人教版六年级数学下册五(1)数学广角抽屉原理
人教版新课标六年级数学下册(4~6单元)重点知识归纳
人教版新课标六年级数学下册（4~6单元）重点知识归纳四会市龙湾学校：练志强2012年1月第四单元：统计1．扇形统计图及其特点：扇形统计图是用整个圆表示总数，用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数；从扇形统计图中可以清楚地看出各部分数量同总数之间的关系。
2．制作统计图时，一定要客观准确地反映信息；在分析统计图时，不要被模糊数据所误导，一定要认真分析，准确提取统计信息。
3．折线统计图及其特点：折线统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。
折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。
4．在根据统计图进行比较、判断时要注意统一标准。
5．温馨提示：当扇形统计图中“其他”部分的占有率比已知占有率最小的部分大时，不能判定已知占有率最小的部分所代表的数据最小。
第五单元：数学广角1．“抽屉原理”（一）：把m个物体任意放进n个空抽屉里（m>n，n是0非自然数），那么一定有一个抽屉中放进了至少2介物体。
2．“抽屉原理”（二）：把多于kn个的物体任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少(k+1)个物体。
3．用“抽屉原理”解题的一般步骤是：（1）分析题意，把实际问题转化为“抽屉原理”，即弄清“抽屉”（“抽屉”是什么，有几个抽屉）和分放物体。
（2）设计“抽屉”的具体形式，即“抽屉原理”。
（3）运用原理，得出在某个“抽屉”中至少分放物体的个数，最终归到原题结论上。
4．温馨提示：要把a个物体放进n个抽屉，如果a÷n=b……c(c≠0且c<b)，那么一定有一个抽屉至少可以放(b+1)个物体，而不是(b+c)个。
第六单元：整理和复习1 数与代数数的意义及分类1．整数的含义：像……-3，-2，-1，0，1，2，3，……这样的数统称整数。
整数的个数是无限的。
没有最小的整数，也没有最大的整数。
自然数是整数的一部分。
六下(人教)第五单元数学广角——鸽巢问题(抽屉原理)(附答案)
第五单元数学广角——鸽巢问题（抽屉原理）一、最不利原则：为了保证能完成一件事情，需要考虑在最倒霉（最不利）的情况下，如何能达到目标。
二、抽屉原理：形式1：把n+1个苹果放到n个抽屉中，一定有2个苹果放在一个抽屉里；形式2：把m×n+1个苹果放到n个抽屉中，一定有m+1个苹果放在一个抽屉里。
模块一抽屉原理【例题1】把3个苹果放到两个抽屉中，有（）种放法。
【练习1】把4支铅笔放进3个笔筒中，有（）种放法。
【例题2】把8个桃子放到7个果盘里，一定有一个果盘里至少放进了（）桃子。
【练习2】把7本书放进6个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进（）本书。
【例题3】五年级一班有28个学生，保证至少有几个同学在同一个月出生？【练习3】在任意25个人中，至少有几个人的星座相同？【例题4】把25个玻璃球最多放进几个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有5个玻璃球？【练习4】把17本书最多放到（）个空书架上，才能保证至少有一个书架上有5本书。
【例题5】平安路小学组织862名同学去参观甲、乙、丙3处景点。
规定每名同学至少参观一处，最多可以参观两处，至少有多少名同学参观的景点相同？【练习5】中国奥运代表团的173名运动员到超市买饮料，已知超市有可乐、雪碧、芬达、橙汁、味全和矿泉水6种饮料，每人各买两种不同的饮料，那么至少多少人买的饮料完全相同？【例题6】国庆嘉年华共有5项游艺活动，每个学生至多参加2项，至少参加1项。
那么至少有多少个学生，才能保证至少有4个人参加的活动完成相同？【练习6】桂苑小学六年级每名学生都订阅了《数学小灵通》、《小学生作文》、《英语天地》、《科学画报》这4种报刊中的2种，他们当中至少有34名学生订阅的报刊种类相同。
你知道桂苑小学六年级至少有多少名学生吗？【例题7】从1，2，3，……，21这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于4？【练习7】1至70这70个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于6？【例题8】从1，4，7，10，……37，40这14个自然数，至少任取多少个数才能保证其中至少有2个数的和是41？【练习8】从1到50这50个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数的和是50？【例题9】从1到100这100个自然数中，至少选出多少个数才能保证其中一定有两个数的和是7的倍数？如果要保证是6的倍数呢？【练习9】从1至99这99个自然数中任意取出一些数，要保证其中一定有两个数的和是5的倍数，至少要取多少个？【例题10】某省有4千万人口,每个人的头发根数不超过15万根,那么该省中至少有多少人的头发根数一样多？【练习10】49名同学共同参加体操表演，其中最小的8岁，最大的11岁。
六下数学抽屉原理教案与反思
六年级下册第五单元《数学广角——抽屉原理（例1）》教学设计教学目标:1、通过猜测、操作、观察、分析、比较等活动，了解简单的“抽屉原理”。
2、在了解简单的“抽屉原理”的基础上，运用这一原理解决生活中简单的实际问题。
培养学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。
3、通过用“抽屉原理”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的神奇魅力。
教学重点：认识“抽屉原理”。
教学难点： 1、理解“总有”和“至少”的含义。
2、灵活运用“抽屉原理”解决实际问题。
教具准备：小棒、杯子、多媒体课件【教学过程】一、创设情境，导入新课老师组织学生做“抢凳子”游戏。
请5位同学上来，摆开4张椅子。
老师宣布游戏规则：5位同学站在四张椅子前，老师喊“开始”的时候，5个人都必须坐在凳子上。
（教师背对着游戏的学生，宣布游戏“开始”。
）师：都坐下了吗？老师不用看，也知道肯定有一张椅子上至少坐着2位同学。
老师说得对吗？（请5位同学再玩一次）师：老师还是敢肯定5位同学坐在4张椅子，不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐着2位同学。
师：老师为什么说得这么肯定呢？师：其实呀这里蕴藏着一个有趣的数学原理（板书：抽屉原理）。
师：想不想研究？我们这节课就用小棒和杯子来研究这个原理。
（板书：小棒杯子）二。
自主操作，探究新知1、观察猜测。
出示例1：3根小棒放进2个杯子里。
师：同学们你们来猜一猜3根小棒放进2个杯子里，一定会出现什么情况？请你们来猜一猜。
师：这里有几个猜测，哪个猜测是对的呢？（他们的猜测是否正确呢？）2、学生动手操作。
第一种方法：枚举法（列举法）（1）小组合作，拿小棒和杯子实际摆一摆、放一放，看一共有几种情况？教师巡视，参与学生的操作和讨论，找出有代表性的几种“证明”方法。
（2）请一名学生上台演示摆放的几种情况。
师记录：（3，0）（2，1）师：还有不同的摆法吗？同学们来观察所有的摆法，想想：5位同学坐在4张椅子上，不管怎么坐，总有一把椅子上至少坐着2位同学。
数学广角《抽屉原理》教案
数学广角《抽屉原理》教案一、教学目标1. 让学生经历探索物体分类的过程，体会“抽屉原理”在生活中的应用。
2. 培养学生运用“抽屉原理”解决实际问题的能力。
3. 渗透分类、集合的初步思想，发展学生的抽象思维能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：理解“抽屉原理”，并能应用于实际问题中。
2. 教学难点：灵活运用“抽屉原理”解决生活中的问题。
三、教学准备1. 物质准备：教具、学具。
2. 经验准备：学生已有分类的经验。
四、教学过程1. 导入：a. 创设情境，引发思考。
出示情境图片，让学生观察并思考：停车场里停了几辆不同的车？b. 交流讨论，得出结论。
学生交流讨论，得出停车场里停了3辆不同的车。
2. 探究“抽屉原理”a. 初步感知“抽屉原理”。
出示问题：如果有4辆车停在这里，最多能停几种不同的车？学生思考并尝试解答，得出结论：最多能停2种不同的车。
b. 进一步探究“抽屉原理”。
出示问题：如果有5辆车停在这里，最多能停几种不同的车？学生思考并尝试解答，得出结论：最多能停3种不同的车。
3. 总结“抽屉原理”a. 引导学生总结“抽屉原理”。
学生总结出：如果有n辆车停在这里，最多能停的不同的车的种类数是n-1。
b. 讲解“抽屉原理”。
讲解“抽屉原理”的含义：如果把n辆车看做n个元素，把不同的车的种类看做抽屉，n辆车最多能停的不同的车的种类数就是n-1。
4. 应用“抽屉原理”a. 出示问题：一个抽屉里放了4个不同的玩具，如果再往里放一个玩具，最多还能放几种不同的玩具？学生应用“抽屉原理”解答，得出结论：最多还能放3种不同的玩具。
b. 出示问题：一个抽屉里放了5个不同的衣物，如果再往里放一件衣物，最多还能放几种不同的衣物？学生应用“抽屉原理”解答，得出结论：最多还能放4种不同的衣物。
5. 课堂小结a. 回顾本节课的学习内容。
学生总结出：我们学习了“抽屉原理”，并应用它解决了一些实际问题。
b. 强调“抽屉原理”在生活中的应用。
抽屉原理 教案——数学人教版六年级下册第五章第一课时
先 。我要 找 ５名助手 ，谁 愿意 上前 面来表
首先完成 自学指导一 ，３分钟 后检 测 么？ 为什 么？
演 ．举手。我把 ２张王牌拿 出来。你们谁来
自学指导一 ：
就任意给两个鸽舍吧 。你 明白了吗？
洗牌 。洗 的时候 ，不能给这几个人看 。更不
认真看 教材第 ７Ｏ页 的例 １．思 考下
吗？（问下 面的 同学 ，信 、不信 ）那好 。你们 样 的结论呢？是否和前面 的相同呢？同学
（学生板演 ，学生纠锚 ）
可 以自己先看一下牌 ，然后再展示给大家 们 带着这个 问题进 行下一步 的 自学 ，３分
（１】第 一个 问题 ：６只鸽子飞 回 ５个
看看。我们一起来 验证一下。（１）这 ５张牌 钟后检测。
种花色至少 有 ２张牌 ”，那就是肯定得有 本呢？你能用计算的方法表 示吗？
同学 ）你 是怎 么分 的 ．你 到前 边给 大 家演
一 种呗 。有 ２种是不是更满足我说的结论
你有什么发现？
示一下 ，边分边 说。（先每 个里 面放 １个 ，
了？【是 ）都满足我说的结论吧 ！谢谢我的助 手们 。请 回。你想知道 这个魔术其中的奥秘 吗？通过这节课的学习你就会知道 了。
刻。我有这样 的一个 结论 ：在 ５张扑克牌
书中是 如何 验证的？
时间到 。下面开始 自学检测 。思 考一
中 ，总有一 种花色至少有 ２张牌。你们相
３分钟后检测
下这两道题 ，把答 案写在 练 习本上 。【板
信吗？（问表演的同学 ，信 、不信 ）你们相信
要 是 ７只鸽子飞 回 ３个鸽舍 。又有 怎 书 ：鸽子 、鸽舍 ；关注学 生 ）（略 ）
新人教版数学六年级下册第五单元《数学广角-鸽巢问题》教材解读
申明：只可使用，不可出售， 或者出租、出借、转让。
1
教 材 编 排 特 点
PART 02
课标解读
2
义务教育数学课程标准（2022年版）指出“综合与实 践是小学数学学习的重要领域。学生将在实际情境和真 实问题中，运用数学和其他学科的知识与方法，经历发 现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，感悟 数学知识之间、数学与其他学科知识之间、数学与科学 技术和社会生活之间的联系，积累活动经验，感悟思想 方法，形成和发展模型意识、创新意识，提高解决实际 问题的能力，形成和发展核心素养。”
教材还以算式7÷3=2…1，引导学生更数学化 地理解假设法的核心思路，加深对思考过程的 理解。在此基础上，又进一步提出“如果有8 本书会怎样？10本书呢？”，让学生利用前 面的方法进行类推。最后，借助对算式的对北 分析，引导学生对这一类“抽屉问题”形成一 般性的理解。
教学建议
1.允许学生多样化地 解决问题。 2.要引导学生逐步从 直观走向抽象。 3.要引导学生建立模 型。 4.要关注学生对模型 的运用。
5
03 要有意识地培养学生的“模型思想”
“抽屉问题”的变式很多，应用更具灵活性。当我们面对一个具 体问题时，能否将这个具体问题和“抽屉问题”联系起来，能否找到 该问题中的具体情境和“抽屉问题”的一般化模型之间的内在关系， 能否找出该问题中什么是“待分的东西”，什么是“抽屉”，是影响 能否解决该间题的关键。教学时，要引导学生先判断某个问题是否属 于用“抽屉原理”可以解决的范畴，如果可以，再思考如何寻找隐藏 在其背后的“抽屉问题”的一般化模型。这个过程，实际上是学生经 历将具体问题“数学化”的过程，是从复杂的现实素材中找出最本质 的数学模型的过程。这样的过程，可有效地发展学生的数学思维能力， 尤其是可增强学生对“模型思想”的体验，增强运用能力，需要引起 教师的重视。
《抽屉原理》教学案例
《抽屉原理》教学案例襄阳市第一实验小学文俊荣教材分析：《抽屉原理》是义务教育课程标准实验教科书人教版六年级下册第五单元数学广角的教学内容。
本课选的是例1、例2的内容，这是一节建立数学模型课，通过直观操作、验证、观察、分析等数学活动，渗透“建模”思想。
本课通过直观例子，借助学具、实物操作或画草图等方式进行“说理”，向学生介绍“抽屉原理”，使学生在理解“抽屉原理”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，并会运用“抽屉原理”来解决这些问题。
“抽屉原理”应用广泛且灵活多变，按照教参的要求，不必过于追求学生“说理”的严密性，只要能结合具体问题把大致意思说出来就可以了，更要允许学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。
本节课我主要鼓励学生借助学具、实物操作等方式进行“说理”，让学生初步经历“数学证明”的过程。
在经历“数学化”过程中，结合学生已有的知识水平和思维特点，创造一种和谐愉悦的氛围，采用“动手实践、自主探索”的学习方式，让学生能够从中感受到学习的乐趣，并主动地去探求知识，发展思维。
在教学中注重引导学生在遇到存在性问题时要仔细观察并寻找其中的规律，感受数学的内在魅力，激发他们学习数学的兴趣。
教学理念：课标指出：“学生是数学学习的主人，而教师则是数学学习的组织者、引导者与合作者。
”学生在教师的指导下，在观察、操作、讨论、交流、猜测、归纳、分析和整理的过程中，理解数学问题的提出、数学概念的形成和数学结论的获得，以及数学知识的应用，主动地参与教学的全过程，逐步地培养创新意识，形成初步的探索和解决问题的能力。
我在准确把握教材编写意图，深刻理解教材内容，领悟教材所反应的知识要点、教学思想方法基础上，在充分了解学生已有的学习水平和生活经验基础上，对教材内容进行恰当地选择与改编、删减与补充，设计出有利于学生学习的教学方案。
学情分析：“抽屉原理”在生活中运用广泛，学生在生活中常常能遇到实例，但并不能有意识地从数学的角度来理解和运用“抽屉原理”。
人教版小学数学六年级下册第五单元《数学广角—鸽巢问题》大单元集体备课整体设计
年 级
六年级
单元名称
人教版六年级下册第五单元
《数学广角——鸽巢问题》
一、单元教学设计说明
教材分析
教材编排的“抽屉原理”涉及三种基本的形式：第一种，只要物体的数量比抽屉多，那么一定有一个抽屉放进了至少两个物体。第二种，即是“把多于kn（k是正整数）个元素放入n个集合，总有一个集合里至少有（k+1）元素”。若k为1，就是第一种情况，可见第一种情形实际是第二种情形的特例。第三种情况是把无限多个物体（如红球、蓝球各4个）放进有限多个抽屉（两种颜色），那么一定有一个抽屉放进了无限多个物体（至少2个同色的球）。
在小学阶段，虽然不需要学生对涉及到抽屉原理的相关现象给出严格的形式化的证明，但是仍可在学生学习过程中用直观的方式进行就事论事的探讨。在学习中，可以鼓励学生借助学具实物操作或者画草图的方式进行说理。通过这样的方式，有助于提高学生的逻辑思维能力。
（二）有意识地培养学生模型思想
抽屉原理的变式很多，应用更加具有灵活性。但是能否将这个具体问题和抽屉问题联系起来，能否找到问题中的具体情境和抽屉问题的一般化模型之间的内在关系是影响能否解决该问题的范畴。建议在活动思考过程中，引导渗透如何寻找隐藏在背后的抽屉问题的一般模型。
（三）要恰当把握教学要求
抽屉原理的应用广泛并且灵活多变，因此，用抽屉原理来解决实际问题时，有时要找到实际问题与抽屉问题之间的联系并不容易。因此学习时，不必过于追求学生说理的严密性，只能结合具体问题把大致意思说出来就可以了，更允许学生借助实物操作等直观方式进行猜想验证。
三、单元整体教学思路
单元结构图及课时安排
课标要求
《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“课程目标”的“第三学段”中提出：“尝试在真实的情境中发现和提出问题，探索运用基本的数量关系，以及几何直观、逻辑推理和其他学科的知识、方法分析和解决问题，形成模型意识和初步的应用意识、创新意识。”“对数学具有好奇心和求知欲，主动参与数学学习活动。在解决问题的过程中，体验成功的乐趣，相信自己能够学好数学，感受数学的价值，体验并欣赏数学美”。
六年级数学下册《数学广角》抽屉原理
3、把7本书进2个抽屉中，不管怎么放， 总有一个抽屉至少放进多少本书？为什 么？
7÷2=3……1
3、把9本书进2个抽屉中，不管怎么放，总有 一个抽屉至少放进多少本书？为什么？
9÷2=4……1
抽屉原理
在有些问题中,“抽屉”和“苹果”不 是很明显, 需要我们制造出“抽屉”和 “苹果”. 制造出“抽屉”和“苹果” 是比较困难的,这一方面需要同学们去分 析题目中的
如果要取出颜色相同的两双筷子，问至 少要取多少根才能保证达到要求？
把5枝笔放 进3个盒子中。
• 把6枝笔放进4个盒子呢？ 把5枝笔放进2个盒子呢？
“ 抽屉原理”又称“鸽笼原理”，最先是 由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的， 所以又称“狄里克雷原理”，这一原理在解 决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉原理” 的应用是千变万化的，用它可以解决许多有 趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的 结果。下面我们应用这一原理解决问题。
3、如果把100个苹果放入99个抽屉中， 至少有几个放到同一个抽屉里呢？（2个）
1、如果把6个苹果放入4个抽屉中，
至少有几个苹果被放到同一个抽
屉里呢？
（2个）
2、如果把8个苹果放入5个抽屉中，
至少有几个苹果被放到同一个抽
屉里呢？
（2个）
你发现了什么规律？
只要物体数量是抽屉数 量的1倍多，总有一个抽屉 里 至少放进2个的物体。
枝铅笔？至少：只有一个文具盒有 4 枝，
其余都是（4-1）枝
3+1
3
3
3
3×(4-1)+1=10（枝）
求总数=抽屉×（至少-1）+1
要分的份数 其中一个多1
抽屉原理(二)
抽屉原理
4、任给7个不同的整数,求证其中必有两个整数,它们的和 或差是10的倍数.
“连续”问题
1、有50名运动员进行某个项目的单循环赛， 如果没有平局，也没有全胜。试证明：一 定有两个运动员积分相同。
2、某学生用11个星期做完数学复习题，他每 天至少做一道题，每星期至多做12道题. 证明： 一定存在连续的若干天，他恰好做了21道题.
抽屉,年龄最大的 是13岁,最小的是11岁,那么其中必有（ ） 名学生是同年同月出生的.
• 从一副张扑克牌（去掉大小王）中，至少 取出几张牌，才能保证一定有2张牌的点数 和颜色相同？ • 至少取出几张牌，才能保证必定有相邻的3 张牌出现？
完成对应练习
染色问题
假设法最核心的思维是： 把物体尽量多的平均分给各个抽屉
这个核心思路是用“有余数的除法”这一数学形式表示出来的。
解题方法：
• 用物品数除以抽屉数，若除数不为零，则“至少数”为商 加1； • 若除数为零，则“至少数”为商。
抽屉原理解题的关键：
（1）找准抽屉和物品个数；
（2）营造“最不利情况”。
• • • • •
前面取的球都没有达到15个球颜色相同的状况。
4、布袋里有4种不同颜色的球，每种都有 10个。最少取出多少个球，才能保证其中 一定有3个球的颜色一样？
5、从一副完整的扑克牌中，至少抽出（23） 张牌，才能保证至少有6张牌的花色相同。
最不利状况： 各个花色都取了5张花色相同的牌，一共是5*4=20 然后取了大、小王共2张牌然后任取一张，就可以保证至 少有6张牌的花色相同了。
设此学生前i天做xi道题（i=1，2，…，77），则x1<x2<…<x77≤12×11=132， 令yi=xi+21，则y1<y2<…<y77≤132+21=153，于是x1，x2，…，x77，y1， y2，…，y77这154个数都≤153，其中必有两数相同，设xi=yj，则xi=xj+21， xi−xj=21，即从第j+1天到第i天，他恰好做了21道题.
抽屉原理
【教学内容】《义务教育课程标准实验教科书·数学》六年级下册第70、71页，例1、例2.【教学目标】1．经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
2．通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。
3．通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。
【教学重点】经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。
【教学难点】理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
【教具、学具准备】每组都有相应数量的笔筒、铅笔。
【课前游戏】师：同学们喜欢做游戏吗？学习新课之前我们先来做个游戏.这是一副扑克牌，抽掉了大王、小王，还剩多少张？知道扑克牌有几种花色吗？（明确4种）哪四种？那我们就用剩下的扑克牌来做游戏。
谁愿意来帮这个忙？请你们5位任意抽取一张牌，不要让我看到。
自己看好牌记在心里，记住了吗？把牌收好了，师：同学们，下面就是见证奇迹的时刻。
师：在你这五张牌里，至少有两张是同一花色的。
师：把牌拿出来验证一下，同一花色的站到一起。
我猜对了吗？师：要不要再来一次。
把牌交给学生教师：如果让这5位同学反复抽牌，不管怎样，总是至少有2张牌是同一花色的，你们相信吗？【一】导入：老师为什么能做出准确的判断呢？因为啊，在这个游戏中蕴含着一个有趣的数学原理。
【二】动手操作，获取新知：（一）初步感知1、教师引导：你们想不想自己通过动手实践来发现它？每个小组拿出4枝铅笔，把它们放进3个笔筒中，怎么放？有几种方法？你有什么发现吗？（提出要求：在动手操作之前分好工，有操作的，有负责记录的）2、全班交流：哪个小组愿意到前边给大家展示一下？质疑：（4，0，0）这样放行不行？如果学生用图表示，问还有没有更简单的表示方法？观察这四种方法，你有什么发现？（明确：无论怎么放，总有一个笔筒至少有2枝铅笔）问：总有是什么意思？至少有两支呢？师：你们的发现和她一样吗？再找学生说。
全班明确：把4枝铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒中至少有2枝铅笔，3、这是列举出所有方法之后得出的结论。
抽屉原理说课课件
然而教学永远是一门遗憾，我觉 得自己还有很多不足：
• 1、教学过程中，要注意教师的引领作用，避免出现一些 干扰教学进程的不利环节。在教学平均分的方法时，我的 事先设计是让学生小组讨论，我下去巡视了解情况，做一 些必要的指点，然后让会摆放的小组上去展示。但在实际 操作中，可能因自己的引导不够，学生胆怯不肯上去，所 以在自己心里没底细的情况下请其他的学生上去，造成了 一些自己意想不到的结果。这位学生上去只是说自己发现 的结论，没有说怎么平均分，在我的引导下最后竟说出了 “5÷4=1……1，至少数=商+余数”的结论。于是我及时 利用他的列式引出平均分的方法。至于他提出的“至少数 =商+余数”是学生很容易与“至少数=商+1”混淆的一点， 所以我先保留该结论，然后围绕该结论往下教学，在后面 让学生发现错误并纠正。教学进程也顺利完成。
八、说教学反思
• 1、游戏引入新课。我以“四人坐三把椅子，总有一把椅子上至少做 两个人”的游戏导入新课，不仅是激发学生的兴趣，而且为新课学习 做铺垫，更重要的是让学生体会数学与生活的联系。 • 2、在新课的探知过程，我注重小组的合作探究，让学生合作摆放， 先以学生动手操作的方式来理解抽象的数学知识，再借助多媒体课件 的展示，让学生直观的得出正确的答案，加深对知识的理解。 • 3、在探究内容的呈现及板书中，我一方面从简单的数据开始摆放， 有助于学生的操作和观察、理解，也有助于调动所有的学生积极参与 进来。另一方面，注重层次性，先以物体数比抽屉数多1的三种情况， 让学生从中发现规律:只要物体数比抽屉数多1，总有一个抽屉里至少 放进两个物体；再者注意物体数量变，抽屉数量不变，及物体数量不 变，抽屉数量变的设计，无意识中呈现每一种情况，有利于学生发现 “只要物体数比抽屉数多，总有一个抽屉里至少放进两个物体的结论 也成立”。从板书的呈现上更直观地发现“至少数=商+1”的规律。
数学广角 抽屉原理
在计算几何中，抽屉原理可以帮助我们解决一些几何问题， 例如在计算多边形的最小面积或最小周长时，可以利用抽屉 原理来推导其结果。
04 抽屉原理的扩展
超限归纳法
定义
超限归纳法是一种数学归纳法的 扩展，它不仅适用于自然数，还 适用于实数、复数等更广泛的数
域。
应用
超限归纳法在数学分析、实变函数、 复变函数等领域有着广泛的应用， 用于证明一些关于数列、函数等性 质的命题。
03 抽屉原理的应用
组合数学中的应用
鸽笼原理
在组合数学中，鸽笼原理 （Pigeonhole Principle）是抽 屉原理的一种应用，它表明如果 n+1个元素被放入n个容器中， 至少有一个容器包含两个或以上
的元素。
整数划分问题
抽屉原理可以应用于整数划分问 题，例如将n个整数划分为若干 组，使得每组的最大值不超过给 定的限制，证明至少有一组包含
概率分布的性质
在研究概率分布的性质时，抽屉原理可以帮助我们证明一些重要的不等式和性 质，例如在研究随机变量的期望和方差时，可以利用抽屉原理来推导其性质。
计算机科学中的应用
数据结构和算法设计
在计算机科学中，抽屉原理可以应用于数据结构和算法设计 ，例如在设计和分析优先队列、堆等数据结构时，可以利用 抽屉原理来证明其正确性和效率。
证明方法三：数学归纳法
总结词
数学归纳法是通过归纳推理来证明结论的正确性。
详细描述
首先，我们证明当n=1时，结论成立。然后，我们假 设当n=k时结论成立，即存在k+1个物品可以放入k个 抽屉中。接着，我们考虑当n=k+1时的情况，如果第 k+1个物品与前k个物品中的任何一个都不相同，那么 它可以放入相应的抽屉中。但如果它与前k个物品中的 某个物品相同，那么根据归纳假设，这个物品只能放 入之前已经放入的抽屉中。因此，无论哪种情况，第 k+1个物品都可以放入某个抽屉中，证明了结论的正 确性。
抽屉原理优秀教案知识讲解
抽屉原理优秀教案《数学广角——抽屉原理》实验小学潘聪聪《数学广角——抽屉原理》【教学内容】：我说讲课的内容是人教版六年级数学下册数学广角《抽屉原理》第一课时，也就是教材70-71页的例1和例2。
【教学目标】：知识与技能：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，建立数学模型，发现规律。
渗透“建模”思想。
过程与方法：经历从具体到抽象的探究过程，提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。
情感与态度：通过“抽屉原理”的灵活应用，提高学生解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。
【教学重点】：1、经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”。
2、“总有”“至少”具体含义，以及为什么商+1而不是加余数。
【教学难点】：理解“抽屉原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
【教法和学法】：以学生为课堂的主体，采用创设情境，提出问题，让学生动手操作、自主探究、合作交流。
【教学准备】：一定数量的笔、铅笔盒、课件。
【教学过程】：一、游戏激趣，初步体验师：同学们喜欢做游戏吗？学习新课之前，我们先做个游戏，老师这里准备了2张凳子，请3个同学上来，（找生）听清要求，老师说“请坐”时，每个同学必须都坐下，谁没坐下谁犯规，（师背对）听明白了吗？好“请坐！”告诉老师他们都坐下了吗？老师不用看，就知道一定有一张凳子上至少坐了两名同学，对吗？假如请这3位同学再反复坐几次，老师还敢肯定地说：“不管怎么坐，总有一张凳子上至少坐2名同学，你们相信吗？其实这个游戏里面蕴藏着一个非常有趣的数学原理，想不想通过自己动手实践来发现它？【设计意图：在课前进行的游戏激趣，一是激发学生的兴趣，引起探究的愿望；二为今天的探究埋下伏笔。
】二、操作探究，发现规律1、小组合作，初步感知。
师：下面我们先从简单的情况入手，请看大屏幕（出示例1：4只铅笔放入3个盒子中），有几种不同的放法？你能得到什么结论？下面我们小组合作（出示合作要求，请生读要求），看哪组动作最快？（1）、学生动手操作，讨论交流，老师巡视，指导；（2）、全班交流。
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把4枝笔放 进3个盒子中。
不管怎么放, 总有一个盒 子里至少放 进2枝笔.
你能用更直接的方法 ， 只摆一种情况，就能得到 这个结论吗？通过这样摆 放 你 有 什 么 发 现 ？
不管怎么放,总有 一个盒子里至少放 进2枝铅笔.
总有
至少
总有一个笔筒里至少放进2枝铅笔
把4枝铅笔放进3个笔筒里
如果每个笔筒里放1枝铅笔， 最多放（ 3 ）枝铅笔， 剩下的（ 1 ）枝铅笔 还要放进其中一个笔筒里， 所以，总有一个笔筒里至少放（ 2 ）枝铅笔。
抽屉原理（二）
• 把a个物体放进n个抽 屉，若a÷n=b……c (c≠0 ,c<n ) 则一定有一个抽屉至少 放了______ 个物体。
比一比：两个抽屉原理有 何区别？
• “原理1”和“原理2”的区别是： 原理1苹果多，抽屉少，数量 比较接近；原理2虽然也是苹 果多，抽屉少，但是数量相差 较大，苹果个数比抽屉个数的 几倍还多几。
1、六年级共有140人，至少有 （ 5 ）人在同一天生日。
2、有25个玩具，放在4个箱 子里，有一个箱子里至少有 （ 7 ）个玩具。
1、一副扑克牌，拿走两个王。 至少抽出多少张，才能保证至少 有两张牌花色相同？ 2、一副扑克牌，拿走两个王。 至少抽出多少张，才能保证至少 有两张牌大小相同？
有黑色、白色、黄色的筷子各8根， 混杂在一起，黑暗中想从这些筷子中取 出颜色相同的一双筷子，问至少要取多 少根才能保证达到要求？为什么？ 如果要取出颜色相同的两双筷子，问至 少要取多少根才能保证达到要求？
•试说明：在任意的38 人中，至少有四人的 属相相同。
•1）把23只笔放入3 个笔筒中，至少有 一个笔筒的笔不少 于几只？为什么？
•2）小王把11本书放 进3个书包里，至少 有几本书放入同一个 书包里？为什么？
•3）张叔叔参加飞镖 比赛，投了5镖，成 绩是41环，张叔叔至 少有一镖不低于9环， 为什么？
看看有几种 放法？通过 观察，你发 现了什么？
如果一共有7本书会怎样呢？ 如果一共有9本书会怎样呢？
把13只小兔子关在5个笼子里，至少 有多少只兔子要关在同一个笼子里?
一盒围棋棋子，黑白子混放，我们任意摸出 3个棋子，至少有2个棋子是同颜色的，为什 么？
六年级四个班的学生去春游， 自由活动时，有6个同学在一起，可 以肯定， 。为什么？
(7) 一副扑克牌有四种花色，从中随意抽 牌，问：最少要抽出多少张牌，才能保证有 两张牌是同一花色的？
4种花 抽 牌
4个抽屉
(8) 用三种颜色给正方体的各面涂色（每面只
涂一种颜色），请你证明至少有两个面涂 色相同。
三种色 6个面
(9) 六年级四个班去春游，自由活动时，有 6个同学聚在一起，可以肯定，这6个同 学至少有2个人是同一个班的。
同一个星期过生日，为什么？
55÷52=1„„3 1+1=2
1、有8只鸽子飞入7个笼子里，总 有一个笼子里至少有多少只鸽子？
8÷7=1„„1 1+1=2
2、有一些鸽子飞入7个笼子里，为 了保证有其中一个笼子里至少有4 鸽子，那么这些鸽子至少有多少只？ 7×（4－1）＋1=22（只）
每个笼子平均 分后的数量 再加上余数的 1个
如果每个鸽舍里飞进一只鸽子，最多飞进5只鸽子， 剩下的2只鸽子飞进其中的一个鸽舍里或分别飞进两 所以，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里。 个鸽舍里，
做一做：8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有（ 3 ） 只鸽子要飞进同一个鸽舍。为什么？
我们先让一个鸽舍里飞进2只鸽子，3个鸽舍最多可飞进6 只鸽子，还剩下2只鸽子，无论怎么飞，所以至少有3只 鸽子要飞进同一个笼子里。
把5枝笔放 进3个盒子中。
• 把6枝笔放进4个盒子呢？ 把5枝笔放进2个盒子呢？
“ 抽屉原理”又称“鸽笼原理”，最先 是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的， 所以又称“狄里克雷原理”，这一原理在解 决实际问题中有着广泛的应用。“抽屉原理” 的应用是千变万化的，用它可以解决许多有 趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的 结果。下面我们应用这一原理解决问题。
3、如果把100个苹果放入99个抽屉中， 至少有几个放到同一个抽屉里呢？ （2个）
1、如果把6个苹果放入4个抽屉中， 至少有几个苹果被放到同一个抽 屉里呢？ （2个）
2、如果把8个苹果放入5个抽屉中， 至少有几个苹果被放到同一个抽 屉里呢？ （2个）
你发现了什么规律？
只要物体数量是抽屉数 量的1倍多，总有一个抽屉 里 至少放进2个的物体。
1、把一些铅笔放进3个文具盒中，保证 其中一个文具盒至少有4枝铅笔，原来至 少有多少枝铅笔？
2、把我们班至少有10人在同一个月里生 日，请问我们班至少有多少人？
1、某班有37名小学生,他们都订阅了《小朋友》、 《儿童时代》、《少年报》中的一种或几种,那么其中 至少有名学生订的报刊种类完全相同.
2、从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一 双手套 ，对吗？ 3、从数1，2，。。。，10中任取6个数，其中至少有 2个数为奇偶性相同。
初一有47名同学参加一次数学 竞赛，成绩都是整数，满分 100分。已知3名同学的成绩在 60分以下，其余同学的成绩在 75——95分之间，问：至少有 几名同学的成绩相同？
• 学校图书馆有语文，数学，英语 三类图书，每个学生从中借阅两 本。那么至少有几个同学借阅才 能保证其中一定有两个人所借阅 的图书属于同一种类？
4、体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班 50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿１个球，至 多拿２个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致 的？
例：把一些铅笔放进3个文具盒中，保证其中 一个文具盒至少有4枝铅笔，原来至少有多少 枝铅笔？ 至少：只有一个文具盒有 4 枝， 其余都是 枝 （4-1）
5÷2=2……1
3、把7本书进2个抽屉中，不管怎么放， 总有一个抽屉至少放进多少本书？为什 么？
7÷2=3……1
3、把9本书进2个抽屉中，不管怎么放，总有 一个抽屉至少放进多少本书？为什么？
9÷2=4……1
抽屉原理
在有些问题中,“抽屉”和“苹果”不 是很明显, 需要我们制造出“抽屉”和 “苹果”. 制造出“抽屉”和“苹果” 是比较困难的,这一方面需要同学们去分 析题目中的 条件和问题,另一方面需要多做
把5枝笔放 进4个盒子中。
把5枝铅笔放在4个文具盒里，还是 不管怎么放,总有一个文具盒里至少放进 了2枝铅笔吗？
为什么会有这样 的结果？
这样分实际上是怎样在分？ 怎样列式？
平均分
讨论：
把6枝铅笔放在4个文具 盒里，会有什么结果呢？
把5个苹果放进4个抽屉里，不管怎么 放总有一个抽屉里至少有（ ）苹果。
8÷3=2……2
七只鸽子飞回五个鸽舍，至少有两只鸽 子飞回同一个鸽舍里，为什么？
计算绝招 至少数=商数+1
计算绝招
物体数÷抽屉数
至少数=商数+1
整除时 至少数=商数
大家玩过石头.剪刀.布的 游戏吗?如果请一位同学 任意划四次,肯定至少有2 次划出的手势是一样的。 想：把什么当作抽屉，把 什么当作要分的物体？
•4）25个玻璃球最多放进 几个盒子，才能保证至 少有一个盒子有5个玻璃 球？ •5）把248本书分给六（2） 学生，如果其中至少有1 人分到7本书，那么，这 个班最多有多少人？
课堂小结
1用抽屉原理解题的步骤： （1）分析题意：找好“抽屉”与“苹果”。 （2）设计抽屉原理。（有时需要构造抽屉） （3）运用原理，得出“抽屉”中分 放“苹果”的个数。 2体会由特殊到一般解决问题的数学思想。
19÷4=4„„3 4＋1=5
1、某小学今年入学的一年级新生中有121名 学生，这些新生中至少有11人是同一个月出 生的。为什么？
121÷12=10„„1
10+1=11
2、麻湖小学六年级学生有31人是9月份出生
的，至少有多少人出生在同一天？
31÷30=1„„1 1+1=2
3、六年级共有男生55人，至少有2名男生在
游戏：你藏我猜
规则： 把3个小球藏到两个抽 屉里，必须把小球放进抽屉，让 我来猜猜，大家判断我猜的是否 对？
六年级数学下册《数学广角》
抽屉原理(一)
小组合作
把四根小棒放 进三个纸杯中 有几种放法？
不管怎么放，至少 有2根小棒要放进同 一个纸杯里.
看看有几种放法？ 通过摆放，你发 现 了 什 么 ？
5可以分成（5、0、0、 0）、（4、1、0、 0）、（3、2、0、0）、（ 3、1、1、0） （2、2、1、0）、（2、1、1、1）
5÷4=1（个）……1（个）
1、如果把6个苹果放入5个抽屉中，至 少有几个放到同一个抽屉里？ （2个） 2、如果把7个苹果放入6个抽屉中，至 少有几个放到同一个抽屉里呢？ （2个）
3 3 3 +1 3×(4-1)+1=10（枝） 求总数=抽屉×（至少-1）+1 其中一个多1 要分的份数
3
抽屉原理(二)
忆一忆 • 8只 在7棵 上玩 耍，在同一棵 至少 有 在玩耍，为什 么？
•把5个苹果放进2个抽屉 里，不管怎么放，总有 一个抽屉里至少有几个 苹果？
• 把7个苹果放进2个抽屉里， 不管怎么放，总有一个抽屉 里至少有几个苹果？ • 把9个苹果放进2个抽屉里， 不管怎么放，总有一个抽屉 里至少有几个苹果？
4个班
6.1
6.2
6.3
6个
同学
(10) 从2、4、6、8、……24、26这13个连续的 偶数中，任取8个数，证明其中一定两个 数之和是28。
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26
（4，24）（6，22） （8，20） （2，26）
（10，18） （12，16） （14）