概率论与数理统计第4讲
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一方面，有些试验，其结果与数有关(试 验结果就是一个数)；另一方面，有些试验， 其结果看起来与数值无关， 但可引进一个变 量来表示试验的各种结果。即, 试验结果可以 数值化。
△ 试验结果与数值有关的例 1. 掷一颗骰子，观察其上面出现的点数；
2. 每天北京站下火车的人数；
3. 每年12月份北京发生交 通事故的次数；
呼叫的次数，则 X 是一个随机变量。
事件 { 收到呼叫 }⇔{X ≥ 1}； {没有收到呼叫} ⇔ {X=0}。
随机变量概念的产生是概率论发展史上重 大的事件。引入随机变量后，对随机现象统计 规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩 充到对随机变量及其取值规律的研究。
随机变量的分类 (通常分两大类)：
请问：如图的两个事件是否独立？ 我们来计算： 因 P(AB)=0, 而 P(A) ≠ 0, P(B) ≠0。 即 P(AB) ≠ P(A)P(B)。 故 A与B不独立。
即: 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0, 则 A
与B不独立。
其逆否命题是：若A与B独立，且 P(A)>0, P(B)>0, 则 A与B一定不互斥。
离散型随机变量
所有取值可 以逐个列举
随 机 变
如“取到次品的个数”， “收到的呼叫数”等。
全部可能取值不仅有无
量
穷多，而且不能能一一
连续型随机变量
列举，充满某些区间。
如：“电视机的使用寿命”，实际中常遇到的“ 测量误差”等。
随 离散型随机变量 机 变 量 连续型随机变量
这两种类型的随机变量因都是随机变量， 自然会有许多相同或相似之处；但因其取值方 式不同，故又有其各自的特点。
已知 P(A1)=1/5, P(A2)=1/3, P(A3)=1/4，且 A1，A2，A3相互独立，
P(A1∪A2∪A3)
计算 n个独立事件并的概率公式:
设事件
P( A1∪…∪An )
相互独立, 则
也就是说: n个独立事件至少有一个发生的 概率等于1减去各自对立事件概率的乘积。
例3：验收100件产品方案如下，从中任取3件 进行独立测试，如果至少有一件被断定为次 品，则拒绝接收此批产品。设一件次品经测 试后被断定为次品的概率为0.95，一件正品 经测试后被断定为正品的概率为0.99，并知 这100件产品恰有4件次品。求该批产品能被 接收的概率。
概率论与数理统计第4讲
§1.5 事件的独立性
1.5.1 两事件的独立 先看一个例子：将一颗均匀骰子
连掷两次，设 A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}， 显然，有 P(A|B)=P(A).
这就是说：事件B发生，并不影响事件A 发生的概率。这时，称事件A与B相互独立， 简称独立。
由乘法公式知，当事件A与B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B).
证明: 仅证A与 独立。
P(A )= P(A－ A B) = P(A) － P(AB) = P(A) － P(A) P(B) = P(A)[1 － P(B)] = P(A)P( ),
A与B独立
1.5.2 多个事件的独立
先将两事件独立的定义推广到三个事件上： 对于三个事件A, B, C，若 P(AB)= P(A)P(B)， P(AC)= P(A)P(C) , P(BC)= P(B)P(C) , P(ABC)= P(A)P(B)P(C)
4. 七月份北京的最高气温； 5. 一部电梯一年内出现故障的次数…。
△ 试验结果看起来与数值无关，但可引进一个 变量来表示试验的各种结果的例
1. 在投篮试验中，用{0} 表示投篮未中，{1} 表 示罚篮命中，{3} 表示三分线外远投命中， {2} 表示三分线内投篮命中，则随机试验结 果可数值化。
2. 在掷硬币试验中，用{1} 表示带国徽或人头 的一面朝上，{0} 表示另一面朝上，则随机 试验的结果也可数值化。
学习时要注意它们各自的特点及描述方法。
在实际应用中, 往往根据问题的实际意义 判断两事件是否独立 。
如：一批产品共wk.baidu.comn 件，从中抽取2件，设 Ai = {第 i 件是合格品}， i=1,2。
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立。 其原因是: 第二次抽取的结果不受第一次抽取 结果的影响。
若抽取是无放回的，则A1与A2不独立。 其原因是：第二次抽取的结果受第一次抽取结 果的影响。
用 P(AB)=P(A) P(B) 刻画独立性，比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B)
更好。 ◎ 不受 P(B)>0 或 P(A)>0 的制约；
◎ 反映了事件A与 B的对等性。
两事件独立的定义
定义1：若两事件A, B满足 P(AB)= P(A) P(B),
则称 A与B 相互独立，或称 A, B 独立。
对n(n>2)个事件
相互独立
两两独立
?
多个相互独立事件具有如下性质：
◎ 若事件A1, A2, …, An相互独立，则其中任意
k 个事件
也相互独立；
◎ 若事件A1, A2, …, An相互独立，则B1, B2, …, Bn也相互独立，其中 Bi 或为Ai ，或为Āi ， i=1, 2, …, n 。
2. P(A|B)=P(A)， 4. P(AB)=P(A)P(B)。
设A, B为独立事件，且P(A)>0, P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0， 3. P(A|B)=0 ，
2. P(A|B)=P(A)， 4. P(AB)=P(A)P(B)。
定理1：若事件A, B独立，则 也相互独立。
四个等式同时成立，则称事件A, B, C相互独立 。
推广到 n个事件的独立性定义, 可类似地给出:
设A1, A2,…, An 是 n个事件，如果对任意k
( ), 任意
，等式
成立，则称 n个事件A1, A2, …，An 相互独立。 等式总数为：
请注意多个事件两两独立与事件两两相 互独立的区别与联系
称这种定义在样本空间Ω上的实值函数 为随机变量，简记为 r.v. ( random variable ) 。
随机变量通常用英文大写字母X,Y, Z 或希腊字母ζ,η等表示。
随机变量的取值一般用小写字母 x, y, z 等 表示。
引入随机变量的意义 有了随机变量，随机试验中的各种事件
都可以通过随机变量的关系式表达出来。 如：用 X 表示单位时间内某信号台收到
1.5.3 独立性概念在计算概率中的应用
对独立事件，许多概率的计算可得到简化 。 例2: 三人独立地去破译一份密码, 已知每个人 能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4。问三人中 至少有一人能将密码译出的概率是多少？
解：将三人分别编号为1, 2, 3， 记 Ai = {第i个人破译出密码} ， i=1, 2, 3 。 故，所求为 P(A1∪A2∪A3)。
例4：若干人独立地向一移动目标射击,每人击 中目标的概率都是0.6。求至少需要多少人, 才 能以0.99以上的概率击中目标?
解：设至少需要 n 个人才能以0.99以上的概率 击中目标。
令A={目标被击中},Ai ={第i人击中目标}, i=1,2,…,n。则A1,A2,…,An 相互独立。故，
也相互独立。
这种随机试验结果与数值的对应关系，在数 学上可理解为: 定义一个实值函数 X(ω), 将
. X
X(ω) 与高等数学中的函数不同。
不同之处：
◎ X(ω) 随试验结果的不同而取不同的值。故, 在试验之前只知道其可能取值的范围，而不 能预知其取哪个具体的值。
◎ 由于试验结果的出现具有一定的概率，所以 “ X(ω) 取每个值或某个确定范围内的值” 也 有一定的概率。
请问：能否在样本空间Ω中找到两个事件，
它们既相互独立又互斥? 答：能。
所以，Φ与Ω独立且互斥。
不难发现: Φ(或Ω)与任何事件都独立。
前面我们看到独立与互斥的区别和联系，
请看下列两个练习。
设A, B为互斥事件，且P(A)>0, P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0， 3. P(A|B)=0，
例1： 从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记 A={ 抽到K }, B={抽到黑色的牌}。
问事件A, B是否独立？
解：由于 P(A) = 4/52 = 1/13, P(B) = 26/52 = 1/2，P。(AB) = 2/52 = 1/26
故, P(AB) = P(A)P(B). 这说明事件A, B独立。
解: 设 A={该批产品被接收}， Bi={取出3件产品中恰有i件是次品}， i = 0,1,2,3。
则
因三次测试相互独立，故 P(A|B0)=0.993， P(A|B1)=0.992(1-0.95), P(A|B2)=0.99(1-0.95)2, P(A|B3)= (1-0.95)3。
由全概率公式, 得
前面是根据两事件独立的定义得出A, B独 立的结论，我们也可以通过计算条件概率的办 法得到 A, B独立的结论。 续前例：从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记 A={ 抽到K }, B={抽到黑色的牌}。
由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13， 故，P(A)= P(A|B)。 这也说明A, B独立。
因 A=A1∪A2∪…∪An， 得 P(A)= P(A1∪A2∪…∪An)
问题化成了求最小的 n, 使1-0.4n > 0.99。 解不等式，得
第二章 随机变量
• 随机变量 • 离散型随机变量 • 连续型随机变量 • 随机变量函数的分布
§2.1 随机变量
随机变量概念的产生
在实际问题中，随机试验的结果可用数 量来表示，这就产生了随机变量的概念。
△ 试验结果与数值有关的例 1. 掷一颗骰子，观察其上面出现的点数；
2. 每天北京站下火车的人数；
3. 每年12月份北京发生交 通事故的次数；
呼叫的次数，则 X 是一个随机变量。
事件 { 收到呼叫 }⇔{X ≥ 1}； {没有收到呼叫} ⇔ {X=0}。
随机变量概念的产生是概率论发展史上重 大的事件。引入随机变量后，对随机现象统计 规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩 充到对随机变量及其取值规律的研究。
随机变量的分类 (通常分两大类)：
请问：如图的两个事件是否独立？ 我们来计算： 因 P(AB)=0, 而 P(A) ≠ 0, P(B) ≠0。 即 P(AB) ≠ P(A)P(B)。 故 A与B不独立。
即: 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0, 则 A
与B不独立。
其逆否命题是：若A与B独立，且 P(A)>0, P(B)>0, 则 A与B一定不互斥。
离散型随机变量
所有取值可 以逐个列举
随 机 变
如“取到次品的个数”， “收到的呼叫数”等。
全部可能取值不仅有无
量
穷多，而且不能能一一
连续型随机变量
列举，充满某些区间。
如：“电视机的使用寿命”，实际中常遇到的“ 测量误差”等。
随 离散型随机变量 机 变 量 连续型随机变量
这两种类型的随机变量因都是随机变量， 自然会有许多相同或相似之处；但因其取值方 式不同，故又有其各自的特点。
已知 P(A1)=1/5, P(A2)=1/3, P(A3)=1/4，且 A1，A2，A3相互独立，
P(A1∪A2∪A3)
计算 n个独立事件并的概率公式:
设事件
P( A1∪…∪An )
相互独立, 则
也就是说: n个独立事件至少有一个发生的 概率等于1减去各自对立事件概率的乘积。
例3：验收100件产品方案如下，从中任取3件 进行独立测试，如果至少有一件被断定为次 品，则拒绝接收此批产品。设一件次品经测 试后被断定为次品的概率为0.95，一件正品 经测试后被断定为正品的概率为0.99，并知 这100件产品恰有4件次品。求该批产品能被 接收的概率。
概率论与数理统计第4讲
§1.5 事件的独立性
1.5.1 两事件的独立 先看一个例子：将一颗均匀骰子
连掷两次，设 A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}， 显然，有 P(A|B)=P(A).
这就是说：事件B发生，并不影响事件A 发生的概率。这时，称事件A与B相互独立， 简称独立。
由乘法公式知，当事件A与B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B).
证明: 仅证A与 独立。
P(A )= P(A－ A B) = P(A) － P(AB) = P(A) － P(A) P(B) = P(A)[1 － P(B)] = P(A)P( ),
A与B独立
1.5.2 多个事件的独立
先将两事件独立的定义推广到三个事件上： 对于三个事件A, B, C，若 P(AB)= P(A)P(B)， P(AC)= P(A)P(C) , P(BC)= P(B)P(C) , P(ABC)= P(A)P(B)P(C)
4. 七月份北京的最高气温； 5. 一部电梯一年内出现故障的次数…。
△ 试验结果看起来与数值无关，但可引进一个 变量来表示试验的各种结果的例
1. 在投篮试验中，用{0} 表示投篮未中，{1} 表 示罚篮命中，{3} 表示三分线外远投命中， {2} 表示三分线内投篮命中，则随机试验结 果可数值化。
2. 在掷硬币试验中，用{1} 表示带国徽或人头 的一面朝上，{0} 表示另一面朝上，则随机 试验的结果也可数值化。
学习时要注意它们各自的特点及描述方法。
在实际应用中, 往往根据问题的实际意义 判断两事件是否独立 。
如：一批产品共wk.baidu.comn 件，从中抽取2件，设 Ai = {第 i 件是合格品}， i=1,2。
若抽取是有放回的, 则A1与A2独立。 其原因是: 第二次抽取的结果不受第一次抽取 结果的影响。
若抽取是无放回的，则A1与A2不独立。 其原因是：第二次抽取的结果受第一次抽取结 果的影响。
用 P(AB)=P(A) P(B) 刻画独立性，比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B)
更好。 ◎ 不受 P(B)>0 或 P(A)>0 的制约；
◎ 反映了事件A与 B的对等性。
两事件独立的定义
定义1：若两事件A, B满足 P(AB)= P(A) P(B),
则称 A与B 相互独立，或称 A, B 独立。
对n(n>2)个事件
相互独立
两两独立
?
多个相互独立事件具有如下性质：
◎ 若事件A1, A2, …, An相互独立，则其中任意
k 个事件
也相互独立；
◎ 若事件A1, A2, …, An相互独立，则B1, B2, …, Bn也相互独立，其中 Bi 或为Ai ，或为Āi ， i=1, 2, …, n 。
2. P(A|B)=P(A)， 4. P(AB)=P(A)P(B)。
设A, B为独立事件，且P(A)>0, P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0， 3. P(A|B)=0 ，
2. P(A|B)=P(A)， 4. P(AB)=P(A)P(B)。
定理1：若事件A, B独立，则 也相互独立。
四个等式同时成立，则称事件A, B, C相互独立 。
推广到 n个事件的独立性定义, 可类似地给出:
设A1, A2,…, An 是 n个事件，如果对任意k
( ), 任意
，等式
成立，则称 n个事件A1, A2, …，An 相互独立。 等式总数为：
请注意多个事件两两独立与事件两两相 互独立的区别与联系
称这种定义在样本空间Ω上的实值函数 为随机变量，简记为 r.v. ( random variable ) 。
随机变量通常用英文大写字母X,Y, Z 或希腊字母ζ,η等表示。
随机变量的取值一般用小写字母 x, y, z 等 表示。
引入随机变量的意义 有了随机变量，随机试验中的各种事件
都可以通过随机变量的关系式表达出来。 如：用 X 表示单位时间内某信号台收到
1.5.3 独立性概念在计算概率中的应用
对独立事件，许多概率的计算可得到简化 。 例2: 三人独立地去破译一份密码, 已知每个人 能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4。问三人中 至少有一人能将密码译出的概率是多少？
解：将三人分别编号为1, 2, 3， 记 Ai = {第i个人破译出密码} ， i=1, 2, 3 。 故，所求为 P(A1∪A2∪A3)。
例4：若干人独立地向一移动目标射击,每人击 中目标的概率都是0.6。求至少需要多少人, 才 能以0.99以上的概率击中目标?
解：设至少需要 n 个人才能以0.99以上的概率 击中目标。
令A={目标被击中},Ai ={第i人击中目标}, i=1,2,…,n。则A1,A2,…,An 相互独立。故，
也相互独立。
这种随机试验结果与数值的对应关系，在数 学上可理解为: 定义一个实值函数 X(ω), 将
. X
X(ω) 与高等数学中的函数不同。
不同之处：
◎ X(ω) 随试验结果的不同而取不同的值。故, 在试验之前只知道其可能取值的范围，而不 能预知其取哪个具体的值。
◎ 由于试验结果的出现具有一定的概率，所以 “ X(ω) 取每个值或某个确定范围内的值” 也 有一定的概率。
请问：能否在样本空间Ω中找到两个事件，
它们既相互独立又互斥? 答：能。
所以，Φ与Ω独立且互斥。
不难发现: Φ(或Ω)与任何事件都独立。
前面我们看到独立与互斥的区别和联系，
请看下列两个练习。
设A, B为互斥事件，且P(A)>0, P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0， 3. P(A|B)=0，
例1： 从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记 A={ 抽到K }, B={抽到黑色的牌}。
问事件A, B是否独立？
解：由于 P(A) = 4/52 = 1/13, P(B) = 26/52 = 1/2，P。(AB) = 2/52 = 1/26
故, P(AB) = P(A)P(B). 这说明事件A, B独立。
解: 设 A={该批产品被接收}， Bi={取出3件产品中恰有i件是次品}， i = 0,1,2,3。
则
因三次测试相互独立，故 P(A|B0)=0.993， P(A|B1)=0.992(1-0.95), P(A|B2)=0.99(1-0.95)2, P(A|B3)= (1-0.95)3。
由全概率公式, 得
前面是根据两事件独立的定义得出A, B独 立的结论，我们也可以通过计算条件概率的办 法得到 A, B独立的结论。 续前例：从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记 A={ 抽到K }, B={抽到黑色的牌}。
由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13， 故，P(A)= P(A|B)。 这也说明A, B独立。
因 A=A1∪A2∪…∪An， 得 P(A)= P(A1∪A2∪…∪An)
问题化成了求最小的 n, 使1-0.4n > 0.99。 解不等式，得
第二章 随机变量
• 随机变量 • 离散型随机变量 • 连续型随机变量 • 随机变量函数的分布
§2.1 随机变量
随机变量概念的产生
在实际问题中，随机试验的结果可用数 量来表示，这就产生了随机变量的概念。