7.1 一元多项式环的概念及其通用性质解析

一些性质
• 1、数域K上的两个多项式经过加、减、乘运 算后,所得的结果仍然是数域K上的多项式 • 2、deg(f(x)g(x))max(deg f(x),deg g(x)) deg(f(x)g(x))=deg f(x)+deg g(x) • 3、若f(x)0,g(x)0,则f(x)g(x)0,而且f(x)g(x)的 首项就等于f(x)的首项与g(x)的首项之积; f(x)g(x)的首项系数等于f(x)的首项系数与g(x) 的首项系数之积.
i 0
• 3、乘法: f(x)g(x) • 将f(x),g(x)的各个项分别相乘后合并同类项. • f(x)g(x)=(anxn+an-1xn-1++a1x+a0)(bmxm • +bm-1xm-1++b1x+b0)

n m k 0
( a b )x
i jk i j
k
• 注(1)乘积f(x)g(x)中xk(0kn+m)的系数是 • a0bk+a1bk-1++ak-1b1+akb0 • 其中,若i>n,则ai=0;若j>m,则bj=0. • (2)乘法运算式可按竖式进行.
2 2 g ( x ) h ( x ) 0. 于是 从而
( xg 2 ( x ) xh2 ( x )) ( x( g 2 ( x ) h2 ( x ))) 为奇数.
2 2 2 2 ( f ( x )) x ( g ( x ) h ( x )) f ( x ), 但 为偶数.
2 2 2
(1) 证明: 若 f ( x ) xg ( x ) xh ( x ), 则
f ( x )=g( x ) h( x ) 0
(2) 在复数域上(1)是否成立？
(1) 证：若 f ( x ) 0, 则
x( g 2 ( x ) h2 ( x )) f 2 ( x ) 0,
乘法运算式
• 例1.设f(x)=2x2+3x-1, g(x)=x3+2x2-3x+2,则 • f(x)=2x2+3x-1, • ) g(x)=x3+2x2-3x+2 . • 2x5+3x4- x3 • 4x4+6x3-2x2 • -6x3-9x2+3x • 4x2+6x-2 . • f(x)g(x)=2x5+7x4- x3- 7x2+9x-2
§7.1 一元多项式环的概念及其通用性质
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• 一、多项式 • 定义. 设x是一个变量(文字),n是非负整数.表 示式 anxn+an-1xn-1++a1x+a0 , 其中an, an-1,,a1, a0全属于数域K,称为系数在 数域K中的一元多项式,简称数域K上的一元多 项式.
注: (1) (2) ( 3) 等.
一元多项式指只含一个变量. n是非负整数. 多项式常用f(x), g(x)等表示,或简记作f, g
• 设数域K上Leabharlann Baidu多项式
• f(x) = anxn+an-1xn-1++a1x+a0 ,
• (1) an,an-1,,a1,a0称为f(x)的系数,系数全为0 的多项式称为零多项式,记作0. • (2) akxk (k=n,n-1,…,1,0)称为f(x)的k次项,ak称 为f(x)的k次项系数. • (3) 零次项a0也称为f(x)的常数项.
这与已知矛盾.
故 f ( x ) 0,
2 2 g ( x ) h ( x ) 0. 从而
又 f ( x ), g( x ) 均为实系数多项式 ，
从而必有 g( x ) h( x ) 0.
f ( x ) g( x ) h( x ) 0.
(2) 在 C上不成立．如取
• • • • • • • • • • f(x) = anxn+an-1xn-1++a1x+a0 , g(x) = bmxm+bm-1xm-1++b1x+b0 , 1、相等: f(x)=g(x) 若f(x)与g(x)的所有同次项系数全相等. 2、加(减)法: f(x)g(x) 将f(x)与g(x)的所有同次项系数相加(减); 若m<n时,为方便,可设 bm+1=bm+2== b n-1=b n =0. f(x)g(x)= (anbn)xn+(an-1bn-1)xn-1+… n i + (a1b1)x+(a0b0)= (ai bi ) x 设
f ( x ) 0, g( x ) ix , h( x ) x
•(4) 若an0,称anxn为f(x)的首项, an称为f(x)的首项系数, n 称为f(x)的次数, 常记作degf(x),或 f ( x ). • (5) 非零常数是零次多项式. • (6) 零多项式是唯一无法确定次数的多项式. • (7) 只有f(x)0, degf(x)才有意义.
二 多项式的运算
运算规律
• • • • • • 1、加法交换律 2、加法结合律 3、乘法交换律 4、乘法结合律 5、乘法对加法的分配律 6、乘法消去律
• 定义 所有系数在数域K中的一元多项式全 体,称为数域K上的一元多项式环,记作 K[x], P称为K[x]的系数域.
练习：
设
f ( x ), g( x ), h( x ) R[ x ]