2020高考数学原创 公开课一等奖课件

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第1讲 函数图象与性质及函数与方程
2．函数的性质 (1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函 数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和 下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则； (2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的 图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具 有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于 坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性； (3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数 满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其周期T＝ka(k∈Z)．
fx－f－x x <0
的解集为
( )．
A．(－2,0)∪(0,2)
B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(2，＋∞) 解析 (1)法一 函数 y＝xl|nx||x|的图象过点(e,1)，排除 C，D；函
数 y＝xl|nx||x|的图象过点(－e，－1)，排除 A，选 B.
3．(2014·福建卷)若函数y＝logax( a＞0，且a≠1)的图象如下图
所示，则下列函数图象正确的是
( )．
解析 因为函数y＝logax过点(3,1)，所以1＝loga 3，解得a＝3.y ＝ 3 － x 不 可 能 过 点 (1,3) ， 排 除 A ； y ＝ ( － x)3 ＝ － x3 不 可 能 过 点 (1,1)，排除C; y＝log3(－x)不可能过点(－3，－1), 排除D，故选 B. 答案 B
答案 B
1．解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求 函数 f(x)＝xl1n x的定义域时，只考虑 x＞0，忽视 ln x≠0 的限 制．
2．函数定义域不同，两个函数也不同；对应关系不同，两个函 数也不同；定义域和值域相同，也不一定是相同的函数．
3．如果一个奇函数 f(x)在原点处有意义，即 f(0)有意义，那么一 定有 f(0)＝0.
[微题型 2] 函数性质的应用
【例 1－2】 (1)(2014·安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇
函数，且在[0,2]上的解析式为 f(x)＝xsin1－πxx，，1＜0≤x≤x≤2，1， 则
f(249)＋f(461)＝________.
(2)函数 f(x)的定义域为 R，f(－1)＝2，对任意 x∈R，f′(x)>2，
3．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点与方程根的关系 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y ＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． (2)零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲 线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零 点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0的 根．
答案 C
2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是 ( )． A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 解析 f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数， f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，|f(x)g(x)|为偶函数，故 选C. 答案 C
的零点个数为
( )．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 (1)当x≤0时，由f(x)＝0，即x2＋2 014x－2 015＝0，得(x －1)(x＋2 015)＝0，解得x＝1(舍去)或x＝－2 015； (2)当x＞0时，设g(x)＝x－2，h(x)＝ln x，如图，分别作出两个函 数的图象，由图可知，两函数图象有两个交点，所以函数f(x)在 x＞0时有两个零点． 综上，函数f(x)有3个零点，故选C.
法二 由已知，设 f(x)＝xl|nx||x|，则 f(－x)＝－f(x)，故函数 f(x)为
奇函数，当 x＞0 时，f(x)＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故选 B.
(2)由奇函数的定义和 f(2)＝0 得出函数在(－∞，0)上也为增函 数．画出函数草图(如图)，可得在(－2,0)和(2，＋∞)上 f(x)>0， 在(－∞，－2)和(0,2)上 f(x)<0.当 x>0 时，由fx－xf－x<0，可得 f(x)－f(－x)＝2f(x)<0，结合图象可知(0,2)符合；当 x<0 时，由 fx－xf－x<0，可得 f(x)－f(－x)＝2f(x)>0，结合图象可知(－2,0) 符合．
答案 C
探究提高 (1)本题利用分段函数考查了解决零点问题的两种方 法——解方程与函数图象，当x＞0时，不能直接解方程，所以要 利用数形结合的方法将其转化为两函数图象的交点问题来求 解．(2)解决函数零点问题要把握零点的实质——方程的根、函数 图象与x轴的交点的横坐标．判断函数零点个数问题一般都要转 化为两个函数图象的交点个数来求解．
(2)若 g(x)－f(x)＝0 有两个相异的实根，即 g(x)＝f(x)中函数 g(x) 与 f(x)的图象有两个不同的交点， 作出 g(x)＝x＋ex2(x＞0)的大致图象． ∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1 ＝－(x－e)2＋m－1＋e2. 其对称轴为 x＝e，开口向下，最大值为 m－1＋e2.
[微题型 2] 由函数零点的存在情况求参数 【例 2－2】 已知函数 f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ex2(x＞
0)． (1)若 g(x)＝m 有实根，求 m 的取值范围； (2)确定 m 的取值范围，使得 g(x)－f(x)＝0 有两个相异实根．
解 (1)∵g(x)＝x＋ex2≥2 e2＝2e， 等号成立的条件是 x＝e. 故 g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需 m≥2e， 则 g(x)＝m 就有实根． 故 m∈[2e，＋∞)．
(2)由题可知，当－2<x<2 时，f(x)>0.由 f(x－1)>0，得－2<x－1<2， 即－1<x<3.
答案 (1)C (2)(－1,3)
热点二 以函数零点为背景的函数问题
[微题型 1] 函数零点个数的求解
【例 2－1】 已知 f(x)＝x22－＋x2＋0l1n4xx，－x2＞0105，，x≤0， 则函数 f(x)
故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时， g(x)与f(x)有两个交点， 即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根． ∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)． 探究提高 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围 问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参 数的方程或不等式求解．
4．奇函数在两个对称的区间上有相同的单调性，偶函数在两个 对称的区间上有相反的单调性．
注意以下两点： ①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点.
热点一 函数图象与性质的融合问题 [微题型 1] 函数图象的识别与应用 【例 1－1】 (1)函数 y＝xl|nx||x|的图象可能是
( )．
(2)设奇函数 f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且 f(2)＝0，则不等式
【训练 2】 (2014·山东卷)已知函数 f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若
方程 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是
( )．
A.0，12 C．(1,2)
B．12，1 D．(2，＋∞)
解析 由 f(x)＝g(x)，∴|x－2|＋1＝kx，即|x－2|＝kx－1， 所以原题等价于函数 y＝|x－2|与 y＝kx－1 的图象有 2 个不同交 点． 如图： ∴y＝kx－1 在直线 y＝x－1 与 y＝12x－1 之间， ∴12<k<1，故选 B.
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．a＞c＞b
D．c＞b＞a
(2)(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数 f(x)在[0，＋∞)单调递
减，f(2)＝0.若 f(x－1)>0，则 x 的取值范围是________．
解析 (1)∵log2π＞1，log1π＜0,0＜π－2＜1，∴a＞c＞b，故选 C. 2
若使得 f(x)－a＝0 在 x∈[－3,4]上有 10 个零点，由于 f(x)的周期 为 3，则只需直线 y＝a 与函数 f(x)＝|x2－2x＋12|，x∈[0,3)的应有 4 个交点，则有 a∈0，12. 答案 0，12
[考点整合] 1．函数及其图象
(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整 体，研究函数问题时务必遵循“定义域优先”的原则． (2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两 种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换 有平移变换、伸缩变换和对称变换．
探究提高 (1)根据函数的奇偶性、单调性和周期性，把所求函数 值转化为给定范围内的函数值，再利用所给范围内的函数解析 式求出函数值．(2)第(2)题求解的关键是对条件“f′(x)＞2”的 巧妙转化，利用函数的单调性求解不等式．
【训练 1】 (1)(2014·天津卷)设 a＝log2π，b＝log1π，c＝π－2，则 2 ( )．
高考定位 1.高考对函数图象与性质的考查主要体现在函数的定 义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性等方面．函数 图象的考查角度有两个方面，一是函数解析式与函数图象的对 应关系；二是利用图象研究函数性质、方程及不等式的解等， 综合性较强.2.考查函数零点所在区间、零点个数的判断以及由 函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围问题．