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广义估计方程
主要内容
一、广义线性模型简介 1）一般线性模型 2）广义线性模型
二、广义估计方程 1）纵向资料 2）广义估计方程 3）应用举例
一、广义线性模型简介
1）一般线性模型
一般线性模型(general linear model)，简称线性模型(linear model)，是数理 统计学中发展较早、理论丰富而且应用性很强的 一个重要分支。
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/9
广义估计方程
(3)
指定Yij协方差是边际均数和参数α的函
数。
μit;α)
Cov(Yis,Yit)=c(μis,
式中：c(.)为已知函数；α又叫相关参
数 (correlation parameter)；s和t分别表示
第s次和第t次测量。
广义估计方程
广义估计方程
模型构成如下：
(1) 指定Yij的边际期望(marginal expectation) 是协变量Xij线性组合的已知函数。 E(Yij)=μij,g(μij)=β0+β1Xij1+β2Xij2+…βpXijp 式中：g(.)称为联接函数； β=(β1…βp)’为模型需要估计的参数向量。
(3)方差齐性，即ei的方差相等
一般线性模型
局限性：
线性模型只能拟合应变量服从正态分 布的资料，如果应变量是分类变量，或不服从正 态分布的变量，线性模型则不能适用。
广义线性模型
2）广义线性模型
概念：
很多非线性模型，如指数模型、Logistic回归 模型，如对应变量作一定的变量变换可满足或近似满足线 性模型分析的要求，能够借助线性模型的分析思路解决模 型构造、参数估计和模型评价等一系列问题。这就是广义 线性模型(generalized linear model)
纵向数据
概念：
纵向数据(longitudinal data)是按照 时间顺序对个体进行重复测量得到的资料。
比如儿童的生长监测资料，出生后每月 测量其体重(Y变量)以及影响体重的因素(X变量， 如性别、喂养、疾病等)，这样每个儿童的多次测 量值称为纵向数据的一个串(cluster)，是由一组 Y变量(各次测定的体重)和一组相对应的X变量组 成。
广义估计方程
2）广义估计方程
应用：
广义估计方程是在广义线性模型的基础 上发展起来的、专用于处理纵向数据的统计模型。 广义估计方程可以对符合正态分布、二项分布等 多种分布的应变量拟合相应的统计模型，解决了 纵向数据中应变量相关的问题，得到稳健的参数 估计值。
广义估计方程
一、模型的基本构成
假设Yij为第i个个体的第j次测量的 变量(i=1, … k,j=1, … t)，Yi=(Yi1,Yi2 … Yij)′，Xij=(Xij1 … Xijp)，为对应于Yij的p×1 维解释变量向量。如果解释变量在各个观察时 刻不变(比如性别)，则Xi1p=Xi2p … =Xijp。如果j 时刻没有观测值，则Yij和Xij都缺失。
纵向数据
纵向数据特点 ：
同一对象的多次观测之间呈相关倾向 因而，纵向数据与一般的多元应变量的 资料不同，因为它的反应变量之间高度相关。也 有别于时间序列数据，纵向数据是由每个个体的 重复测量数据，按时间顺序组成较短的序列，并 由大量这样的序列组成，而时间序列数据是很多 各数据组成一个长的序列。
纵向数据
广义线性模型
模型构造：
(1)应变量，相互独立，服从指数分布族，方差能够 表达为均数的函数。应变量的期望值记为： E(Yi)=μi。
(2)线性部分，即自变量的线性组合，β为待求的参 数向量。 ηi=β0+ β1Xi1+ β2Xi2+ … βjXij=X’i β
广义线性模型
(3)联接函数(link function)，将应变量的期望值 和线性预测值ηi关联起来。 g(μi )= ηi=β0+ β1Xi1+ β2Xi2+ … βjXij g(. )是联接函数，联接函数的作用就是对应变 量作变换使之符合正态分布，变量变换的类型依 应变量的分布不同而不同。通过指定应变量的分 布和联接函数，就可以拟合各种不同的模型。
广义线性模型
分布 模型
表1 常见的概率分布和联接函数
联接函数
数学表达式
正态分布
恒等函数
多元线性回归模型
log
1
η=μ
二项分布
Logit函数
Logistic回百度文库模型
二项分布
Probit函数
η=Φ-1(π)
Probit回归模型
广义线性模型
优点：
广义线性模型不仅可以用于拟合应变 量服从正态分布的模型，还可以拟合应变量服从 二项分布、Poisson分布、负二项分布等指数分布 族的模型，通过指定不同的联接函数，把指数分 布族的众多模型统一到一个模型框架中，具有极 大的灵活性，其应用也日趋广泛。
构造如下广义估计方程为：
S(;, )
n i
i
Vi1 ( )(Yi
ui )
Op
求解方程Var(Yij)=V(μij)·Ф可得到β的一致性 估计。其中VVi表i 示作A业i1/ 协2 R方i (差)矩A阵i1/ 2(working covariance matrix)，并有
广义估计方程
(2)
指定Yij边际方差(marginal variance)
是边际期望的已知函数。
Var(Yij)=V(μij)·Ф
式中：V(.)为已知函数；Ф为尺度参 数(scale parameter)，表示Y的方差不能被 V(μij)解释的部分。这个参数也是需要模型估 计的，对二项分布和Poisson分布而言，Ф=1。
析 一般线性模型
方差分
一般线性模型
应用：
用于研究某个指标(应变量，记为Yi) 与一组指标(Xi1， Xi2，… ，Xij)之间的线性关 系。
表达式： yi=β0+ β1Xi1+ β2Xi2+ …
βjXij+ei
一般线性模型
一般线性模型对于残差分布的三个重要假设： (1)独立 (2)符合正态分布，且均数为0
传统的统计方法一般都要求应变量 是独立的，因而，由于应变量之间的相关， 纵向数据不能用传统的方法来分析。因为 如果忽略重复测量间的相关性，将损失数 据中的信息，参数估计可能不准确。因此， Liang和Zeger等创立了广义估计方程 (generalized estimating equations) 。
主要内容
一、广义线性模型简介 1）一般线性模型 2）广义线性模型
二、广义估计方程 1）纵向资料 2）广义估计方程 3）应用举例
一、广义线性模型简介
1）一般线性模型
一般线性模型(general linear model)，简称线性模型(linear model)，是数理 统计学中发展较早、理论丰富而且应用性很强的 一个重要分支。
SUCCESS
THANK YOU
2019/8/9
广义估计方程
(3)
指定Yij协方差是边际均数和参数α的函
数。
μit;α)
Cov(Yis,Yit)=c(μis,
式中：c(.)为已知函数；α又叫相关参
数 (correlation parameter)；s和t分别表示
第s次和第t次测量。
广义估计方程
广义估计方程
模型构成如下：
(1) 指定Yij的边际期望(marginal expectation) 是协变量Xij线性组合的已知函数。 E(Yij)=μij,g(μij)=β0+β1Xij1+β2Xij2+…βpXijp 式中：g(.)称为联接函数； β=(β1…βp)’为模型需要估计的参数向量。
(3)方差齐性，即ei的方差相等
一般线性模型
局限性：
线性模型只能拟合应变量服从正态分 布的资料，如果应变量是分类变量，或不服从正 态分布的变量，线性模型则不能适用。
广义线性模型
2）广义线性模型
概念：
很多非线性模型，如指数模型、Logistic回归 模型，如对应变量作一定的变量变换可满足或近似满足线 性模型分析的要求，能够借助线性模型的分析思路解决模 型构造、参数估计和模型评价等一系列问题。这就是广义 线性模型(generalized linear model)
纵向数据
概念：
纵向数据(longitudinal data)是按照 时间顺序对个体进行重复测量得到的资料。
比如儿童的生长监测资料，出生后每月 测量其体重(Y变量)以及影响体重的因素(X变量， 如性别、喂养、疾病等)，这样每个儿童的多次测 量值称为纵向数据的一个串(cluster)，是由一组 Y变量(各次测定的体重)和一组相对应的X变量组 成。
广义估计方程
2）广义估计方程
应用：
广义估计方程是在广义线性模型的基础 上发展起来的、专用于处理纵向数据的统计模型。 广义估计方程可以对符合正态分布、二项分布等 多种分布的应变量拟合相应的统计模型，解决了 纵向数据中应变量相关的问题，得到稳健的参数 估计值。
广义估计方程
一、模型的基本构成
假设Yij为第i个个体的第j次测量的 变量(i=1, … k,j=1, … t)，Yi=(Yi1,Yi2 … Yij)′，Xij=(Xij1 … Xijp)，为对应于Yij的p×1 维解释变量向量。如果解释变量在各个观察时 刻不变(比如性别)，则Xi1p=Xi2p … =Xijp。如果j 时刻没有观测值，则Yij和Xij都缺失。
纵向数据
纵向数据特点 ：
同一对象的多次观测之间呈相关倾向 因而，纵向数据与一般的多元应变量的 资料不同，因为它的反应变量之间高度相关。也 有别于时间序列数据，纵向数据是由每个个体的 重复测量数据，按时间顺序组成较短的序列，并 由大量这样的序列组成，而时间序列数据是很多 各数据组成一个长的序列。
纵向数据
广义线性模型
模型构造：
(1)应变量，相互独立，服从指数分布族，方差能够 表达为均数的函数。应变量的期望值记为： E(Yi)=μi。
(2)线性部分，即自变量的线性组合，β为待求的参 数向量。 ηi=β0+ β1Xi1+ β2Xi2+ … βjXij=X’i β
广义线性模型
(3)联接函数(link function)，将应变量的期望值 和线性预测值ηi关联起来。 g(μi )= ηi=β0+ β1Xi1+ β2Xi2+ … βjXij g(. )是联接函数，联接函数的作用就是对应变 量作变换使之符合正态分布，变量变换的类型依 应变量的分布不同而不同。通过指定应变量的分 布和联接函数，就可以拟合各种不同的模型。
广义线性模型
分布 模型
表1 常见的概率分布和联接函数
联接函数
数学表达式
正态分布
恒等函数
多元线性回归模型
log
1
η=μ
二项分布
Logit函数
Logistic回百度文库模型
二项分布
Probit函数
η=Φ-1(π)
Probit回归模型
广义线性模型
优点：
广义线性模型不仅可以用于拟合应变 量服从正态分布的模型，还可以拟合应变量服从 二项分布、Poisson分布、负二项分布等指数分布 族的模型，通过指定不同的联接函数，把指数分 布族的众多模型统一到一个模型框架中，具有极 大的灵活性，其应用也日趋广泛。
构造如下广义估计方程为：
S(;, )
n i
i
Vi1 ( )(Yi
ui )
Op
求解方程Var(Yij)=V(μij)·Ф可得到β的一致性 估计。其中VVi表i 示作A业i1/ 协2 R方i (差)矩A阵i1/ 2(working covariance matrix)，并有
广义估计方程
(2)
指定Yij边际方差(marginal variance)
是边际期望的已知函数。
Var(Yij)=V(μij)·Ф
式中：V(.)为已知函数；Ф为尺度参 数(scale parameter)，表示Y的方差不能被 V(μij)解释的部分。这个参数也是需要模型估 计的，对二项分布和Poisson分布而言，Ф=1。
析 一般线性模型
方差分
一般线性模型
应用：
用于研究某个指标(应变量，记为Yi) 与一组指标(Xi1， Xi2，… ，Xij)之间的线性关 系。
表达式： yi=β0+ β1Xi1+ β2Xi2+ …
βjXij+ei
一般线性模型
一般线性模型对于残差分布的三个重要假设： (1)独立 (2)符合正态分布，且均数为0
传统的统计方法一般都要求应变量 是独立的，因而，由于应变量之间的相关， 纵向数据不能用传统的方法来分析。因为 如果忽略重复测量间的相关性，将损失数 据中的信息，参数估计可能不准确。因此， Liang和Zeger等创立了广义估计方程 (generalized estimating equations) 。