极点与极线背景下的高考试题

极点与极线背景下的高

考试题

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极点与极线背景下的高考试题

王文彬

(江西省抚州市第一中学 344000)

极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.

作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律.

1.从几何角度看极点与极线

定义1 如图1，设P是不在圆锥曲线上的一点，过P

两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,

E F G H，连接,

EH FG

交于N，连接,

EG FH交于M，则直线MN为点P对应的极线.若P为圆锥曲线上的点，则过P点的切线即为极线.

由图1同理可知，PM为点N对应的极线，PN为点M所对应的极线.因而将MNP称为自极三点形.设直线MN交圆锥曲线于点,A B两点，则,

PA PB恰为圆锥曲线的两条切线.

定理1 (1)当P在圆锥曲线 上时，则点P的极线是曲线

M 图1

Γ在P点处的切线；

(2)当P在Γ外时，过点P作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B，则点P的极线是直线AB(即切点弦所在的直线)；

(3) 当P在Γ内时，过点P任作一割线交Γ于,A B，设Γ在,A B处的切线交于点Q，则点P的极线是动点Q的轨迹.

定理2 如图2，设点P关于圆锥曲线Γ的极线为l，过点P任作一割线交Γ于,A B，

交l于Q，则PA PB

AQ BQ

=①；反之，若有①成立，则称点,P Q调和分割线段AB，或称点

P与Q关于Γ调和共轭，或称点P(或点Q)关于圆锥曲线Γ的调和共轭点为点Q(或点P).点P关于圆锥曲线Γ的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P的极线.

推论1 如图2，设点P关于圆锥曲线Γ的调和共轭

点为点Q，则有

211

PQ PA PB

=+②；反之，若有②成立，

则点P与Q关于Γ调和共轭.

可以证明①与②是等价的.事实上，由①有

211

PQ PA PB

⇒=+.

特别地，我们还有

图2 B

推论2 如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，

PQ 连线经过圆锥曲线的中心，则有2OR OP OQ =⋅ ，反之若有此式成立，则点P 与Q 关

于Γ调和共轭.

证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则

PR PR OP OR OP OR

RQ R Q OR OQ OR OQ

'-+=⇒='-+，化简 即可得2OR OP OQ =⋅.反之由此式可推出

PR PR RQ R Q

'='，即点P 与Q 关于Γ调和共轭. 推论3 如图4，,A B 圆锥曲线Γ的一条

对称轴l 上的两点(不在Γ上)，若,A B 关于Γ调

和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于,P Q

两点，则PAB QAB ∠=∠.

证明：因Γ关于直线l 对称，故在Γ上存在

,P Q 的对称点,P Q ''.若P '与Q 重合，则Q '与P

也重合，此时,P Q 关于l 对称，有PAB QAB ∠=∠；

若P '与Q 不重合，则Q '与P 也不重合，由于,A B

关于Γ调和共轭，故,A B 为Γ上完全四点形PQ QP ''

图3

R '

图4

P '

的对边交点，即Q '在PA 上，故,AP AQ 关于直线l

对称，也有PAB QAB ∠=∠.

定理3 (配极原则)点P 关于圆锥曲线Γ

的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于Γ的极线q 经过点P ；直线p 关于Γ的极点P 在直线q 上

⇔直线q 关于Γ的极点Q 在直线p 上.

由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.

以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.

2.从代数角度看极点与极线

定义2 已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线

0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.

事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以

02

x x

+替换x ，以0y y 替换2y ，以02

y y

+替换y 即可得到点00(,)P x y 的极线方程. 特别地：

(1)对于椭圆22221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y

a b

+=；

(2)对于双曲线22221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y

a b

-=；

(3)对于抛物线22y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+.

(4)如果圆锥曲线是椭圆22

221x y a b +=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为椭圆的

准线；如果圆锥曲线是双曲线22

221x y a b

-=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为双曲

线的准线；如果圆锥曲线是抛物线22y px =，当00(,)P x y 为其焦点(,0)2

p

F 时，极线恰为

抛物线的准线.

3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题

【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆

15

92

2=+y x 的左右顶点为,A B ，右焦点为F ．设过点(,)T t m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点1122(,),(,)M x y N x y ，其中0m >，1200y y ><，．

(1)设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹；

(2)设121

23

x x ==，，求点T 的坐标；

(3)设9=t ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．

分析与解：前面两问比较简单，这里从略.

对于(3)，当9=t 时，T 点坐标为(9,)m ，

连MN ，设直线AB 与MN 的交点为K ，根据

极点与极线的定义可知，点T 对应的极线经过K ，

图5