高宏2014年第1次习题课
2014年高考数学(文)二轮配套教案:第一部分 专题复习篇 专题一 第四讲

第四讲转化与化归思想1.转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而使问题得到解决的一种数学方法.一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.2.转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据,如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等,消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想,我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化,在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化,注重知识的综合性.3.转化与化归思想的原则(1)熟悉已知化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,将未知的问题转化为已知的问题,以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.(2)简单化原则:将复杂问题转化为简单问题,如三维空间问题转化为二维平面问题,通过简单问题的解决思路和方法,获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的.(3)具体化原则:化归方向应由抽象到具体.(4)和谐统一原则:转化问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式;或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.(5)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,应想到问题的反面;或问题的正面较复杂时,其反面一般是简单的;设法从问题的反面去探求,使问题获得解决.1. (2012·北京)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=错误!,S 2=a 3,则a 2=________。
答案 1解析 设出等差数列的公差,列方程求解.设{a n }的公差为d ,由S 2=a 3知,a 1+a 2=a 3,即2a 1+d =a 1+2d ,又a 1=12,所以d =错误!,故a 2=a 1+d =1。
2014高考数学(文)一轮复习课件选修系列不等式选讲

考纲解读 考向预测 课前热身
考点突破
即时巩固 课后拔高
考点 六 考点 五 考点 四 考点 三 考点 二 考点 一
真题再现 误区警示 规律探究
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2014高考数学第一轮复习第40课时—不等式的证明(一)

一、课题:不等式的证明(一)
一.复习目标:
1.掌握并灵活运用分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.
二.知识要点:
1.不等式证明的几种常见方法:.2.综合法常常用到如下公式:
(1);(2);(3);
(4);(5).
三.课前预习:
1.设,那么()
2.已知,则的最小值.
四.例题分析:
例1.(1)若,求证:;
(2)已知为不相等的正数,且,求证:.
小结:
例2.设实数满足,求证:.
小结:
例3.设,求证:.
例4.已知是定义在上的增函数,,
(1)设,若数列满足,,试写出数列的通项公式;(2)求⑴中数列的前项和;
(3)证明:若,则.
五.课后作业:班级学号姓名1.设和是不相等的正数,则的大小关系是.
2.已知:.
求证: .
3.若,求证:.
4.已知是的三边,求证:.
5.已知,求证:.
6.若,,求证:(1);(2).。
2014年高考全程复习构想高三文科科一轮复习资料1-11章课时训练1.2.1

6.已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线3x-y+2=0平行,若数列{}的前n项和为Sn,则S2011的值为()
A.B.
C.D.
解析:f′(x)=2x+b,由f′(1)=2+b=3,得b=1.
于是===-,
S2011=++…+=1-+-+…+-=1-=.
答案:D
答案:y=-x+π-1
8.若曲线f(x)=ax3+lnx存在垂直于x轴的切线,则实数a的取值范围是__________.
解析:依题意得f′(x)=3ax2+=0,(x>0)有实根,
∴a=-角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线斜率为2,则点P的坐标为__________.
答案:D
3.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()
A.[0,) B.[,)
C.(,] D.[,π)
解析:设曲线在点P处的切线斜率为k,则k=y′==,因为ex>0,所以由基本不等式得k≥,又k<0,∴-1≤k<0,即-1≤tanα<0,所以≤α<π.
答案:D
4.有一机器人的运动方程为s=t2+(t是时间,s是位移),则该机器人在时刻t=2时的瞬时速度为()
A.B.
C.D.
解析:∵s(t)=t2+,∴s′(t)=2t-,∴机器人在时刻t=2时的瞬时速度为s′(2)=4-=.
答案:D
5.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+x2,则f′(1)=()
A.-1 B.-2C.1 D.2
解析:f′(x)=2f′(1)+2x,令x=1,得f′(1)=-2,选B.
2014年高考数学 专家讲坛 (体验真题+把脉考向+典例展示+名师推荐)第1讲 函数的图象与性质(含

第一讲 函数的图象与性质真题试做►———————————————————1.(2013·高考某某卷)函数y =x ln(1-x )的定义域为( ) A .(0,1) B .[0,1) C .(0,1] D .[0,1]2.(2013·高考卷)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )A .y =1xB .y =e -xC .y =-x 2+1 D .y =lg|x |3.(2013·高考某某卷)函数y =x 33x -1的图象大致是( )4.(2013·高考某某卷)已知f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,且f (-1)+g (1)=2,f (1)+g (-1)=4,则g (1)等于( )A .4B .3C .2D .1考情分析►———————————————————高考对函数图象和性质的考查多以选择题、填空题的形式出现,若是解答题,多与导数结合命题,试题难度较大.对函数图象性质的考查多考查函数的定义域、函数的周期性、奇偶性以及单调性的结合,而对图象的考查,一是识图;二是用图,即利用图象来解决问题.考点一 函数及其表示(1)给定函数解析式求定义域及值域;(2)给出分段函数表达式结合函数的性质求值,分段函数问题是近几年高考的一个热点.(1)(2013·高考某某卷)函数y =ln(1+1x)+1-x 2的定义域为________;(2)已知实数a ≠0,函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +a , x <1,-x -2a ,x ≥1.若f (1-a )=f (1+a ),则a 的值为________.【思路点拨】 (1)列出函数有意义的限制条件,解不等式组.(2)解题的关键是考虑f (1-a )和f (1+a )需要代入解析式的哪一段,进而需讨论1-a 和1+a 与1的大小关系,即a 与0的大小关系,构造关于a 的方程求解.(1)根据具体函数y=f(x)求定义域时,只要构建使解析式有意义的不等式(组)求解即可.(2)根据抽象函数求定义域时:①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出;②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域.(3)求f(g(x))类型的函数值时,应遵循先内后外的原则,而对于分段函数的求值问题,必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.强化训练1 (1)在实数的原有运算中,我们定义新运算“⊕”如下:当a≥b时,a⊕b =a;当a<b时,a⊕b=b2.设函数f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈[-2,2],则函数f(x)的值域为________;(2)若将例1(2)中“f(1-a)=f(1+a)”变为“f(1-a)≥f(1+a)”,则a的取值X围是________.考点二函数的图象(1)已知函数的解析式判定函数的图象,(2)利用一些基本初等函数的图象,通过伸缩变换、平移变换、对称变换得到一些新的函数的图象.(3)在解方程或不等式问题时,利用图象求交点个数或解集的X围,是高考考查的热点,常以选择题形式考查,难度中档.(1)(2013·高考某某卷)函数f(x)=ln x的图象与函数g(x)=x2-4x+4的图象的交点个数为( )A.0B.1C.2 D.3(2)(2013·东城模拟)如图,半径为2的⊙O与直线MN相切于点P,射线PK从PN出发绕点P逆时针方向旋转到PM,旋转过程中,PK交⊙O于点Q,设∠POQ为x,弓形PmQ的面积为S=f(x),那么f(x)的图象大致是( )【思路点拨】(1)作出两个函数的图象,利用数形结合思想求解.(2)由于弓形PmQ的面积随角x的变化而变化,且其形状以x=π为分界,故应分0≤x≤π和π<x≤2π两种情况求其解析式,然后再作图.(1)作图、识图、用图的方法技巧①作图:应依据函数的性质,注意在定义域内选取关键的一部分点连接而成.②识图:在观察、分析图象时,要注意到图象的分布及变化趋势,具有的性质,找准解析式与图象的对应关系.③用图:在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系,结合图象研究.但是,在利用图象求交点个数或解的个数时,作图要十分准确,否则容易出错.(2)函数图象的对称性①若函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x ),即f (x )=f (2a -x ),则f (x )的图象关于直线x =a 对称.②若函数y =f (x )满足f (a +x )=-f (a -x ),即f (x )=-f (2a -x ),则f (x )的图象关于点(a ,0)对称.③若函数y =f (x )满足f (a +x )=f (b -x ),则函数f (x )的图象关于直线x =a +b2对称.强化训练2 (1)(2013·高考某某卷)如图,已知l 1⊥l 2,圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t =0时与l 2相切于点A ,圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ,令y =cos x ,则y 与时间t (0≤t ≤1,单位:s)的函数y =f (t )的图象大致为( )(2)(2012·高考某某卷)已知定义在区间[0,2]上的函数y =f (x )的图象如图所示,则y =-f (2-x )的图象为( )考点三 函数的性质(1)给出具体函数,判定函数的单调性与奇偶性.(2)已知函数单调性与奇偶性求参数X 围及求函数的单调区间等.(1)(2013·某某省某某市高三双基测试)下列函数中,与函数y =-3|x |的奇偶性相同,且在(-∞,0)上单调性也相同的是( )A .y =-1xB .y =log 2|x |C .y =1-x 2D .y =x 3-1(2)(2013·高考某某卷)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a 满足f (log 2a )+f (log 12a )≤2f (1),则a 的取值X 围是( )A .[1,2] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2 D .(0,2] 【思路点拨】 (1)先确定y =-3|x |的奇偶性及单调性,再验证. (2)根据函数的单调性和奇偶性得出关于a 的不等式求解. (1)求解这类涉及函数性质的题目时,既要充分利用题目的已知条件进行直接的推理、判断,又要合理地运用函数性质之间的联系,结合已知的结论进行间接地判断,若能画出图象的简单草图,“看图说话”,往往起到引领思维方向的作用.(2)判断函数的单调性的一般规律:对于选择、填空题,若能画出图象,一般用数形结合法;而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题;对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式、三角函数式等较复杂的用导数法;对于抽象函数一般用定义法.强化训练3 (1)(2012·高考某某卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x +6)=f (x ),当-3≤x <-1时,f (x )=-(x +2)2;当-1≤x <3时,f (x )=x .则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2 012)=( )A .335B .338C .1 678D .2 012(2)(2013·高考某某卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=x 2-4x ,则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________.新定义型试题的解题技巧——函数中的新定义问题“创新是一个民族进步的灵魂、是一个国家兴旺发达的不竭动力”;在这个充满挑战的年代里,创新也是机遇;做学生、迎高考,关注试题创新是应该的也是必须的;君不见年年高考有新题、岁岁选拔有新招.也正是“新题”、“新招”才将考生分出了三、六、九等;在命题中创设新颖的问题情境,构造有一定深度和广度的数学问题,从定义型、多样型、发散型、研究型、探索型、开放型入手设计试题是近年命题创新的整体趋势,因此必须引起我们的重视,但对于考生来说,有些题目存在一定难度,解决此类问题要依据题目所给条件或提供的信息,结合所学知识选择合适方法求解.(2013·高考某某卷节选)已知函数f (x )=a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x -12,a 为常数且a >0. (1)证明:函数f (x )的图象关于直线x =12对称;(2)若x 0满足f (f (x 0))=x 0,但f (x 0)≠x 0,则称x 0为函数f (x )的二阶周期点.如果f (x )有两个二阶周期点x 1,x 2,试确定a 的取值X 围.(1)要证f (x )的图象关于直线x =12对称,只需证明f (12+x )=f (12-x ).(2)二阶周期点的定义给出了两个条件:一是x 0满足f (f (x 0))=x 0;二是f (x 0)≠x 0,求解时关键表示出f (f (x )),由于f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2axx ≤122a -2axx >12,再表示f (f (x ))时,应确定2ax 及2a-2ax 的X 围,从而对a 要分类讨论.抓关键 寻思路【解】 (1)证明:因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12+x =a (1-2|x |), f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12-x =a (1-2|x |),有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12+x =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12-x , 所以函数f (x )的图象关于直线x =12对称.(2)当0<a <12时,有f (f (x ))=⎝⎛4a 2x , x ≤12,4a 2(1-x ),x >12,所以f (f (x ))=x 只有一个解x =0. 又f (0)=0,故0不是二阶周期点.当a =12时,有f (f (x ))=⎩⎪⎨⎪⎧x , x ≤12,1-x ,x >12,所以f (f (x ))=x 有解集⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤12.又当x ≤12时,f (x )=x ,故⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤12中的所有点都不是二阶周期点. 当a >12时,有f (f (x ))=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧4a 2x ,x ≤14a,2a -4a 2x ,14a <x ≤12,2a (1-2a )+4a 2x ,12<x ≤4a -14a ,4a 2-4a 2x ,x >4a -14a,所以f (f (x ))=x 有四个解:0,2a 1+4a 2,2a 1+2a ,4a21+4a2.又f (0)=0,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 1+2a =2a 1+2a ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 1+4a 2≠2a 1+4a 2,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 21+4a 2≠4a 21+4a 2, 故只有2a 1+4a 2,4a21+4a2是f (x )的二阶周期点.综上所述,所求a 的取值X 围为a >12.跟踪训练 (2013·某某市高中毕业班第二次诊断性检测)对于定义在区间D 上的函数f (x ),若满足对∀x 1,x 2∈D 且 x 1<x 2时都有f (x 1)≥f (x 2),则称函数f (x )为区间D 上的“非增函数”.若f (x )为区间[0,1]上的“非增函数”且f (0)=1,f (x )+f (1-x )=1,又当x ∈[0,14]时,f (x )≤-2x +1恒成立.有下列命题:①∀x ∈[0,1],f (x )≥0;②当x 1,x 2∈[0,1]且x 1≠x 2时,f (x 1)≠f (x 2);③f (18)+f (511)+f (713)+f (78)=2;④当x ∈[0,14]时,f (f (x ))≤f (x ).其中你认为正确的所有命题的序号为________.体验真题·把脉考向_1.【解析】选B.因为y =x ln(1-x ),所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,1-x >0,解得0≤x <1.2.【解析】选C.A 项,y =1x是奇函数,故不正确;B 项,y =e -x为非奇非偶函数,故不正确;C ,D 两项中的两个函数都是偶函数,且y =-x 2+1在(0,+∞)上是减函数,y =lg|x |在(0,+∞)上是增函数,故选C.3.【解析】选C.由3x-1≠0得x ≠0,∴函数y =x 33x -1的定义域为{x |x ≠0},可排除选项A ;当x =-1时,y =(-1)313-1=32>0,可排除选项B ;当x =2时,y =1,当x =4时,y=6480,但从选项D 的函数图象可以看出函数在(0,+∞)上是单调递增函数,两者矛盾,可排除选项D.故选C.4.【解析】选B.∵f (x )是奇函数,∴f (-1)=-f (1). 又g (x )是偶函数, ∴g (-1)=g (1).∵f (-1)+g (1)=2,∴g (1)-f (1)=2.① 又f (1)+g (-1)=4,∴f (1)+g (1)=4.② 由①②,得g (1)=3. _典例展示·解密高考_【例1】【解析】(1)要使函数有意义,需⎩⎪⎨⎪⎧1+1x >0,1-x 2≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧x +1x >0,x 2≤1,即⎩⎪⎨⎪⎧x <-1或x >0,-1≤x ≤1,解得0<x ≤1,所以定义域为(0,1].(2)当a <0时,f (1-a )=f (1+a )⇔-(1-a )-2a =2(1+a )+a ⇔a =-34;当a >0时,f (1-a )=f (1+a )⇔2(1-a )+a =-(1+a )-2a ⇔a =-32(舍去),所以a =-34. 【答案】(1)(0,1] (2)-34[强化训练1]【解析】(1)由题意知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -2,x ∈[-2,1]x 3-2,x ∈(1,2].当x ∈[-2,1]时,f (x )∈[-4,-1];当x ∈(1,2]时,f (x )∈(-1,6],∴当x ∈[-2,2]时,f (x )∈[-4,6].(2)当a >0时,由f (1-a )≥f (1+a )得:(2-2a )+a ≥-1-a -2a ,解得a ≥-32.所以a >0;当a <0时,由f (1-a )≥f (1+a )得:-1+a -2a ≥2+2a +a ,解得a ≤-34,综上可知a 的取值X 围为(-∞,-34]∪(0,+∞).【答案】(1)[-4,6] (2)(-∞,-34]∪(0,+∞)【例2】【解析】(1)g (x )=x 2-4x +4=(x -2)2,在同一平面直角坐标系内画出函数f (x )=ln x 与g (x )=(x -2)2的图象(如图).由图可得两个函数的图象有2个交点.(2)依题意得,当0≤x ≤π时,f (x )=2x -2sin x ;当π<x ≤2π时,f (x )=2x +2sin(2π-x )=2x -2sin x .故f (x )=2x -2sin x ,0≤x ≤2π.该函数不是分段的,可以排除选项A 、B ;再根据函数f (x )在x =π2时,f (x )=π-2<π2,排除选项C.【答案】(1)C (2)D[强化训练2]【解析】(1)选B.法一:取特值x =0时t =0,则y =1,排除A ,D ,取x =π2时,t =1-22≈0.3<0.5,故选B. 法二:依题意可知cos x2=1-t ,则y =cos x =2cos 2x2-1=2(1-t )2-1(0≤t ≤1),故选B.(2)选B.y =f (x )和y =f (2-x )的图象关于直线x =1对称,因此y =f (2-x )是A 图,而y =-f (2-x )和y =f (2-x )的图象关于x 轴对称,因此,故选B.【例3】【解析】(1)函数y =-3|x |为偶函数,在(-∞,0)上为增函数,选项B 是偶函数但单调性不符合,只有选项C 符合要求.(2)∵f (log 12a )=f (-log 2a )=f (log 2a ),∴原不等式可化为f (log 2a )≤f (1).又∵f (x )在区间[0,+∞)上单调递增,∴0≤log 2a ≤1,即1≤a ≤2.∵f (x )是偶函数,∴f (log 2a )≤f (-1).又f (x )在区间(-∞,0]上单调递减,∴-1≤log 2a ≤0,∴12≤a ≤1.综上可知12≤a≤2.【答案】(1)C (2)C[强化训练3]【解析】(1)∵f (x +6)=f (x ),∴T =6.∵当-3≤x <-1时,f (x )=-(x +2)2; 当-1≤x <3时,f (x )=x ,∴f (1)=1,f (2)=2,f (3)=f (-3)=-1,f (4)=f (-2)=0,f (5)=f (-1)=-1,f (6)=f (0)=0,∴f (1)+f (2)+…+f (6)=1,∴f (1)+f (2)+…+f (6)=f (7)+f (8)+…+f (12) =…=f (2 005)+f (2 006)+…+f (2 010)=1,∴f (1)+f (2)+…+f (2 010)=1×2 0106=335.而f (2 011)+f (2 012)=f (1)+f (2)=3, ∴f (1)+f (2)+…+f (2 012)=335+3=338.(2)设x <0,则-x >0,于是f (-x )=x 2+4x ,由于f (x )是R 上的奇函数,所以-f (x )=x 2+4x ,即f (x )=-x 2-4x ,且f (0)=0,于是f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x ,x >0,0,x =0,-x 2-4x ,x <0.当x >0时,由x2-4x >x 得x >5;当x <0时,由-x 2-4x >x 得-5<x <0,故不等式的解集为(-5,0)∪(5,+∞).【答案】(1)B (2)(-5,0)∪(5,+∞) _名师讲坛·精彩推荐_[跟踪训练]【解析】f (0)=1,f (x )+f (1-x )=1,令x =1得,f (1)=0,即0=f (1)≤f (x )≤f (0)=1,①正确;令x =12得,f (12)=12,令x =34,得f (34)=1-f (14)≤f (14),得f (14)≥12,又f (x )≤-2x +1在x ∈[0,14]上恒成立,所以f (14)≤-12+1=12,所以f (14)=12,结合“非增函数”的定义可知,当x ∈[14,12]时,f (x )=12,即②错;对于③,显然f (18)+f (78)=1,又当x ∈[14,12]时,f (x )=12,所以f (511)=f (613)=12,又f (613)+f (713)=1,所以f (713)=12,即③正确;对于④,令f (x )=t ,不等式左边为f (t ),右边为f (x ),当x ∈[0,14]时,t =f (x )∈[12,1],f (t )∈[0,12],f (t )≤f (x ),即④正确,故填①③④. 【答案】①③④。
【全程复习方略】(广东专用)2014年高考数学 第一章 第一节 集合课时作业 理 新人教A版

【全程复习方略】(某某专用)2014年高考数学第一章第一节集合课时作业理新人教A版一、选择题1.已知集合A={0,1},B={-1,0,a+3},且A⊆B,则a等于( )(A)1 (B)0 (C)-2 (D)-3A)∩B= ( )2.(2013·某某模拟)设全集U=R,集合A={x|x≥2},B={x|0≤x<5},则集合(U(A){x|0<x<2} (B){x|0≤x<2}(C){x|0<x≤2} (D){x|0≤x≤2}3.(2013·某某模拟)若集合M={x|-2<x<3},N={y|y=x2+1,x∈R},则集合M∩N=( ) (A)(-2,+∞) (B)(-2,3)(C)[1,3) (D)R4.(2013·某某六校联考)已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,-2}和N={x|x2+2x>0}关系的韦恩(Venn)图是( )5.(2013·某某模拟)设全集U=R,A={x|y=},B={y|y=2x,x∈R},则A∪B=( ) (A){x|x≥0} (B){x|0<x≤1}(C){x|1<x≤2} (D){x|x>2}6.(2013·某某模拟)已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},则M∩N=( ) (A)(0,1),(1,2) (B){(0,1),(1,2)}(C){y|y=1或y=2} (D){y|y≥1}(M∩N)= ( )7.已知集合M={x|y=},N={x|y=log2(x-2x2)},则R(A)(,) (B)(-∞,)∪[,+∞)(C)[0,] (D)(-∞,0]∪[,+∞)E) 8.设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合E={x|x2-3x+2=0,x∈R},F={x|cos=0,x∈R},则(U∩F= ( )(A){-3,-1,0,3} (B){-3,-1,3}(C){-3,-1,1,3} (D){-3,3}9.已知集合A={x|x2+x+1=0},若A∩R=⌀,则实数m的取值X围是( )(A)m<4 (B)m>4(C)0≤m<4 (D)0≤m≤410.如图所示,A,B是非空集合,定义集合A#B为阴影部分表示的集合.若x,y∈R,A={x|y=},B={y|y=3x,x>0},则A#B为()(A){x|0<x<2} (B){x|1<x≤2}(C){x|0≤x≤1或x≥2} (D){x|0≤x≤1或x>2}二、填空题11.已知集合A={x∈N|∈N},则集合A的所有子集是.12.已知A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},B≠⌀,且B⊆A,则m的取值X围是.13.已知集合A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2+ax+b≤0},若A∪B=R,A∩B={x|3<x≤4},则a+b的值等于.14.(能力挑战题)设S为复数集C的非空子集.若对任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,则称S 为封闭集.下列命题:①集合S={a+bi|a,b为整数,i为虚数单位}为封闭集;②若S为封闭集,则一定有0∈S;③封闭集一定是无限集;④若S为封闭集,则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集.其中真命题有(写出所有真命题的序号).三、解答题15.(能力挑战题)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},A)∩B=⌀,求m的值.若(U16.(2013·某某模拟)设全集是实数集R,A={x|2x2-7x+3≤0},B={x|x2+a<0},(1)当a=-4时,求A∩B和A∪B.A)∩B=B,某某数a的取值X围.(2)若(R答案解析1.【解析】选C.根据A⊆B,则只能是a+3=1,即a=-2.2.【解析】选B.∵A={x|x≥2},U=R,∴A={x|x<2}.U又B={x|0≤x<5},∴(A)∩B={x|x<2}∩{x|0≤x<5}U={x|0≤x<2}.3.【解析】选C.∵y=x2+1≥1,∴N={y|y≥1}.又M={x|-2<x<3},∴M∩N={x|1≤x<3}.4.【解析】选C.N={x|x2+2x>0}={x|x>0或x<-2},又M={-1,0,-2},N).∴M∩N=⌀且M⊆(U5.【解析】选A.集合A={x|0≤x≤2},B={y|y>0},∴A∪B={x|x≥0}.6.【解析】选D.集合M=[1,+∞),N=(-∞,+∞),所以M∩N=M.7.【解析】选B.集合M,N都是函数的定义域,其中M=[,+∞),N=(0,),所以M∩N=[,),其在实数集中补集(M∩N)=(-∞,)∪[,+∞).R8.【解析】选B.E={1,2},E={-3,-2,-1,0,3},UF={…,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,…},所以(E)∩F={-3,-1,3}.U9.【解析】选C.本题的实质是:在有意义的前提下,方程x2+x+1=0没有实数根.故m≥0且()2-4<0,即0≤m<4.10.【解析】选D.由2x-x2≥0得0≤x≤2,∴A={x|0≤x≤2}.由x>0得3x>1,∴B={y|y>1},∴A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1<x≤2},令U=A∪B,则A#B=(A∩B)={x|0≤x≤1或x>2}.U11.【思路点拨】由为自然数,知6-x应为8的正约数,从而确定x的值,再用列举法求解. 【解析】由题意可知6-x是8的正约数,所以6-x可以是1,2,4,8;相应的x可为5,4,2,即A={2,4,5}.∴A的所有子集为⌀,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5},{2,4,5}.答案:⌀,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5},{2,4,5}12.【解析】由题设知解之得,2≤m≤3.答案:[2,3]13.【解析】A={x|x<-1或x>3},∵A∪B=R,A∩B={x|3<x≤4},∴B={x|-1≤x≤4},∴a=-(-1+4)=-3,b=(-1)×4=-4,∴a+b=-7.答案:-714.【解析】设x=a1+b1i,y=a2+b2i,a1,b1,a2,b2为整数,则x+y=(a1+a2)+(b1+b2)i,x-y=(a1-a2)+(b1-b2)i,xy=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i,由于a1,b1,a2,b2为整数,故a1±a2,b1±b2,a1a2-b1b2,a1b2+a2b1都是整数,所以x+y,x-y,xy∈S,故集合S={a+bi|a,b为整数,i为虚数单位}为封闭集,①是真命题;若S是封闭集,且x=y∈S,则根据封闭集的定义,x-y=x-x=0∈S,故命题②正确;集合S={0},显然是封闭集,故封闭集不一定是无限集,命题③不正确;集合S={0}⊆{0,1}=T⊆C,容易验证集合T不是封闭集,故命题④不是真命题.答案:①②【方法技巧】集合新定义问题的解题技巧这种新定义的题目关键就是抓住新定义的本质,紧扣新定义进行推理论证,本题中就是根据封闭集满足其集合中的任意两个元素的和、差、积还是这个集合中的元素.判断一个元素是不是集合中的元素,就看这个元素是否符合集合中代表元素的特征.15.【思路点拨】求出集合A,根据集合的运算,得出集合的关系,转化为元素的关系求解. 【解析】方法一:A={-2,-1},由(A)∩B=⌀得B⊆A,U∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式:Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠⌀,∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}.①若B={-1},则m=1;②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3且m=(-1)·(-2)=2,由这两式得m=2.经检验知m=1和m=2符合条件.∴m=1或2.方法二:本题集合B中的方程的根是x1=-1,x2=-m.当-m≠-1时集合B={-1,-m},此时只能A=B,即m=2;当-m=-1时集合B={-1},此时集合B是集合A的真子集,也符合要求.∴m=1或2.【变式备选】设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中x∈R,如果A∩B=B,某某数a的取值X围.【解析】由A∩B=B得B⊆A,而A={-4,0},Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8,当Δ=8a+8<0,即a<-1时,B=⌀,符合B⊆A;当Δ=8a+8=0,即a=-1时,B={0},符合B⊆A;当Δ=8a+8>0,即a>-1时,B中有两个元素,而B⊆A={-4,0};∴B={-4,0}得a=1.∴a=1或a≤-1.16.【思路点拨】(1)先解不等式,求出解集,再求出交集与并集.(2)根据集合的运算性质转化为集合的关系,通过对a的取值进行分情况讨论求解. 【解析】A中:2x2-7x+3≤0,得≤x≤3,即A=[,3],(1)当a=-4时,B中x2-4<0得-2<x<2,B=(-2,2),∴A∩B=[,2),A∪B=(-2,3].(2)若(R A)∩B=B,则B⊆(RA),由题意得RA=(-∞,)∪(3,+∞).∴①当a≥0时,B=⌀,符合B⊆(RA);②当a<0时,B=(-,),由B⊆(RA)得≤,从而-≤a<0; 综合①②得a∈[-,+∞).。
2014年高考全程复习构想高三文科科一轮复习资料1-11章课时训练1.1.10

∴g(x)的零点是-和-.
答案:-,-
9.已知函数f(x)=logax+x-b(a>0,且a≠1).当2<a<3<b<4时,函数f(x)的零点x0∈(n,n+1),n∈N*,则n=__________.
解析:令y1=logax,y2=b-x,函数f(x)的零点就是这两个函数图象交点的横坐标,由于直线y2=b-x在y轴上的截距b满足3<b<4,结合函数图象,函数f(x)只有一个零点,且n只能是1或者2或者3.f(1)=1-b<0,f(2)=loga2+2-b<1+2-3<0,f(3)=loga3+3-b>1+3-4>0.根据函数零点存在性定理可得,函数f(x)的零点在区间(2,3)内,故n=2.
一、选择题
1.在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在区间为()
A.B.
C.D.
解析:因为f=e +4×-3=e -2<0,f=e +4×-3=e -1>0,所以f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为.
答案:C
2.函数f(x)=,的零点个数为()
A.3 B.2
C.1 D.0
解ห้องสมุดไป่ตู้:方法一:令f(x)=0得或,
答案:2
三、解答题
10.(2013·苏州模拟)已知函数f(x)=x2+(1-k)x-k的一个零点在(2,3)内,求实数k的取值范围.
解析:∵f(x)=x2+(1-k)x-k的一个零点在(2,3)内,
∴f(2)·f(3)<0,
即[4+2(1-k)-k]·[9+3(1-k)-k]<0,
答案:A
6.已知函数f(x)=2x-log x,实数a,b,c满足a<b<c,且满足f(a)f(b)f(c)<0,若实数x0是函数y=f(x)的一个零点,则下列结论一定成立的是()
2014年高考文科数学试题全国新课标Ⅰ逐题详解-(纯word解析版)

2014 年高考文科数学试题全国新课标Ⅰ逐题详解(纯word 剖析版)第Ⅰ卷一.选择题:共 12 小题,每题 5 分,共 60 分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一项为哪一项吻合题目要求的一项。
【 2014 年全国新课标Ⅰ(文01)】已知会集M={x| ﹣ 1< x< 3} , N={x| ﹣ 2< x< 1} ,则 M∩ N=()A.(﹣ 2, 1)B.(﹣ 1, 1)C.(1, 3)D.(﹣ 2, 3)【答案】: B【剖析】: M={x| ﹣ 1< x< 3} ,N={x| ﹣2< x< 1} ,则 M∩ N={x| ﹣ 1<x< 1}【 2014 年全国新课标Ⅰ(文02)】若 tan α> 0,则()A. sin α> 0B. cos α> 0C. sin2 α> 0D. cos2 α> 0【答案】: C【剖析】∵ tan α> 0,∴,则sin2α =2sinαcosα >0【 2014 年全国新课标Ⅰ(文03)】设 z=+i ,则 |z|= ()A.B.C.D.2【答案】: B【剖析】: z=+i=+i=.故|z|==.【 2014 年全国新课标Ⅰ(文04)】已知双曲线﹣=1( a> 0)的离心率为2,则 a=()A. 2B.C.D.1【答案】: D【剖析】:双曲线的离心率 e==2,解答 a=1【 2014 年全国新课标Ⅰ(文05)】设函数 f ( x), g( x)的定义域都为 R,且 f (x)是奇函数,g(x)是偶函数,则以下结论中正确的选项是()A. f ( x) g( x)是偶函数B. |f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D. |f(x)g(x)|是奇函数【答案】: C【剖析】: f ( x)是奇函数, g( x)是偶函数,∴|f ( x) | 为偶函数, |g ( x) | 为偶函数.再依照两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数,可得 f ( x) |g ( x)| 为奇函数,【 2014 年全国新课标Ⅰ(文06)】设 D, E, F 分别为△ ABC的三边 BC, CA,AB 的中点,则+ =()A.B.C.D.【答案】: A【剖析】 :D, E, F 分别为△ ABC的三边 BC, CA,AB的中点,∴+ =(+)+(+)=+ =(+)=【2014 年全国新课标Ⅰ(文 07)】在函数① y=cos 丨 2x 丨,② y=丨 cosx 丨,③ y=cos ( 2x+)④ y=tan (2x﹣)中,最小正周期为π 的全部函数为()A.①②③B.①③④C.②④D.①③【答案】: A【剖析】:函数① y=cos 丨 2x 丨的最小正周期为=π,② y= 丨 cosx 丨的最小正周期为=π,③ y=cos ( 2x+)的最小正周期为=π,④ y=tan ( 2x ﹣)的最小正周期为【2014 年全国新课标Ⅰ(文 08)】如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱【答案】:B【剖析】:依照网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,可知几何体是三棱柱.【 2014 年全国新课标Ⅰ(文09)】执行如图的程序框图,若输入的a, b, k 分别为 1,2, 3,则输出的M=()A.B.C.D.【答案】: D【剖析】:由程序框图知:第一次循环M=1+ = , a=2,b=,n=2;第二次循环M=2+ =,a=,b=,n=3;第三次循环M= + =,a=,b=,n=4.不满足条件n≤ 3,跳出循环体,输出M=【 2014 年全国新课标Ⅰ(文A.1B.2C.410)】已知抛物线D. 8C:y2=x的焦点为 F,A( x0,y0)是 C 上一点,|AF|=x0,x0=()【答案】: A【剖析】:由抛物线的定义,可得|AF|=x0+,∵ |AF|=x0,∴ x0+ = x0,∴ x0=1【 2014 年全国新课标Ⅰ(文11)】设x, y满足拘束条件,且z=x+ay的最小值为7,则a=()A.﹣5B.3C.﹣5或3D.5或﹣ 3【答案】: B【剖析1】:由拘束条件作可行域如图,联立,解得.∴ A().当 a=0 时 A 为(), z=x+ay的最小值为,不满足题意;当 a< 0 时,由z=x+ay得,要使z 最小,则直线在 y 轴上的截距最大,满足条件的最优解不存在;当 a> 0 时,由z=x+ay得,由图可知,当直线过点 A 时直线在 y 轴上的截距最小,z 最小.此时z=,解得:a=3 或a=﹣ 5(舍)【 2014 年全国新课标Ⅰ(文12)】已知函数f ( x)=ax3﹣3x2+1 ,若 f (x)存在唯一的零点取值范围是()A.(2, +∞)B.(1, +∞)C.(﹣∞,﹣ 2)D.(﹣∞,﹣ 1)x0 ,且x0>0,则 a 的【答案】: C【剖析】:当 a=0 时, f ( x)=﹣ 3x 2+1=0,解得 x=,函数 f ( x)有两个零点,不吻合题意,应舍去;当 a> 0 时,令 f ′( x) =3ax2﹣6x=3ax=0,解得 x=0 或 x=> 0,列表以下:x(﹣∞, 0)0f′( x)+0﹣0+f( x)单调递加极大值单调递减极小值单调递加∵ x→ +∞, f ( x)→ +∞,而 f ( 0)=1> 0,∴存在 x< 0,使得 f ( x)=0,不吻合条件: f ( x)存在唯一的零点x ,0且 x0> 0,应舍去.当 a< 0 时, f ′( x) =3ax 2﹣ 6x=3ax=0,解得 x=0 或 x= < 0,列表以下:x(﹣∞,)0(0, +∞)f′( x)﹣0+0﹣f( x)单调递减极小值单调递加极大值单调递减而 f ( 0) =1> 0, x→ +∞时, f ( x)→﹣∞,∴存在x0> 0,使得 f ( x0)=0,∵ f ( x)存在唯一的零点x0,且x0> 0,∴极小值=,化为a2>4,∵ a<0,∴ a<﹣ 2.综上可知: a 的取值范围是(﹣∞,﹣2)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
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]] σ/(σ-1)
] σ/(σ-1)
所以生产函数为规模报酬不变的。 b) 对生产函数两边均除以 AL:Y/AL=[ (K/AL)(σ-1)/σ +1] σ/(σ-1) 取 k=K/AL,y=Y/AL=f(k), 则可以得到生产函数的密集形式 : a) f(k)= [k(σ-1)/σ +1] σ/(σ-1) c)对(1)式两边对 k 求导数: f′(k)= [σ/(σ-1)] [k(σ-1)/σ +1] σ/(σ-1)-1[(σ-1)/σ] k[(σ-1)/
2014 年高级宏观经济学第 1 次习题课
1.1 考虑一处于平衡增长路径上的索洛经济,为了简单,假定无技术进步。现在假定 人口增长率下降。 a) 处于平衡增长路径上的每工人平均资本、每工人平均产量和每工人平均消费 将发生什么变化?画出经济向其新平衡增长路径移动的过程中这些变量的 路径。 b) 说明人口增长率下降对产量路径(总产量,而非每工人平均产量)的影响。 答: a) k˙=sf(k)-(n+σ)k 假 设 经 济 在 初 始 时 处 于 平 衡 增 长 路 径 上 , 即 满 足 k*˙=sf(k*)-(n+σ)k*=0.此时,经济中的实际投资等于持平投资,两条线相交于 (k*,y*) 。在 t0 时刻,当人口增长率由 n 下降到 nnew 后,实际投资线不变, 持平投资线发生偏转。此时,k*˙=sf(k*)-(nnew+σ)k*>0,实际投资超过持平投资, 每个人平均资本开始增加。在 t1 时刻之后,经济重新达到平衡增长路径后。 k*new˙=sf(k* new)-(nnew+σ)k* new =0, 单位有效劳动(由于没有技术进步,相当于 每人)实际投资等处持平投资 。在 t0 时刻到 t1 时刻之间,由于 k˙>0,所以 每个人平均资本逐步增长。而由于生产函数固定,所以每个人平均产出伴随 每个人平均资本的增加而增加,每个人平均消费也将随之逐步增加 (c=(1-s)f(k) ) 。
1.4 若一经济中有技术进步但无人口增长,且处于平衡增长路径上。现在假定工人数 有一次性上升。 a) 在上升之时,每单位有效劳动的平均产量是上升、下降,还是不变?为什 么? b) 当新工人出现,在每单位有效劳动的平均产量的初始变动(如果有)之后, 每单位有效劳动的平均产量是否会进一步变化?如果会,是上升还是下降? 为什么? c) 一旦经济重新回到一平衡增长路径,每单位有效劳动的平均产量是高于、 低于还是等于新工人出现前的水平?为什么? 答: a) 在 t0 时刻,工人数量的一次性上升,不改变生产函数的密集形式,也不改变 持平投资线。根据 k=K/AL,t0 时刻,总资本 K 不发生变化,由于人口有一 个跳升,所以每单位有效劳动的平均资本水平 k 从 k*下降到 knew 。根据 y=Y
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= n[f′(k*) k*/f(k*))][sf′(k*)-(n+g+σ)] 根据 sf(k*)=(n+g+σ)k*, 可知:s=(n+g+σ)k*/f(k*),并令αk (k*)= f′(k*) k*/f(k*)) (5) (n/y)∂ y*/∂n=[n/(n+g+σ)][αk (k*)/(αk (k*)-1)] 此时,将 aK(k*) = 1/3 , g = 2% ,δ= 3%,n=(2%+1%)/2=1.5% 代入(5),可求得每单 位有效劳动的平均产量 y*对人口增长率 n 的弹性:(n/y)∂ y*/∂n=-0.12 于 是 , 当 n 从 2% 降 至 1% 时 , 每 单 位 有 效 劳 动 的 平 均 产 量 y* 的 变 化 率 为 (-50%)*(-0.12)=6%。 注意:此题在计算中代入数据时,n 的数据用的是劳动增长率前后的平均值, 这 种算法所得到的结果应该比直接代劳动增长率变化前的数据或者变化后的数据 更为准确。
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b) 根据每个人平均产量与总产量的关系式: y=Y/L 可得:Y˙/Y=y˙/y+ L˙/L [1] 在 t0 时刻之前: y*˙/y=0, L˙/L=n 。所以,Y˙/Y=y*˙/y*+ L˙/L=n。 [2] 在 t0 时刻瞬间:劳动的增长率变为 L˙/L=nnew ,但资本的增长率仍然维 持不变,这时。总产出的增长率会逐步往下调整。 [3] 在 t0 时刻到 t1 时刻之间:资本的增长率会逐步往下调整,而总产出的增 长率也会逐步下调,一直到 t1 时刻,总产出、总资本、劳动力三者的增 长率均达到 n new 为止。 [4] 在 t1 时刻之后: 经济重新达到平衡增长路径后, k*new˙=sf(k* new)-(nnew+σ)k*
d) 在什么条件下该密集形式满足稻田条件? 答: a) 证明:生产函数规模报酬情况的判断 F(cK,cL) = [(cK)(σ-1)/σ + (cAL)(σ-1)
/σ
] σ/(σ-1)
/σ
=[c(σ-1)/-1) =c [ K(σ-1)/σ + (AL)(σ-1) =cF(K,L)
new
=0, 每个人实际投资等处持平投资。 所以, Y˙/Y =y new˙/y new + L˙/L=n
new<n
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1.2 假定生产函数为柯布—道格拉斯函数。 a) 将 k*、y* 和 c* 表示为模型的参数 s 、n、δ、g 和 a 的函数。 b) k 黄金律值是多少? c) 为得到黄金律资本存量,所需的储蓄率是多少?
(σ-1)
=∞ limk→∞ f′(k) = limk→∞ [1+k(1-σ)/σ ] 1/(σ-1)=1 当σ<1 时,(1-σ)/σ>0,1/(σ-1)<0,此时 limk→0 f′(k) = limk→0 [1+k(1-σ)/σ ] 1/
(σ-1)
=1
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答: a) (1) Y = K α(AL) 1-α (2) y=kα (3) k˙=skα- (n+g+σ)k (4) k*=[s/( n+g+σ)] 1/(1-α) (5) y*=[s/( n+g+σ)] α/(1-α) (6) c*=(1-s)[s/( n+g+σ)] α/(1-α) b) 我们定义黄金率为每个人有效劳动平均消费最大点,即∂c*/∂k=0,在平衡增 长路径上: c *=f(k *)-(n+g+σ) k * ∂c*/∂k=0 f′(k *)= n+g+σ 将(2)代入,可得:αk*α-1= n+g+σ由上式可以求解出黄金率上的每单位有效劳 动的平均资本: c) (7) k*GR =[α/ (n+g+σ)] 1/(1-α)
sf (k *) (n g )k * 0 k
对 s 求偏导得到:sf (k *)
k * k * (n g )k * f (k *) (n g ) 0将s 代 s s f (k *)
此时,由于黄金律的要求必须同时是在平衡增长路径上,所以可以根据(3) 求得黄金率上的储蓄率的表达式: (8) s= (n+g+σ) k*1-α 将(8)代入(6)中,我们就可以得到黄金率上的每单位有效劳动平均消费额: (9) c*=[1-(n+g+σ) k*1-α] [(n+g+σ) k*1-α/( n+g+σ)] α/(1-α) s GR = (n+g+σ) k*GR 1-α =(n+g+σ) [α/ (n+g+σ)] ( 1-α)*1/(1-α) 简化即可以得到: (10) sGR =α 这就是说,在柯布—道格拉斯的生产函数条件下,要使经济维持在黄金律的 平衡增长路径上,必须满足的条件是储蓄率等与资本的产出弹性
/AL,t0 时刻,总产量 Y 不发生变化,由于人口有一个跳升,所以每单位有
效劳动的平均产出水平 y 从 y*下降到 ynew 。 b) 在 t0 时刻之后,新的 knew< k*,此时每单位有效劳动平均实际投资大于持平 投资,即:sf(knew)>(g+σ)k,k˙>0。这时,经济中的储蓄投资额足以抵消折旧 与技术进步所需的资本额, 每单位有效劳动的平均资本额必然上升, 即从 knew 朝着 k*增进。同时,伴随 k 的变化,每单位有效劳动的平均产出随之上升, 即从 ynew 朝着 y*增进。 c) 当经济重新回到平均路径时,由于每单位有效劳动平均实际投资线和持平投 资线与工人数量一次性变化之前相比,均未发生变化。所以这时每单位有效
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1.3 考虑不变替代弹性(CES)生产函数 Y = [ K(σ-1)/σ + (AL(σ-1) /σ] σ/(σ-1) 。 其中 0<σ<∞且σ≠1。 (σ为资本和有效劳动之间的替代弹性。在σ→1 的特殊情况下,CES 函数成为柯布 —道格拉斯函数。) a) 证明:该生产的函数为规模报酬不变的。 b) 求出该生产函数的密集形式。 c) 在什么条件下该密集形式满足 f′(·) > 0 , f″(·) < 0 ?
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劳动的平均资本等于新工人出现前的水平,每单位有效劳动的平均产出等于 新工人出现前的水平 。
1.5 平衡增长路径上每单位有效劳动的平均产量 y*对人口增长率 n 的弹性。如果 αk (k*) = 1/3 , g = 2% ,δ= 3%, 则当 n 从 2%降至 1%时,y*上升多少? 答: 对密集形式的生产函数 y*=f(k*)两边对 n 求偏导数,可得: (1) ∂ y*/∂n= f′(k*)∂ k*/∂n 现在的主要问题是求出∂ k*/∂n 根 据 关 键 方 程 k˙=sf(k)-(n+g+σ)k, 在 平 衡 增 长 路 径 上 , 我 们 可 以 有 k˙=0 即 : sf(k*)=(n+g+σ)k*。将该式两边对 n 求偏导数,可得: sf′(k*)∂ k*/∂n =(n+g+σ) ∂ k*/∂n+ k* 对上式进行调整可得: (2) ∂ k*/∂n= k*/[sf′(k*)-(n+g+σ)] 将(2)代入(1)可得: (3) ∂ y*/∂n= f′(k*) k*/[sf′(k*)-(n+g+σ)] 据此,我们可以求得每单位有效劳动的平均产量 y*对人口增长率 n 的弹性的表 达式:(4) (n/y)∂ y*/∂n