新课标八年级的的数学竞赛培训第19讲：平行截割.docx

平行截割
一、填空题
1．如图，在平行四边形 ABCD中， M、 N 为 AB 的三等分点， DM、 DN 分别交 AC 于 P、 Q两点，则 AP： PQ： QC=.
2．如图，△ ABC 中有菱形 AMPN，如果AM 1
,则
BP
. MB2BC
3．如图， AD 是 BC 边上的中线， F 是 AD 上一点， CF 的延长线交 AB 于点 E，若AF
1 ,
FD3
则 AE； AF1，则AE
.
BE FD n BE
4．如图，已知点 D 为△ ABC 中 AC 边的中点， AE∥ BC， ED 交 AB 于点 G，交 BC 的延长线
于点 F ，若BG
3， BC=8 ，则 AE 的长为. GA
5．如图，在平行四边形 ABCD 中， AB=4cm， BC=1cm， E 是 CD 边上一动点， AE、 BC 的延长线交于点 F，设 DE=x（cm），BF=y（cm），用x的代数式表示y得.
6．如 图 ，在 梯形 ABCD 中 ．AB ∥ CD ， AB=3CD ， E 是对角 线 AC 的 中点 ， BE 延 长后 交 AD 于 F ，那 么
AF
.
FD
7． 如 图， 平行 四边 形 ABCD 的对 角线 交 于 O 点， 过 O 任 作 一 直线与 CD 、 BC 的延 长线 分 别交 于 F 、 E 点 ，设 BC=a ， CD=b ， CE=c ， 则 CF=
.
8． 如 图， 在梯 形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AD=a ， BC=b ， E 、 F 分 别是 AD 、 BC 的中 点 ，且 AF 交 BE 于 P ， CE 交 DF 于 Q ，则 PQ 的 长 为
.
9． 如 图，工 地 上竖 立 着 两根 电线 杆 AB 、CD ，它 们相 距 15m ，分 别 自两 杆 上 高出 地面 4m 、
6m 的 A 、 C 处，向 两 侧地 面上 的 E 、 D ； B 、 F 点 处，用 钢 丝绳拉 紧 ，以 固 定 电线杆 ，那 么 钢丝 绳 AD 与 BC 交点 P 离 地面 的高 度为
m.
10 ．如 图，在 △ ABC 中 ，M 是 AC 的 中点 ，P ，Q 是 BC 的 三等 分 点 ．AP 、AQ 分 别交 BM 于 D 、 E 两点 ，则 BD ： DE ： EM=
.
11 ．如 图，在 梯形 ABCD 中 ，AD ∥ BC ，AD=3，BC=9，AB=6，CD=4，若
与梯 形 EBCF 的 周长 相等 ，则 EF 的长 为
.
EF ∥
BC ，且 梯 形
AEFD
12 ．如图，在 ? ABCD中， E、 F 分别是边 AD、 BC 的中点， AC 分别交 BE、 DF 于 G、 H，试判断下列结论：①△ ABE≌ △ CDF；②A G=GH=HC；③EG
1 BG ；④S△ A B E=S△ A G E，其中正
2
确的结论是.
13 ．如图，已知△ ABC，BD2
，
AE 3
,AD、BE交于F，则
AF
?
BF
的值是.
DC 3 EC 4FD FE 其中正确比例式的个数有.
15 ．如图， BD、 CE 是△ ABC 的中线， P、 Q 是 BD、 CE 的中点，则PQ
等于. BC
16 ．如图，在平行四边形ABCD 中， O1、 O2、 O3分别是对角线BO1 =O1 O2 =O2 O3 =O3 D，连接 AO1并延长交 BC 于点 E，连接 EO3并延长交DF 等于.BD 上的三点，且AD 于点 F，则 AF：
17 ．如图，在△ ABC 中，AB=AC，D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上，BD=3CE，DE 交 BC 于 F，则 DF： FE 等于.
EF AF
18 ． 如 图， △ ABC 中， AE ： EB=1： 3， BD ： DC=2： 1， AD 与 CE 相 交于 F ， 则
的
EC AD
值为 .
二、解答题
19 ． 如 图， BD 、 BE 分别 是 ∠ ABC 与它 的邻 补角 ∠ ABP 的 平分 线， AE ⊥ BE ， AD ⊥ BD ， E 、 D 为垂 足 ．
（ 1） 求证 ：四 边形 AEBD 是矩 形；
AE 3 ，F 、G 分别 为 AE 、AD 上的 点，FG 交 AB 于点 H ，且
AF 3，求 证：△ AHG
（ 2）若
AG
AD
是等 腰 三角 形．
20 ． 如 图所 示， 梯形 ABCD 中 ， AD ∥ BC ， AB=DC ．
（ 1） P ， E ， F 分别 是 BC ， AC ， BD 的中 点 ， 求 证： AB=PE+PF ；
（ 2） 如果 P 是 BC 上 的 任 意一 点 （中 点除外 ）， PE ∥ AB ， PF ∥ DC ， 那么 AB=PE+PF ， 这
个结论 还 成立 吗？ 如果 成立 ，请 证明 ；若 不成 立， 请说 明理 由．
21 ． 如 图， 在四 边形 ABCD 中 ， AC 与BC 、 AD 及 AC 的 延 长 线分 别相 交于 点
BD 相 交 于 点 O ， 直线 l 平行 于 BD ， 且与 AB 、 DC 、M 、 N 、 R 、 S 和 P ， 求证 ： PM?PN=PR?PS ．
22 ．已知：如图，在梯形 ABCD 中， AB∥ CD，AB
1 CD ，E是AB上一点，AE=2BE，M
3
是腰 BC 的中点，连接 EM 并延长交 DC 的延长线于点 F，连接 DB 交 EF 于点 N．
求证： BN： ND=1： 10 ．
23 ．如图，梯形 ABCD中， AD∥ BC， EF 经过梯形对角线的交点 O，且 EF∥ AD．
（1）求证： OE=OF，
24 ．已知：如图， AB⊥ BD， CD⊥ BD，垂足分别为 B、 D， AD 和 BC 相交于点 E， EF⊥ BD，
111垂足为 F，我们可以证明
CD 成立（不要求考生证明）．
AB EF
若将图中的垂线改为斜交，如图， AB∥ CD， AD， BC 相交于点 E，过点 E 作 EF∥ AB 交 BD 于点 F ，则：
111（ 1）
CD 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
AB EF
（ 2）请找出 S△ A B D， S△ B E D和 S△ B D C间的关系式，并给出证明．
25 ． 如 图， AB ∥ EF ∥ CD ， 已 知 AC+BD=240 ， BC=100 ， EC+ED=192， 求 CF ．
AF 1 26 ． 如 图，已 知在 平行 四边 形 ABCD 中，E 为 AB 边的中 点 ， ，FE 与 AC 相 交于 G ，
FD
2
求证 ： AG
1
GC
4
27 ． 如 图， 已知 M 、 N 为 △ ABC 的 边 BC 上 的两 点， 且满 足 BM=MN=NC ， 一 条 平行于 AC 的直线 分 别交 AB 、 AM 和 AN 的延 长线 于点 D 、 E 和 F ， 求证 ： EF=3DE ．
28 ． 如 图， 在平 行四 边形 ABCD 中， P 1 ， P 2 ， ， P n 是 BD 的 n 等分 点， 连接 AP 2 并延长
交 BC 于点 E ， 连接 AP n - 2 并延 长交 CD 于点 F ． （ 1） 求证 ： EF ∥ BD ；
（ 2） 设平 行四 边形
ABCD 的面 积是
S ， 若
S △AEF
3 S ，求
n 的 值 ．
8
AD 于点 O．29 ．在△ ABC 中， D 为 BC 边的中点， E 为 AC 边上的任意一点， BE
交某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：。