平方根3

12．1．1 平 方 根教材新知识点详解知识点1 平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．注意：(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，千万不能丢掉负的平方根．(2)0的平方根是0．(3)负数没有平方根．例1 求下列各数的平方根：(1)25； (2)0．36； ;6449)3( (4)0； ;)72)(5(2- .2)6(2- 解析 本题主要考查平方根的求法，可根据平方根的定义去求．答案 (1)因为22525,(5)25,=-=除了5和-5以外，任何数的平方都不等于25，所以25的平方根是5和-5；(2)因为,36.0)6.0(,36.06.022=-=除了0．6和-0．6以外，任何数的平方都不等于0．36，所以0．36的平方根是0．6和-0．6；(3)因为,6449)87(,6449)87(22=-=所以6449的平方根是87和;87- (4)因为02=0，所以0的平方根是0；(5)因为22)72()72(=-，所以2)72(-的平方根是72和;72- (6)因为,0422<-=-负数没有平方根，所以-22没有平方根．例2 下列说法正确的是 ( )A ．0．09是0．3的平方根 2544.B 的平方根是522± C ．0．3是0．09的平方根 D ．32的平方根是3解析此题与上例相比，在理解概念的本质上更深入，更细致．要区别“0．3是 0．09的平方根”与“0．09的平方根是0．3”在本质上的差异；同时，求一个带分数的 平方根时，必须先将其化成假分数，故2544的平方根不等于⋅±522 答案C点评 求一个数的平方根，实质上就是要找一个数的平方等于这个数，利用平方与平方根的意义解题，特别要注意的是，互为相反数的两个数的平方相等．知识点2算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记做a ，读做“根号a ”．正数a 的平方根记做.0a ± 的算术平方根是0，即.00=求一个非负数a 的平方根的运算叫做开平方，a 叫做被开方数．开平方与平方互为逆运算．例3 求下列各数的算术平方根：(1)0．016 9； 2(2)(4); ;1691)3( 0(4)(3);π- (5)－(－3)． 解析2(4)-的结果为4，故求2(4)-的算术平方根即求4的算术平方根；0(3)π-的结果为1；－(－3)＝3，故－(－3)的算术平方根为.3答案 (1)因为0．132＝0．016 9，所以0．016 9的算术平方根是0．13，即;13.00169.0= (2)因为2(4)4,=而22=4，所以2(4)的算术平方根即为4的算术平方根2，即2(4)2;-=(3)因为,1691)45(2=所以1691的算术平方根是,45:即;451691= (4)因为,1)3(0=-π而12 = 1，所以0(3)π-的算术平方根即为1的算术平方根1，即0(3)1;π-=(5)因为-(-3)=3，而23)3,=所以-(-3)的算术平方根即为3的算术平方根,3即.3)3(=--特别提示：求一个数的平方根或算术平方根时，一定要先明确被开方数．知识点3 用计算器求算术平方根当一个数很大或很小，或它的算术平方根为一近似值时，为提高计算的速度，利用计算器可直接快速地求出这个数的算术平方根．注意：不要搞错按键顺序，不同型号的计算器按键顺序可能不同．例4 用计算器求下列各数的算术平方根：(1)441； (2)4 225；66.37)3((精确到0．01)．解析 求66.37的算术平方根时要连续两次使用计算器．答案 (1)在计算器上依次键入显示结果为21，所以441的算术平方根为;21441=(2)在计算器上依次键入显示结果为65，既哒4225的算术平方根为;654225=(3)在计算器上依次键入显示结果为6．136 7…，再依次键入显示结果为2．477 2…，所以66.37的算术平方根为.48.266.37≈综合例题讲解题型1 概念辨析平方根、算术平方根、开平方平方根和算术平方根是产生于实际需要的一种运算结果，这种运算就是开平方，它的运平方根与算术平方根的联系是：对于一个正数，平方根有两个，其中的正根为算术平方根；0是一个特殊的数，它的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根，更无算术平方根． 求一个数的平方根可依据平方与开平方互为逆运算进行，也可直接用计算器求得． 例5填空题：(1)若,121252=a 则a= ；若,4.2=a 则a= ． (2)36的平方根是 ，2(2)-= 。

(3)49321±= ，221213--= ，)27()3(-⨯--= (4)若－4是n 的负的平方根，则a 的算术平方根是 ．解析理解平方根和算术平方根的定义及其区别、联系是解题的关键．答案5(1);5.7611± & 2;6)2(± 9(3);5;97± - - (4) 4 题型2 学科综合例 6 (与三角形综合)已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a ，b 满足+-3a ,01682=+-b b 求C 的范围．解析先逆用完全平方公式得,2)4(1682-=+-b b b 再由非负数性质求得a ，b ，最后利用三角形三边关系讨论求得． 答案,016832=+-+-b b a Θ即,02)4(3=-+-b a,4,3{0304==∴=-=-b a a b,3434+<<-∴c 即.71<<c点评 此题考查逆用完全平方公式，非负数性质及三角形三边关系的综合解题能力．例7 (与方程综合)已知x ，y 满足|,53|1692---=+-y x x x 求y x -213的平方根． 解析由题意，x ，y 满足|,53|1692---=+-y x x x 所以++-1692x x ,0|53|=--y x 即,0|53|2)13(=--+-y x x所以⎩⎨⎧=--=-,053,013y x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==.4,31y x 当4,31-==y x 时，y x -213的平方根是⋅±37 答案y x -213，的平方根是⋅±37 点评 本题是一道融绝对值的非负性、偶次方、解二元一次方程组和平方根于一体的综合题目，综合性较强，解题的关键是理清思路．题型3 拓展创新正数和0统称为非负数，表示形式为).0(0,0,0||2≥≥≥≥a a a a一个非负数的算术平方根具有非负性．应用“如果若干个非负数相加的和为0，则每一个非负数均为零”的性质解题是解决初中代数问题的重要方法．例8 已知a ，b ，c 满足,0412||212=+-+++-c c c b b a 求－a (b+c)的平方根． 解析这个等式左边有三个未知字母，右边为0，直接求a ，b ，c 的值非常困难．经考察发现，等式左边可化成三个非负数的和的形式，于是可用解方程组的方法求解．答案 把已知条件变形，得.0)21(2||212=-+++-c c b b a 因为211||0,()0,22a b c -≥≥-≥所以,0)21(,02,0||2=-=+=-c c b b a 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=-,021,02,0c c b b a 解得1,41,41,2a b c ⎧-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩故,161)2141)(41()(=+---=+-c b a 所以－a (b+c)的平方根是41或⋅-41 方法技巧·当一个方程的左边有多个未知数，而右边为0时，常考虑运用非负数的性质解题． 点评 应用非负数的性质解题，关键是能否识别或推导出题目中的非负数，经常需要把一个二次三项式配成完全平方的形式．例9 已知,355+-+-=x x y 求x+y 的值．解析因为只有非负数才有平方根，由此我们可以构成关于x 的不等式或不等式组，从而求出不等式的解集．答案 由题意得⎩⎨⎧≥-≥-,05,05x x 所以⎩⎨⎧≥≤,5,5x x 所以取x ＝5． 当x ＝5时，,335555=+-+-=y 所以x +y ＝5+3=8．点评 在算术平方根中，当被开方数是相反数时，只有它们都等于0时，这两个式子才有意义，根据这个特点，我们可以列出不等式组，从而求出这个不等式组的解集．例10 求23(2)5a --的算术平方根．解析 于原式中含有字母，且,02)2(53≤--a 即23(2)5a --是一个负数或零，而负数没有平方根，零的算术平方根为零，所以要分两种情况讨论．答案23(2)0,5a --≤∴Q 分两种情况讨论：当23(2)0,5a --=即a=2时，它的算术平方根为0；当,0)2(532<--a 即a ≠2时，此时没有算术平方根． 点评 题易误认为23(2)5a --为负数，而忽略了它等于0的情况． 题型4 综合应用例11 已知△ABC 的三边分别是a ，b ，c ，且满足,04412=+-+-b b a 求c 的取值范围．解析可先把b 2—4b+4变形为(b —2)2，利用算术平方根、完全平方根都具有非负性，从而求出a ，b 的值，再确定c 的取值范围，本题是利用算术平方根、完全平方数、绝对值的非负性求值的综合类型题．答案22440,(2)0.b b b -+=-=Q又220,(2)0,0,(2)0,b b ≥-≥=-=Q.2,1==∴b a由三角形三边的关系可知.31<<c点评 题主要考查的是算术平方根的性质、完全平方数的非负性、三角形三边的关系．1．中考真题再现例1(南京)9的算术平方根是 ( )A ．－3B ．3C ．±3D ．81答案B点评 本题主要考查算术平方根的求法及它与平方根的联系和区别．题目既简单，又注重对基础知识的考查，符合课标要求．例2(北京)下列运算中，正确的是 ( )24.=A 62.3-=-B22).(ab ab C = 2523.a a a D =+解析A 正确，因为4的算术平方根是2；B 错误，因为C ;8121233==-错误，因为 ;)(222b a ab =D 错误，因为3n+2a ＝5a ．答案A点评 本题综合考查了算术平方根：负整数根(后学)、指数幂(后学)、积的乘方(后学)及整式的加法．例3(北京)若,02)1(3=++-n m 则m+n 的值 ．解析 由题意，得m －3=0，且,1,3,01-==∴=+n m n .2)1(3=-+=+∴n m答案 2点评此题是小综合题，主要考查非负数的性质、应用及代数式的值．例4(辽宁)估算324+的值，其 ( )A ．在5和6之间B ．在6和7之间C ．在7和8之间D ．在8和9之间解析 由题意得,3532434,5244+<+<+∴<<即738,<<故选C 。