材料力学-第二章 拉伸与压缩
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材料力学(机械类)第二章 轴向拉伸与压缩
第
二
章
拉伸压缩与剪切
1
பைடு நூலகம்
§2-1
轴向拉伸与压缩的概念和实例
轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸） 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
2
拉、压的特点：
1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反 2. 变形—— 沿轴线
3
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1 、横截面上的内力
A3
2
l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
40
目录
例 2—5 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮 F=20kN，求刚索的应力和 C点的垂直位移。 （刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁）
16
§2-4
材料在拉伸时的力学性能
材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变 形和破坏等方面的特性。
现在要研究材料的整个力学性能（应力 —— 应变）：
从受力很小
破坏
理论上——用简单描述复杂
工程上——为（材料组成的）构件当好医生
17
一、 低碳钢拉伸时的力学性能 （含碳量<0.3%的碳素钢）
力均匀分布于横截面上，σ等于常量。于是有：
N d A d A A
A A
得应力：
N A
F
FN
σ
10
例题2-2
A 1
45°
C
2
二
章
拉伸压缩与剪切
1
பைடு நூலகம்
§2-1
轴向拉伸与压缩的概念和实例
轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸） 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
2
拉、压的特点：
1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反 2. 变形—— 沿轴线
3
§2-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
1 、横截面上的内力
A3
2
l1 l2 y AA3 A3 A4 sin 30 tan 30 2 1.039 3.039mm
A
A A4
AA x2 y2 0.6 2 3.039 2 3.1mm
40
目录
例 2—5 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮 F=20kN，求刚索的应力和 C点的垂直位移。 （刚索的 E =177GPa，设横梁ABCD为刚梁）
16
§2-4
材料在拉伸时的力学性能
材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变 形和破坏等方面的特性。
现在要研究材料的整个力学性能（应力 —— 应变）：
从受力很小
破坏
理论上——用简单描述复杂
工程上——为（材料组成的）构件当好医生
17
一、 低碳钢拉伸时的力学性能 （含碳量<0.3%的碳素钢）
力均匀分布于横截面上，σ等于常量。于是有：
N d A d A A
A A
得应力：
N A
F
FN
σ
10
例题2-2
A 1
45°
C
2
5 材料力学第二章 轴向拉伸和压缩
μ
16锰钢
合金钢 铸铁 混凝土 石灰岩 木材（顺纹）
196-216
186-216 59-162 15-35 41 10-12
0.25-0.30
0.25-0.30 0.23-0.27 0.16-0.18 0.16-0.34
橡胶
0.0078
0.47
25
材料力学
§2-5
轴向拉伸时材料的机械性能
一、试验条件及试验仪器
P BC段：N 2 3 P
1
3P + P
AB段：N
3
2 P
+
–
12
2P
三、横截面上的应力
问题提出： P P （一）应力的概念 P P
度量横截面 上分布内力 的集度
1.定义：作用在单位面积上的内力值。 2.应力的单位是： Pa KPa MPa GPa
3.应力：a：垂直截面的应力－－正应力σ 拉应力为正，压应力为负。
※E为弹性模量，是衡量材料抵抗弹 性变形能力的一个指标。“EA”称 为杆的抗拉压刚度。
l E Sl S E E l l EA A
胡克定律：
＝Eε
23
四、横向变形
d d 1 d 0
泊松比（或横向变形系数）
d d 1 d 0 相对变形： ' d0 d0
e
DE段：颈缩阶段。
• 材料的分类：根据试件断裂时的残余相对变形率将材料分类： 延伸率（δ ）>5% 塑性变形：低碳钢，铜，塑料，纤维。 延伸率（δ ）<5% 脆性变形：混凝土，石块，玻璃钢，陶瓷， 玻璃，铸铁。 • 冷作硬化：材料经过屈服而进入强化阶段后卸载，再加载时，弹 性极限明显增加，弹性范围明显扩大，承载能力增大的现象。 • 强度指标：对塑性材料，在拉断之前在残余变形0.2 %（产生 0.2%塑性应变）时对应的应力为这种材料的名义屈服应力，用 0.2表示 ，即此类材料的失效应力。 锰钢、镍钢、铜等 • 脆性材料拉伸的机械性能特点： 1.断裂残余相对变形率δ <5% 0.2 or s max b 2.弹性变形基本延伸到破坏 3.拉伸强度极限比塑性材料小的多 4.b是脆性材料唯一的强度指标
16锰钢
合金钢 铸铁 混凝土 石灰岩 木材（顺纹）
196-216
186-216 59-162 15-35 41 10-12
0.25-0.30
0.25-0.30 0.23-0.27 0.16-0.18 0.16-0.34
橡胶
0.0078
0.47
25
材料力学
§2-5
轴向拉伸时材料的机械性能
一、试验条件及试验仪器
P BC段：N 2 3 P
1
3P + P
AB段：N
3
2 P
+
–
12
2P
三、横截面上的应力
问题提出： P P （一）应力的概念 P P
度量横截面 上分布内力 的集度
1.定义：作用在单位面积上的内力值。 2.应力的单位是： Pa KPa MPa GPa
3.应力：a：垂直截面的应力－－正应力σ 拉应力为正，压应力为负。
※E为弹性模量，是衡量材料抵抗弹 性变形能力的一个指标。“EA”称 为杆的抗拉压刚度。
l E Sl S E E l l EA A
胡克定律：
＝Eε
23
四、横向变形
d d 1 d 0
泊松比（或横向变形系数）
d d 1 d 0 相对变形： ' d0 d0
e
DE段：颈缩阶段。
• 材料的分类：根据试件断裂时的残余相对变形率将材料分类： 延伸率（δ ）>5% 塑性变形：低碳钢，铜，塑料，纤维。 延伸率（δ ）<5% 脆性变形：混凝土，石块，玻璃钢，陶瓷， 玻璃，铸铁。 • 冷作硬化：材料经过屈服而进入强化阶段后卸载，再加载时，弹 性极限明显增加，弹性范围明显扩大，承载能力增大的现象。 • 强度指标：对塑性材料，在拉断之前在残余变形0.2 %（产生 0.2%塑性应变）时对应的应力为这种材料的名义屈服应力，用 0.2表示 ，即此类材料的失效应力。 锰钢、镍钢、铜等 • 脆性材料拉伸的机械性能特点： 1.断裂残余相对变形率δ <5% 0.2 or s max b 2.弹性变形基本延伸到破坏 3.拉伸强度极限比塑性材料小的多 4.b是脆性材料唯一的强度指标
材料力学课件第二章 轴向拉伸和压缩
2.3 材料在拉伸和压缩时的力学性能
解： 量得a点的应力、应变分别 为230MPa、0.003
E=σa/εa=76.7GPa 比例极限σp=σa=230MPa 当应力增加到σ＝350MPa时，对应b点，量得正应变值
ε = 0. 0075 过ｂ点作直线段的平行线交于ε坐标轴，量得 此时的塑性应变和弹性应变
εp=0. 0030 εe= 0 . 0075-0.003=0.0045
内力：变形固体在受到外力作用 时，变形固体内部各相邻部分之 间的相互作用力的改变量。
①②③ 切加求 一内平 刀力衡
应力:是内力分布集度，即 单位面积上的内力
p＝dF/dA
F
F
FX = 0
金属材料拉伸时的力学性能
低碳钢(C≤0.3%)
Ⅰ 弹性阶段σe σP=Eε
Ⅱ 屈服阶段 屈服强度σs 、（σ0.2）
FN FN<0
2.2 拉压杆截面上的内力和应力
第二章 轴向拉伸和压缩
在应用截面法时应注意：
（1）外载荷不能沿其作用线移动。
2.2 拉压杆截面上的内力和应力
第二章 轴向拉伸和压缩
在应用截面法时应注意：
（2）截面不能切在外载荷作用点处，要离开或 稍微离开作用点。
1
2
11
22
f 30 f 20
60kN
Ⅲ 强化阶段 抗压强度 （强度极限）σb
Ⅳ 局部颈缩阶段
例1
一根材料为Q235钢的拉伸试样，其直径d＝10mm，工作段 长度l＝100mm。当试验机上荷载读数达到F＝10kN 时，量 得工作段的伸长为Δ l＝0.0607mm ，直径的缩小为 Δd=0.0017mm 。试求此时试样横截面上的正应力σ，并求出 材料的弹性模量Ｅ。已知Q235钢的比例极限为σ p ＝200MPa。
材料力学 第2章杆件的拉伸与压缩
第2章 杆件的拉伸与压缩提要：轴向拉压是构件的基本受力形式之一，要对其进行分析，首先需要计算内力，在本章介绍了计算内力的基本方法——截面法。
为了判断材料是否会发生破坏，还必须了解内力在截面上的分布状况，即应力。
由试验观察得到的现象做出平面假设，进而得出横截面上的正应力计算公式。
根据有些构件受轴力作用后破坏形式是沿斜截面断裂，进一步讨论斜截面上的应力计算公式。
为了保证构件的安全工作，需要满足强度条件，根据强度条件可以进行强度校核，也可以选择截面尺寸或者计算容许荷载。
本章还研究了轴向拉压杆的变形计算，一个目的是分析拉压杆的刚度问题，另一个目的就是为解决超静定问题做准备，因为超静定结构必须借助于结构的变形协调关系所建立的补充方程，才能求出全部未知力。
在超静定问题中还介绍了温度应力和装配应力的概念及计算。
不同的材料具有不同的力学性能，本章介绍了塑性材料和脆性材料的典型代表低碳钢和铸铁在拉伸和压缩时的力学性能。
2.1 轴向拉伸和压缩的概念在实际工程中，承受轴向拉伸或压缩的构件是相当多的，例如起吊重物的钢索、桁架第2章 杆件的拉伸与压缩 ·9··9·2.2 拉(压)杆的内力计算2.2.1 轴力的概念为了进行拉(压)杆的强度计算，必须首先研究杆件横截面上的内力，然后分析横截面上的应力。
下面讨论杆件横截面上内力的计算。
取一直杆，在它两端施加一对大小相等、方向相反、作用线与直杆轴线相重合的外力，使其产生轴向拉伸变形，如图2.2(a)所示。
为了显示拉杆横截面上的内力，取横截面把m m −拉杆分成两段。
杆件横截面上的内力是一个分布力系，其合力为N F ，如图2.2(b)和2.2(c)所示。
由于外力P 的作用线与杆轴线相重合，所以N F 的作用线也与杆轴线相重合，故称N F 为轴力(axial force)。
由左段的静力平衡条件0X =∑有：()0+−=N F P ，得=N F P 。
材料力学——2拉伸和压缩
对于拉压杆，学习了 • 应力计算 • 力学性能 • 如何设计拉压杆？—— 安全，或 不失效
反面看：危险，或 失效（丧失正常工作能力） （1）塑性屈服 （2）脆性断裂
28
• 正面考虑 —— 应力 为了—— 安全，或不失效
( u — Ultimate, n — 安全因数 Safety factor)
（1）塑性 n =1.5 - 2.5 （2）脆性 n = 2 - 3.5 • 轴向拉伸或压缩时的强度条件 ——
截面法（截、取、代、平） 轴力 FN（Normal） 1．轴 力
Fx 0
得
FN P 0 FN P
5
•轴力的符号
由变形决定——拉伸时，为正 压缩时，为负
注意： • 1）外力不能沿作用线移动——力的可传性不
成立 变形体，不是刚体
6
2． 轴 力 图
• 纵轴表示轴力大小的图（横轴为截面位 置） 例2-1 求轴力，并作轴力图
哪个杆先破坏?
§2-2 拉 （ 压 ） 杆 的 应 力
杆件1 —— 轴力 = 1N, 截面积 = 0.1 cm2 杆件2 —— 轴力 = 100N, 截面积 = 100 cm2
哪个杆工作“累”？
不能只看轴力，要看单位面积上的力—— 应力 • 怎样求出应力？
思路——应力是内力延伸出的概念，应当由 内力 应力
材料力学
Mechanics of Materials
1
2
§2-1 概念及实例
• 轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸）
• 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
3
拉、压的特点：
• 1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反
• 2. 变形—— 沿轴线的伸长或缩短
反面看：危险，或 失效（丧失正常工作能力） （1）塑性屈服 （2）脆性断裂
28
• 正面考虑 —— 应力 为了—— 安全，或不失效
( u — Ultimate, n — 安全因数 Safety factor)
（1）塑性 n =1.5 - 2.5 （2）脆性 n = 2 - 3.5 • 轴向拉伸或压缩时的强度条件 ——
截面法（截、取、代、平） 轴力 FN（Normal） 1．轴 力
Fx 0
得
FN P 0 FN P
5
•轴力的符号
由变形决定——拉伸时，为正 压缩时，为负
注意： • 1）外力不能沿作用线移动——力的可传性不
成立 变形体，不是刚体
6
2． 轴 力 图
• 纵轴表示轴力大小的图（横轴为截面位 置） 例2-1 求轴力，并作轴力图
哪个杆先破坏?
§2-2 拉 （ 压 ） 杆 的 应 力
杆件1 —— 轴力 = 1N, 截面积 = 0.1 cm2 杆件2 —— 轴力 = 100N, 截面积 = 100 cm2
哪个杆工作“累”？
不能只看轴力，要看单位面积上的力—— 应力 • 怎样求出应力？
思路——应力是内力延伸出的概念，应当由 内力 应力
材料力学
Mechanics of Materials
1
2
§2-1 概念及实例
• 轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长 （简称拉伸）
• 轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短 （简称压缩）
3
拉、压的特点：
• 1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反
• 2. 变形—— 沿轴线的伸长或缩短
材料力学第2章轴向拉伸与压缩
ε 相同，这就是变形的几何关系。
图2.5
(2)物理关系
根据物理学知识，当变形为弹性变形时，变形和力成正比。因为各“纤维” 的正应变ε 相同，而各“纤维”的线应变只能由正应力ζ 引起，故可推知横
截面上各点处的正应力相同，即在横截面上，各点处的正应力ζ 为均匀分布
，如图2.6所示。
图2.6
(3)静力学关系 由静力学求合力的方法，可得
α
和沿斜截面的切应力
，如图2.8(d)所示，即得
从式(2.4)可以看出，ζ
α
和α 都是α 的函数。所以斜截面的方位不同，截 ， 即横截面上的正应力是所有截
面上的应力也就不同。当α =0时，
面上正应力中的最大值。当α =45°时，α 达到最大值，且
可见，在与杆件轴线成45°的斜截面上，切应力为最大值，最大切应力在数 值上等于最大正应力的1/2。 关于切应力的符号，规定如下：截面外法线顺时针转90°后，其方向和切应 力相同时，该切应力为正值，如图2.9(a)所示；逆时针转90°后，其方向和 切应力相同时，该切应力为负值，如图2.9(b)所示。
同理，可求得BC段内任一横截面上的轴力(见图2.4(d))为
在求CD段内任一横截面上的轴力时，由于截开后右段杆比左段杆受力简单， 所以宜取右段杆为研究对象(见图2.4(e))，通过平衡方程可求得
结果为负，说明N3的实际方向与假设方向相反。 同理，DE段内任一横截面上的轴力为
依据前述绘制轴力图的规则，所作的轴力图如图2.4(f)所示。显然，最大轴 力发生在BC段内，其值为50 kN。
由此可得杆的横截面上任一点处正应力的计算公式为
对于承受轴向压缩的杆，式(2.3)同样适用。但值得注意的是：细长杆受压
时容易被压弯，属于稳定性问题，将在第11章中讨论，式(2.3)适用于压杆 未被压弯的情况。关于正应力的符号，与轴力相同，即拉应力为正，压应力
图2.5
(2)物理关系
根据物理学知识，当变形为弹性变形时，变形和力成正比。因为各“纤维” 的正应变ε 相同，而各“纤维”的线应变只能由正应力ζ 引起，故可推知横
截面上各点处的正应力相同，即在横截面上，各点处的正应力ζ 为均匀分布
，如图2.6所示。
图2.6
(3)静力学关系 由静力学求合力的方法，可得
α
和沿斜截面的切应力
，如图2.8(d)所示，即得
从式(2.4)可以看出，ζ
α
和α 都是α 的函数。所以斜截面的方位不同，截 ， 即横截面上的正应力是所有截
面上的应力也就不同。当α =0时，
面上正应力中的最大值。当α =45°时，α 达到最大值，且
可见，在与杆件轴线成45°的斜截面上，切应力为最大值，最大切应力在数 值上等于最大正应力的1/2。 关于切应力的符号，规定如下：截面外法线顺时针转90°后，其方向和切应 力相同时，该切应力为正值，如图2.9(a)所示；逆时针转90°后，其方向和 切应力相同时，该切应力为负值，如图2.9(b)所示。
同理，可求得BC段内任一横截面上的轴力(见图2.4(d))为
在求CD段内任一横截面上的轴力时，由于截开后右段杆比左段杆受力简单， 所以宜取右段杆为研究对象(见图2.4(e))，通过平衡方程可求得
结果为负，说明N3的实际方向与假设方向相反。 同理，DE段内任一横截面上的轴力为
依据前述绘制轴力图的规则，所作的轴力图如图2.4(f)所示。显然，最大轴 力发生在BC段内，其值为50 kN。
由此可得杆的横截面上任一点处正应力的计算公式为
对于承受轴向压缩的杆，式(2.3)同样适用。但值得注意的是：细长杆受压
时容易被压弯，属于稳定性问题，将在第11章中讨论，式(2.3)适用于压杆 未被压弯的情况。关于正应力的符号，与轴力相同，即拉应力为正，压应力
材料力学第二章-拉伸、压缩与剪切课件
实验装置与测量装置
试验装置对材料的测试很重要，因为它确保了精度和准确性。测量装置应该能够准确测量试 样的形变和载荷。
数据分析方法
在进行测试之后，数据和结果的分析非常重要。需要注意的是本构关系和试验结果分析是经 验丰富的材料学家可以提出的有价值的见解。
结论与展望
结论
本课程介绍了有关材料力学中拉伸、压缩和 剪切实验的基本原理和关键技术。我们可以 将学到的知识应用到工程实践和材料创新上。
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ本构关系
本构关系是指应力和应变之间的关系。材料力学中存在两种流变学问题，弹性问题和塑 性问题。两者的本构关系分别为线性弹性本构关系和极限强度本构关系。
3 欧拉梁方程
欧拉梁方程使用到了杆的几何性质，指出一个杆稳定的条件。当所受外力P不大于欧拉推 力F时，杆件就是稳定的。
压缩测试
杆件的短缩假设
短缩假设是细长杆压缩稳定 性问题的基础。它假设杆件 压缩后仍保持直线，不会产 生剪切变形和弯曲；所有点 的变形相同，仍使用单一变 量表示。
材料力学第二章-拉伸、 压缩与剪切课件
欢迎来学习关于材料拉伸、压缩和剪切的课程！在这个课程中，你将学习杆 件的细长假设、短缩假设、本构关系和欧拉梁方程。我们还会介绍应力与应 变关系、应力平面和变形观察以及破坏理论。
拉伸测试
1 杆件的细长假设
细长假设的出现是为了简化问题。它假设杆件在拉伸过程中保持直线，不产生弯曲；所 有点的变形相同，因此可以用单一变量来表示。
2
应力平面与变形观察
理解应力与应变之间的关系是剪切测试的关键。我们需要通过变形的观察来确定 应力平面。
3
破坏理论
剪切测试最终会导致杆件的破坏。多数材料的 yield strength 是其快速破坏前所能 承受的最大应力，这个应力被称作杆件的最大应力。
试验装置对材料的测试很重要，因为它确保了精度和准确性。测量装置应该能够准确测量试 样的形变和载荷。
数据分析方法
在进行测试之后，数据和结果的分析非常重要。需要注意的是本构关系和试验结果分析是经 验丰富的材料学家可以提出的有价值的见解。
结论与展望
结论
本课程介绍了有关材料力学中拉伸、压缩和 剪切实验的基本原理和关键技术。我们可以 将学到的知识应用到工程实践和材料创新上。
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ本构关系
本构关系是指应力和应变之间的关系。材料力学中存在两种流变学问题，弹性问题和塑 性问题。两者的本构关系分别为线性弹性本构关系和极限强度本构关系。
3 欧拉梁方程
欧拉梁方程使用到了杆的几何性质，指出一个杆稳定的条件。当所受外力P不大于欧拉推 力F时，杆件就是稳定的。
压缩测试
杆件的短缩假设
短缩假设是细长杆压缩稳定 性问题的基础。它假设杆件 压缩后仍保持直线，不会产 生剪切变形和弯曲；所有点 的变形相同，仍使用单一变 量表示。
材料力学第二章-拉伸、 压缩与剪切课件
欢迎来学习关于材料拉伸、压缩和剪切的课程！在这个课程中，你将学习杆 件的细长假设、短缩假设、本构关系和欧拉梁方程。我们还会介绍应力与应 变关系、应力平面和变形观察以及破坏理论。
拉伸测试
1 杆件的细长假设
细长假设的出现是为了简化问题。它假设杆件在拉伸过程中保持直线，不产生弯曲；所 有点的变形相同，因此可以用单一变量来表示。
2
应力平面与变形观察
理解应力与应变之间的关系是剪切测试的关键。我们需要通过变形的观察来确定 应力平面。
3
破坏理论
剪切测试最终会导致杆件的破坏。多数材料的 yield strength 是其快速破坏前所能 承受的最大应力，这个应力被称作杆件的最大应力。
材料力学《第二章》轴向拉伸与压缩
c'
杆受压时同样分析，可得同样结果。 由式可知： 1. FN s ，A s； 2. s 与FN符号相同，拉应力为正，压应力为负。
说明：所得结果经实验证明是准确的，因此平面假设符合实际 情况。
上海交通大学
注意： 1. 公式仅适用于轴向拉压情况； 2. 公式不适用于外力作用区域附近部分。
在外力作用区域附近，s 并不均布，而是由外力的作用情况而定。
k
F
将 pa 沿斜截面的垂直方向和平行 F 方向分解：
k
pa
pa
s0 s a pa cosa (1 + cos 2a ) 2 s0 t a pa sin a s 0 cosa sin a sin 2a 2
F
a k sa
a
可知：sa 、ta的大小和方向随 a 的改变而改变。
ta
pa
上海交通大学
得 FN4 = F4 = 10 kN (拉)
A F1 FN
1
B F2
2
C
3
D F4
FN1 = 5 kN 5 kN + B
1
F3 FN2 = –15 kN
2
FN3 = 10 kN 10 kN + C D x
3
A
三、 轴力图 –15 kN
在杆件中间部分有外力作用时，杆件不同段上的轴力不同。 可用轴力图来形象地表示轴力随横截面位置的变化情况。 横轴 x：杆横截面位置；纵轴 FN：杆横截面上的轴力。 正值轴力 (拉)绘在横轴 上方，负值轴力 (压)绘在横轴下方。
变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短，同时伴随横 向尺寸的变化(减小或增大)。
轴向拉伸：两端受拉力作用，杆的变形是轴向伸长，横向减小。
材料力学 第2章轴向拉伸与压缩
15mm×15mm的方截面杆。
A
FN128.3kN FN220kN
1
（2）计算各杆件的应力。
C
45°
2
B
s AB
FN 1 A1
28.3103
202
M
Pa90MPa
4
F
FN 1
F N 2 45°
y
Bx
s BC
FN 2 A2
21052103MPa89MPa
F
§2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
22
5 圣维南原理
s FN A
（2-1）
（1）问题的提出
公式（2-1）的适用范围表明：公式不适用于集中力作
用点附近的区域。因为作用点附近横截面上的应力分布是非
均匀的。随着加载方式的不同。这点附近的应力分布方式就
会发生变化。 理论和实践研究表明：
不同的加力方式，只对力作
用点附近区域的应力分布有
显著影响，而在距力作用点
力学性能：指材料从开始受力至断裂的全部过程中，所表 现出的有关变形和破坏的特性和规律。
材料力学性能一般由试验测定，以数据的形式表达。 一、试验条件及试验仪器 1、试验条件：常温(20℃)；静载（缓慢地加载）；
2、标准试件：常用d=10mm，l=100 mm的试件
d
l
l =10d 或 l = 5d
36
b点是弹性阶段的最高点.
σe—
oa段为直线段，材料满足 胡克定律
sE
sp
E
se sp
s
f ab
Etana s
O
f′h
反映材料抵抗弹
性变形的能力.
40
A
FN128.3kN FN220kN
1
（2）计算各杆件的应力。
C
45°
2
B
s AB
FN 1 A1
28.3103
202
M
Pa90MPa
4
F
FN 1
F N 2 45°
y
Bx
s BC
FN 2 A2
21052103MPa89MPa
F
§2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
22
5 圣维南原理
s FN A
（2-1）
（1）问题的提出
公式（2-1）的适用范围表明：公式不适用于集中力作
用点附近的区域。因为作用点附近横截面上的应力分布是非
均匀的。随着加载方式的不同。这点附近的应力分布方式就
会发生变化。 理论和实践研究表明：
不同的加力方式，只对力作
用点附近区域的应力分布有
显著影响，而在距力作用点
力学性能：指材料从开始受力至断裂的全部过程中，所表 现出的有关变形和破坏的特性和规律。
材料力学性能一般由试验测定，以数据的形式表达。 一、试验条件及试验仪器 1、试验条件：常温(20℃)；静载（缓慢地加载）；
2、标准试件：常用d=10mm，l=100 mm的试件
d
l
l =10d 或 l = 5d
36
b点是弹性阶段的最高点.
σe—
oa段为直线段，材料满足 胡克定律
sE
sp
E
se sp
s
f ab
Etana s
O
f′h
反映材料抵抗弹
性变形的能力.
40
材料力学--轴向拉伸和压缩
2、轴力图的作法：以平行于杆轴线的横坐标（称为基
线）表示横截面的位置；以垂直于杆轴线方向的纵坐
标表示相应横截面上的轴力值，绘制各横截面上的轴 FN
力变化曲线。
x
§2-2 轴力、轴力图
三、轴力图
FN
3、轴力图的作图步骤：
x
①先画基线（横坐标x轴），基线‖轴线；
②画纵坐标，正、负轴力各绘在基线的一侧；
③标注正负号、各控制截面处 、单位及图形名称。
FN
4、作轴力图的注意事项： ①基线一定平行于杆的轴线，轴力图与原图上下截面对齐； ②正负分绘两侧， “拉在上，压在下”，封闭图形； ③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力绝对值，不带正负号； ④整个轴力图比例一致。
50kN 50kN 50kN
第二章 轴向拉伸和压缩
第二章
轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
§2 — 1 概述
§2 — 2 轴力 轴力图
目
§2 — 3 拉（压）杆截面上的应力
§2 — 4 拉（压）杆的变形 胡克定律 泊松比
录
§2 — 5 材料在拉伸与压缩时的力学性质
§2 — 6 拉（压）杆的强度计算
§2 — 7 拉（压）杆超静定问题
FN
作轴力图的注意事项： ①多力作用时要分段求解，一律先假定为正方向，优先考虑直接法； ②基线‖轴线，正负分绘两侧， “拉在上，压在下”，比例一致，封闭图形； ③正负号标注在图形内，图形上下方相应的地方只标注轴力绝对值，不带正负号； ④阴影线一定垂直于基线，阴影线可画可不画。
§ 2-3拉（压）杆截面上的应力
§2 — 8 连接件的实用计算
§2-1 概述 §2-1 概述
——轴向拉伸或压缩，简称为拉伸或压缩，是最简单也是做基本的变形。
材料力学第二章-轴向拉伸与压缩
FN 3 P
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
1
2
P
P
1
2
FN1
3 P
3
P FN2
PP FN3
FN 1 P FN 2 0 FN 3 P
1
2
4、作内力图
P
P
P
3 P
1 FN
P
2
3
P x
[例2] 图示杆旳A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 旳力，方向如图，试画出杆旳轴力图。
OA PA
B PB
C PC
D PD
q
u 正应力旳正负号要求：
sx
sx sx
s
x
P
u 对变截面杆， 当截面变化缓慢时，横截面上旳 正应力也近似为均匀分布，可有：
s (x) FN (x)
A( x)
合力作用线必须与杆件轴线重叠；
圣维南原理
若用与外力系静力等 效旳合力替代原力系， 则这种替代对构件内应 力与应变旳影响只限于 原力系作用区域附近很 小旳范围内。 对于杆件，此范围相当 于横向尺寸旳1～1.5倍。
h
解： 1） BD杆内力N
取AC为研究对象，受力分析如图
mA 0 , (FNsinq ) (hctgq) Px 0
FN
Px
hcosq
2） BD杆旳最大应力： s max FN max PL A hAcosq
突变规律： 1、从左边开始，向左旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 2、从右边开始，向右旳力产生正旳轴力，轴力图向上突变。 3、突变旳数值等于集中力旳大小。
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀旳。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上旳应力
一、斜截面上旳内力
n
材料力学第二章 轴向拉伸和压缩
伸长 l2 0.24mm 缩短
2、计算各杆轴向变形
C
l 2 =1m a =170mm
B'
B2
F
l1 0.48mm
3、由变形的几何条件确定B点的位移 分别以A为圆心，AB1为半径，C为圆 心，CB1为半径画弧，相较于B’点，
B"
小变形条件，可以用切线代替弧线。
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
FN FN ( x)
轴力方程
即为轴力图。
即：FN随x的变化规律
以x为横坐标，以FN为纵坐标，绘制FN F（ ）的关系图线， N x
FN
正的轴力画在x轴的上侧，负的画在下侧.
x
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
例题1
等值杆受力如图所示，试作其轴力图
F =25kN F ４=55kN ４ １=40kN F
纵向线 即： 原长相同
变形相同
横截面上各点的纵向线应变相等
c
拉压杆变形几何方程.
反映了截面上各点变形之间的几何关系.
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-2 横截面上的正应力 应力分布规律 找变形规律 研究思路： 试验观察 综合几何方面、物理方面、静力学方面推导应力计算公式
一、几何方面
F
a' b'
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
• • • • • •
本章主要内容 轴力及轴力图 横截面上的应力 拉压杆的变形、胡克定律 强度计算 材料的力学性质
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-1 概述 一、工程实际中的轴向拉压杆
2、计算各杆轴向变形
C
l 2 =1m a =170mm
B'
B2
F
l1 0.48mm
3、由变形的几何条件确定B点的位移 分别以A为圆心，AB1为半径，C为圆 心，CB1为半径画弧，相较于B’点，
B"
小变形条件，可以用切线代替弧线。
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
FN FN ( x)
轴力方程
即为轴力图。
即：FN随x的变化规律
以x为横坐标，以FN为纵坐标，绘制FN F（ ）的关系图线， N x
FN
正的轴力画在x轴的上侧，负的画在下侧.
x
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
例题1
等值杆受力如图所示，试作其轴力图
F =25kN F ４=55kN ４ １=40kN F
纵向线 即： 原长相同
变形相同
横截面上各点的纵向线应变相等
c
拉压杆变形几何方程.
反映了截面上各点变形之间的几何关系.
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-2 横截面上的正应力 应力分布规律 找变形规律 研究思路： 试验观察 综合几何方面、物理方面、静力学方面推导应力计算公式
一、几何方面
F
a' b'
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
第二章 轴向拉伸和压缩
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
• • • • • •
本章主要内容 轴力及轴力图 横截面上的应力 拉压杆的变形、胡克定律 强度计算 材料的力学性质
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-1 概述 一、工程实际中的轴向拉压杆
材料力学第2章
第二章
轴向拉伸和压缩
1
§2.1 轴向拉伸和压缩的概念
当作用于杆上的外力合力的作用线与直杆的轴线 重合时，杆的主要变形是纵向伸长或缩短，这类 构件称为拉杆或压杆。 如图 所示三 角架中的AC 杆为拉杆， BC杆为压杆 。
2
右图所示的桁架 中的杆也是主要 承受拉伸或压缩 变形的。
轴向拉力和轴向压力的 概念可由右图给出，上 图为轴向拉力；下图为 轴向压力。
若设BC段内立柱的单位长度自重为q2、横截面面 积为A2，则:
q2 γ A2 19kN/m 0.37m 0.37m 2.6kN/m
3
15
例题 2.2
(b)图：这是在集中荷载单 独作用下，柱的轴力图。图 中的负号表示轴力为压力。
(c)图：这是在自重荷载单 独作用下，柱的轴力图。即 在B处的轴力为:
①画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基 线； ②将杆分段，凡集中力作用点处均应取作分段点； ③用截面法，通过平衡方程求出每段杆的轴力； 画轴力图时，截面轴力一般先假设为正的，这样 ，计算结果是正的，则就表示为拉力，计算结果 是负的，就表示为压力。 ④按大小比例和正负号，将各段杆的轴力画在基 线两侧，并在图上表示出数值和正负号。
7
例题 2.1
图a所示等直杆，求各段内截面上的轴力并作出 轴力图的轴力图。
8
例题 2.1
解: (1) 求约束反力
由平衡方程求出约束力 FR=10 kN。 (2)求各杆段截面轴力 杆件中AB段、BC段、CD段、DE段的轴力是不 同的。分别用四个横截面：1-1、2-2、3-3、4-4 ，截杆并取四个部分为研究对象。
25kN
(e)
20kNFxFra bibliotek 0 : FN 3 F3 F4 0
轴向拉伸和压缩
1
§2.1 轴向拉伸和压缩的概念
当作用于杆上的外力合力的作用线与直杆的轴线 重合时，杆的主要变形是纵向伸长或缩短，这类 构件称为拉杆或压杆。 如图 所示三 角架中的AC 杆为拉杆， BC杆为压杆 。
2
右图所示的桁架 中的杆也是主要 承受拉伸或压缩 变形的。
轴向拉力和轴向压力的 概念可由右图给出，上 图为轴向拉力；下图为 轴向压力。
若设BC段内立柱的单位长度自重为q2、横截面面 积为A2，则:
q2 γ A2 19kN/m 0.37m 0.37m 2.6kN/m
3
15
例题 2.2
(b)图：这是在集中荷载单 独作用下，柱的轴力图。图 中的负号表示轴力为压力。
(c)图：这是在自重荷载单 独作用下，柱的轴力图。即 在B处的轴力为:
①画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作基 线； ②将杆分段，凡集中力作用点处均应取作分段点； ③用截面法，通过平衡方程求出每段杆的轴力； 画轴力图时，截面轴力一般先假设为正的，这样 ，计算结果是正的，则就表示为拉力，计算结果 是负的，就表示为压力。 ④按大小比例和正负号，将各段杆的轴力画在基 线两侧，并在图上表示出数值和正负号。
7
例题 2.1
图a所示等直杆，求各段内截面上的轴力并作出 轴力图的轴力图。
8
例题 2.1
解: (1) 求约束反力
由平衡方程求出约束力 FR=10 kN。 (2)求各杆段截面轴力 杆件中AB段、BC段、CD段、DE段的轴力是不 同的。分别用四个横截面：1-1、2-2、3-3、4-4 ，截杆并取四个部分为研究对象。
25kN
(e)
20kNFxFra bibliotek 0 : FN 3 F3 F4 0
材料力学第02章 拉伸、压缩与剪切
⊕
Ⅰ － ○ 20 kN
⊕
F
x
0
FN1
Ⅰ 80kN Ⅱ
FN2 60 80 0
FN2 20kN
FN2 第三段:
Ⅲ
30kN
60kN
F
x
0
Ⅱ
FN3 30 0
FN3 30kN
FN3
Ⅲ
例2
3kN
画图示杆的轴力图
2kN 2kN 10 kN 4kN 8kN
A
3kN
B
C
D
脆性材料 u （ bc） bt
u
n
n —安全因数 —许用应力
塑性材料的许用应力
脆性材料的许用应力
s
ns
bt
nb
p 0.2 n s bc n b
§2-6
§2-7 失效、安全因数和强度计算
解： A 轴力图
A1 B
○ －
A2 60kN 20 kN C D 20 kN ⊕
AB
BC
CD
FN AB 40 103 20MPa A1 2000 FN BC 40 103 40MPa A2 1000 FN CD 20 103 20MPa A2 1000
3、轴力正负号：拉为正、 F 压为负
0 FN F 0 FN F
F
§2-2
x
4、轴力图：轴力沿杆件轴 线的变化
目录
例1
60kN
画图示杆的轴力图
Ⅰ
80kN
Ⅱ
Ⅲ 50kN
30kN
第一段:
材料力学轴向拉伸与压缩
轴向拉压变形
第二章 轴向拉伸与压缩 2.2 杆旳变形
F
1.纵向变形 （1）纵向变形 （2） 纵向应变
b h
l l1
Δl l1 l
Δl
l
h1
F
b1
第二章 轴向拉伸与压缩
b
F
h
l l1
2.横向变形
h1
F
b1
（1）横向变形 （2）横向应变 3.泊松比
b b1 b
b1 b Δb
bb
A d 2 FN 4 [ ]
由此可得链环旳圆钢直径为
d
4F [ ]
4 12.5 103 3.14 45106
m=18.8mm
第二章 轴向拉伸与压缩
[例6]如图a所示，构造涉及钢杆1和铜杆2，A、B、C处为铰链连接。 在节点A悬挂一种G=20kN旳重物。钢杆AB旳横截面面A1=75 mm2， 铜杆旳横截面面积为A2=150 mm2 。材料旳许用应力分别为 ，
GB/T 228－2023 金属材料室温拉伸试验措施
原则拉伸试样：
标距： 试样工作段旳原始长度
要求标距: l 10 d 或者
l 5d
第二章 轴向拉伸与压缩
试验设备 （1）微机控制电子万能
试验机 （2）游标卡尺
第二章 轴向拉伸与压缩
试验设备
液压式
电子式
第二章 轴向拉伸与压缩
拉伸试验
第二章 轴向拉伸与压缩
第二章 轴向拉伸与压缩
应力非均布区 应力均布区 应力非均布区
圣维南原理
力作用于杆端旳分 布方式，只影响杆端 局部范围旳应力分布， 影响区约距杆端 1～2 倍杆旳横向尺寸。
端镶入底座，横向变形 受阻，杆应力非均匀分布。
第二章 轴向拉伸与压缩 2.2 杆旳变形
F
1.纵向变形 （1）纵向变形 （2） 纵向应变
b h
l l1
Δl l1 l
Δl
l
h1
F
b1
第二章 轴向拉伸与压缩
b
F
h
l l1
2.横向变形
h1
F
b1
（1）横向变形 （2）横向应变 3.泊松比
b b1 b
b1 b Δb
bb
A d 2 FN 4 [ ]
由此可得链环旳圆钢直径为
d
4F [ ]
4 12.5 103 3.14 45106
m=18.8mm
第二章 轴向拉伸与压缩
[例6]如图a所示，构造涉及钢杆1和铜杆2，A、B、C处为铰链连接。 在节点A悬挂一种G=20kN旳重物。钢杆AB旳横截面面A1=75 mm2， 铜杆旳横截面面积为A2=150 mm2 。材料旳许用应力分别为 ，
GB/T 228－2023 金属材料室温拉伸试验措施
原则拉伸试样：
标距： 试样工作段旳原始长度
要求标距: l 10 d 或者
l 5d
第二章 轴向拉伸与压缩
试验设备 （1）微机控制电子万能
试验机 （2）游标卡尺
第二章 轴向拉伸与压缩
试验设备
液压式
电子式
第二章 轴向拉伸与压缩
拉伸试验
第二章 轴向拉伸与压缩
第二章 轴向拉伸与压缩
应力非均布区 应力均布区 应力非均布区
圣维南原理
力作用于杆端旳分 布方式，只影响杆端 局部范围旳应力分布， 影响区约距杆端 1～2 倍杆旳横向尺寸。
端镶入底座，横向变形 受阻，杆应力非均匀分布。
材料力学 第02章 轴向拉伸和压缩及连接件的强度计算
O e
弹屈 性服 阶阶 段段
强 化 阶 段
颈 缩 阶 段
33/113
2.3 材料在拉伸或压缩时的力学性能 2.3.1 低碳钢Q235拉伸时的力学性能-弹性阶段
Oa段应力与应变成正比
s Ee
s
b a
弹性模量E是直线Oa的斜率 Q235 E≈200GPa
直线部分的最高点a所对应的应力称为 比例极限，sp Oa段材料处于线弹性阶段
(2) 杆AB段上与杆轴线夹45°角(逆时针方向)斜截面上的正应力 和切应力。
A 1 300 mm B 500 kN 300 mm 2 C 3 300 kN 400 mm
26/113
D
200 kN
2.2 拉压杆截面上的内力和应力 【例2-3】解
A 1 300 mm B 500 kN 300 mm 2 C
内力相同，
但是常识告诉我们，
F F
直径细的拉杆更容易破坏。
求得各个截面上的轴力后，并不能直接判断杆件是否具有足 够的强度。必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。 用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。
18/113
2.2 拉压杆截面上的内力和应力 2.2.2 1 拉压杆横截面上的应力
a
F
c
c' d'
F4
D
FN4
F
x
0 FN4 F4 0
FN4 20 kN 拉
16/113
同一位置处左右侧截面上的内力分量具有相同的正负号
2.2 拉压杆截面上的内力和应力 【例】解
1
FR A F1
F1=40kN，F2=55kN，F3=25kN，F4=20kN
2
F2 B
弹屈 性服 阶阶 段段
强 化 阶 段
颈 缩 阶 段
33/113
2.3 材料在拉伸或压缩时的力学性能 2.3.1 低碳钢Q235拉伸时的力学性能-弹性阶段
Oa段应力与应变成正比
s Ee
s
b a
弹性模量E是直线Oa的斜率 Q235 E≈200GPa
直线部分的最高点a所对应的应力称为 比例极限，sp Oa段材料处于线弹性阶段
(2) 杆AB段上与杆轴线夹45°角(逆时针方向)斜截面上的正应力 和切应力。
A 1 300 mm B 500 kN 300 mm 2 C 3 300 kN 400 mm
26/113
D
200 kN
2.2 拉压杆截面上的内力和应力 【例2-3】解
A 1 300 mm B 500 kN 300 mm 2 C
内力相同，
但是常识告诉我们，
F F
直径细的拉杆更容易破坏。
求得各个截面上的轴力后，并不能直接判断杆件是否具有足 够的强度。必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。 用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。
18/113
2.2 拉压杆截面上的内力和应力 2.2.2 1 拉压杆横截面上的应力
a
F
c
c' d'
F4
D
FN4
F
x
0 FN4 F4 0
FN4 20 kN 拉
16/113
同一位置处左右侧截面上的内力分量具有相同的正负号
2.2 拉压杆截面上的内力和应力 【例】解
1
FR A F1
F1=40kN，F2=55kN，F3=25kN，F4=20kN
2
F2 B
相关主题
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剪切变形
剪切变形
挤压变形
（3）扭转
Me
g
j
Me
（4）弯曲
Me Me
C、外力、内力与应力
外力是指由其他物体施加的力或 由物体本身的质量引起的力
内力是指在外力作用下物体内各 个部分之间的作用力----可理解 为材料颗粒之间因相对位置改变 而产生的相互作用力
外力的正负号取决于所建立的 坐标系，与坐标轴同向为正反 向为负。
轴向压缩构件----压杆
受力特点：外力合力的作 用线与 杆轴线重合 变形特点：杆沿轴向伸长 或缩短
轴向拉伸和压缩时的内力
• 1 内力的概念
• 物体内部某一部 分与另一部分间相互 作用的力 材料力学研究的 内力：因外力作用而 引起的内力改变量。
假设截面 m 3 轴力的符号规定：
离开截面为正，指向截面为负 拉为正，压为负 注意：内力符号规定与静力学不同，是以变形的不同确 定正负，截面上的未知内力皆用正向画出
2、用三大关系推导计算公式
: 正应力
(a) 几何变形关系
P
A：面积 S：内力 P：外力
S P A A
——轴向拉伸或压 缩时横截面上应力 (b) 变形和受力关系（物 计算式 理关系） 是垂直于横截面的应 P 纵向线应变 A l 力-正应力
E
E为弹性模量
纵向应变
l
轴力为拉力时为拉应力 轴力为压力时为压应力 （可用负号表示）
(c) 静力学关系（内 力应力关系或静力平 衡关系）
例 题
例1 压下螺旋, 求右图螺旋中的最大正应力P=800KN
解：1、计算轴力，画轴力图
轴力图
在最小截面处应用截面法：截 取分离体，在截面上画上内力， 画出分离体的受力图，利用平衡 方程或向截面简化求出内力
内力的正负号根据规定，不同 变形的内力有不同的规定。
应力是内力分布的集度，可以理解为是单 位面积的内力
正应力 剪应力
垂直于截面的应力 平行于截面的应力
正负号规定：
正应力 拉为正，压为负。
剪应力 顺时针为正，逆时针为负
>0
<0
>0
<0
二、拉、压杆的内力与应力
• 轴向拉伸构件---拉杆
Y 0 : S P 0
S P 800kN 2、用最小横截面面积计算最大压缩应力
max
S 4S 4 800 10 208MPa 2 2 Amin d 3.14 70
3
三、拉伸压缩时材料的机械性质
杆件的应力与外力和构件的几何形状有关，而杆件 的变形却与材料的性质有关。 因此，有必要研究材料的力学性能。这种研究可以 通过实验进行。
SP0 S P
S
m
P P P P 轴力
二、利用向截面简化的截面法
假设截面 m P P 假设截面 m P P P m P P P P m
m
m
P
P P
结果：S=P
结果：S= -P
m
m
例 题：
• 例1-1 设一杆轴线同时受力P1,P2,P3的作用，其作用点 分别为A、C、B,求杆的轴力。P2=3kN
塑性材料
延伸率 δ > 5% 断裂前有很大塑性变形 抗压能力与抗拉能力相近 可承受冲击载荷，适合于 锻压和冷加工
脆性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ料
延伸率 δ < 5% 断裂前变形很小 抗压能力远大于抗拉能力
适合于做基础构件或外壳
材料的塑性和脆性会因为制造方法工艺条件 的改变而改变
小结
第二章轴向拉伸与压缩
材料力学
一、可变形固体的若干概 念 a、杆件
材料力学主要研究杆件 横向尺寸远小于纵向尺 寸的构件 横截面
轴线
截面形心
b、杆件变形的基本形式
# 轴向拉伸与压缩
# #
#
剪切与挤压 扭转
弯曲
（1）轴向拉伸和压缩
拉伸 变细变长
压缩 变短变粗
拉力与压力都是沿杆的轴线方向
（2）剪切和挤压
# 低碳钢拉伸实验曲线
P Pe Pp Pb Ps
强化阶段 屈服阶段 颈缩阶段
弹性极限和比例极限
PP, Pe
屈服极限：
冷作硬化 线弹性阶段
Ps s A0 强度极限：
L
O
Pb b A0
L1 L0 延伸率： 100% L0
A0 A1 断面 100% 收缩率： A0
(MPa)
2、弃、代
m
P m P
S
P
P
P
P
3、 平 X 0
SP0 SP
轴力
•
或
S´ 轴力
m
P
X 0
P S' 0 S' P
m
• 2 截面法 轴力 P P
• 截面法：
• 1、截
m
两种截面法：
一、利用平衡关系的截面法 截、弃、代、平。如前述，应选择最简单的部分为研究对象。
P m P
X 0
1、低碳钢和铸铁拉伸\压缩时的力学性能
在工程上使用最广泛，力学性能最典型
# 实验用试件
（1）材料类型： 低碳钢： 塑性材料的典型代表； 灰铸铁： 脆性材料的典型代表；
（2）标准试件：
标距
d0 L0
标点
尺寸符合国标的试件；
标距： 2．标准试件： 用于测试的等截面部分长度；
圆截面试件标距：L0=10d0或5d0
P1=2kN A 1 C P =1kN B3 2 S1´=2kN P2 =3kN B P3 =1kN B 2 C
1kN
P1=2kN A
P1 =2kN A
2kN
s1
1 P2 =3kN C 1
P3 =1kN
1 C
s2
S2´
2 B 轴力图
A
横截面上的应力
1、应力的概念 内力在截面上的聚集程度，以分布在单位面积上的内力 来衡量它，称为应力。 单位：帕斯卡（Pa），或 kPa, Mpa, GPa 1Pa=1N/m2, 1Mpa=106Pa 1GPa=103MPa=109Pa
400
低碳钢压缩 应力应变曲线 E(b)
C(s上) (e) B 200 D(s下) A(p)
f1(f)
低碳钢拉伸 应力应变曲线
g
Ey= E=tga tga
a
O
O1 O2 0.1 0.2
by
灰铸铁的 压缩曲线
a
bL
灰铸铁的 拉伸曲线
a = 45o~55o
剪应力引起断裂
O
塑性材料和脆性材料力学性能比较
剪切变形
挤压变形
（3）扭转
Me
g
j
Me
（4）弯曲
Me Me
C、外力、内力与应力
外力是指由其他物体施加的力或 由物体本身的质量引起的力
内力是指在外力作用下物体内各 个部分之间的作用力----可理解 为材料颗粒之间因相对位置改变 而产生的相互作用力
外力的正负号取决于所建立的 坐标系，与坐标轴同向为正反 向为负。
轴向压缩构件----压杆
受力特点：外力合力的作 用线与 杆轴线重合 变形特点：杆沿轴向伸长 或缩短
轴向拉伸和压缩时的内力
• 1 内力的概念
• 物体内部某一部 分与另一部分间相互 作用的力 材料力学研究的 内力：因外力作用而 引起的内力改变量。
假设截面 m 3 轴力的符号规定：
离开截面为正，指向截面为负 拉为正，压为负 注意：内力符号规定与静力学不同，是以变形的不同确 定正负，截面上的未知内力皆用正向画出
2、用三大关系推导计算公式
: 正应力
(a) 几何变形关系
P
A：面积 S：内力 P：外力
S P A A
——轴向拉伸或压 缩时横截面上应力 (b) 变形和受力关系（物 计算式 理关系） 是垂直于横截面的应 P 纵向线应变 A l 力-正应力
E
E为弹性模量
纵向应变
l
轴力为拉力时为拉应力 轴力为压力时为压应力 （可用负号表示）
(c) 静力学关系（内 力应力关系或静力平 衡关系）
例 题
例1 压下螺旋, 求右图螺旋中的最大正应力P=800KN
解：1、计算轴力，画轴力图
轴力图
在最小截面处应用截面法：截 取分离体，在截面上画上内力， 画出分离体的受力图，利用平衡 方程或向截面简化求出内力
内力的正负号根据规定，不同 变形的内力有不同的规定。
应力是内力分布的集度，可以理解为是单 位面积的内力
正应力 剪应力
垂直于截面的应力 平行于截面的应力
正负号规定：
正应力 拉为正，压为负。
剪应力 顺时针为正，逆时针为负
>0
<0
>0
<0
二、拉、压杆的内力与应力
• 轴向拉伸构件---拉杆
Y 0 : S P 0
S P 800kN 2、用最小横截面面积计算最大压缩应力
max
S 4S 4 800 10 208MPa 2 2 Amin d 3.14 70
3
三、拉伸压缩时材料的机械性质
杆件的应力与外力和构件的几何形状有关，而杆件 的变形却与材料的性质有关。 因此，有必要研究材料的力学性能。这种研究可以 通过实验进行。
SP0 S P
S
m
P P P P 轴力
二、利用向截面简化的截面法
假设截面 m P P 假设截面 m P P P m P P P P m
m
m
P
P P
结果：S=P
结果：S= -P
m
m
例 题：
• 例1-1 设一杆轴线同时受力P1,P2,P3的作用，其作用点 分别为A、C、B,求杆的轴力。P2=3kN
塑性材料
延伸率 δ > 5% 断裂前有很大塑性变形 抗压能力与抗拉能力相近 可承受冲击载荷，适合于 锻压和冷加工
脆性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ料
延伸率 δ < 5% 断裂前变形很小 抗压能力远大于抗拉能力
适合于做基础构件或外壳
材料的塑性和脆性会因为制造方法工艺条件 的改变而改变
小结
第二章轴向拉伸与压缩
材料力学
一、可变形固体的若干概 念 a、杆件
材料力学主要研究杆件 横向尺寸远小于纵向尺 寸的构件 横截面
轴线
截面形心
b、杆件变形的基本形式
# 轴向拉伸与压缩
# #
#
剪切与挤压 扭转
弯曲
（1）轴向拉伸和压缩
拉伸 变细变长
压缩 变短变粗
拉力与压力都是沿杆的轴线方向
（2）剪切和挤压
# 低碳钢拉伸实验曲线
P Pe Pp Pb Ps
强化阶段 屈服阶段 颈缩阶段
弹性极限和比例极限
PP, Pe
屈服极限：
冷作硬化 线弹性阶段
Ps s A0 强度极限：
L
O
Pb b A0
L1 L0 延伸率： 100% L0
A0 A1 断面 100% 收缩率： A0
(MPa)
2、弃、代
m
P m P
S
P
P
P
P
3、 平 X 0
SP0 SP
轴力
•
或
S´ 轴力
m
P
X 0
P S' 0 S' P
m
• 2 截面法 轴力 P P
• 截面法：
• 1、截
m
两种截面法：
一、利用平衡关系的截面法 截、弃、代、平。如前述，应选择最简单的部分为研究对象。
P m P
X 0
1、低碳钢和铸铁拉伸\压缩时的力学性能
在工程上使用最广泛，力学性能最典型
# 实验用试件
（1）材料类型： 低碳钢： 塑性材料的典型代表； 灰铸铁： 脆性材料的典型代表；
（2）标准试件：
标距
d0 L0
标点
尺寸符合国标的试件；
标距： 2．标准试件： 用于测试的等截面部分长度；
圆截面试件标距：L0=10d0或5d0
P1=2kN A 1 C P =1kN B3 2 S1´=2kN P2 =3kN B P3 =1kN B 2 C
1kN
P1=2kN A
P1 =2kN A
2kN
s1
1 P2 =3kN C 1
P3 =1kN
1 C
s2
S2´
2 B 轴力图
A
横截面上的应力
1、应力的概念 内力在截面上的聚集程度，以分布在单位面积上的内力 来衡量它，称为应力。 单位：帕斯卡（Pa），或 kPa, Mpa, GPa 1Pa=1N/m2, 1Mpa=106Pa 1GPa=103MPa=109Pa
400
低碳钢压缩 应力应变曲线 E(b)
C(s上) (e) B 200 D(s下) A(p)
f1(f)
低碳钢拉伸 应力应变曲线
g
Ey= E=tga tga
a
O
O1 O2 0.1 0.2
by
灰铸铁的 压缩曲线
a
bL
灰铸铁的 拉伸曲线
a = 45o~55o
剪应力引起断裂
O
塑性材料和脆性材料力学性能比较