整为零、积零为整”的过程．过剩估计值和不足估计值的应用[例1] )＝－t 2＋5(单位：km/h)．试估计这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程．[思路点拨] 将变速直线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题，通过求矩形面积问题即可解决．[精解详析] 将区间[0,2]10等分，如图：S ＝(－02＋5－0.22＋5－…－1.82＋5)×0.2＝7.72，s ＝(－0.22＋5－0.42＋5－…－1.82＋5－22＋5)×0.2＝6.92，∴估计该车在这段时间内行驶的路程介于6.92 km 与7.72 km 之间．[一点通] 解决这类问题，是通过分割自变量的区间求得过剩估计值和不足估计值，分割得越细，估计值就越接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于0时，过剩估计值和不足估计值都趋于要求的值．1．把区间[0,1]n 等分，所得n 个小区间，每个小区间的长度为( ) A.1nB.2nC.3nD.12n解析：选A 区间[0,1]的长度为1，被n 等分，所以每个小区间的长度为1n.2．求由直线x ＝1，x ＝2和y ＝0及曲线y ＝12x 2所围成的曲边梯形的面积的估计值，并写出估计误差．解：将区间[1,2]5等分，分别以每个小区间的左、右端点的纵坐标为小矩形的高，得此平面图形面积的不足估计值s 和过剩估计值S .s ＝⎝ ⎛ 12×12＋12×1.22＋12×⎭⎪⎫1.42＋12×1.62＋12×1.82×0.2＝1.02， S ＝⎝ ⎛12×1.22＋12×1.42＋12×⎭⎪⎫1.62＋12×1.82＋12×22×0.2＝1.32， 估计误差不会超过S －s ＝1.32－1.02＝0.3.利用定积分的几何意义求定积分[例2] (1) ⎠⎛－1 14－x 2d x ；(2)⎰522ππ(1＋sin x )d x .[思路点拨] 定积分⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义是：介于x ＝a ，x ＝b 之间，x 轴上、下相应曲边平面图形面积的代数和，其中x 轴上方部分的面积为正，x 轴下方部分的面积为负．[精解详析] (1)由y ＝4－x 2可知x 2＋y 2＝4(y ≥0)，其图像如图．⎠⎛－114－x 2d x 等于圆心角为π3的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×π3×22－12×2×2sin π3＝2π3－3， S 矩形＝AB ·BC ＝23，∴⎠⎛－114－x 2d x ＝23＋2π3－3＝2π3＋ 3. (2)函数y ＝1＋sin x 的图像如图所示，⎰522ππ(1＋sin x )d x 表示阴影部分的面积，由图像的对称性可知：⎰522ππ(1＋sin x )d x ＝S 矩形ABCD ＝2π.[一点通] 利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图像，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积，不规则的图形常用分割法求面积，注意分割点的准确确定．3．据定积分的几何意义比较大小，并用“>”“<”或“＝”号连接下列各式：(1) ⎠⎛01x d x ________⎠⎛01x 2d x ； (2) ⎠⎛01x d x ________⎠⎛12x d x .解析：(1)如图：⎠⎛01x d x 表示△OAP 的面积，⎠⎛01x 2d x 表示阴影部分的面积，显然⎠⎛01x d x >⎠⎛01x 2d x .(2)如图：⎠⎛01x d x 表示△OAB 的面积，∫21x d x 表示梯形ABDC 的面积，故⎠⎛01x d x <∫21x d x .答案：(1)> (2)<4.利用定积分的几何意义，说明下列等式．(1) ⎠⎛012x d x ＝1；(2)⎠⎛011－x 2d x ＝π4. 解：(1)如图1，⎠⎛012x d x 表示由曲线y ＝2x ，直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的图形(直角三角形)的面积，由S △＝12×2×1＝1，故⎠⎛012x d x ＝1.(2)如图2，⎠⎛011－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝1在第一象限部分的面积．由S 圆＝π，得⎠⎛011－x 2d x ＝π4. 利用定积分的性质求定积分[例3] (1)若⎠⎛01[f (x )＋g (x )]d x ＝3，⎠⎛01[f (x )－g (x )]d x ＝－5，则∫10f (x )d x ＝________.(2)若⎠⎛a b 2f (x )d x ＝5，则13⎠⎛a b[2－f (x )]d x ＝____________.[思路点拨] 涉及定积分的线性运算时，可考虑用定积分的性质进行求解． [精解详析] (1)依题意知⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛01g (x )d x ＝3， ⎠⎛01f (x )d x －⎠⎛01g (x )d x ＝－5， 两式相加，得2⎠⎛01f (x )d x ＝－2， 故⎠⎛01f (x )d x ＝－1.(2)∵⎠⎛a b 2f (x )d x ＝2⎠⎛a bf (x )d x ＝5，∴⎠⎛abf (x )d x ＝52. 于是13⎠⎛a b [2－f (x )]d x ＝13⎣⎡⎦⎤⎠⎛ab2d x －⎠⎛a bf x d x＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2b －2a －52＝23b －23a －56.[答案] (1)－1 (2)23b －23a －56[一点通] 利用定积分的性质可将被积函数较复杂的定积分化为简单函数的定积分，将未知的定积分转化为已知的定积分；对于分段函数类型的定积分，可以利用定积分的性质分解求值．5．若⎠⎛a b f (x )d x ＝3，⎠⎛a b g (x )d x ＝2，则⎠⎛a b[f (x )＋g (x )]d x ＝________. 解析：⎠⎛a b[f (x )＋g (x )]d x ＝⎠⎛a bf (x )d x ＋⎠⎛a bg (x )d x ＝3＋2＝5.答案：56．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，求⎠⎛02f (x )d x .解：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，x >1，x ＋1，0≤x ≤1，∴⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x ＋1)d x ＋⎠⎛12(－2x ＋4)d x .又由定积分的几何意义得⎠⎛01(x ＋1)d x ＝12(1＋2)×1＝32，⎠⎛12(－2x ＋4)d x ＝12×1×2＝1， ∴⎠⎛02f (x )d x ＝32＋1＝52. (1)定积分⎠⎛a bf (x )d x 与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同． (2)利用几何意义求定积分的关键在于分清楚被积函数f (x )所表示的图形以及积分上、下限．1．下列等式不成立的是( )A. ⎠⎛a b [mf (x )＋ng (x )]d x ＝m ⎠⎛a b f (x )d x ＋n ⎠⎛a bg (x )d x B. ⎠⎛a b [f (x )＋1]d x ＝⎠⎛a bf (x )d x ＋b －a C. ⎠⎛a b f (x )g (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ·⎠⎛a bg (x )d x D. ⎠⎛－2π 2πsin x d x ＝⎠⎛－2π 0sin x d x ＋⎠⎛02πsin x d x解析：选C 由定积分的性质知选项A ，B ，D 正确，故选C. 2．定积分⎠⎛13(－3)d x ＝( ) A ．－6 B ．6 C ．－3D ．3解析：选A ⎠⎛133d x 表示图中阴影部分的面积S ＝3×2＝6，⎠⎛13(－3)d x ＝－⎠⎛133d x ＝－6.3．求由曲线y ＝e x，直线x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分上限和积分下限分别为( )A ．e 2,0 B ．2,0 C ．2,1D ．1,0解析：选B 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝e x，x ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝e 2.所以积分上限为2，积分下限为0.4．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )A.19B.125 C.127D.130解析：选A 将区间[0,1]三等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23，⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1， 各小矩形的面积和为s 1＝03·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133·13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233·13＝981＝19.5．已知⎠⎛a bf (x )d x ＝6，则⎠⎛a b6f (x )d x ＝________. 解析：⎠⎛a b 6f (x )d x ＝6⎠⎛a bf (x )d x ＝36.答案：366．计算⎠⎛124－x 2d x ＝________.解析：由定积分的几何意义知，所求积分是图中阴影部分的面积．易知AB ＝3，∠AOB ＝π3，故S 阴＝16×4π－12×1×3＝2π3－32. 答案：2π3－327．已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563， 求：(1) ⎠⎛023x 3d x ；(2) ⎠⎛146x 2d x ；(3) ⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x . 解：(1) ⎠⎛023x 3d x ＝3⎠⎛02x 3d x＝3⎝⎛⎭⎫⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12. (2) ⎠⎛146x 2d x ＝6⎠⎛14x 2d x ＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126. (3) ⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x＝3×73－2×154＝－12.8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，2，4－x ，x ∈[2，3，52－x 2，x ∈[3，5]，求f (x )在区间[0,5]上的定积分．解：由定积分的几何意义知⎠⎛02x d x ＝12×2×2＝2，⎠⎛23(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32， ⎠⎛35⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2d x ＝12×2×1＝1， ∴⎠⎛05f (x )d x ＝⎠⎛02x d x ＋⎠⎛23(4－x )d x ＋⎠⎛35⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2d x ＝2＋32＋1＝92.。
《定积分与微积分基本定理》教案
《定积分与微积分基本定理》教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义强调定积分表示的是平面区域内曲线与x轴之间区域的面积1.2 定积分的性质介绍定积分的性质，如可加性、保号性等通过图形演示定积分的性质1.3 定积分的计算介绍定积分的计算方法，如牛顿-莱布尼茨公式演示如何计算常见函数的定积分第二章：微积分基本定理2.1 微积分基本定理的引入解释微积分基本定理的概念强调微积分基本定理是定积分与原函数的关系2.2 微积分基本定理的证明讲解微积分基本定理的证明过程强调证明中重要的极限概念2.3 微积分基本定理的应用介绍如何利用微积分基本定理求解定积分演示如何应用微积分基本定理解决实际问题第三章：定积分的换元法3.1 换元法的引入解释换元法的概念和作用强调换元法可以简化定积分的计算3.2 换元法的步骤介绍换元法的具体步骤通过例子演示换元法的应用3.3 换元法的常见类型介绍常见的换元法类型，如代数换元、三角换元等强调不同类型换元法的适用场景第四章：定积分的分部积分法4.1 分部积分的引入解释分部积分法的概念和作用强调分部积分法可以简化定积分的计算4.2 分部积分的步骤介绍分部积分的具体步骤通过例子演示分部积分的应用4.3 分部积分的常见类型介绍常见的分部积分类型，如基本分部积分、进位分部积分等强调不同类型分部积分的适用场景第五章：定积分的应用5.1 定积分在几何中的应用介绍定积分在几何中的应用，如计算曲线围成的面积强调定积分在几何中的重要性5.2 定积分在物理中的应用介绍定积分在物理中的应用，如计算物体的体积强调定积分在物理中的实际意义5.3 定积分在其他领域的应用介绍定积分在其他领域的应用，如经济学、生物学等强调定积分在不同领域中的广泛应用第六章：定积分的极限条件6.1 引入定积分的极限条件解释定积分的极限条件概念强调定积分的极限条件对于定积分计算的重要性6.2 定积分的收敛性讲解定积分的收敛性及其判断方法强调定积分的收敛性与发散性的区别6.3 定积分的绝对收敛与条件收敛介绍定积分的绝对收敛与条件收敛的概念强调判断定积分的绝对收敛与条件收敛的方法第七章：定积分的数值计算7.1 引入定积分的数值计算解释定积分的数值计算概念及意义强调定积分的数值计算在实际应用中的重要性7.2 梯形公式与辛普森公式介绍梯形公式与辛普森公式的概念及应用强调两种公式的优缺点及其适用场景7.3 数值计算方法的改进讲解数值计算方法的改进途径，如自适应细分法强调改进方法在提高计算精度方面的作用第八章：定积分在实际问题中的应用8.1 定积分在物理学中的应用介绍定积分在物理学中的应用，如求解物体的速度、位移等问题强调定积分在物理学中的实际意义8.2 定积分在经济学中的应用介绍定积分在经济学中的应用，如计算最大收益、最优化问题等强调定积分在经济学中的重要作用8.3 定积分在其他领域中的应用介绍定积分在生物学、环境科学等领域的应用强调定积分在不同领域中的广泛应用价值第九章：定积分的进一步拓展9.1 双重定积分引入双重定积分概念强调双重定积分表示的是空间区域内曲面与坐标平面之间区域的体积9.2 双重定积分的计算介绍双重定积分的计算方法，如双重牛顿-莱布尼茨公式演示如何计算常见函数的双重定积分9.3 三重定积分与多重定积分介绍三重定积分与多重定积分的概念及计算方法强调多重定积分在更高维度问题中的应用回顾本章所学内容，强调定积分与微积分基本定理的关键点提醒学生注意定积分在实际问题中的应用10.2 定积分的拓展学习推荐学生进一步学习的内容，如数值计算方法、多重积分等强调定积分在数学及其它领域中的广泛应用，激发学生的学习兴趣重点和难点解析重点环节1：定积分的性质解析：定积分的性质是理解定积分概念的基础，包括定积分的可加性、保号性等。
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1.5.3．定积分的概念
一、复习回顾：
1． 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：
2．上述两个问题的共性是什么？
二、新知探究
1．定积分的概念
注：
说明：（1）定积分()b
a f x dx ⎰是一个 ，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为
()b
a f x dx ⎰，而不是n S ．
（2）用定义求定积分的一般方法是：
（3）曲边图形面积：
变速运动路程：
变力做功：
例1：利用定积分的定义,计算
dx x ⎰102 、 dx x ⎰1
03 的值.
2．定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1
⎰b a dx x kf )(= ； 性质2 dx x g x f b a
⎰±)]()([= 性质3 ⎰⎰=c
a b a dx x f dx x f )()(
+ 3．定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，
那么定积分()b
a f x dx ⎰表示由直线 和曲线 所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分
()b a f x dx ⎰的 几何意义。
思考：
（1）在[,]a b 上0)(≥x f ，()b a f x dx ⎰= （2）在[,]a b 上0)(≤x f ，()b
a f x dx ⎰=
（3）在[,]a b 上)(x f 变号，()b
a f x dx ⎰=
⑤
练习：
1、利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。
（1）
dx x ⎰20sin π
（2）dx x ⎰-212 （3）dx x ⎰-1
23
2、利用定积分的几何意义，说明下列各式成立
（1）
0sin 22=⎰-dx x π
π ， 0sin 20=⎰dx x π （2）dx x dx x ⎰⎰=200sin 2sin π
π
3、计算下列定积分
（1）dx b a ⎰1 （2）11x dx -⎰． （3） 5
0(24)x dx -⎰
（4）
dx x ⎰-1021 （5）120(2)x x dx -⎰
三、课堂小结：
①定积分的概念及性质②用定义法求简单的定积分③定积分的几何意义。