第五章_截交线和相贯线

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五、圆锥的截交线
圆锥被平面截切后产生的截交线，因截平面与圆锥轴线 的相对位置不同而有五种不同的形状，见表5-2。
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表5-2
截平面位置 过锥顶
圆锥的截交线
与轴线倾斜θ ＞α 与轴线平行 与轴线倾斜 或倾斜θ=0或 θ=α θ＜ α
与轴线垂直 θ=90
第5章 截交线和相贯线
第一节 第二节 第三节 第四节 截交线 相贯线 相贯线的特殊情况和过渡线的画法 切口、穿孔的基本体尺寸标注
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教学目标：
1.了解截交线的概念和性质，掌握求作截交线的基本方法; 2.了解相贯线的概念和性质，掌握求作相贯线的基本方法; 3.了解过渡线及其画法。
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图5-8
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求阀芯的水平投影和侧面投影
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第二节 相贯线
一、相贯线的概念
如图5-9所示，相交两立体表面产生的交线称为相贯线。相贯 线的形状取决于两相交立体的形状、大小及其相对位置。
图5-9
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相贯线的示例
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相贯线具有下列基本性质： （1）相贯线是相交两立体表面的共有线，是一系列共有点的集合。 （2）由于立体占有一定的空间范围，所以相贯线一般是封闭的空 间曲线。 根据相贯的性质，求相贯线，可归纳为求出相交两立体表面上一 系列共有点的问题。求相贯线的方法，可用表面取点法。 相贯线可见性判断的原则是：相贯线同时位于两个立体的可见表 面上时，其投影才是可见的；否则就不可见。
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[例5-6] 如图5-7所示，求作圆球的截交线。
(a)已知条件
(b)作图结果
图5-7
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求作圆球的截交线
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作图： （1）求特殊位置点。点M、N、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ分别是圆球三个 方向轮廊素线圆上的点。其中点M、N是最低、最高点，同时也是最 左、最右点。根据点M、N、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ的正面的投影m′、n′、 3′、6′、5′、6′可求出相应的水平投影m、n、3、6、5、6及侧 面投影m″、n″、3″、6″、5″、6″。 椭圆长轴端点Ⅰ、Ⅱ。其正面投影1′、（2′）积聚成一点， 位于直线m′n′的中点。可通过1′2′作水平圆，求其余两面投影1、 2和1″、2″。
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(a)已知条件
(b)作图结果
图5-2
求作正六棱柱的截交线
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三、棱锥的截交线
棱锥的截交线，同棱柱一样也是平面多边形。当特殊位置 平面与棱锥相交时，由于棱锥的三个投影都没有积聚性，此时 截交线与截平面有积聚性的投影重合，可直接得出，其余两个 投影则需先在棱锥表面上定点，然后用作辅助线的方法求出。
（2）求一般位置点。在圆球的正面投影上任取a′、（b′）， 再通过a′、（b′）作水平圆，求其余两面投影a、b和a″、b″。 （3）判断可见性并光滑连接各点。由于被切去的是圆球的左、 上部分，所以截交线的水平投影和侧面投影都可见。依次连接各点 的同面投影，即得截交线的投影。
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[例6-2] 如图6-3a 所示，求作正三棱锥的截交线。
(a)已知条件
(b)作图结果
图5-3
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求作正三棱锥的截交线
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解:正三棱锥被正垂面斜切，其截交线是一个三角形。三角形 各顶点为三条棱线与截平面的交点，其正面投影与截平面的正面投 影重合，只需求作截交线的水平投影和侧面投影。具体作图步骤如 下：
直 观 图
投
影 图
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[例5-5] 如图5-6所示，求作被正平面P截切的圆锥的截交线。 当截平面垂直于圆锥轴线时，截交线是一个圆；当截平面过锥 顶时，截交线是过顶点的两条直线；当截平面与圆锥轴线斜交时 （θ>a），截交线是一个椭圆；当截平面与圆锥轴线斜交，且平行 一条素线时（θ=a），截交线是一条抛物线；当截平面与圆锥轴线 平行（θ=0°）或θ<a时，截交线为双曲线。
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四、圆柱的截交线
圆柱被平面截切后产生的截交线，因截平面与圆柱轴线的相对位
置不同有三种情况，即平行于轴线的两平行直线、圆和椭圆，见表61。
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表5-1 圆柱的截交线
截平面位置 截交线名称 与轴线平行 两平行直线 与轴线垂直 圆 与轴线倾斜 椭圆
直
观 图 投 影 图
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（3）判断可见性并光滑连接各点。由于圆柱被切去的是 左、上部分，所以其截交线的侧面投影为可见。 [例5-4] 如图5-5所示，画出开槽圆柱的三面投影。 解 圆柱的开槽部分是由两个平行于轴线的侧平面和一 个垂直于轴线的水平面截切而成的。侧平面与圆柱的截交线 是直线，分别是矩形截断面的前、后两边，水平面与圆柱面 的截交线分别是槽底平面的前后两段圆孤。 因为矩形截断面是侧平面，其正面投影有积聚性，所以 截交线AC和BD的正面投影a′c′和b′d′重合。截交线AC和 BD的水平投影积聚为圆周上的两个点a（c）、b（d）。与该 断面对称的另一矩形截断面的投影与此相同，二者的侧面投 影重影，而且反映实形。
图5-6
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求正平面截切圆锥的截交线
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解 截平面P 与圆锥面的轴线平行，截交线是双曲线，其水平 投影与截平面水平投影重合，只需求出反映双曲线实形的正面投影 即可。 作图： （1）求特殊位置点。截交线上最左、最右两点A、B，也是最低 点，位于底圆上，可由其水平投影a、b作投影连线求其正面投影a′、 b′。截交线上最高点C，其正面投影c′可用圆锥表面上取点的方法， 通过C点作水平圆求得。 （2）求一般位置点。截交线上的D、E点，可过锥顶S在锥面上作 辅助素线SⅠ和SⅡ求出，或者用过D、E点作辅助圆的方法求出。 （3）判断可见性并光滑连接各点。由于被切去的是圆锥的前半部 分，所以截交线的正面投影可见，依次连接a′d′c′e′b′即为截交 线的正面投影。
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[例5-3] 如图5-4所示，求作正垂面斜截圆柱的截交线。
解 因圆柱被正垂面斜切，故截交线是椭圆。椭圆的正 面投影与截平面的正面投影重合，为一直线；椭圆的水平投 影与圆柱面的水平投影相重合，是一个圆；椭圆的侧面投影 为类似形，仍是椭圆。可根据正面投影和水平投影求出侧面 投影。
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作图： （1）求特殊位置点。Ⅰ、Ⅲ点是相贯线上的最左、最右点， 也是最高点，在两圆柱正面投影的轮廊素线上。Ⅱ、Ⅳ点是相贯 线上最前、最后点，也是最低点，在小圆柱侧面投影的轮廊素线 上。由它们的水平投影和侧面投影即可求出正面投影1′、2′、 3′、（4′）。 （2）求一般位置点。在相贯线的水平投影上，定出左右、前 后对称点A、B、C、D的水平投影a、b、c、d，由此在相贯线的侧 面投影上求出 a″、b″、c″、d″，再按投影关系求其正面投 影a′、b′、c′、d′。 （3）判断可见性并光滑连接各点，就正面投影来说，前半段 相贯线在两个圆柱的可见表面上，所以它的投影1′、a′、2′、 b′、3′为可见，而后半段相贯线的投影1′、d′、6′、c′、 3′为不可见，但与前半段相贯线的可见投影重合。依次光滑连接 所求各点的正面投影，即可得相贯线的正面投影。
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六、圆球的截交线
截平面与圆球相交，不论截平面与圆球的相对位置如何，其 截交线在空间都是一个圆。 当截平面平行于投影面时，截交线在该投影面上的投影为圆 的实形；当截平面垂直于投影面时，截交线在该投影面上的投影 积聚为直线；当截平面倾斜于投影面时，截交线在该面上的投影 为椭圆。
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图5-5
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求作开槽圆柱的三面投影
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由于槽的底面是一个水平面，其正面投影有积聚性。所以截 交线（圆弧）的正面投影与其重合，截交线的水平投影与圆柱面 的水平投影重合。 作图：
（1）先画出完整圆柱的三面投影。
（2）根据槽宽、槽深依次画出槽的正面投影和水平投影。 （3）根据槽的正面投影和水平投影求出其侧面投影。
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(a)已知条件
(b)作图结果
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图5-4
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求作斜截圆柱的截交线
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作图：
（1）求特殊位置点。特殊位置点是指位于回转体轮廊素线 上的点和极限点（截交线上的最前、最后、最上、最下、最左、 最右点），这些点有时是互相重合的，它们对于确定截交线的 范围、判断可见性及作图的准确性都是十分重要的，应当首先 求出。 截交线上的Ⅰ、Ⅱ点既是最高、最低点，也是最右、最左 点，Ⅲ、Ⅳ点分别是最前点和最后点。根据正面投影1′、2′、 3′、（6′）和水平投影1、2、3、6可求出侧面投影1″、2″、 3″、6″。 （2）求一般位置点。为作图准确方便，可在截交线上的对 应位置求取等距离的一般点。如图中的A、B、C、D四点。先在正 面投影上定出a′、（d′）、b′、（c′），然后按立体表面取 点的方法求其水平投影a、b、c、d，再求其侧面投影a″、b″、 c″、d″。一般位置点的多少可根据作图准确程度的要求而定。
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二、棱柱截交线
求棱柱截交线，就是求出截平面与棱柱表面的一系列共有点， 然后依次连接即可。 [例5-1] 如图5-2a所示，求作斜截正六棱柱的截交线，并完 成其三面投影图。 解:分析已知投影图可知，截平面P为一正垂面，截交线是一 个六边形，六边形上的的六个顶点是六条侧棱与截平面的交线。截 交线的正面投影积聚成直线且与截平面的正面投影重合；截交线的 水平投影是正六边形且与棱柱的水平投影重合；截交线的侧面投影 为与其类似的六边形。根据截交线的正面投影a′、b′、c′、d′、 (e′)、(f′) 及水平投影 a、b、c、d、e、f， 即可求得其侧面投 影 a″、b″、c″、d″、e″、f″，依次连接各点即得截交线的侧 面投影。 因为棱柱的左、上部被切去，所以，截交线的侧面投影可见。 D点所在的侧棱侧面投影不可见，故画成虚线，其中下面一段虚线与 可见的A点所在的侧棱侧面投影重合。
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二、两圆柱正交的相贯线
求两圆柱正交的相贯线，可利用圆柱投影具有积聚性求之。 [例5-8] 如图5-10所示，求正交两圆柱的相贯线。
图5-10
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求两正交圆柱的相贯线
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解:正交是指两圆柱轴线垂直相交。由于两圆柱轴线分别垂 直于H面和W面，因此，相贯线的水平投影与小圆柱面的水平投影 重合，相贯线的侧面投影与大圆柱面的侧面投影（在小圆柱侧面 投影范围内的一段）重合，故只需求出相贯线的正面投影即可， 因为两圆柱前后对称相贯，所以相贯线后半部分的正面投影与其 前半部分的正面投影重合。
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第一节
一、截交线的概念
截交线
如图5-1所示，正六棱柱被平面P截为两部分，其中截断立体的 平面称为截平面；立体被截断后的部分称为截断体；立体被截切后 的断面称为截断面；截平面与立体表面的交线称为截交线。
图5-1
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棱柱的截交线
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截交线基本性质： （1）共有性。截交线是截平面与立体表面的共有线，截交线上 的点也都是它们的共有点。 （2）封闭性。由于立体表面是有范围的，所以截交线一般是封 闭的平面图形。 根据截交线性质，求截交线，就是求出截平面与立体表面的一 系列共有点，然后依次连接即可。求截交线的方法，既可利用投影 的积聚性直接作图，也可通过作辅助线的方法求出。
[例5-7] 如图5-8a所示，已知球阀阀芯的正面投影和阀芯上 垂直于侧面的圆柱孔的侧面投影，求阀芯的其余两面投影。
解:阀芯前后、左右对称，其主体是一个带圆柱孔的圆球。 其左、右两侧被侧平面截成两个侧平圆；上部被两个侧平面和一 个水平面截成一个凹槽。
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作图： （1）根据两侧截交线圆的正面投影作其水平投影和侧面投影。 （2）由圆球中部圆柱孔的正面投影和侧面投影作其水平投影因 孔的水平投影不可见，故画成虚线 （3）作凹槽的水平投影和侧面投影。扩展凹槽水平截平面的正 面投影，得截交线圆弧的半径的实长为c′d′、由此作出其水平投 影（两段圆弧）和侧面投影，再扩展凹槽两则的截平面的正面投影， 得截交线圆弧的半径的实长为a′b′，由此作出凹槽两侧截交线圆 弧的侧面投影（圆弧）和水平投影（直线）。 （4）根据投影关系作凹槽三个截平面之间交线的侧面投影，因 为不可见，画成虚线。其水平投影则分别与平行于侧面的截交线圆 弧的水平投影重合。
（1）Ⅰ、Ⅲ点位于棱线SC和SB上，其水平投影1、3可由其正面 投影作投影连线求出，再根据1′、1及3′、3求出1″、3″。
（2）Ⅱ点位于棱线SA （侧平线）上，按投影关系先求其 侧面投影2″，再根据2′、2″求水平投影2。也可用辅助线法求Ⅱ 点的水平投影。 （3）依次连接1、2、3和1″、2″、3″点即可得截交线的水平 投影和侧面投影。由于棱锥被切去的是左、上部分，故其截交线的 水平投影和侧面投影均可见（图6-3b）。