3.3幂函数教师版

§3.3 幂函数

一、基础过关

1．幂函数y ＝f(x)的图象过点(4，1

2

)，那么f(8)的值为

( )

A ．2 6

B ．64 C.2

4

D.164 2．函数y ＝x 1

2

－1的图象关于x 轴对称的图象大致是

( )

3．下列是y ＝x 2

3

的图象的是 ( )

4．图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一

象限的图象，已知n 取±2，±1

2

四个

值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为 ( )

A ．－2，－12，12，2

B ．2，12，－12，－2

C ．－12，－2,2，12

D ．2，12，－2，－1

2

5．给出以下结论：

①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线； ②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点； ③若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大；

④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限． 则正确结论的序号为________．

6．函数y ＝x 12

＋x －

1的定义域是________．

7．写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：

(1)y ＝x 2＋x －

2； (2)y ＝x 12＋x －12； (3)f(x)＝x 12＋3(－x)14.

8．已知函数f(x)＝(m 2＋2m)·xm 2

＋m －1，m 为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数． 二、能力提升

9．设a ＝(35)25，b ＝(25)35，c ＝(25)2

5

，则a ，b ，c 的大小关系是( )

A ．a>c>b

B ．a>b>c

C ．c>a>b

D ．b>c>a

10．函数f(x)＝x α，x ∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是( )

A ．0

B ．2

C ．3

D ．4

11．若(a ＋1)－12<(3－2a)－1

2

，则a 的取值范围是________．

12．已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点(2，1

4

)．

(1)求f(x)，g(x)的解析式； (2)当x 为何值时，①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)

13．已知幂函数f(x)＝x m －

3(m ∈N ＋)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a)－

m 3

的a 的取值范围．

答案

1．C 2．B 3．B 4．B 5．④ 6．(0，＋∞)

7．解： (1)y ＝x 2＋x －

2＝x 2＋1x

2，∴此函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

∵f(－x)＝(－x)2＋1－

2＝x 2＋1

x 2＝f(x)， ∴此函数为偶函数．

(2)y ＝x 12＋x －12＝x ＋1

x

， ∴此函数的定义域为(0，＋∞)

∵此函数的定义域不关于原点对称， ∴此函数为非奇非偶函数．

(3)f(x)＝x 12＋3(－x)1

4 ＝x ＋34－x ， ∴⎩

⎪⎨⎪⎧

x≥0－x≥0，∴x ＝0，

∴此函数的定义域为{0}， ∴此函数既是奇函数又是偶函数．

8．解： (1)若f(x)为正比例函数， 则⎩

⎪⎨⎪

⎧

m 2＋m －1＝1，m 2＋2m≠0⇒m ＝1.

(2)若f(x)为反比例函数， 则⎩⎪⎨⎪⎧

m 2

＋m －1＝－1，

m 2＋2m≠0⇒m ＝－1.

(3)若f(x)为二次函数，则 ⎩

⎪⎨⎪⎧

m 2＋m －1＝2，m 2＋2m≠0⇒m ＝－1±13

2.

(4)若f(x)为幂函数，则m 2＋2m ＝1， ∴m ＝－1±2.

9．A 10．B 11．(23，3

2)

12．解： (1)设f(x)＝x α

，∵其图象过点(2，2)，故2＝(2)α，解得α＝2，∴f(x)＝x 2.

设g(x)＝x β，∵其图象过点(2，14)， ∴1

4

＝2β，

解得β＝－2，∴g(x)＝x －2

.

(2)在同一坐标系下作出f(x)＝x 2与g(x)＝x －

2的图象，如图所示．由图象可知：f(x)，g(x)的图象均过点(－1,1)与(1,1)． ∴①当x>1或x<－1时， f(x)>g(x)； ②当x ＝1或x ＝－1时， f(x)＝g(x)； ③当－1

13．解： ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m －3<0，解得m<3.

∵m ∈N ＋，∴m ＝1,2. 又函数的图象关于y 轴对称，∴m －3是偶数，

而2－3＝－1为奇数，1－3＝－2为偶数，∴m ＝1. 而f(x)＝x －1

3

在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，

∴(a ＋1)－13<(3－2a)－1

3等价于a ＋1>3－2a>0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a.

解得a<－1或23

2

}．