黄金分割论文
黄金分割的论文
黄金分割的论文引言黄金分割是一种常见而又神秘的比例，也称为黄金比例、黄金分割比、黄金点等。
在数学、自然界甚至艺术中都能看到黄金分割的身影。
本文将从数学和艺术的角度来探讨黄金分割的原理和应用。
数学中的黄金分割黄金分割在数学中的定义是一个比例关系，可以用一个简单的公式表示：(a+b) / a = a / b = 1.618。
其中，a和b分别代表整个长度和较小的一段长度。
这种比例被认为是美学上最令人愉悦和舒适的比例，也是自然界中许多事物的基本比例。
黄金分割在数学领域具有许多有趣的性质和应用。
比如，连续斐波那契数列中的两个相邻数的比例会趋近于黄金分割。
斐波那契数列是一个非常有趣的数列，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。
例如：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… 它的特点是无限接近于黄金分割比例。
自然界中的黄金分割自然界中也存在许多黄金分割的例子。
比如，花朵的花瓣排列、树叶的排列、海盐的结晶形状等。
这些都是自然界中广泛存在的事物，它们之所以被认为是美丽和对称的，部分原因就在于黄金分割的存在。
艺术中的黄金分割黄金分割在艺术中的应用非常广泛，尤其是在绘画、摄影和设计领域。
艺术家们常常使用黄金分割来构图，以此营造出和谐、平衡的视觉效果。
在绘画中，黄金分割可以用来确定画框的比例或主题物体的位置。
艺术家可以将画面分为两部分，比例大约是1:0.618，然后在黄金分割点将主题物体放置，这样可以增强画面的吸引力和美感。
在摄影中，黄金分割线也被广泛应用。
摄影师可以将画面水平或垂直地分为三个部分，然后在黄金分割点放置主体。
这样做可以让照片更加吸引人，给人一种和谐的感觉。
在设计中，黄金分割可以用来确定布局的比例，使设计更加美观和平衡。
许多设计软件都提供了黄金分割线的工具，设计师可以轻松地应用黄金分割来布局各种元素。
结论黄金分割作为一种美学原则，广泛应用于数学、自然界和艺术领域。
它不仅具有科学的原理和理论，还能帮助我们创造出更美丽、和谐的作品。
数学小论文：黄金分割线
数学小论文：黄金分割线为什么说黄金分割线最完美，想必很多人都有疑问。
整理了数学小论文：黄金分割线，欢迎阅读。
数学小论文：黄金分割线伟大的数学王国由0-9、点、线、面组成。
你可别小瞧这些成员，他们让我们的生活奇妙无比，丰富多彩。
例如这不起眼的点，它使我们的生活更美，更快捷。
这个功劳非黄金分割点莫属了。
把一条线段分成两部分，其中一段与该线段的比等于另一条线段与第一条线段的比，比值近似0.618，这就是黄金分割点。
从古希腊以来，一直有人认为把黄金分割点应用于造型艺术，可以使作品给人以最美的感觉。
因此，黄金分割点在生活中的应用十分广泛。
一、画图的应用1、画长方形是我们小学生最平常的事，也是最熟悉不过的。
你们可知道在无条件的情况下怎么把长方形画的更美，给人一种更舒适的感觉?那就是长方形的宽与长的比值接近0.618，这样画出的图形更美。
2、学过绘图的人可能知道如果给你一张纸，把这张纸画满，不一定会好看，但要是就画一点，留许多空白也不会太好看。
但有一些画就让人感觉很美、很清爽。
那是因为它应用了黄金分割点，才让人感到赏心悦目。
二、人体的应用1、在人体的结构上，黄金分割的应用更为广泛，举个最为熟悉的例子。
人们常称的帅哥、美女，就是他们的脸宽与脸长的比、腿长与身长的比值都约是0.618，这样的身材堪称最美。
2、人的肚脐是人体的黄金分割点、膝盖是人腿的黄金分割点……三、建筑物的应用古今中外，许多建造师都偏爱0.618，他们的杰作另世人仰慕。
如：古埃及的金字塔，巴黎的圣母院，还有法国的埃菲尔铁塔……四、生活上的应用1、大家平时可能注意到电工在检查一根不导电的电线时，他总是选择这根电线的黄金分割点来检查，因为这样可以最快速的找到损坏处。
2、我们家里大多数门窗的宽和长的比也是0.618，还有箱子、书本等都应用了黄金分割点，让这些物品看上去更舒心。
大千世界，美轮美奂，到处都蕴藏着黄金分割点。
让我们一起努力吧，用知识和智慧创造出更多的美!。
生活中黄金分割率应用论文
生活中黄金分割率应用论文生活与数学息息相关，数学包罗万象，一个数学理论可以推动科技发展，也可以无形地存在于生活中。
尤其数学中的黄金分割理论，让美术具有美感，让建筑宏伟壮观，甚至是人也有美与丑的分别。
人的生活离不开数学。
公元前4世纪，古希腊数学家、天文学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于校长线段与原线的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比就是≈0.618，后来天文学家开普勒把这种分割线段的方法称为神圣分割，并指出，毕达哥拉斯定理（勾股定理）和黄金分割是“几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉”。
19世纪以后，大部份人公认黄金分割说法。
历经两千多个春秋，它已在人类社会生活的各个领域得到了广泛的应用。
1、在人体上的验证据研究：如果人体均符合人的头顶至脐与脐至脚底之比、臀宽与躯干长度之比、下肢长度与上肢长度之比、下肢长度与全身长之比都是 0.618，且眼位于发际至颊底的上、中三分之一交界处，鼻下点位于发际至颊底中、下三分之一交界处，就会显得相貌端庄，体貌匀称$模特的身体之所以给人以美的享受就是这个原因$由于一般人身长与躯干之比大约只有0.58，因而芭蕾舞演员在翩翩起舞时要不时的踮起脚尖。
同样的道理女孩子喜欢穿高跟鞋，也是为了让自己的体型更加匀称、完美。
2、在建筑上的应用古希腊雅典的巴特农神殿，大理石柱廊高恰好占整个神殿高度的0.618；古埃及的胡夫大金字塔，其高与底部正方形边长之比为0.618；埃菲尔铁塔在比例上也适合黄金分割法；加拿大的多伦多电视塔，嵌在塔中上部的扁圆的空中楼阁，恰好位于塔身全长的0.618 处；巴黎圣母院之所以闻名于世，主要是因为它是欧洲建筑史上一个划时代的标志。
在它尖峭的屋顶正中，一个高达106米的尖塔，直刺天穹，好像要把人们连同这教堂一起送上天国。
教堂正厅顶部有一口重达13吨的大钟，敲击时〗钟声宏亮，全城可闻。
巴黎圣母院的主立面是世界上哥特式建筑中最美妙、最和谐的，水平与竖直的比例近乎黄金比1：0.618，立柱和服饰带把立面分为9块小的黄金比矩形，十分和谐匀称。
黄金分割论文
黄金分割论文引言黄金分割是一个古老而精妙的数学概念，被广泛应用于多个领域，如建筑、艺术和自然科学等。
本文将对黄金分割的定义、性质以及应用进行详细介绍，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
黄金分割的定义黄金分割是指将一条线段分为两部分，使得整条线段与较短部分之比等于较短部分与较长部分之比，这一比例称为黄金比。
黄金比的数值约等于1.61803。
黄金分割的性质黄金分割具有许多有趣的性质，下面列举其中几个重要的性质：1.连续分割性质：如果将一条线段分割成黄金比，再将较短的部分再次分割成黄金比，以此类推，无限连续分割下去，所得到的线段长度将无限接近黄金比值1.61803。
2.黄金矩形性质：当一个长方形的宽和高之比接近黄金比时，人们普遍认为这种长方形具有美感。
事实上，许多优秀的艺术品和建筑结构都使用了黄金矩形比例。
3.黄金螺旋性质：以黄金比为基础绘制的螺旋线称为黄金螺旋。
黄金螺旋在自然界中广泛存在，如植物的叶子排列、蜗牛壳的形状等。
黄金分割的应用建筑领域黄金分割在建筑领域中得到了广泛的应用，例如：•古代埃及的金字塔，其底边与高之比接近黄金比。
•古希腊的帕特农神庙，其各个部分的长度比例符合黄金分割。
•文艺复兴时期的教堂和宫殿，设计中运用了黄金分割概念，使建筑更加优雅美观。
黄金分割在建筑设计中能够带来视觉上的和谐感，使人们对建筑产生美感和舒适感。
艺术领域许多艺术作品中也运用了黄金分割的原理，例如：•著名画家达·芬奇的作品《蒙娜丽莎》中，人物的位置和比例遵循了黄金分割比例。
•古希腊雕塑中，雕像的各个部分的比例符合黄金分割规律。
黄金分割在艺术中被认为是一种美学原则，能够使作品更加吸引人、具有和谐美感。
自然科学领域自然界中，黄金分割也存在广泛的应用，例如：•植物的花瓣数目和排列方式通常符合黄金分割比例。
•蜗牛壳的螺旋线和扩张方式也符合黄金螺旋规律。
黄金分割在自然科学中被认为是一种普遍存在的规律，使自然界展现出美丽和谐的形态。
黄金分割在生活中的应用论文
黄金分割在生活中的应用论文美国著名心理学家布鲁纳指出：“学习者不应是信息的被动接受者，而应是知识获取过程的主动参与者。
”在数学实践活动课的教学中，就应坚持以生为本的育人原则，充分挖掘每个学生的潜能，让学生通过观察、操作、分析、讨论、交流、猜测、合作等学习方式，引导学生自主学习，激发学生学习数学的兴趣，促进学生主动地、富有个性地学习，使学生真正成为学习的主人。
我们常常听说有“黄金分割”这个词，“黄金分割”当然不是指的怎样分割黄金，这是一个比喻的说法，就是说分割的比例像黄金一样珍贵。
那么这个比例是多少呢？是0.618。
人们把这个比例的分割点，叫做黄金分割点，把0.618叫做黄金数。
并且人们认为如果符合这一比例的话，就会显得更美、更好看、更协调。
在生活中，对“黄金分割”有着很多的应用。
曾经，美国科学家在对人类认识能力的研究中发现，让一个只有6个月大的婴儿看几幅不同的女性照片时，婴儿会长时间地盯住其中那幅最漂亮的女性的照片看并开心地笑，而让他看比较丑的照片时，他不仅不爱看甚至会哭泣。
当然，这所谓的“漂亮”、“丑”是以已经有了一定的审美能力的成年人的标准来说的，当然也是符合形式美的标准的。
这里就出现了一个问题，刚刚出生几个月大的婴儿为什么会与成年人（受过各种教育）在对形式美的选择上是相同的？这是不是说明了的确存在某种对人类来说永恒的、不以人的意志为转移的一些最基本的标准支配人的审美活动？如果存在的话，它对似乎已经被学术界公认为无法解决（或者说是无效的问题）的美学的千年难题——美的本质问题——的讨论，会有什么样的启发？我们试图通过对同样在历史上被认为是一个“神秘”现象的“黄金分割”比例问题进行分析，对这个题目加以研究。
经过一个学期的学习和研究，我在其中得到了很多知识。
由于人们对自然界的认识日益深入，人类关于“黄金分割比”这一比例的了解也越来越丰富。
黄金分割的历史：人们认为，黄金分割作图与正五边形、正十边形和五角星形的作图有关——特别是由五角星形作图的需要引起的。
生活中的黄金分割总结（共5则范文）
生活中的黄金分割总结（共5则范文）第一篇：生活中的黄金分割总结（共）篇一：“生活中的黄金分割”结题报告论文高二年研究性学习数学课题结题论文一、标题“生活中的黄金分割”结题报告论文二、署名杨晶三、内容提要和关键词[摘要] 黄金分割是一种数学上的比例关系。
黄金分割具有严格的比例性,艺术性,和谐性,蕴藏着丰富的美学价值。
应用时一般取0.618,就像圆周率在应用时取3.14一样。
[关键词] 黄金分割 0.618 和谐美应用四、前言：在我们的生活中处处有数学，而历史悠久的可说是黄金比例了。
它可追溯到古代雅典的巴特农神庙，它之所以显得那么和谐，是因为这个建筑符合黄金比例。
在我们的生活中，摄影、医学、生物界、建筑甚至人体，处处都有黄金分割。
普通书的长宽比是黄金分割；有些植物的花瓣及主干上枝条的生长，也隐藏着黄金分割；一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.168?处。
艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.168?处，能使琴声更加柔和甜美。
由此可见黄金比例的历史和作用。
五、主要研究内容、方法：１、内容：生活中的黄金分割２、方法：1）去图书关查找资料，翻阅图书或相关的书籍2）上网查找相关的资料3）询问老师；小组成员之间相互探讨３、研究涉及的知识基础、所需资源：六、研究结果1、艺术中的黄金数“0.618，这个比值因具有美学价值而被古希腊美学家运用到造型艺术中，因为凡符合黄金分割律的形体总是最美的形体。
家运用它创造了不少不朽的著名。
黄金分割对摄影画面构图可以说有着自然联系。
例如照相机的片窗比例：135相机就是24x36即2:3的比例，这是很典型的。
2、饮食、生活作息中的黄金数：“黄金分割”的比值为0.618，它不仅是美学造型方面常用的一个比值，也是一个饮食参数。
日本人的平均寿命多年来稳居世界首位，合理的膳食是一个主要因素。
医学专家分析后还发现，饭吃六七成饱的人几乎不生胃病。
还有喝5杯水。
人体内的水分占体重的61.8％，不计出汗，每天失去和需要补充的水达2500毫升。
黄金分割（5篇范文）
黄金分割（5篇范文）第一篇：黄金分割黄金分割——设计师的设计利器作者：黄金体验来源： WSD 时间： 2011年3月2日设计师在设计的时候，总会遇到这样那样的问题，和人PK不断，修改不断。
界面区域多大合适呢？ICON多大？颜色区间多少？为什么这么定义？什么是普世的美？很多UIer都说，50%靠设计，50%靠交流，那么在交流的时候如何说服别人呢？ADS定位、用户群、用户环境、调研都可以作为参考的依据，在这里再向大家介绍一下我们身边存在的黄金分割，希望作为设计的利器，或创作或PK。
一.植物“黄金角度”生物学家发现植物种类繁多、叶子形态各异，但是叶子在茎上的排列却有着特殊的规律.我们从某种植物的顶端往下看，便会发现上下层相邻的两片叶子之间所构成的角约为137.50,如果每层叶子只画一片来表示，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度约为137.50,以后二层到三层、三层到四层、四层到五层……两叶之间都成这个角度，这个角度对叶子的通风和采光最为有利.这叶子之间的137.50角与黄金数又有什么联系呢？我们知道，一周为3600，137.50：=137.50：222.50≈0.618.也就是说，各种植物叶子的生长规律中自然隐藏着黄金数。
向日葵花有89个花辫，55个朝一方，34个朝向另一方枫叶喷嚏麦1.1.2.3.5.8.13.21.34.55.89.144…后面的数除以前面的树，越往后越趋向于黄金比例。
运用到设计当中，譬如一个齿轮的图标，齿的个数可以参考这组数列。
PK词：这是自然的法则。
二.动物由这组数列引出斐波那契曲线，斐波纳契是在解一道关于兔子繁殖的问题时，得出了这个数列。
假定你有一雄一雌一对刚出生的兔子，它们在长到一个月大小时开始交配，在第二月结束时，雌兔子产下另一对兔子，过了一个月后它们也开始繁殖，如此这般持续下去。
每只雌兔在开始繁殖时每月都产下一对兔子，假定没有兔子死亡，在一年后总共会有多少对兔子？•在一月底，最初的一对兔子交配，但是还只有1对兔子；在二月底，雌兔产下一对兔子，共有2对兔子；在三月底，最老的雌兔产下第二对兔子，共有3对兔子；在四月底，最老的雌兔产下第三对兔子，两个月前生的雌兔产下一对兔子，共有5对兔子；……如此这般计算下去，兔子对数分别是：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89, 144, …看出规律了吗？•从第3个数目开始，每个数目都是前面两个数目之和。
关于黄金分割数学论文
关于黄金分割数学论文学生姓名：***班级：初一四班一．简述黄金分割1.黄金分割又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1∶0.618或1.618∶1，即长段为全段的0.618。
0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。
上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割。
2.关于黄金分割比例的起源大多认为来自毕达哥拉斯，据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。
他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数理的方式表达出来,被应用在很多领域，后来很多人专门研究过，开普勒称其为“神圣分割”,也有人称其为“金法”。
在金字塔建成1000年后才出现毕达哥拉斯定律，可见这很早就存在,只是不知道这个谜底。
3.把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是（√5-1）：2，取其小数点后三位的近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：1÷0.618≈1.618 （1-0.618）÷0.618≈0.618 或根号5减1的差除以二。
如图所示，黄金分割图形二．黄金分割与生活1.黄金分割与人体人体肚脐的位置到脚底的长度与人体身高的比值符合黄金比例例如一个人身高为136cm，从肚脐到脚底有84cm，肚脐以上52cm，则52:84=0.619……，同时84:136=0.618……，符合黄金分割比例。
2.黄金分割与建筑物从4600年前修建的埃及金字塔，到2400年前修建的巴特农神殿，到埃菲尔铁塔、东方明珠、联合国大厦，在许多著名的建筑中，人们发现了一个惊人的巧合，那就是，它们都运用了黄金分割。
3.黄金分割与乐器斯特拉迪瓦里在制造他那有名的小提琴时，运用了黄金分割来确定f形洞的确切位置；二胡要获得最佳音色，其千斤须放在琴弦长度的0.618处。
数学论文黄金比
数学论文——黄金分割在数学中，我们学习了黄金分割的知识，知道了它与我们有着亲密的关系，在我们的生活中，也有许多的应用。
甚至在我们的人体中，还有建筑中也是少不了它的。
将一条线段分成两部分,使其中一部分与全长的比等于另一部分与这部分的比,这个比值为(√5-1)/2=0.618,称其为黄金比.这种线段的分割称为黄金分割.黄金比也可以称为黄金分割。
可以用0.618034、0.381965来表示，但人们多把它简称为0.618。
在植物世界，许多植物都体现出“黄金分割”原理。
例如：雏菊花冠中的小花、向日葵果盘内的种子、蔷薇花的片片花瓣等等，都是以137.50776度，围绕中心排列的；梨树主干上的新枝，也都是转过137.50776度，才抽出一枝又一枝来。
在著名的斐波那契数列中也有黄金分割的身影，1，1，2，3，5，8，13，21，...第二位起相邻两数之比，即2/3,3/5,5/8,8/13,13/21,...的近似值。
建筑中的黄金分割黄金分割被认为是建筑和艺术中最理想的比例。
建筑师们对数字0.618特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618有关的数据。
黄金分割与大多数门窗的宽长之比也是0.618；还有，在古希腊神庙的设计中就用到了黄金分割。
人体美学中的黄金分割①肚脐：头顶－足底之分割点②咽喉：头顶－肚脐之分割点③膝关节：肚脐－足底之分割点④肘关节：肩关节－中指尖之分割点其它方面的应用1、人的体温37度，室温25度是人们感受最舒适的温度，而25÷37=0.676很接近0.618。
2、电脑显示器长与宽比值约为1.6。
（1/0.618=1.618）3、理想体重计算很接近身高×（1－0.618）。
4、普通人一天上班8小时，8×0.618=4.944，上班第5个小时是最需要休息的时候，同时也是开始期待下班的时候。
5、小学生一节课40分钟，而注意力只有40×（1－0.618）=15.28分钟，因此教师必须不断注意学生的学习。
黄金分割论文
黄金分割论文课题组成员:钟子韵(组长) 陈轩陈英炜吴琦轩黄立鹂蔡纬日施煜勋指导老师:廖馥兰(一)研究背景关于黄金分割的起源大多认为来自毕达哥拉斯，据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。
他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比列被毕达哥斯拉用数理的方式表达出来。
被应用在很多领域，后来很多人专门研究过，开普勒称其为“神圣分割”也有人称其为“金法”。
在金字塔建成 1000 年后才出现毕达哥拉斯定律，可见这很早既存在。
只是不知这个谜底。
黄金分割在自然界和人们生活中到处可见。
我们对这“黄金分割”这个名词其实并不陌生，但我们总是不能细心地发现在它的日常生活中存在。
这极大刺激了我们对黄金分割探索的好奇心。
怀着这么一颗好奇心对“关注黄金分割”这一研究性学习课题展开研究。
(二)研究的目的和意义:通过对黄金分割的学习我们可以在许多地方运用到它它可以使我们周围的一切变得美丽。
特别突出的是在设计方面让我们会有更高级的思想，审美观也会增强。
通过调查研究学习各种各样有关黄金分割定律在生活中的应用，了解数学的实用价值激发学习数学的兴趣，增强理论与实际的联系。
:由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字。
这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。
因为它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割。
正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为"黄金分割"。
黄金分割是一种数学上的比例关系。
黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。
应用时一般取0.618 ，就像圆周率在应用时取3.14。
初中黄金分割(论文、小报
神秘的黄金比例
黄金比例是一种十分神秘的比例。
著
名的斐波契数列：1，1，2，3，5，
8，13，21，...前后两个数字之比
就是黄金比例，并且越往后就越准
确，越接近黄金比例。
它和π一样
是一个无法全部测得的无理数，它
的近似数就是著名的0.618. 这个比例可以在绘画、雕塑、音乐、
建筑得到体现。
黄金比例也是一种存在于数学
上的比例关系。
它具有十分严
格的比例性，应用实际的时候
一般取近似数0.618 ，就像圆
周率在应用时取3.14一样。
这
个数字人们的生活中到处可
见：比如人们的肚脐是人体长度的黄金分割点，人的膝盖又是肚脐到脚跟的黄金分割点。
传说建筑师们对数字0.618特别的喜欢，像古埃及的金字塔，巴黎的圣母院，都可以找到0.618。
甚至艺术家们也认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美。
所以可以看出，黄金比例和黄金分割可以设计方方面面、
数字0.618在数学上也很被数学家所关注。
它可以解决许多数学难题，比如：十等分、五等分圆周；求18度、36度角的正弦、余弦值等。
有科学家实践证明，对于一个因素的问题，用“0.618法”做16次试验就可以完成“对分法”做2500次试验所达到的效果。
这可以大大减少求出答案所需的时间。
连达·芬奇都称赞它为黄金数。
所以我们可以看出，黄金分割数字0.618是个既神秘又有用的数。
它的广泛应用能力正在被不断发掘出来。
初中生数学小论文《漫谈黄金分割》
初中生数学小论文《漫谈黄金分割》把一条线段为两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，若C 为线段AB 的满足条件()AC BC >的分点，即2AC AB BC =⋅，则可求得:0.618AC AB =≈。
这种分割在课本上被称作黄金分割，金分割、黄金数都被冠以“黄金”二字，说明了它们的重要性与应用上的广泛性，同时也为它们平添了几分神秘的色彩。
著名天文学家开普勒称黄金分割是“几何学中的一大宝藏”，就让我们揭开它的神秘面纱，共同来开采一下这座宝藏吧！将线段黄金分割或者说将线段分成中末比、中外比或外内比，最早对其作系统研究的是希腊数学家欧多克索斯，他在深入探究五角星性质时，曾惊叹道：“中末比到底在这儿出现了！”对中末比的严格论述最早见于欧几里德的《几何原本》。
1509年，意大利文艺复兴重要人物之一帕乔里出版《神圣的比例》一书，书中系统介绍了古希腊中外比，并称其为神圣比例。
天文学家J ·开普勒称之为神圣分割，并说“勾股定理和中末比是几何中双宝，前者好比黄金，后者犹如珠玉。
” 他是把黄金之喻给了勾股定理，而用珠玉来形容了中末比。
最早正式在书中使用黄金分割这个名称的是欧姆，在他1835年出版的第二版《纯粹初等数学》一书中首次使用了这一名称。
到19 世纪以后，这一名称才逐渐通行起来，成为现在人们所熟知的名称。
黄金分割无论是在理论上，还是实际生活中都有着极其广泛而又非常简单的应用，在我们的身边有许多的黄金比例，现在我带你去看看在我们的生活中的一些黄金分割。
你从电视中见过碧水轻流的安大略湖畔的加拿大名城多伦多吗?这个高楼大厦鳞次栉比的现代化城市中，最醒目的建筑就是高耸的多伦多电视塔，它器宇轩昂，直冲云霄。
有趣的是嵌在塔中上部的扁圆的空中楼阁，恰好位于塔身全长的0.618倍处，即在塔高的黄金分割点上。
它使瘦削的电视塔显得和谐、典雅、别具一格。
多伦多电视塔被称为“高塔之王”，这个奇妙的“0.618”起了决定性作用。
利用黄金分割解决难题的作文
利用黄金分割解决难题的作文哎呀，这道题目真是让我头疼啊！我左思右想，还是决定用黄金分割来解决这个难题。
你知道吗，黄金分割可是数学界的一个传奇人物，他的名字叫斐波那契。
他的两个数字：1和1,后来竟然变成了世界上最著名的比例之一——黄金分割比例0.618。
这个比例可神奇了，它不仅出现在自然界中，还被广泛应用于建筑、绘画、音乐等领域。
所以，我觉得利用黄金分割来解决这个问题，一定能找到答案。
我要先把这个问题分成两部分。
就像是我们吃东西一样，要一口一口地吃，才能消化得好。
这样，问题就变成了两个小问题：第一个问题是A,第二个问题是B。
好了，现在我们开始用黄金分割来解决这两个小问题。
首先解决第一个问题A。
我想了想，觉得可以把它想象成一个大西瓜。
这个大西瓜可以分成两半，一半是A,另一半是B。
那么，我们就要找到这个大西瓜的黄金分割点。
怎么找呢？我们可以用手指头在西瓜上画一条直线，然后找到这条直线和瓜的交点。
这个交点就是黄金分割点！有了黄金分割点，我们就可以把大西瓜分成两半了。
一半是A,另一半是B。
接下来解决第二个问题B。
这个问题有点难办，因为它不像A那样可以直接分成两半。
但是，我们还是可以用黄金分割来解决它。
我们可以把B想象成一个大蛋糕。
这个大蛋糕也可以分成两半，一半是A,另一半是B。
那么，我们就要找到这个大蛋糕的黄金分割点。
怎么找呢？我们可以用刀在蛋糕上切一刀，然后找到这两半的交点。
这个交点就是黄金分割点！有了黄金分割点，我们就可以把大蛋糕分成两半了。
一半是A,另一半是B。
现在，我们已经解决了第一个问题A和第二个问题B。
接下来，我们要把这两个答案合起来，就能得到整个问题的答案了。
就像我们把大西瓜和小蛋糕放在一起一样，它们组成了一个完整的美食！所以，这个问题的答案就是A+B。
通过用黄金分割来解决这个问题，我发现了一个道理：有时候，解决问题并不是一件很难的事情。
只要我们用心去想，用脑筋去动，就能找到答案。
而且，这种方法还很有趣呢！所以，以后遇到问题的时候，我就不怕了！因为我有黄金分割这个强大的武器！。
黄金分割点在现实生活中的应用论文
黄金分割点在现实生活中的应用论文黄金分割点在现实生活中的应用论文希腊的自然科学研究影响西方文化和文明的发展，他们重视分析、分解、假设、推理、推导、实验、验证等思维方式。
这与东方重视整体、模糊处理、直觉综合、和谐大同、“仁者爱人”等思维方式和思想有明显的差别。
胡适在“中国的文艺复兴”一文中说“当孟子在对人性的内在美德进行理论探讨时，欧几里德正在完善几何学，正在奠定欧洲的自然科学的基础。
”这种说法不全面，东方的中华文明有过比西方更辉煌的历史，但在五百多年来，西方经历了继承希腊的文艺复兴和工业革命，使科学和技术快速发展，而中国因封建统治和闭关锁国等原因而衰落。
现在应该撷取东西方文明的长处，把它们整合起来，创建中华夏兴。
华夏兴。
“科学中的美和美的科学”，早期属于自然哲学，自古希腊人开始研究，至今约有2500年。
古希腊人喜欢抽象研究。
抽象研究又分为逻辑推理研究和形象推理研究，后者所用的工具有直尺和圆规。
代数和平面几何为两者的典型代表。
几何为两者的典型代表。
曾提出这样一个问题：“一根棍从哪里分割最为美妙？”答案是：“前半段与后半段之比应等于后半段与全长之比”。
设全长为1，后半段为x，此式即成为(1-x):x=x:1，也就是X2+X-1=0。
其解为：。
棍内分割只能取正值，此值就是著名的黄金分割比值G, G=0.618033988≈0.618。
而且G(1+G)=1，即G和(1+G)互为倒数。
互为倒数。
偏有一些古希腊人想用形象方法解决黄金分割问题，并获得漂亮的结果。
欧几里德（约公元前330-257年）总结了前人的经验和研究成果，编著了《几何原理》十三卷。
这是世界上最早用公理方法叙述的数学著作。
其中所载的黄金分割几何问题已引起广泛的兴趣，在科学、艺术、建筑、技术各领域有着广泛的应用，哲学家和美学家也曾反复讨论，不断有文章发表。
讨论，不断有文章发表。
自然界的形成、运行、演化、生长、繁衍、消亡等都是有规律的，有些物体可以直接感到自然美，但更多的物体令人迷惑不解。
黄金分割数学小论文_1
黄金分割数学小论文黄金分割蕴藏着丰富的美学价值，被认为是建筑和艺术中最理想的比例，同意在数学领域中也会应用到，所以小编今天为大家准备的是黄金分割数学小论文，请看看吧。
黄金分割数学小论文摘要：“黄金分割”是初中八年级的教材内容，虽然所占篇幅很少，但它在生活中的作用却非同小可。
关键词：黄金分割；0.618；勾股定理；维纳斯雕像；最后的晚宴；蓝色多瑙河“黄金分割”听起来都美，它虽然在初中教材中所占的比例很少，但它给我们的感受却美不胜收。
“黄金分割”又称黄金律，是指事物各部分之间的数字比例关系，即将整体分成两部分，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值是0.618。
“黄金分割”不仅是比的延续，还是促进学生观察、分析、比较、归纳以及审美意识发展的延续。
数学越来越贴近于我们的生活，尤其是“黄金分割”这部分知识表现得淋漓尽致。
“黄金分割”在几何作图、建筑设计、美术、音乐、艺术以及日常生活等方面都有着极其广泛的作用，它和古希腊著名学者毕达哥拉斯发现的“勾股定理”齐名，被誉为几何学中的两大瑰宝。
我国五星红旗中的五角星，它的各边是按“黄金分割”划分的，顶角是36度的等腰三角形被称为黄金三角形，长与宽的比是0.618叫黄金矩形，不但名称好听而且展现的图形也给人以美的享受。
“黄金分割”在建筑或造型中处处展示着数学的这一美感。
上海的东方明珠电视塔，设计巧妙，挺拔秀丽，印度的泰姬陵的构思和布局，古埃及的金字塔横卧在埃及基沙台地上，姿态雄浑而优雅，巴黎的艾菲尔铁塔设计新颖独特，美丽的维纳斯雕像美妙绝伦，为世人所赞美，还有古希腊的巴特农庄神庙……这些举世瞩目的建筑中都蕴藏着神奇的“黄金分割”。
“黄金分割”的美感在美术、音乐等方面也得到了充分的体现。
比如：许多名画的主题就落在画面的“黄金分割”点上，世界名画《最后的晚宴》中犹大的位置就处在“黄金分割”点上。
中外不少著名乐章，像《十面埋伏》《命运》《蓝色多瑙河》等的高潮都落在全曲的0.618处。
《数学文化赏析》论文 浅谈黄金分割
浅谈黄金分割作者：丁淑伟学号：0908406027完成时间：2010年6月20日学习《数学文化》这门课程，数学文化美给我的印象最为深刻，而黄金分割则是数学文化美里的一枝奇葩。
在中学阶段，我们对黄金分割有了最早的认识，“即把线段l分成x和l-x两端，使其比满足x∶l=(l-x)∶x 这样解得x≈0.618，这种分割称为‘黄金分割’”。
（参考文献：《数学文化》第139页）黄金分割点约等于0．618∶1，是指分一线段为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄金分割的点，线段上有两个这样的点。
利用线段上的两个黄金分割点，可以作出正五角星，正五边形等。
关于黄金分割的起源，大部分人认为它来自毕达哥拉斯。
据说在古希腊，一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。
他发现铁匠打铁节奏很有规律，于是他加以研究，后来这个声音的比列被他用数理的方式表达出来，而比例就是0.618。
这个比例被广泛应用在很多领域，后来很多人专门研究过，开普勒称其为“神圣分割”，也有人称其为“金法”。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此被称为“黄金分割”，也称为“中外比”。
这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：1/0.618=1.618(1-0.618)/0.618=0.618这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。
绘画中的黄金分割早先，人们发现长宽之比为1：0.618的矩形很协调，于是这种比例被严格的应用于艺术创作中，尤其是文艺复兴时期的古典画作中。
古代绘画大师大都遵循“黄金分割律”作画。
黄金分割律在构图中被用来划分画面和安排视觉中心点。
画面中理想的分割线需要按下列公式寻找：用0.618 乘以画布的宽，就能得到竖向分割线，用0.618乘以画布的高，就能得到横向分割线。
用上述方法共能得到四条分割线，同样也得到四个交叉点。
作文黄金分割线
黄金分割在科学上有一个定律叫“黄金分割”,德国科学家科卜勒称之为“神圣的分割”,因为这是最具美学价值的比例。
世间完美的事物都拥有它自己的分割率,我们人类的生活也不例外。
生活中的黄金分割,具体的表现是做事要恰如其分,而要做到这一点可并非易事,这就需要我们用智慧去权衡、把握,从而寻找出那最美的分寸。
这使我不由地想到了人们所熟识的球星乔丹。
乔丹在小时候便长得人高马大,身强体壮,他母亲害怕她成为学校的“小霸王”,便要求他与人为善,学会忍耐,而这却使他成为别的同学欺负的对象,他为此很苦恼。
最后她父亲教了他一个方法。
于是他不再忍耐,而是叫欺负他的同学停止,当对方仍不听劝阻时,这时他就用他有力的双手将对方摁在地上,但并不击打对方。
这样,他既维护了自己的自尊,又给对方以警告,而又不触犯纪律,可说是一举三得。
这便是把握好分寸而达到完美效果的体现。
没有人会怀疑乔丹的力量,却会在他的忍让下,怀疑他的血性,从而肆意地欺负他。
这时父亲的一招就很好地处理了这个问题——他让我们知道对人与人来说,重要的不是忍让,不是争斗,重要的是维护双方利益地相处,而“摁倒在地”,就是乔丹父亲帮助他寻找到的那个人际关系黄金分割点。
面对自己占有绝对优势的对象,把握好分寸,可为我们赢来对方的尊重。
但有时恰恰是我们的优势无法施展开来,我们的优势就是祸端本身,这时该怎么办呢?当年曾国藩带领他的湘军攻克了天京,因功勋卓著而被授予一等爵位。
湘军,这一支完全听命于曾国藩的私人军队,此时已发展到30万人,这对于清朝统治者来说,可是一个功高震主的敏感问题。
曾国藩也清楚地认识到了这一点,于是主动自削兵权,解除了清朝的顾虑,不仅逃脱了“狡兔死,走狗烹”的悲惨命运,还继续得到信任与重用。
从某种角度说,他比功成引退的范蠡要高明一些,更比早年能受胯下之辱而后拥兵难保自身的韩信要智慧得多。
曾国藩没有曹孟德的野心,他只想做个好臣子,于是“自削兵权”就成了重臣与皇帝之间的最佳分割点。
黄金分割引出的数学问题论文
数学史论文论文题目：黄金分割引出的数学问题黄金分割引出的数学问题【摘要】黄金分割又称黄金律，是指事物各局部间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大局部与较小局部之比等于整体与较大局部之比，即长段为全段的0。
618。
黄金分割作为自然界普遍存在的客观规律，是自然界现象之间必然的、实质性的、不断重复着的关系，表达了客观世界统一性与多样性的辩证关系，它在科学研究中被广泛运用。
黄金分割广泛存在于我们的生活中。
黄金分割的出现，引出了一系列的数学问题，本文通过对黄金分割引出的一些问题进展简析，去提醒那些神秘现象，表达人与自然的和谐美。
【关键词】黄金分割黄金分割点黄金矩阵斐波那契数列一、黄金分割开展概况黄金分割的起源要追溯到公元前六世纪的古希腊数学家毕达哥拉斯。
相传毕达哥拉斯有一次从一家铁匠铺路过时，发现铺子中发出的叮叮当当的打铁声似乎隐匿着什么秘密，于是他走进铺子，测量了一下铁锤和铁砧的尺寸，惊奇地发现它们之间存在着一种很和谐的关系。
回到家后，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分成两段，在铁锤和铁砧尺寸比例的启发下，他最后确定把一根线按1:0。
618的比例截断最优美。
而且，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。
公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割问题，并建立起比例理论，根据欧德莫斯在"几何学史"中的记载，他在研究这一问题时应用了分析法。
黄金分割的系统论述，最早见于欧几里得"几何原本"。
中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。
德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。
到19世纪，黄金分割这一名称才逐渐通行。
黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。
最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0。
618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代由华罗庚提倡在中国推广。
黄金分割论文
黄金分割论文课题组成员:钟子韵(组长) 陈轩陈英炜吴琦轩黄立鹂蔡纬日施煜勋指导老师:廖馥兰(一)研究背景关于黄金分割的起源大多认为来自毕达哥拉斯，据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。
他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比列被毕达哥斯拉用数理的方式表达出来。
被应用在很多领域，后来很多人专门研究过，开普勒称其为“神圣分割”也有人称其为“金法”。
在金字塔建成 1000 年后才出现毕达哥拉斯定律，可见这很早既存在。
只是不知这个谜底。
黄金分割在自然界和人们生活中到处可见。
我们对这“黄金分割”这个名词其实并不陌生，但我们总是不能细心地发现在它的日常生活中存在。
这极大刺激了我们对黄金分割探索的好奇心。
怀着这么一颗好奇心对“关注黄金分割”这一研究性学习课题展开研究。
(二)研究的目的和意义:通过对黄金分割的学习我们可以在许多地方运用到它它可以使我们周围的一切变得美丽。
特别突出的是在设计方面让我们会有更高级的思想，审美观也会增强。
通过调查研究学习各种各样有关黄金分割定律在生活中的应用，了解数学的实用价值激发学习数学的兴趣，增强理论与实际的联系。
:由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字。
这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。
因为它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割。
正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为"黄金分割"。
黄金分割是一种数学上的比例关系。
黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。
应用时一般取0.618 ，就像圆周率在应用时取3.14。
数学中的黄金分割美毕业论文
学校代码专业代码本科毕业论文（设计）题目：数学中的黄金分割美学院：专业：学号：姓名：指导教师：2012年5月10日毕业论文（设计）学术承诺本人郑重承诺：所呈交的毕业论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不存在抄袭情况，论文中不包含其他人已经发表的研究成果，也不包含他人或其他教学机构取得研究成果。
作者签名：日期：毕业论文（设计）使用授权的说明本人了解并遵守山西财经大学有关保留、使用毕业论文的规定。
即：学校有权保留、向国家有关部门送交毕业论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。
（保密的论文在解密后应遵守此规定）作者签名：指导教师签名：日期：日期：目录中文摘要 (Ⅰ)英文摘要 (Ⅱ)前言 (1)一、黄金分割理论发展概况 (2)（一）黄金分割概述 (2)（二）黄金分割理论的产生和发展 (3)二、现实生活中的黄金分割 (4)（一）人体中的黄金分割 (4)（二）自然界中的黄金分割 (5)（三）艺术作品中的黄金分割 (6)（四）着名建筑中的黄金分割 (7)（五）自然现象中的黄金分割 (8)三、黄金分割与证券投资 (9)（一）家庭理财中的黄金分割法 (9)（二）证券价格预测中的黄金分 (9)（三）波浪理论 (10)结束语 (12)参考文献 (13)致谢 (15)数学中的黄金分割美摘要：黄金分割是世界上最优美的比例之一，是将一条线段分成不相等的两段，使较小线段与较大线段的比等于较大线段与整个线段的比。
黄金分割作为自然界普遍存在的客观规律，是自然界现象之间必然的、实质性的、不断重复着的关系，体现了客观世界统一性与多样性的辩证关系，它在科学研究中被广泛运用。
斐波纳契数列又称黄金分割数列，是一个蕴含黄金分割关系的神奇数列。
黄金分割广泛存在于我们的生活中。
在股市上，黄金分割率为艾略特所创的波浪理论所套用，被投资人士广泛采用。
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黄金分割希腊的自然科学研究影响西方文化和文明的发展，他们重视分析、分解、假设、推理、推导、实验、验证等思维方式。
这与东方重视整体、模糊处理、直觉综合、和谐大同、“仁者爱人”等思维方式和思想有明显的差别。
胡适在“中国的文艺复兴”一文中说“当孟子在对人性的内在美德进行理论探讨时，欧几里德正在完善几何学，正在奠定欧洲的自然科学的基础。
”这种说法不全面，东方的中华文明有过比西方更辉煌的历史，但在五百多年来，西方经历了继承希腊的文艺复兴和工业革命，使科学和技术快速发展，而中国因封建统治和闭关锁国等原因而衰落。
现在应该撷取东西方文明的长处，把它们整合起来，创建中华夏兴。
“科学中的美和美的科学”，早期属于自然哲学，自古希腊人开始研究，至今约有2500年。
古希腊人喜欢抽象研究。
抽象研究又分为逻辑推理研究和形象推理研究，后者所用的工具有直尺和圆规。
代数和平面几何为两者的典型代表。
曾提出这样一个问题：“一根棍从哪里分割最为美妙？”答案是：“前半段与后半段之比应等于后半段与全长之比”。
设全长为1，后半段为x，此式即成为(1-x):x=x:1，也就是X2+X-1=0。
其解为：。
棍内分割只能取正值，此值就是著名的黄金分割比值G,G=0.618033988≈0.618。
而且G(1+G)=1，即G和(1+G)互为倒数。
偏有一些古希腊人想用形象方法解决黄金分割问题，并获得漂亮的结果。
欧几里德（约公元前330-257年）总结了前人的经验和研究成果，编著了《几何原理》十三卷。
这是世界上最早用公理方法叙述的数学著作。
其中所载的黄金分割几何问题已引起广泛的兴趣，在科学、艺术、建筑、技术各领域有着广泛的应用，哲学家和美学家也曾反复讨论，不断有文章发表。
自然界的形成、运行、演化、生长、繁衍、消亡等都是有规律的，有些物体可以直接感到自然美，但更多的物体令人迷惑不解。
我们深信“天道崇美”，但需要人去探究，揭露其规律，使人感受到深层次的自然美和科学美。
这就是“因人而彰”。
黄金分割律，就是想梳理和探讨这种自然美和科学美。
人有爱美的天性，而且人本身也是很精美的。
“天道崇美，人性好美”有普遍性，无论是天然物品还是人工制品，形态的丑陋必然表明其功能的缺陷，而某些功能的完美，往往伴随着美的外形.黄金分割比在未发现之前，在客观世界中就存在的，只是当人们揭示了这一奥秘之后，才对它有了明确的认识。
当人们根据这个法则再来观察自然界时，就惊奇的发现原来在自然界的许多优美的事物中的能看到它，如植物的叶片、花朵，雪花，五角星……许多动物、昆虫的身体结构中，特别是人体中更是有着丰富的黄金比的关系。
当人们认识了这一自然法则之后，就被广泛地应用于人类的生活之中。
此后，在我们的生活环境中，就随处可见了，如建处门窗、橱柜、书桌；我们常接触的书本、报纸、杂志；现代的电影银幕。
电视屏幕，以及许多家用器物都是近似这个数比关系构成的。
它特别表现艺术中，在美术史上曾经把它作为经典法则来应用。
有许多美术家运用它创造了不少不朽的著名。
黄金分割对摄影画面构图可以说有着自然联系。
例如照相机的片窗比例：135相机就是24X36即2:3的比例，这是很典型的。
120相机4.5X6近似3:5,6X6虽然是方框，但在后期制作用，仍多数裁剪为长方形近似黄金分割的比例。
只要我们翻开影集看一看，就会发现，大多数的画幅形式，都是近似这个比例。
这可能是受传统的影响，也养成了人们的审美习惯。
另外，也确实因为它具有悦目的性质，所以有时人们在时间中并非注意到这个比例，而特意去运用它，但往往就不自觉中，进入了这个法则之中。
这也说明了，黄金分割的本身就存在有美的性质。
在摄影实践中，运用黄金分割法则，主要表象在黄金分割点、线、面的运用中。
黄金分割点，在全景构图中，多是主要表现对象，或是视觉中心所处的位臵，在中、近景构图中，多是景物主要部位所处的位。
在人像构图中常常是将人的眼睛处理在近于黄金分割点的位臵。
黄金分割线，多用作地平线、水平线、天际线所处的位臵。
《梦幻曲》是一首带再现三段曲式，由A、B和A′三段构成。
每段又由等长的两个4小节乐句构成。
全曲共分6句，24小节。
理论计算黄金分割点应在第14小节（240.618=14.83），与全曲高潮正好吻合。
有些乐曲从整体至每一个局部都合乎黄金比例，本曲的六个乐句在各自的第2小节进行负相分割（前短后长）；本曲的三个部分A、B、Aˊ在各自的第二乐句第2小节正相分割（前长后短），这样形成了乐曲从整体到每一个局部多层复合分割的生动局面，使乐曲的内容与形式更加完美。
大、中型曲式中的奏鸣曲式、复三段曲式是一种三部性结构，其他如变奏曲、回旋曲及某些自由曲式都存在不同程度的三部性因素。
黄金比例的原则在这些大、中型乐曲中也得到不同程度的体现。
一般来说，曲式规模越大，黄金分割点的位臵在中部或发展部越*后，甚至推迟到再现部的开端，这样可获得更强烈的艺术效果。
莫扎特《D大调奏鸣曲》第一乐章全长160小节，再现部位于第99小节，不偏不依恰恰落在黄金分割点上（1600.618=98.88）。
据美国数学家乔巴兹统计，莫扎特的所有钢琴奏鸣曲中有94%符合黄金分割比例，这个结果令人惊叹。
我们未必就能弄清，莫扎特是有意识地使自己的乐曲符合黄金分割呢，抑或只是一种纯直觉的巧合现象。
然而美国的另一位音乐家认为。
"我们应当知道，创作这些不朽作品的莫扎特，也是一位喜欢数字游戏的天才。
莫扎特是懂得黄金分割，并有意识地运用它的。
"贝多芬《悲怆奏鸣曲》Op.13第二乐章是如歌的慢板，回旋曲式，全曲共73小节。
理论计算黄金分割点应在45小节，在43小节处形成全曲激越的高潮，并伴随着调式、调性的转换，高潮与黄金分割区基本吻合。
肖邦的《降D大调夜曲》是三部性曲式。
全曲不计前奏共76小节，理论计算黄金分割点应在46小节，再现部恰恰位于46小节，是全曲力度最强的高潮所在，真是巧夺天工。
我们再举一首大型交响音乐的范例，俄国伟大作曲家里姆斯－柯萨科夫在他的《天方夜谭》交响组曲的第四乐章中，写至辛巴达的航船在汹涌滔天的狂涛恶浪里，无可挽回地猛撞在有青铜骑士像的峭壁上的一刹那，在整个乐队震耳欲聋的音浪中，乐队敲出一记强有力的锣声，锣声延长了六小节，随着它的音响逐渐消失，整个乐队力度迅速下降，象征着那艘支离破碎的航船沉入到海底深渊。
在全曲最高潮也就是"黄金点"上，大锣致命的一击所造成的悲剧性效果慑人心魂。
黄金律历来被染上瑰丽诡秘的色彩，被人们称为"天然合理"的最美妙的形式比例。
世界上到处都存在数的美，对于我们的眼睛，尤其是对我们学习音乐的人的耳朵来说，"美是到处都有的，不是缺乏美，而是缺少发现"。
"0.618"还始终与军事发展有不解之缘，而且常常与战争不期而遇。
无论是古希腊帕特农神庙的美轮，还是中国古代的兵马俑，它们的垂直线与水平线之间的关系竟然完全符合1∶0.618的比例。
成吉思汗的蒙古骑兵横扫欧亚大陆令人惊叹。
经过研究发现，蒙古骑兵的战斗队形与西方传统的方阵大不相同，在他的五排制阵型中,重骑兵和轻骑兵为2∶3，人盔马甲的重骑兵为2，快捷灵活的轻骑兵为3，两者在编配上恰巧符合黄金分割律。
欧洲人是最早有意识地把黄金分割律运用于宗教和艺术方面的，而在军事上的应用是从黑火药时期开始的。
那时滑膛枪呈现出取代长矛之势，率先将滑膛枪兵和长矛兵对半混编的荷兰将军摩利士未能突破传统阵型的羁绊，瑞典国王古斯塔夫对这种正面强翼侧弱的阵型进行调整后，使瑞典军队变成了当时欧洲战斗力最强的军队。
他的做法是，在摩利士将军原来的216名长矛兵与198名滑膛枪兵混合编组的基础上，再增加96名滑膛枪兵，这一改变，顺应了科技发展和武器装备进步对战术发展的影响规律，突出了火器在战斗中的作用，使之跨越了冷热兵器时代的分水岭。
198+96名滑膛枪兵与216名长矛兵之比，让我们又一次看到了黄金分割律的神奇作用。
1812年6月，拿破仑进攻俄国；9月，他在博罗金诺战役后进入莫斯科，这时的拿破仑并未意识到天才和运气正从他身上一点一点地消失，他一生事业的顶峰和转折点正同时到来。
一个月后，法军便在大雪纷飞中撤离莫斯科，三个月的胜利进军加上两个月的盛极而衰，从时间轴线上看，拿破仑脚下正好踩在了黄金分割线上。
130年后的另一个6月，纳粹德国启动了针对苏联的"巴巴罗萨"计划，在长达两年多的时间里，德军一直保持进攻势头，直到1943年8月，"城堡"行动结束，德军从此转攻为守，再也没有能对苏军发起一次战役规模的进攻行动。
被所有战史学家公认为苏联卫国战争转折点的斯大林格勒战役，就发生在战争爆发后的第17个月，正是德军由盛而衰的26个月时间轴线的黄金分割点.海湾战争中，美军一再延长空袭时间，持续38天，直到摧毁了伊拉克在战区内4280辆坦克中的38%、2280辆装甲车中的32%、3100门火炮中的47%，也就是将伊拉克军事力量削弱到黄金分割点上后，才抽出"沙漠军刀"砍向萨达姆，地面作战只用100个小时就达成了战争目的。
透过战争中的一些零散战例，依稀可见"0.618"的影子在晃动、在徘徊。
如果孤立地看待它们，好似偶然巧合，但是如果太多的偶然遵循着同一个轨迹，那就成为规律，就特别值得人们深入研究了。
一次无意中和同学在操场上打球，顺手测量了雕相牛顿的鼻子，其鼻孔间的距离和到鼻梁的比刚好接近于0.618。
之后又测量了几个人的鼻子，结果符合黄金分割点。
接下来的生活中对0.618变得很敏感，经过同学的推想与实践，我们发现了多弥乐古牌的长宽之比，蝴蝶的身体部位之比，漂亮花瓣的长宽之比也都符合这一规律。
查询了很多的相关资料例如埃及金字塔便是这一规律的最好应用。
想象一下如何让一根很普通的细橡皮筋发出“哆来咪”的声音？把它拉紧，固定住，拨动一下，就是“1”，然后量出其长，作一道初三几何题——把这条“线段”进行黄金分割，可以测出“分割”得到的两条线段中较长的一段，约是原线段长度的0.618倍。
捏住这个点，拨动较长的那段“弦”，就发出“2”；再把这段较长线进行黄金分割，就找到了“3”，以此类推“4、5、6、7”同样可以找到。
你从电视中见过碧水轻流的安大略湖畔的加拿大名城多伦多吗?这个高楼大厦鳞次栉比的现代化城市中，最醒目的建筑就是高耸的多伦多电视塔，它器宇轩昂，直冲云霄。
有趣的是嵌在塔中上部的扁圆的空中楼阁，恰好位于塔身全长的0.618倍处，即在塔高的黄金分割点上。
它使瘦削的电视塔显得和谐、典雅、别具一格。
多伦多电视塔被称为“高塔之王”，这个奇妙的“0.618”起了决定性作用。
与此类似，举世闻名的法兰西国土上的“高塔之祖”——埃菲尔铁塔，它的第二层平台正好坐落在塔高的黄金分割点上，给铁塔增添了无穷的魅力。