代数变形常用技巧及其应用概要
代数式恒等变形法则归纳
代数式恒等变形法则归纳引言代数式是代数学中的基础概念之一，它用字母和常数通过运算符号相连而成。
在数学中，我们常常需要对代数式进行变形，以达到简化、分解、合并或者推导等目的。
代数式的变形是数学问题解决过程中重要的一环，它不仅能提高计算效率，还能揭示代数运算的本质。
在代数式的变形中，恒等变形法则是重要的基础工具，本文将对代数式的恒等变形法则进行归纳总结。
一、基本变形法则1. 加法法则：•加法结合律：a+(b+c)=(a+b)+c•加法交换律：a+b=b+a•加法零元：a+0=a #### 2. 乘法法则：•乘法结合律：$a \\cdot (b \\cdot c) = (a \\cdot b) \\cdot c$•乘法交换律：$a \\cdot b = b \\cdot a$•乘法零元：$a \\cdot 0 = 0$•乘法单位元：$a \\cdot 1 = a$二、分配律1. 左分配律：对于任意的a,b,c，有$a \\cdot (b + c) = a \\cdot b + a \\cdot c$ #### 2. 右分配律：对于任意的a,b,c，有$(a + b) \\cdot c = a \\cdot c + b \\cdot c$三、幂运算法则1. 幂运算与乘法运算：•幂运算与乘法运算的交换律：$(a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n$•幂运算与乘法运算的结合律：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$ #### 2.幂运算的乘方法则：•幂运算的乘方法则1：$a^n \\cdot a^m = a^{n + m}$•幂运算的乘方法则2：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$•幂运算的乘方法则3：$(a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n$四、指数运算法则1. 指数运算与乘法运算：•指数运算与乘法运算的交换律：$(a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n$•指数运算与乘法运算的结合律：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$ #### 2.指数运算的指数法则：•指数运算的指数法则1：$a^n^m = a^{n \\cdot m}$•指数运算的指数法则2：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$•指数运算的指数法则3：$(a^m)^n = a^{m \\cdot n}$五、因式分解法则1. 公因式提取法则：•公因式提取法则1：ax+ay=a(x+y)•公因式提取法则2：$a \\cdot b + a \\cdot c = a \\cdot (b + c)$ ####2. 公式分解法则：•差的平方公式：a2−b2=(a+b)(a−b)•平方差公式：a2−b2=(a−b)(a+b)•完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2•完全平方公式：a2−2ab+b2=(a−b)2六、合并同类项法则合并同类项法则：将含有相同字母指数的项合并为一个项•合并同类项法则1：ax+bx=(a+b)x•合并同类项法则2：ax2+bx2=(a+b)x2•合并同类项法则3：ax n+bx n=(a+b)x n结论恒等变形法则在代数式的变形中起着重要的作用。
代数变形常用技巧及其应用
教学方法 课程教育研究·71·练习是为教学目的服务的，因此课堂练习的设计要实实在在地根据一节课的教学目标，从教学内容和学生实际两方面出发，围绕教学重点难点是练习设计的核心所在。
在此基础上，还要求教师在练习素材的选择上尽量贴近学生熟悉的现实生活，联系生活实际进行练习设计，使生活和数学融为一体。
这样的数学练习才能体会数学是“源于生活，用于生活”，切身感受数学可以解决实际问题，使他们对学习数学更感兴趣达到事半功倍的效果。
例如：学习了《方向与位置》的知识后，让学生将周围同学位置表示出来，或者尝试画出学校与自己家之间的位置与方向地图，并进行分析。
这样的实践性作业，不但培养了学生学习数学的兴趣，而且提高了学生分析问题，解决问题的能力。
2.“兴趣”与“乐趣” 现代教育心理学曾说：“当学生对学习产生兴趣时，学生的心理活动就会处于激活状态，富有满足感和愉悦感，从而积极性高涨，思维活跃，注意力集中，自主学习意识增强，反之，则产生消极情感”。
这就充分说明，我们设计的有效的课堂练习内容时应在“趣”上下工夫。
从学生的生活经验出发固然可以挖掘快乐因素，而练习的形式和对习题处理方法上下功夫更会有独特作用。
例如根据学生的年龄和心理特点，设计让学生“动一动”、“猜一猜”、“判一判”、“比一比”类能调动学生各个感官参与的练习。
这样生动有趣、直观形象的数学练习可以寓练于乐，练中生趣，既能减轻学生练习的心理负担，又能提高课堂练习的效率。
【案例】问：鸡兔同笼，有头45只，鸡兔各有多少？ 师：“全班兔子立正！提起前面两足” 全班哄堂大笑。
师：“现在，兔子和鸡的足数一样多了，上面有45个头，下面该有多少只脚呢？”生齐声回答：“四十五乘以二等于90只” 师：“和先前比，少了多少只脚呢？” 生马上叫起来：“少了26只” 师：“这26只脚去哪了？” 生：“被兔子们提起来了” 师：“那你们现在知道笼子里有多少只兔子了吧？” 生：“有13只兔子”（三）提高课堂练习有效性要注重练习与发展同步 小学数学课堂练习的核心是“发展”，学生的知识面能否得到拓宽，能力能否得到发展，是有效练习首要考虑的因素。
【导数经典技巧与方法】第11讲 代数变形-解析版
第11讲代数变形知识与方法代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种手段,将一个问题等价地变为另一个问题,由一种复杂的形式转变为一种简单的形式,将整个数学问题转变为一个较为容易处理或熟悉的问题.在处理含对数或指数式时,有如下两个技巧:1.对数处理技巧——对数靠边走设f(x)是可导函数,不难得到(f(x)lnx)′=f′(x)lnx+f(x)1x,若f(x)不是常函数,则所得的导数式中含有lnx,往往需要再次甚至多次求导.对于这类含有对数式lnx的不等式问题时,通常要让对数型的函数分离出来,把对数型函数前面所乘的代数式或分母中的代数式处理掉,让对数型函数形成单独的一项,这样再对新函数求导,只需要求导一次即可求出函数的极值点,从而避免了多次求导的麻繁.这种让对数函数“孤军奋战”的代数变形过程,我们称其为对数处理技巧,即“对数靠边走”.相关的转化如下:情形1设f(x)>0,f(x)lnx+g(x)>0⇔lnx+g(x)f(x)>0;情形2设f(x)≠0,f(x)lnx+g(x)=0⇔lnx+g(x)f(x)=0.点睛意到：(f(x)lnx+g(x))′=f′(x)lnx+f(x)x+g′(x)(lnx+g(x)f(x))′=1x+(g(x)f(x))比较(1)(2)两式中等号右边的部分,可知(1)式含有对数lnx,但(2)式中不含对数lnx,这将为后续的解题带来方便.2.指数处理技巧——指数找朋友在证明或处理含指数型函数的不等式时,通常要让指数型函数乘以或除以一个多项式函数(让多项式除以指数也一样),这样就很容易求出新函数的极值点,从而可以避免多次求导.这种相当于给指数函数寻找了一个合作伙伴的变形过程,我们称之为指数处理技巧,即“指数找朋友”.相关的转化如下:e x+1>0;情形1设f(x)>0,则f(x)+g(x)e x>0⇔g(x)f(x)e−x+1>0;情形2设g(x)>0,则f(x)+g(x)e x>0⇔f(x)g(x)e x+1=0;情形3设f(x)≠0,则f(x)+g(x)e x=0⇔g(x)f(x)e−x+1=0.情形4设g(x)≠0,则f(x)+g(x)e x=0⇔f(x)g(x)因为(f(x)e x)′=(f(x)+f′(x))e x,(f(x)e−x)′=(f′(x)−f(x))e−x.所以(f(x)e x)′>0⇔(f(x)+f′(x))e x>0⇔f(x)+f′(x)>0,(f(x)e−x)′>0⇔(f′(x)−f(x))e−x>0⇔f′(x)−f(x)>0.使用上述变形,可以减少求导次数,优化解题过程.典型例题对数靠边走【例1】当x >1时,求证:(x +1)lnx >2(x −1).【解析】因为x >1,所以(x +1)lnx >2(x −1)⇔lnx >2(x−1)x.令f(x)=lnx −2(x−1)x(x >1),f ′(x)=1x −4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2>0,所以f(x)在(1,+∞)上为增函数.所以f(x)>f(1)=0,所以x >1时,lnx >2(x−1)x+1,即(x +1)lnx >2(x −1).【例2】若不等式xlnx ⩾a(x −1)对所有x ⩾1成立,求实数a 的取值范围.【解析】原问题等价于lnx −a(x−1)x⩾0对所有的x ⩾1都成立.令f(x)=lnx −a(x−1)x(x ⩾1),则f ′(x)=x−a x 2.(1)当a ⩽1时,f ′(x)=x−a x 2⩾0恒成立,即f(x)在[1,+∞)上单调递增,因而f(x)⩾f(1)=0恒成立;(2)当a >1时,令f ′(x)=0,得x =a,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,所以f(x)min =f(a)=lna −a +1<0,不符合题意.综上所述,实数a 的取值范围是(−∞,1].【例3】设二次函数g(x)对任意实数x 都满足g(x −1)+g(1−x)=x 2−2x −1,且g(1)=−1,令f(x)=g (x +12)+mlnx +98(m ∈R,x >0).(1)求g(x)的表达式;(2)设1<m⩽e,H(x)=f(x)−(m+1)x.证明:对任意x1,x2∈[1,m],恒有|H(x1)−H(x2)|<1【解析】(1)设g(x)=ax2+bx+c,所以g(x−1)+g(1−x)=a(x−1)2+b(x−1)+c+a(1−x)2+b(1−x)+c=2a(x2−2x+1)+2c=2ax2−4ax+2a+2c=x2−2x−1.比较两边的系数得{2a=1,−4a=−2,2a+2c=−1,所以{a=12,c=−1,所以g(x)=12x2+bx−1.又因为g(1)=−1,所以12+b−1=−1,所以b=−12,所以g(x)=12x2−12x−1.(2)H(x)=12(x+12)2−12(x+12)−1+mlnx+98−(m+1)x=12(x2+x+14)−12x−14−1+mlnx+98−mx−x=12x2−(m+1)x+mlnx.H′(x)=x−(m+1)+mx =x2−(m+1)x+mx=(x−1)(x−m)x<0.所以H(x)在[1,m]上单调递减,所以H(x)min=H(m)=12m2−(m+1)m+mlnm=−12m2−m+mlnm,H(x)max=H(1)=12−m−1=−12−m.所以|H(x1)−H(x2)|⩽H(x)max−H(x)min=12m2−mlnm−12.下面只需证12m2−mlnm−32<0.(可采用对数靠边走,将对数lnm独立出来)即证明12m−lnm−32m<0.令g(m)=12m −lnm −32m,g ′(m)=12−1m+32m 2=m 2−2m+32m 2>0.所以g(m)在(1,e]上单调递增,所以g(m)⩽g(e)=12e −1−32e =e 2−2e−32e.而e 2−2e −3<2.82−2×2.8−3=2.24−3<0,所以g(e)<0,所以g(m)<0,即|H (x 1)−H (x 2)|<1.【点睛】上面解法的优势在于,将lnx 的系数化为“1”后,就可以有效避免求导后再出现对数函数,避免了隐零点出现,这是解决对数型函数的精华所在.指数找朋友【例4】已知函数f(x)=lnx +x −1(a ∈R).求证:e −x +xf(x)⩾0.【解析】解法1:以指数处理技巧为主线要证e −x +xf(x)⩾0,只需证1+xe x f(x)⩾0. 令g(x)=1+e x (xlnx +x 2−x )(x >0),g ′(x)=e x (xlnx +x 2−x +lnx +1+2x −1)=e x (x +1)(lnx +x).令ℎ(x)=lnx +x ,在(0,+∞)上单调递增,又因为ℎ(1)=1>0,ℎ(1e )=−1+1e <0,所以存在t ∈(1e ,1),使得ℎ(t)=lnt +t =0,即lnt =−t ,即e t =1t .当x ∈(0,t)时,ℎ(x)<0,g ′(x)<0,g(x)单调递减;当x ∈(t,+∞)时,ℎ(x)>0,g ′(x)>0,g(x)单调递增.所以g(x)⩾g(t)=1+e t (tlnt +t 2−t )=1+lnt +t −1=0,所以1+xe x f(x)⩾0,即e −x +xf(x)⩾0.解法2:以对数的处理技巧为主线要证e −x +xf(x)⩾0成立,只需证e −x x+f(x)⩾0即可.令g(x)=e −x x+lnx +x −1(x >0),则g ′(x)=−(x+1)x 2e x+1x +1=(x+1)(xe x −1)x 2e x,令ℎ(x)=xe x−1,ℎ′(x)=(x +1)e x >0,所以ℎ(x)单调递增;又因为ℎ(1)=e −1>0,ℎ(12)=√e 2−1<0,所以存在t ∈(12,1),使得ℎ(t)=te t −1=0,即e t =1t ,即t =ln1t =−lnt ,当x ∈(0,t)时,ℎ(x)<0,g ′(x)<0,g(x)单调递减;当x ∈(t,+∞)时,ℎ(x)>0,g ′(x)>0,g(x)单调递增.所以,g(x)⩾g(t)=e −t t+lnt +t −1=lnt +t =0,所以e −x x+f(x)⩾0,即e −x +xf(x)⩾0.解法3:虚设零点+同构令g(x)=e −x +x(lnx +x −1)=e −x +xlnx +x 2−x(x >0),g ′(x)=−e −x +lnx +2x 在(0,+∞)上单调递增,且g ′(1e )=−e −1e +ln1e +2e =−e −1e −1+2e <0,g ′(1)=−e −1+ln1+2=2−1e >0.所以存在t ∈(1e ,1),使得g ′(t)=−e −t +lnt +2t =0,所以e−t=lnt+2t,lnt+t=e−t−t,即lnt+e lnt=e−t+(−t).令G(x)=e x+x在(0,+∞)单调递增,且G(lnt)=G(−t),所以lnt=−t.当x∈(0,t)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(t,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增.g(x)⩾g(t)=e−t+tlnt+t2−t=lnt+2t+tlnt+t2−t=(1+t)(lnt+t)=0,所以e−x+xf(x)⩾0.【点睛】解法3看似行云流水,思维直接,但是仔细品味,暗流汹涌,思维含量非常大,主要表现在以下三个方面：1.没有明显的零点,需要利用函数的单调性以及零点存在性定理,虚设零点;2.虚设零点后,出现了指数、对数以及多项式同时存在的情况,这样难以利用零点的关系式一次把指数以及对数全部消除;3.本题目需要较强的技巧性构造同构式,借助于单调性,找出对数与多项式的关系,万一想不到这一点,这道题目就不容易处理.实际上,本题之所以难,是因为指数、对数以及多项式的同时出现,将题目提升了一个难度.对于这种指、对混合形式出现的试题,利用指数或对数的处理技巧,可以帮助我们提高“求导效率”,将指数与多项式结合起来,或者将对数分离出来.【例5】已知函数f(x)=ax 21+lnx(a≠0),e是自然对数的底数.若f(x)的极大值为−2,求不等式f(x)+e x<0的解集.【解析】解法1:巧用对数、指数处理技巧对方程变形f(x)的定义域为(0,e−1)∪(e−1,+∞),由f′(x)=2ax(1+lnx)−ax 2⋅1 x(1+lnx)2=2ax(12+lnx)(1+lnx)2.当a>0时,f(x)在(0,e−1)上单调递减;在(e−1,e−12)单调递减;在(e−12,+∞)上单调递增;显然f(x)有极小值,无极大值.显然,当a<0时,f(x)有极大值,此时f(e−12)=−2,所以a=−e,此时f(x)=−ex 21+lnx ,−ex21+lnx+e x<0.显然,当x∈(0,1e ),−ex21+lnx+e x>0,矛盾.故当x∈(1e ,+∞)时,e x<ex21+lnx,即1+lnx−ex 2e x<0(对数靠边走)令F(x)=1+lnx−ex 2e x ,F′(x)=1x−2x−x2e x−1.下证F′′(x)>0,e x−1⩾2x2−x3,2x2−x3e x−1⩽1(指数找朋友)令G(x)=2x 2−x3e x−1,G′(x)=x(x2−5x+4)e x−1=x(x−1)(x−4)e x−1.令G′(x)=0,解得x=1,或x=4,所以G(x)权大值=G(1)=1,G(x)权小鹪=G(4)=−32e3<0.当x>4时,G(x)<0,所以G(x)⩽1,所以F′(x)⩾0,F(x)在(1e,+∞)上单调递增.因为F(1)=0,所以当1e<x<1时,F(x)<0,当x>1时,F(x)>0.所以f(x)+e x <0的解集为(1e,1).解法2:构造同构式当x ∈(0,1e )时,−ex 21+lnx +e x >0,矛盾;当x ∈(1e,+∞)时,−x 21+lnx+e x−1<0,所以x1+lnx >e x−1x=e x−11+lne x−1(构造同构式)令ेF(x)=x 1+lnx,F ′(x)=1+lnx−1(1+lnx)2=lnx (1+lnx)2.当1e <x <1时,F ′(x)<0,F(x)单调递减;由于x <ex−1<1,所以F(x)>F (e x−1),即x1+lnx >e x−11+lne x−1,满足题意;当x ⩾1时,F ′(x)⩾0,F(x)单调递增,而e x−1⩾x ⩾1,所以F(x)⩽F (e x−1),矛盾.综上可知,不等式f(x)+e x <0的解集为(1e,1).【例6】求证:e x −2x >x 2lnx .【解析】解法1:要证e x −2x >x 2lnx ,只需证e x −2x x 2−lnx >0(对数靠边走)设f(x)=e x −2x x 2−lnx(x >0),f ′(x)=(x−2)(e x −x )x 3,令f ′(x)=0,得x =2.当x ∈(0,2)时,f ′(x)<0,f(x)单调递减;当x ∈(2,+∞)时,f ′(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)min=f(2)=e2−44−ln2=e2−(4+4ln2)4.由于e2>2.72=7.29,4+4ln2=4+ln16<4+lne3=7, 所以e2−(4+4ln2)>0,从而不等式得证.解法2:要证e x−2x>x2lnx,只需证x2lnx+2xe x<1.设g(x)=x 2lnx+2xe x,则g′(x)=(2−x)(xlnx+1)e x,又因为xlnx+1>0(证明略),从而当x∈(0,2)时,g(x)单调递增,x∈(2,+∞)时,g(x)单调递增.从而g(x)max=g(2)=4ln2+4e2<3+4e2<1,从而原不等式得证.指对处理技巧的综合运用【例7】已知函数f(x)=e x−a(x−1)(a∈R,e为自然对数的底数).(1)若存在x0∈(1,+∞),使得f(x0)<0,求实数a的取值范围;(2)若f(x)有两个零点x1,x2.证明:x1+x2>x1x2.【解析】(1)解法1;指数变对数,方便求导令ेt=e x,g(t)=t−alnt+a,当x>1时,t>e.原题等价于g(t)=t−alnt+a,存在t0∈(e,+∞),使得g(t0)<0,求a的取值范围.g′(t)=1−at =t−at,令g′(t)=0,得t=a.当a⩽e时,g′(t)⩾0,g(t)单调递增,所以g(t)⩾g(e)=e−a+a=e>0,不符合题意; 当a<e时,g(t)在(e,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,所以g(t)min=g(a)=a−alna+a=a(2−lna).因为存在t0∈(e,+∞),使得g(t0)<0,所以g(a)=a(2−lna)<0,解得a>e2.综上知a>e2.解法2:指数处理技巧e x−a(x−1)<0⇔g(x)=1−ae−x(x−1)<0,g′(x)=ae−x(x−1)−ae−x=ae−x(x−2),g′(2)=0.当a⩽0时,g(x)在(1,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,g(1)=1>0,→1,当x→+∞时,g(x)=1−a x−1e xg(x)}>0,不合题意.所以g(x)⩾min{g(1),limx→+∞当a>0时,g(x)在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,.所以g(x)⩾g(2)=1−ae2因为存在x0∈(1,+∞),使得f(x0)<0,<0,解得a>e2.所以g(2)=1−ae2综上知a>e2.解法3:直接法f ′(x)=e x −a .(1)若a ⩽0,因为e x >0,则f ′(x)>0,此时f(x)在R 上单调递增.当x ∈(1,+∞)时,f(x)>f(1)=e >0,不合题意;(2)若a >0,由f ′(x)>0,得e x >a ,即x >lna ,则f(x)在(lna,+∞)上单调递增,在(−∞,lna)上单调递减,所以f(x)min =f(lna)=e lna −a(lna −1)=a(2−lna),根据题意,有a(2−lna)<0,则lna >2,即a >e 2,且此时lna >ln 2>1,所以a 的取值范围是(e 2,+∞).解法4:分离变量法当x ∈(1,+∞)时,由f(x)<0,得e x <a(x −1),即a >e x x−1.设g(x)=e x x−1(x >1),根据题意,当x ∈(1,+∞)时,a >g(x)能成立,则a >g(x)min .因为g ′(x)=(x−2)e x(x−1)2(x >1),则当x >2时,g ′(x)>0,g(x)单调递增;当1<x <2时,g ′(x)<0,g(x)单调递减.所以,g(x)min =g(2)=e 2,所以a 的取值范围是(e 2,+∞).(2)由题设,f (x 1)=f (x 2)=0,即{e x 1=a (x 1−1),e x 2=a (x 2−1),则e x1+x2=a2(x1−1)(x2−1),即e x1+x2=a2(x1x2−x1−x2+1).要证x1+x2>x1x2,只需要证e x1+x2<a2,即证x1+x2<2lna,即证x1<2lna−x2. 不妨设x1<x2,由(1)可知a>e2,且x1<lna<x2,从而2lna−x2<lna.因为f(x)在(−∞,lna)上单调递减,所以只要证f(x1)>f(2lna−x2),即证f(x2)>f(2lna−x2).设ℎ(x)=f(x)−f(2lna−x),则ℎ′(x)=f′(x)+f′(2lna−x)=e x−2a+e2lna−x=e x+a2e x −2a⩾2√e x⋅a2e x−2a=0,所以ℎ(x)在R上单调递增.因为x2>lna,则ℎ(x2)>ℎ(lna)=f(lna)−f(lna)=0,即f(x2)−f(2lna−x2)>0,即f(x2)>f(2lna−x2),所以原不等式成立.【点睛】有些问题用直接法做,反而会更简单,比如本例第(1)小问,在使用“指数处理技巧”后,刧必须要使用洛必达法则才能解决问题.从另外一个层面上来讲,若指数、对数函数同时出现的能成立问题、恒成立问题常见的处理方法主要有:1.设而不求,隐零点法;2.一凸一凹,分离函数法;3.化直为曲,切线法或放缩法;4.必要性探路,缩小范围法.典型例题1.证明:当x>0时,e x>x2.【解析】要证e x>x2,只需证:x2e x<1令f(x)=x 2e x ,f′(x)=2xe x−e x⋅x2e2x=x(2−x)e x当0<x<2时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当x>2时,f′(x)<0,f(x)单调递减所以f(x)max=f(2)=4e2<1,所以f(x)<1,即x2e x<1,所以e x>x2.2.已知函数f(x)=e x−sinx−cosx,g(x)=e x+sinx+cosx.(1)证明:当x>−5π4时,f(x)⩾0;(2)若g(x)⩾2+ax,求a.【解析】(1)f(x)⩾0⇔sinx+cosxe x⩽1,记ℎ(x)=sinx+cosxe x ,ℎ′(x)=−2sinxe x.(1)当x∈(−5π4,−π)时,ℎ′(x)<0;x∈(−π,0),ℎ′(x)>0;x∈(0,π),ℎ′(x)<0.又ℎ(−5π4)=0,ℎ(0)=1,所以在(−54π,π)上,ℎ(x)⩽ℎ(0)=1;(2)当x∈[π,+∞)时,e x⩾eπ,而sinx+cosx⩽√2,所以e x⩾sinx+cosx,则有f(x)⩾0.综合(1)(2)可知当x>−5π4时,不等式f(x)⩾0成立.(2)由题可知H(x)=g(x)−(ax+2)=e x+sinx+cosx−ax−2⩾0恒成立,且H(0)=0,所以H(x)⩾H(0),故x=0是H(x)的最小值点,也是极小值点. 所以H′(0)=0,又H′(x)=e x+cosx−sinx−a,所以H′(0)=2−a=0,故a=2.下证当a=2时不等式成立.H(x)⩾0⇔sinx+cosx−2x−2e x+1⩾0记m(x)=sinx+cosx−2x−2e x +1,m′(x)=2(x−sinx)e x.易得当x>0时,x−sinx>0;当x<0时,x−sinx<0. 所以当x<0时,m′(x)<0,m(x)单调递减;当x>0时,m′(x)>0,m(x)单调递增.所以m(x)⩾m(0)=0.故H(x)⩾0成立.。
浅谈数学中的变形技巧
浅谈数学中的变形技巧数学中的变形技巧是解决问题的重要方法之一、通过巧妙地变形，可以将一个问题从一个形式转化为另一个形式，从而更容易解决。
在数学中，变形技巧广泛应用于各种数学领域，包括代数、几何、概率等。
下面将对数学中的变形技巧进行浅谈。
首先，代数中的变形技巧是解决代数方程、方程组、不等式等问题的常用方法之一、在解代数方程时，可以通过变形将方程转化为更简单的形式，从而求得方程的解。
比如，对于方程x^2-6x+8=0，可以通过配方变形得到(x-2)(x-4)=0，从而得到方程的解为x=2或x=4、又如，在解方程组时，可以通过变形技巧将方程组转化为更容易求解的形式。
比如，对于方程组2x+y=5和x-3y=4，可以通过高斯消元法将方程组化简为x+y=2和-5y=-6，从而得到方程组的解为x=3，y=-1、变形技巧在解不等式时也是十分有用的。
比如，对于不等式2x+1<5x-2，可以通过变形得到3x>3，从而得到不等式的解为x>1其次，几何中的变形技巧是解决几何问题的重要方法之一、在几何中，常常需要将一个几何图形变形为另一个几何图形，以便更容易研究其性质。
比如，在证明几何定理时，可以通过将一个几何图形变形为另一个几何图形，从而将原问题转化为更容易证明的形式。
又如，在计算几何体的体积、表面积时，常常需通过变形将几何体分解为更容易计算的形状，比如将三棱柱分解为若干个三角形和矩形，从而得到几何体的体积和表面积。
此外，概率中的变形技巧也是解决概率问题的重要方法之一、在概率中，常常需要通过变形将一个复杂的概率问题转化为一个简单的概率问题，从而更容易计算。
比如，在计算事件的概率时，可以通过变形将事件分解为若干个相互独立的事件，从而计算概率。
又如，在计算复杂事件的概率时，可以通过变形将复杂事件转化为多个简单事件的并、交或差，并利用概率的性质计算概率。
在进行数学变形时，需要注意以下几点。
首先，变形的过程中要保持等价性。
代数变形总结知识点归纳
代数变形总结知识点归纳1. 代数基本概念首先我们需要了解代数基本概念。
在数学中，代数主要研究数与其运算、结构及其运算规则的一门数学分支。
它通常包括整数、有理数、实数和复数等的运算，可以表示为一个数或数字的计算。
代数以字母表示数，并运用字母进行运算。
2. 代数基本运算代数变形的核心是代数基本运算，包括加法、减法、乘法和除法。
这些基本运算是进行代数变形的基础，需要我们熟练掌握。
3. 代数变形基本原则代数变形的基本原则包括等式变形和不等式变形。
等式变形需要保持等式两边的平衡，并逐步进行变形推导；不等式变形则需要关注不等式号的方向，保持不等式变形的方向一致。
4. 代数变形的运用代数变形广泛运用于数学各个领域，如解方程、化简表达式、证明恒等式等。
在解方程中，我们可以通过代数变形将一个方程式转化为另一个等价的方程式，从而求得方程的解；在化简表达式中，代数变形可以将一个复杂的表达式转化为更简洁的形式，便于计算和分析；在证明恒等式中，代数变形可以帮助我们推导出一个恒等式的证明过程。
5. 代数变形的基本技巧代数变形的基本技巧包括合并同类项、分配律、因式分解、配方法、移项、等价变形等。
这些基本技巧在代数变形中经常被使用到，它们是进行变形的重要手段。
6. 代数变形的应用举例代数变形在数学中有着广泛的应用。
比如在解决实际问题时，我们常常需要建立方程模型，并通过代数变形来解决问题；在微积分中，代数变形是求导和积分的基础；在抽象代数中，代数变形是分析和研究代数结构的重要工具；在线性代数中，代数变形是求解线性方程组和计算矩阵运算的基础。
7. 代数变形的重要性和必要性代数变形是数学中的一个重要概念，它在数学学科中有着广泛的应用。
通过代数变形，我们可以将复杂的数学问题简化，使其更易于处理和理解。
因此，代数变形是数学学习的重要组成部分，也是数学解题的重要方法。
综上所述，代数变形是数学中一个重要的基础概念，它通过数学运算和变形规则，使复杂的数学问题变得更易于处理。
高中代数变形规律总结
高中代数变形规律总结高中代数是数学学科的重要组成部分，掌握代数变形规律对于提高学生的数学素养和解题能力具有重要意义。
本文将总结高中代数中的一些常见变形规律，以帮助学生更好地理解和应用代数知识。
一、等式的性质和变形等式是代数中最重要的概念之一，掌握等式的性质和变形规律是解决代数问题的关键。
等式的性质包括：等式的两边加上或减去同一个数，等式仍成立；等式的两边乘以或除以同一个非零数，等式仍成立。
基于这些性质，我们可以进行以下变形：1.移项：将等式的一边移到另一边，同时改变符号。
例如，从2x + 3 = 5中，我们可以得到2x = 2。
2.合并同类项：将等式中的同类项合并在一起。
例如，从2x + 3x = 5中，我们可以得到5x = 5。
3.提取公因数：从等式中提取公因数，简化表达式。
例如，从2x(x + 3) = 5中，我们可以得到2(x + 3) = 5。
二、不等式的性质和变形不等式是描述两个数之间大小关系的数学符号。
不等式的性质包括：不等式的两边加上或减去同一个数，不等式仍然成立；不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等式仍然成立；不等式的两边乘以或除以同一个负数，不等式反向。
基于这些性质，我们可以进行以下变形：1.移项：将不等式的一边移到另一边，同时改变不等号的方向。
例如，从2x > 3中，我们可以得到2x - 3 > 0。
2.合并同类项：将不等式中的同类项合并在一起。
例如，从2x > 3x + 1中，我们可以得到-x > 1。
3.提取公因数：从不等式中提取公因数，简化表达式。
例如，从2x(x + 3) >5中，我们可以得到2(x + 3) > 5。
三、指数和幂的变形指数和幂是代数中的重要概念，掌握它们的变形规律对于解决复杂问题具有重要意义。
指数的变形包括：指数的乘法法则、指数的除法法则、指数的乘方法则等。
幂的变形包括：幂的乘法法则、幂的除法法则、幂的乘方法则等。
代数式变形与技巧讲稿
A 、1B 、2C 、3D 、4代数式变形与技巧（一）徳阳二中邓正健如果两个代数式对于字母在允许范围内的一切取值，它们的值都相等，那么 这两个代数式恒等。
把一个代数式换成和它恒等的代数式，称为代数式的恒等变 形（或恒等变换）。
整式、分式、根式的运算及因式分解等都是恒等变形。
代数式 的恒等变形广泛应用于计算.化简.求值、证明、解方程之中，是数学中非常重 要的变形（运算）的方式。
能否将代数式进行适当、巧妙的变形，使问题获解，也是衡量学生数学能力 的标志之一。
因此，掌握恒等变形无论是对参加数学竞赛，还是进一步学好数学, 提高运算能力，都必将起到积极的促进作用。
代数式的变形方法灵活多变，技巧性强，即要求学生牢固掌握代数式运算的基本 法则，又要注意学习代数式恒等变形的方法和技巧。
下面将通过具体实例介绍一些代数式常用的变形方法和技巧。
一、利用因式分解进行代数式的变形因式分解本身就是恒等变形的一种形式。
常用的方法除提取公因式法、运用 公式法、分组分解法、十字相乘法之外，还有添（拆）项法、配方法、换元法、待 定系数法等。
山于后面还要专门探索代换法、配方法、待定系数法在代数式的变 形中的使用，所以这里不再展开。
例 1、计算:1991X 19921992-1992X 19911991 解：1991X 19921992-1992 X 19911991 =1991X1992X10001-1992X1991X10001分析：此题主要考察因式分解与约分的内容，已知条件首先要化成与所求式 相关的X 2 + 4 = 11的形式，然后将所求式的分子与分母同时变形，直到化成只含 X 2+4=H 时为止，再把X 2+-L=H 代入即可。
解：Vx-- = 3, •"+丄=11x H (x 2+ l) + (x 2+l) _ (x 2+l)(x 8 + l) x 6(x 4 +1) + (x 4 +1) _ (x 4 + l)(x 6 + 1)x(x + —)^x 4(x 4 + —) (2 +r 广 一2x x — __________ 疋 “LX H—V + —)X —)X + r -1)对对对例3、满足等式：还+曲-丁2003兀- j2OO3y + 丁2003貯=2003的正整数对（如刃 的个数是（ ）o分析：等式左边虽然很复杂，但通过观察分析知，它是仮、"的代数式， 因而可例2、当兀一丄=3时,x X 104-X 8+X 2+l x ,0 + x 6+x 4 + l严+/+宀 1 严+.{+F+l代入得,原式=「7 =丄11x(11-1) 110考虑用因式分解方法来解。
代数变形常用技巧及其应用
代数变形常用技巧及其应用代数变形是数学中常用的一种技巧，用于处理代数表达式的结构和形式，以便简化和解决问题。
下面将介绍一些常见的代数变形技巧及其应用。
一、合并同类项：合并同类项是将具有相同字母和相同指数的项合并为一个项。
例如，将2x + 3x合并为5x，将4y²- 2y²合并为2y²。
这个技巧常用于简化代数表达式和解方程。
二、分配律：分配律是将一个数与一个括号中的表达式的每一项相乘，然后将结果相加或相减。
例如，将3(x + 2)扩展为3x + 6，将2(4x - 5)扩展为8x - 10。
这个技巧常用于化简和展开代数表达式。
三、因式分解：因式分解是将一个代数表达式分解成乘积的形式。
例如，将x²+ 4x + 4因式分解为(x + 2)(x + 2)，将3x²- 9因式分解为3(x - 3)(x + 3)。
这个技巧常用于解方程、简化分式和化简根式。
四、配方法：配方法是一种通过添加和减去适当的常数，使得一个代数表达式可以分解为平方的和或差的形式。
例如，将x²+ 6x + 9配方为(x + 3)²，将x²- 4x + 4配方为(x - 2)²。
这个技巧常用于解方程、化简根式和完成平方。
五、整理方程：整理方程是将方程中的项重新排列和组合，使得方程的形式更加简洁和易于解答。
例如，将2x + 3 = 7整理为2x = 4，将3x²- 5x + 2 = 0整理为3x²- 5x = -2。
这个技巧常用于解方程和求解未知数。
六、代入法：代入法是将一个变量的值代入到一个方程或表达式中，以便求解其他变量的值。
例如，将x = 2代入到2x + 3中，得到2(2) + 3 = 7。
这个技巧常用于解方程组和求解变量的值。
以上是一些常见的代数变形技巧及其应用。
通过灵活运用这些技巧，我们可以简化代数表达式、解决数学问题，以及更深入地理解代数的概念和原理。
代数变形常用技巧
代数变形中常用的技巧代数变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。
代数变形技巧是学习掌握代数的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。
本文就初等代数变形中的解题技巧，作一些论述。
两个代数式A、B，如果对于其中所含字母的一切允许值它们对应的值都相等，则称这两个代数式恒等，记作A≡B或A=B，把一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。
恒等变形是代数的最基本知识，是学好中学数学的基础，恒等变形的理论依据是运算律和运算法则，所以，恒等变形必须遵循各运算法则，并按各运算法则在其定义域内进行变形。
代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要基础,这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。
代数恒等变形实质上是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。
中学生在平时的学习中不善于积累和总结变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至失败，其后果直接影响着应试的能力及效率。
代数的恒等变形包括的内容较多，本文着重阐述代数运算和解题中常见的变形技巧及应用。
一、整式变形整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识。
这些知识都是代数中的最基础的知识。
有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形。
例1：化简(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2分析：此题若按常规方法先去括号，再合并类项来进行恒等变形的话，计算会繁杂。
而通过观察发现此题是一个轮换对称多项式，就其特点而言，若用换元法会使变形简单，从而也说明了换元法是变形的一种重要方法。
【精品】代数变形常用技巧
【关键字】精品代数变形中常用的技巧代数变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。
代数变形技巧是学习掌握代数的重要根底，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。
本文就初等代数变形中的解题技巧，作一些论述。
两个代数式A、B，如果对于其中所含字母的一切允许值它们对应的值都相等，则称这两个代数式恒等，记作A≡B或A=B，把一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。
恒等变形是代数的最基本知识，是学好中学数学的根底，恒等变形的理论依据是运算律和运算法则，所以，恒等变形必须遵循各运算法则，并按各运算法则在其定义域内进行变形。
代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要根底,这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。
代数恒等变形实质上是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。
中学生在平时的学习中不善于积累和总结变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至失败，其后果直接影响着应试的能力及效率。
代数的恒等变形包括的内容较多，本文着重阐述代数运算和解题中常见的变形技巧及应用。
一、整式变形整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识。
这些知识都是代数中的最根底的知识。
有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形。
例1：化简(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2分析：此题若按常规方法先去括号，再合并类项来进行恒等变形的话，计算会繁杂。
而通过观察发现此题是一个轮换对称多项式，就其特点而言，若用换元法会使变形简单，从而也说明了换元法是变形的一种重要方法。
高考数学复习专题代数变形常用技巧及其应用
代数变形常用技巧及其应用代数恒等变形是数学解题的基石，变形能力的强弱直接制约着解题能力的高低。
变形实质上是为了达到某种目的而采用的“手段”，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，需要在实践中反复操练才能把握、乃至灵活与综合应用。
针对学生在平时学习中不善于积累变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至以“失败”而告终；其直接后果是应试能力差、效益低。
本文旨在展现代数运算和解题中常见的变形技巧，帮助学生找回失落而又重要的变形“通法”。
1.整式变形：按“主元”合并同类项并依降幂或升幂排列。
例1 设函数c bx ax x f ++=2)(，.,,R c b a ∈若点),(y x 在函数)(x f y =的图象上，则点)1,(2+y x 在函数))(()(x f f x g =的图象上，试求)(x g 的解析式。
分析一般地，以x 为主元，从)(x f y =和))((12x f f y =+中产生x 的四次恒等式，比较系数便可求出,,,c b a 但此法过程繁冗。
若转换思维，视y 为主元，则有如下简解。
解 由)(x f y =和))((12x f f y =+可得c by ay y ++=+221，由题意知它是关于y 的恒等式，故立知,1,0,1===c b a 从而221)1())(()(2422++=++==x x x x f f x g 。
评注：通法通则使人有章可循，数学中的“最简形式”、“一般形式”、“标准形式”等即便如此。
但在实施通法通则的变形过程中，只有把握问题的本质，才能达到灵活变通之目的。
2 分式变形：通分化简乃通法，但诸多涉及分式的问题仅此而已是不够的，尚需按既定的目标逆向变通，这时将分式分解成“部分分式”、“分离常数”、“分子变位”等便成了特殊的“技巧”，灵活应用便使问题迎刃而解。
例2 已知)1(log )(2+=x x f 。
代数变形常用技巧及其应用
良师导学77代数变形常用技巧及其应用★李雨凡对于代数的变形来讲，它作为数学解题的关键所在，学生对代数变形的掌握程度以及变形能力的高低，直接决定了其解题的能力。
之所以变形，它的根本目的就是要把题目简化并最终解决。
作为一种机能性很强的知识，它必须要通过不断地练习，才能慢慢的掌握。
本文展开了详细的分析。
一、代数变形的应用方法1、因式分解把一个多项式化成几个整式乘积的形式叫做因式分解，这在我们数学的解题过程中也是最常用到的一种方法。
2、因式的变形法学生在运用公司进行推理和运算的时候，往往无法做到灵活的运用，不知道怎么将公示转换变形。
究其原因，往往就是公式的变形能力差，所以，怎么进行因式教学的这一部分内容的时候，必须要针对以下的几种变形强加练习。
（1）公式基本变形我们可以将其展开，并对其移项，通过分配以及结合等等的方式，对其进行变形，从而得到一系列的公式。
但是，这一系列的公式并不需要我们完全将其记住，只要多做这方面的练习，就能够活用这些公式。
（2）公式推广变形对于很多比较重要的公式，我们都可以将其做出一些推广，而对于那些重要的推广结论，应该要求学生将其记住，因为，通常这些结论都有助于那些复杂问题的解决。
（3）公式反向变形对于很多的公式，学生往往只对那些正向的结论熟悉，而对这些公式的反向运用却往往忽视了，有时候看到一个公式，很难会联想到它的反向面。
但是，事实上，在很多的题目中，都需要通过反向变形的方式来解决。
3、构造法在具体的解题过程中，构造法也是一种经常会用到的方式。
这样的方式，主要是通过对条件以及结论的分析，将一个辅助的元素构造起来。
对于这一辅助元素，它既可以是一个图形、也可以使一个方程、还可以是一个函数或者一个等式等等。
这样的方式，实现了代数、三角以及几何等一系列问题的渗透，有效的将条件和结论串联起来，从而把题目解决。
4、反证法对于反证法来讲，作为一种间接的证法，它主要是先把和命题结论相反的假设提出来，在这之后，以这个假设为基础，通过一系列的推理和分析，造成矛盾，从而就能够把这一假设给否定掉，于是，原命题就被肯定。
代数变形常用技巧及其应用
代数变形常用技巧及其应用代数变形是数学中经常用到的一种技巧，它在解决各种数学问题中起着重要的作用。
通过合理的代数变形，我们可以将一个复杂的问题转化为一个更简单的形式，从而更容易求解。
本文将介绍一些常用的代数变形技巧及其应用。
1.合并同类项：合并同类项是代数变形中最基本的技巧之一、当公式或方程中存在相同的项时，可以将它们合并成一个项，从而简化问题。
例如，将4x+3x合并为7x。
应用：合并同类项常用于化简多项式、方程求解以及求极限等问题中。
2. 分配律：分配律是代数中的一个重要性质，它规定了乘法对加法的分配关系。
即a(b+c) = ab + ac。
通过分配律，我们可以将一个式子分解成几个简单的项。
应用：分配律常用于多项式乘法、因式分解以及解方程等问题中。
3.因式分解：因式分解是将一个多项式拆解成几个简单的因子的过程。
通过因式分解，我们可以找到多项式的根，化简多项式以及简化方程的求解过程。
应用：因式分解常用于求多项式的根、简化分式、解方程等问题中。
4.移项和整理：移项和整理是解方程时常用的一种技巧。
通过移项和整理，我们可以将方程中的未知数移到一边，并整理为一个更简单的形式，从而更容易求解。
应用：移项和整理常用于解一元一次方程、解二次方程以及解一元线性不等式等问题中。
5.平方差公式：平方差公式是一种将两个平方项相减的公式。
即(a+b)(a-b)=a^2-b^2、通过平方差公式，我们可以将一个带有平方项的多项式分解为两个平方项的差。
应用：平方差公式常用于因式分解、运算简化以及解方程等问题中。
6.提取公因子：提取公因子是一种将多项式中的公共因子提取出来的技巧。
通过提取公因子，我们可以将一个复杂的多项式化简为一个简单的形式。
应用：提取公因子常用于化简多项式、因式分解以及求极限等问题中。
7.奇偶性规律：奇偶性规律是代数中的一个重要性质。
它规定了偶数次幂的实数是非负数，而奇数次幂的实数可以是任意数。
通过奇偶性规律，我们可以推导出一些数学结论，从而简化问题。
代数式变形在高中数学中的应用(四)代数式基本运算变形技巧
代数式变形在高中数学中的应用（四）代数式运算变形常用到的方法1．配方配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成"完全平方"）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，化繁为简。
合理运用"裂项"与"添项"、"配"与"凑"的技巧，有时也将其称为"凑配法"。
例1 设x 、y 、z 为实数，且222222+=+++(y-z ）（x-y)（z-x)（y+z-2x)（x+z-2y)（y+x-2z). 求的值.解 原式化简拆项得： 22222220x xy xz yz ---=+2y +2z配方得：∴ 222+=0+(y-z ）（x-y)（z-x) ∴ x =y=z ,∴原式=1.附：最基本的配方，完全平方公式：222()2a b a ab b +=++变形一：1、2222()2()2a b a b ab a b ab +=+-=-+2、2222111()2()2a a a a a a +=+-=-+3、2222111()2()2a a a a a a+=+-=-+ 变形二： 4、22()()4a b a b ab +=-+ 5、22()()4a b a b ab -=+-6、22()()4a b a b ab +--=7、2222()()22a b a b a b ++-=+8、2222223()()3()()2b a ab b a b ab a b ab a ++=+-=-+=++ 变形三：9、2222221()()()2a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤+++++=+++++⎣⎦ 10、2222()222a b c a b c ab bc ca ++=++---变形四 立方和、立方差公式：11、3322()()a b a b a ab b +=+-+ 12、3322()()a b a b a ab b -=-++2008200712007200720072222323=+=++=+++=++a a a a a a a 20082007120072007220072)1(200722007222222223=+=++=++-=++-=++=++a a a a a a a a a a a a a 变形五 杨辉三角：13、33223()33a b a a b ab b +=+++ 14、4432234()464a b a a b a b ab b +=++++2.因式分解例2 如果 a 是 2310x x -+= 的根,试求的值. 解 ∵ a 为 2310x x -+= 的根,∴ 2310a a -+=, 移项得：2311a a =+. 原式化简得：3. 整体代入、4. 降次、5. 降次、消元例3． 已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.分析：解法一（整体代入）：由012=-+a a 得 023=-+a a a所以：解法二（降次）：由012=-+a a ，得a a -=12，所以：解法三（降次、消元）：12=+a a （消元、、减项）20082007120072007)(20072007222222323=+=++=+++=+++=++a a a a a a a a a a a6.换元例4 设 3a b c m ++=,求证:333()()()3()()()0m a m b m c m a m b m c -+-+-----=.证明 令p m a =-,q m b =- ,r m c =-则0p q r ++=.3332223()()0p q r pqr p q r p q r pq qr rp ++-=++++---=∴ 33330p q r pqr ++-=即 333()()()3()()()0m a m b m c m a m b m c -+-+-----=例5 若,试比较A 、B 的大小.解 设 则.∵ 2x y > 即 20x y ->，又 ∵ 0y >,则 (2)0y y +>∴ 20(2)x y y y ->+ 即 102x x y y +->+ ∴ A B >.7.参数法当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.例6 若 求 x y z ++ 的值.解 令则有 ()x k a b =-，()y k b c =-，()z k c a =-∴ ()()()0x y z k a b k b c k c a ++=-+-+-=.例7 已知a b c 、、 为非负实数，且2221a b c ++=, ,求 a b c ++的值.解 设 a b c k ++=则 a b k c +=-， b c k a +=-, a c k b +=-. 由条件知即∴ 2323233a k a b k b c k c abc -+-+-=-,∴ 222333()3a b c k abc a b c +++=++.∵ 2221a b c ++=,∴ 3333k a b c abc =++- 3223()333a b a b ab c abc =+--+-()22()()3()a b c a b c a b c ab a b c ⎡⎤=++++-+-++⎣⎦， ()222()a b c a b c ab bc ca =++++---，即 ()222k k a b c ab bc ca =++---,移项：()22210k a b c ab bc ca ++----=，又 2221a b c ++= ∴ ()0k ab bc ca ---=.若 0k =,即 0a b c ++= 则 ()0ab bc ca ++=.若 ()0ab bc ca ---=, 即()2222()0a b c a b c ++-++=,∵ 2221a b c ++= ∴ 2()1a b c ++=, ∴ 1a b c ++=±综上 0a b c ++= 或 1a b c ++=±8.构造法例8 已知0a b >>，m n ≥ 求证： m m n n m m n n a b a b y a b a b --=≥++， 解 构造函数 22()11()1x x x x x x x x a b b f x a a b a b b-==-=-+++ ∵ 0a b >>，则 1a b>， 又 ∵ ()f x 在 R 上是增函数∵ m n ≥，∴ ()()f m f n ≥，即 m m n nm m n na b a b a b a b --≥++8.“拆”、“并”和通分下面重点介绍分式的变形策略：（1） 适当引入参数；（见参数法例6、例7）（2）拆项变形或拆分变形；例9 已知求证:.证明例10 已知x(x≠0，±1)和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数的除法三种运算（可用括号），经过六步算出x 2.那么计算的表达式是______.解 2(1)x x x x =+-或 2(1)x x x x =-+(3) 整体代入；（4）取倒数或利用倒数关系等，如 12(0)a a a+≥> 。
代数变形常用技巧及其应用（可编辑修改word版）
代数变形常用技巧及其应用（可编辑修改word版）代数变形常用技巧及其应用摘要代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式．本文旨在从五个方面展现常用到的代数变形技巧：一是利用换元法变形，二是根据数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，三是公式法变形，四是分解组合思想变形，五是利用待定系数法进行变形．另外，还介绍了这些变形技巧在分式、不等式、极限、求导、三角、方程组等方面的应用．关键词：代数变形换元法直接法公式法分解组合思想待定系数法The common skills and application of thealgebra distortionAbstractThe algebra distortion is one kind of distortion which uses the algebra knowledge to implement deformation and the nature invariable. It means a question equally transforms for another question, transforms by one form into the substantive equal another form, sums up it as the question or the form which are quite familiar easy to solve. This article aimly unfolds the usually used skill of algebra distortion from five aspects：The first, distort using the substitution of variables. The second, according to mathematical concepts, the nature, the principle and so on carries on the distortion directly to the datum. The third, decomposes the combination thought to distort. The fourth, formula distorts. The fifth, carries on the distortion using the undetermined coefficient law. Moreover, it also introduced these distortion s kill’s uses in the fraction,inequality,limit,derivation,triangle,equation group and so on. Key words：algebra distortion substitution of variables direct method formula method decomposite and combinate thought undetermined coefficient method目录摘要... ....................................................................................................................... (I)Abstract .............................................................................................................. . (II)一、绪论 (1)二、换元法及其应用 (1)（一）换元法的定义 (1)（二）换元法的应用 (2)1.应用于三角中 (2)2.应用于分式不等式中 (2)3.在方程组中的应用 (3)三、直接法及其应用 (4)（一）在分式中的应用，将已知条件变形，再直接代入 (4)（二）在不等式中的应用 (5)（三）在求极限中的应用 (5)（四）在求导中的应用 (6)四、数学公式法及其应用 (7)（一）完全平方公式的变形及应用 (7)（二）三角公式变形及其应用 (7)（三）行列式变形及其应用 (8)五、分解组合思想及其应用 (9)（一）配方法 (9)1.应用于解方程和因式分解中 (9)2.应用于二次型中 (10)3.用配方法证明柯西不等式 (10)（二）拆项法 (11)1.应用于数列求和 (11)2.应用于行列式 (11).（三）加“0”乘“1”法 (12)1．加“0” (12)2．乘“1” (13)3.应用于行列式 (13)六、待定系数法及其应用 (14)（一）待定系数法 (14)（二）应用 (14)1.在有理分式分解中的应用 (15)2.在求取值范围中的应用 (16)3.在数列求和中的应用 (16)4.在极限中的应用 (17)结束语 (18)致谢 (19)参考文献 (20)一、绪论所谓代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式，其过程的实质是从未知到已知的转换过程，使原问题得以解决．一般情况下，代数变形必须是恒等变形或同解变形，这是他必须遵循的原则，不能让变形改变了题意．在变形的时候，不能改变一些实质性关键性的知识内容，否则就会使原问题“改头换面”，得到错误结果．实施代数变形，要把握几个主要因素，第一：题设中的关键性导语；第二：题设中的式子结构特征；第三：题设中的内在因素；第四：题设中所提供的数学模型，这些因素在变形中起着决定作用，是决策变形思维的关键．二、换元法及其应用（一）换元法的定义换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法．我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，进而解决问题．（二）换元法的应用1. 应用于三角中例1[1]求证3sin 2x - 4 cos 2x = sin 2x + 4 cos 2 x ．2 tan x - 1证明令 tan x = t ，则6t - 4(1 - t 2 ) 左边＝ 1 + t 21 + t2 2t - 1 4t 2+ 6t - 4 = (1 + t 2 )(2t - 1) = 2t + 4 ， 1 + t 2右边＝所以原恒等式成立2t1 + t2 + 4 1 + t 2= 2t + 4 1 + t 2＝左边， 2. 应用于分式不等式中x 2 a x 1 x 1b x 2 b ab++ +x 1 + x 2 - z 1 + z 2 + 11 - ? 211 例2[2] 试证对满足 x > 0 ， x > 0 ， x y - z2 > 0 ， x y - z 2 > 0 的所有实数 1 2 1 1 1 2 2 2x 1 ， x 2 ， y 1 ， y 2 ， z 1 ， z 2 ，有不等式：( )() ( )2≤22，x 1 + x 2 y 1 + y 2 - z 1 + z 2x 1 y 1 - z 1x 2 y 2 - z 2并求出等号成立的充要条件．证明设a = x y - z 2 > 0 ， b = x y - z 2 > 0 ，则 x y = a + z 2 ， x y = b + z 2 ，1 112 221 112 22所以(x + x )(y + y ) - (z+ z )2 = x y + x y+ x y + x y - z 2 - z 2 - 2z z122121 11 222 12 2121 22= a + b + 2 ? ? ?z 1 - 2 ? ≥ ( ?+ b )2，因此( )( ) ( )2≤ ( 8)≤2≤ 1 + 1 = 1 + 1 a b x y - z 2 x y - z 2 1 112 22( )() ( )2≤22，x 1 + x 2 y 1 + y 2 - z 1 + z 2x 1 y 1 - z 1x 2 y 2 - z 2且当且仅当 x 1 = x 2 , y 1 = y 2 , z 1 = z 2 等号成立．3. 在方程组中的应用例3[3] 已知方程组(1)，求 x 1000x1x 2 x 2004 = 1 ?x - x x x = 1 ? 1 2 32004 (1)x x - x x x = 11 2 3 42004 ??x 1 x 2 x 2003 - x 2004 = 1解由第一个方程可知x i ≠ 0(i = 1,2, ,2004)，设 p i = x 1 x 2 x i (i = 1,2, ,2003)用 p i 去乘第i + 1个方程，两边得ab x 2 x 1 x 1x 2 a a + y 1 + y 2 8z 88i i p 2 - 1 = p (i = 1,2, .2003)，所以有p =- 1 + 5 ，i 2又因为 x= p 1000 所以 x= 1或1 -5 或1 + 5 ．1000 p999 1000 1 + 5 1 - 5三、直接法及其应用利用数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，这是代数变形的最基本，最基础的方法．熟练掌握这些基本知识是进行代数变形的基础和依据，是必要的前提和准备．（一）在分式中的应用，将已知条件变形，再直接代入例4[4](1) 已知 x y + z = a , y z + x = b , zz + y= c ，且x + y + z ≠ 0 ，a求1 + a+ b 1 + b + c 1 + c 的值． (2) 已知 a 3b = b 2a - 5b= 6a - 15b a 4a 2 - 5ab + 6b 2 ，求 a 2 - 2ab + 3b 2的值．解 (1) 由已知 1 + a = 1 + x =y + z x + y + zy + z ，所以a = 1 + ax x + y + z ，同理可得到b = 1 + by x + y + z, c = 1 + cz x + y + z ，所以 a 1 + a + b 1+ b + c = 1 + c x + x + y + z y + x + y + z z x + y + z = x + y + z = 1． x + y + z(2) 由已知条件知a ≠ 0, b ≠ 0 ，把已知条件中的等式变形并利用等比性质1 11消去b ，得：25a = 15b = 6a - 15b = 25a + 15b + (6a - 15b ) = 31a = 1，75b 30a - 75b a 75b + (30a - 75b ) + a 31a因此a = 3b ，所以原式=4(3b )2- 5 ? 3b ? b + 6b 2(3b )2 - 2 ? 3b ? b + 3b 2 =27b 26b 2= 9 ． 2（二）在不等式中的应用例5 设0 < a i < 1(i = 1,2, n )，且a 1 + a 2 + + a n = a求证：a 1 1 - a 1 + a 2 1 - a 2 + +a n 1 - a n ≥ nan - a(Shopiro 不等式)．证明因为a i1 - a i= 1 - 1(i = 1,2, n )， 1 - a i所以，原不等式变形为a 1+a 2 + a n= 1 + 1 + 1 - n ≥ na ， 1 - a 1 1 - a 2 1 - a n 1 - a 1 1 - a 2 1 - a nn - a即1 1 - a 1+ 11 - a2 +1 - an 2 ≥ ， n - a由算术平均≥ 调和平均，可得下式成立：1 1 - a + 1 1 - a +1 - a n2 ≥ (1 - a ) + (1 - a )+ (1 - a n 2 = ． n - a所以所求的原不等式成立．（三）在求极限中的应用1 2n 2 n n)1 1 ?n例6[5] 求数列极限lim 1+ + ? ．n →∞ ?n n 2 ?1 1 ?x解先求函数极限lim 1+ + ? (1∞型)，对数后的极限为：x →∞ ? ? 1 1 ?x x 2 ? ln (1+ x + x 2 ) - ln x 2x 2 + 2x lim x l n 1+ + 2 ? = lim = lim = 1，x →∞ ? x x ? x →∞ 1 xx →∞ x + x +1所以由归结原则可得：1 1 ?n1 1 ?xlim 1+ + 2 ? = lim 1+ + 2 ? = e ．n →∞ ? n n ? x →∞ ? x x ?（四）在求导中的应用21例7 设y = ( x + 5) ( x - 4)3 ( x > 4) ，求 y ' 51 ． ( x + 2) ( x + 4)2解先对函数式取对数得ln y = 2 ln ( x + 5) + 1 ln ( x - 4) - 5 ln ( x + 2) - 1ln ( x + 4) ，3 2再对上式两边分别求导数，得y ' = 2 + 1 -5 - 1，y ( x + 5) 3( x - 4) ( x + 2) 2 ( x + 4)整理后得到21y ' = ( x + 5) ( x - 4)3 2 + 1 - 5 - 1 ? ． 5 1 ( x + 5) 3( x - 4) ( x + 2) 2 (x + 4) ? ( x + 2) ( x + 4)2 ?四、数学公式法及其应用公式变形不仅仅是公式的基本形态的功能拓宽，而且在变形过程中，可以充分体现数学思想和观点，数学公式的转化和简化功能，更能深层次地理解公式的本质，有利于培养思维能力，创新意识．运用数学公式解决数学问题时，首先要对所学过的公式进行熟练掌握，这是基本的，首要的知识点，在此基础上才能灵22 3 3 2 2 2活变形使用．（一）完全平方公式的变形及应用由完全平方公式(a ± b )2 = a 2 ± 2ab +b 2 ，我们可以进行恒等变形为：(1) a 2 + b 2 = (a + b )2 - 2ab = (a - b )2 + 2ab ；1[( )2 ( )2 ]a +b ?2 ? a - b ?2(2) ab = 4 a + b - a - b = ? - ? ；2 ? ? ?(3) (a + b )2 + (a - b )2 = 2(a 2 + b 2 )．上述几个恒等式十分重要，在解数学题时，若能灵活应用，往往能避繁就简，收到奇效，现举例说明．例8[6] 化简( + + - 1)2+ ( + - + 1)2.解原式= [( 3 + 6 )+ ( - 1)]2+ [( 3 + 6 )- ( - 1)]2= 24 + 8 ．（二）三角公式变形及其应用在三角恒等变形中，熟悉公式的变化形式，既要学会顺用，又要学会逆用，还要会变用．例9 求证： tan (x + y ) + tan (y - z ) + tan (z - x ) = tan (x - y )? tan (y - z )? tan (z - x )．证明左边= tan (x - y ) + tan (y - z + z - x )[1 - tan (y - z )tan (z - x )]= tan (x - y ) - tan (x - y )[1 - tan (y - z )tan (z - x )] = tan (x - y )? tan (y - z )? tan (z - x ) = 右边（三）行列式变形及其应用学习行列式的时候，我们学习了范德蒙德行列式，并以公式的形式把它加以利用，利用范德蒙德行列式计算或证明行列式时，应根据反德蒙德行列式的特点，将所给的行列式化为范德蒙德行列式，然后根据范德蒙德行列式计算出结果．例10[7] 计算n +1阶行列式6 6 2 2a n a n-1 (a -1)n(a -1)n-1(a -n)n(a -n)n-1Dn+1=a a -11 1 a -n 1解此式不是范德蒙德行列式．将第n +1行，第n 行，，第2 行分别向上和n (n +1)相邻行交换n 次，n -1次，，1次，共交换了2次，得Dn+1 =(-1)n(n+1)21aa n-1a n1a - 1(a -1)n-1(a -1)n1a -n(a -n)n-1(a -n)n由n +1阶范德蒙德行列式的计算公式得Dn+1=(-1) n(n+1) 2∏[(a -i +1)-(a -j +1)]=∏(i -j)．n+1≥i>j≥1 n+1≥i≥i≥1五、分解组合思想及其应用将分解和组合的思想用于代数变形，其方法灵活多变，而且技巧性强，具体有“凑、配、添、拆”等实际做法．（一）配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式．通过配方法解决数学问题的方法叫配方法．其中用的最多的是配成完全平方式．1.应用于解方程和因式分解中一般在解析式的变化过程中，使用公式a2± 2ab +b2=(a ±b)2，可使其呈现某一式的完全平方．但在解答问题时，给定的多项式往往不是完全平方式，需要适当配项，使之成为完全平方式，于此同时方可发现隐含条件．y y 1 2 n 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n 例11 设 1 - 1 =1 ，求 y + x的值． x y x + y x y解因为 1 - 1 =1 ，所以 y + x = 1 ， x y x + y x y又因为y x ?2yx ?2y x+ ? x y = - ? + 4 ? x y = 5 ，x y所以y + x= ± 5 ． x y2. 应用于二次型中例12[8] 用配方法将下列二次型化为标准型f (x , x , x ) = x 2 + 2x 2 + 2x x - 2x x ．12311 21 3解二次型可化为f = x 2 + 2x 2 + 2x x - 2x x = (x + x - x )2 + 2x 2 - (x - x )2，121 21 3123223y 1 = x 1 + x 2 - x 3 ?x 1 = y 1 - y 2令2 ?3 = x 2 = x 2- x 3 ?，即2 = y 23 = y 2 ， - y 3则有 f 的标准型为 f = y 2 + 2 y 2 - y 2 ．123. 用配方法证明柯西不等式例13[9] (柯西不等式)设a i ， b i ， (i = 1, 2, , n ) ，那么(a b + a b + +a b )2 ≤ (a 2 + a 2 + +a 2 ) (b 2 +b 2+ +b 2 )，当且仅当b 1 = a 1 ， b 1 = a 2 ，， b n = a n 时不等式取等号．证明当a 2 + a 2 + +a 2 =0，即a = a = = a 2 = 0 时，不等式成立；12n12n当a 2 + a 2 + +a 2 ≠ 0 时，作二次函数x xn n 1 2 2 3 ? ? 1 2 n 1 1 2 2 1 2 n 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n f (b 2 + b 2 + +b 2 )f 1 1 1 1 n n n n 1 + +(a x + b )2 ≥ 0 当且仅当a 1 x + b 1 = = a n x + b n = 0 即b 1 = -xa 1, b n = -xa n 时等号成立，因为ax 2 + bx + c ≥ 0 (a > 0) 的充要条件是? = b 2 - 4ac ≤ 0 ，所以 ? = ?2 (a b + a b + +a b )?2-4 (a 2 + a 2 + +a 2 ) (b 2 + b 2 + +b 2 )≤ 0 ， ? 1 1 2 2n n ? 1 2 n 1 2 n 化简整理得(a b + a b + +a b )2 ≤ (a 2 + a 2 + +a 2 )(b 2 +b 2 + +b 2 )，在前面等式中令= -x ，当且仅当b 1 = a 1 ， b 2 = a 2 ， , b n = a n 时不等式取等号．（二）拆项法将某一式拆为另外两式之和或差的形式，从而化繁为简，化难为易．1. 应用于数列求和例14 计算 1 + 1 + 1 + + 1．1? 2 2 ? 3 3? 4 n (n +1)解由1= 1 - 1，n (n +1) n n +1原式=1 - 1 ? + ? 1 - 1 ? + +? 1 -1 ?= 1- 1 = n ．n n +1 ?n +1 n +12. 应用于计算行列式例15 计算n 阶行列式( x ) = (a 2+ a 2 + +a 2 ) x 2 + 2 (a b + a b + +a n b n ) x + ( x ) = (a 2 x 2+ a b x + b 2) + ???? ??(a 2 x 2+ 2a b x + b 2) = (a x + b )21nax + a 1 a 2 a 3 a n a 1 x + a 2 a 3 a n a 1 a 2 x + a 3 a n a 1 a 2 a 3 x + a n解按最后一列拆项得x + a 1 a 2 a 3 0 x + a 1 a 2 a 3a na 1 x + a 2 a 30 a 1 x + a 2 a 3 a n D n = a 1 a 2 x + a 3 0 + a 1 a 2 x + a 3a n a 1 a 2 a 3x a 1 a 2 a 3a n等号右边第一个行列式按最后一列展开，第二个行列式最后一列提出a n 后，第i 列减去最后一列的a i 倍(i = 1, 2 n -1) ，即得x 0 0 10 x 0 1D = xD + a 0 0 x 1 = xD+ a x n -1nn -1nn -1 n0 0 0 1= x (xD + a x n -2 ) + a x n -1 = = x n + x n -1∑ a ．n -2n -1ni i =1（三）加“0”乘“1”法1．加“0”例16[10] 在等差数列{a }与等比数列{b } 中， a = b > 0 ， a = b > 0 ，求证：当 nn ≥ 3 时， a n < b n ．n1122b ?n -1 ? a ?n -1 ? a - a + a ?n -1 ? a - a ?n -1 证明 b n = b 1 2 ? = a 1 2 ? = a 12 1 1 ? = a 1 1+ 21 ?b 1 ? ? a 1 ? ? a 1 ? ?a 1 ? ? a - a ? a - a ?2= a ?c 0 + c 12 1 + c 2 2 1 ? + ?1 ?? > ? n -1 n -1a 1 a 2 - a 1 ?n -1 ? 1 ? ?a 1 ?1+ (n -1) ?= a n ．a 1 ?1 1 1n nn 1 1 1 11 1 n n n n n2．乘“1”例17 设a , b , c ∈ R + >2．证明= ≥ 2 = a + b +1c2c a +b +c ，同理≥ 2a a+ b + c ≥ 2b ， a + b + c所以有≥2 (a + b + c ) a + b + c=2，又上述三个不等式中“=”不能同时成立故．3. 应用于计算行列式例18 计算n 阶行列式1+ x1+ x 21+ x n 1+ x 1+ x 2 1+ x nD =2 2 21+ x 1+ x 21+ x n 解将行列式加边升阶为11 - 1 - 1 - 11 1+ x 1+ x2 1+ x n 1 x x 2 x nD = 1 1+ x 1+ x 2 1+ x n = 1 x x 2 x n2222221 1+ x 1+ x 21+ x n1 x x2 x nc a + b ?1nx x x x x x ( ) n nn n n 1 + 11 x x x2 0 1 x 1 = 1 x 21 x n 0 0 - 1 - 12 n1 11 2 n 2 222 nn nn- 1 - 12 n1 12 n 2 22 n n n-1 0 0 01 x -1 x ( x -1) x n -1 ( x -1) n 1 1 1 1 1 =2 x(x - x ) + 1 x -1 x ( x -1) x n -1 (x -1) ∏ i∏ji22222i =11≤i < j ≤n1 x -1 x ( x -1) x n -1 (x -1) nn= 2∏ x i ∏ (x j - x i ) + (-1)∏(x j -1) ∏ (x j - x i )i =11≤i < j ≤nj =11≤i < j ≤nn n ?=∏ (x j - x i ) 2∏ x i - ∏(x j -1)? ．1≤i < j ≤n ? i =1 j =1 ?六、待定系数法及其应用（一）待定系数法在解数学问题中，若先判断所求结果具有某种特定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种接替方法称为待定系数法．（二）应用1. 在有理分式分解中的应用2x 4 - x 3 + 4x 2 + 9x -10例19 对作部分分式分解． x 5 + x 4 - 5x 3 - 2x 2+ 4x - 82x 4 - x 3 + 4x 2 + 9x -10 解令x 5+ x 4- 5x 3- 2x 2+ 4x - 8= Q x ，分母 x 5 + x 4 - 5x 3 - 2x 2 + 4x - 8 可写为几个因式乘积的形式即：R ( x ) = x 5 + x 4 - 5x 3 - 2x 2 + 4x - 8 = ( x - 2)( x + 2)2(x 2 - x +1) ，x x x x x x0 1 2 ?则部分分式分解的待定形式为：Q ( x ) = A 0+A 1+A 2+Bx + C，( x - 2) ( x + 2) ( x + 2)2用 R ( x ) 乘以上式两边，得一恒等式(x 2 - x +1)2x 4 - x 3 + 4x 2 + 9x -10 ≡ A (x + 2)2(x 2 - x +1) + A ( x - 2)( x + 2)(x 2 - x +1) + A (x - 2)(x 2 - x +1) +( B x + C )( x - 2)( x + 2)2，然后是等式两边同幂项系数相等，得到现行方程组：A 0 + A 1 +B = 2 ?3A - A + A + 2B +C = -11 2 ?A 0 - 3A 1 - 3A 2 - 4B + 2C = 4 ?4 A + 3A - 8B - 4C = 9 12求出它的解：4 A 0 - 4 A 1 - 2 A 2 - 8C = -10并代入(1) 式A 0 = 1 A 1 = 2，A 2 = -1B = -1 C=1所以原式的部分分式分解为2x 4 - x 3 + 4x 2+ 9x -10=1+2-1-x -1x 5 + x 4 - 5x 3 - 2x 2 + 4x - 8( x - 2) ( x + 2) ( x + 2)2(x 2- x +1)2. 在求取值范围中的应用例20[11] 已知- 1 ≤ 2x + y - z ≤ 8 ，2 ≤ x - y + z ≤ 9 ， - 3 ≤ x + 2 y - z ≤ 7 ，求证： - 6 ≤ 7x + 5 y - 2z ≤ 47 ．证明令 A (2x + y - z ) + B (x - y + z ) + C (x + 2 y - z ) = 7x + 5 y - 2z ，比较两边的对应系数，得：2 A + B + C = 7 ?A -B + 2C = 5 ?- A + B - C = -2A = 1 ? ?B = 2 ?C = 3 ．n 3 2 4 n ?? 2 ? n 2 ? 3 ?? 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 3 ? 4 ? 5 n n + 1)(n + 2) n n + 1)(n + 2)n n + 1 n + 2由于- 1 ≤ 2x + y - z ≤ 8 ，2 ≤ x - y + z ≤ 9 ， - 3 ≤ x + 2 y - z ≤ 7 ，所以有- 6 ≤ 7x + 5 y - 2z ≤ 47 ．3. 在数列求和中的应用例21[12] 求S =1 + 1 + 1 + + (1．1解设(=A +B +C ，比较两边对应项的系数，可得A = 1 ,B = -1,C = 1 ，2 2 故( 1) = 1 ? 1 - 2 + 1，n n + 1)(n + 2 2 n n + 1 n + 2 ?则有S = 1 ?? 1 - 2 + 1 ? + ? 1 - 2 + 1 ? + + ? 1 - 2 + 1 ?? n ? ? ?2 ?? 1 2 ? ?3 ? n + 1 n + 2 ??= 1 ??1 + 1 + + 1 ? - ? 2 + 2 + + 2 ? + ? 1 + 1 + + 1 ?? ? ??2 ? ? 3= 1 ? 1 - 1 + 1 ? n + 1? 4 n + 2 ??2 ? 2 n + 1 n + 2 ?4. 在极限中的应用例22[13] 若lim (3a + 4b ) = 8 ， lim (6a - b ) = 1 ，求lim (3a + b )．n →∞n nn →∞n nn →∞n n解设3a n + b n = A (3a n + 4b n ) + B (6a n - b n ) = (3A + 6B )a n + (4 A - B )b n ，比较系数得．3A + 6B = 3 1 14 A - B = 1 解得 A = , B = ， 3 3 所以 lim (3a + b ) = 1 lim (3a + 4b ) + 1 lim (6a - b ) = 8 + 1= 3 ．n →∞ n n 3 n →∞ nn 3 n →∞ n n 3 3代数变形的常用技巧还很多，如整体化思想，分离变量等．。
代数变形中常用的三大技巧.doc
代数变形中常用的三大技巧
换元法
是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量(或代数式)，对新的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果.换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题.其理论根据是等量代换.
高中数学中换元法主要有以下两类：
(1)整体换元：以“元”换“式”。
(2)三角换元，以“式”换“元”。
(3)此外，还有对称换元、均值换元、万能换元等.换元法应用比较广泛。
如解方程，解不等式，证明不等式，求函数的值域，求数列的通项与和等，另外在解析几何中也有广泛的应用。
配方法
是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。
这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。
待定系数法
一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒
等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
代数变形中常用的技巧
代数变形中常用的技巧数学与应用数学专业摘要：代数变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。
代数变形技巧是学习掌握代数的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。
本文就初等代数变形中的解题技巧，作一些论述。
关键词代数变形技巧两个代数式A、B，如果对于其中所含字母的一切允许值它们对应的值都相等，则称这两个代数式恒等，记作A≡B或A=B，把一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。
恒等变形是代数的最基本知识，是学好中学数学的基础，恒等变形的理论依据是运算律和运算法则，所以，恒等变形必须遵循各运算法则，并按各运算法则在其定义域内进行变形。
代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要基础,这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。
代数恒等变形实质上是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。
中学生在平时的学习中不善于积累和总结变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至失败，其后果直接影响着应试的能力及效率。
代数的恒等变形包括的内容较多，本文着重阐述代数运算和解题中常见的变形技巧及应用。
一、整式变形整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识。
这些知识都是代数中的最基础的知识。
有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形。
例1：化简(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2分析：此题若按常规方法先去括号，再合并类项来进行恒等变形的话，计算会繁杂。
而通过观察发现此题是一个轮换对称多项式，就其特点而言，若用换元法会使变形简单，从而也说明了换元法是变形的一种重要方法。
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代数变形常用技巧及其应用摘要代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式．本文旨在从五个方面展现常用到的代数变形技巧：一是利用换元法变形，二是根据数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，三是公式法变形，四是分解组合思想变形，五是利用待定系数法进行变形．另外，还介绍了这些变形技巧在分式、不等式、极限、求导、三角、方程组等方面的应用．关键词：代数变形换元法直接法公式法分解组合思想待定系数法The common skills and application of the algebradistortionAbstractThe algebra distortion is one kind of distortion which uses the algebra knowledge to implement deformation and the nature invariable. It means a question equally transforms for another question, transforms by one form into the substantive equal another form, sums up it as the question or the form which are quite familiar easy to solve.This article aimly unfolds the usually used skill of algebra distortion from five aspects： The first, distort using the substitution of variables. The second, according to mathematical concepts, the nature, the principle and so on carries on the distortion directly to the datum. The third, decomposes the combination thought to distort. The fourth, formula distorts. The fifth, carries on the distortion using the undetermined coefficient law. Moreover, it also introduced these distortion skill’s uses in the fraction, inequality,limit,derivation,triangle,equation group and so on.Key words：algebra distortion substitution of variables direct method formula method decomposite and combinate thought undetermined coefficient method目录摘要...... .. (I)Abstract ........................................................................................................................... I I一、绪论 (3)二、换元法及其应用 (3)（一）换元法的定义 (3)（二）换元法的应用 (3)1．应用于三角中 (3)2．应用于分式不等式中 (3)3．在方程组中的应用 (4)三、直接法及其应用 (5)（一）在分式中的应用，将已知条件变形，再直接代入 (5)（二）在不等式中的应用 (6)（三）在求极限中的应用 (6)（四）在求导中的应用 (7)四、数学公式法及其应用 (7)（一）完全平方公式的变形及应用 (8)（二）三角公式变形及其应用 (8)（三）行列式变形及其应用 (8)五、分解组合思想及其应用 (9)（一）配方法 (9)1．应用于解方程和因式分解中 (9)2．应用于二次型中 (10)3．用配方法证明柯西不等式 (10)（二）拆项法 (11)1．应用于数列求和 (11)2．应用于行列式 (11)（三）加“0”乘“1”法 (12)1．加“0” (12)2．乘“1” (12)3．应用于行列式 (13)六、待定系数法及其应用 (14)（一）待定系数法 (14)（二）应用 (14)1．在有理分式分解中的应用 (14)2．在求取值范围中的应用 (15)3．在数列求和中的应用 (16)4．在极限中的应用 (16)结束语 (17)致谢 (18)参考文献 (19)一、绪论所谓代数变形是利用代数知识实施形变而质不变的一种变形．即将一个问题等价地变换为另一个问题，由一种形式转换为实质等价的另一种形式，将其归结为比较熟悉的较易解决的问题或形式，其过程的实质是从未知到已知的转换过程，使原问题得以解决．一般情况下，代数变形必须是恒等变形或同解变形，这是他必须遵循的原则，不能让变形改变了题意．在变形的时候，不能改变一些实质性关键性的知识内容，否则就会使原问题“改头换面”，得到错误结果．实施代数变形，要把握几个主要因素，第一：题设中的关键性导语；第二：题设中的式子结构特征；第三：题设中的内在因素；第四：题设中所提供的数学模型，这些因素在变形中起着决定作用，是决策变形思维的关键．二、换元法及其应用（一）换元法的定义换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法．我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，进而解决问题．（二）换元法的应用1．应用于三角中例[]11 求证x x x x x 2cos 42sin 1tan 22cos 42sin 3+=--． 证明 令 t x =tan ，则 左边＝()()()2222221421214641211416t t t t t t t t t t t ++=-+-+=-+--+， 右边＝2221421412t t t t t ++=+++＝左边， 所以原恒等式成立 2．应用于分式不等式中例[]22 试证对满足10x >，20x >，21110x y z ->，22220x y z ->的所有实数 1x ，2x ，1y ，2y ，1z ，2z ，有不等式：()()()222221112212121118z y x z y x z z y y x x -+-≤+-++， 并求出等号成立的充要条件．证明 设02111>-=z y x a ，02222>-=z y x b ，则2111z a y x +=，2222z b y x +=，所以()()()212221*********2121212z z z z y x y x y x y x z z y y x x ---+++=+-++ ()22221112221122b a z x x z x x x b x x a x ab b a +≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=， 因此()()()()22222111222121211111288z y x z y x b a ab b a z z y y x x -+-=+≤≤+≤+-++ 即 ()()()222221112212121118z y x z y x z z y y x x -+-≤+-++， 且当且仅当212121,,z z y y x x ===等号成立．3．在方程组中的应用例[]33 已知方程组(1)， 求1000x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-=11112004200321200443212004321200421x x x x x x x x x x x x x x x x ΛΛΛΛ(1) 解 由第一个方程可知()2004,,2,10Λ=≠i x i ，设()2003,,2,121ΛΛ==i x x x p i i 用i p 去乘第1+i 个方程，两边得()2003.,2,112Λ==-i p p i i ，所以有251+-=i p ， 又因为99910001000p p x =所以5151515111000-++-=或或x ．三、直接法及其应用利用数学本身的概念、性质、法则等对已知条件直接进行变形，这是代数变形的最基本，最基础的方法．熟练掌握这些基本知识是进行代数变形的基础和依据，是必要的前提和准备．（一）在分式中的应用，将已知条件变形，再直接代入例[]44 (1) 已知c y z z b x z y a z y x =+=+=+,,，且0≠++z y x ， 求cc b b a a +++++111的值． (2) 已知ab a b a b b a 156523-=-=，求222232654b ab a b ab a +-+-的值． 解 (1) 由已知 zy z y x z y x a +++=++=+11， 所以 zy x x a a ++=+1， 同理可得到zy x z c c z y x y b b ++=+++=+1,1， 1111=++++=++++++++=+++++zy x z y x z y x z z y x y z y x x c c b b a a 所以． (2) 由已知条件知0,0≠≠b a ，把已知条件中的等式变形并利用等比性质消去b ，得：()()1313175307515615251567530157525==+-+-++=-=-=aa ab a b b a b a a b a b a b b a ， 因此b a 3=，所以()()29627332363534222222==+⋅⨯-+⋅⨯-=bb b b b b b b b b 原式． （二）在不等式中的应用 例5 设()n i a i K ,2,110=<<，且a a a a n =+++K 21 求证：an na a a a a a a n n -≥-++-+-1112211K ()不等式Shopiro ． 证明 因为()n i a a a ii i Λ,2,11111=--=-， 所以，原不等式变形为an na n a a a a a a a a a n n n -≥--+-+-=-+-+-111111*********ΛΛ， 即an n a a a n -≥-+-+-221111111Λ， 由算术平均≥调和平均，可得下式成立： ()()()an n a a a n a a a n n -=-+-+-≥-+-+-221221111111111ΛΛ． 所以所求的原不等式成立．（三）在求极限中的应用例[]56 求数列极限211lim 1nn n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 解 先求函数极限211lim 1x x x x →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭()1∞型，对数后的极限为： 211lim ln 1x x x x →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭()22ln 1ln lim 1x x x x x→∞++-=222lim 11x x x x x →∞+==++， 所以由归结原则可得： 211lim 1n n n n →∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭211lim 1x x x x →∞⎛⎫=++ ⎪⎝⎭e =． （四）在求导中的应用例7 设 ()()()()1231525424x x y x x +-=++()4x >，求y '．解 先对函数式取对数得y ln ()()()()112ln 5ln 45ln 2ln 432x x x x =++--+-+， 再对上式两边分别求导数，得()()()()2151534224y y x x x x '=+--+-++， 整理后得到()()()()()()()()12315254215153422424x x y x x x x x x ⎛⎫+-'=+-- ⎪ ⎪+-++⎝⎭++． 四、数学公式法及其应用公式变形不仅仅是公式的基本形态的功能拓宽，而且在变形过程中，可以充分体现数学思想和观点，数学公式的转化和简化功能，更能深层次地理解公式的本质，有利于培养思维能力，创新意识．运用数学公式解决数学问题时，首先要对所学过的公式进行熟练掌握，这是基本的，首要的知识点，在此基础上才能灵活变形使用．（一）完全平方公式的变形及应用由完全平方公式 ()2222b ab a b a +±=±，我们可以进行恒等变形为： (1)()()ab b a ab b a b a 222222+-=-+=+； (2)()()[]22222241⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--+=b a b a b a b a ab ； (3)()()()22222b a b a b a +=-++． 上述几个恒等式十分重要，在解数学题时，若能灵活应用，往往能避繁就简，收到奇效，现举例说明．例[]68 化简()().1263163222+-++-++ 解 原式()()[]()()[]2212631263--++-++=2824+=． （二）三角公式变形及其应用在三角恒等变形中，熟悉公式的变化形式，既要学会顺用，又要学会逆用，还要会变用．例9 求证：()()()()()()x z z y y x x z z y y x -⋅-⋅-=-+-++tan tan tan tan tan tan ． 证明 左边()()()()[]x z z y x z z y y x ----+-+-=tan tan 1tan tan()()()()[]x z z y y x y x ------=tan tan 1tan tan()()()x z z y y x -⋅-⋅-=tan tan tan 右边=（三）行列式变形及其应用学习行列式的时候，我们学习了范德蒙德行列式，并以公式的形式把它加以利用，利用范德蒙德行列式计算或证明行列式时，应根据反德蒙德行列式的特点，将所给的行列式化为范德蒙德行列式，然后根据范德蒙德行列式计算出结果．例[]710 计算1n +阶行列式()()()()1111111111nnn n n n n a a a n a a a n D a a a n ---+----=--L L MM M L L解 此式不是范德蒙德行列式．将第1n +行，第n 行，L ，第2行分别向上和相邻行交换n 次，1n -次，L ，1次，共交换了()12n n +次，得 ()()()()()()nn nn n n n n n n a a a n a a a n a a a D -------=---++ΛΛMMM ΛΛ1111111111211由1n +阶范德蒙德行列式的计算公式得()()()()[]∏≥>≥++++--+--=11211111j i n n n n j a i a D ()j i i i n -=∏≥≥≥+11．五、分解组合思想及其应用将分解和组合的思想用于代数变形，其方法灵活多变，而且技巧性强，具体有“凑、配、添、拆”等实际做法． （一）配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式．通过配方法解决数学问题的方法叫配方法．其中用的最多的是配成完全平方式．1． 应用于解方程和因式分解中一般在解析式的变化过程中，使用公式()2222a ab b a b ±+=±，可使其呈现某一式的完全平方．但在解答问题时，给定的多项式往往不是完全平方式，需要适当配项，使之成为完全平方式，于此同时方可发现隐含条件．例11 设111x y x y -=+，求y xx y+的值．解 因为111x y x y -=+，所以 1y x x y+=， 又因为5422=⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y xx y y x x y y x x y ， 所以5±=+yxx y ． 2．应用于二次型中例[]812 用配方法将下列二次型化为标准型()31212221321222,,x x x x x x x x x f -++=． 解 二次型可化为31212221222x x x x x x f -++=()()2322223212x x x x x x --+-+=，令 ⎪⎩⎪⎨⎧-==-+=323223211x x y x y x x x y ， 即 ⎪⎩⎪⎨⎧-==-=32322211yy x y x y y x ，则有f 的标准型为2322212y y y f -+=．3．用配方法证明柯西不等式例[]913 (柯西不等式)设i a ，i b ，()1,2,,i n =L L ，那么()()2222112212n n n a b a b a b a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()22212n b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，当且仅当11b a λ=，12b a λ=，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，n n b a λ=时不等式取等号．证明 当22212n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=0，即2120na a a ==⋅⋅⋅⋅⋅⋅==时，不等式成立； 当22212n a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≠0时，作二次函数 ()()()()2222222121122122n n n n f x a a a x a b a b a b x b b b =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()()()()()2222222211111120n n n n n n f x a x a b x b a x a b x b a x b a x b =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++≥当且仅当011=+==+n n b x a b x a Λ即11,n n b xa b xa =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-时等号成立， 因为20ax bx c ++≥()0a >的充要条件是240b ac ∆=-≤， 所以()211222n n a b a b a b ∆=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()222124n a a a -++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()22212n b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+0≤，化简整理得()()()222222211221212n n n n a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，在前面等式中令x -=λ，当且仅当11a b λ=，22a b λ=，n n a b λ=,ΛΛ时不等式取等号． （二）拆项法将某一式拆为另外两式之和或差的形式，从而化繁为简，化难为易． 1．应用于数列求和 例14 计算()11111223341n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+． 解 由()11111n n n n =-++， 原式=11111223⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111n n ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭1111n n n =-=++． 2．应用于计算行列式例15 计算n 阶行列式123123123123n n n nx a a a a a x a a a a a x a a a a a x a ++++L L L M M M M L解 按最后一列拆项得n D 123123123123000x a a a a x a a a a x a a a a x ++=+L L L M M M M L123123123123n n n nx a a a a a x a a a a a x a a a a a a ++++L L L M M M M L等号右边第一个行列式按最后一列展开，第二个行列式最后一列提出n a 后，第i 列减去最后一列的i a 倍()1,21i n =-L ，即得10010010010001n n n x x D xD a x -=+LLLM M M M L11n n n xD a x --=+ ()2121n n n n nx xD a xa x----=++11nnn i i x xa -===+∑L ．（三）加“0”乘“1”法1．加“0”例[]1016 在等差数列{}n a 与等比数列{}n b 中，110a b =>，220a b =>，求证：当 3n ≥时，n n a b <．证明 1211n n b b b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭1211n a a a -⎛⎫= ⎪⎝⎭121111n a a a a a -⎛⎫-+= ⎪⎝⎭121111n a a a a -⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=---Λ21122111211011a a a c a a a c c a n n n >1a ()21111a a n a ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦=n a ．2．乘“1”例17 设,,a b c R +∈．证明1⋅+=b a c 12++≥cb a =2c a b c ++，同理≥2a a b c ++≥2b a b c++， 所以有≥()2a b c a b c ++++=2， 又上述三个不等式中“=”不能同时成立故． 3．应用于计算行列式 例18 计算n 阶行列式211122222111111111nnnn n nx x x x x x D x x x ++++++=+++LL M MML解 将行列式加边升阶为2111222221000111111111111n nnn n n x x x D x x x x x x +++=++++++L L LM M MM M L n nn n n n x x x x x x x x x ΛM M M MM ΛΛΛ2222212111111111---= n nnnn n x x x x x x x x x ΛM M M M M ΛΛΛ2222212111110002=n nnnn n x x x x x x x x x ΛM M M M M ΛΛΛ2222212111111111----+()112ni j i i i j nx x x =≤<≤=-∏∏()()()()()()11111112222211000111111111111n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ----------+---L L L M M M M L()()()()1111211nniji j ji i i j nj i j nx xx x xx =≤<≤=≤<≤=-+---∏∏∏∏()()11121n n j i i j i j n i j x x x x ≤<≤==⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∏∏∏．六、待定系数法及其应用（一）待定系数法在解数学问题中，若先判断所求结果具有某种特定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种接替方法称为待定系数法． （二）应用1．在有理分式分解中的应用例19 对4325432249105248x x x x x x x x x -++-+--+-作部分分式分解． 解 令()4325432249105248x x x x Q x x x x x x -++-=+--+-， 分母54325248x x x x x +--+-可写为几个因式乘积的形式 即：()R x =54325248x x x x x +--+-()()()22221x x x x =-+-+，则部分分式分解的待定形式为：()()()()()012222212A A A Bx CQ x x x x x x +=+++-+-++， 用()R x 乘以上式两边，得一恒等式43224910x x x x -++-()()22021A x x x ≡+-+()()()()()221222121A x x x x A x x x +-+-++--+()()()222Bx C x x ++-+，然后是等式两边同幂项系数相等，得到现行方程组：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=--+=+----=+++-=++108244948344243312322102121021010C A A A C B A A C B A A A C B A A A B A A 求出它的解：01A =，12A =，21A =-，1B =-，C=1，并代入()1式所以原式的部分分式分解为4325432249105248x x x x x x x x x -++-+--+-()()()()2212112212x x x x x x -=+---+-++．2．在求取值范围中的应用例[]1120 已知821≤-+≤-z y x ，92≤+-≤z y x ，723≤-+≤-z y x ，求证：472576≤-+≤-z y x ．证明 令 ()()()z y x z y x C z y x B z y x A 25722-+=-+++-+-+， 比较两边的对应系数，得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+-=++25272C B A C B A C B A ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒321C B A 由于821≤-+≤-z y x ，92≤+-≤z y x ，723≤-+≤-z y x ，所以有472576≤-+≤-z y x ．3．在数列求和中的应用 例[]1221 求()()211543143213211++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=n n n S n Λ．解 设()()21211++++=++n Cn B n A n n n ，比较两边对应项的系数，可得21,1,21=-==C B A ， 故()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=++2112121211n n n n n n ，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2112141322131221121n n n S n Λ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=214131123222121121n n n ΛΛΛ ⎪⎭⎫⎝⎛+++-=21112121n n ． 4．在极限中的应用例[]1322 若()843lim =+∞→n n n b a ，()16lim =-∞→n n n b a ，求()n n n b a +∞→3lim ．解 设()()()()n n n n n n n n b B A a B A b a B b a A b a -++=-++=+4636433， 比较系数得⎩⎨⎧=-=+14363B A B A 解得31,31==B A ， 所以 ()()()331386lim 3143lim 313lim =+=-++=+∞→∞→∞→n n n n n n n n n b a b a b a ．代数变形的常用技巧还很多，如整体化思想，分离变量等．结束语本文主要浅谈了代数变形的一些方法和技巧以及其在分式、不等式、极限、求导、三角、方程等方面的应用，为解决相关数学问题指引了方向，点明了思路，这些方法和技巧各自具有优点和局限性，它们之间也无绝对界限，一道题有时可施加多种变形．我们在应用代数变形的方法去解决数学问题时，不一定非要严格遵循某一个统一的模式，需要依据问题本身所提供的信息，利用动态思维，从中进行一番思考与选择，寻求有利于问题解决得最佳变换途径和方法．致谢本论文是在我的导师的亲切关怀和悉心指导下完成的．他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我．从课题的选择到项目的最终完成，导师都始终给予我细心的指导和不懈的支持．长期以来，在此谨向导师致以诚挚的谢意和崇高的敬意．而且，我还要感谢潍坊继续教育学院数学与信息科学系的各位老师，是他们的传道、授业、解惑和辛勤工作让我们学到专业知识和如何求知治学．感谢学校提供了良好的学习环境．最后，我还要感谢我的家人，谢谢他们一直以来对我的关心和支持，同时，也向所有帮助我，关心我的朋友和同学表示最诚挚的感谢，谢谢他们的支持和帮助．参考文献[1]张钟宜．略谈三角恒等变形的技巧和方法[J]．数理化学习（高中版）．[2]陆如龙．戴志祥．证明分式不等式的变形技巧．［Ｊ］．河北理科教学研究．2003（1）．[3]丁胜．应用恒等变形解决数学问题[J]．成都纺织高等专科学校学报．2005（4）．[4]Reston．V．A．National of teacher of mathematics curriculum and evaluation standardsfor school mathematics．1998．6．[5]华东师范大学数学系编．数学分析（第三版）[M]．北京：高等教育出版社，2001（2003重印）．[6]申志强．例说代数式的恒等变形[J]．中学数学杂志．2004（1）．[7]仉志余等．线性代数分级讲练教程[M]．北京大学出版社．2006(6)．[8]Rorres C．Anton H．Applications of linear algebra．3rd ed．John wiley & 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