四川省成都市高二数学下学期期末考试试题 理
2019-2020学年四川省成都市高二下学期期末数学试卷(理科) (含部分答案)
2019-2020学年四川省成都市高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（）A．{x|1≤x＜2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0＜x＜1}2．复数z＝（i是虚数单位）在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知函数f（x）＝，则f（f（））＝（）A．0B．1C．e﹣1D．24．为了加强全民爱眼意识，提高民族健康素质，1996年，卫生部，教育部，团中央等12个部委联合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”．某校高二（1）班有40名学生，学号为01到40，现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日”宣传活动．已知随机数表中第6行至第7行的各数如下：16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 2096 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 3350 25 83 92 12 06 76若从随机数表第6行第9列的数开始向右读，则抽取的第5名学生的学号是（）A．17B．23C．35D．375．已知条件，条件q：直线y＝kx+2与圆x2+y2＝1相切，则p是q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件6．已知离心率为2的双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与椭圆+＝1有公共焦点，则双曲线的方程为（）A．﹣＝1B．﹣＝1C．x2﹣＝1D．﹣y2＝17．执行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A．﹣1B．C．0D．﹣1﹣8．设函数f（x）的导函数是f'（x），若f（x）＝f'（π）x2﹣cos x，则f'（）＝（）A．﹣B．C．D．﹣9．如图是某几何体的三视图．若三视图中的圆的半径均为2，则该几何体的表面积为（）A．14πB．16πC．18πD．20π10．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝k（x+1）与曲线C：（θ为参数）在第一象限恰有两个不同的交点，则实数k的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，）C．[，1）D．[，）11．已知函数f（x）＝．若a＝f（ln2），b＝f（﹣ln3），c＝f（e），则a，b，c 的大小关系为（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b12．设k，b∈R，若关于x的不等式ln（x﹣1）+x≤kx+b在（1，+∞）上恒成立，则的最小值是（）A．﹣e2B．﹣C．﹣D．﹣e﹣1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．已知呈线性相关的变量x，y之间的关系如表：x1234y1346由表中数据得到的回归直线方程为＝1.6x+．则当x＝8时，的值为．∧14．函数f（x）＝﹣2e﹣2x+3的图象在x＝0处的切线方程为．15．已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋．甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”．如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是．16．已知点P在椭圆+＝1（a＞b＞0）上，F1是椭圆的左焦点，线段PF1的中点在圆x2+y2＝a2﹣b2上．记直线PF1的斜率为k，若k≥1，则椭圆离心率的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．2019年12月，《生活垃圾分类标志》新标准发布并正式实施．为进一步普及生活垃圾分类知识，了解居民生活垃圾分类情况，某社区开展了一次关于垃圾分类的问卷调查活动，并对随机抽取的1000人的年龄进行了统计，得到如下的各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图：各年龄段频数分布表组数分组频数第一组[25，30）200第二组[30，35）300第三组[35，40）m第四组[40，45）150第五组[45，50）n第六组[50，55]50合计1000（Ⅰ）请补全各年龄段人数频率分布直方图，并求出各年龄段频数分布表中m，n的值；（Ⅱ）现从年龄在[30，40）段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动．应社区要求，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，求选取的2名发言者中恰有1名年龄在[35，40）段中的概率．18．已知函数f（x）＝x3+2ax2+bx+a﹣1在x＝﹣1处取得极值0，其中a，b∈R．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最大值．19．如图①，在菱形ABCD中，∠A＝60°且AB＝2，E为AD的中点，将△ABE沿BE 折起使AD＝，得到如图②所示的四棱锥A﹣BCDE．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ABC；（Ⅱ）若P为AC的中点，求二面角P﹣BD﹣C的余弦值．20．在同一平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2＝4经过伸缩变换φ：后，得到曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，连接BO并延长与曲线C相交于点D，且|AD|＝2．求△ABD面积的最大值．21．已知函数f（x）＝xe x+ax，a∈R．（Ⅰ）设f（x）的导函数为f'（x），试讨论f'（x）的零点个数；（Ⅱ）设g（x）＝ax a lnx+alnx+（a﹣1）x，当x∈（1，+∞）时，若f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（1，0），若直线l与曲线C相交于A，B两点，求+的值．参考答案一、选择题1．A；2．B；3．A；4．A；5．A；6．A；7．A；8．A；9．A；10．A；11．A；12．A；二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．；14．；15．；16．；三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．；18．；19．；20．；21．；[选修4-4：坐标系与参数方程]22．；。
四川省成都市2019-2020年下学期高二数学(理)期末试卷【含答案】
四川省成都市2019-2020年下学期高二数学（理）期末试卷第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．1．已知}3|{≤∈=*x N x A ，2{|-40}B x x x x =≤，则（ ）【答案】A【解析】由题意得：，，所以.【方法总结】集合中的元素有关问题的求解策略：(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．2．已知复数满足为虚数单位) ，则在复平面内复数对应的点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题意,得.则,其在复数平面内对应的点的坐标为.故选：B. 3．随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加．某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图： 则下列结论中正确的是( )A ．该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半B ．该家庭2019年教育医疗的消费额与2015年教育医疗的消费额相当C ．该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的五倍D ．该家庭2019年生活用品的消费额是2015年生活用品的消费额的两倍=⋂B A }3,2,1.{A }2,1.{B (]3,0.C (]4,3.D {1,2,3}}3|{=≤∈=*x N x A []2{|-40}1,4B x x x =≤==⋂B A }3,2,1{z (3425z i i i ⋅-=+z 21,5⎛⎫ ⎪⎝⎭2,15⎛⎫ ⎪⎝⎭21,5⎛⎫-- ⎪⎝⎭2,15⎛⎫-- ⎪⎝⎭525z i ⋅=+25z i =+2,15⎛⎫⎪⎝⎭4．解析：选C.设该家庭2015年全年收入为a ，则2019年全年收入为2a .对于A ，2019年食品消费额为0.2×2a ＝0.4a ，2015年食品消费额为0.4a ，故两者相等，A 不正确．对于B ，2019年教育医疗消费额为0.2×2a ＝0.4a ，2015年教育医疗消费额为0.2a ，故B 不正确．对于C ，2019年休闲旅游消费额为0.25×2a ＝0.5a ，2015年休闲旅游消费额为0.1a ，故C 正确．对于D ，2019年生活用品的消费额为0.3×2a ＝0.6a ，2015年生活用品的消费额为0.15a ，故D 不正确．故选C.4．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A的等腰直角三角形,高为2..故外接球表面积.故选：A 5.下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是( ) . A ．B ．C ．D ．【答案】D解析 由已知，，则，所以为上的奇函数.8π6π4π823π2222+2=2222224482S R πππ⎛=== ⎝⎭()11122x x f x -+=-e xy =(2ln 1y x x =+2y x =tan y x =()111=22x x f x -+-x ∈R ()()111111=2222x x x x f x f x ----++--=-=-()f x R设，.易判断为上的增函数，也为上的增函数，所以为上的增函数.A 选项中的不是奇函数，排除A ；B 选项中令，则，所以为奇函数.设为增函数，而也为增函数，由复合函数的单调性知为增函数，所以B 选项中的函数的奇偶性、单调性与的奇偶性、单调性相同；C 选项中不是奇函数，排除C ；D 选项中在上不是单调函数.排除D. 故选B.5．我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式的值的秦九韶算法，即将改写成如下形式：，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值.这种算法至今仍是比较先进的算法.将秦九韶算法用程序框图表示如下图，则在空白的执行框内应填入（ ）.A. B. C. D.()112x f x -=()2112x f x +=-()1f x R ()2f x R ()()()12f x f x f x =+R e x y =()(2ln 1f x x x =+()()(2ln 1f x x x -=-+-+2ln1x x ==++(()2ln 1x x f x -+=-()f x ()21u x x x =+()u x ln y u =(2ln 1y x x =++()111=22x x f x -+-2y x =tan y x =R ()11nn n n f x a x a x--=++10a x a ++()f x ()()()()1210nn n f x a x ax a x a x a --=+++++i v vx a =+()i v v x a =+i v a x v =+()i v a x v =+解析 秦九韶算法的过程是.这个过程用循环结构来实现,则在空白的执行框内应填入.故选A.7．平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点，且，，则的值为（ ） A B C D 【答案】A【解析】因为，，所以，若，，所以不符合， 所以， 所以. 是结束输出vi ≥0?i =i -1i =n -1输入n ，a n ，x开始v =a n输入a i否()011,2,,nk k n k v a v v x a k n --=⎧⎪⎨=+=⎪⎩i v vx a =+xOy α00(,)P x y (,0)2απ∈-3cos()65πα+=0x 334-433-334±433±(,0)2απ∈-3cos()65πα+=(,)636πππα+∈-(0,)66ππα+∈33cos()65πα+>>(,0)63ππα+∈-4sin()65πα+=-03341334cos cos ()66552x ππαα-⎡⎤==+-=-⨯=⎢⎥⎣⎦8． 已知，给出下列四个命题：； ；； ； 其中真命题的是（ ）.A. B. C. D. 【答案】D解析 画出的可行域如图所示.对于命题,在点处, ,则是假命题; 对于命题,在点处, 取最大值为,,故是真命题; 对于命题,点到的斜率最小值在点处取到为,,故是假命题; 对于命题,在点处,,故是真命题.故选D.9.唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。
四川省成都市2023-2024学年高二下学期期末数学试题含答案
成都市高二数学期末零诊模拟试卷（答案在最后）一、单项选择题1.下列导数运算错误的是（）A.()e xf x x =，则()()1e xf x x +'= B.()πsin 3f x =，则()πcos 3f x ='C.()f x =()f x '= D.()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=【答案】B 【解析】【分析】根据求导法则，求导公式逐个选项计算即可.【详解】A 选项，()e xf x x =，则()()()()''e e ee 1e x xxx x f x x x x x =+=+=+'，A 正确；B 选项，()πsin 3f x =，()πsin 03f x '⎛⎫ ⎪⎝⎭'==，B 错误；C 选项，()()12f x x ==，()1212f x x -='=C 正确；D 选项，()ln x f x x =，()()()22ln ln 1ln x x x x x f x x x ''⋅-⋅-=='，D 正确.故选：B2.已知数列21,n a n =-32n b n =-，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为{}n c ，则数列{}n c 的通项公式为（）A.32n c n =-B.41n c n =-C.53n c n =-D.65n c n =-【答案】D 【解析】【分析】根据两数列的项的特征，易推得由公共项构成的新数列项的特征，写出通项公式化简即得.【详解】因数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，而数列{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列，则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列{}n c 是首项为1，公差为6的等差数列，故1(1)665n c n n =+-⨯=-.故选：D.3.已知一批沙糖桔的果实横径（单位：mm ）服从正态分布()245,5N ，其中果实横径落在[]40,55的沙糖桔为优质品，则这批沙糖桔的优质品率约为（）（若()2,X N μσ~，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈）A.0.6827B.0.8186C.0.8413D.0.9545【答案】B 【解析】【分析】根据正态分布三段区间的概率值以及正态分布的性质求解即可．【详解】因为所种植沙糖桔的果实横径（单位：mm ）服从正态分布()245,5N ，其中45,5μσ==，所以果实横径在[]40,55的概率为()2P X μσμσ-≤≤+()()112222P X P X μσμσμσμσ=-≤≤++-≤≤+0.477250.341350.8186≈+=.故选：B ．4.函数()2ln f x x x =-单调递减区间是（）A.0,2⎛ ⎝⎦B.2⎫+⎪⎪⎣⎭∞C.,,0,22∞⎛⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎦⎝⎭D.,0,22⎡⎫⎛-⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】求导后，令()0f x '≤，解出即可.【详解】()221212,0x f x x x x x-'=-=>,令()0f x '≤，解得202x <≤，所以单调递减区间为0,2⎛ ⎝⎦.故选：A.5.如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A.10B.20C.60D.120【答案】A 【解析】【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.6.已知a =，b =，ln 44c =，其中e 2.71828= 为自然对数的底数，则（）A.b a c <<B.b c a<< C.a b c<< D.c b a<<【答案】A 【解析】【分析】首先将,,a b c 化成统一形式，构造函数()ln xf x x=()0x >，研究单调性进而比较大小即可.【详解】由题意得a ==，b ==，ln 42ln 2ln 2442c ===；设()ln x f x x =，则21ln ()xf x x-'=，当0e x <<时，()0f x '>，所以()f x 单调递增，又02e <<<<，所以(2)f f f <<ln 22<<，所以b a c <<.故选：A .7.已知AB 是圆O ：222x y +=的直径，M ，N 是圆O 上两点，且120MON ∠=︒，则()OM ON AB +⋅的最小值为（）A.0B.-2C.-4D.-【答案】C 【解析】【分析】取MN 的中点C ，结合垂径定理与数量积的运算表示出()OM ON AB +⋅后，借助三角函数值域即可得解.【详解】设MN 的中点为C ，∵120MON ∠=︒，OM ON =，则302OC =°=，∵C 为MN 的中点，∴2OM ON OC +=，设向量OC 与AB的夹角为()0πθθ≤≤，∴()22cos 4cos OM ON AB OC AB OC AB θθ+⋅=⋅==，又[]cos 1,1θ∈-，∴()OM ON AB +⋅的最小值为4-.故选：C.8.当0x >时，24e 2ln 1x x x ax ⋅-≥+恒成立，则实数a 最大值为（）A.4eB.4C.24e D.8【答案】B 【解析】【分析】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，根据题意易于分离参数得24e 2ln 1x x x a x⋅--≤，再利用切线放缩化简求出a 的取值范围.【详解】因为0x >，由24e 2ln 1xx x ax ⋅-≥+，得24e 2ln 1x x x a x⋅--≤.令()()242ln 4e 2ln 1e 2ln 10x x x x x x f x x x x+⋅----==>令()1,[0,)xg x e x x ∞=--∈+，则()10xg x e ='-≥在[0,)+∞上恒成立，故函数()1,[0,)xg x e x x ∞=--∈+在[0,)+∞上单调递增，所以()()00g x g ≥=即e 1x x ≥+，由e 1x x ≥+，得2ln 4e 2ln 41x x x x +≥++，所以()2ln 412ln 14x x x f x x++--≥=.当且仅当2ln 40x x +=时，取“=”，此时ln 2x x =-，由ln y x =与2y x =-图象可知0(0,x ∃∈+∞）使00ln 2x x =-，此时min ()4f x =.所以4a ≤，即a 有最大值为4.故选：B.二、多项选择题9.已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若13465,135a a a a +=+=，则（）A.114a = B.3q =C.1134n n a -=⨯ D.()1314nn S =-【答案】BD 【解析】【分析】利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得1,a q ，代入公式即可一一判断.【详解】依题，21321(1)5(1)135a q a q q ⎧+=⎨+=⎩，解得11,23a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩故A 错误，B 正确；则111132n n n a a q--==⨯，1)(1)131(1)1(3144n n n n a q S q -==---=-，故C 错误，D 正确.故选：BD.10.已知函数()31f x x x =-+，则（）A.()f x 有两个极值点B.()f x 有一个零点C.点()0,1是曲线()y f x =的对称中心D.直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】ABC 【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值点的概念、零点的存在性定理即可判断AB ；根据奇函数图象关于原点对称和函数图象的平移变换即可判断C ；根据导数的几何意义即可判断D.【详解】A ：()231f x x '=-，令()0f x ¢>得3x >或3x <-，令()0f x '<得33x -<<，所以()f x 在(,3-∞-，,)3+∞上单调递增，(,33-上单调递减，所以3x =±时取得极值，故A 正确；B ：因为323(1039f -=+>，3231039f =->，()250f -=-<，所以函数()f x 只在,3⎛-∞- ⎪⎝⎭上有一个零点，即函数()f x 只有一个零点，故B 正确；C ：令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；D ：令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的性质和函数图象的平移变换，其中选项C ，构造函数3()h x x x =-，奇函数图象关于原点对称推出()f x 的对称性是解决本题的关键.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1//B F 平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为π2C.三棱锥1F BC M -的体积为定值D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为26,3⎡⎢⎣【答案】ACD 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1//B GH 平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹；选项C ：根据选项B 可得出//GH 平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为定值，即可判断；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ，由正方体的性质可得11//B H C M ，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1//C M 平面1B GH ，同理可得：1//BC 平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，1BC ，1C M ⊂平面1BC M ，所以平面1//B GH 平面1BC M ，而1//B F 平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，长度为，故B 不正确；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为//GH 平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为定值，同时1BC M 的面积也为定值，则三棱锥1F BC M -的体积为定值，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11//AA D D 平面11BB C C ，所以1//AM C N ，同理可证1//AN C M ，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得h =，综上，可知1AQ 长度的取值范围是26,3⎡⎢⎣，故D 正确.故选：ACD .【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题12.在322x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，3x 项的系数为_____________.【答案】6【解析】【分析】写出展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】二项式322x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为()32631332C 2C rrrr r rr T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，{}0,1,2,3r ∈，令633r -=，解得1r =，所以3113322C 6T x x ==，所以展开式中3x 的系数为6.故答案为：613.已知双曲线C ：()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为原点，若以12F F 为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，且1=F P ，则C 的离心率为_____________.【答案】2【解析】【分析】根据题意，得到1||||OP OF c ==，且1F P ==，在1OPF 中，利用余弦定理求得11cos 2F OP ∠=-，得到22πππ33F OP ∠=-=，结合2tan b F OP a ∠==，利用离心率的定义，即可求解.【详解】由以12F F 为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，可得1||||OP OF c ==，又1F P ==，在1OPF 中，由余弦定理22211111cos 22OP OF PF F OP OP OF +-∠==-，得12π3F OP ∠=，所以22πππ33F OP ∠=-=，根据直线OP 为渐近线可得2tan OP b k F OP a =∠=，所以b a =2c e a ==.故答案为：2.14.某班组织开展知识竞赛，抽取四名同学，分成甲、乙两组：每组两人，进行对战答题．规则如下：每次每名同学回答6道题目，其中有1道是送分题（即每名同学至少答对1题）．若每次每组对的题数之和为3的倍数，则原答题组的人再继续答题；若对的题数之和不是3的倍数，就由对方组接着答题，假设每名同学每次答题之间相互独立，且每次答题顺序不作考虑，第一次由甲组开始答题，则第7次由甲组答题的概率为______．【答案】365729【解析】【分析】先用古典概型计算公式求每次每组对的题数之和是3的倍数的概率，设第n 次由甲组答题的概率为n P ，由全概率公式得到1n P +与n P 的递推公式，根据递推公式求数列{}n P 的通项公式，令7n =，可得问题答案.【详解】记答题的两位同学答对的题数分别为1x ，1y ，则1x ，{}11,2,3,4,5,6y ∈当()()()()()()()()()()()()(){}11,1,2,1,5,2,1,2,4,3,3,3,6,4,2,4,5,5,1,5,4,6,3,6,6x y ∈时，11x y +是3的倍数，故两位同学答对的题数之和是3的倍数的概率为121663=⨯，两位同学答对的题数之和不是3的倍数的概率为23．记第n 次由甲组答题的概率为n P ，则由乙组答题的概率为1n P -，()112133n n n P P P +=+-，即11233n n P P +=-+，进一步有1111232n n P P +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又11111222p -=-=，所以数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，以13-为公比的等比数列，所以1111223n n P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.令7n =，则67111365223729P ⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭．故答案为：365729【点睛】关键点点睛：设n P 表示第n 次由甲组答题的概率，由全概率公式得()112133n n n P P P +=+-⇒11233n n P P +=-+，得到数列{}n P 的递推公式是解决该题的关键.四、解答题15.设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 为正项数列，且212n n a b +=，设数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：n S <.【答案】（1）21n a n =-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，根据等比中项的性质及等差数列通项公式得到方程，求出d ，即可求出通项公式；（2）由（1）得2nb n =，即n b =，从而得到11n n b b +=-+，再利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，2a Q ，5a ，14a 成等比数列，则22145a a a =，即2111()(13)(4)a d a d a d ++=+，将11a =代入上式，解得2d =或0d =（舍去）．21n a n ∴=-；【小问2详解】由（1）得212n n a b n +==，又0n b >，所以n b =，所以11n n b b+===+，则1n S=-+-++…1=-<．16.如图，在底面ABCD 是矩形的四棱锥P ABCD -中，1,2,AB BC PA PD ====，点P 在底面ABCD 上的射影为点(O O 与B 在直线AD 的两侧)，且2PO =.（1）求证：AO PD ⊥；（2）求平面ABP 与平面BCP 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）10【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，结合,OA OD AOD ⊥ 为等腰直角三角形，进而得到AO ⊥平面POD ，得到答案；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到两个平面的法向量，由法向量夹角的余弦公式求出答案.【小问1详解】证明：连接OD ，因为PO ⊥平面,,ABCD OA OD ⊂平面ABCD ，所以,PO OA PO OD ⊥⊥.又2PA PD PO ===，所以OA OD ==又2AD =，故222OA OD AD +=，所以,OA OD AOD ⊥ 为等腰直角三角形.而PO OD O = ，,PO OD ⊂平面POD ，所以AO ⊥平面POD ，因为PD ⊂平面POD ，所以AO PD ⊥.【小问2详解】由（1）知，,,OA OD OP 两两垂直，以,,OA OD OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则)(),0,0,2AP ，由9045135OAB ∠=+=，得45BAx ∠=，可得点B 坐标为,,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，同理得232,22C ⎛⎫⎪⎪⎝⎭.所以()()2,,,2,22AP BP BC ⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭，设()111,,m x y z =为平面ABP 的法向量，则00m AP m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111202022z x y z ⎧+=⎪⎨--+=⎪⎩令11z =，则11y x ==，得平面ABP的一个法向量)m =.设()222,,n x y z =为平面BCP 的法向量，则00n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222220220x y z ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩，令21x =，则221,y z ==，得平面BCP的一个法向量(n =.设平面ABP 与平面BCP 的夹角为α，则cos cos ,10m n m n m n α⋅====，所以平面ABP 与平面BCP夹角的余弦值为10.17.某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm ）介于[]15,25之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如图所示.（1）求a 的值；（2）若从高度在[)15,17和[)17,19中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在[)15,17内的株数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X ；（3）以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，记高度在[)15,17内的株数为Y ，求Y 的数学期望.【答案】（1）0.125a =（2）分布列见详解，65（3）0.3【解析】【分析】（1）根据题意结合频率和为1列式求解即可；（2）根据分层抽样可知高度在[)15,17和[)17,19的株数分别为2和3，结合超几何分布求分布列和期望；（3）根据题意分析可知()3,0.1Y B ~，结合二项分布的期望公式运算求解.【小问1详解】由题意可知：每组的频率依次为0.1,0.15,2,0.3,0.2a ，因为0.10.1520.30.21a ++++=，解得0.125a =.【小问2详解】由（1）可得高度在[)15,17和[)17,19的频率分别为0.1和0.15，所以分层抽取的5株中，高度在[)15,17和[)17,19的株数分别为2和3，可知X 可取0，1，2，则有：()303235C C 10C 10P X ===，()213235C C 31C 5P X ===，()123235C C 32C 10P X ===，所以X 的分布列为：X012P11035310X 的期望为()1336012105105E X =⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】因为高度在[)15,17的频率为0.1，用频率估计概率，可知高度在[)15,17的概率为0.1，由题意可知：()3,0.1Y B ~，所以()30.10.3E Y =⨯=.18.已知椭圆2222:1(0)xy E a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B ，离心率2e =，直线FB 过点(1,2)P .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆E 相交于M ，N 两点（M 、N 都不在坐标轴上），若MPF NPF =∠∠，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）550x y ++=.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出,,a b c 即得椭圆E 的标准方程.（2）根据给定条件，借助倾斜角的关系可得1MP NP k k ⋅=，设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合斜率的坐标公式求解即得.【小问1详解】令(,0)F c -，由2c e a ==，得,a b c ==，则直线FB 的斜率1k =，由直线FB 过点(1,2)P ，得直线FB 的方程为1y x =+，因此1,b c a ===所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.【小问2详解】设MPF NPF θ∠=∠=，直线MP 的倾斜角为β，直线NP 的倾斜角为α，由直线FP 的斜率1k =知直线FP 的倾斜角为π4，于是ππ,44αθβθ=+=+，即有π2αβ+=，显然,αβ均不等于π2，则πsin()sin 2tan tan 1πcos cos()2αααβαα-=⋅=-，即直线,MP NP 的斜率满足1MP NP k k ⋅=，由题设知，直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为1,1x my m =-≠，由22122x my x y =-⎧⎨+=⎩，消去x 并整理得，22(2)210m y my +--=，显然0∆>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122221,22m y y y y m m +==-++，由1MP NP k k ⋅=，得121222111y y x x --⋅=--，即1212(1)(1)(2)(2)0x x y y -----=，则1212(2)(2)(2)(2)0my my y y -----=，整理得21212(1)(22)(0)m y y m y y ---+=，即2221(22)2022m m m m m --⋅--=++，于是25410m m --=，而1m ≠，解得，15m =-，所以直线l 的方程为115x y =--，即550x y ++=.【点睛】关键点点睛：本题第2问，由MPF NPF =∠∠，结合直线倾斜角及斜率的意义求得1MP NP k k ⋅=是解题之关键.19.已知函数()22ln f x x x a x =-+.（1）当2a =时，试求函数图象在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x （12x x <），且不等式()()2211m x mf x ->恒成立，其中m ∈Z ，试求整数m 的取值范围.【答案】（1）230x y --=（2）见解析（3）3m ≤-或m 1≥，且m ∈Z .【解析】【分析】（1）求当2a =时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）求出()f x 的导数，令()0f x '=，得2220x x a -+=，对判别根式讨论，令导数大于零得到增区间，令导数小于零，得到减区间；（3）函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，由（2）可知，102a <<，构造函数1()12ln 1h x x x x x =-++-102x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，利用导数求得()h x 的范围，分0m >或0m <或0m <的整数，对不等式()()2211m x mf x ->分离参数，分别求解.【小问1详解】当2a =时，()222ln f x x x x =-+，故()222f x x x -'=+.故()212221f =-'+=，又()21121f =-=-，故函数图象在点()()1,1f 处的切线方程为()()121y x --=-，即230x y --=.【小问2详解】()22ln f x x x a x =-+的定义域为()0,∞+，所以()22222a x x af x x x x='-+=-+，令()0f x '=，得2220x x a -+=，（i ）当480a ∆=-≤，即12a ≥时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（ii ）当480a ∆=->，即12a <时，由2220x x a -+=，得1,212x ±=，①若102a <<，由()0f x '>，得11202x -<<或1122x +>,()f x ∴的单调递增区间是112(0,2-，1()2++∞；由()0f x '<，得11211222a a x -+<<,()f x ∴的单调递减区间是112112(22a a--+-；②若0a =，则2()2f x x x =-，函数()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增；③若a<0，由()0f x '<，得11202x <<，则函数()f x 在1(0,)2+上递减；由()0f x '>，得12x +>，则函数()f x 在1()2++∞上递增.综上，当12a ≥时，()f x 的单调递增区间是(0,)+∞；当102a <<时，()f x的单调递增区间是1(0,2，1(,)2++∞，单调递减区间是11(,)22+；当0a ≤时，()f x的单调递增区间是1()2++∞，单调递减区间是1(0,)2+.【小问3详解】由（2）可知，函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，则102a <<，由()0f x '=，得2220x x a -+=，则121x x =+，1x =，21122x +=，由102a <<，可得1102x <<，2112x <<，()()()22222111111111111112221222ln 222ln 2ln 1x x x x x x x x x x f x x x a x x x x x -+--+--+===-1111112ln 1x x x x =-++-，令1()12ln 1h x x x x x =-++-102x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则21()12ln (1)h x x x '=-+-，因为102x <<，1112x -<-<-，21(1)14x <-<，2141(1)x -<-<--，又2ln 0x <，所以()0h x '<，即102x <<时，()h x 单调递减，又3ln 21()22h --=，所以3()ln 2,02h x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，不等式()()2211m x mf x ->，m ∈Z 恒成立，若0m >且m ∈Z ，则()21211f x m m m m x -=->，即10m m-≥，设()1k m m m=-，()k m 在()0,∞+上单调递增，且()10k =，所以由10m m-≥可得，m 1≥且m ∈Z ，若0m <且m ∈Z ，则()21211f x m m m m x -=-<，即13ln 22m m -≤--，设()1k m m m=-，()k m 在(),0∞-上单调递增，而()10k -=，()132222k -=-+=-，()18333ln 2332k -=-+=-<--，所以3m ≤-且m ∈Z ，若0m =，则不等式()()2211m x mf x ->，m ∈Z 不成立，综上：3m ≤-或m 1≥，且m ∈Z .【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.。
四川省成都市金堂县实验中学高二数学理下学期期末试题含解析
四川省成都市金堂县实验中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 的值为（）．A． B． C． D．－参考答案：D略2. 不等式的解集为（）A. B. C. D.参考答案：C3. 有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为在处的导数值，所以是函数的极值点.以上推理中（）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确参考答案：A4. 下列有关命题的说法中错误的是（）A．若为假命题，则、均为假命题.B．“”是“”的充分不必要条件.C．命题“若则”的逆否命题为：“若则”.D．对于命题使得＜0，则，使.参考答案：D5. 抛物线y=ax2（a＜0）的准线方程是（）A．y=﹣B．y=﹣C．y=D．y=参考答案：B【考点】抛物线的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】抛物线y=ax2（a＜0）化为标准方程，即可求出抛物线的准线方程．【解答】解：抛物线y=ax2（a＜0）可化为，准线方程为．故选B．【点评】本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，抛物线方程化为标准方程是关键．6. 已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】结合面面平行性质定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若α∥β，∵直线l⊥平面α，∴直线l⊥β，∵m∥β，∴l⊥m成立．若l⊥m，当m∥β时，则l与β的位置关系不确定，∴无法得到α∥β．∴“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件．故选：A．7. 若不等式,对一切x恒成立,则a的取值范围是A ．B．(-2 ,2] C．(-2,2) D．(参考答案：B8. 在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（）A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（2）（4） D．（2）（3）参考答案：D略9. 设x，y∈R，则“x≥1且y≥1”是“x2+y2≥2”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若x≥1且y≥1，则x2≥1，y2≥1，所以x2+y2≥2，故充分性成立，若x2+y2≥2，不妨设x=﹣3，y=0．满足x2+y2≥2，但x≥1且y≥1不成立．所以“x≥1且y≥1”是“x2+y2≥2”的充分不必要条件．故选B．10. 如图是一个算法流程图，则输出S的值是（）。
四川省成都市数学高二下学期理数期末考试试卷
四川省成都市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·河北模拟) 若，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高三上·湖北期中) 下列四个结论：命题“ ，”的否定是“ ，”；若是真命题，则可能是真命题；“ 且”是“ ”的充要条件；，都有．其中正确的是A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·湖南期中) 已知变量、之间的线性回归方程为，且变量、之间的一-组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（）A . 可以预测，当时，B .C . 变量、之间呈负相关关系D . 该回归直线必过点4. （2分）函数f（x）=﹣ x3+ x2﹣6x+5的单调增区间是（）A . （﹣∞，2）和（3，+∞）B . （2，3）C . （﹣1，6）D . （﹣3，﹣2）5. （2分）一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（）A .B .C .D .6. （2分）圆的圆心坐标是（）A .B .C .D .7. （2分） (2020高二下·吉林开学考) 已知函数的图象是折线，其中，，，则（）A .B . 1C . 2D . 48. （2分）函数f（x）=的零点所在的区间是（）A . （0，）B . （,1）C . （1，2）D . （2，4）9. （2分） (2016高一上·绵阳期中) 函数的定义域是：（）A . [1，+∞）B .C .D .10. （2分）设a,b为满足ab<0的实数，那么（）A . |a+b|>|a-b|B . |a+b|<|a-b|C . |a-b|<|a|-|b|D . |a-b|<|a|+|b|11. （2分）已知函数在上图像关于轴对称，若对于，都有，且当时，，则的值为（）A . -2B . -1C . 1D . 212. （2分）某人对一个地区人均工资x与该地区人均消费y进行统计调查，y与x有相关关系，得到线性回归方程为y=0.66x+1.562（单位：百元）．若该地区人均消费水平为7.675百元，估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为（）A . 66%B . 72.3%C . 67.3%D . 83%二、填空题 (共3题；共3分)13. （1分） (2019高一上·辽宁月考) 如图茎叶图记录了甲．乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为________，________．14. （1分） (2020高二下·九台期中) 在二项式的展开式中，含的项的系数是________15. （1分） (2016高一上·阳东期中) 若集合A={x|x2=1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则由实数m的值组成的集合为________．三、双空题 (共1题；共1分)16. （1分） l1 ， l2是分别经过A（1，1），B（0，﹣1）两点的两条平行直线，当l1 ， l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．四、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）(2018·新疆模拟) 甲乙两名运动员互不影响地进行四次设计训练，根据以往的数据统计，他们设计成绩均不低于8环（成绩环数以整数计），且甲乙射击成绩（环数）的分布列如下：（I）求，的值；（II）若甲乙两射手各射击两次，求四次射击中恰有三次命中9环的概率；（III）若两个射手各射击1次，记两人所得环数的差的绝对值为，求的分布列和数学期望.18. （10分）(2019·晋中模拟) 已知椭圆：的右焦点为抛物线的焦点，，是椭圆上的两个动点，且线段长度的最大值为4.（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求面积的最小值.19. （10分） (2018高二下·甘肃期末) 学校高三数学备课组为了更好地制定复习计划，开展了试卷讲评后效果的调研，从上学期期末数学试题中选出一些学生易错题，重新进行测试，并认为做这些题不出任何错误的同学为“过关”，出了错误的同学为“不过关”，现随机抽查了年级50人，他们的测试成绩的频数分布如下表：期末分数段人数510151055“过关”人数129734（1）由以上统计数据完成如下列联表，并判断是否有的把握认为期末数学成绩不低于90分与测试“过关”有关？说明你的理由：分数低于90分人数分数不低于90分人数合计“过关”人数“不过关”人数合计（2）在期末分数段的5人中，从中随机选3人，记抽取到过关测试“过关”的人数为，求的分布列及数学期望．下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0252.072 2.7063.841 5.02420. （5分）(2020·南通模拟) 设x、y均为正数，且，求证： .21. （5分） (2018高二下·枣庄期末) 从4名男生和2 名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．（1）求的分布列（结果用数字表示）；（2）求所选3个中最多有1名女生的概率．22. （15分）对某种赌博游戏调查后，发现其规则如下：摊主在口袋中装入8枚黑色和8枚白色的围棋子，参加者从中随意一次摸出5枚，摸一次交手续费2元，而中彩情况如下：摸子情况5枚白4枚白3枚白其它彩金20元3元纪念品价值1元无奖同乐一次现在我们试计算如下问题：（1）求一次获得20元彩金的概率；（结果用最简分数表示）（2）分别求一次获3元和纪念奖的概率；（结果用最简分数表示）（3）如果某天有1000次摸奖，估计摊主是赔钱还是挣钱？大概是多少元？参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共3题；共3分)13-1、14-1、15-1、三、双空题 (共1题；共1分)16-1、四、解答题 (共6题；共55分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
四川省成都市数学高二下学期理数期末考试试卷
四川省成都市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018·辽宁模拟) 已知集合，，则A .B .C .D .2. （2分）设 a 是实数，若复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在直线 x+y=0 上，则 a 的值为（）A . -1B . 0C . 1D . 23. （2分）(2016·四川文) 已知正三角形ABC的边长为2 ，平面ABC内的动点P，M满足| |=1，= ，则| |2的最大值是（）A .B .C .D .4. （2分）用清水漂洗衣服，假定每次能洗去污垢的，若要使存留的污垢不超过原有的，则至少要漂洗（）A . 3次B . 4次C . 5次D . 5次以上5. （2分） (2019高三上·清远期末) 从1名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）A . 0.3B . 0.4C . 0.5D . 0.66. （2分）若函数f（x）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位后，得到y=g（x）的图象，则下列说法错误的是（）A . y=g（x）的最小正周期为πB . y=g（x）的图象关于直线x= 对称C . y=g（x）在[﹣， ]上单调递增D . y=g（x）的图象关于点（，0）对称7. （2分） (2017高二下·衡水期末) 已知圆C：x2+y2=4，直线l：y=x，则圆C上任取一点A到直线l的距离小于1的概率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高三下·重庆模拟) 在中，“ ” 是“ 为钝角三角形”的（）A . 充要条件B . 必要不充分条件C . 充分不必要条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分）设,当实数x,y满足不等式组时，目标函数的最大值等于2，则m的值是（）A . 2B . 3C .D .10. （2分） (2019高三上·安徽月考) 设函数，下列四个结论：① 的最小正周期为；② 在单调递减；③ 图像的对称轴方程为；④ 在有且仅有2个极小值点.其中正确结论的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 411. （2分） (2018高二上·河北月考) 过圆x2＋y2－4x＝0外一点(m，n)作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m、n满足的关系式是（）A . (m－2)2＋n2＝4B . (m＋2)2＋n2＝4C . (m－2)2＋n2＝8D . (m＋2)2＋n2＝812. （2分）定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,5]时，f(x)＝2－|x－4|，则（）A . f(sin)<f(cos)B . f(sin1)>f(cos1)C . f(cos)<f(sin)D . f(cos2)>f(sin2)二、填空题 (共4题；共6分)13. （1分）若将函数f（x）=x5表示为f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5 ，其中a0 ， a1 ，a2 ，…，a5为实数，则a2=________．14. （1分）(2018·栖霞模拟) 若三棱锥的所有的顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为________．15. （2分）如图，过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线与圆（x﹣2）2+y2=4于A，B，C，D四点，则|AB|•|CD|=________．16. （2分） (2018高一下·珠海月考) 用更相减损术或辗转相除法求459和357的最大公约数为________.三、解答题 (共6题；共52分)17. （5分） (2016高一下·锦屏期末) 在等差数列{an}中，前n项和为Sn ，若a10=18，S5=﹣15．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求S3﹣S4的值．18. （10分） (2017高二上·中山月考) 在中，角，，的对边分别为，，，且满足．（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的周长．19. （15分） (2018高一下·贺州期末) 为检测空气质量，某市环保局随机抽取了甲、乙两地2016年20天的PM2.5日平均浓度（单位：微克/立方米）是监测数据，得到甲地PM2.5日平均浓度的频率分布直方图和乙地PM2.5日平均浓度的频数分布表.甲地20天PM2.5日平均浓度频率分布直方图乙地20天PM2.5日平均浓度频数分布表（1）根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频数分布表作出相应的频率分布直方图，并通过两个频率分布直方图比较两地PM2.5日平均浓度的平均值及分散程度；（不要求计算出具体值，给出结论即可）（2）求甲地20天PM2.5日平均浓度的中位数；（3）通过调查，该市市民对空气质量的满意度从高到低分为三个等级：记事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为不满意”。
四川省成都市数学高二下学期理数期末考试试卷
四川省成都市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、一.选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·上高模拟) 在复平面中，复数对应的点在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分） (2017高二上·襄阳期末) 为研究两变量x和y的线性相关性，甲、乙两人分别做了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程m和n，两人计算相同，也相同，则下列说法正确的是（）A . m与n重合B . m与n平行C . m与n交于点（，）D . 无法判定m与n是否相交3. （2分）利用数学归纳法证明“，（a ≠1，n N）”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）A . 1B . 1+aC . 1+a+a2D . 1+a+a2+a34. （2分） (2015高二下·周口期中) 函数F（x）= t（t﹣4）dt在[﹣1，5]上（）A . 有最大值0，无最小值B . 有最大值0，最小值C . 有最小值，无最大值D . 既无最大值也无最小值5. （2分）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2…9的9个小正方形，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“3，5，7”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）种123456789A . 18B . 36C . 72D . 1086. （2分）抛掷红、蓝两个骰子，事件A=“红骰子出现4点”，事件B=“蓝骰子出现的点数是偶数”，则为（）A .B .C .D .7. （2分）(2018·中原模拟) 已知，若曲线上存在不同两点，使得曲线在点处的切线垂直，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币数字一面向上”为事件A，“骰子向上的点数是偶数”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·长春模拟) 下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为（）A . 图1B . 图2C . 图3D . 图410. （2分）设函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f'(x),f'(x)在(a,b)上的导函数为f''(x),若在(a,b)上,f''(x)<0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.已知当时,在(-1,2)上是“凸函数”.则f(x)在(-1,2)上（）A . 既有极大值,也有极小值B . 既有极大值,也有最小值C . 有极大值,没有极小值D . 没有极大值,也没有极小值11. （2分）集合，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二下·孝感期末) 设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，且f（1）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为（）A . （﹣1，0）∪（1，+∞）B . （﹣1，0）∪（0，1）C . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D . （﹣∞，﹣1）∪（0，1）二、二.填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2013·上海理) 在xOy平面上，将两个半圆弧（x﹣1）2+y2=1（x≥1）和（x﹣3）2+y2=1（x≥3），两条直线y=1和y=﹣1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω．过（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面积为4π +8π．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为________．14. （1分）(2018·中山模拟) 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3，甲乙丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与与的卡片不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．15. （1分） (2018高二下·晋江期末) 已知实数x，y均大于零，且x＋2y＝4，则log2x＋log2y的最大值为________．16. （1分） (2018高三上·福建期中) 函数，，若函数，且函数的零点均在内，则的最小值为________．三、三.解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2016高三上·莆田期中) 已知函数f（x）=x3﹣9x，函数g（x）=3x2+a．（Ⅰ）已知直线l是曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线，且l与曲线y=g（x）相切，求a的值；（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有三个不同实数解，求实数a的取值范围．18. （10分） (2018高二下·辽宁期中) 某校为了探索一种新的教学模式，进行了一项课题实验，甲班为实验班，乙班为对比班，甲乙两班的人数均为50人，一年后对两班进行测试，测试成绩的分组区间为 80,90 、 90,100 、 100,110 、 110,120 、 120,130 ，由此得到两个班测试成绩的频率分布直方图：附：，其中0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5. 024 6.6357.87910.828（1）完成下面2×2列联表，你能有97.5 的把握认为“这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关”吗？并说明理由；成绩小于100分成绩不小于100分合计甲班50乙班50合计100（2）根据所给数据可估计在这次测试中，甲班的平均分是105.8，请你估计乙班的平均分，并计算两班平均分相差几分？19. （5分）设函数f（x）=|x+1|+|2x﹣1|的最小值为a．（1）求a的值；（2）已知m，n＞0，m+n=a，求+的最小值．20. （10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），M是C1上的动点，P点满足 =2 ，P点的轨迹为曲线C2 ．（1）求C2的方程；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ= 与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．21. （10分）(2017·滨州模拟) 春节期间商场为活跃节日气氛，特举行“购物有奖”抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，每次中奖可以获得20元购物代金券，方案乙的中奖率为，每次中奖可以获得30元购物代金券，未中奖则不获得购物代金券，每次抽奖中奖与否互不影响，已知小明通过购物获得了2次抽奖机会．（1）若小明选择方案甲、乙各抽奖一次，记他累计获得的购物代金券面额之和为X，求X≤30的概率；（2）设小明两次抽奖都选择方案甲或都选择方案乙，且都选择方案乙时，已算得，累计获得的购物代金券面额之和X1的数学期望E（X1）=24，问：小明选择这两种方案中的何种方案抽奖，累计获得的购物代金券面额之和的数学期望较大？22. （10分）已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，）处的切线方程。
四川省成都市数学高二下学期理数期末教学检测试卷
四川省成都市数学高二下学期理数期末教学检测试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共16题；共28分)1. （2分）复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分） (2018高二上·沧州期中) 某产品的广告费用 (单位：万元)与销售额 (单位：万元)的统计数据如下表：根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售为（）A . 63.6万元B . 65.5万元C . 67.7万元D . 72.0万元3. （2分） (2018高二下·聊城期中) （）A .B .C .D .4. （2分）用反证法证明命题“若abc=0，则a，b，c中至少有一个为0”时，假设正确的是（）A . 假设a，b，c中只有一个为0B . 假设a，b，c都不为0C . 假设a，b，c都为0D . 假设a，b，c不都为05. （2分） (2016高二下·辽宁期中) 某项测试要过两关，第一关有3种测试方案，第二关有5种测试方案，某人参加该项测试，不同的测试方法种数为（）A . 3+5B . 3×5C . 35D . 536. （2分）如果随机变量，且，则等于（）A . 0.4B . 0.3C . 0.2D . 0.17. （2分） (2017高二上·荆门期末) 抽查10件产品，设事件A：至少有2件次品，则A的对立事件为（）A . 至多有2件次品B . 至多有1件次品C . 至多有2件正品D . 至多有1件正品8. （2分） (2017高二下·钦州港期末) 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则上楼梯的方法有（）C . 28种D . 25种9. （2分）已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式的解集为（）A .B .C .D .10. （2分）若将（x+y+z）10展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）A . 11B . 33C . 66D . 9111. （2分） (2017高二下·河北开学考) 某产品在某销售点的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）的统计数据如表所示：x16171819y50344131由表可得回归直线方程中的，根据模型预测零售价为20元时，每天的销售量约为（）C . 27.5D . 26.512. （2分）(2018·辽宁模拟) 甲、乙、丙、丁四位同学参加比赛，只有其中三位获奖.甲说：“乙或丙未获奖”；乙说：“甲、丙都获奖”；丙说：“我未获奖”；丁说：“乙获奖”.四位同学的话恰有两句是对的，则（）A . 甲和乙不可能同时获奖B . 丙和丁不可能同时获奖C . 乙和丁不可能同时获奖D . 丁和甲不可能同时获奖13. （1分）计算：i+i2+i3+…+i2010=________．14. （1分） (2016高二下·宜春期中) 如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）=________．15. （1分） (2015高三上·合肥期末) 曲线f（x）=x2+lnx在（1，f（1））处的切线的斜率为________．16. （1分） (2018高一上·遵义月考) 已知奇函数在上是减函数,且，若，则的取值范围为________.二、解答题 (共6题；共30分)17. （5分） (2016高二下·漯河期末) 已知函数f（x）=lnx﹣．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）=﹣x2+2bx﹣4，若对任意x1∈（0，2），x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数b的取值范围．18. （5分） (2018高二下·大连期末) 某企业响应省政府号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品.如图是设备改造前的样本的频率分布直方图，表是设备改造后的样本的频数分布表.表：设备改造后样本的频数分布表质量指标值频数附：（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；不合格品合计（2）根据频率分布直方图和表提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行登记细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件售价元；其它的合格品定为三等品，每件售价元.根据表的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望.19. （5分） (2016高二下·东莞期中) 在数列{an}中，，an+1= ．（1）计算a2，a3，a4并猜想数列{an}的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想．20. （5分） (2016高二下·市北期中) 在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（1）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（2） X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．21. （5分）(2018·河北模拟) 某公司在某条商业街分别开有两家业务上有关联的零售商店，这两家商店的日纯利润变化情况如下表所示：附：线性回归方程中，， .参考数据：， .（1）从这几天的日纯利润来看，哪一家商店的日平均纯利润多些？（2）由表中数据可以认为这两家商店的日纯利润之间有较强的线性相关关系.（ⅰ）试求与之间的线性回归方程；（ⅱ）预测当店日纯利润不低于2万元时，店日纯利润的大致范围（精确到小数点后两位）；（3）根据上述5日内的日纯利润变化情况来看，哪家商店经营状况更好？22. （5分）(2017·扬州模拟) 已知函数f（x）= （e为自然对数的底数）．（1）当a=b=0时，直接写出f（x）的值域（不要求写出求解过程）；（2）若a= ，求函数f（x）的单调区间；（3）若f（1）=1，且方程f（x）=1在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．参考答案一、单选题 (共16题；共28分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、二、解答题 (共6题；共30分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
四川省成都市数学高二下学期理数期末教学质量检测试卷
四川省成都市数学高二下学期理数期末教学质量检测试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·眉山期末) 设i为虚数单位，则复数的虚部是（）A . 3iB . ﹣3iC . 3D . ﹣32. （2分） (2017高一上·邢台期末) 对变量x，y有观测数据（xi ， yi）（i=1，2，3，…，8），得散点图如图①所示，对变量u，v有观测数据（ui ， vi）（i=1，2，3，…，8），得散点图如图②所示，由这两个散点图可以判断（）A . 变量x与y正相关；u与v正相关B . 变量x与y正相关；u与v负相关C . 变量x与y负相关；u与v正相关D . 变量x与y负相关；u与v负相关3. （2分）有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误的，这是因为（）A . 大前提错误B . 小前提错误C . 推理形式错误D . 非以上错误4. （2分）根据下列通项能判断数列为等比数列的是（）A . an=nB . an=C . an=2﹣nD . an=log2n5. （2分）(2017·九江模拟) 设随机变量ξ服从正态分布N（μ，7），若P（ξ＜2）=P（ξ＞4），则μ 与Dξ的值分别为（）A .B .C . μ=3，Dξ=7D .6. （2分）函数的图象的一条对称轴方程是（）A .B .C .D .7. （2分）在复平面内,O为原点,向量对应的复数为8+3i,关于y轴对称,则点B对应的复数为（）A . 8-3iB . -8-3iC . 3+8iD . -8+3i8. （2分）(2018·兰州模拟) 已知是定义在上的可导函数，若在上有恒成立，且为自然对数的底数），则下列结论正确的是（）A .B .C .D .9. （2分）用10个均匀材料做成的各面上分别标有数字1,2,3,4,5,6的正方体玩具，每次同时抛出，共5次，则至少有一次全部都是同一数字的概率是（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高二上·寿光月考) 定义在上的单调减函数，若的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .11. （2分）已知x、y为正实数，则（）A . 2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgyB . 2lg(x＋y)＝2lgx·2lgyC . 2lgx·lgy＝2lgx＋2lgyD . 2lg(xy)＝2lgx·2lgy12. （2分） (2016高二下·唐山期中) 函数f（x）=lnx+ 在区间[2，+∞）上单调递增，则a的取值范围为（）A . （﹣∞，2]B . （﹣∞，2）C . [2，+∞）D . [﹣2，2]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2019·齐齐哈尔模拟) 的展开式中，的系数为________．14. （1分）若a1x≤sinx≤a2x对任意的都成立，则a2﹣a1的最小值为________15. （1分） (2016高三上·平湖期中) 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法总数是________．16. （1分）对于实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b= ，设函数f（x）=（x+2）⊗（3﹣x），x∈R，若方程f（x）=c恰有两个不同的解，则实数c的取值范围是________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2016高二下·抚州期中) 已知的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为．（1）求n的值；（2）求展开式中的常数项．18. （10分） (2016高二下·河南期中) 某城市理论预测2007年到2011年人口总数与年份的关系如表所示年份2007+x（年）01234人口数y（十万）5781119（1）请根据表提供的数据，求最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）据此估计2012年该城市人口总数．参考公式：．19. （10分） (2018高二下·中山月考)（1）用分析法证明： .（2）已知，且，求证：与中至少有一个小于2．20. （10分）(2013·福建理) 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？21. （10分） (2016高三上·湖州期中) 已知函数f（x）=lnx+ ，其中a为大于零的常数．．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求a的取值范围；（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值；（3）求证：对于任意的n∈N*，且n＞1时，都有lnn＞ + +…+ 成立．22. （10分）(2017·泉州模拟) 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣2y+4=0．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求l的普通方程与C的极坐标方程；（2）已知l与C交于P，Q，求|PQ|．23. （10分）已知函数f（x）=x2+2x，g（x）+f（﹣x）=0．（1）求函数g（x）的解析式；（2）解不等式g（x）≥f（x）﹣|x﹣1|；（3）若h（x）=g（x）﹣λf（x）+1在[﹣l，1]上单调递增，求实数λ的范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、第11 页共11 页。
2020-2021学年四川省成都市高二(下)期末数学试卷(理科)
2020-2021学年四川省成都市高二（下）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设全集U ={x ∈N ∗|x <9}，集合A ={3,4，5，6}，则∁U A =( )A. {1,2，3，8}B. {1,2，7，8}C. {0,1，2，7}D. {0,1，2，7，8}2. 已知函数f(x)={log 2(2−x),x <1e x ,x ≥1，则f(−2)+f(ln4)=( )A. 2B. 4C. 6D. 83. 某校为增强学生垃圾分类的意识，举行了一场垃圾分类知识问答测试，满分为100分．如图所示的茎叶图为某班20名同学的测试成绩(单位：分).则这组数据的极差和众数分别是( )A. 20，88B. 30，88C. 20，82D. 30，914. 若实数x ，y 满足约束条件{2x −y ≥0x +y −4≤0y ≥0，则z =x −2y 的最大值为( )A. −4B. 0C. 2D. 45. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点到其中一条渐近线的距离为2a ，则该双曲线的渐近线方程为( )A. y =±2xB. y =±12xC. y =±xD. y =±√2x6. 记函数f(x)的导函数为f′(x).若f(x)=e x sin2x ，则f′(0)=( )A. 2B. 1C. 0D. −17. 已知M 为圆(x −1)2+y 2=2上一动点，则点M 到直线x −y +3=0的距离的最大值是( )A. √2B. 2√2C. 3√2D. 4√28. 已知直线l 1：x +y +m =0，l 2：x +m 2y =0.则“l 1//l 2”是“m =1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是( )A. 45B. 56C. 67D. 7810. 在三棱锥P −ABC 中，已知PA ⊥平面ABC ，PA =AB =BC =2，AC =2√2.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A. 4πB. 10πC. 12πD. 48π11. 已知函数f(x)=ax+1，g(x)=lnx.若对任意x 1，x 2∈(0,2]，且x 1≠x 2，都有g(x 2x 1)−f(x 1)+f(x 2)x 2−x 1>−1，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,274]B. (−∞,2]C. (−∞,272]D. (−∞,8]12. 设抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B ，设C(2p,0)，AF 与BC 相交于点D.若|CF|=|AF|，且△ACD 的面积为2√2，则点F 到准线l 的距离是( )A. √2B. √3C. 4√23 D. 4√33二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 设复数z =1+2i i(i 为虚数单位)，则|z|=______．14. 一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒，当你到达路口时，看见不是红灯亮的概率为______． 15. 已知关于x ，y 的一组数据：x 1 m 3 4 5 y0.50.6n1.41.5根据表中这五组数据得到的线性回归直线方程为y ̂=0.28x +0.16，则n −0.28m 的值为______． 16. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)={2|x−1|−1,0<x ≤212f(x −2),x >2有下列结论：①函数f(x)在(−6,−5)上单调递增；②函数f(x)的图象与直线y=x有且仅有2个不同的交点；③若关于x的方程[f(x)]2−(a+1)f(x)+a=0(a∈R)恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8；④记函数f(x)在[2k−1,2k](k∈N∗)上的最大值为a k，则数列{a n}的前7项和为12764．其中所有正确结论的编号是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=13x3+a2x2−2x+56，其中a∈R.若函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y−1=0平行．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求函数f(x)的极值．18.“2021年全国城市节约用水宣传周”已于5月9日至15日举行．成都市围绕“贯彻新发展理念，建设节水型城市”这一主题，开展了形式多样，内容丰富的活动，进一步增强全民保护水资源，防治水污染，节约用水的意识．为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了300名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100]，得到如图所示的频率分布直方图．(Ⅰ)求a的值，并估计这300名业主评分的中位数；(Ⅱ)若先用分层抽样的方法从评分在[90,95)和[95,100]的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈，求这2人中至少有1人的评分在[95,100]的概率．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，DC//AB，BC⊥AB，E为棱AP的中点，AB=4，PA=PD=DC=BC=2．(Ⅰ)求证：DE//平面PBC；(Ⅱ)若平面PAD⊥平面ABCD，M是线段BP上的点，且BM=2MP，求二面角M−AD−B的余弦值．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，|PF 1|=2，∠F 1PF 2=π3，且椭圆C 的离心率为12． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l ：y =kx +m(m ≠0)与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求△OAB 面积的最大值．21. 已知函数f(x)=2ax −lnx ，其中a ∈R ．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a >0时，若x 1，x 2(0<x 1<x 2)满足f(x 1)=f(x 2)，证明：f(2ax 1)+f(2ax 2)>4a 2(x 1+x 2).22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosαy =sinα(α为参数).以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为√3ρcosθ−ρsinθ+√3=0． (Ⅰ)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)在曲线C 上任取一点(x,y)，保持纵坐标y 不变，将横坐标x 伸长为原来的√3倍得到曲线C 1.设直线l 与曲线C 1相交于M ，N 两点点P(−1,0)，求|PM|+|PN|的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵U ={1,2，3，4，5，6，7，8}，A ={3,4，5，6}， ∴∁U A ={1,2，7，8}． 故选：B ．可求出集合U ，然后进行补集的运算即可．本题考查了集合的描述法和列举法的定义，补集及其运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)={log 2(2−x),x <1e x ,x ≥1，∴f(−2)=log 24=2， f(ln4)=e ln4=4，∴f(−2)+f(ln4)=2+4=6． 故选：C ．推导出f(−2)=log 24=2，f(ln4)=e ln4=4，由此能求出f(−2)+f(ln4)的值． 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】B【解析】解：最大值为98，最小值为68，故极差为98−68=30.数据88出现3次，出现的次数最多，所以众数为88． 故选：B ．利用茎叶图找到数据的最大值，最小值，出现次数最多的数据即可． 本题考查茎叶图的数字特征，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由z=x−2y得y=12x−12z，作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)：平移直线y=12x−12z，由图象可知当直线y=经过点B(4,0)时，直线y=12x−12z的截距最小，此时z最大，代入目标函数z=x−2y，得z=4−2×0=4，故选：D．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．5.【答案】A【解析】解：因为双曲线的一个焦点到其中一条渐近线的距离为2a，所以焦点(c,0)到渐近线y=ba x的距离为√a2+b2=2a，又c2=a2+b2，所以b=2a，所以ba=2，所以双曲线的渐近线的方程为y=±2x．故选：A．由于焦点(c,0)到渐近线y=ba x的距离为√a2+b2=2a，又c2=a2+b2，推出ba=2，进而可得答案．本题考查双曲线的性质，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：f′(x)=e x sin2x+2e x cos2x，∴f′(0)=0+2=2．故选：A．可根据基本初等函数和复合函数的求导公式求出f′(x)，然后将x换上0即可求出f′(0)的值．本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：圆(x−1)2+y2=2的圆心坐标为(1,0)，半径为√2，圆心(1,0)到直线x−y+3=0的距离d=√2=2√2，∴圆上的点M到直线x−y+3=0的距离的最大值是2√2+√2=3√2．故选：C．由圆的方程求得圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，加上半径得答案．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．8.【答案】B【解析】解：由l1//l2可得，1×m2−1×1=0，解得m=±1，∴“l1//l2”是“m=1”的必要不充分条件．故选：B．由l1//l2可得，1×m2−1×1=0，解得m=±1，可解决此题．本题考查直线平行判定及充分、必要条件，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=11×2+12×3+.....+16×7的值，由于S=11×2+12×3+.....+16×7=1−12+12−13+...+16−17=1−17=67．故选：C．由已知中的程序语句可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=11×2+12×3+.....+16×7的值，利用裂项法即可求解．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.【答案】C【解析】解：如图，由PA⊥平面ABC，满足侧棱⊥底面，求此类三棱锥外接球的问题，转化为直棱柱求解，∵AB=BC=2，AC=2√2，∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC为直角三角形，∴△ABC外接圆的半径r=12AC=√2，锥高ℎ=PA=2，设球的半径为R，由勾股定理R2=(12ℎ)2+r2，可得R2=1+2=3，∴三棱锥外接球的面积为S=4πR2=4π×3=12π，故选：C．由PA⊥平面ABC，满足侧棱⊥底面，求此类三棱锥外接球的问题，可转化为直棱柱外接球求解，先求底面外接圆半径r，再找到柱高h，然后用勾股定理R2=(12ℎ)2+r2，求出球的半径R，求解即可．本题考查球的表面积计算问题，涉及球与三棱锥和直棱柱的关系，考查转化思想和计算能力，是中档题．11.【答案】A【解析】解：不妨设0<x 1<x 2≤2，可得g(x2x 1)−f(x 1)+f(x 2)>x 1−x 2， 因为g(x 2x 1)=ln x2x 1=lnx 2−lnx 1=g(x 2)−g(x 1)，所以g(x 2)+f(x 2)+x 2−g(x 1)−f(x 1)−x 1>0， 令ℎ(x)=f(x)+g(x)+x =ax+1+lnx +x ， 所以ℎ(x)在(0,2]上单调递增，所以ℎ′(x)=−a(x+1)2+1x +1≥0在(0,2]上恒成立， 即a ≤(x+1)3x在(0,2]上恒成立，令m(x)=(x+1)3x，则m′(x)=3x(x+1)2−(x+1)3x 2=(x+1)2(2x−1)x 2，所以当x ∈(0,12)时，m′(x)<0，m(x)单调递减，当x ∈(12,2]，m′(x)>0，m(x)单调递增， 所以m(x)≥m(12)=274，所以a ≤274，即实数a 的取值范围是(−∞,274】. 故选：A ．不妨设0<x 1<x 2≤2，可得g(x 2)+f(x 2)+x 2−g(x 1)−f(x 1)−x 1>0，可得ℎ(x)=f(x)+g(x)+x 在(0,2]上单调递增，可得ℎ′(x)≥0在(0,2]上恒成立，利用分参法结合导数研究其单调性与最值即可得出结果． 本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，解题的关键是将问题转化为构造新函数的单调性问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：如图所示：抛物线y2=2px(p>0)的焦点F(p2,0)，准线方程l为：x=−p2，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，可得|AF|=|AB|，又由C(2p,0)且|CF|=|AF|，所以|CF|=|AF|=|AB|=32p，所以x A+p2=3p2，解得x A=p，代入抛物线的方程，可得y A=√2p，又由AB//CF且AB=CF，所以四边形ABFC为平行四边形，所以D为BC的中点，所以△ACD的面积为S△ACD=12S△ABC=12×12×3p2×√2p=2√2，解得p=4√33，所以点F到准线l的距离是4√33，故选：D．由题意可得|AF|=|AB|，根据|CF|=|AF|，得到|CF|=|AF|=|AB|=32p，求得x A，y A，又由AB//CF且AB=CF，则四边形ABFC为平行四边形，推出D为BC的中点，进而可得S△ACD=12S△ABC，列方程，求解，即可得出答案．本题考查抛物线的性质，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．13.【答案】√5【解析】解：∵z=1+2ii =(1+2i)ii2=2−i，∴|z|=√22+(−1)2=√5．故答案为：√5．根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．14.【答案】35【解析】解：一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒， 由对立事件的概率可知，当到达路口时，看到的不是红灯的概率是： P =1−3030+5+40=35． 故答案为：35．由已知直接利用对立事件概率计算公式求解．本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式的应用，是基础题．15.【答案】0.44【解析】解：根据表格中的数据可得，x −=1+m+3+4+55=13+m 5，y −=0.5+0.6+n+1.4+1.55=4+n 5，∵线性回归直线方程为y ̂=0.28x +0.16， ∴4+n 5=0.28×13+m 5+0.16，解得n −0.28m =0.44．故答案为：0.44．先求出变量x 与y 的均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解． 本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．16.【答案】①④【解析】解：当x =0时，f(0)=0，此时不满足方程，若2<x ≤4，则0<x −2≤2，即f(x)=12f(x −2)=12(2|x−3|−1)， 若4<x ≤6，则2<x −2≤4，即f(x)=12f(x −2)=12(2|x−5|−1)， 作出函数x ≥0的图象，如图所示：对于①，由图可知，函数f(x)在(5,6)上单调递增，由奇函数性质可知，函数f(x)在(−6,−5)上单调递增，故①正确； 对于②，可知函数在x >0时的图象与直线y =x 有1个交点，结合函数的奇偶性可知，f(x)的图象与直线y =x 有3个不同的交点，故②错误；对于③，设f(x)=t ，则关于[f(x)]2−(a +1)f(x)+a =0(a ∈R)的方程等价于t 2−(a +1)t +a =0， 解得t =a 或t =1，当t =1时，即f(x)=1对应一个交点为x 1=2，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况： (1)t =a =12，即f(x)=12对应3个交点，且x 2+x 3=2，x 4=4， 此时4个实数根的和为8，(2)t =a =−12，即f(x)=−12对应3个交点，且x 2+x 3=−2，x 4=4，此时4个实数根的和为4，故③错误；对于④，函数f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)=1，即a 1=1，由函数解析式及性质可知，数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列， 则数列的前7项和为1−(12)71−12=12764，故④正确．故答案为：①④．由f(x)是奇函数，则f(0)=0，写出f(x)在(−6,−5)上的函数解析式，作出函数x ≥0的图象，对于①，由图可知，函数f(x)在(5,6)上单调递增，由奇函数性质可知，函数f(x)在(−6,−5)上单调性，即可判断①是否正确；对于②，结合函数的奇偶性可知，f(x)的图象与直线y =x 有3个不同的交点，即可判断②是否正确； 对于③，设f(x)=t ，则关于[f(x)]2−(a +1)f(x)+a =0(a ∈R)的方程等价于t 2−(a +1)t +a =0，解得t =a 或t =1，结合图象，分两种情况：(1)t =a =12，(2)t =a =−12，讨论f(x)=a 的实数根的和，即可判断③是否正确；对于④，函数f(x)在[1,2]上的最大值为f(2)=1，即a 1=1，则函数解析式及性质可知，数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，即可判断④是否正确．本题考查命题真假的判断，解题关键是熟悉函数的性质，属于中档题．17.【答案】解：(I)f′(x)=x 2+ax −2，因为函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线2x +y −1=0平行， 所以f′(1)=−2，即a −1=−2，解得a =−1．当a =−1时，f(x)=13x 3−12x 2−2x +56,f(1)=13−12−2+56=−43，所以函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y =−2(x −1)−43，即2x +y −23=0． 满足题意，所以a =−1．(II)由(I)可知f(x)=13x 3−12x 2−2x +56,f′(x)=x 2−x −2=(x +1)(x −2)， 令f′(x)=0，解得x =−1或x =2，当x 变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：所以当x =−1时，f(x)取得极大值f(−1)=2； 当x =2时，f(x)取得极小值f(2)=−52．【解析】(I)由导数的几何意义求解即可；(II)结合导数符号与原函数单调性之间的关系求出函数的单调性，进而求出函数的极值．本题考查导数的几何意义，考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性、极值，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)由频率分布直方图得：(0.025+0.035+a+0.050+0.030+0.020)×5=1，解得a=0.04．[70,80)的频率为(0.025+0.035)×5=0.3，[80,85)的频率为0.04×5=0.2，∴估计这300名业主评分的中位数为85．(Ⅱ)用分层抽样的方法从评分在[90,95)和[95,100]的业主中抽取5人，则从评分在[90,95)中抽取0.0300.030+0.020×5=3人，从评分在[95,100)中抽取0.0200.030+0.020×5=2人，∴从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈，基本事件总数n=C52=10，这2人中至少有1人的评分在[95,100]包含的基本事件个数m=C31C21+C22=7，∴这2人中至少有1人的评分在[95,100]的概率为P=mn =710．【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图列方程求出a，再求出中位数．(Ⅱ)由条件，可知评分在[90,95)中抽取3人，从评分在[95,100)中抽取2人，从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈，基本事件总数n=C52，这2人中至少有1人的评分在[95,100]包含的基本事件个数m=C31C21+C22，由此求出这2人中至少有1人的评分在[95,100]的概率．本题考查频率、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】(Ⅰ)证明：取PB的中点H，连接EH，HC，在△PAB中，因为E，H分别为AP，PB的中点，所以EH//AB且EF=12AB，又DC//AB且DC=12AB，所以EH//DC且EH=DC，故四边形CDEH为平行四边形，则DE//CH，又DE ⊄平面PBC ，CH ⊂平面PBC ， 故DE //平面PBC ；(Ⅱ)解：连接BD ，因为DC//AB ，BC ⊥AB ， 则BC ⊥DC ，在Rt △BCD 中，因为DC =BC =2， 所以BD =√DC 2+BC 2=2√2， 在直角梯形ABCD 中，可得AD =2√2，在△ABD 中，因为AD =2√2，AB =4，所以AD 2+BD 2=AB 2， 则BD ⊥AD ，取AD 的中点O ，连接PO ， 因为PA =PD ，则PO ⊥AD ，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PO ⊂平面PAD ， 所以PO ⊥平面ABCD ，取AB 的中点N ，则ON//BD ，ON ⊥AD ， 所以PO ，AD ，ON 两两垂直，以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则A(√2,0,0),D(−√2,0,0),B(−√2,2√2,0)，P(0,0,√2),M(−√23,2√23,2√23)， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4√23,2√23,2√23)，DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√23,2√23,2√23)， 设平面ADM 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，可得{−2x +y +z =0x +y +z =0，令z =1，则m⃗⃗⃗ =(0,−1,1)， 又平面ABD 的一个法向量为n ⃗ =(0,0,1)， 所以|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√2×1=√22， 故二面角M −AD −B 的余弦值为√22．【解析】(Ⅰ)取PB 的中点H ，连接EH ，HC ，然后由中位线定理证明CDEH 为平行四边形，可得DE//CH ，由线面平行的判定定理证明即可；(Ⅱ)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面ADM 的法向量，由向量的夹角公式求解即可．本题考查了线面平行的判定定理和二面角的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得，点P 在椭圆C 上，且|PF 1|=2，由椭圆的定义，可得|PF 2|=2a −|PF 1|=2a −2，在△PF 1F 2中，由余弦定理可得4c 2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|PF 2|cos∠F 1PF 2， 所以4c 2=4+(2a −2)2−4(2a −2)cos π3， 化简得c 2=a 2−3a +3，由椭圆C 的离心率e =ca =12，可得a =2c ， 联立方程组，解得c =1，a =2， 所以b 2=a 2−c 2=3， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(Ⅱ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{y =kx +m x 24+y 23=1，得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0，由△=16(12k 2−3m 2+9)>0， 可得4k 2+3>m 2， 则x 1+x 2=−8km4k 2+3，x 1x 2=4m 2−124k 2+3，所以|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 24√12k 2−3m2+94k 2+3，因为坐标原点O 到直线l 的距离d =√1+k 2，所以S △OAB =12√1+k 2⋅√1+k 24√12k 2−3m 2+94k 2+3=2√3⋅|m|√4k 2+3−m 24k 2+3=2√3⋅√(4k 2+3−m 2)m 24k 2+3≤2√3⋅(4k 2+3−m 2)+m 224k 2+3=√3，当且仅当4k 2+3−m 2=m 2，即4k 2+3=2m 2时，等号成立， 满足4k 2+3=2m 2>m 2， 所以△OAB 面积的最大值为√3．【解析】(Ⅰ)由椭圆的定义，可得|PF 2|=2a −|PF 1|=2a −2，△PF 1F 2中，由余弦定理可得c 2=a 2−3a +3，由椭圆C 的离心率e =ca =12，可得a =2c ，联立方程组，解得c ，a ，b ，即可得出答案．(Ⅱ)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线l 与椭圆的方程，由△>0，可得4k 2+3>m 2，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，由弦长公式可得|AB|，坐标原点O 到直线l 的距离d =， 再利用基本不等式，可得S △OAB 的最大值．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2ax−1x，①当a ≤0时，在(0,+∞)上，f′(x)≤0恒成立， 所以f(x)在(0,+∞)上单调递减，无单调递增区间， ②当a >0时，则由f′(x)=0，得x =12a ， 当x ∈(0,12a )时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈(12a ,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，综上所述，当a ≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减，无单调递增区间， 当a >0时，f(x)在(0,12a )上单调递减，在(12a ,+∞)单调递增． (Ⅱ)证明：因为f(x 1)=f(x 2)， 所以2ax 1−lnx 1=2ax 2−lnx 2， 所以lnx 1−lnx 2x 1−x 2=2a ，若证：f(2ax 1)+f(2ax 2)>4a 2(x 1+x 2)，⇒2a(2ax 1)−ln(2ax 1)+2a(2ax 2)−ln(2ax 2)>4a 2(x 1+x 2)， ⇒ln(4a 2x 1x 2)<0， ⇒4a 2x 1x 2<1， ⇒(lnx 1−lnx 2x 1−x 2)2x 1x 2<1，⇒(ln x 1x 2)2<(x 1−x 2)2x 1x 2⇒(ln x1x 2)2<x1x 2+x2x 1−2，⇒(ln x 1x 2)2−x 1x 2−x2x 1+2<0，令t =x 1x 2，t ∈(0,1)， 则(lnt)2−t −1t +2<0，所以t(lnt)2−t2−1+2t<0，令g(t)=t(lnt)2−t2−1+2t，t∈(0,1)g′(t)=(lnt)2+t⋅2lnt⋅1t−2t+2=(lnt)2+2lnt−2t+2，t∈(0,1)令ℎ(t)=(lnt)2+2lnt−2t+2，t∈(0,1)ℎ′(t)=2lnt⋅1t +2t−2=2lnt+2−2tt，令p(t)=2lnt+2−2t，p′(t)=2t −2=2(1−t)t，t∈(0,1)所以p′(t)>0，所以p(t)在(0,1)上单调递增，所以p(t)<p(1)=2ln1+2−2×1=0，所以ℎ′(t)<0，ℎ(t)在(0,1)上单调递减，所以ℎ(t)>ℎ(1)=(ln1)2+2ln1−2×1+2=0，所以g′(t)>0，所以g(t)在(0,1)上单调递增，所以g(t)<g(1)=1×(ln1)2−12−1+2×1=0，所以不等式f(2ax1)+f(2ax2)>4a2(x1+x2)得证．【解析】(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，求导得f′(x)=2ax−1x，分两种情况：①当a≤0时，②当a>0时，讨论f′(x)的正负，f(x)的单调性，即可得出答案．(Ⅱ)由f(x1)=f(x2)，得lnx1−lnx2x1−x2=2a，若证：f(2ax1)+f(2ax2)>4a2(x1+x2)，只需证ln x1x2)2−x1x2−x2x1+2<0，令t=x1x2，t∈(0,1)，则t(lnt)2−t2−1+2t<0，令g(t)=t(lnt)2−t2−1+2t，t∈(0,1)，只需证明g(t)max<0，即可．本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论，转化思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)由曲线C的参数方程为{x=cosαy=sinα(α为参数)，消去参数α，得曲线C的普通方程x2+y2=1，又由直线l的极坐标方程为√3ρcosθ−ρsinθ+√3=0，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，可得直线l的直角坐标方程为√3x−y+√3=0；(Ⅱ)设曲线C上的任意一点(x,y)经坐标变换后对应的点为(x′,y′)，第21页，共21页 据题意，得{x′=√3x y′=y ，即{x =√33x′y =y′， ∵x 2+y 2=1，代入可得(x′)23+(y′)2=1，即曲线C 1的普通方程为x 23+y 2=1． ∵直线l 过定点P(−1,0)，∴直线l 的参数方程为{x =−1+12t y =√32t(t 为参数)， 将直线l 的参数方程代入曲线C 1的普通方程，整理可得5t 2−2t −4=0．则t 1+t 2=25，t 1t 2=−45<0且△=84>0，∴|PM|+|PN|=|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=2√215．【解析】(Ⅰ)由曲线C 的参数方程消去α，得到曲线C 的普通方程，根据极坐标与直角坐标的互化公式即可得直线l 的直角坐标方程；(Ⅱ)设曲线C 上任意一点(x,y)经坐标变换后对应的点为(x′,y′)，得到{x =√33x′y =y′，代入C 得到曲线C 1的普通方程x 23+y 2=1，再把直线l 的参数方程代入曲线C 1的普通方程，利用参数t 的几何意义与根与系数的关系求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题．。
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四川省成都市2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题 理本试卷分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分。
满分150分，考试时间120 分钟。
注意事项：1．答题前，务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置，2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上； 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题12个小题，每题5分，共60分,请将答案涂在答题卷上)1、已知集合{}2|540A x N x x =∈-+≤，{}2|40B x x =-=，下列结论成立的是（ ） A ．B A ⊆ B ．A B A =UC ．A B A =ID ．{}2A B =I2、若复数z 满足20171zi i=-，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A ．1i - B ．1i +C ．1i --D ．1i -+3、已知()21xx f x =-，()2x g x =则下列结论正确的是（ ） A ．()()()h x f x g x =+是偶函数 B ．()()()h x f x g x =+是奇函数 C ．()()()h x f x g x =是奇函数 D ．()()()h x f x g x =是偶函数4、运行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ．0 B ． 12 C. -1 D ．32-5、已知函数()()22sin ,,123f x x x ππωϕ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦的图象如图所示，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则()12f x x +的值为 （ ） A ． 3 B ．2 C. 1 D ． 0 6、设(){},|0,01A x y x m y =<<<<， s 为()e 1n+的展开式的第一项（e 为自然对数的底数），n m s =,若任取(),a b A ∈，则满足1ab >的概率是( )A ．2e B ．1eC ．e 2e -D ．e 1e -7、设实数x ，y 满足约束条件3240,40,20,x y x ay x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩已知2z x y =+的最大值是7，最小值是26-，则实数a 的值为（ ） A ．6B ．6-C ．1-D ．18、 已知等比数列{}n a 的前n 项和为12n n S k -=+，则()3221f x x kx x =--+的极大值为（ ）A ． 2B ．3 C.52 D ．729、集装箱有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖.若有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（ ） A ．16625 B ．96625 C ．624625 D ．462510、设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、 ，其焦距为2c ，点,2a Q c ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆的内部，点P 是椭圆C 上的动点，且1125PF PQ F F +<恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．12,52⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．12,42⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C. 12,32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．22,52⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭11、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 （ ）A ．1235π B ．1243π C. 1534π D ．1615π12、已知2()(ln )f x x x a a =-+,则下列结论中错误的是（ ）A ．0,0,()0a x f x ∃>∀>≥．B.000,0,()0a x f x ∃>∃>≤.C. 0,0,()0a x f x ∀>∀>≥D.000,0,()0a x f x ∃>∃>≥第Ⅱ卷二．填空题（本大题4个小题，每题5分，共20分，请把答案填在答题卷上）13、等比数列{}n a 中，1473692,18a a a a a a ++=++=，则{}n a 的前9项和9S = ． 14、 已知0>ω，在函数x y ωsin =与x y ωcos =的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为3，则ω值为 ．15、 已知双曲线221y x m-=的左右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线交双曲线右支于,A B 两点，若1ABF ∆是以A 为直角顶点的等腰三角形，则12AF F ∆的面积为 ．16、 已知△ABC 是半径为5的圆O 的内接三角形，且4tan 3A =，若(,)AO x AB y AC x y R =+∈u u u r u u u r u u u r ，则x y + 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin()2sin ()24C A B π-=-． （Ⅰ）求sin cos A B 的值； （Ⅱ）若233a b =，求B ．18、（本小题满分12分）“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用.出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20,30），[30,40），[40,50），[50,60），[60,70），[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图．问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在[40,70）的人数； （2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[20,40）的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[30,40）的人数X 的分布列及数学期望．19、（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC =45°， AD =AC =1，O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO =1，M 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面ACM ；（Ⅱ）设直线AM 与平面ABCD 所成的角为α，二面角M —AC —B 的大小 为β，求sin α·cos β的值.20.如图，已知抛物线E ：2y x =与圆M ：222(4)x y r -+=（0r >）相交于A 、B 、C 、D 四个点．（Ⅰ）求r 的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、BD 的交点P 的坐标．21. 设函数()()2,1(xf x eg x kx k ==+∈R ）.（1）若直线()=y g x 和函数()y f x =的图象相切，求k 的值；（2）当0k >时，若存在正实数m ，使对任意()0,x m ∈都有()()2f x g x x ->恒成立，求k 的取值范围.22.选修4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系中，直线l的参数方程为11x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 1cos θρθ=-． （1）写出直线l 的极坐标方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）已知与直线l 平行的直线l '过点()2,0M ，且与曲线C 交于,A B 两点，试求AB ．成都外国语学校2018届高二期末考试理科数学答案1-12：DAABC C DCBB DC13、1426或 14、π 15、422- 16、⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-85,17.解：（Ⅰ）sin()1cos()2A B C π-=--1sin C =-1sin()A B =-+，故2sin cos 1A B =，∴1sin cos 2A B =． （Ⅱ）由正弦定理得sin 23sin 3A aB b ==， 由（Ⅰ）知2331sin cos sin cos sin 2332A B B B B ===， ∴3sin 22B =， ∴23B π=或23π， ∴6B π=或3π． 18.【解析】（1）由频率分布直方图知年龄在[40,70）的频率为（0．0200．0300．025）10 0．75，所以40名读书者中年龄分布在[40,70）的人数为400.7530．……………………2分（3）年龄在[)2030，的读书者有2人，年龄在[)3040，的读书者有4人，设年龄在[)3040，的读书者人数为X, X 的所有可能取值是0，1，2，2024261(0)=15C C P x C ⋅==，1124268(1)=15C C P x C ⋅==，022422(2)=5C C P x C ⋅==，X 的分布列如下：X 0 1 2 P11581525数学期望EX =1824(0)0+1+2=151553P x ==⋅⋅⋅.19.（1）证明：连结OM ，在△PBD 中，OM ∥PB ，OM ⊂平面ACM ，PB ⊄平面ACM ，故PB ∥平面ACM ；（4分）（2）取DO 的中点N ，连结MN ，AN ，则MN ∥PO ，∵PO ⊥平面ABCD ，∴MN ⊥平面ABCD ， 故∠MAN =α为所求的直线AM 与平面ABCD 所成的角. ∵1122MN PO ==，在Rt △ADO 中，22151(),2DO =+=152AN DO ==，在Rt △AMN 中， 22513()(),424AM =+= ∴2sin 3MN AM α==， （8分） 取AO 的中点R ，连结NR ，MR ，∵NR ∥AD ，∴NR ⊥OA ，MN ⊥平面ABCD ， 由三垂线定理知MR ⊥AO ，故∠MRN 为二面角M —AC —B 的补角，即为π-β. ∵11,,22NR MN ==∴2cos()cos πββ-==-， （11分） ∴2sin cos .αβ=-g （12分） 20.解：（Ⅰ）将抛物线E ：2y x =代入圆M ：222(4)x y r -+=（0r >）的方程， 消去2y ，整理得227160x x r -+-=，①E 与M 有四个交点的充要条件是：方程①有两个不相等的正根1x ，2x ，由此得2212212(7)4(16)0,70,160,r x x x x r ⎧∆=--->⎪+=>⎨⎪=->⎩解得215164r <<，又0r >，所以r 的取值范围为15(,4)2． （Ⅱ）设四个交点的坐标分别为11(,)A x x ，11(,)B x x -，22(,)C x x -，22(,)D x x ， 则直线AC 、BD 的方程分别为211121()x x y x x x x x ---=--，211121()x x y x x x x x ++=--，解得点P 的坐标为12(,0)x x ， 设12t x x =，由216t r =-7(0,)2t ∈．由于四边形ABCD 为等腰梯形，因而其面积 则2112211212||()||()2S x x x x x x x x =⋅⋅-=-，∴2212121212()4(2)S x x x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦，将127x x +=，12x x t =代入上式，并令2()f t S =，得232()(72)(72)82898343f t t t t t t =+-=--++（702t <<）， ∴2'()2456982(27)(67)f t t t t t =--+=-+-，令'()0f t =，得76t =，或72t =-（舍去）． 当706t <<时，'()0f t >；当76t =时，'()0f t =；当7762t <<时，'()0f t <，故当且仅当76t =时，()f t 有最大值，即四边形ABCD 的面积最大，故所求的点P 的坐标为7(,0)6．21. 解：(1)设切点的坐标为()2,tt e，由()2x f x e =得()2'2x f x e =，所以切线方程为()222t t y e e x t -=-，即()2212t t y e x t e =+-，由已知()22212t t y e x t e =+-和1y kx =+为同一条直线，()222,121tte k t e ∴=-=，令()()1x h x x e =-，则()'xh x xe =-，当(),0x ∈-∞时，()()'0,h x h x >单调递增，当()0,x ∈+∞时，()()'0,h x h x <单调递减，()()01h x h ∴≤=.当且仅当0x =时等号成立，0,2t k ∴==.（注明：若由函数()2xf x e =与()1g x kx =+相交于点()0,1，直线()1g x kx =+和函数()2x f x e =的图象相切于()0,1，得出022k e ==，得3分）(2) ①当2k >时，由（1）结合函数的图象知，存在00x >，使得对于任意的()00,x x ∈，都有()()f x g x <，则不等式()()2f x g x x ->等价于()()2f x g x x ->，即()2210x k x e -+->，设()()()2221,'2xxt x k x e t x k x e =-+-=--，令()'0t x >得12ln22k x -<，令()'0t x <得12ln22k x ->.若()()0121224ln 0,0,ln ,,2222k k k x t x --⎛⎫<≤≤⊆+∞∴ ⎪⎝⎭Q 在()00,x 上单调递减，注意到()00t =，所以对任意的()00,x x ∈，都有()0t x <，与题设不符. 若()1212124,ln 0,0,ln ,ln ,222222k k k k t x ---⎛⎫⎛⎫>>⊆-∞∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在120,ln 22k -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()00t =Q ，所以对任意的120,ln 22k x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0t x >，符合题设.此时取0120min ,ln 22k m x -⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭，可得对任意()0,x m ∈，都有()()2f x g x x ->.②当02k <≤时，由(1)结合函数的图象知()()22100,xex x -+≥>()()()()()22121220x x f x g x e kx e x k x k x -=--=-++-≥-≥Q ，对任意0x >都成立，()()2f x g x x ∴->等价于()2210x e k x -+->.设()()221x x e k x ϕ=-+-，则()()2'22x x e k ϕ=-+，由()'0x ϕ>，得()12ln 0,'022k x x ϕ+>><得()12ln ,22k x x ϕ+<∴在120,ln 22k +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，注意到()00ϕ=，所以对任意的120,ln 22k x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有()0x ϕ<，不符合题设.综上所述，k 的取值范围为()4,+∞.22.解析：（1）把直线l 的参数方程化为普通方程为)311y x =-+，∵cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，∴直线l 3cos sin 310ρθρθ-=，由22cos 1cos θρθ=-，可得()221cos 2cos ρθρθ-=，∴曲线C 的直角坐标方程为22y x =． （2）直线l 的倾斜角为3π，∴直线l '的倾斜角也为3π，又直线l '过点()2,0M ，∴直线l '的参数方程为12232x t y ⎧'=+⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩（t '为参数），将其代入曲线C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=，设点A B 、对应的参数分别为12,t t ''．由一元二次方程的根与系数的关系知1212164,33t t t t ''''=-+=， ∴'2'12'2'1'2'12)(t t t t t t AB -+=-==3134．。