数学物理方程资料

数学物理方程考点

一. 分离变量法：知识点见课本1618P P -

1.已知初边值问题：

2000

0,0,0

00,sin 2tt xx

x x x l t t t u a u x l t u u x u u l π====⎧

⎪-=<<>⎪⎪

==⎨⎪

⎪==⎪⎩

（1） 求此问题的固有函数（特征函数）与固有值（特征值）；

（2） 求此初边值问题的解。

解：（1）令 (,)()()u x t X x T t = （1.1），其中(,)u x t 不恒零，将其代入方程得到： ''

2

''

()()()()0X x T t a X x T t -=

将该式分离变量并令比值为λ-有： ''''2

()()

()()

T t X x a T t X x λ==- 则有： ''

2

()()0T t a T t λ+= （1.2） ''

()()0X x X x λ+= （1.3） 由原初边值问题的边界条件知： 方程（1.3）满足边界条件 '

(0)0,()0X X l == （1.4） ()I 当0λ<时，方程（1.3）的通解为

12()X x C C e =+，由边界条件（1.4）

知：

1200

C C C C +=⎧⎪⎨-=⎪⎩ ⇒ 120

C C =⎧⎨

=⎩

()0X x ∴

= 由（1.1）知：(,)0u x t =，0λ<应舍去；

()II 当0λ=时，方程（1.3）的通解为 12()X x C C x =+，由边界条件（1.4）知：

120

C C =⎧⎨

=⎩ 同理0λ=应舍去；

()III 当λ>0时，则方程的通解为：

12X()x C C =+

由边界条件(0)0X =知：10C = 即

2()X x C =

又由'()0X l =

知：0C = ， 令20C ≠

，则0=

即

2n π

π=+ ，所以固有值为 2

(21),0,1,2n n n l πλ+⎡⎤

==⎢⎥⎣⎦

L 将其代入通解中，得到固有函数：(21)()sin

,0,1,2n n n X x C x n l

π

+==L

（２）将固有值n λ代入方程（1.2），可得到此方程的通解： (21)(21)()cos

sin ,0,1,22n n n n a n a

T t A t B t n l l

ππ++=+=L

则原初边值问题的形式解为 ：

(21)(21)(21)(,)()()(cos

sin )sin ,0,1,222n n n n n n a n a n u x t X x T t a t b t x n l l l

πππ

+++==+=L 则：

(21)(21)(21)(,)(cos

sin )sin ,0,1,222n n n n a n a n u x t a t b t x n l l l

πππ

∞

=+++=+=∑L 由初始条件 0

0t u

==，0

sin

2t

t x

u l

π== 知： 0n a =

0204(21)(21)sin sin (21)2201,2l

n l n n x x n a

b dx n a l l n ππππ⎧

=+⎪

+==⎨+⎪=⎩

⎰L ∴ 原初边值问题的解为： 2(,)sin sin (21)22l a x

u x t t n a l l

πππ=

+

二. 特殊方程的边界齐次化：知识点见2122P P -

2.已知初边值问题：

20000,0,0

,0,0

tt xx x x l t t t u a u x l t u A u B u u ====⎧-=<<>⎪⎪

==⎨⎪==⎪⎩

将此定解问题的边界齐次化。

解：令 (,)(,)()u x t v x t w x =+ （1），则tt tt u v =，''xx xx u v w =+，故原初边值问题等价于

22000''(0),()

(),0

tt xx x x l t t t v a v a w x

v A w v B w l v w x v ====⎧-=+⎪⎪

=-=-⎨⎪=-=⎪⎩ （I ）

将定解问题（I ）边界齐次化，即令

2''0(0)()a w x w A w l B ⎧+=⎪

=⎨⎪=⎩

32

22()()66x B A l w x x A a l a

-⇒=-+++

将()w x 代入（I ），则可得到边界齐次化后的初边值问题为：

232

00

220

(

),0660

tt xx t t t x x l v a v x B A l v x A v a l a v v ====⎧-=⎪⎪-=-+-=⎨⎪

⎪==⎩ （II ）

然后用分离变量法求初边值问题（II ）得到(,)v x t ，将其代入（1）式即可求出(,)u x t 。

三. 能量不等式证明解的唯一性：知识点见9495P P -

3.证明方程2

tt xx t u a u cu f =-+的初边值问题解的唯一性。

证明：假设此方程有两个不同解1u ，2u ，令12u u u =-，则(,)u x t 满足的定解问题为：

200000,0

tt xx t x x l t t t u a u cu u u u u ====⎧=-⎪⎪

==⎨⎪==⎪⎩

一维波动方程的能量公式为： 222

()()l

t x E t u a u dx =+⎰ 则有：

20'()2()l

t tt x xt E t u u a u u dx =+⎰()()2

02l t tt x t t xx x u u a u u u u dx ⎡⎤=+-⎣

⎦⎰ (

)

()

220

220

l

t tt xx x t l u u a u dx a u u =-+⎰20

2l

t cu dx =-⎰

由0c >知：'()E t ≤０，能量()E t 是时间t 的减函数，又知初始时刻

2220

(0)()0l

t x t E u a u dx

==+=⎰

又有 ()(0)0E t E ≤=，且 ()0E t ≥ ，则()0E t ≡ ，即有 0x t u u ==

u C ∴≡ ，其中C 为常数． 又初始条件为 (,0)0u x =