高中数学学案：函数的图象与简单变换
高中数学学案43第五章三角函数的图象与性质
5.4 三角函数的图象与性质 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象【学习目标】1.了解正弦函数、余弦函数的图象． 2.会用五点法画正弦函数、余弦函数的图象．3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题．【自主学习】一．正弦函数的图象正弦函数的图象叫做 ，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．五点法：在函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，以下五个点： ，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1， ，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象形状就基本确定了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图． 二．余弦函数图象1.变换法将正弦函数的图象向左平移π2个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示．余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的图象叫做余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．2.五点法：y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的五个关键点为： ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0， ，用光滑曲线连接这五个点可得到x ∈[－π，π]的简图．注意：(1)“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．(2)“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向．【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)正、余弦函数的图象形状相同，位置不同．( ) (2)正、余弦函数的图象向左、右和上、下无限伸展．( )(3)将正弦曲线向右平移π2个单位就得到余弦曲线．( )(4)函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2的图象与函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象的形状完全一致．( )(5)函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π]k ∈Z ，且k ≠0的图象与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象形状完全一致．( ) 2.用五点法作函数y ＝sin 2x ，x ∈[0，π]的简图的五个点的横坐标为( ) A ．0，π2，π，3π2，2π B ．0，π4，π2，3π4，π C ．0，π，2π，3π，4π D ．0，π6，π3，π2，2π3【经典例题】题型一 用“五点法”作三角函数图象点拨：用“五点法”画函数y ＝A sin x ＋b (A ≠0)在[0,2π]上的简图的步骤 1.列表2.描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y 1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，y 2，(π，y 3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，y 4，(2π，y 5)．3.连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来． 例1 用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y ＝－sin x (0≤x ≤2π)； (2)y ＝1＋cos x (0≤x ≤2π)．【跟踪训练】1 用“五点法”作出函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，11π6的图象．题型二 利用正、余弦函数的图象解简单的三角不等式 点拨：用三角函数图象解三角不等式的步骤1.作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象(也可以是[－π，π]上的图象)；2.在[0,2π]上或([－π，π]上)写出适合三角不等式的解集；3.根据公式一写出定义域内的解集．例2 利用正弦曲线，求满足12<sin x ≤32的x 的集合．【跟踪训练】2 求下列函数的定义域．(1)y ＝lg(－cos x )； (2)y ＝2sin x － 2.题型三 利用正弦(余弦)函数图象解决图象交点问题 点拨：方程根(或个数)的两种判断方法1.代数法：直接求出方程的根，得到根的个数．2.几何法：(1)方程两边直接作差构造一个函数，作出函数的图象，利用对应函数的图象，观察与x 轴的交点个数，有几个交点原方程就有几个根．(2)转化为两个函数，分别作这两个函数的图象，观察交点个数，有几个交点原方程就有几个根． 例3 方程x ＋sin x ＝0的根有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【跟踪训练】3 方程sin x ＝lg x 的解的个数是________．【当堂达标】1.对于余弦函数y ＝cos x 的图象，有以下三项描述： ①向左向右无限延伸； ②与x 轴有无数多个交点；③与y ＝sin x 的图象形状一样，只是位置不同． 其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2.函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的大致图象是( )3.使不等式2－2sin x ≥0成立的x 的取值集合是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π4≤x ≤2k π＋3π4，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π－5π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z4.方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________．5.若方程sin x ＝4m ＋1在[0，2π]上有解，则实数m 的取值范围是________．6.求下列函数的定义域．(1)y ＝ sin x －12＋cos x ；(2)y ＝sin x ＋25－x 2.7.在[0，2π]内用“五点法”作出y ＝－2cos x ＋3的简图．。
高中数学单个函数图像教案
高中数学单个函数图像教案
一、教学内容：数学-函数图像
二、教学目标：学生能够通过学习本节课的内容，理解函数图像的表示方法，掌握函数图像的基本特征和性质。
三、教学重点：函数图像的基本特征和性质。
四、教学难点：理解函数图像的概念和表示方法。
五、教学准备：
1. 教师准备PPT课件和教学素材。
2. 学生准备笔记本和作业本。
六、教学过程：
1.导入：通过展示一道关于函数图像的问题引入本节课的内容。
2.讲解：教师介绍函数图像的概念和表示方法，讲解函数图像的基本特征和性质。
3.示范：通过展示一个函数的图像，让学生理解函数图像的意义和表现形式。
4.练习：让学生做一些练习题，巩固所学的知识。
5.讨论：让学生讨论不同类型的函数图像可能的特征和性质。
6.总结：总结本节课的内容，强调函数图像的重要性和应用。
七、课后作业：
1.完成课后练习题。
2.总结本节课所学的知识，写一篇小结。
八、教学反馈：
1.检查学生的课后作业，给予及时的反馈。
2.收集学生的学习反馈，查看学生对本节课的理解和掌握情况。
以上就是本节课的教学内容，希望学生能够认真学习，掌握函数图像的基本特征和性质，提高数学学习的能力和水平。
愿学生在学习过程中取得更好的成绩！。
《2.8第八节 函数的图象》 学案
学习过程一、课堂导入从图象可知:在横轴上任取t的一个值，过横轴上这个值的对应点作横轴的垂线,交图象于一点，再过图象上这个点作纵轴的垂线，所得垂足对应的实数便是该时刻的对应气温.所有满足这种条件的点的集合,便构成了该函数的图象.二、复习预习1.指数函数的图像与性质2.对数函数的图像和性质三、知识讲解考点1 利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．考点2 利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换：y ＝f (x )―――――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )；y ＝f (x )―――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b .(2)伸缩变换：y ＝f (x )1011ωωωω−−−−−−−−→＜＜，伸长为原来的倍＞1，缩短为原来的 y ＝f (ωx )；y ＝f (x )―――――――――→A >1，伸为原来的A 倍0<A <1，缩为原来的A 倍y ＝Af (x )． (3)对称变换：y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )；y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )；y ＝f (x )――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )． (4)翻折变换：y ＝f (x )――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝f (|x |)；y ＝f (x )―――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|.四、例题精析【例题1】【题干】分别画出下列函数的图象：(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；(3)y＝x2－|x|－2.【解析】(1)首先作出y ＝lg x 的图象C 1，然后将C 1向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象C 2，再把C 2在x 轴下方的图象作关于x 轴对称的图象，即为所求图象C 3：y ＝|lg(x －1)|.如图(1)所示(实线部分)．(2)y ＝2x ＋1－1的图象可由y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得y ＝2x ＋1的图象，再向下平移一个单位得到，如图(2)所示．(3)y ＝x 2－|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2 x x 2＋x －2 x ，其图象如图(3)所示．【例题2】的图象大致为()【题干】(1)(2012·山东高考)函数y＝cos 6x2x－2－x(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()【答案】(1)D (2)B【解析】(1)∵y ＝f (x )＝cos 6x 2x －2－x ，∴f (－x )＝－6x 2－x －2x ＝－f (x )．∴f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除选项A ；当x 从正方向趋近0时，y ＝f (x )＝cos 6x 2x －2－x 趋近＋∞，排除选项B ；当x 趋近＋∞时，y ＝f (x )＝cos 6x 2x －2－x 趋近0，排除选项C.(2)法一：由y ＝f (x )的图象知f (x )＝⎩⎨⎧ x x ，x 当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]，所以 f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，2－x x ，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ，x －x 图象应为B.法二：当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1；当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1.观察各选项，可知应选B.【例题3】【题干】(2012·天津高考)已知函数y＝|x2－1|x－1的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．【答案】(0,1)∪(1,4)【解析】先去掉绝对值符号，在同一直角坐标系中作出函数的图象，数形结合求解．根据绝对值的意义，y＝|x2－1|x－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋x>1或x<－，－x－－1≤x在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0<k<1或1<k<4时有两个交点．四、课堂运用【基础】1．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ，2x －x 的图象大致是( )解析：选B当x<0时，函数的图象是抛物线；当x≥0时，只需把y＝2x的图象在y轴右侧的部分向下平移1个单位即可，故大致图象为B.2．(2013·太原模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则函数f(x)的大致图象为()3．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位长度后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c【巩固】4．函数f (x )＝⎩⎨⎧ ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，x >0的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝________.5．已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)与y＝log5x的图象交点的个数为________．【拔高】6．作出下列函数的图象．(1)y＝|x－2|(x＋1)；(2)y＝|x2－2|x|－3|.7．当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<log a x恒成立，求实数a的取值范围．解：设f(x)＝(x－1)2，g(x)＝log a x，在同一直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，要使x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<log a x恒成立，只需函数f(x)的图象在g(x)的图象下方即可．当0<a<1时，由两函数的图象知，显然不成立；当a>1时，如图，使x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<log a x恒成立，只需f(2)≤g(2)，即(2－1)2≤log a2，解得1<a≤2.综上可知，1<a≤2.课程小结1.作图一般有两种方法：直接作图法、图象变换法．其中图象变换法，包括平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律．2．一个函数的图象关于原点(y轴)对称与两个函数的图象关于原点(y轴)对称不同，前者是自身对称，且为奇(偶)函数，后者是两个不同的函数对称．21 / 21。
高中数学学案：《函数的概念和图象(1)》必修一
备
注
【问题情境】 1. 函数是如何定义的？
2. 函数的三要素分别是什么？值域与函数定义中的集合 B 有什么关 系？什么是相同函数？
3、如何求函数的定义域?可以归纳为哪几种情况？
【我的疑问】
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1
【自主探究】 例 1 判断下列对应是否为函数： （1） x
备 （2） x Biblioteka y, 这里 y x, x N , y R
2
注
2 , x 0, x R ； x
例 2 已知函数 f ( x) 3x 5 x 2 ，求 f (3), f ( 2 ), f (a), f (a 1) 。
2
例 3 求下列函数的定义域： （1） f ( x)
x 1
（2） g ( x)
1 x 1
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3、判断下列对应是否为函数： （1） x
1 x, x R 2
（2） x y, 其中 y x , x R, y R （3） t s ，其中 s t , t R, s R
2
（4） x y ，其中 y 为不大于 x 的最大整数， x R, y Z
4、求下列函数的定义域： （1） f ( x) 1 3x （2） f ( x) （3） f ( x) 【回标反馈】
1.5
（2） 若购票钱款为输入值，儿童身高 h 为输出值，则 （3）分别说明（1） 、 （2）中的对应是否为“单值对应” 。 2、判断下列对应是否为集合 A 到集合 B 的函数： （1） A 为正实数集， B R ，对于任意的 x A, x x 的算术平方 根； （2） A = 1,2,3,4, 5 ， B = 0,2,4,6, 8，对于任意的 x A, x 2 x 。
高中数学学案：《函数的概念和图象(2)》必修一
2、已知函数 y 2 x x 3 ，分别求它在下列区间上的值域：
2
（1） x R ；
（2） x (0, ) ；
（3） x [1,1]
5、已知函数 f ( x) ax b, 且 f (3) 7, f (5) 1 ，求 f (0), f (1) 的 值.
【回标反馈】
1 1, x (0,) x
例2 已知函数 f ( x) ax b, 且f (1) 4, f (2) 5 。 求：⑴、 a, b 的值；⑵、 f (0) 的值。
例 3 设函数 f ( x) 2 x 1 ，函数 g ( x) 4 x 3 ，求 f [ g ( x)], g[ f ( x)] 。
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3
【巩固练习】 完成伴你学 P20 自我检测第 1－6 题 1、 解：
备
注
2、 解：
3、 解：
4、 解：
5、 解：
6、解：
第 4 页共 4 页
4
5
ห้องสมุดไป่ตู้
备
注
【我的疑问】
第 1 页共 4 页
1
【自主探究】 例1 求下列函数的值域： （1） f ( x) ( x 1) 1, x 1,0,1,2, , 3
2
备
注
（2） f ( x) ( x 1) 1
2
（3） f ( x) x 1, x 1,2 （4） f ( x)
例 4 已知 g ( x)
1 1 x2 x 1, f [ g ( x)] ( x 0) ，求 f (2) 的值。 3 x2
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2
【课堂检测】 1、求下列函数的值域 （1） y x 1, x {2,1,0,1,2}
高中数学《函数图象的变换》教案
高中数学《函数图象的变换》精品教案第一章：函数图象的变换概述1.1 教学目标了解函数图象变换的概念和基本方法。
理解函数图象变换的实质和作用。
1.2 教学内容函数图象的平移变换：水平方向的平移和垂直方向的平移。
函数图象的缩放变换：横向缩放和纵向缩放。
函数图象的旋转变换。
1.3 教学方法采用多媒体演示和实际操作相结合的方式，让学生直观地理解函数图象的变换。
通过例题和练习题，让学生巩固所学内容。
1.4 教学评估通过课堂讲解和练习题，评估学生对函数图象变换概念的理解程度。
通过实际操作和练习题，评估学生对函数图象变换方法的掌握程度。
第二章：函数图象的平移变换2.1 教学目标掌握函数图象的水平方向和垂直方向的平移变换方法。
能够运用平移变换方法改变函数图象的位置。
2.2 教学内容水平方向的平移变换：左加右减的原则。
垂直方向的平移变换：上加下减的原则。
实际操作示例：通过几何画板或函数图象软件，演示函数图象的平移变换过程。
2.3 教学方法通过多媒体演示和实际操作，让学生直观地理解函数图象的平移变换方法。
通过例题和练习题，让学生巩固所学内容。
2.4 教学评估通过课堂讲解和练习题，评估学生对函数图象平移变换方法的理解程度。
通过实际操作和练习题，评估学生对函数图象平移变换的掌握程度。
第三章：函数图象的缩放变换3.1 教学目标掌握函数图象的横向缩放和纵向缩放变换方法。
能够运用缩放变换方法改变函数图象的大小。
3.2 教学内容横向缩放变换：横坐标的乘以一个非零常数。
纵向缩放变换：纵坐标的乘以一个非零常数。
实际操作示例：通过几何画板或函数图象软件，演示函数图象的缩放变换过程。
3.3 教学方法通过多媒体演示和实际操作，让学生直观地理解函数图象的缩放变换方法。
通过例题和练习题，让学生巩固所学内容。
3.4 教学评估通过课堂讲解和练习题，评估学生对函数图象缩放变换方法的理解程度。
通过实际操作和练习题，评估学生对函数图象缩放变换的掌握程度。
北师大高中数学必修第一册学案：第5章 5.6 第2课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
第2课时 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象及性质的应用类型1 “五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 【例1】 已知函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈R.(1)用“五点法”作出它在一个周期内的简图；(2)该函数的图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ [解] (1)列表：(2)函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的12倍，得到函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．1．“五点法”作图的实质利用“五点法”作函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象．2．用“五点法”作函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象的步骤 第一步：列表．第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．[跟进训练]1．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．[解] f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表如下．图象如图．类型2 求三角函数的解析式【例2】 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的一部分，求此函数的解析式．借助函数图象你能发现哪些信息？参数A 、ω、φ的求解分别与哪些信息相关？[解] 法一：(逐一定参法) 由图象知A ＝3, T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2， ∴y ＝3sin(2x ＋φ)．∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0在函数图象上，∴－π6×2＋φ＝0＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝π3， ∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.法二：(五点对应法)由图象知A ＝3. ∵图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0，∴⎩⎪⎨⎪⎧πω3＋φ＝π，5πω6＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3.∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.法三：(图象变换法)由A ＝3，T ＝π，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0在图象上，可知函数图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得， ∴y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.给出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一部分，确定A ，ω，φ的方法(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A 和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx ＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx ＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，选取最小值点时代入公式ωx ＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z .(2) 五点对应法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A ，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y ＝A sin ωx ，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．[跟进训练]|φ|＜π22．(1)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋BA ＞0，ω＞0，的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4＋4B ．y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋4C ．y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4＋2D ．y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋2 (2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，求f (x )的解析式．(1)A [由函数f (x )的最大值和最小值得A ＋B ＝6，－A ＋B ＝2，所以A ＝2，B ＝4， 函数f (x )的周期为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫－π2×4＝4π，又ω＞0， 所以ω＝12，又因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，6在函数f (x )的图象上．所以6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π2＋φ＋4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，所以π4＋φ＝2k π，k ∈Z ，所以φ＝2k π－π4，k ∈Z ，又|φ|＜π2， 所以φ＝－π4，所以f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4＋4.](2)[解] 由最低点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2.在x 轴上两相邻交点之间的距离为π2，故T 2＝π2， 即T ＝π，ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1， 故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.类型3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的综合应用【例3】 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0≤φ<π)是R 上的偶函数，其图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，求φ和ω的值．[解] ∵f (x )在R 上是偶函数，∴当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值， 即sin φ＝±1，得φ＝k π＋π2，k ∈Z . 又0≤φ<π，∴φ＝π2.由f (x )的图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，可知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4ω＋π2＝0，解得ω＝43k －23，k ∈Z .又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数，∴T ≥π，即2πω≥π，∴0<ω≤2，∴当k ＝1时，ω＝23；当k ＝2时，ω＝2. 综上，φ＝π2，ω＝23或2.将本例中“偶”改为“奇”，“其图象关于点M 3π4，0对称，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调函数”改为“在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2上为增函数”，试求ω的最大值．[解] 因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝sin φ＝0，又0≤φ＜π，所以φ＝0. 因为f (x )＝sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω上是增函数．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω，于是⎩⎪⎨⎪⎧ω＞0，－3π2≥－π2ωπ2≤π2ω，，解得0＜ω≤13，所以ω的最大值为13.研究函数y ＝A sin(ωx ＋φ)性质的基本策略(1)首先将所给函数的解析式转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式． (2)熟记正弦函数y ＝sin x 的图象与基本性质． (3)充分利用整体代换思想解决问题．(4)熟记有关函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、对称性、单调性的重要结论．[跟进训练]3．(多选)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，以下命题中为真命题的是( )A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称 B ．x ＝－π6是函数f (x )的一个零点C ．函数f (x )的图象可由g (x )＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度得到D ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上是增函数ABD [令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π12，即函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，选项A 正确；令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π6，即x ＝－π6是函数f (x )的一个零点，选项B 正确；2x ＋π3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，故函数f (x )的图象可由g (x )＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度得到，选项C 错误；若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，则2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上是增函数，选项D 正确．故选ABD.]1．已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6(A ＞0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，则A 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．82．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图象如图所示，如果A >0，ω>0，|φ|<π2，则( )A ．A ＝4B ．ω＝1C ．φ＝π6 D ．B ＝43．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x ＝π3对称；(3)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增”的一个函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π64．某同学用“五点法”画函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的简图时，列表如下：5．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)图象的一条对称轴是直线x＝π6，则φ的值为__________．1．求函数y＝A sin(ωx＋φ)的解析式中的“φ”的方法有哪些？[提示](1)把图象上的一个已知点的坐标代入来求．(2)寻找“五点作图法”中的某一个点来求，具体如下：利用“第一点”时，令ωx＋φ＝0；利用“第二点”(即图象的“峰点”)时，令ωx＋φ＝π2；利用“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时，令ωx＋φ＝π；利用“第四点”(即图象的“谷点”)时，令ωx＋φ＝3π2；利用“第五点”时，令ωx＋φ＝2π.注意：要观察题目所给图象是否适合用“五点作图法”．2．在研究函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)性质时，常采用什么方法？[提示]采用“换元”法整体代换，将(ωx＋φ)看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，借助y＝A sin z的性质求解．。
高中数学《函数图象的变换》教案
一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解函数图象的平移变换和伸缩变换规律；（2）能够运用变换规律对给定的函数图象进行变换；（3）掌握函数图象的变换在实际问题中的应用。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳函数图象的变换规律，培养学生的抽象思维能力；（2）利用数形结合的方法，让学生体会数学与实际生活的联系。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）函数图象的平移变换和伸缩变换规律；（2）运用变换规律对函数图象进行变换。
2. 教学难点：（1）理解函数图象的平移变换和伸缩变换规律的推导过程；（2）灵活运用变换规律解决实际问题。
三、教学过程：1. 导入新课：（1）复习旧知识：回顾上一节课所学的函数图象的基本概念；（2）提出问题：如何对已知的函数图象进行变换？2. 知识讲解：（1）讲解函数图象的平移变换规律；（2）讲解函数图象的伸缩变换规律；（3）举例说明变换规律的应用。
3. 课堂练习：（1）让学生独立完成课本上的练习题；（2）挑选几名学生上黑板演示变换过程。
四、课后作业：1. 完成课后练习题；2. 选取一个实际问题，运用所学函数图象的变换规律进行解决。
五、教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握函数图象的平移变换和伸缩变换规律，并能够运用这些规律对给定的函数图象进行变换。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生的学习兴趣和自信心。
要注重培养学生的抽象思维能力和实际应用能力，提高学生解决实际问题的能力。
六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况以及练习题的完成情况，了解学生的学习状态。
2. 作业评价：检查学生课后作业的完成质量，评估学生对课堂所学知识的理解和运用能力。
3. 成果展示评价：挑选几名学生展示他们解决问题的成果，评估学生的创新能力和团队合作精神。
苏教版必修1高中数学函数的概念和图象 学案
函数的概念和图象 学案重难点：在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f （x ）”的含义，掌握函数定义域与值域的求法； 函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数；函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解． 考纲要求：①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；③了解简单的分段函数，并能简单应用；经典例题：设函数f （x ）的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域：（1）H （x ）=f （x2+1）；（2）G （x ）=f （x+m ）+f （x －m ）（m ＞0）.当堂练习：1． 下列四组函数中,表示同一函数的是（ ）A ．(),()f x x g x ==B ．2(),()f x x g x ==C ．21(),()11x f x g x x x -==+- D ．()()f x g x == 2．函数()y f x =的图象与直线x a =交点的个数为（ ）A ．必有一个B ．1个或2个C ．至多一个D ．可能2个以上3．已知函数1()1f x x =+，则函数[()]f f x 的定义域是（ ）A ．{}1x x ≠B ．{}2x x ≠-C ．{}1,2x x ≠--D ．{}1,2x x ≠-4．函数1()1(1)f x x x =--的值域是（ ） A ．5[,)4+∞ B ．5(,]4-∞ C ． 4[,)3+∞ D ．4(,]3-∞ 5．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：1l 表示产品各年年产量的变化规律；2l 表示产品各年的销售情况．下列叙述： （ ）（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是( )A ．（1），（2），（3）B ．（1），（3），（4）C ．（2），（4）D ．（2），（3）6．在对应法则,,,x y y x b x R y R →=+∈∈中,若25→,则2-→ ，→6．7．函数()f x 对任何x R +∈恒有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，已知(8)3f =，则)f = ．8．规定记号“∆”表示一种运算，即a b a b a b R +∆=+∈，、. 若13k ∆=，则函数()f x k x =∆的值域是___________．9．已知二次函数f(x)同时满足条件： (1) 对称轴是x=1； (2) f(x)的最大值为15；(3) f(x)的两根立方和等于17．则f(x)的解析式是 ．10．函数2522y x x =-+的值域是 ．11． 求下列函数的定义域 ： (1)()121xf x x =-- (2)0(1)()x f x x x +=-12．求函数y x =13．已知f(x)=x2+4x+3，求f(x)在区间[t,t+1]上的最小值g(t)和最大值h(t)．14．在边长为2的正方形ABCD的边上有动点M，从点B开始，沿折线BCDA向A点运动，设M点运动的距离为x，△ABM的面积为S．（1）求函数S=的解析式、定义域和值域；（2）求f[f(3)]的值．。
全国名校高三数学优质学案汇编(附详解)专题函数的图象
答案 D 与曲线y=ex关于y轴对称的图象对应的解析式为y=e-x,将函数
y=e-x的图象向左平移1个单位长度即得y=f(x)的图象,∴f(x)=e-(x+1)=e-x-1,故
选D.
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3.甲、乙二人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑 步,乙先跑步到中点再改为骑自行车,最后两人同时到达B地.已知甲骑 车比乙骑车的速度快,且两人骑车速度均大于跑步速度.现将两人离开A 地的距离S与所用时间t的函数关系用图象表示,则下列给出的四个函数 图象中,甲、乙的图象应该是 ( B )
考点突破
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Hale Waihona Puke 方法技巧 函数图象的常见画法: (1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时,就 可根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出图象. (2)转化法:含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数 来画图象. (3)图象变换法:若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸 缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作出.
x 2 2 x 1( x 0), (2)y= 2 的图象如图②. x 2 x 1( x 0) x2 3 3 (3)y= =1+ ,先作出y= 的图象, x 1 x 1 x
将其图象向右平移1个单位,
再向上平移1个单位,
x2 即得y= 的图象,如图③. x 1
教材研读
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与函数图象的对称变换相关的结论 (1)与y=f(x)的图象关于直线y=x对称的图象是函数y=f-1(x)的图象(y=f-1(x) 表示y=f(x)的反函数). (2)与y=f(x)的图象关于直线x=m对称的图象是函数y=f(2m-x)的图象. (3)与y=f(x)的图象关于直线y=n对称的图象是函数y=2n-f(x)的图象. (4)与y=f(x)的图象关于点(a,b)对称的图象是函数y=2b-f(2a-x)的图象.
高中数学函数的图像变换教学案
象相同； 当 f ( x) 0 时，函数 y | f ( x) |的图象与函数 y f ( x)( f ( x) 0) 的图象关于 x 轴
对称 ．
因此：函数 y | f ( x) |的图象可由函数 y f (x) 的图象变换得到，即 y f ( x) 在 x 轴
上方的图象不变，在 x 轴下方的图象作关于 x 轴对称的图象后，就得到 y | f ( x) |的 图象 ．
四、 回顾反思 本节课我们主要研究了函数图象的对称变换，要求我们能根据变换作出函数的图
象，从而研究函数的性质，同样要注意“数形结合”的数学思想 ． 课后作业 1、作出下列函数的图象： ⑴ y x3 x ； ⑵ y | x 1| 2 | x 3| ；⑶ y |2 x 2 5x 3| ．
|x|
2、写出下列函数的单调区间：⑴ y | 2 x x2 |； ⑵ y 2 | x | x2 ．
2． 1．4 函数的图像变换
教学目标 1．会根据解析式画出函数的图象； 2．能通过比较函数的图象掌握函数图象的变换（对称变换） ；． 教学重点与难点
本节课的重点是根据解析式画出函数图象，教学难点 是函数图象的变换 ． 一、 问题情景
函数的解析式与函数的图象从“数”与“形”两方面体现函数的基本问题，是 研究函数性质的主要方面，我们要能够根据函数的解析式作出函数的图象，通过解析 式的关系研究图象的变换，同时也要能够通过图象来确定函数解析式 ． 二、 学生活动、建构数学
因此：函数 y f (| x |) 的图象可由函数 y f ( x) 的图象变换得到， 即 y f (x) 在 y 轴
右方的图象不变，再在 y 轴左方作出 y f ( x)( x 0) 关于 y 轴对称的图象，就得到
y f (| x |) 的图象 ．
高中函数图像变换教学设计
高中函数图像变换教学设计引言：函数图像变换是高中数学中的重要内容，它对于学生理解函数的性质和掌握函数图像的基本形态具有至关重要的作用。
本文将从教学设计的角度，探讨如何有效地教授高中函数图像变换的知识和技巧，以提高学生的学习成效。
一、教学目标本节课的教学目标设定如下：1. 学生能够理解函数图像的平移、伸缩、翻折和对称性变换。
2. 学生能够利用函数的一般式进行图像的变换和绘制。
3. 学生能够运用图像变换的知识解决实际问题。
二、教学内容本节课的教学内容包括以下几个方面：1. 函数图像的平移变换：横向平移和纵向平移。
2. 函数图像的伸缩变换：横向伸缩和纵向伸缩。
3. 函数图像的翻折变换：关于x轴的翻折和关于y轴的翻折。
4. 函数图像的对称性变换：关于原点的对称和关于其他点的对称。
5. 利用函数的一般式进行图像变换和绘制。
6. 运用图像变换的知识解决实际问题。
三、教学过程为了达到教学目标，本节课的教学过程分为以下几个环节：1. 激发兴趣：通过展示一些有趣的函数图像变换的实例，引导学生思考函数图像变换的规律和性质，激发他们的学习兴趣。
2. 知识授予：介绍函数图像的平移变换、伸缩变换、翻折变换和对称性变换的概念和基本性质，并通过实例进行详细讲解和演示。
3. 练习巩固：设计一些练习题，让学生通过计算和图像绘制来巩固所学知识，并及时给予反馈和指导。
4. 运用实际：设计一些与实际问题相关的图像变换的应用题，让学生将所学知识应用到实际情境中，培养他们的问题解决能力和创新思维。
5. 总结归纳：对本节课所学内容进行总结，并引导学生发现知识之间的联系和共性，并指导他们如何将图像变换的知识与函数性质相结合。
6. 作业布置：留下一些作业题，让学生独立完成，将所学知识运用到实际问题中，以检验他们的学习效果。
四、教学评估为了评估学生的学习情况，可以采用以下几种方式进行评估：1. 提问评估：在课堂上提出一些与图像变换相关的问题，让学生逐个回答，以检验他们对知识的理解程度。
高中数学函数趣味图像教案
高中数学函数趣味图像教案
一、教学目标：
1. 理解数学函数的概念及其图像表现形式；
2. 掌握常见函数的图像特点；
3. 通过绘制有趣的函数图像，激发学生对数学的兴趣。
二、教学内容：
1. 函数的概念及性质；
2. 常见函数的图像特点；
3. 有趣的函数图像绘制。
三、教学重点：
1. 函数的定义和性质；
2. 常见函数的图像特点；
3. 如何通过绘制函数图像来展示数学知识。
四、教学步骤：
1. 引入：通过展示一些有趣的函数图像，引起学生对数学函数图像的兴趣。
2. 理论讲解：介绍函数的定义、性质，常见函数（线性函数、二次函数、三角函数等）的
图像特点。
3. 练习：让学生尝试绘制一些简单函数的图像，并分析其特点。
4. 拓展：让学生尝试绘制一些有趣的函数图像，如心形函数、螺旋函数等，并分析其特点。
5. 总结：回顾本节课学习的内容，总结函数图像的特点。
六、作业布置：
1. 练习绘制常见函数的图像；
2. 尝试绘制一个有趣的函数图像，并写出对应的函数表达式。
七、拓展阅读：
1. 《高中数学函数图像绘制技巧》
2. 《数学函数图像的奥秘》
八、教学反馈：
根据学生的作业表现和课堂表现，及时给予反馈和指导，帮助学生提高数学函数图像绘制的能力。
高中数学图像变化规律教案
高中数学图像变化规律教案一、教学目标1. 理解函数图像变化的基本概念，包括平移、伸缩、对称等。
2. 掌握常见函数图像的特点及其变化规律。
3. 能够根据函数表达式判断图像的变化类型。
4. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
二、教学内容与过程1. 引入新课- 通过展示几个典型的函数图像，让学生观察它们的特点。
- 提问：这些图像有哪些共同点和不同点？它们是如何变化的？- 引出本节课的主题：函数图像的变化规律。
2. 讲授新知- 平移规律：解释水平平移和垂直平移的概念，举例说明平移对函数图像的影响。
- 伸缩规律：讲解横向伸缩和纵向伸缩的区别，以及它们对图像的具体影响。
- 对称规律：介绍轴对称和中心对称的概念，并通过实例加深理解。
3. 案例分析- 选取几个具有代表性的例子，如线性函数、二次函数等，分析它们的图像变化规律。
- 引导学生通过观察和比较，总结出图像变化的一般规律。
4. 互动探究- 分组讨论：给出几个函数表达式，让学生尝试预测它们的图像变化。
- 实际操作：使用数学软件或图纸，让学生绘制出这些函数的图像，验证自己的预测。
5. 总结归纳- 回顾本节课所学的内容，强调每种变化规律的特点。
- 提示学生如何在实际问题中应用这些规律。
6. 布置作业- 提供几个练习题，要求学生独立完成，以巩固所学知识。
- 鼓励学生在生活中寻找相关现象，加深对函数图像变化规律的理解。
三、教学方法与手段- 采用启发式教学，激发学生的思考兴趣。
- 结合多媒体教学工具，直观展示图像变化过程。
- 通过实际操作和讨论，增强学生的参与感和实践能力。
四、评价方式- 课堂提问，检验学生对知识点的掌握情况。
- 作业批改，了解学生的学习效果和存在的问题。
- 定期测试，全面评估学生的学习成果。
高中物理函数与图像教案
高中物理函数与图像教案教学内容：函数与图像教学目标：通过本节课的教学，学生能够理解函数与图像的相关概念，能够正确地画出给定函数的图像，并能够进行简单的函数图像分析。
教学重点与难点：函数与图像的关系、函数图像的基本性质、函数图像分析方法。
教学准备：教师准备好课件、黑板、彩色粉笔、课本等教学工具。
教学步骤：一、导入教师将函数与图像的相关概念介绍给学生，让学生了解函数与图像之间的关系，并起到导入本节课内容的作用。
二、讲解1. 介绍函数的定义及常见函数的图像形状，如直线、抛物线、正弦曲线等。
2. 讲解函数的图像的基本性质，如对称性、单调性、周期性等。
3. 讲解函数图像的绘制方法，如通过函数的性质来确定图像的形状、方向等。
三、实践1. 教师示范如何根据函数的表达式来绘制函数的图像。
2. 学生跟着教师的示范，练习画出给定函数的图像，并进行简单的函数图像分析。
四、练习与讨论1. 学生进行练习，画出给定函数的图像，并进行图像分析。
2. 学生互相交流、讨论自己所画函数图像的特点及问题，并从中学习。
五、总结与拓展1. 教师对本节课的重点内容进行总结，强调函数与图像的相关概念及函数图像的基本性质。
2. 引导学生自主拓展学习，如通过查阅相关资料，了解更多函数与图像的知识。
六、作业布置布置作业：要求学生练习画出更多函数的图像，并进行函数图像分析。
教学反思：本节课通过引导学生了解函数与图像的关系，讲解函数图像的基本性质，让学生通过实践来练习画图并进行图像分析，达到了教学目标。
在今后的教学中，可以适当增加一些生动有趣的例题，引导学生主动思考和探究，提高他们的学习兴趣和能力。
高中数学必修一《函数的图象与简单变换》教学设计
《函数的图象与简单变换》教学设计一、教学目标：1．掌握基本初等函数的图象特征，学会运用函数的图象理解和研究函数的性质；2．掌握画函数图象的两种基本方法：描点法和图象变换法．3.掌握图像的四种变换：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换二、教学重难点：1、会画一些简单的函数图像2、掌握函数图像的平移，对称变换的规律。
三、教学过程：（一）平移变换：①y=f(x) →y ＝f(x ±a)(a>0)图象 横向 平移a 个单位，（左+右—）.②y=f(x) →y ＝f(x)±b(b>0)图象 纵向 平移b 个单位，(上+下—)问题思考：1、如何由函数的图像得到函数 的图像 2、如何由函数 的图像作出函数 的图像？ （二）对称变换问题探究I在同一坐标系下作出函数 与2和2x x y y 的图像，观察函数图像的特征，你能得出什么结论？（演示幻灯片）①y=f(x) →y=f(－x)图象关于 y 轴 对称; 若f(－x)=f(x),则函数自身的图象关于y 轴对称.②y=f(x) →y=－f(x)图象关于x 轴 对称.③y=f(x) →y=－f(－x)图象关于原点 对称; 若f(－x)=－f(x),则函数自身的图象关于原点对称. 13()3xy 3x y 243y x x 243y x x 2x y④y=f(x) →y=f －1(x)图象关于直线y=x 对称.适应练习221.与y x y x 图像关于_____对称。
2.11()2与()2x x f x g x 的图像关于____对称。
问题探究Ⅱ 画出函数222log 与log 和log y x y x y x 的图像。
（3）翻折变换主要有①y=f(x) →y ＝f(|x|)的图象在y 轴右侧(x>0)的部分与y ＝f(x)的图象相同，在y 轴左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称.②y=f(x) →y ＝|f(x)|的图象在x 轴上方部分与y=f(x)的图象相同，其他部分图象为y ＝f(x)图象下方部分关于x 轴的对称图形.适应练习Ⅱ分别作出下列函数的图像：1.四、实例讲解例1、作出下列函数的图像，并指出函数的定义域、值域、奇偶性、单调性 例2：求关于x 的方程 的不同实根的个数五、抽像概括1、图像变换法：（1）对称变换法 （2）翻折变换法2、用图像变换法画函数图像时，往往要找出该函数的基本初等函数，分析其通过怎样变换得到所求函数图像，有时要先对解析式进行适当变形。
函数的图象学案(一轮市公开课)
§2.5 《函数的图象》导学案日照市五莲中学 何 允一、学习目标：1.掌握函数图象的基本变换。
2.能利用函数的图象研究函数的性质。
二、重点、难点：重点：作图→识图→用图难点：函数图象的应用 三、学习过程（一）作 图 1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 2．图象变换 (1)平移变换 (2)对称变换1.函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于_______对称。
2.函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于_______对称。
3.函数y=f(x)与函数y=-f(-x)的图象关于_______对称。
4.函数y=f(x)与函数y=f(2a-x)的图象关于_______对称。
5.函数y=f(x)与其反函数的图象关于_______对称。
（3）翻折变换y ＝f (x )――――――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图像翻折到左边去y ＝f (|x |)；y ＝f (x )――――――――――――→留下x 轴上方图将x 轴下方图翻折上去y ＝|f (x )|.(4)伸缩变换y ＝f (x )10111ωωωω<<>，伸原的倍，短原的长为来缩为来 ；y ＝f (x )10111ωωωω<<>，伸原的倍，短原的长为来缩为来 ；例1 分别画出下列函数的图象： (1)y ＝22 - x ； (2) y ＝x 2－2|x |－1;作出下列函数的图象．(1)y ＝sin |x |； (2).y ＝x ＋2x －1.（二） 识 图例2 (1)(2013·四川)函数y ＝x 33x －1的图象大致是( )（三） 用 图例3 当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A ．(0，22) B ．(22，1) C ．(1，2)D ．(2，2)跟踪训练3：若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是()A ．多于4个B ．4个C ．3个D ．2个跟踪训练2(2012·山东)函数y ＝cos6x2x －2－x的图像大致为( )（2） 函数y ＝x ＋cos x 的大致图像是()课后诊断性检测一、选择题1．函数y ＝ln(1－x )的大致图象为( )2．为了得到函数y ＝lgx ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点 ( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 3．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．[－1,0)C ．(－2,0)D ．[－2,0)4．已知f (x )＝(13)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥2，(x －1)3， x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________． 6．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．。
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高中数学学案:函数的图象与简单变换
1. 掌握基本初等函数的图象特征,学会运用函数的图象理解和研究函数的性质．
2. 掌握画函数图象的两种基本方法:描点法和图象变换法．
3. 掌握图象的四种变换:平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换.
1. 用描点法画图的基本步骤是什么？所描点的横坐标、纵坐标的含义分别是什么？怎样从函数图象上观察得到函数的一些性质,如:定义域、值域、最值、单调性、对称性等？
2. 完成必修1第111页复习题第11、12题．
3. 若函数y＝f(x)的图象如左图所示,请说明①②③④四个图与原图的关系,并用数学符号表示.
①②③④
基础诊断
1. 为了得到函数y＝lg x＋3
10的图象,只需把函数y＝lg x的图象上所有的点向__左__(填“左”
或“右”)平移__3__个单位长度,再向__下__(填“上”或“下”)平移__1__个单位长度．
解析:因为y＝lg x＋3
10＝lg(x＋3)－lg10＝lg(x＋3)－1,所以只需把函数y＝lg x的图象上所有
的点向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度．
2. 已知y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图,则函数f(x)＝f(x)g(x)的图象可以是__①__．(填序号)
①②
③ ④
解析:根据f(x)和g(x)的图象,可得g(x)在x ＝0处无意义,所以函数f(x)＝f(x)g(x)在x ＝0处无意义；因为f(x)与g(x)都为奇函数,所以函数f(x)＝f(x)g(x)是偶函数,故排除④；当x 取很小的正数时,f(x)<0,g(x)>0,所以f(x)g(x)<0,故①符合要求．
3. 已知偶函数f(x)(x ∈R)满足f (－4)＝f (1)＝0,且在区间[0,3]和(3,＋∞)上分别单调递减和单调递增,则不等式xf (x )<0的解集为__(1,4)∪(－1,0)∪(－∞,－4)__．
解析:因为定义在R 上的偶函数f (x )满足f (－4)＝f (1)＝0,所以函数f (x )的图象关于y 轴对称,且f (4)＝f (1)＝f (－1)＝f (－4)＝0,则由函数在区间[0,3]和(3,＋∞)上分别单调递减和单调递增,不
等式xf (x )<0,可得⎩⎨⎧x >0，f （x ）<0或⎩⎨⎧x <0，f （x ）>0，
解得1<x <4或－1<x <0或x <－4,故所求不等式的解集为(1,4)∪(－1,0)∪(－∞,－4)．
4. 已知图1是函数y ＝f(x)的图象,则图2中的图象对应的函数可能是__③__．(填序号)
图1
图2
①y ＝f(|x|)； ②y ＝|f(x)|；
③y ＝f(－|x|)； ④y ＝－f(－|x|)． 解析:由图2可知,对应的函数为偶函数,所以②错误,且当x>0时,对应的是f(－x),显然①④不正确,故填③.
范例导航
考向❶ 根据变换写出函数解析式
例1 将下列变换的结果填在横线上:
(1) 将函数y ＝3－x 的图象向右平移2个单位长度,得到函数__y ＝3－x ＋2__的图象；
(2) 将函数y ＝tan |x|的图象向右平移3个单位长度,得到函数__y ＝tan |x －3|__的图象．
(1) 将函数y ＝log 2(3x －1)的图象向左平移2个单位长度,得到函数__y ＝log 2(3x ＋5)__的图
象；
(2) 将函数y ＝(x －2)3的图象上各点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变),得到函数__y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －23__的图象. 考向❷ 利用图象变换作函数图象
例2 作出下列函数的图象:
(1) y ＝x ＋2x ＋1
； (2) y ＝|log 2x|； (3) y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x|； (4) y ＝log 2|x －2|. 解析:(1) (2) (3) (4)
已知函数f(x)＝
x 1＋x . (1) 画出f(x)的大致图象；
(2) 指出f(x)的单调区间,并结合图象,指出不等式f(x)<2的解集．
解析:(1) f(x)的图象如图所示:
(2) 由图可知单调增区间为(－∞,－1),(－1,＋∞)；不等式f(x)<2的解集为(－∞,－2)∪(－1,＋∞).
考向❸ 函数图象变换的应用
例3 已知函数y ＝f(x)是周期为2的周期函数,且当x ∈[－1,1]时,f(x)＝3|x|－2,则函数f(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是__10__．
解析:f(x)＝f(x)－|lg x|的零点,即为y 1＝|lg x|,y 2＝f(x)的图象的交点．因为函数y ＝f(x)是周期为2的周期函数,且当x ∈[－1,1]时,f(x)＝3|x|－2,在同一坐标系中画出y 1＝|lg x|,y 2＝f(x)的图象,当x ＝11时,f(11)＝1,g(11)＝lg 11>1,由图可知,函数y 1＝|lg x|,y 2＝f(x)的图象共有10个交点,故函数F(x)＝f(x)－|lg x|有10个零点．
自测反馈
1. 将函数y ＝f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的13(纵坐标不变),再将此图象沿x 轴方
向向左平移2个单位长度,所得图象对应的函数为__y ＝f(3x ＋6)__．
解析:函数y ＝f(x)的图象所有点的横坐标变为原来的13(纵坐标不变),得到的函数为y ＝f(3x),
再将此图象沿x 轴方向向左平移2个单位长度得到函数为y ＝f[3(x ＋2)]＝f(3x ＋6),故所得图象对应的函数为y ＝f(3x ＋6)．
2. 若0<a<1,则函数y ＝log a (x ＋5)不经过第__一__象限．
解析:函数log a (x ＋5)的图象可以看作函数y ＝log a x 的图象向左平移5个单位长度得到的,由0<a<1,知函数y ＝log a x 的图象过第一、四象限且单调递减,与x 轴交于点(1,0),故函数y ＝log a (x ＋5)的图象也单调递减,且过点(－4,0),由此图象特征知,函数y ＝log a (x ＋5)的图象不经过第一象限．
3. 若函数y ＝log 2(x ＋1)的图象与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称,则函数f(x)的表达式是__y ＝log 2(3－x)__．
解析:因为与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称的函数为y ＝f(2－x)．又因为函数y ＝log 2(x ＋1)的图象与y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称,所以f(2－x)＝log 2(x ＋1),设t ＝2－x,则x ＝2－t,所以f(t)＝log 2(2－t ＋1)＝log 2(3－t),故函数f(x)的表达式是f(x)＝log 2(3－x)．
4. 已知函数f(x)＝⎩
⎨⎧x 2＋x ，x<0，－x 2， x ≥0，若f(f(a))≤2,则实数a 的取值范围是． 解析:当a ≥0时,f(a)＝－a 2≤0,故f(f(a))＝f(－a 2)＝a 4－a 2≤2,解得0≤a ≤2；当－1<a<0时,f(a)＝a 2＋a ＝a(a ＋1)<0,则f(f(a))＝f(a 2＋a)＝(a 2＋a)2＋(a 2＋a)≤2,即(a 2＋a)2＋(a 2＋a)－2≤0,所以－2≤a 2＋a ≤1,解得－1＋52≤a ≤－1＋52
,所以－1<a<0；当a ≤－1时,f(a)＝a 2＋a ＝a(a ＋
1)≥0,则f(f(a))＝f(a2＋a)＝－(a2＋a)2≤2,得a∈R,所以a≤－1.
综上,实数a的取值范围是(－∞,2]．
1. 熟悉奇(偶)函数的图象特点,灵活运用奇(偶)函数的性质解题．
2. 必须对基本初等函数的图象了然于胸,达到“自动化”的程度,这是画函数图象的基础,复杂函数的图象都要由这些函数的图象通过变换得到.
3. 你还有哪些体悟,写下来:。