苏教版数学选修2-1同步练习：2.圆锥曲线与方程 章末综合检测(二)

章末综合检测(二)

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．抛物线y ＝－1

8x 2的焦点坐标是( )

A ．(0，－4)

B ．(0，－2) C.⎝⎛⎭

⎫－1

2，0 D.⎝⎛⎭

⎫－1

32，0 解析：选B.由题意，知抛物线标准方程为x 2＝－8y ，所以其焦点坐标为(0，－2)，故选B.

2．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2

12＝1 B.x 212－y 2

4＝1 C.x 210－y 2

6

＝1 D.x 26－y 2

10

＝1 解析：选A.依题意得c ＝4，e ＝c a ＝4

a ＝2，a ＝2，

b 2＝

c 2－a 2＝12，因此所求的双曲线的

标准方程为x 24－y 2

12

＝1，故选A.

3．若点P 到直线x ＝－1的距离比到点(2，0)的距离小1，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线

D ．抛物线

解析：选D.点P 到直线x ＝－1的距离比到点(2，0)的距离小1，即点P 到直线x ＝－2的距离与到点(2，0)的距离相等，根据抛物线的定义可知，点P 的轨迹是抛物线．

4．双曲线x 2m －y 2

n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则

mn 的值为( )

A.316

B.38

C.163

D.83

解析：选A.抛物线y 2＝4x

的焦点为F (1，0)，故双曲线x 2m －y 2

n

＝1中，m >0，n >0且m ＋

n ＝c 2＝1①，又e ＝

c m

＝ m ＋n m ＝2②，联立方程①②，解得m ＝14，n ＝34.故mn ＝3

16

. 5．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B

的周长为16，椭圆的离心率e ＝

3

2

，则椭圆的方程是( ) A.x 24＋y 2

3＝1 B.x 216＋y 2

3＝1 C.x 216＋y 2

12

＝1 D.x 216＋y 2

4

＝1 解析：选D.由椭圆的定义知AF 1＋BF 1＋AB ＝4a ＝16，所以a ＝4.又e ＝c a ＝3

2，所以c

＝23，所以

b 2＝42－(2

3)2＝4，所以椭圆的方程为

x 216＋y 2

4

＝1. 6．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条

D ．4条

解析：选C.点(2，0)为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线的渐近线平行的直线，这两条直线与双曲线仅有一个公共点，另外，过该点且与x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．所以共有3条．

7．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆y 2n －x 2

m ＝1的焦距等于4，则n ＝( )

A ．3

B ．－3

C ．5

D ．－5

解析：选C.因为双曲线的焦点(0，2)，所以焦点在y 轴，所以双曲线的方程为y 2－3m －

x 2

－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1，所以椭圆方程为y 2n ＋x 2

＝1，且n >0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或c 2＝1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．

8．已知F 是抛物线y ＝1

4x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方

程是( )

A ．x 2＝2y －1

B ．x 2＝2y －1

16

C ．x 2＝y －1

2

D ．x 2＝2y －2

解析：选A.焦点为F (0，1)，设P (p ，q )，则p 2＝4q .设Q (x ，y )是线段PF 的中点，则x ＝p

2，y ＝q ＋12

，即p ＝2x ，q ＝2y －1，代入p 2＝4q 得，(2x )2＝4(2y －1)，即x 2＝2y －1. 9．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离最小值是( ) A.43 B.75

C.85

D ．3

解析：选A.设抛物线y ＝－x 2上一点为(m ，－m 2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5，当m ＝23时，取得最小值为4

3

.

10．AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)中心的弦，F (

c ，0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积

的最大值为( )

A ．b 2

B ．ab

C ．ac

D ．bc

解析：选D.由椭圆的对称性知，A 、B 两点关于原点O 对称，因此S △AFB ＝2S △OFB ＝c ·|y B |，故当|y B |＝b 时，△AFB 面积最大，最大面积为bc .故选D.

11．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若F A ＝2FB ，则k 等于( )

A.13

B.23

C.23

D.223

解析：选D.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0.由{y ＝k （x ＋2），y 2＝8x 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， 所以x 1x 2＝4，① 根据抛物线的定义得， F A ＝x 1＋p

2＝x 1＋2，FB ＝x 2＋2.

因为F A ＝2FB ，所以x 1＝2x 2＋2，② 由①②得x 2＝1(x 2＝－2舍去)，

所以B (1，22)，代入y ＝k (x ＋2)得k ＝22

3

.

12．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2

－y 2

4＝1有公共的焦点，C 2的一条

渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )

A ．a 2＝13

2

B ．a 2＝13

C ．b 2＝1

2

D ．b 2＝2

解析：选C.由题意，知a 2＝b 2＋5，因此椭圆方程为(a 2－5)x 2＋a 2y 2＋5a 2－a 4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，联立方程消去y ，得(5a 2－5)x 2＋5a 2－a 4＝0，所以直线截椭