九年级数学结识抛物线PPT优秀课件
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第七节 抛物线 课件(共48张PPT)
(4)|A1F|＋|B1F|＝2p. (5)以弦AB为直径的圆与准线相切．
题组一 小题自测 1．(人A选修2－1·习题改编)过点P(－2，3)的抛物线 的标准方程是( ) A．y2＝－92x或x2＝43y B．y2＝92x或x2＝43y C．y2＝92x或x2＝－43y D．y2＝－92x或x2＝－43y
考点2 抛物线的标准方程与几何性质
角度 求抛物线方程
[例2] (1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标
原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面
积为4 3，则抛物线的方程为( )
A．y2＝6x
B．y2＝8x
C．y2＝16x
D．y2＝152π
(2)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C 上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方 程为( )
1．(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)
上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，
则p＝( )
A．2
B．3
C．6 D．9
解析：法一 因为点A到y轴的距离为9，所以可设
点A(9，yA)，
所以y2A＝18p.又点A到焦点p2，0的距离为12，
所以 9－p22＋y2A＝12，所以9－p22＋18p＝122，
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 解析：(1)设M(x，y)，因为|OF|＝p2，|MF|＝4|OF|， 所以|MF|＝2p， 由抛物线定义知x＋p2＝2p，所以x＝32p， 所以y＝± 3p.
又△MFO的面积为4 3，
北师大版九年级数学下册ppt课件：1结识抛物线
合作交流，探究新知
3.探究抛物线y=-x2 的性质
想一想: （1）二次函数y=-x2 的图象是什么形状？ 先想一想，然后作出
师生行为：让学生先猜想再画图 验证，在学生画图时可让每一小 组部分同学将y=x2与y=-x2的图象 画在一个坐标系内,而后学生通过 讨论交流得出结论，教师只给以
它的图象．
必要的引导．
y=-x2的图象有最高点，在y＝-x2中， y有最大值，即x=０时，y最大=０．
相同点：
①图象都是抛物线； ②图象都与x轴交于点（０,０）； ③图象都关于y轴对称．
y1_____y2 . 3．设边长为xcm的正方形的面积为ycm2，y是x的函数，该函数
的图象是下列各图形中（ ）
师生行为：学生独立完成以后，让他们发表自己的看法， 辨证出实际问题中的函数图象为何只在第一象限存在．
变式训练，巩固提高
1．在二次函数y=x2的图象上，与点A(-5，25)对称的点的坐标
返回
(二). 教学目标
1. 知识与技能目标
（1）能够利用描点法作出函数y=x2的图象， 并能根据图象认识和理解二次函数y=x2 的性质．
（2）猜想并能作出y=-x2的图象，能比较它与 y=x2的图象的异同．
2.过程与方法目标
（1）经历探索二次函数y=x2的图象的作法 和性质的过程，获得利用图象研究函 数性质的经验．
合作交流，探究新知
1．认识抛物线
问题：通过刚才的分析你认为在画y=x2的图象时： （1）列表取值应注意什么问题？ （2）点和点之间用什么样的线连接?
合作交流，探究新知
1．认识抛物线
问题：你能描述y=x2的图象的形状吗？
师生行为：学生尝试描述y=x2的图象,建立和实际问题的 联系.再通过姚明投篮的动态演示,形象的描述并体会y=x2 的图象的形状是抛物线，并且与开始的引例相呼应.
北师大版九年级数学下册结识抛物线
x
… －3 －2 －1 0
y …94
10
描点,连线 y 10
8
6
4
2 1
-4 -3 -2 -1 0 1 -2
1
2
3
…
1
4
9…
y=x2
2 3 4x
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ...
y=x2 ... 4 2.25 1 0.25 0 0.25 1 2.25 4
自尊 自爱 自信 自立 自强
复习：
1、什么叫做二次函数？
➢一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）
的函数叫做x 的二次函数
2、画函数图象的主要步骤是什么？
（1）列表； （2）描点； （3）连线。
3、请你画出二次函数 y=x2 的图象。
列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y
小结
3．观察二次函数y=x2的图象，可以知道当x ＜0时，随着x的增大，y值 减小 ；当x＞0时， 随着x的增大，y值 增大 ． 4．观察二次函数y=－x2的图象，可以知道当 x＜0时，随着x的增大，y值 增大 ；当x＞0时， 随着x的增大，y值 ．减小
小结
500．．．观观察察yy==－x2图x2象图象可可知知，，无无论论x取x何取值何，值y，﹥y﹤ 6．抛物线y=－x2上有一点A(2,__ ), 点A关于y 轴__在_的_(对填称“点在A”’坐或标“为不(_在-2_”, -_)4_y)=，－-这4x2个的点图象 上．
1
-1
y
2
-4
3
-9
… …
0
-4 -3 -2 -1 -1 -2
《数学课件：抛物线及其标准方程》课件
特点
抛物线具有单一焦点，无端点，无尽头的特点。
抛物线的几何表达式
顶点坐标 (h, k) 焦点坐标 (h, k + 1/4a) 准线方程 y = k - 1/4a
解释 抛物线顶点的坐标为(h, k)。 解释 抛物线焦点的坐标为(h, k + 1/4a)。 解释 抛物线的准线方程为y = k - 1/4a。
抛物线标准方程的推导
1
第一步：焦点定点坐标
利用焦点和定点的坐标求出常数h和k 。
2
第二步：焦距
焦距为常数a。
3
第三步：标准方程
利用焦点、焦距和准线方程推导出标准方程。
抛物线标准方程的分析
h的影响
h值决定了抛物线的顶点在x轴 上的位置。
k的影响
k值决定了抛物线的顶点在y轴 上的位置。
a的影响
a值决定了抛物线的开口方向和 形状。
抛物线的形状被用于设计桥 梁、天桥和汽车跑道，以提拱门和圆顶被 广泛应用于建筑设计中，以 实现优美和均衡的结构。
总结和回顾
抛物线是一个具有许多有趣性质和广泛应用的数学曲线。通过学习抛物线的 定义、性质、几何表达式和标准方程，我们可以更好地理解和应用它。 感谢您的关注和学习！
数学课件：抛物线及其标 准方程
本课件将介绍抛物线的定义和性质，抛物线的几何表达式以及推导抛物线标 准方程，分析其应用场景举例，并总结回顾所学内容。
抛物线的定义和性质
定义
抛物线是由平面上到定点（焦点）和定直线（准线）的距离相等的点构成的曲线。
性质
抛物线对称于准线，且焦点到准线距离的垂线经过焦点。其形状与焦点到准线距离的比例有 关。
抛物线与其他曲线的关系
椭圆
抛物线是椭圆的一种特殊情况，其 离心率为1。
3.3.2抛物线简单几何性质 课件(共21张PPT)
2
y2
2
2
3 ，∴ 2 0 y 0 3 ∴y =2
1
2
的距离 d=1-（-
或 y =-6（舍去）
，∴x=
2
3
1
=
.
）
2
2
∵点 M 到抛物线焦点的距离等于点 M 到抛物线 y2=2x 的准线的距离，
3
∴点 M 到该抛物线焦点的距离为 2 .
y2
2
=1
7.设 P 是抛物线 y 2 4 x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点.
(x2, y2)
即时巩固
过点M(2,0)作斜率为1的直线l，交抛物线y2=4x于两点A、B，求焦点，求|AB|．
解：设A(1 ,1 ), B(2 ,2 ),
直线l为 = − 2，代入抛物线方程，得x2-8x+4=0，
∴ 1 +2 =8, 1 2 =4
∴ =
1 + 2 ∙
线准线的距离等于（
A.2
B.1
C ）
C.4
D.8
3.已知抛物线 y 2 2 px( p 0) 的准线与圆 ( x 3) 2 y 2 16 相切，则 p 的值为（ C ）
A.
1
2
B.1
C.2
D.4
4.抛物线 x 2 8 y 焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点， PA l ，A 为垂足，如果直线 AF 的倾
第一章
3.3
抛物线
3.3.2 抛物线的简单几何性质
学习目标
1.了解抛物线的简单几何性质.
2.能运用抛物线的几何性Байду номын сангаас解决相关问题.
3.3.1抛物线及其标准方程 课件(共26张PPT)
解：如图，在接收天线的轴截面所在的平面内建立直角坐标系，使接收天线
的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上.则 A y2 = 2px (p>0)．
将 A (1, 2.4) 代入得 2.42 = 2p×1，解得 p = 2.88．
所以，所求抛物线为 y2 = 5.76x，焦点坐标为 (1.44, 0)．
7
由图可知,当 ⊥ 时,|| + 最小,最小值为2.
7
即|| + ||的最小值为2 ,
此时P点纵坐标为2,代入2 = 2,得 = 2.
∴点P坐标为(2,2).
9.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露
出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？
【解】如图建立直角坐标系，
设桥拱抛物线方程为 2 = −2( > 0)，
由题意可知， 4, −5 在抛物线上，所以 = 1.6，得 2 = −3.2，
当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，
设此时船面宽为AA’，则 2, ，
5
由22 = −3.2 ,得 = − 4，
又知船面露出水面上部分高为0.75米，所以ℎ = + 0.75=2米.
C.2
D.3
2.抛物线 = 4 2 的焦点坐标是（ D ）
A. 1,0
B. 0,1
1
C. 16 , 0
1
D. 0, 16
3.已知抛物线的焦点 F (a,0)(a 0) ，则抛物线的标准方程是（ A ）
A. y 2 4ax
B. y 2
2ax
C. y 2 4ax
抛物线及其标准方程ppt课件
l
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l（l 不经
H
过点 F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F
叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线.
准线
M
F
焦点
根据抛物线的几何特征，如图，取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 x 轴，垂
足为 K，并使原点与线段 KF 的中点重合，建立平面直角坐标系 Oxy.设| KF | p( p 0) ，
的值是( C)
A. 4
B.2
C.4
D.8
解析：抛物线的准线方程为：
x
p 2
，因为
M
到焦点距离为
5，所以
M
到准线
的距离1 p 5 ，即 p 8 ，则抛物线方程为 y2 16x .将1, m 代入得：m2 16 ，
2
因为 m 0，所以 m 4 .故选：C.
5.抛物线 y2 mx( m 0) 的准线方程为 x 2 ， 那么抛物线 y mx2 的焦点坐标为
焦点坐标
p 2
,
0
p 2
,
0
0,
p 2
0,
p 2
准线方程
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
四种标注方程对应抛物线的比较 相同点：
（1）顶点都是原点
（2）焦点都在坐标轴上
·
（3）焦点到准线的距离都是 p
（4）准线与焦点所在的坐标轴垂直，准线与坐标轴的交点与焦点关于原点对称，
它们与原点的距离都等于
p 2
1，得到
p
2
.
A 2.抛物线 y x 2 的焦点到双曲线 x2 y2 1 的渐近线的距离为( ) 24
抛物线PPT课件
（2）y=2x2 F（0，1/8） y=-1/8 （3）2y2+5x=0 F（-5/8，0） x=5/8 （4）x2+8y=0 F（0，-2） y=2
2、根据下列条件写出抛物线的标准方程；
（1）焦点是（3，0）； y2=12x
（2）准线方程是x= - ¼； y2=x
（3）焦点到准线的距离是2；y2=4x y2=-4x x2=4y
图形
l
l
标准方程 焦点坐标 准线方程
y2 2 px ( p 0)
y2 2 px ( p 0)
( p ,0) 2
( p ,0) 2
x p 2
x p 2
x2 2 py (0, p ) y p
l ( p 0)
2
2
l x2 2 py (0， p ) y p
( p 0)
2
2Байду номын сангаас
第4页/共18页
( p ,0) 2
x p 2
x p 2
x2 2 py (0, p ) y p
l ( p 0)
2
2
l x2 2 py (0， p ) y p
( p 0)
2
2
第6页/共18页
第一：一次项的变量如为X（或Y） 则X轴（或Y轴）为抛物线的对称 轴，焦点就在对称轴上。！
第二：一次的系数决定了开口方向
求它的标准方程
y p
1、由已知确定开口方向及方程形式
2
2、求出p值
(0， p )
解:
2
因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上 x2 2 py
且 p 2 p 4 所以抛2物线的标准方程是: x2 2 py 8y
第9页/共18页
1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
2、根据下列条件写出抛物线的标准方程；
（1）焦点是（3，0）； y2=12x
（2）准线方程是x= - ¼； y2=x
（3）焦点到准线的距离是2；y2=4x y2=-4x x2=4y
图形
l
l
标准方程 焦点坐标 准线方程
y2 2 px ( p 0)
y2 2 px ( p 0)
( p ,0) 2
( p ,0) 2
x p 2
x p 2
x2 2 py (0, p ) y p
l ( p 0)
2
2
l x2 2 py (0， p ) y p
( p 0)
2
2Байду номын сангаас
第4页/共18页
( p ,0) 2
x p 2
x p 2
x2 2 py (0, p ) y p
l ( p 0)
2
2
l x2 2 py (0， p ) y p
( p 0)
2
2
第6页/共18页
第一：一次项的变量如为X（或Y） 则X轴（或Y轴）为抛物线的对称 轴，焦点就在对称轴上。！
第二：一次的系数决定了开口方向
求它的标准方程
y p
1、由已知确定开口方向及方程形式
2
2、求出p值
(0， p )
解:
2
因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上 x2 2 py
且 p 2 p 4 所以抛2物线的标准方程是: x2 2 py 8y
第9页/共18页
1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
《数学抛物线》PPT课件
物理学中的抛体运动轨迹
01
02
03
抛体运动的定义
物体以一定的初速度抛出 后，在仅受重力的作用下 所做的运动称为抛体运动。
抛体运动的轨迹
在忽略空气阻力的情况下， 抛体运动的轨迹是一条抛 物线。
抛体运动的应用
利用抛体运动的规律，可 以研究炮弹的射程、运动 员的跳远距离等问题。
工程技术中的最优化问题
01
04 两边成比例且夹角相等， 则两个三角形相似
解析几何中直线与圆锥曲线关系
直线与抛物线的位置关系
相切、相交、相离
直线与抛物线的交点个数及判定方法
通过联立直线和抛物线方程求解，根据判别式判断交点个数
切线性质
切线与抛物线在切点处的切线斜率相等，且切线过抛物线焦点
微积分在抛物线研究中的应用
定积分在求抛物线面积中的应用
03 抛物线在生活中 的应用举例
建筑设计中的抛物线元素
1 2
抛物线型拱门和桥梁 利用抛物线的形状和结构特性，设计出具有优美 曲线和良好承重性能的拱门和桥梁。
抛物线型屋顶 抛物线型屋顶具有良好的排水性能和独特的视觉 效果，被广泛应用于现代建筑设计。
3
抛物线型幕墙 在建筑外立面上采用抛物线型幕墙，可以增加建 筑的层次感和立体感，提高建筑的美观性。
焦点、准线及离心率
抛物线的焦点
对于y^2=2px（p>0）的抛物线， 其焦点坐标为（p/2，0）；对于 x^2=2py（p>0）的抛物线，其
焦点坐标为（0，p/2）。
抛物线的准线
对于y^2=2px（p>0）的抛物线， 其准线方程为x=-p/2；对于
x^2=2py（p>0）的抛物线，其 准线方程为y=-p/2。
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2.分别说出
抛物线y=4x²与y=-2x²
x
的开口方向，对称轴与 顶点坐标。
y=-x2
活动与探索
• 已知函数y=mx m² +m
1. 当m取何值时它的图象开口向上。 （1）当x取何值时y随x的增大而增大。 （2）当x取何值时y随x的增大而减小。
2. 当m取何值时它的图象开口向下。 （1）当x取何值时y随x的增大而增大。 （2）当x取何值时y随x的增大而减小。
5. 图象是轴对称图形吗？ 如果是，它的对称轴是 什么？请你找出几对对 称点，并与同伴交流。
归纳：二次函数y=x² 的图象是一条抛物线，它的开口
向上，且关于y轴对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线 的顶点，它是图象的最底点。
• 二次函数y=-x2的图象是什么形状？ • 先想一想，然后作出它的图象． • 它与二次函数y=-x2的图象有什么关系？
y
y=x2
y
o
x
o
x
y=-x2
相同点：图象都是抛物线；图象都与x轴脚与点
（0，0）；图象都关于y轴对称。
不同点：开口方向不同；函数值随自变量增大的
变化趋势不同；最值不同；一个有最高点，一个有 最低点。
联系：它们的图象关于x轴对称。
y=x2 y
o
练习：1.在同一直角
坐标系中画出函数y=x² 与y=-x²的图象。
2）在连接时必须依次连接
y
y=x2
1. 你能描述图象的形状吗？ 与同伴交流。
2. 图象与x轴有交点吗？ 如果有，交点的坐标是 什么？
(-3,9)
(3,9) 3. 当x<0时，y随着x的增 大，y的值如何变化？ 当x>0时呢？
(-2,4)
(2.4)
(-1,1) (1,1)
o (0,0)
x
4. 当x取什么值时，y的值 最小？
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
引入
• 学习了正比例函数，一次函数与反比例 函数的定义后，研究了它们各自的图象 特征，下面请同学们谈谈它们的图象有 拿些特征？
• 上节课我们学习了二次函数的一般形式 为y=ax² +bx+c（a ≠ 0），那么它的图 象是否也为直线或为双曲线呢？
• 在二次函数y=x2中，y随x的变化而变化 的规律是什么？
• 你想直观地了解它的性质吗?
作二次函数y=x2的图象
(1)列表 观察y=x2的表达式，选择适当x值，并 计算相应的y值，完成下表：
x
-3 -2
-1 0
1
23
……
y=x2 9 4
1
0
1
49
……
• (2)在直角坐标系中描点连线
y
10
y=x2
8
6
4
2 1
-4
-3 -2 -1
o12源自34x注意：1）在连接时必须-用2 光滑的曲线