2-2随机变量及其分布律(精)

几何分布
伯努里试验中, 事件A发生的概率P(A)=p. 记X为事件A首次发生
时已试验的次数, 则X服从几何分布. 记作: X : Ge(p)
分布律：
P{X=k}=P( A{...A A) =P(A)...P(A)=(1-p)k-1p
举例：
k-1
k 1,2,...
(1)某产品不合格率0.1，则首次查到不合格品的检查次数X~Ge(0.1).
举例：（1）随机抽取医院一产婴是否为男婴。
（2）工厂随机抽取一产品是否合格。 （3）掷骰子一次是否出现6点。
0 X=X(e)= 1
e e1 (女婴,不合格,非6点) e e1 (男婴,合格, 6点)
二项分布
（1）n重伯努里试验：
随机试验E的结果只有两个: A, A, 则称试验E为伯努里试验. 独立地重复进行n次伯努里试验E, n重伯努里试验.
pk p1 p2 ... pk ...
b.公式法 (列出X取一般项xk的概率pk计算公式(k=1,2,...).
P{X=xk } pk (k 1, 2, ..., )
c.图示法 线条图，概率直方图
例1(P33) 一批产品的废品率为5%，从中任意抽取一个进行
检验，用随即变量 来描述废品出现的情况。写出的分布。
(2)某射手命中率为0.6，则首次击中目标的射击次数Y~Ge(0.6).
(3)同时掷两骰子，则点数之和首次为8点的投掷数Z~Ge(5/36).
特点：无记忆性: 设X : Ge(p), 则对任意m,n N, 成立
P(X>m+n|X>m)= P(X>n)
即前m次试验中A没有出现条件下，则在接下来n次试验中A仍 未出现的概率只与n有关，而以前的m次试验无关.
（2）二项分布
n重伯努里试验中, 每次试验中事件A发生的概率P(A)=p, 记X为n次试验中A发生的次数, 则X所服从的分布称为二项分布.表示为: X : b(n,p)
例 设射手每次击中目标的概率p=0.75, 且各次射击相互独立。 现共射击4次，以X表示击中目标的次数。（1）写出X的分布律； （2）求恰击中3次的概率；（3）求至少击中2次的概率。
矩形宽度代表分组个数，高度代表落在该区间样本的频率 高度越大，相应区间的样本数越多，分布越密集，反之亦然 分组越多，则频率直方图趋于一光滑曲线：概率密度
说明：
(1) 两个要素: a.所有可能取值xk; b.取各值的概率P{X=xk }=pk .
(2) pk满足两个条件: a. pk 0 (k=1,2,...)

b. pk 1
k=1
(3) 分布律表示方法: a.列举法 (列出所有可能取值xk及其概率pk (k=1,2,...).
X x1 x2 ... xk ...
超几何分布
设N个产品中有M个次品, 从中不放回地随机任取n个,设X为其中的 次品数.则称X服从超几何分布.记作: X : h(n,N,M)
分布律： X的可能取值为0，1,2,…，min(n,M)。
P{X=k}=
C C k n-k M N-M CnN
举例：
(1 p) p
(k=0,1,2,...,min(n,M))
解 : 定义 A {击中目标}, 伯努利试验.
X的可能取值有:0,1,2,3,4. 显然, X : b(2,0.75)
(1) P ( X k ) C4k (0.75)k (0.25)4k (k 0,1, 2, 3, 4)
(2)P(XLeabharlann 3)
C
3 4
(0.75)3 (0.25)43
P(
X

k)

Ck 400
(0.02)k
(0.98)400k
k=0,1,2,...,400
400
所求概率为: P(X 2)=
C
k 400
(0.02)k
(0.98)400
k
k=2
P(X 2)=1-P(X 0)-P(X 1)
1 0.98400 400* 0.02* 0.98399 0.997
袋中白球5个，黑球10个，任取3个，其中白球个数为X ~h(3,15,5)
二、连续型随机变量及其概率密度
背景:
例子：1、灯泡（电视机）的寿命； 2、股票的收益率等。
特点：1、随机变量的取值充满某个区间，不能一一列出。 2、随机变量取任一值的概率为0，即P(X=x)=0。
用直方图近似正态分布的概率密度演示
第二节 随机变量及其分布函数
主要内容（1.5学时）
一、离散型随机变量的分布律； 二、连续型随机变量及其概率密度 ; 三、分布函数
一、离散型随机变量的分布律
设X为离散型随机变量, 则X的所有可能取值xk (k 1, 2, ..., ), 及取各个 可能值的概率P{X=xk } pk (k 1, 2, ..., ), 称为离散型X的分布律.
=0.422
(3) P ( X 2 ) 1 P ( X 2 ) 1 P ( X 0 ) P ( X 1)
1 (0.25)4 C41(0.75)1(0.25)41=0.949
例 某人每次射击命中率为0.02，独立射击400次，试求至 少击中两次的概率。
解: 400重独立重复试验。设X表示400次射击中的击中次数 显然, X ~ b (400, 0.02)
解: 随机变量X取值范围0,1.
=0 表示产品为不合格品 =1 表示产品为合格品
对应的概率值 P( 0)=95% P( 1)=5%
0
1
P 95%
5%
0-1分布（伯努里分布）
随机变量X取值两个：0、1，P(X=1)=p，则分布律为：
列表法： X
0
1
P(X=k) 1-p
p
公式法： P{X k} pk (1 p)1k (k=0,1)
启示：一次试验中概率很小，但在大量重复试验中几乎必然发生
例4(P35) 社会上定期发行某种奖券，每券1元，中奖率为p。 某人每次购买1张奖券，如果没有中奖下次再继续购买一张，
直到中奖为止。求该人购买次数的分布。
解:
=1 表示第一次购买奖券中奖 P( =1) p =2 表示第二次购买奖券中奖 P( =2) (1 p) p .... =i 表示第i次购买奖券中奖 P( =i) (1 p)i1 p