必修1 新课标 数学 2.3对数函数

2.3对数函数
重难点：理解并掌握对数的概念以及对数式和指数式的相互转化，能应用对数运算性质及换底公式灵活地求值、化简；理解对数函数的定义、图象和性质，能利用对数函数单调性比较同底对数大小，了解对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用．
考纲要求：①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；
②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点；
③知道对数函数是一类重要的函数模型；
④了解指数函数与对数函数互为反函数．
经典例题：已知f（logax）=，其中a＞0，且a≠1．
（1）求f（x）；（2）求证：f（x）是奇函数；（3）求证：f（x）在R上为增函数．
当堂练习：
1．若,则（）
A．B．C．D．
2．设表示的小数部分，则的值是（）
A．B．C．0 D．
3．函数的值域是（）
A．B．[0,1] C．[0,D．{0}
4．设函数的取值范围为（）
A．（－1，1）B．（－1，+∞）C．D．
5．已知函数，其反函数为，则是（）
A．奇函数且在（0，＋∞）上单调递减B．偶函数且在（0，＋∞）上单调递增C．奇函数且在（-∞，0）上单调递减D．偶函数且在（-∞，0）上单调递增
6．计算= ．
7．若2.5x=1000,0.25y=1000,求．
8．函数f(x)的定义域为[0,1],则函数的定义域为．
9．已知y=loga(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是．
10．函数图象恒过定点，若存在反函数，则
的图象必过定点．
11．若集合{x，xy，lgxy}＝{0，|x|，y}，则log8（x2＋y2）的值为多少．
12．(1) 求函数在区间上的最值．
(2)已知求函数的值域．
13．已知函数的图象关于原点对称．(1)求m的值；
(2)判断f(x) 在上的单调性,并根据定义证明．
14．已知函数f(x)=x2－1(x≥1)的图象是C1，函数y=g(x)的图象C2与C1关于直线y=x对称．
(1)求函数y=g(x)的解析式及定义域M；
(2)对于函数y=h(x)，如果存在一个正的常数a，使得定义域A内的任意两个不等的值x1，x2都有|h(x1)－h(x2)|≤a|x1－x2|成立，则称函数y=h(x)为A的利普希茨Ⅰ类函数．试证明：y=g(x)是M上的利普希茨Ⅰ类函数．
参考答案：
经典例题：（1）解：设t=logax，则t∈R，∴x=at（x＞0）.则f（t）==（at －a－t）．
（2）证明：∵f（－x）=（a－x－ax）=－（ax－a－x）=－f（x），∴f（x）为奇函数.
（3）证明：设x1、x2∈R，且x1＜x2，则f（x2）－f（x1）=［（a－a－）－（a
－a－）］
=；（a－a）+a－a－（a－a）］=（a－a）（1+a－a－）．若0＜a＜1，则a2－1＜0，a＞a，∴f（x2）＞f（x1）.∴y=f（x）在R上为增函数；
若a＞1，则a2－1＞0，a＜a.∴f（x2）＞f（x1）.∴y=f（x）在R上为增函数．
综上，a＞0，且a≠1时，y=f（x）是增函数．
当堂练习：
1.A ;
2. A ;
3. B ;
4. D ;
5. D ;
6. 0;
7. ;
8. [0,2];
9. 1＜a＜2;10. ;
11.根据集合中元素的互异性，在第一个集合中，x≠0，第二个集合中，知道y≠0，∴第一个集合中的xy≠0，只有lg（xy）＝0，可得xy＝1①，∴x＝y②或xy＝y③．由①②联立，解得x＝y＝1或x＝y＝－1，若x＝y＝1，xy＝1，违背集合中元素的互异性，若x＝y＝－1，则xy＝|x|＝1，从而两个集合中的元素相同．①③联立，解得x＝y＝1，不符合题意．∴x
＝－1，y＝－1，符合集合相等的条件．因此，log8（x2＋y2）＝log82＝．
12.(1) 解:
=,当时,,
而,所以当时,y有最小值;当时, y有最大值3. (2)由已知，得
=
13.由图象关于原点对称知它是奇函数,得f(x)+f(-x)=0,即,
得m= -1；(2)由(1)得,定义域是,
设,得,所以当a>1时，f(x) 在上单调递减;当0<a<1时，f(x) 在上单调递增．
14.(1)由y=x2－1(x≥1)，得y≥0，且x=，∴f－1(x)=(x≥0)，
即C2：g(x)= ，M={x|x≥0}．
(2)对任意的x1，x2∈M，且x1≠x2，则有x1－x2≠0，x1≥0，x2≥0．
∴|g(x1)－g(x2)|=|－|=＜|x1－x2|．
∴y=g(x)为利普希茨Ⅰ类函数，其中a=．。