八年级数学一次函数的图像及性质(1)
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八年级数学一次函数的图像及性质(1)
一、函数的图像
把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标 , 在直角坐标系内描出它的对应点 , 所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
例:
一次函数 y=2x+1 的图像
反比例函数 y=k/x(k>0) 的图像
二次函数 y=ax^2(a<0)>0)>
二、函数的图像及画法
1、画函数图像的一般步骤:(1)列表;(2)描点;(3)连线。
2、函数图像与点的坐标的关系:
① 函数图像上的任意点 P(x,y) 必满足该函数表达式;
② 满足函数表达式的任意一对 x,y 的值,所对应的点一定在该函数的图像上;
③ 判断点 P(x,y) 是否在函数图像上的方法:
将点 P(x,y) 代入函数表达式,如果满足函数表达式,那么这个点就在函数的图像上;如果不满足函数的表达式,那么这个点就不在函数的图像上。
例题1、已知一次函数 y=kx+2,当x=-1时, y=1,求此函数的表达式,并在平面直角坐标系中画出此函数的图像。
注:本题主要考查利用待定系数法求函数的表达式和利用“两点法”作一次函数图像,根据两点确定一条直线作出图像是解答此题的关键。
三、正比例函数的图像和性质
注:正比例函数 y=kx(k≠0)的图像是经过原点(0,0)的一条直线,反之,如果函数图像是直线且经过原点(除坐标轴外),那么它对应的函数就是正比例函数。
四、一次函数的图像与性质
k>0
k<>
注:
① k 决定一次函数y=kx+b(k≠0)的增减性,b 决定函数图像与y 轴的交点位置;
② 通过图像可知一次函数 y=kx+b(k≠0)的图像是一条直线。
根据“两点确定一条直线”的性质,画一次函数的图像时只要找出两个点,再过这两个点作直线就可得到一次函数的图像。
一次函数的图像与 y 轴的交点坐标是(0,b),与 x 轴的交点坐标是(-b/k,0),画图像时通常选取这两个特殊点。
例题2、关于直线 l:y=kx+k(k≠0),下列说法不正确的是(D)
A、点(0,k)在 l 上
B、l 经过定点(-1,0)
C、当 k>0 时,y 随 x 的增大而增大
D、l 经过第一、二、三象限
例题3、已知一次函数 y=mx+n 的图像不经过第二象限,求m,n 的取值范围。
解:由题意,得一次函数 y=mx+n 的图像经过第一、三、四象限或第一、三象限,
所以 m>0,且n≤0。
注:要判断一个函数是否为一次函数,就是要通过恒等变形,把它转化为y=kx+b的形式,
即x 的次数为1,且k≠0,b 为任意常数,否则它就不是一次函数,解题过程中易忽略k≠0这个条件,导致出错。
例题4、若直线 y=kx-4 与两坐标轴所围成的三角形的面积是 4,求该直线的解析式
五、知识拓展与提高
① |k|与直线的倾斜程度:
|k| 的大小决定直线的倾斜程度,|k|越大,直线越陡;|k|越小,直线越缓;
②正比例函数y=kx(k≠0)的图像与一次函数 y=kx+b(k≠0)的图像的位置关系:
二者的图像都是直线,且互相平行;
平移关系:
直线y=kx(k≠0)向上(b>0)或向下(b<>
反之将直线y=kx+b(k≠0)向下(b>0)或向上(b<0)平移|b|个单位长度,就能得到直线y="">0)平移|b|个单位长度,就能得到直线>
例题5、已知正比例函数y=kx 的图像经过点 A,点A 在第四象限,过点 A 作AH⊥x 轴,垂足为 H,点 A 的横坐标为3,且△AOH 的面积为 3。
(1) 求正比例函数的表达式 ;
(2) 在 x 轴上能否找到一点 P,使△AOP 的面积为 5?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由。
解题思路:
(1)先根据题意求出点 A 的坐标,再利用待定系数法求出正比例函数的表达式;
(2)先利用三角形的面积公式求得 OP=5,再根据坐标与图形的性质求得点 P 的坐标。
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