高宏2014年第1次习题课
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／σ
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所以生产函数为规模报酬不变的。 b) 对生产函数两边均除以 AL：Y／AL=[ (K／AL)(σ-1)／σ +1] σ／(σ-1) 取 k=K／AL,y=Y／AL=f(k), 则可以得到生产函数的密集形式 ： a) f(k)= [k(σ-1)／σ +1] σ／(σ-1) c）对(1)式两边对 k 求导数： f′(k)= [σ／(σ-1)] [k(σ-1)／σ +1] σ／(σ-1)-1[(σ-1)／σ] k[(σ-1)／
2014 年高级宏观经济学第 1 次习题课
1.1 考虑一处于平衡增长路径上的索洛经济，为了简单，假定无技术进步。现在假定 人口增长率下降。 a) 处于平衡增长路径上的每工人平均资本、每工人平均产量和每工人平均消费 将发生什么变化？画出经济向其新平衡增长路径移动的过程中这些变量的 路径。 b) 说明人口增长率下降对产量路径(总产量，而非每工人平均产量)的影响。 答： a) k˙=sf(k)-(n+σ)k 假 设 经 济 在 初 始 时 处 于 平 衡 增 长 路 径 上 ， 即 满 足 k*˙=sf(k*)-(n+σ)k*=0.此时，经济中的实际投资等于持平投资，两条线相交于 (k*,y*) 。在 t0 时刻，当人口增长率由 n 下降到 nnew 后，实际投资线不变， 持平投资线发生偏转。此时，k*˙=sf(k*)-(nnew+σ)k*>0,实际投资超过持平投资， 每个人平均资本开始增加。在 t1 时刻之后，经济重新达到平衡增长路径后。 k*new˙=sf(k* new)-(nnew+σ)k* new =0, 单位有效劳动（由于没有技术进步，相当于 每人）实际投资等处持平投资 。在 t0 时刻到 t1 时刻之间，由于 k˙>0，所以 每个人平均资本逐步增长。而由于生产函数固定，所以每个人平均产出伴随 每个人平均资本的增加而增加，每个人平均消费也将随之逐步增加 （c=(1-s)f(k) ） 。
1.4 若一经济中有技术进步但无人口增长，且处于平衡增长路径上。现在假定工人数 有一次性上升。 a) 在上升之时，每单位有效劳动的平均产量是上升、下降，还是不变？为什 么？ b) 当新工人出现，在每单位有效劳动的平均产量的初始变动(如果有)之后， 每单位有效劳动的平均产量是否会进一步变化？如果会，是上升还是下降？ 为什么？ c) 一旦经济重新回到一平衡增长路径，每单位有效劳动的平均产量是高于、 低于还是等于新工人出现前的水平？为什么？ 答： a) 在 t0 时刻，工人数量的一次性上升，不改变生产函数的密集形式，也不改变 持平投资线。根据 k=K／AL，t0 时刻，总资本 K 不发生变化，由于人口有一 个跳升，所以每单位有效劳动的平均资本水平 k 从 k*下降到 knew 。根据 y=Y
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2014 年高级宏观经济学第 1 次习题课
= n[f′(k*) k*／f(k*))][sf′(k*)-(n+g+σ)] 根据 sf(k*)=(n+g+σ)k*， 可知：s=(n+g+σ)k*／f(k*),并令αk (k*)= f′(k*) k*／f(k*)) (5) (n／y)∂ y*／∂n=[n／(n+g+σ)][αk (k*)／(αk (k*)-1)] 此时，将 aK(k*) = 1／3 , g = 2% ,δ= 3%，n=(2%+1%)／2=1.5% 代入(5)，可求得每单 位有效劳动的平均产量 y*对人口增长率 n 的弹性：(n／y)∂ y*／∂n=-0.12 于 是 ， 当 n 从 2% 降 至 1% 时 ， 每 单 位 有 效 劳 动 的 平 均 产 量 y* 的 变 化 率 为 (-50%)*(-0.12)=6%。 注意：此题在计算中代入数据时，n 的数据用的是劳动增长率前后的平均值， 这 种算法所得到的结果应该比直接代劳动增长率变化前的数据或者变化后的数据 更为准确。
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b) 根据每个人平均产量与总产量的关系式： y=Y／L 可得：Y˙／Y=y˙／y+ L˙／L [1] 在 t0 时刻之前： y*˙／y=0, L˙／L=n 。所以，Y˙／Y=y*˙／y*+ L˙／L=n。 [2] 在 t0 时刻瞬间：劳动的增长率变为 L˙／L=nnew ，但资本的增长率仍然维 持不变，这时。总产出的增长率会逐步往下调整。 [3] 在 t0 时刻到 t1 时刻之间：资本的增长率会逐步往下调整，而总产出的增 长率也会逐步下调，一直到 t1 时刻，总产出、总资本、劳动力三者的增 长率均达到 n new 为止。 [4] 在 t1 时刻之后： 经济重新达到平衡增长路径后， k*new˙=sf(k* new)-(nnew+σ)k*
d) 在什么条件下该密集形式满足稻田条件？ 答： a) 证明：生产函数规模报酬情况的判断 F(cK,cL) = [(cK)(σ-1)／σ + (cAL)(σ-1)
／σ
] σ／(σ-1)
／σ
=[c(σ-1)／-1) =c [ K(σ-1)／σ + (AL)(σ-1) =cF(K,L)
new
=0, 每个人实际投资等处持平投资。 所以， Y˙／Y =y new˙／y new + L˙／L=n
new<n
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1.2 假定生产函数为柯布—道格拉斯函数。 a) 将 k*、y* 和 c* 表示为模型的参数 s 、n、δ、g 和 a 的函数。 b) k 黄金律值是多少？ c) 为得到黄金律资本存量，所需的储蓄率是多少？
(σ-1)
=∞ limk→∞ f′(k) = limk→∞ [1+k(1-σ)／σ ] 1／(σ-1)=1 当σ<1 时，(1-σ)／σ>0，1／(σ-1)<0，此时 limk→0 f′(k) = limk→0 [1+k(1-σ)／σ ] 1／
(σ-1)
=1
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答： a) (1) Y = K α(AL) 1-α (2) y=kα (3) k˙=skα- (n+g+σ)k (4) k*=[s／( n+g+σ)] 1／(1-α) (5) y*=[s／( n+g+σ)] α／(1-α) (6) c*=(1-s)[s／( n+g+σ)] α／(1-α) b) 我们定义黄金率为每个人有效劳动平均消费最大点，即∂c*／∂k=0,在平衡增 长路径上: c *=f(k *)-(n+g+σ) k * ∂c*／∂k=0 f′(k *)= n+g+σ 将(2)代入，可得：αk*α-1= n+g+σ由上式可以求解出黄金率上的每单位有效劳 动的平均资本: c) (7) k*GR =[α／ (n+g+σ)] 1／(1-α)
sf (k *) (n g )k * 0 k
对 s 求偏导得到：sf (k *)
k * k * (n g )k * f (k *) (n g ) 0将s 代 s s f (k *)
此时，由于黄金律的要求必须同时是在平衡增长路径上，所以可以根据(3) 求得黄金率上的储蓄率的表达式： (8) s= (n+g+σ) k*1-α 将(8)代入(6)中，我们就可以得到黄金率上的每单位有效劳动平均消费额： (9) c*=[1-(n+g+σ) k*1-α] [(n+g+σ) k*1-α／( n+g+σ)] α／(1-α) s GR = (n+g+σ) k*GR 1-α =(n+g+σ) [α／ (n+g+σ)] ( 1-α)*1／(1-α) 简化即可以得到： (10) sGR =α 这就是说，在柯布—道格拉斯的生产函数条件下，要使经济维持在黄金律的 平衡增长路径上，必须满足的条件是储蓄率等与资本的产出弹性
／AL，t0 时刻，总产量 Y 不发生变化，由于人口有一个跳升，所以每单位有
效劳动的平均产出水平 y 从 y*下降到 ynew 。 b) 在 t0 时刻之后，新的 knew< k*,此时每单位有效劳动平均实际投资大于持平 投资，即：sf(knew)>(g+σ)k，k˙>0。这时，经济中的储蓄投资额足以抵消折旧 与技术进步所需的资本额， 每单位有效劳动的平均资本额必然上升， 即从 knew 朝着 k*增进。同时，伴随 k 的变化，每单位有效劳动的平均产出随之上升， 即从 ynew 朝着 y*增进。 c) 当经济重新回到平均路径时，由于每单位有效劳动平均实际投资线和持平投 资线与工人数量一次性变化之前相比，均未发生变化。所以这时每单位有效
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2014 年高级宏观经济学第 1 次习题课
1.3 考虑不变替代弹性(CES)生产函数 Y = [ K(σ-1)/σ + (AL(σ-1) /σ] σ/(σ-1) 。 其中 0<σ<∞且σ≠1。 (σ为资本和有效劳动之间的替代弹性。在σ→1 的特殊情况下，CES 函数成为柯布 —道格拉斯函数。) a) 证明：该生产的函数为规模报酬不变的。 b) 求出该生产函数的密集形式。 c) 在什么条件下该密集形式满足 f′(·) > 0 , f″(·) < 0 ?
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2014 年高级宏观经济学第 1 次习题课
劳动的平均资本等于新工人出现前的水平，每单位有效劳动的平均产出等于 新工人出现前的水平 。
1.5 平衡增长路径上每单位有效劳动的平均产量 y*对人口增长率 n 的弹性。如果 αk (k*) = 1/3 , g = 2% ,δ= 3%, 则当 n 从 2%降至 1%时，y*上升多少？ 答： 对密集形式的生产函数 y*=f(k*)两边对 n 求偏导数，可得： (1) ∂ y*／∂n= f′(k*)∂ k*／∂n 现在的主要问题是求出∂ k*／∂n 根 据 关 键 方 程 k˙=sf(k)-(n+g+σ)k, 在 平 衡 增 长 路 径 上 ， 我 们 可 以 有 k˙=0 即 ： sf(k*)=(n+g+σ)k*。将该式两边对 n 求偏导数，可得： sf′(k*)∂ k*／∂n =(n+g+σ) ∂ k*／∂n+ k* 对上式进行调整可得： (2) ∂ k*／∂n= k*／[sf′(k*)-(n+g+σ)] 将(2)代入(1)可得： (3) ∂ y*／∂n= f′(k*) k*／[sf′(k*)-(n+g+σ)] 据此，我们可以求得每单位有效劳动的平均产量 y*对人口增长率 n 的弹性的表 达式：(4) (n／y)∂ y*／∂n
σ-1]
(2) f′(k)= [k(σ-1)／σ +1] 1／(σ-1) k-1／σ = [1+k(1-σ)／σ ] 1／(σ-1) 由于 k>0,所以存在 f′(k)>0。对(2)式两边对 k 求导数，可得到 (3) f″(k)=[-1／σ)] [1+k(1-σ)／σ ] 1／(σ-1)-1 k(1-σ)／σ-1。由于 k>0 存在 f″(k)<0。 d）下面来讨论稻田条件是否成立： 当σ>1 时，(1-σ)／σ<0，1／(σ-1)>0，此时 limk→0 f′(k) = limk→0 [1+k(1-σ)／σ ] 1／
1.6 假定尽管存在政治障碍，美国还是将其预算赤字从 GDP 的 3%下降到 0。假定开 始时 s=0.15 且投资的上升量正好等于赤字的下降量，资本的收入份额为 3%。 a) 与赤字不下降的情形相比，产量最终上升大约多少？ b) 与赤字不下降的情形相比，消费上升多少？ c) 赤字下降对消费的最初影响是什么？若要消费回到赤字不下降时候的水平， 需要多少时间？ 答： a) 美国赤字下降意味着投资的增加，进而导致产量的上升。由题目可知： s=0.15 ， αk (k*)=1/3 。 由 关 键 方 程 式 可 知 在 BGP 上 存 在 ：
limk→∞ f′(k) = limk→∞ [1+k(1-σ)／σ ] 1／(σ-1)=0 综合起来，可知： limk→0 f′(k) = limk→0 [1+k(1-σ)／σ ] 1／(σ-1)=∞，当σ>1 时； limk→∞ f′(k) = limk→∞ [1+k(1-σ)／σ ] 1／(σ-1)=0，当σ<1 时。 所以稻田条件在这里不能得到满足
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所以生产函数为规模报酬不变的。 b) 对生产函数两边均除以 AL：Y／AL=[ (K／AL)(σ-1)／σ +1] σ／(σ-1) 取 k=K／AL,y=Y／AL=f(k), 则可以得到生产函数的密集形式 ： a) f(k)= [k(σ-1)／σ +1] σ／(σ-1) c）对(1)式两边对 k 求导数： f′(k)= [σ／(σ-1)] [k(σ-1)／σ +1] σ／(σ-1)-1[(σ-1)／σ] k[(σ-1)／
2014 年高级宏观经济学第 1 次习题课
1.1 考虑一处于平衡增长路径上的索洛经济，为了简单，假定无技术进步。现在假定 人口增长率下降。 a) 处于平衡增长路径上的每工人平均资本、每工人平均产量和每工人平均消费 将发生什么变化？画出经济向其新平衡增长路径移动的过程中这些变量的 路径。 b) 说明人口增长率下降对产量路径(总产量，而非每工人平均产量)的影响。 答： a) k˙=sf(k)-(n+σ)k 假 设 经 济 在 初 始 时 处 于 平 衡 增 长 路 径 上 ， 即 满 足 k*˙=sf(k*)-(n+σ)k*=0.此时，经济中的实际投资等于持平投资，两条线相交于 (k*,y*) 。在 t0 时刻，当人口增长率由 n 下降到 nnew 后，实际投资线不变， 持平投资线发生偏转。此时，k*˙=sf(k*)-(nnew+σ)k*>0,实际投资超过持平投资， 每个人平均资本开始增加。在 t1 时刻之后，经济重新达到平衡增长路径后。 k*new˙=sf(k* new)-(nnew+σ)k* new =0, 单位有效劳动（由于没有技术进步，相当于 每人）实际投资等处持平投资 。在 t0 时刻到 t1 时刻之间，由于 k˙>0，所以 每个人平均资本逐步增长。而由于生产函数固定，所以每个人平均产出伴随 每个人平均资本的增加而增加，每个人平均消费也将随之逐步增加 （c=(1-s)f(k) ） 。
1.4 若一经济中有技术进步但无人口增长，且处于平衡增长路径上。现在假定工人数 有一次性上升。 a) 在上升之时，每单位有效劳动的平均产量是上升、下降，还是不变？为什 么？ b) 当新工人出现，在每单位有效劳动的平均产量的初始变动(如果有)之后， 每单位有效劳动的平均产量是否会进一步变化？如果会，是上升还是下降？ 为什么？ c) 一旦经济重新回到一平衡增长路径，每单位有效劳动的平均产量是高于、 低于还是等于新工人出现前的水平？为什么？ 答： a) 在 t0 时刻，工人数量的一次性上升，不改变生产函数的密集形式，也不改变 持平投资线。根据 k=K／AL，t0 时刻，总资本 K 不发生变化，由于人口有一 个跳升，所以每单位有效劳动的平均资本水平 k 从 k*下降到 knew 。根据 y=Y
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= n[f′(k*) k*／f(k*))][sf′(k*)-(n+g+σ)] 根据 sf(k*)=(n+g+σ)k*， 可知：s=(n+g+σ)k*／f(k*),并令αk (k*)= f′(k*) k*／f(k*)) (5) (n／y)∂ y*／∂n=[n／(n+g+σ)][αk (k*)／(αk (k*)-1)] 此时，将 aK(k*) = 1／3 , g = 2% ,δ= 3%，n=(2%+1%)／2=1.5% 代入(5)，可求得每单 位有效劳动的平均产量 y*对人口增长率 n 的弹性：(n／y)∂ y*／∂n=-0.12 于 是 ， 当 n 从 2% 降 至 1% 时 ， 每 单 位 有 效 劳 动 的 平 均 产 量 y* 的 变 化 率 为 (-50%)*(-0.12)=6%。 注意：此题在计算中代入数据时，n 的数据用的是劳动增长率前后的平均值， 这 种算法所得到的结果应该比直接代劳动增长率变化前的数据或者变化后的数据 更为准确。
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b) 根据每个人平均产量与总产量的关系式： y=Y／L 可得：Y˙／Y=y˙／y+ L˙／L [1] 在 t0 时刻之前： y*˙／y=0, L˙／L=n 。所以，Y˙／Y=y*˙／y*+ L˙／L=n。 [2] 在 t0 时刻瞬间：劳动的增长率变为 L˙／L=nnew ，但资本的增长率仍然维 持不变，这时。总产出的增长率会逐步往下调整。 [3] 在 t0 时刻到 t1 时刻之间：资本的增长率会逐步往下调整，而总产出的增 长率也会逐步下调，一直到 t1 时刻，总产出、总资本、劳动力三者的增 长率均达到 n new 为止。 [4] 在 t1 时刻之后： 经济重新达到平衡增长路径后， k*new˙=sf(k* new)-(nnew+σ)k*
d) 在什么条件下该密集形式满足稻田条件？ 答： a) 证明：生产函数规模报酬情况的判断 F(cK,cL) = [(cK)(σ-1)／σ + (cAL)(σ-1)
／σ
] σ／(σ-1)
／σ
=[c(σ-1)／-1) =c [ K(σ-1)／σ + (AL)(σ-1) =cF(K,L)
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=0, 每个人实际投资等处持平投资。 所以， Y˙／Y =y new˙／y new + L˙／L=n
new<n
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1.2 假定生产函数为柯布—道格拉斯函数。 a) 将 k*、y* 和 c* 表示为模型的参数 s 、n、δ、g 和 a 的函数。 b) k 黄金律值是多少？ c) 为得到黄金律资本存量，所需的储蓄率是多少？
(σ-1)
=∞ limk→∞ f′(k) = limk→∞ [1+k(1-σ)／σ ] 1／(σ-1)=1 当σ<1 时，(1-σ)／σ>0，1／(σ-1)<0，此时 limk→0 f′(k) = limk→0 [1+k(1-σ)／σ ] 1／
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答： a) (1) Y = K α(AL) 1-α (2) y=kα (3) k˙=skα- (n+g+σ)k (4) k*=[s／( n+g+σ)] 1／(1-α) (5) y*=[s／( n+g+σ)] α／(1-α) (6) c*=(1-s)[s／( n+g+σ)] α／(1-α) b) 我们定义黄金率为每个人有效劳动平均消费最大点，即∂c*／∂k=0,在平衡增 长路径上: c *=f(k *)-(n+g+σ) k * ∂c*／∂k=0 f′(k *)= n+g+σ 将(2)代入，可得：αk*α-1= n+g+σ由上式可以求解出黄金率上的每单位有效劳 动的平均资本: c) (7) k*GR =[α／ (n+g+σ)] 1／(1-α)
sf (k *) (n g )k * 0 k
对 s 求偏导得到：sf (k *)
k * k * (n g )k * f (k *) (n g ) 0将s 代 s s f (k *)
此时，由于黄金律的要求必须同时是在平衡增长路径上，所以可以根据(3) 求得黄金率上的储蓄率的表达式： (8) s= (n+g+σ) k*1-α 将(8)代入(6)中，我们就可以得到黄金率上的每单位有效劳动平均消费额： (9) c*=[1-(n+g+σ) k*1-α] [(n+g+σ) k*1-α／( n+g+σ)] α／(1-α) s GR = (n+g+σ) k*GR 1-α =(n+g+σ) [α／ (n+g+σ)] ( 1-α)*1／(1-α) 简化即可以得到： (10) sGR =α 这就是说，在柯布—道格拉斯的生产函数条件下，要使经济维持在黄金律的 平衡增长路径上，必须满足的条件是储蓄率等与资本的产出弹性
／AL，t0 时刻，总产量 Y 不发生变化，由于人口有一个跳升，所以每单位有
效劳动的平均产出水平 y 从 y*下降到 ynew 。 b) 在 t0 时刻之后，新的 knew< k*,此时每单位有效劳动平均实际投资大于持平 投资，即：sf(knew)>(g+σ)k，k˙>0。这时，经济中的储蓄投资额足以抵消折旧 与技术进步所需的资本额， 每单位有效劳动的平均资本额必然上升， 即从 knew 朝着 k*增进。同时，伴随 k 的变化，每单位有效劳动的平均产出随之上升， 即从 ynew 朝着 y*增进。 c) 当经济重新回到平均路径时，由于每单位有效劳动平均实际投资线和持平投 资线与工人数量一次性变化之前相比，均未发生变化。所以这时每单位有效
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1.3 考虑不变替代弹性(CES)生产函数 Y = [ K(σ-1)/σ + (AL(σ-1) /σ] σ/(σ-1) 。 其中 0<σ<∞且σ≠1。 (σ为资本和有效劳动之间的替代弹性。在σ→1 的特殊情况下，CES 函数成为柯布 —道格拉斯函数。) a) 证明：该生产的函数为规模报酬不变的。 b) 求出该生产函数的密集形式。 c) 在什么条件下该密集形式满足 f′(·) > 0 , f″(·) < 0 ?
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劳动的平均资本等于新工人出现前的水平，每单位有效劳动的平均产出等于 新工人出现前的水平 。
1.5 平衡增长路径上每单位有效劳动的平均产量 y*对人口增长率 n 的弹性。如果 αk (k*) = 1/3 , g = 2% ,δ= 3%, 则当 n 从 2%降至 1%时，y*上升多少？ 答： 对密集形式的生产函数 y*=f(k*)两边对 n 求偏导数，可得： (1) ∂ y*／∂n= f′(k*)∂ k*／∂n 现在的主要问题是求出∂ k*／∂n 根 据 关 键 方 程 k˙=sf(k)-(n+g+σ)k, 在 平 衡 增 长 路 径 上 ， 我 们 可 以 有 k˙=0 即 ： sf(k*)=(n+g+σ)k*。将该式两边对 n 求偏导数，可得： sf′(k*)∂ k*／∂n =(n+g+σ) ∂ k*／∂n+ k* 对上式进行调整可得： (2) ∂ k*／∂n= k*／[sf′(k*)-(n+g+σ)] 将(2)代入(1)可得： (3) ∂ y*／∂n= f′(k*) k*／[sf′(k*)-(n+g+σ)] 据此，我们可以求得每单位有效劳动的平均产量 y*对人口增长率 n 的弹性的表 达式：(4) (n／y)∂ y*／∂n
σ-1]
(2) f′(k)= [k(σ-1)／σ +1] 1／(σ-1) k-1／σ = [1+k(1-σ)／σ ] 1／(σ-1) 由于 k>0,所以存在 f′(k)>0。对(2)式两边对 k 求导数，可得到 (3) f″(k)=[-1／σ)] [1+k(1-σ)／σ ] 1／(σ-1)-1 k(1-σ)／σ-1。由于 k>0 存在 f″(k)<0。 d）下面来讨论稻田条件是否成立： 当σ>1 时，(1-σ)／σ<0，1／(σ-1)>0，此时 limk→0 f′(k) = limk→0 [1+k(1-σ)／σ ] 1／
1.6 假定尽管存在政治障碍，美国还是将其预算赤字从 GDP 的 3%下降到 0。假定开 始时 s=0.15 且投资的上升量正好等于赤字的下降量，资本的收入份额为 3%。 a) 与赤字不下降的情形相比，产量最终上升大约多少？ b) 与赤字不下降的情形相比，消费上升多少？ c) 赤字下降对消费的最初影响是什么？若要消费回到赤字不下降时候的水平， 需要多少时间？ 答： a) 美国赤字下降意味着投资的增加，进而导致产量的上升。由题目可知： s=0.15 ， αk (k*)=1/3 。 由 关 键 方 程 式 可 知 在 BGP 上 存 在 ：
limk→∞ f′(k) = limk→∞ [1+k(1-σ)／σ ] 1／(σ-1)=0 综合起来，可知： limk→0 f′(k) = limk→0 [1+k(1-σ)／σ ] 1／(σ-1)=∞，当σ>1 时； limk→∞ f′(k) = limk→∞ [1+k(1-σ)／σ ] 1／(σ-1)=0，当σ<1 时。 所以稻田条件在这里不能得到满足