7.1 一元多项式环的概念及其通用性质解析

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一元多项式环的极大理想

一元多项式环的极大理想一元多项式环是代数学中的重要概念，它在代数、数论、几何等领域都有广泛应用。

而其中的极大理想更是这个环中的重要元素，具有深远的理论和实际意义。

首先，我们来看一看一元多项式环的定义。

一元多项式环指的是一组多项式的集合，其中每个多项式都可以表示为一个变量乘以一些常数的和。

例如，多项式环中的一个元素可以写作f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0，其中a_i是常数，x是变量，n是一个非负整数。

这样的环可以表示为R[x]，其中R是常数环。

在一元多项式环中，极大理想是一类特殊的理想。

理想是指包含于环中的子集，对于环中的元素的加法和乘法都满足封闭性。

而极大理想则是指在所有包含此理想的真理想中，没有其它真理想能包含它。

换句话说，极大理想是最大的真理想，不再包含于任何其他真理想中。

极大理想在一元多项式环中具有许多重要的性质。

首先，一元多项式环中的极大理想都是主理想，即由某个元素生成的理想。

这使得对极大理想的研究变得更加简单和直观。

另外，极大理想在环的结构和性质的研究中具有重要的指导意义。

通过研究一元多项式环中的极大理想，可以得到该环的一些重要的性质和结构信息。

例如，可以推导出环的维数和高度等重要概念，进一步研究环的代数性质。

此外，极大理想也与环的素理想和主理想之间的关系有着密切的联系。

极大理想还在现代数学的许多领域中有广泛应用。

在代数几何中，通过研究一元多项式环中的极大理想，可以得到曲线的切线和切点的信息。

在代数数论中，极大理想与数域的无理数、勒让德符号等有着紧密的联系。

在编码理论中，极大理想有着重要的应用，用于构造纠错码和检错码等。

综上所述，一元多项式环的极大理想是代数学中重要的研究对象，具有深远的理论和实际意义。

通过对极大理想的研究，不仅可以深入理解环的性质和结构，还可以在代数几何、代数数论、编码理论等领域中产生重要的应用。

因此，在代数学的学习和研究中，极大理想是不可或缺的内容之一。

【高等代数】04-多项式环

【⾼等代数】04-多项式环1. 多项式环1.1 基本定义和性质多项式是数学中的重要概念，在分析和代数中都有⼴泛的应⽤，线性变换也⾮常依赖多项式的理论。

虽然在不同场景下多项式描述的对象有较⼤差异，但它们却有着类似的代数结构，这⾥就从纯代数的⾓度讨论多项式的结构和性质。

以下我会花较多⼝⾆定义什么是多项式，这种看似“学究”的做法其实正是数学的抽象性和严密性所在。

先来看多项式的组成元素“（⼀元）项”，它具有形式ax^n，其中n是⼀个⾮负整数，它表⽰项的次数，a是某个环R或域F的元素，被称为系数，x是不定元。

要特别强调的是，这⾥并没有定义项的实际意义，不定元可能是任何满⾜条件的数学概念。

a和x^n之间也不能看成是某个具体的乘法，这⾥只是⼀个书写格式，项永远是作为⼀个整体看待的。

系数为0的项被定义为互相相等的，⽽其它项相等的充要条件是系数和次数都相等。

另外，在项之间还定义有如式（1）的加法和乘法，且乘法对加法满⾜分配率。

有了这些准备就可以定义多项式了，⼀个环R上的（⼀元）多项式是有限个⾮零项之和，它的最终形式是式（2）。

为了叙述⽅便，0次项被直接写做a_0，但不要忘了其实际意义a_0x^0。

系数⾮零的最⾼次项也称多项式的⾸项，⽽n也叫f(x)的次数，记作\deg f(x)。

由项的定义不难断定：多项式由它的系数序列(a_0,a_1,\cdots,a_n)唯⼀确定。

环R上的所有⼀元多项式集合记做R[x]，不难证明在乘法和加法的定义下，R[x]构成⼀个环（0系数的项为零元，当R有单位元时x^0也为单位元），它叫多项式环。

ax^n+bx^n=(a+b)x^n;\;\;ax^m\cdot bx^n=(ab)x^{m+n}\tag{1}f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,\;\;(a_k\in R,a_n\ne 0)\tag{2} 其实在《抽象代数》中，我们已经专门讨论过多项式的性质，故对那些已经论述过的结论，这⾥就不重复证明过程了。

一元多项式环的举例

一元多项式环的举例一元多项式环是一种数学概念，它是由一组多项式和一组运算构成的代数结构。

在一元多项式环中，多项式的系数属于某个数域，通常是实数域或复数域。

下面我将列举10个例子，以帮助您更好地理解一元多项式环。

1. 例子一：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于实数域。

一个简单的例子是多项式环R[x]，其中R是实数域。

在这个环中，多项式的系数可以是实数，而变量x是多项式的未知数。

2. 例子二：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于复数域。

一个常见的例子是多项式环C[x]，其中C是复数域。

在这个环中，多项式的系数可以是复数，而变量x是多项式的未知数。

3. 例子三：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于有理数域。

一个典型的例子是多项式环Q[x]，其中Q是有理数域。

在这个环中，多项式的系数可以是有理数，而变量x是多项式的未知数。

4. 例子四：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于整数环。

一个常见的例子是多项式环Z[x]，其中Z是整数环。

在这个环中，多项式的系数可以是整数，而变量x是多项式的未知数。

5. 例子五：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于有限域。

一个典型的例子是多项式环F[x]，其中F是有限域。

在这个环中，多项式的系数可以是有限域中的元素，而变量x是多项式的未知数。

6. 例子六：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于布尔环。

一个简单的例子是多项式环B[x]，其中B是布尔环。

在这个环中，多项式的系数只能是0和1，而变量x是多项式的未知数。

7. 例子七：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于有限整数环。

一个典型的例子是多项式环Z/nZ[x]，其中Z/nZ是有限整数环。

在这个环中，多项式的系数可以是有限整数环中的元素，而变量x是多项式的未知数。

8. 例子八：考虑一个一元多项式环，其中多项式的系数属于有限域的扩域。

一个常见的例子是多项式环F[x]/(f(x))，其中F是有限域，f(x)是F[x]中的一个不可约多项式。

一元多项式的定义和运算讲解

定理 2.4.1
令f (x)是F [x]的一个次数大于零的多项式，并且
此处
定理 2.4.2
例在有理数域上分解多项式为不可约因式的乘积.容易看出
（2）
一次因式x + 1自然在有理数域上不可约.我们证明，二次因式也在有理数域上不可约.不然的话, 将能写成有理数域上两个次数小于2的因式的乘积，因此将能写成
这个定义的条件也可以用另一种形式来叙述
若多项式有一个非平凡因式而，那么与的次数显然都小于的次数.反之，若能写成两个这样的多项式的乘积，那么有非平凡因式.因此我们可以说：
这里
多项式的减法
2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
（1）加法交换律:
（2）加法结合律:
（3）乘法交换律:
（4）乘法结合律:
（5）乘法对加法的分配律:
注意：
要把一个多项式按“降幂”书写
当
时，
叫做多项式的首项.
2.1.6 多项式的运算性质
定理
是数环R上两个多项式,并且
定义 2
设是多项式与的一个公因式.若是能被与的每一个公因式整除,那么叫做与的一个最大公因式.
定义 1
的任意两个多项式与一定有最大公因式.除一个零次因式外, 与的最大公因式是唯一确定的,这就是说，若是与的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为零的数 c与的乘积，而且当与不全为零多项式时，只有这样的乘积是与的最大公因式.
由此得出，
是
与
的最大公因式，而
定理 2.3.3
的两个多项式与互素的充分且必要条件是：在中可以求得多项式与，使

【论文】多项式环的性质

摘要本文主要以多项式环的运算性质为基础,讨论了多项式环的一些重要的性质.通过推广,得出了幂级数环的一些性质.关键字：环上一元多项式环；环上多元多项式环；幂级数环ABSTRACTThis article mainly discusses some important nature of the polynomial ring that is based on the operational properties of it.By means of generated, we can obtain the nature of infinite polynomial with coefficients in a ring.Key words：Polynomial with coefficients in a ring with one variable；The polynomial with coefficients in a ring with variables；Infinite polynomial with coefficients in a ring目录第一章引言 (1)第二章一元多项式环 (3)2.1一元多项式环的定义 (3)2.2一元多项式环的运算 (6)第三章环上多项式的性质 (9)3.1环上的一元多项式的性质 (9)3.2环上多元多项式的性质 (12)3.3环上幂级数环的性质 (13)第四章总结 (17)参考文献 (19)致谢 (21)第一章引言多项式是代数学中所研究的基本对象之一,它不但与高次方程的讨论有关,而且在进一步学习代数以及其他数学分支时也都会碰到.但我们一般对多项式的讨论,总是在一个预先定的数域作为前提.数学渐渐进步,我们发现可以对若干不是数的事物,用类似数的普通计算方法来加以计算,我们后来碰到的环就是其中一种.由此我们便可以把数域上的多项式推广到任意环上的多项式,从而得到一类特殊的多项式——环上多项式.对环上多项式定义加法和乘法两种运算,由环定义,我们可以得到一类特殊的环——环上多项式.在抽象代数中,多项式环推广了初等数学中的多项式.一个环R上的多项式环是由系数在R中的多项式构成的环,其中的代数运算由多项式的乘法与加法定义.在数域上,多项式在加法适合交换律、结合律,对乘法适合交换律、结合律和消去律,同时乘法对加法适合交换律.在环上,多项式对以上定理基本上成立,但乘法交换律和消去率在环上不成立.如果环是一个有单位的交换环,那么交换律在环上是成立的,可消去律是不成立的.幂级数是多项式的延伸,是把多项式从有限项扩展到了无限项.环上多项式与数域上多项式存在许多相同和不同之处,同样,环上幂级数与数域上幂级数存在许多相同之处. 在本文中,重点讨论了环上多项式的一些特殊的性质.第二章一元多项式环2.1一元多项式环的定义定义2.1.1 设K 是一个数域,x 是一个不定元.下面的形式表达式2012()n n f x a a x a x a x =+++++（其中012,,,...a a a 属于K ,且仅有有限个不为0）称为数域K 上的一个不定元x 的一元多项式.数域K 上一个不定元x 的多项式的全体记作[]K x .下面定义[]K x 内加法、乘法如下：加法设20122012(),(),f x a a x a x g x b b x b x =+++=+++则定义2001122()()()()()f x g x a b a b x a b x +=++++++为()f x 和()g x 的和. 乘法设20122012(),(),f x a a x a x g x b b x b x =+++=+++令011220(0,1,2,...)k k k k k c a b a b a b a b k --=++++=定义2012()(),f xg x c c x c x =+++为()f x 和()g x 的乘积.容易验证,上面定义的加法、乘法满足如下运算法则： (1) 加法有交换律：()()()()f x g x g x f x +=+；(2) 加法有结合律：(()())()()(()())f x g x h x f x g x h x ++=++；(3)20()000x x x =+++称为零多项式,满足()0()()(()[])f x x f x f x K x +=∀∈ ；(4) 2012()f x a a x a x ∀=+++,都有逆元2012()()()f x a a x a x -=-+-+-+,使得()(())0f x f x +-=；(5) 乘法有交换律：()()()()f x g x g x f x ⋅=⋅；(6) 乘法有结合律：(()())()()(()())f x g x h x f x g x h x ⋅=⋅；(7) 2()100I x x x =+++称为（乘法的）幺元,使得()[]f x K x ∀∈有()()()f x I x f x =；(8) 加法与乘法有分配律：()(()())()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+；(9) 乘法有消去律：如果()()()()f x g x f x h x ⋅=⋅且()0f x ≠,那么()()g x h x =.定义2.1.2 []K x 连同上面定义的加法与乘法,称为数域K 上的一元多项式环.下面我们把数域上的多项式扩广到任意环上的多项式.设0R 是一个含有单位元01R 的可变换环.又设R 是0R 的子环且R R ∈01,现考察0R 中含R 及任取一元素0R ∈α的最小子环：[]()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==∑是非负整数n R a a a f R i ii ,αα显然每个()0100R a a a a f n n ni i i ∈+++==∑=αααα .定义2.1.3 如上形式的()αf 每个元素都叫做R 上关于α的一个多项式,而每个i a 都叫做该多项式()αf 的系数.下面我们希望能将[]αR 做成一个环.事实上([]αR 是0R 的一个子环)()()∑∑====∀nj j j mi ii b g a f 0,αααα, 定义规则如下:(当m n <)()()()∑=+=+nj j j j b a g f 0ααα, 必定假设 021====++n m m a a a .()(),000∑∑∑+====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅m n k k k n j jj m i i i C b a g f ααααα其中∑=+=kj i ji k ba C又 ()()∑∑==-=-=-mi i i mi ii a a f 0ααα可知()()()()()[]ααααααR g f f g f ∈⋅-+,,∴ []R α确定是一个环. (是含R 和α的最小的子环)定义2.1.4 如果上方得到的环[]R α叫做R 上的α的多项式环.显然[]αR 是0R 的一个子环,但R 中每个多项式()αf 的表达形式未必唯一.譬如,设Z R =,而R R =∈=02α. 那么Z 中的零元()()2222200+-=+=α.∴ 0的表达式不唯一.换句话说:上述定义的多项式环中会出一种现象:()02210=++++=n n a a a a f αααα ,但系数n a a a a ,,,,210 不全为零.这显然与高等代数中多项式的零多项式的定义相矛盾.于是,我们有必要对0R ∈α做如下的讨论.定义2.1.5 设R R ,0和α如前所示,称α为R 的一个未定元(超越元),若在R 中找不到不全为零的元素n a a a ,,,10 使()*=∈∀=++++=∑N n a a a a a n n ni i i ,022100αααα ( 即 002100=====⇔=∑=n ni i i a a a a a α ) .否则称α为R 上的代数元.习惯上,记R 上的未定元为x .有上述的理论做“底子”,现可以定义多项式()x f 的其他运算问题.2.2一元多项式环的运算设R 是有单位元的交换环,x 是一个不定元,形如2012n n a a x a x a x +++⋅⋅⋅+的元叫做环的一个多项式,其中012,,,,n a a a a R ⋅⋅⋅∈,n 是非负整数.为了表示这种和是有限元的,也可用下式表示：i i a x <∞∑,其中规定01x =,将环R 上的所有一元多项式构成的集合表示为[]R x ,并定义如下加法和乘法：()()()()()()i j ki j kk iji j ki j ki j i j ijki j ka x a x ab x a x a x a b x αβαβ+=+=+=+=+⋅==∑∑∑∑∑∑∑对于这样的定义加法与乘法运算具有如下一些性质：（1）加法适合交换律,即对(),()[]f x g x R x ∀∈,必有()()()()f x g x g x f x +=+. 证明：设2012()n n f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+,2012()n n g x b b x b x b x =+++⋅⋅⋅+,则2001122()()()()()()n n n f x g x a b a b x a b x a b x +=++++++⋅⋅⋅++, 2001122()()()()()()n n n g x f x b a b a x b a x b a x +=++++++⋅⋅⋅++；由于环对于加法来说是一个加群,所以0000a b b a +=+,1111a b b a +=+,n n n n a b b a +=+,故()()()()f x g x g x f x +=+.（2）加法适合结合律,即对(),(),()[]f x g x h x R x ∀∈,必有(()())()()(()())f x g x h x f x g x h x ++=++.证明：设2012()n n f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+,2012()n n g x b b x b x b x =+++⋅⋅⋅+,0()h x c =+212n n c x c x c x ++⋅⋅⋅+,则000111(()())()[()][()][()]n n n n f x g x h x a b c a b c x a b c x ++=++++++⋅⋅⋅+++, 000111()(()())[()][()][()]n n n n f x g x h x a b c a b c x a b c x ++=++++++⋅⋅⋅+++,由于环R 对于加法来说是一个加群,所以000000()=()a b c a b c ++++,111()=a b c ++111()a b c ++,⋅⋅⋅,()=()n n n n n n a b c a b c ++++故(()())()()(()())f x g x h x f x g x h x ++=++.（3）乘法适合交换律,即对(),()[]f x g x R x ∀∈,必有()()()()f x g x g x f x =. 证明：设2012()n n f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+,2012()n n g x b b x b x b x =+++⋅⋅⋅+,等式左边()()f x g x 中s 次幂项系数为：i ji j sa b+=∑,等式右边()()g x f x 中s 次幂项系数为：j ii j sb a +=∑.因为环R 适合交换律,所以i j j i a b b a =,ijj ii j si j sa bb a +=+==∑∑,故()()()()f x g x g x f x =.（4）乘法适合结合律,即对(),(),()[]f x g x h x R x ∀∈,必有(()())()()f x g x h x f x ⋅⋅=⋅(()())g x h x ⋅.证明：设2012()n n f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+,2012()n n g x b b x b x b x =+++⋅⋅⋅+,01()h x c c x =+22n n c x c x ++⋅⋅⋅+,等式左边()()f x g x ⋅中s 次幂项系数为：i j i j sa b +=∑,因此左边t 次幂项系数为：()i jki j k s k t i j ki j k ta b ca b c +=+=++==∑∑∑；等式右边()()g x h x ⋅中r 次幂项系数为：j kj k rb c+=∑因此右边t 次幂项系数为：()ij ki j k i r tj k ri j k ta b c a b c +=+=++==∑∑∑,与左边的t 次幂项系数一样,所以左边等于右边,这就证明了乘法满足结合律.（5）乘法对加法适合结合律,即对(),(),()[]f x g x h x R x ∀∈,必有()(()())f x g x h x +=()()()()f x g x f x h x +.证明：设2012()n n f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+,2012()n n g x b b x b x b x =+++⋅⋅⋅+,01()h x c c x =+22n n c x c x ++⋅⋅⋅+,由乘法和加法的定义,等式左边()(()())f x g x h x +中k 次幂项的系数为()ijj i jiji j ki j k i j ka bc a b a c+=+=+=+=+∑∑∑,同样,等式右边()()()()f x g x f x h x +中k 次幂项的系数为ijiji j ki j ka b a c+=+=+∑∑,所以()(()())()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+.但是环R 上的多项式和数域上的多项式也存在许多不同之处,例如：环R 上的多项式对乘法不适合消去率.集合[]R x 中的元素,对于上面定义的加法和乘法运算,显然是一个环,我们称它为环R上的一元多项式环,记作[]R x.第三章环上多项式的性质一般环上的多项式是不可逆的.本章将探讨一类非整环上的可逆多项式存在问题,也讨论了有限项多项式环上以及无限项的幂级数环上的性质.3.1环上的一元多项式的性质首先,我们称[]R x 中次数为零的可逆元（即R 的可逆元）为平凡可逆元, 次数不为零的可逆元为非平凡可逆元.我们先叙述一个后面将多次用到的事实.定理3.1.1 设R 是一个有单位元1的交换环.a 是R 的一个幂零元,那么1a +是R 中一个可逆元,并且由此推出,环R 的幂零元与可逆元之和是R 的可逆元.证明：若0,a =引理显然成立.假定0,a ≠必有某正整数n ,使0na =.由初等数学知,有如下两种情形:1)若n 为偶数,2,n k =那么有 222111(1)(1)kk aa a a a -=-=+-+-⋅⋅⋅-2)若n 为奇数,21n k =+,那么有 212211(1)(1)k k aa a a a +=+=+-+-⋅⋅⋅+无论哪种情形,1a +右边的因子都不等于零.又由于R 是交换的,故1a +为可逆元. 下面证明第二个断言.由于R 是交换的,故易知R 中可逆元与幂零元之积是幂零元,可逆元与可逆元之积是可逆元.令b 是R 中一个可逆元,于是1b a R -∈是一个幂零元.按前证,11b a -+是可逆元.所以 1()b I b a b a -+=+是可逆元,即证明了可逆元与幂零元之和为可逆元.定理证毕.定理 3.1.2 设01,0,nn n f a a x a x a =++⋅⋅⋅+≠是[]R x 中的一个多项式.那么,f 在[]R x 中可逆的充分必要条件是0a 为R 中的可逆元,12,,,n a a a ⋅⋅⋅为幂零元.证明：如果f 是[]R x 中的可逆多项式.设它的逆为01,mm g b b x b x =++⋅⋅⋅+不妨假定.n m ≤于是有200121.n mn m fg a b P x P x P x++==+++⋅⋅⋅+ 因为x 是不定元,由定义得 001,0,1,2,,.i j kj k ia b P a bi m n +=====⋅⋅⋅+∑我们对r 使用归纳法证明10()r n m r a b r n +-=≤ b.当r 为0时,0,n m a b =因为0.n m n m a b P +==假定对r <的一切自然数t 都有11t n m a b +-.考察乘积fg 中x 的n m r +-次项的系数n m r P +-,我们有10n m rn m r j n m r j n rP a b +-+-+--=-==∑1111.n r m n r m n m r n m r a b a b a b a b --+---+-=++⋅⋅⋅++等式两端乘以rn a ,因为R 是可交换环,由归纳假设,可得0r n n r m n r n m a a b a a b --==.221111110,,r r r n n r m n r n n m n n m r a a b a a a b a a b --+--+---+==⋅⋅⋅(1)11(1)0r n n m r a a b -+---==,从而由上面等式的最后一项得10r n m r a b +-=.所以对于一切自然数r n ≤,都有10r n m r a b +-=成立,特别的,当r n m ==时,就得 100m n a b +=.已有001a b =,知0a 为可逆元.同时0b 也是可逆元.即有10b -存在,于是由上面最后的等式知10m na +=,从而n a 与n n a x 为幂零元.令1nn f f a x =-,这是一个可逆元与幂零元的和式,故知1f 为可逆元.但101f a a x =++⋅⋅⋅11n n a x --+,与上面证明n a 为幂零元的过程完全一样,在1f 为可逆元的条件下可以证得1n a -为幂零元,…,如此逐步证明下去,我们就得到11,,,n n a a a -⋅⋅⋅都是幂零元.反之,假定在01nn f a a x a x =++⋅⋅⋅+中,0a 为可逆元,12,,,n a a a ⋅⋅⋅为幂零元,那么,因为212,,,n n a x a x a x ⋅⋅⋅都是幂零元,由引理,显然易得多项式01n n f a a x a x =++⋅⋅⋅+是可逆的,即充分性得证.这个定理指出了,一类有幂零元零因子的非整环上的多项式环,可能有非平凡的可逆多项式.定理同时给出了一个在这种环上的可逆多项式的判别法则. 下面我们给出一个例子.考虑剩余类环m Z ,这里1212t a a at m p p p =⋅⋅⋅为整数,i p 是互不相等的素数,0i a >为整数.若,(,)1a Z a m ∈=,则m a Z ∈为可逆元.m b Z ∈为幂零元的充要条件是可写 21,t b kp p p k Z =⋅⋅⋅∈易知m Z 中幂零元的个数是1211112t a a a t s p p p ---=⋅⋅⋅.如果121t a a a ===,那么m Z 中仅有1s =个幂零元,没有其他非零的幂零元,m Z 为整环.我们考虑m Z 为非整环的情形.若对某1(1),i m a i t Z >≤≤中有非零的幂零元,由前面我们证明的定理知.[]m Z x 中有非平凡的可逆元(多项式),这些可逆多项式形如01mii i a b x =+∑其中021(,)1,,i i t i m a m b k p p p k Z ==⋅⋅⋅∈,即0a 是m Z 中的可逆元,i b 是m Z 中的幂零元. 特别值得一提的是,当12,1i a i t ≤≤≤≤时,[]m Z x 中次数不高于一个定数u 的一切可逆元关于此环的乘法作成一个有限群.读者可自行验证之.回到开头提出的问题.若D 是一个整环,那么,D 上不定元x 的多项式环[]D x 中的可逆多项式就是D 中的可逆元素即[]D x 中的“零次”多项式.因此时D 中仅有唯一的幂零元0.于是我们直接得出与通常整环上相一致的结果.定理3.1.3 多项式f 是幂零的当且仅当它的所有系数都是幂零的.证明：（1）先证“充分性”.我们易证,如果,m n 是幂零元,则m n ±也是幂零元.f 是幂零元,显然0a 是幂零元,则有1012()n n f a x a a x a x --=++⋅⋅⋅+是幂零元.令112n n g a a x a x -=+++⋅⋅⋅+,则g 也是幂零元,那么1a 必为幂零元.依此类推可知01,,,n a a a ⋅⋅⋅是R 中的幂零元.（2）再证“必要性”.01,,,n a a a ⋅⋅⋅是R 中的幂零元,那么01,,,nn a a x a x ⋅⋅⋅也是[]R x 中的幂零元,因为,m n 是幂零元,则m n ±也是幂零元.所以可以推出f 是[]R x 的幂零元. 下面我们给出一个可逆多项式的判别法则.首先约定,后面提到的多项式的系数环,乃指有单位元的可交换环,不论其有无零因子.定理3.1.4 f 是[]R x 的零因子当且仅当有R 中的非零元a ,使得0af =. 证明：（1）先证“充分性”,显然成立.我们来证明必要性.（2）“必要性”.考察最低次得多项式01m m g b b x b x =++⋅⋅⋅+,使得0fg =.由于0()0m nki j k i j kfg a b x +=+===∑∑,由定理3.1.2可知0n m a b =,可以推出0n a g =；否则n a g 将是次数小于m 的零化f 的多项式,这就矛盾.由110n m n m a b a b --+=及0n m a b =可得210n m a b -=.于是得到10n a g -=.否则1n m a b g -将是次数小于m 的零化f 的多项式,这也矛盾. 依此类推可得：0n r a g -= 0r n ≤≤由于0g ≠,故01,,,m b b b ⋅⋅⋅中必有一元素不为零,令0i b ≠,由前边的证明可知：0i j a b =0,1,,i n =⋅⋅⋅.所以令j a b =,就有0af =.推论3.1.1 环R 是整环当且仅当[]R x 是整环.3.2环上多元多项式的性质同环上一元多项式一样,环上的多元多项式也具有一些类似的性质.设0R 是可变换的幺环,而R 是0R 的子环且R R ∈01.现任取0R 中n 个元素12,,,n x x x ⋅⋅⋅,我们可以依次做如下工作:首先作R 上的1x 的多项式环1[]R x , 再作2[]R x 上的2x 的多项式环 12[][]R x x ,最后作上12[][][]n R x x x ⋅⋅⋅的n x 的多项式环1[][].n R x x 其中, ()1212,,,[][][]n n f x x x R x x x ∀⋅⋅⋅∈⇒121212n n i i i i i i na x x x =∑ 其中,,21R a n i i i ∈ 系数只有有限个0≠.定义3.2.1 上述描述的每个()12,,,n f x x x ⋅⋅⋅称为R 上的12,,,n x x x ⋅⋅⋅的多元多项式,而每个n i i i a 21叫做()12,,,n f x x x ⋅⋅⋅的系数.习惯上, R 上的12,,,n x x x ⋅⋅⋅的多项式环1[][]n R x x 写成12[,,,]n R x x x ⋅⋅⋅. 对于多元多项式环中加法和乘法的运算为:(11211n nni i i i i n i i a xx ∑)11211n j n j nj j j j n j b x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭∑ ()11111nnnni i i i i i ni i ab xx =+∑(11211nn n i i i i i ni i a xx ∑)(1111n n n j j j j n j j bxx ∑)1111nn nk k k k nk k cxx =∑ 其中,111nn nm m mk k i i j j i j k c a b +==∑定理3.2.1 a 是12[,,,]n R x x x ⋅⋅⋅中的幂零元,那么f 的常数项必为幂零元.证明：a 为的f 常数项,那么1()f a f x =+且112()[,,,]n f x R x x x ∈⋅⋅⋅.因为f 为12[,,,]n R x x x ⋅⋅⋅中的幂零元,则存在n Z ∈,使得0n f =,即1(())n n f a f x =+.由1(())na f x +展开可知,n f 的展开式中只有n a 为常数项,于是2()n n f a f x =+,2()f x 为含有不定元得所有项.若0n f =,则必有0n a =,所以a 必为幂零元.3.3环上幂级数环的性质在以上章节中,我们讨论了有限项的多项式,下面我们来讨论项数无限的幂级数环的性质.定义3.3.1 R 设是有单位元的交换环,x 是一个未定元,系数取自环R 的幂级数有如下表达式：2012n n a a x a x a x +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅其中012,,,,,n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是环R 中的元素,n 是非负整数,上式也可表示为0i i i a x ∞=∑,并规定01x =.在环R 中所有的幂级数构成的集合[]R x ,并定义如下加法和乘法：000()()()()()()ijki j k k i j k i j ki j k k i j k i j ka xb x a b x a x b x a b x ∞∞∞===∞∞∞===+=+=+=∑∑∑∑∑∑∑定义3.3.2 所有系数在环R 上的幂级数全体构成的集合称为R 上的幂级数环[]R x .同环上多项式一样,环上幂级数也具有一些类似的性质,设R 是有单位元的交换环,而[]R x 是系数属于R 的一个未定元x 幂级数环. 令2012[]n n f a a x a x a x R x =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∈ ,定理3.3.1 若0a 是R 中的可逆元,则f 是[]R x 的可逆元.证明：把2012[]n n f a a x a x a x R x =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅∈变成0()f a xg x =+的形式,则()[]g x R x ∈.因为0a 是R 中的可逆元,我们用待定系数法来求一个1101()f a xg x -=+使得11ff =.设2012();g x x x βββ=+++⋅⋅⋅21012()g x x x γγγ=+++⋅⋅⋅ i γ待定,则方程组：1000010100101020110201001100000n n n n a a a a a a a a γβγβγβγβγβγβγβγβγβ------+=++=+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅可逐次求出012,,,γγγ⋅⋅⋅⋅⋅⋅.所以1f 存在.故当2012n n f a a x a x a x =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅,0a 为R 中的可逆元时,f 是[]R x 的可逆元.定理3.3.2 如果f 是[]R x 的幂零元,那么对于一切0n ≥,n a 都是幂零元.证明：因为f 是[]R x 的幂零元,则存在0n >,使得0()0nn n n n f a x ∞===∑,则00na =,所以0a 是幂零元.于是可以得出0f a -也是幂零元. 又因为20123()()f a x a a x a x xg x -=+++⋅⋅⋅=,因此2123()g x a a x a x =+++⋅⋅⋅也必为幂零元,故可以得出1a 是幂零元.依此类推可得012,,,a a a ⋅⋅⋅都是幂零元.第四章总结本文从一般的数域上的多项式出发,经过推广,得出在环上的多项式,并通过对环上的多项式定义加法和乘法,得出了环上的多项式环.我们也进一步讨论了多项式的运算性质.而在有单位的交换环上,环上多项式环具有许多与其它环不同的性质,本文着重讨论了具有单位元的交换环上的环上多项式的一些特性.本文首先讨论的是有限项的多项式环,并将其推广至无限项的多项式环上——幂级数环. 同有限项的多项式一样,环上幂级数也具有一些类似的性质.我们根据环R的幂零元与可逆元之和是R的可逆元,得到了[]R x的可逆元和幂零元存在的条件.数域上的多项式环和环上的多项式环存在着许多不同的性质,同样,有限项多项式和无限项多项式也存在着很多联系和区别,这些联系和区别都有待于我们进一步思考.参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第二版）[M].高等教育出版社,1988.[2] 张禾瑞. 近世代数基础[M] . 北京: 高等教育出版社, 1978.[3] 周伯勋. 同调代数[M]. 科学出版社,1997.[4] 李正师. 多项式代数[M]. 山东人民出版社,1981.[5] 范崇金. 近世代数基础[M]. 哈尔滨工程大学出版社,2008.[6] 辛林. 近世代数[ M] . 北京:当代中国出版社, 2000.[7] 高绪珏. 近世代数[M]. 沈阳:辽宁人民出版社, 1985.[8] 吴品三. 近世代数[M] . 北京:高等教育出版社, 1979.[9] 刘绍学. 环与代数[M] . 科学出版社, 1983.[10] 高绪珏. 近世代数[M]. 沈阳:辽宁人民出版社, 1985.致谢首先,非常感谢欧阳伦群老师对我完成论文这一过程的指导,他渊博的知识,扎实的基础和严谨的科研态度,悉心的指导,才使我的论文能够顺利完成.其次,我要感谢数学学院的老师,他们在我四年的学习中,传授了我宝贵的知识,为我论文的顺利完成打下了基础.同时我也要感谢我所有的同学,在与他们的讨论中我获得了很多知识和启迪.最后,感谢我的家人和朋友给我的支持和鼓励,我一定会继续努力,争取以更优异的成绩回报社会.。

一元多项式环的概念及其通用性质

03 一元多项式的加法与减法
加法规则
设两个一元多项式为$P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$和$Q(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + ldots + b_mx^m$，则它们的和$P(x) + Q(x)$定义为系数相加，即$(a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n) + (b_0 + b_1x + b_2x^2 + ldots + b_mx^m) = (a_0+b_0) + (a_1+b_1)x + (a_2+b_2)x^2 + ldots + (a_n+b_n)x^n$。
一元多项式环的概念及其通用性质
目录
• 一元多项式环的定义 • 一元多项式环的基本性质 • 一元多项式的加法与减法 • 一元多项式的乘法 • 一元多项式的除法 • 一元多项式环的特殊性质
01 一元多项式环的定义
定义
一元多项式环是由所有一元多项式构成的环，其中加法、减法和乘法运算封闭。
一元多项式环中的元素称为一元多项式。
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举例说明：$(x^2+3x+2) - (x+1) = (1-1)x^2 + (3-1)x + (2-1) = 0x^2 + 2x + 1$。
04 一元多项式的乘法
单项式与多项式相乘
定义
举例
单项式与多项式相乘是指将单项式的每一项分别与多项式的每一项相乘，并合并同类项。

近世代数课件环的概念

命题 1.3 设 R 是一个环.那么, (1) 0a a0 0 ; (2) (a)b a(b) ab ; (3) (a)(b) ab; (4) a(b c) ab ac , (b c)a ba ca ;
§1 环的概念
(5)
m i 1
ai
n
bj
j 1
m i 1
n j 1
§1 环的概念
如果将一个交换群的代数运算叫做加法,并记作“”, 那么习惯上要对术语和记号作相应调整:
设 (G, ) 是一个交换群.我们定义 G 上的减法如下: a b a (b) , a, b G .
显而易见,对于任意的 a, b, c G ,我法是加法的逆运算.
§1 环的概念
容易验证,模 n 剩余类的乘法“ ”适合结合律 , 并且对模 n 剩余类的加法“”适合分配律 . 所以 (Z n , , ) 是一个环(称为模 n 剩余类环).
我们约定，今后凡是提到“环Ζ n ”，总是指模 n 剩余类环.
例 4 令 Z[x], Q [x], R[x] 和 C[x] 依次表示全体整系数一元多项式,全体有理系数一元多项式,全体实系数一元多项式和全体复系数一元多项式分别构成的集合.
证明 (1)由于 0a 0a (0 0)a 0a ,因此 0a 0 . 同理可证, a0 0 .
(2) 由于 ab (a)b (a (a))b 0b 0 , 因此 (a)b ab.同理可证, a(b) ab .
(3)根据(2),我们有 (a)(b) (a(b)) (ab)) ab.
§1 环的概念
容易验证, Z[x] , Q [x], R[x] 和 C[x] 关于多项式的加法和乘法分别构成环,依次称为整系数一元多项式环,有理系数一元多项式环,实系数一元多项式环和复系数一元多项式环,也可以依次称为 Z 上的一元多项式环,Q 上的一元多项式环,R 上的一元多项式环和 C 上的一元多项式环.

多项式环的定义

多项式环的定义多项式环是数学中的一个重要概念，它在代数学、数论、计算机科学等领域都有广泛的应用。

本文将介绍多项式环的定义及其相关概念，以及它在代数学中的重要性。

多项式环是由一组多项式构成的环。

在代数学中，环是一种特殊的数学结构，它包含了加法和乘法运算，并满足一定的运算规则。

多项式环是一种特殊的环，它由多项式构成。

在多项式环中，多项式是基本的元素。

一个多项式由一组系数和一组指数构成。

系数可以是实数、复数或其他代数结构中的元素，而指数则是非负整数。

多项式的形式可以表示为：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中，P(x)表示多项式，a_n到a_0表示系数，x^n到x^0表示指数。

多项式环中的加法运算是多项式的系数相加，乘法运算是多项式的系数相乘并按指数相加。

例如，多项式环中的两个多项式P(x)和Q(x)的加法和乘法可以表示为：P(x) + Q(x) = (a_n + b_n)x^n + (a_{n-1} + b_{n-1})x^{n-1} + ... + (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0)P(x) * Q(x) = (a_n * b_m)x^{n+m} + (a_n * b_{m-1} + a_{n-1} * b_m)x^{n+m-1} + ... + (a_1 * b_0 + a_0 * b_1)x + a_0 * b_0多项式环的定义可以推广到多个变量的情况。

在多变量的多项式环中，每个多项式的变量可以是不同的，而系数和指数的定义与一元多项式环相同。

多项式环在代数学中有着广泛的应用。

它是一种重要的代数结构，可以用来研究和解决各种代数问题。

在线性代数中，多项式环可以用来表示和求解线性方程组。

在数论中，多项式环可以用来研究数的性质和素性。

在计算机科学中，多项式环可以用来设计和分析算法，解决各种计算问题。

多项式环的性质和运算规则在代数学中有着重要的地位。

丘维声高等代数第七章1

g=1 2 −1
f =2 3 0 5 h=2 −1 2 4 −2 −1 2 5 −1 − 2 1
r=4 4
11
例已知
f ( x) = 2x4 − 6x3 + 3x2 − 2x + 5, g( x) = x − 2
求 g( x)除 f ( x)的商式和余式。解（带余除法）
x − 2 2x4 − 6x3 + 3x2 − 2x + 5 2x3 − 2x2 − x − 4 2x4 − 4x3 − 2x3 + 3x2 − 2x + 5 − 2x3 + 4x2 − x2 − 2x + 5 − x2 + 2x − 4x + 5 − 4x + 8
证明充分性设 f ( x) = cg( x), c ∈ K ∗，则 c 也是 K[x]中的多项式，故 g( x) | f ( x)。又 g( x) = 1 f ( x)，
c
所以 f ( x) | g( x)，于是 f ( x) ~ g( x)。
必要性设 f ( x) ~ g( x)，则 f ( x) | g( x) 且 g( x) | f ( x)，于是存在 h1( x), h2( x) ∈ K[x]，使
例若 A ∈ K n×n满足：存在正整数 l 使 Al = 0，则对任意k ∈ K ， I + kA可逆。
4
证明因为在 K[x]中，
1 − xl = (1 − x)(1 + x + x2 +"+ xl−1 )
把 -kA 代入 x，得
( I + kA)[I + (−kA) + (−kA)2 − " + (−kA)l−1] = I − (−kA)l = I − (−k)l Al = I

多项式环的算术性质

多项式环的算术性质
（1）多项式环是一种带有特定算术性质的数域，它包括了整数、
有理数和有限字段。

在多项式环中满足一些法则，这些法则就是介绍
多项式环算术性质的重要内容。

（2）多项式环的算术性质有加法运算法则、乘法运算法则、分布性质、交换性质、结合性质及可逆性质等。

（1）加法运算法则：加法运算是把两个多项式环中的元素加起来，其
结果仍为多项式环中的元素，也就是说，P+Q=R，其中P，Q，R是多
项式环中的元素，即P，Q，R均属于多项式环中。

（2）乘法运算法则：乘法运算是把两个多项式环中的元素相乘，其结
果仍为多项式环中的元素，也就是说，P*Q=R，其中P，Q，R是多项
式环中的元素，即P，Q，R均属于多项式环中。

（3）分布性质：乘法及加法的分布性质指将乘法与加法运算进行拆分
分开运算，其结果仍然为一个正确的答案，即满足分布性质，即：P*（Q+R）=P*Q+P*R，P，Q，R是多项式环中的元素，即P，Q，R均
属于多项式环中。

（4）交换性质：运算符号交换规则指在进行乘法及加法运算时，若把
它们的运算符号交换（即从加号（+）变成乘号（×）或从乘号变成加号），其结果不变，即满足交换性质，即：P+Q=Q+P。

（5）结合性质：运算符结合性质指在进行乘法及加法运算时，若把两个乘号变成一个乘号，两个加号变成一个加号，则结果不变，即满足结合性质，即：P*（Q*R）=（P*Q）*R，P，Q，R是多项式环中的元素，即P，Q，R均属于多项式环中。

（6）可逆性质：运算可逆性质指当它们之间存在反元素时，存在一个元素S，使得P+S=0，那么S就是P的反元素，这样P就可以使用反元素来进行可逆的加法运算，即P+（-P）=0。

一元多项式环-PPT文档资料

1. 这里x不再局限为实数而是任意的文字或符号。 2. 系数可以是任意数域。
例1
2 3 是Q上多项式； f x 12 x 3 x 9 x
2 f x 3 2 x x 是R上多项式；
2 f x 3 i x 5 x 是C上多项式。
3 1 x 3 x 2 2 3 x , a x, x x 1
第七章多项式环
§7.1 一元多项式环
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
一、多项式的概念中学多项式的定义：n个单项式（不含加法或减法运算的整式）的代数和叫多项式。例： 4a+3b，3x2 2x 1, 3 y 1 .
2 5
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。这是形式表达式。
都不是多项式。
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
定义2： f x, gx 是两个多项式， f x gx
最高次项，亦称为首项。除系数为0的项之外，同次项的系数都相等。多项式的表法唯一。 n 方程 a 是一个条件等式而不是 a x a x 0 0 1 n 两个多项式相等。
下面证明多项式乘法满足结合律。
k f x a xg , x b xh , x c x 证：设 i j k i 3 i 0 j 0 k 0 n m l
n m fx g xc c x c x 01 n m
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
b a b a b a b a b , k 0 k 1 k 1 k 1 1 k 0 i j 其中 ca
k 0 , 1 , ,n m .

一元多项式的定义

这与已知矛盾. 这与已知矛盾故 f ( x ) = 0,
2 2 从而 g ( x ) + h ( x ) = 0.
The Advanced Algebra
Dr. Zhi hui Li
又 f ( x ), g ( x ) 均为实系数多项式，从而必有 g ( x ( x ) = g ( x ) = h( x ) = 0.
an x n + an−1 x n−1 + L + a1 x + a0
其中 a0 , a1 , ⋅ ⋅ ⋅, an ∈ P , 称为数域P上的一元多项式．称为数域上的一元多项式．上的一元多项式常用 f ( x ), g( x ), h( x ) 等表示．等表示．
The Advanced Algebra
Dr. Zhi hui Li
f ( x ) = an x n + an−1 x n−1 + L + a1 x + a0 中，注：多项式 ai x i 称为次项，ai 称为次项系数．称为i次项次项，称为i次项系数 ① 次项系数．
a 首项， ② 若 an ≠ 0, 则称 an x 为 f ( x )的首项， n 为首项
The Advanced Algebra
Dr. Zhi hui Li
2．多项式的相等．
的同次项系数全相等，若多项式 f ( x ) 与 g ( x ) 的同次项系数全相等，则相等，称 f ( x ) 与g ( x ) 相等，记作f ( x ) = g ( x ).
f ( x ) = an x n + an−1 x n−1 + L + a1 x + a0 , 即，

一元多项式计算与链表概述及解释说明

一元多项式计算与链表概述及解释说明1. 引言1.1 概述在计算机科学和数学领域，一元多项式计算是一个重要的问题。

一元多项式是指包含一个未知数的多项式，它由各个项的系数和指数决定。

而链表作为一种常见的数据结构，具有灵活性和高效性，可以应用于各种问题的解决中。

1.2 文章结构本文将首先对一元多项式计算进行介绍，包括多项式的定义与表示方法、多项式加法运算以及多项式乘法运算。

然后，我们将详细探讨链表的概念、特点以及链表在一元多项式计算中的应用。

接下来，将通过实例演示来解释一元多项式计算，并说明链表结构在多项式计算中的优势。

最后，我们将分享解决一元多项式计算问题时相关的考虑事项与技巧，并对研究内容进行总结，并展望其可能的拓展方向。

1.3 目的本文旨在向读者介绍和解释一元多项式计算与链表之间的关系，并探讨链表在该问题中所起到的作用。

通过深入了解一元多项式及其计算方法，以及链表数据结构原理和应用场景，读者将能够更好地理解一元多项式的计算过程，并了解链表在提高计算效率和灵活性方面的重要作用。

同时，通过分享解决问题时的考虑事项与技巧，本文还有助于读者在实际应用中更好地利用链表结构来解决一元多项式计算问题。

2. 一元多项式计算：2.1 多项式定义与表示方法:一元多项式是由若干个单项式构成的代数表达式。

一个单项式由系数和指数组成，通常可以表示为a*x^b的形式，其中a为系数，x为未知数，b为指数。

而一个多项式则是由多个单项式相加得到。

在计算机中，可以用数组或链表来表示一元多项式。

使用数组时，每个元素可以存储一个单项式的系数和指数；而使用链表时，则可以将每个单项式作为节点存储在链表中。

2.2 多项式加法运算:两个多项式相加时，需要将同一个指数的单项式进行合并并对系数进行相加。

具体步骤如下：- 将两个多项式中所有的不同指数提取出来形成一个集合。

- 遍历集合中的每个指数，在两个多项式中查找该指数对应的单项式。

- 如果某个多项式不存在该指数的单项式，则该指数对应的系数为空。

高等代数选讲数域P上的一元多项式环

4. 零次多项式(即非零常数)能整除任一多项式.
5. 设c是非零常数,则有c f ( x) | f ( x).
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例1 证明：xd 1 | xn 1 d | n.
例2 证明：x a | xn an ,又问何时x a | xn an？例3 求g(x)=x4 +x2 +1 整除f(x)=x3m x3n1 x3t2
定理任何数域都包含有理数域.
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三、一元多项式旳基本概念
设P是一种数域, x是一种符号(或称文字).
定义2 设n是一非负整数, 形式体现式
an xn an1 xn1 a1 x a0
(1)
其中 a0 , a1, , an P, 称为系数在数域P中旳一元多
c为非零常数. 2. 若f ( x) | g( x), g( x) | h( x), 则 f ( x) | h( x).
(整除旳传递性)
3. 若f ( x) | gi ( x), ui ( x) P[ x], i 1, 2, , r,则 f ( x) | [u1 ( x)g1 ( x) u2 ( x)g2 ( x) ur ( x)gr ( x)]
1
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二、例
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例1 设P {a b 2 | a, b Q},则P是数域,这个数域用Q( 2)表示.
证显然0,1 P. a b 2, c d 2 P, (a b 2) (c d 2) (a c) (b d) 2 P, (a b 2)(c d 2) (ac 2bd ) (ad bc) 2 P,

交换环的一元多项式环

交换环的一元多项式环
交换环的一元多项式环是一种特殊的代数结构，主要用于研究和描述多项式及其运算。

这种环在数学、物理、工程等多个领域都有广泛应用。

首先，我们来理解一下交换环。

在数学中，一个环是一个具有加法和乘法两种二元运算的代数结构，满足一定的封闭性、结合性和单位元存在性等基本性质。

如果这个环中的乘法满足交换律，即任意两个元素的乘积不改变它们的顺序，那么这个环就被称为交换环。

接下来，我们进一步定义交换环的一元多项式环。

在这种环中，元素是由形如a n
x
n
+a
n−1
x
n−1
+…+a
1
x+a
的多项式组成，其中a
i
是交换环中的元素，x是一个变量。

这个多项式环具有多项式加法、多项式乘法和
标量乘法的运算规则。

在交换环的一元多项式环中，最重要的性质是它的唯一分解性质。

这个性质表明，任何一个非零的多项式都可以唯一地分解为一些不可约多项式的乘积。

这个性质使得交换环的一元多项式环成为一种非常有用的代数工具，特别是在代数数论、代数几何等领域中。

此外，交换环的一元多项式环还有许多其他重要的性质和定理，例如辗转相除法、多项式的根与因式分解等。

这些性质和定理为我们提供了深入研究和应用这种环的工具和基础。

综上所述，交换环的一元多项式环是一种重要的代数结构，具有广泛的应用前景和深入研究的价值。

一元多项式环的定义

一元多项式环的定义
一元多项式环是指在一个多项式环中，只有一种变量，且多项式的系数也属于一个环。

也就是说，一元多项式环由一个环R和变量x组成，任意一个元素可以表示成以下形式：
$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$
其中，$a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0\in R$，$n\in \mathbb{N}$。

在一元多项式环中，两个多项式之间的加、减、乘运算的定义与高中学习的多项式运
算基本一致，可以通过展开式来进行计算。

不同的是，在一元多项式环中，多项式的系数
是来自一个环而非数域。

同时，一元多项式环也满足环的基本性质，即：
1.封闭性：一元多项式环中任意两个元素的加、减、乘结果仍然属于该环。

4.单位元：一元多项式环中存在唯一的0元素，满足对于任意一个元素f(x)，有
f(x)+0=f(x)。

6.分配律：一元多项式环中任意三个元素的加、乘操作满足左右分配律和右左分配
律。

在一元多项式环中，多项式的次数有时候也是非常重要的概念。

多项式的次数是指在
多项式中，最高次项的次数。

多项式的次数可以通过项数来计算，即多项式的次数等于多
项式中最高次项的次数。

在数学上，一元多项式环是一种非常重要的数学结构，广泛应用在代数学、符号计算、计算机代数等领域。

7.1 一元多项式环的概念及其通用性质解析

注: (1) (2) ( 3) 等.
一元多项式指只含一个变量. n是非负整数. 多项式常用f(x), g(x)等表示,或简记作f, g
• 设数域K上的多项式
• f(x) = anxn+an-1xn-1++a1x+a0 ,
• (1) an,an-1,,a1,a0称为f(x)的系数,系数全为0 的多项式称为零多项式,记作0. • (2) akxk (k=n,n-1,…,1,0)称为f(x)的k次项,ak称为f(x)的k次项系数. • (3) 零次项a0也称为f(x)的常数项.
2 2 2
(1) 证明: 若 f ( x ) xg ( x ) xh ( x ), 则
f ( x )=g( x ) h( x ) 0
(2) 在复数域上(1)是否成立？
(1) 证：若 f ( x ) 0, 则
x( g 2 ( x ) h2 ( x )) f 2 ( x ) 0,
一些性质
• 1、数域K上的两个多项式经过加、减、乘运算后,所得的结果仍然是数域K上的多项式 • 2、deg(f(x)g(x))max(deg f(x),deg g(x)) deg(f(x)g(x))=deg f(x)+deg g(x) • 3、若f(x)0,g(x)0,则f(x)g(x)0,而且f(x)g(x)的首项就等于f(x)的首项与g(x)的首项之积; f(x)g(x)的首项系数等于f(x)的首项系数与g(x) 的首项系数之积.
称为fx的次数常记作degfx或9x2一些性质1数域k上的两个多项式经过加减乘运算后所得的结果仍然是数域k上的多项式2degfxgxmaxdegfxdegdegfxgxdegfxdeg定义所有系数在数域k中的一元多项式全在复数域上1是否成立

7.1 一元多项式环的概念及其通用性质解析

一元多项式环的极大理想

【高等代数】04-多项式环

一元多项式环的举例

一元多项式的定义和运算讲解

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近世代数课件环的概念

多项式环的定义

丘维声高等代数第七章1

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7.1 一元多项式环的概念及其通用性质解析

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