第三章 中值定理与导数的应用

第三章 中值定理与导数的应用

教学目的：

1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。

2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌

握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和

斜渐近线，会描绘函数的图形。

4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

5、 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

6、 知道方程近似解的二分法及切线性。 教学重点：

1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；

2、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法；

3、函数图形的凹凸性；

4、洛必达法则。 教学难点：

1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；

2、极值的判断方法；

3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；

4、洛必达法则的灵活运用。 §3. 1 中值定理

一、罗尔定理

费马引理

设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ÎU (x 0), 有 f (x )£f (x 0) (或f (x )³f (x 0)), 那么f ¢(x 0)=0.

罗尔定理 如果函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且有f (a )=f (b ), 那么在(a , b )内至少在一点 , 使得f ¢()=0.

简要证明: (1)如果f (x )是常函数, 则f ¢(x )º0, 定理的结论显然成立.

(2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(a , b )内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点Î(a , b ). 于是

)

()(lim )()(≥--='='-

→-

ξξξξξx f x f f f x , 0

)

()(lim )()(≤--='='+

→+

ξξξξξx f x f f f x ,

所以f ¢(x )=0.

罗尔定理的几何意义:

二、拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 那么

在(a , b )内至少有一点(a <

f (b )-f (a )=f ¢()(b -a )

成立.

拉格朗日中值定理的几何意义:

f ¢()

a

b a f b f --)()(

定理的证明: 引进辅函数

令(x )=f (x )-f (a )-a b a f b f --)()((x -a ).

容易验证函数f (x )适合罗尔定理的条件: (a )=(b )=0, (x )在闭区间[a , b ] 上连续在开区

间(a , b )内可导, 且

¢(x )=f ¢(x )-a b a f b f --)()(.

根据罗尔定理, 可知在开区间(a , b )内至少有一点, 使 ¢()=0, 即 f ¢()-a b a f b f --)

()(=0. 由此得 a b a f b f --)()(= f ¢() ,

即 f (b )-f (a )=f ¢()(b -a ).

定理证毕.

f (b )-f (a )=f ¢()(b -a )叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于b

设x 为区间[a , b ]内一点, x +x 为这区间内的另一点(x >0或x <0), 则在[x , x +x ] (x >0)或[x +x , x ] (x <0)应用拉格朗日中值公式, 得

f (x +x )-f (x )=f ¢(x +q x ) ⋅x (0

如果记f (x )为y , 则上式又可写为

y =f ¢(x +q x ) ⋅x (0

试与微分d y =f ¢(x ) ⋅x 比较: d y =f ¢(x ) ⋅x 是函数增量y 的近似表达式, 而 f ¢(x +q x ) ⋅x 是函数增量y 的精确表达式.

作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下定理:

定理 如果函数f (x )在区间I 上的导数恒为零, 那么f (x )在区间I 上是一个常数. 证 在区间I 上任取两点x 1, x 2(x 1

f (x 2)-f (x 1)=f ¢()(x 2 - x 1) (x 1<< x 2).

由假定, f ¢()=0, 所以f (x 2)-f (x 1)=0, 即

f (x 2)=f (x 1).

因为x 1, x 2是I 上任意两点, 所以上面的等式表明: f (x )在I 上的函数值总是相等的, 这就是说, f (x )在区间I 上是一个常数.

例2. 证明当x 0时, x

x x x <+<+)1ln(1.

证 设f (x )=ln(1+x ), 显然f (x )在区间[0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有

f (x )-f (0)=f ¢()(x -0), 0<

x x f +='11

)(, 因此上式即为

ξ+=+1)1ln(x x .

又由0x , 有

x

x x x <+<+)1ln(1.

三、柯西中值定理

设曲线弧C 由参数方程

⎩⎨

⎧==)()

(x f Y x F X (a £x £b )

表示, 其中x 为参数. 如果曲线C 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线, 那么在曲线C 上必有一点x =, 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB, 曲线C 上点x =处的切线的斜率为

)()

(ξξF f dX dY ''=,

弦AB 的斜率为

)()()

()(a F b F a f b f --. 于是

)()

()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=

--. 柯西中值定理 如果函数f (x )及F (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且F ¢(x )在(a , b )内的每一点处均不为零, 那么在(a , b )内至少有一点, 使等式

)()

()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=

-- 成立.

显然, 如果取F (x )=x , 那么F (b )-F (a )=b -a , F ¢(x )=1, 因而柯西中值公式就可以写成:

f (b )-f (a )=f ¢()(b -a ) (a <

这样就变成了拉格朗日中值公式了. §3. 3 泰勒公式

对于一些较复杂的函数, 为了便于研究, 往往希望用一些简单的函数来近似表达. 由于用多项式表示的函数, 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算, 便能求出它的函数值, 因此我们经常用多项式来近似表达函数.

在微分的应用中已经知道, 当|x |很小时, 有如下的近似等式: e x »1+x , ln(1+x ) »x .

这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子. 但是这种近似表达式还存在着不足之处: 首先是精确度不高, 这所产生的误差仅是关于x 的高阶无穷小; 其次是用它来作近似计算时, 不能具体估算出误差大小. 因此, 对于精确度要求较高且需要估计误差时候, 就必须用高次多项式来近似表达函数, 同时给出误差公式.

设函数f (x )在含有x 0的开区间内具有直到(n +1)阶导数, 现在我们希望做的是: 找出一个关于(x -x 0 )的n 次多项式

p n (x )=a 0+a 1(x -x 0 )+ a 2(x -x 0 ) 2+ × × × + a n (x -x 0 ) n

来近似表达f (x ), 要求p n (x )与f (x )之差是比(x -x 0 ) n 高阶的无穷小, 并给出误差| f (x )- p n