非线性椭圆型方程的nehari流形
非线性临界Kirchhoff型问题的正基态解
2021,41A (3):666-685数学物理学报http: // a ct a 非线性临界Kirchhoff 型问题的正基态解成艺群滕凯民**收稿日期：2020-04-17;修订日期：2020-10-26E-mail: *****************; t *********************基金项目：国家自然科学基金(11501403)、山西省留学回国择优项目(2018)和山西省自然科学基金面上项目(201901D111085)Supported by the NSFC(11501403), the Scientific Activities of Selected Returned Overseas Professionals in Shanxi Province (2018) and the NSF of Shanxi Province(201901D111085)*通讯作者(太原理工大学数学学院 太原030024)摘要：该文研究如下Kirchhoff 型方程(a + b △u + V (x )u = —2 u + s \u \4 u,x e R 3,u e H 1 (R 3),其中a > 0, b> 0,4 <p< 6, V (x ) e L l |c (R 3)是一个给定的非负函数且满足lim V (x ):= 抵•对V (x )给定适当的假设条件，当s 充分小时，证明了基态解的存在性.关键词：Kirchhoff 型方程；临界非线性；基态解.MR(2010)主题分类：35B09; 35J20 中图分类号：O175.2 文献标识码：A 文章编号：1003-3998(2021)03-666-201引言本文研究如下Kirchhoff 型问题(a + b△u + V (x)u = |u |p-2u + s |u |4u, x u > 0, u e H 1 (R 3)(1.1)e R 3,正基态解的存在性，其中a > 0, b> 0,4 <p< 6, s> 0•此外，V (x )是一个非负函数且满足他)：V (x ) e 厶仁(R 3), lim V (x ) = V ^, V (x ) > V 0 > 0 a .e . x e R 3.问题(1.1)与下面方程p 兽-(牛+2L /dudx /(u )(1.2)No.3成艺群等：非线性临界Kirchhoff 型问题的正基态解667对应的稳态相关.1983年，作为经典D'Alembert 波动方程的延伸，Kirchhoff^在研究拉 伸弦的横向振动，特别是考虑到横向振动引起的弦的长度变化时首次提出方程(1.2),其中u 表示变量，且当b 与弦的内在属性相关时，b 是外力，a 是初始应变量，如Young's 模.近年来，采用非线性分析的工具和变分方法，许多学者对下列非线性Kirchhoff 型方程G H X (R 3)|V u |2d x)△u + V (x)u = /(x, u), x G R 3,(1.3)进行了大量的研究，建立了基态解，束缚态解和半经典态解等的存在性和多重性.例如：当 V (x ) := C 时，Xu 和Chen [2]证明了方程(1.3)具有径向基态解，其中/(x, u )满足临界 Berestycki-Lions 型条件.当C = 0时，问题(1.3)可简化为如下方程|V u |2d x)△u = /(x, u ), x G R 3,u G H X (R 3),(1.4)Liu 和Guo [3〕研究了临界增长中具有一般非线性的问题(1.4)的基态解的存在性•当(1.4)式 中 /(x,u ) = g (x )|u |2*-2u + Xh(x)|u|q -^u 时，Li [4]通过 Nehari 法和变分法得到了问题(1.4) 的正基态解的存在性.有关问题(1.4)基态解的更多结果，参看文献[5-7].关于基态解的研究方面，最近，Li 和YeB ]假设V (x )满足以下假设.(i) V (x ) G C (R 3, R )弱可微且满足(V V (x ),x ) G L TO (R 3) U L 3 (R 3)和V (x ) — 2(V V (x ), x ) > 0 a .e . x G R 3;(ii) 对任意的x G R 3,V (x ) < liminf V (y ) := % <十^且其在Lebesgue 正测度的子集 中是严格的；(iii) 存在C > 0使得0= inf u E H 1 (R 3\{0})J r 3 |V u |2 十 V (x )|u |2JR3 |u |2> 0,采用单调性技巧，Pohozaev-Nehari 流形和全局紧性引理证明了当/(x,u ) = |u |p -1u , 2 < p < 5时问题(1.3)正基态解的存在性.Wu [9]利用Pohozaev 流形证明了问题(1.3)存在正 基态解•当/(x,u )在无穷远是次临界且在原点附近是超线性的，V (x )满足与上面⑴和 (ii)相似的一些条件时，Guo [10〕用变分方法证明了问题(1.3)存在正基态解•当/(x,u )= K (x )|u |4u + g (x,u )且V (x )满足渐近周期条件时，作者们在文献[11]中证明了问题(1.3)存 在正基态解•当/(x,u )在无穷远是次临界，在原点是超线性的且满足Berestycki-Lions 条件 和位势V (x )满足与上面(i)-(iii)类似的一些条件时，Liu 和Guo [12]利用Jeanjean 建立的 抽象临界点定理和一个新全局紧性弓I 理证明了问题(1.3)至少存在一个基态解.随后，Tang 和Chen [13〕对位势V (x ) G C (R 3, [0, Q)提出一些更强的条件，他们证明了问题(1.3)存在一 个Nehari-Pohozaev 型的基态解.后来，Chen 和Tang [14〕又证明了问题(1.3)存在一个基 态解，其中/(x,u )满足一般的Berestycki-Lions 假设和位势V (x ) G C (R 3, [0, g ))满足类似 文献[13]的条件.YeW 证明了问题(1.3)存在正基态解，其中/(x,u ) = a (x )f (u ) + u 5且 V (x )在无穷远处满足指数阶衰减•当位势V (x )有一个井位势，Sun 和Wu [16l 得到了一类668数学物理学报Vol.41A 如下Kirchhoff型问题基态解的存在性—(a/|V u|2d x+b)△u+AV(x)u=f(x,u),x e R N,'丿R N)u e H1(r n).关于问题(1.3)基态解的更多结果，参看文献[17-26].受上述文献的启发，本文事■虑具有小临界扰动项的问题(1.1)基态解的存在性.与上述文献相比，我们只需求V(x)e r|c(R3)或V(x)可能在局部区域比％大.这是本文主要结果的新奇之处，其方法是基于约束极小化方法•主要的困难在于非局部项J R b|V u|2d x^u的出现，由于R3的无界性以及带有临界扰动项的非线性而缺乏紧性.此外，由于V(x)非径向对称，故不能将问题限制在径向对称Sobolev空间用(便)中，其中H^R3)j L q(R3)(2<s<6)是紧的.为克服这些困难，必须进行更仔细的分析.特别地，对于序列{u…}c H1(R3)且u…在H1(R3)弱收敛于u,将仔细分析J r3|V u”|2d x和J r3|V u|2d x的不同来恢复紧性.若£=0,则问题(1.1)有一个正基态解，显然，当£趋于0时，对于方程(1.1)来说，我们期望这种结果不会改变.本文将试图证明该现象.本文的主要结果如下.定理1.1假设V(x)满足(旳)和V(x)<a.e.x e R3,(1.5)那么存在£0>0,对任意的£e(0,£o),问题(1.1)有一个正基态解.当位势V(x)不满足(1.5)式时，通过考虑下列极限问题的正基态解—(a+b J|V u|2d x)+V^u=|u|p-2u,x e R3,(1.6)u e H1(R3)证明问题(1.1)的基态解的存在性.事实上根据文献[18,27],在相差平移的情形下，方程(1.6)存在唯一的正的径向对称解，记为w.现陈述如下结果.定理1.2假设V(x)满足(V0),如果存在z e R3满足V(x)|w z|2d x</%w2d x,(1.7)R3其中W z(x):=w(x—z),且w是问题(1.6)的正径向基态解.那么对任意小的£，问题(1.1)存在正的基态解.注意到当V(x)三％时，那么对任意z e R3,(1.7)式成立.此篇论文的结构如下.在第2节，将给出一些符号且回忆了一些学过的知识.在第3节，将给出定理1.1和定理1.2的证明.2准备工作不失一般性，假设％=1.在下文中，将使用以下符号.•H1(R3)是Sobolev空间，其内积和范数如下||训2:=/(a|V u|2+u2)d x.JR3No.3成艺群等：非线性临界Kirchhoff 型问题的正基态解669同时，在这里我们将引入一种等价范数||u||V ：= / (a |V u |2 + V (x )u 2)d x.J r 3予实.上/ (a |V u |2 + u 2)d x < C (a |V u |2 + V (x )u 2)d xJ r 3 — J r 3显然成立.反之,根据(兀)可得，存在R> 0使得当|x | > R 时有V (x ) < 2%,从而有/ (a |V u |2 + V (x )u 2)d x R 3=a |V u |2d x + V (x )u 2d x +V (x )u 2d x J r 3 J\x \>R J\x\<R <a |V u |2d x + 2 / V ^u 2d x 7r 3 J\x \>R+ / ((V (x ))2d x )u 6dx) 3J \x \<R _3 丿< c / (a |V u |2 + u 2)d x.7r 3• D 1，2(R 3)是通常的 Sobolev 空间，其标准范数为 ||u||D ：=(J r 3 |V u |2d x )2.• (O )表示Lebesgue 空间，其中1 < q < g , OC R 3是一个可测集•当O 是R 3的 适当可测子集时，L (O )上的范数为| • |£q (o ).当O = R 3时，其范数为| • |,• c,C i ,C,C i ,…表示一些正常数.问题(1.1)对应的能量泛函是厶:H i (R 3) t R 定义为厶(u )=2(a |V u |2 + V (x )u 2)d x |u |p d x 一； [ |u |6d x.6 J r 3显然, 如下厶G C i (H i (R 3),R )且厶的临界点是问题(1.1)的弱解•问题(1.1)对应的极限方程G H i (R 3),△u + V ^u = |u |p-2u + s |u |4u,x G R 3,(2.1)且其对应的泛函为 —:H i (R 3) t R ,定义如下1 / (a |V u |2 + u 2)d x + -( / |V u |2d x) — - [ |u |p d x —三/ |u |6d x.2 J R34 ' 丿R 3 丿 p J R 3 6 丿R 3与厶具有相同性质的泛函定义如下I (u ) = 1 / (a |V u |2 + V (x )u 2)d x + -( / |V u |2d x) — - [ |u |p d x,2 J r34 ' J r 3 丿 p J r 3I x (u ) = 1 / (a |V u |2 + u 2)d x + [ |V u |2d x) — - [ |u |p d x.2 丿r34 ' J r 3 ) P J r 3定义泛函I ,厶，：和厶心上的Nehari 流形如下N = {u G H 0(R 3)\{0} : I z (u )[u ] = 0}, N = {u G H 0(R 3)\{0} : I ((u )[u ] = 0},N g = {u G H 1(R 3)\{0} : I Q (u )[u ] = 0}, = {u G H 1(R 3)\{0} : I ]；^(u )[u ] = 0}.670数学物理学报Vol.41A 定义m ：= inf Ig 〕 ：= inf /^x . (2.2)N so N e , g 注意到，当£> 0时有m e < m .事实上，设w 满足/g (w ) = m 且存在r e > 0使得r e w e 那么m e < I e ；g (r e w ) < I g (r e w ) < I g (w ) = m. (2.3)弓|理2.1 (i)存在唯一 t u > 0使得t u u eN ,有i (t u u ) = max I (tu ),且u 一 t u 是从H 1(R 3)\{0}到R +的连续映射.若在N g , M 和上分别考虑I g , I 和厶,g ,类似的结论成立.(ii) 对任意的u e M,g ，存在正常数C 〉0使得||训> C> 0,其中C 与£无关.(iii) 对任意的£ e (0,£o ),设u 是约束在M,g 上的厶,g 的极小元，那么存在正常数 C 1 > 0使得|u |p > C 1 > 0,其中C 1与£无关.证 根据标准的讨论，可得⑴成立.(ii)对任意的u e M,g ，由Sobolev 嵌入定理得0 = ||训2 + b |V u |4 — |u |p — £|u |6 > ||u||2 — C 1||u 卩一C 2£||u||6,即||u||2 <C 1||u||p + C 2£||u||6，其中C 1,C 2 > 0与£和U 无关•因此，对任意的£>0,有||训 > C > 0, V u eM ,g(2.4)成立，其中C 是与£和u 无关的正常数.(iii)设u 是厶,g 约束在M,g 上的极小元，可得I £,g (u ) = 4ll u ^2 + 〃4p |u |p + 12£|u |6 = m Q 由上式和(2.3)式可得||u |2 < 4m e + o (1) < 4m. (2.5)从(2.4)式可得||训有正下界，且从(2.5)式可得||训有正上界.因此，利用Sobolev 嵌入定 理，可得C 2|u |p = ||训2 + b ll Vu ll 2 ― £|u |6 > ll u|2 ― c £II 训6 > C 2 ― c 1£ > ~2 > C 1? V £ e (0, £o ),其中C, C 1 > 0与£和u 无关•证毕. I命题2.1下列估计成立a /b 宀3 叫 < 3(2£S +s 6+a 切+桔住s 3+-----------------\ 2S 6 + a S 3 )S a,b , V £ > 0, (2.6)其中s 是最佳Sobolev 常数.证 注意到(2.8)式中的S a ；b 是下列方程解的基态水平lim u (x ) = 0,|x|—>g a + b|V u △u = £|u |4u,x e R 3,(2.7)No.3成艺群等：非线性临界Kirchhoff 型问题的正基态解671即-----------------\ 2S 6 + a S 3 )和=3许+s 6+期)+包汀+2^/r 3 |u |6d x因此，由上式可知a [ |V (tu )|2d x |V (tu )|2d x)—訂 |tu |6d x 2 J r 3 4 ' J r 3 丿 6 J r 3=at 2 / |V u |2d x + 寻4( / |V u |2d x 『3J r 3 12 W r 3 丿a [- 2 -(J r 3 |V u |2d x )2 + \l -2(J r 3 |V u |2d x )4 +4a8 J r 3 |V u |2d x J r 3 |u |6d x =5 |Vu|2dx -----------------------------y ------------------------------------------------------------------------3丿R 3=min (a / |V u |*2d x + -( / |V u |2d x) — - / |u |6d x : u G D 1,2(R 3),I 2 J 4 ' 丿R 3 J 6 丿R 3/ a |V u |2d x + -( [ |V u |2d x) = - / |u |6d x{.7r 3 ' J r 3 丿 7r 3 丿事实上，下列问题R 3(2.8)的正解具有如下形式—△u = |u |4u, u G D 1，2(R 3)x G R 3,(2.9)(3$)1肿 _ (J + |x — x 0|2)2 :事实上，最佳Sobolev 常数S 可通过下式定义血 |V u |2dx _J > 0, x o G R 3.注意到,S = inf ------厂应 .ueD 1,2(R 3)\{0} |u |2 u£D 1.2(R 3)\{0}, u 6 = ^/R 3对任意的u G D X '2(R 3)\{0},存在唯一的t > 0使得tu 满足a [ |V (tu )|2d x + b( [ |V (tu )|2d x) = 8 / |tu |6d x, 丿R 3 '丿R 3 丿 丿R 3inf |V u |2d x.—a [ |V u |2d x = 0,丿R 3(2.10)即通过计算得t 2-(J r 3 |V u |2d x )2 + J -2(J r 3 |V u |2d x )4 十 4«£ J r 3 |V u |2d x J r 3 |u |6d x2^/r 3 |u |6d x ■ -(J r 3 |V u |2d x )2 + j -2(J r 3 |V u |2d x )4 +4处 J r 3 |V u |2d x j R 3 |u |6d x -28 J r 3 |u |6d xJ r 3 |V u |2d x - ” • c 2-I J R 八…I —| +-MJ r 3 |u |6d x ) 3 丿J r 3 |V u |2d x L/ J r 3 |V u |2d x a 68 (J r 3 |u |6d x ) 3VC/r 3 |u |6d x ) 3“ 'I2672数学物理学报Vol.41A\( J r 3 |V "|2dx )2 + -MJ r3 |u |6d x ) 3 丿> S (b S 2 + v b 2S4 + 4a£S ) + 召a / b 宀3/ b 2 十 ab / b 宀33(2£ V 4£2 £ 12(2£+ W J r 3 |V u |2d x 1^2£(J r 3 |u |6d x ) 3护(J r 3 |V u |2d xMJ r 3 |u |6d x )■ s ________________________12 (b S 2 + 7b 2S 4 + 4a£S )J + 4a£ I 2⑵11)另一方面，关于Sobolev 常数S ，设U o 是满足|U o |6 = 1的达到S 的函数，那么存在唯一的 t u o > 0使得t u o U o 满足(2.10)式*因此，通过计算，有|V U o |2d x +12t U 。
非线性椭圆型方程
非线性椭圆型方程
非线性椭圆型方程是一类重要的研究深层数学方程的数学理论。
它的几何表达式是最常见的，可以用来描述多种直线和曲线，在线性代数、几何学、机器学习、计算机图形学、知识工程等多个领域有广泛的应用。
首先，我们来介绍一下什么是非线性椭圆型方程。
非线性椭圆型方程是一种比较复杂的数学模型，它在数学上就是一个椭圆的方程，但是它有比一般椭圆方程更复杂的结构。
它在椭圆方程的基础上，加入了一些非线性的元素，使得它的形式变得更加复杂。
其次，我们来看一下非线性椭圆型方程的几何表示。
一般来说，非线性椭圆型方程的几何表示式为：
F(x,y)=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0，其中a,b,c,d,e和f是常量。
它们可以映射出各种直线和曲线，比如圆、椭圆、抛物线等。
再次，我们来看一下非线性椭圆型方程的应用。
非线性椭圆型方程有着广泛的应用领域，比如线性代数、几何学、机器学习、计算机图形学、知识工程等。
在线性代数中，它可以用来求解系统方程，或者求解向量空间等问题；在几何学中，它可用来处理各种几何舞台上的问题，如求解相对于其他确定性几何图形的不同类型图形；在机器学习中，它可以用来表达分类问题，建立模型，或者进行参数估计；在计算机图形学中，它可以用来模拟物体的表面，绘制3D图形；在知识工程中，它可以用来处理不同类型的数据，如文本数据、文档数据和语音数据等。
最后，我们来总结一下，非线性椭圆型方程是一种比较复杂的数学模型，其几何表示可以映射出各种直线和曲线，并且有着广泛的应用领域，如线性代数、几何学、机器学习、计算机图形学、知识工程等，可以用来求解系统方程、表达分类问题、模拟物体表面、处理不同类型的数据等。
完全非线性椭圆方程具有渐近性质的整体解
设 ｎ是Ｒ 内的任一有界严格凸区域。假设 ∈Ｃ （ （ ” ２ ）文献［］满足 ９）
Ｆ（ ） ｆ ＞ ｌ ∈ｎ Ｄ２ ＝ ０ ， Ｏ＝０， ∈
由比较原理， ０ 垂≤ 。再 由引理 ３对任一 ｅ ， ， ∈ａ 存在 （） 使得 ｅ∈
让 （ ） （ ， ｚ ＜： ） ｚ∈ｎ＼ ｛）
Ｉ（ ， ∈ 。 ｌ ） ＼ ‘ Ｄ
则 ｗＥＣ （ ） ｏ 在粘 性意 义下满 足
Ｆ（ ） ， ｚ ， ∈Ｒ” Ｄｚ ≥ （ ）
引理 ２ 设 ｆ ￣ 。假设 ｕ ￣ 在粘性意义下满足 ＥＣ （ ） ＥＣ （ ）
Ｆ（ 型 ≥ ） ∈Ｄ Ｄ ） （ ，
则
Ｆ（ ｌ ＝ 厂 ｚ ， ∈Ｄ Ｄ２‘ ） （ ）
ｅ， ｕ ｉ ＜ ｕ
＝
≥ 以（ ｅ （ Ｗａ ） ＝以ｆ 一 １ ｄ ｔＤ ） ．
其 中嘶 是 Ｄ 的特征值 。
由Ｒ 的定 义 可知 ，
Ｉ ｆ Ｉ ｚ２ ｘ ≤Ｒ ￣ ≤Ｒ ／ ，Ｉ Ｉ 。 ／
因此
ｍ
（） ≤
固定 Ｒ ＞ ３ 满 足 Ｒ２
＋
（ ｑａ ｌｄ ＜ ｓ － ） ＂ｓ ＂－ ／
２１ 年 １ ０１ ２月
则 （） 于 口是连续 且单 增 的 ， 当 口 口关 且 一∞ 时 ， ｎ 一ｃ 。而且 ， （） ｘ ３
Ｗａ ） ／ ａ ≤ （ ／ ） Ｉ＋ｆ ｎ １ ∈Ｒ （ － ｌ ） ｆ ２ Ｉ ， ≥口 ， （
当 Ｉ 一 ∞ ， （ 一 （ ／ ） ＋ｃ （ ） Ｉ Ｗａ ） （ ２ Ｉ ． Ｉ ＋ 口 ＋０（ ｌ ） １ 。 ～ 对 ｎ 令 一 （） ≥ｎ ， Ⅱ 且对
考文献 。在文献［］ Ｃ ｆ ｒｌ 与李岩岩研究了 Ｍｏ ｇ －Ａ ｐ ｒ 方程外部区域上具有渐近性质的解的 ６ 中， ａｆ ｅ ｉ ａ ｌ ｎ ｅ ｍ ｅｅ
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法【摘要】本文介绍了三种新的迭代法用于求解非线性方程，分别是Newton法，拟牛顿法和Levenberg-Marquardt算法。
在首先介绍了非线性方程及其求解的重要性，然后简要介绍了传统的迭代法。
在详细讨论了这三种新的迭代法的原理和应用情况。
在总结了三种新的迭代法的特点和适用范围，并展望了非线性方程求解方法的未来发展方向。
这些新的迭代法为解决复杂的非线性方程提供了新的思路和方法，有望在实际应用中取得更好的效果。
【关键词】非线性方程、求解方法、迭代法、Newton法、拟牛顿法、Levenberg-Marquardt算法、特点、适用范围、未来发展1. 引言1.1 介绍非线性方程及其求解的重要性非线性方程在数学和工程领域中无处不在，其求解具有广泛的应用价值和意义。
非线性方程是指未知数与未知数的各项之间存在着非线性关系的方程，与线性方程相比，非线性方程的求解更加困难。
非线性方程可以描述许多复杂的现实问题，如物理学中的非线性波动方程、工程学中的非线性力学问题等，因此求解非线性方程是科学研究和工程设计中的一个重要任务。
传统的迭代法是求解非线性方程的常用方法之一，其基本思想是通过不断迭代更新初始猜测值，直至满足一定的收敛条件为止。
传统的迭代法在求解复杂的非线性方程时存在收敛速度慢、计算量大等问题，因此需要更加高效和精确的迭代法来解决这些困难。
本文将介绍三种新的迭代法：Newton法、拟牛顿法和Levenberg-Marquardt算法，这些方法在求解非线性方程中具有独特的优势和应用价值。
通过对这些新的迭代法的研究和应用，可以提高非线性方程的求解效率和精度，推动非线性方程求解方法的发展和应用。
1.2 简要介绍传统的迭代法传统的迭代法是解决非线性方程的常见方法之一，它通过不断迭代逼近函数的根，直至满足一定的精度要求。
最常见的传统迭代法包括二分法、试位法和弦截法等。
二分法是一种简单但有效的方法，通过不断缩小根所在的区间来逼近根的位置；试位法则是通过选择一个适当的初始点，然后通过不断调整该点的位置来逼近根；弦截法则是通过连接两个不同点所在的直线，找到直线与横轴的交点，进而更新两个点的位置。
非线性物理2-2(流体的不稳定性、洛伦兹方程、李雅普诺夫指数、埃侬吸引子、洛伦兹吸引子)
2.洛伦兹方程
C1与 C2的稳定性 当 r 继续增加直到 r =13.962时， 两个螺旋线外径会接触合并一起。
rc
( b 3) 24.7368, ( 10, b 8 / 3) - (b 1)
r = rc 时两个平衡点C1与 C2发展成了中心点, 其邻域的相轨 线是椭圆. r > rc 时, C1与C2成了不稳定的焦点. 定态对流失稳，是不稳 定的. 这时将出现一次新分岔－霍夫分岔, 平衡点C1与C2失稳发 展成为奇怪吸引子.
1.李雅普诺夫指数
奇怪吸引子
取 =2.1 ， 并 取 有 较 大 差 别 的 三 个 初 始 值 x01 =0.08 ， x02=0.12, x03=0.16。运算结果如左图，经过五次迭代,三个运算 结果趋于一致，~045.
取 =3.7，取差别很小两个初始值 x01 =0.04，x02=0.05。运 算结果如右图，第二迭代差别就已显示出来,以后虽在第七次 迭代时很接近，但随后又快速分离开来。
x yz0 x y b(r - 1), z r - 1
洛伦兹方程有三个平衡点
若r < 1，只存在一个平衡点x=y=z=0。此平衡点是洛伦兹方 程的不动点，相应于贝纳尔德实验中液体的静止状态。 洛伦兹方程的平衡点随瑞利数 r 的增加而发生分裂，原来 稳定的平衡点变为不平衡状态。
n -1 df ( x ) 1 n, ln n n =0 dx
xn
式中 xn 为第 n 次迭代值。取 n ，得李雅普诺夫指数计算 公式：
1 n -1 df ( x n , ) lim ln n n dx n 0
1.李雅普诺夫指数
洛伦兹的设想
一类高阶非线性薛定谔方程的Weierstrass椭圆函数解
第25卷 第6期2009年3月甘肃科技Gansu Science and Techno logyVol .25 N o .6M ar. 2009一类高阶非线性薛定谔方程的W ei e rstrass 椭圆函数解席国柱,邱 春,吉永林,刘 锋,贾多杰(西北师范大学物理与电子工程学院,甘肃兰州730070)摘 要:采用W e i e rstrass 椭圆函数展开法,研究了五次非线性薛定谔方程,并借助于符号计算机软件M a t he m a tica 求得了含W eierstrass 椭圆函数的新型周期解及对应的Jacobi 椭圆函数解和极限情况下的孤波解。
关键词:高阶非线性薛定谔;W eierstrass 椭圆函数;周期解中图分类号:O 175.24考虑如下形式的高阶非线性薛定谔方程[1]i u z -12u tt + 1|u |2u =i 26u ttt + 324u tttt - 2|q |4q (1)该方程在物理学中特别是非线性光学中有着重要的应用。
在此方程中考虑媒介的非线性效应是瞬时的且不存在共振,所以忽略了一些高阶非线性效应,(如脉冲沿自陡峭效应和自频移效应),其中u 表示光脉冲的缓变包络振幅函数,z 表示脉冲在光纤中的传输距离,t 表示群速坐标系中的延缓时间, 1, 2, 3分别表示二阶,三阶,四阶色散系数, 1, 2为两个非线性系数。
当 2, 3, 2均为零时方程即退化为标准的非线性薛定谔方程[2,3]。
利用扩展的双曲正切函数法[4,5]求解该方程,获得了含W e i e rstrass 椭圆函数的新型周期解以及对应的Jaco b i 椭圆函数解和极限情况下的孤波解。
1 方法简介对于给定的非线性演化方程N (u,u t ,u x ,u tt ,u xx , )=0(2)对它作行波变换u =u ( ), =k (x -ct),其中k 和c 分别是波数和波速,这样(2)式可化为ODE方程P (u,u ',u ", )=0(3)设(3)式有如下形式的W e i e rstrass 椭圆函数解u( )=u[!( ;g 2,g 3)]=a 0+ ni =1[a i (A !+B )i/2+b i (A !+B )-i/2](4)其中nA !0,B,a 0,a i ,b i 为待定常数,n 可由(3)式中最高阶导数项和非线性项平衡来确定,如n 不是一个正整数,做变换u =v n再次平衡最高阶导数项和非线性项即可定出n 。
一类带对流项的奇异非线性椭圆型方程DIRICHLET问题唯一解的渐近行为
−ψ (s) = k(s)g(ψ(s)), ψ(s) > 0, 0 < s < a, ψ(0) = 0.
(1.5)
的局部解.
当 λ > 0, b(x) ≡ 1 时, 问题（1.1）的解的存在性, 见[21], [24], [4], [15], [27] ;
Ghergu 和 Radulescu [6] 在 (g1)-(g4) 下证明了唯一古典解 uλ 具有性质 (II1) 对于任意的 x ∈ Ω, 存在两个依赖于 λ 的正常数 C5 和 C6, 使得 C5d(x) ≤ uλ(x) ≤ C6d(x); (II2) uλ ∈ C1, 1−α(Ω¯ ). 当λ = ±1, b(x) ≡ 1时, Giarrusso 和 Porru [7] 证明了如果 g 满足条件
−ϕ (s) = g(ϕ(s)), ϕ(s) > 0, s ∈ (0, a), ϕ(0) = 0
解在 0 附近的精确渐近行为. 随后应用摄动方法, 构造比较函数, 对 b|∂Ω = 0 的情形, 得到了问题 (1.1) 解在边界附近的精确渐近行为. 结果表明, 在 b|∂Ω = 0 的情形下与 b|∂Ω = ∞ 的情形下, 条件和估计具有本质的不同.
ii
烟台大学学位论文原创性声明和使用授权说明
原创性声明
本人郑重声明：所呈交的学位论文, 是本人在导师的指导下, 独立进行研究工作所 取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 本论文不含任何其他个人或集体已经发表 或撰写过的作品或成果. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确 方式标明. 本声明的法律结果由本人承担.
−ϕ (s) = g(ϕ(s)), ϕ(s) > 0, s ∈ (0, a), ϕ(0) = 0 Then by a perturbation method and constructing comparison functions, we study the exact asymptotic behavior of the unique solution uλ ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω¯ ) near the boundary to a singular Dirichlet problem
非线性物理1-2(单摆、庞加莱映射)
x " (t ) Ae
F
i t
x " (t )
F
代入、 以后特解为：
e i e i( t )
x " (t )
( 2 2 )2 4 2 2
cos( t tg1
2 ) 2 2
非齐次线性微分方程的通解 x(t ) x' x"
3. 初识单摆的复杂运动
数值计算结果
3. 初识单摆的复杂运动
数值计算结果
3. 初识单摆的复杂运动
数值计算结果
2 F = 1.093 附近做准周期运动： a.当驱动力继续上升时 , 相轨线偏离闭 合的单周期轨道，复杂化起来。 b.在F = 1.093时相图上，相轨线虽在 [-p,p] 的单摆势谷来回环绕，但始终无 法达到周期重复状态。 c. 在庞加莱截面上，相点处于一条曲 线上，可以认定系统处于准周期状态 （接近正确的周期运动）。 d. 庞加莱截面上的图形与所取截面的 位置(即相角)有关。
驱动力写成指数
d 2x dx 2 i t 2 x Fe dt 2 dt
这是非齐次线性微分方程, 其通解是它的齐次线性方程的通解和 它的一个特解的和 x (t ) x ' (t ) x " (t ) 1. 齐次方程的通解: t x ' ( t ) A e cos( t ) 类似线性阻尼单摆，得： 0
庞加莱映射。
2.庞加莱映射
庞加莱截面与轨线运动
单周期运动，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在 截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。两倍周期运动，每 个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；四周期 运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上就留下四 个点；推广到无周期运动，截面上将出现留下无穷多点。
非线性Volterra积分方程
一类第二种非线性Volterra 积分方程积分数值解方法1前言微分方程和积分方程都是描述物理问题的重要数学工具，各有优点.相对于某种情况来说，对于某种物理数学问题，积分方程对于问题的解决比微分方程更加有优势，使对问题的研究更加趋于简单化，在数学上，利用积分形式讨论存在性、唯一性往往比较方便，结果也比较完美,所以研究积分方程便得越来越有用,日益受到重视.积分方程的发展，始终是与数学物理问题的研究息息相关.一般认为，从积分发展的源头可以追溯到国外的数学家克莱茵的著作《古今数学思想》，该书是被认为第一个清醒的认为应用积分方程求解的是Abel.Abel 分别于1833年和1826年发表了两篇有关积分方程的文章，但其正式的名称却是由数学家du Bois-Raymond 首次提出的，把该问题的研究正式命名为积分方程。
所以最早研究积分方程的是Abel,他在1823年从力学问题时首先引出了积分方程，并用两种方法求出了它的解,第一的积分方程便是以Abel 命名的方程.该方程的形式为：⎰=-baax f dt t x t )()()(ϕ,该方程称为广义Abel 方程,式中a 的值在(0,1)之间.当a=21时，该式子便成为)()(x f dt tx x x a =-⎰ϕ.在此之前，Laplace 于1782年所提出的求Laplace 反变换问题，当时这个问题就要求解一个积分方程.但是Fourier其实已经求出了一类积分方程的反变换，这就说明在早些时候积分方程就已经在专业性很针对的情况下得到了研究，实际上也说明了Fourier 在研究反变换问题是就相当于解出了一类积分方程.积分方程的形成基础是有两位数学家Fredholm 和V olterra 奠定的，积分方程主要是研究两类相关的方程，由于这两位数学家的突出贡献，所以这两个方程被命名为Fredholm 方程和V olterra 方程。
后来又有德国数学家D.Hilbert 进行了重要的研究，并作出了突出的贡献，由于D.Hilbert 领头科学家的研究，所以掀起了一阵研究积分方程的热潮，并出现了很多重要的成果，后来该理论又推广到非线性部分。
几类分数阶非线性椭圆方程解的存在性与集中性
几类分数阶非线性椭圆方程解的存在性与集中性分数阶拉普拉斯问题可以用来描述物理学、生物学、化学、金融经济、概率等领域中的许多重要现象.特别地,在概率的观点下,分数阶拉普拉斯算子被视为稳态Levy扩散过程的无穷小生成元.因此,分数阶拉普拉斯微分方程解的相关问题研究目前已成为非线性分析领域的热门研究方向之一在本论文中,我们利用非线性分析中的临界点理论和变分约化等方法研究了两类具有临界指数的分数阶椭圆方程解的存在性、多重性及分数阶非线性Schrodinger方程解的存在性和集中性,获得了一系列新的结果.具体包含以下四章内容：在第一章中,我们利用Nehari流形方法和Ljusternik-Schnirelmann筹数理论研究了一类具有临界指数的分数阶非线性Schrodinger方程.证明了方程在两种不同情形下具有基态解和catΛδ(Λ)个非平凡解.在第二章中,我们利用变分扰动方法研究了分数阶
非线性Schrodinger方程解的存在性及集中性.设合理的假设下,证明了所得解集中在函数г(x)的临界点.我们所得结果推广了文献[36]和[44]的结果.在第三章中,我们研究了一类分数阶非线性椭圆方程的多峰解,其中Q(x)为正的连续有界函数.利用 Lyapunov-Schmidt变分约化方法得到,对任意的正整数七,方程具有一个七-峰的正解,且其集中在Q的严格局部极小点处.我们把文献[65]的结果推广到了分数阶情形.最后,我们利用调和扩展技术和临界点理论,研究了一类具有临界指数的非齐次分数阶Laplacian司题,证明了此类问题至少具有两个正解.同时,在一类线性正型区域上,我们获得了一个正解的不存在性结果.此结论推广了文献[85]中的不存在性结果.。
非线性椭圆型方程的Nehari流形的开题报告
非线性椭圆型方程的Nehari流形的开题报告
1.引言
非线性椭圆型方程在物理学、工程学、化学等领域有广泛的应用。
而其中最为著名的非线性椭圆型方程就是经典的Laplace方程和Poisson
方程。
本文主要研究一类非线性椭圆型方程的Nehari流形，介绍其定义、性质和应用等方面的内容。
2.非线性椭圆型方程及其解的存在性和唯一性
在数学研究中，非线性椭圆型方程的研究通常涉及到解的存在性和
唯一性问题。
对于一般的非线性椭圆型方程，这个问题是非常困难的。
但对于一些特殊的非线性椭圆型方程，存在一些解的存在性和唯一性结果。
3. Nehari流形的定义
Nehari流形是由C. Nehari在研究非线性椭圆型方程的解存在性问题时，提出的一种特殊的流形。
在一些特殊的非线性椭圆型方程中，Nehari 流形的存在性可以说明解的存在性和唯一性问题。
4.Nehari流形的性质
Nehari流形具有一些独特的性质。
例如它是有限维的、它是一个连
通的流形等。
同时，它的边界也具有重要的性质，例如各种曲率的界等。
这些性质对于研究非线性椭圆型方程解的存在性和唯一性问题非常有用。
5.Nehari流形的应用
Nehari流形的存在性和性质在解的存在性和唯一性问题的研究中发
挥了很大的作用。
同时，它也被广泛地应用于其他一些领域，例如最小
表面问题、四色问题等。
6.结论
本文主要介绍了非线性椭圆型方程的Nehari流形的定义、性质和应用等方面的内容。
Nehari流形在解的存在性和唯一性问题中具有重要的作用，同时它也被广泛地应用于其他一些领域。
非线性方程的Newton法求解-天津大学研究生e-Learning平台
非线性方程的Newton法求解姓名：赖俊云学号：2011208070 学院：材料科学与工程一、引言非线性方程是指方程中未知数的次数不是一次的方程，在求解一些高次或者带对数、带三角函数的非线性方程中，很难通过解析法获得方程的精确解，因此实际应用当中大多采用数值法来近似求解非线性方程[1]。
求解非线性方程的数值法主要有二分法，牛顿法，弦截法等[1-3]。
其中牛顿（Newton）法, 又称牛顿-拉弗森(Newton-Raphson) 法或切线法[2], 是求解非线性方程零点的一种重要的迭代法. 牛顿法程序简单, 其在单根附近具有二阶敛速，收敛速度快，是一种平方收敛的单步法，这是其它算法都难以比拟的。
牛顿法应用范围也很广，它即可用于解代数方程和超越方程，也可用于解非线性方程组，既可求方程实根，也可求复根；既可求单根，也能求重根，因此它是近似根精确化的一种相当有效的方法[6]。
但是牛顿法需要求函数导数，对于复杂的函数求导较为困难，而且牛顿法对初值的选取依赖性很大，初值选取不当有可能导致牛顿法不收敛甚至发散，从而导致迭代失败，从而使牛顿法应用受到一定限制[7]。
二、Newton法求解非线性方程的基本原理基本概念牛顿法是一种特殊的不动点迭代法，它的基本思想是将非线性方程逐步转化为线性方程来求解[6]。
设给定函数方程将在作泰勒展开取其线性部分，令，则有设，则其解为再将在处展开，也取其线性部分，得到以此类推，得到牛顿法的迭代序列为适当选取初值，就可以由上式很快的收敛得到精确的近似解。
几何意义给定的线性方程的根在几何上的意义是曲线与轴的交点的横坐标。
如右图所示，设是的某个近似值,曲线上点P(, ) 处的切线方程为此切线与x轴的交点的横坐标就是由牛顿迭代公式所确定的，此时得到的比初值进一步向逼近，然后依次得，无限逼近，最终得到满足精度要求的近似解。
所以牛顿法就是以曲线各点的切线与x轴的交点近似代替曲线与x轴的交点,因此,牛顿法又称切线法。
一类非线性椭圆方程的Nehari流形
式中， ｎ是 中的具有光滑边界 的有界区域 ， 实参 数 ＞ ０ ， 口 （ ）是 可测 函数 ， 非 负 函数 ｂ （ ）∈
Ｌ （ Ｐ ＜ｑ ） 或 ｂ （ ）∈ Ｌ （ ） ， ｃ （ ） 是 ｎ 内正负
不定 的光 滑 函数 ．
令 （ ｂ ） 是方程 ，
一
性椭 圆方程 正解的情况 ．
关 键 词 ：Ｎ ｅ ｈ ａ ｒ ｉ 流形 ； 变分 方 法 ： 加权 Ｓ ｏ ｂ ｏ ｌ ｅ ｖ空 间
中图分类号 ： Ｏ １ ７ ５ ． ２ ５
文献 标志 码 ： Ａ
Ｏ 引 言
本研究考虑一类非线性椭 圆方程 ， ｄ ｉ ｖ （ 口 （ ）Ｉ Ｖ ｕ （ ）Ｉ ｐ － ２ Ｖ ｕ （ ） ） ６ （ ）Ｉ （ ）Ｉ ／ Ｊ － ２ Ｍ （ ）＋
一
等 … 运 用 全 局 分 歧 理 论 研 究 了 方 程 在 二 阶 Ｌ ａ ｐ ｌ ａ ｃ ｉ ａ ｎ 算子 为 自共 轭算 子 时的正 解 的存 在性 和重 度 问题 ； 当口 （ ） ；１ 时， Ｂ ｉ ｎ ｄ ｉ ｎ ｇ ［ ２ 】 等运用 变分方 法 研究 了方程 的正解 和多 解 的存 在性 问题 ． 在 此基 础
Ｖｌ ０１ ． ３ ２ ＮＯ． ４ Ｄｅ ｃ ．２ ０ｌ ３
文章编号： １ ０ ０ ４ —５ ４ ２ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ —０ ３ ４ ３ —０ ９
一Байду номын сангаас
类 非线 性 椭 圆方 程 的 Ｎ ｅ ｈ ａ ｒ ｉ 流 形
黄 娟 ，陈 丹
（ １ ． 四川 师范大学 数 学与软件科 学学院 ， 四川 成都 ６ １ ０ ０ ６ ６ ；
非线性椭圆方程及其解法
非线性椭圆方程及其解法非线性椭圆方程是数学中的重要分支之一，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、金融学等领域中。
对于非线性椭圆方程的解法，一直是数学家和科学家共同研究的难题。
本文将主要探讨非线性椭圆方程及其解法。
一、非线性椭圆方程的定义和特点非线性椭圆方程是指形式为$$-\Delta u=f(x,u)$$的二阶偏微分方程，其中$f(x,u)$是关于自变量$x$和因变量$u$的非线性函数。
它的特点是非线性、非齐次及椭圆型，这意味着非线性椭圆方程具有以下特点：1、非线性：$f(x,u)$包含因变量$u$一次或多次的项。
2、非齐次：方程右侧有一个函数$f(x,u)$，不是$0$。
3、椭圆型：经典的非齐次椭圆型方程是指在一定区域内，函数$u$连续且具有一定的道法，且偏微分方程满足偏微分方程的符号条件，即$$\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x)u_{x_ix_j}+\sum_{i=1}^nb_i(x)u_{x_i}+c(x)u=f(x)$$其中$a_{ij}(x)$为正定矩阵，$b_i(x),c(x)$为一类足够光顺的函数。
有了上述特点，非线性椭圆方程的解法也因而具有一定的复杂性和难度。
二、非线性椭圆方程的基本求解方法一、极大似然估计法极大似然估计法是求解非线性椭圆方程的基本方法之一。
它是通过对方程中函数$f(x,u)$做出假设，并利用已知数据以最大化似然函数的方法进行求解。
二、逼近法逼近法是求解非线性椭圆方程的另一种基本方法。
它是根据能量函数进行递归求解，并且在求解中将逼近的误差控制在一个较小的范围之内。
三、有限元法有限元法是求解非线性椭圆方程的一种重要方法，可以将形式为$$-\Delta u=f(x,u)$$的非线性椭圆方程转化为无限小区域内的线性问题，然后应用数值计算方法进行求解。
四、拟线性化法拟线性化法是求解非线性椭圆方程的一种重要方法，它采用逼近线性方程的思路，通过求解一系列线性问题来逐步逼近非线性问题，从而达到求解非线性椭圆方程的目的。
Nehari流形方法在变分问题中的应用概述
泛 函分 析 及 其 应 用 ．
第 ４期
王 蒙 蒙 等 ：Ｎ ｅ ｈ ａ ｒ ｉ 流形 方 法 在 变 分 问题 中的 应 用 概 述
关键词 ： Ｎ ｅ ｈ ａ ｒ ｉ 流 形 ；变 分 学 ； 纤 维 映射 ；边 值 问 题 ； 基态解 ．
中 图分 类 号 ：０１ ７ ５ ． １ ４ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ５ — ８ ０ ３ ６（ ２ ０ １ ３） ０ ４ － ０ ０ ８ ２ — ０ ４
经 典 的 变 分 学 是 处 理 具 有 下 界 或 上 界 泛 函极 值 问题 的 数 学 分 支 ． 它最 早起 始 于 １ ６ ９ ６年 Ｊ ｏ ｈ ｎ Ｂ ｅ ｒ ｎ ｏ ｕ ｌ ｌ ｉ 在《 教 师学 报》 上 提 出 的最 速 曲线 问题 ． １ ７ ３ ３年 ， 欧拉 《 变分原 理 》 一 书的 问世 ， 标 志着 变分 学 正 式 诞生 ．２ ０世 纪 ５ ０年代 后 ， 经典 变分 学与拓 扑学 相结 合产 生 了一个 新 的分支 ：大范 围变 分学 或 称 为 临
是Ｉ 临界点 理论 的一个 重要 组成 部分 ． 本 质上讲 ， 它 是发 现 某些 非线 性 泛 函临界 点 的一个 特 殊 技 巧 ， 即 把
发现 泛 函在全 空间上 的临界点 转化 为发 现其 在某 个流 形上 的极 值点 ， 从 而使 问题 简 单化后 得 以解 决 ．
１ Ｎ ｅ ｈ ａ ｒ ｉ 流 形 方 法
１
， （ “ ）＝÷ Ｉ ｌ ｕ Ｉ Ｉ 一ｆ Ｆ （ Ｍ ） ｄ ｘ ，
nehari manifold method
Nehari流形是一种用于解决凸优化问题的数值方法。
它起源于20世纪40年代，由巴基斯坦数学家M.A. Nehari提出。
Nehari流形方法在处理凸优化问题时具有一定的优势，可以更快地收敛到最优解。
本文将介绍Nehari流形方法的原理和应用，并对其优缺点进行分析。
一、Nehari流形方法的原理Nehari流形方法是一种利用流形几何理论来求解凸优化问题的数值方法。
它的核心思想是通过构造一个特定的流形，将凸优化问题转化为在流形上的求解问题。
具体而言，对于给定的凸优化问题minimize f(x)subject to g(x) <= 0其中，f(x)是凸函数，g(x)是凸约束函数，x∈R^n是优化变量。
Nehari流形方法的目标是寻找一个适当的流形M，使得在流形上的优化问题minimize f(x)subject to g(x) = 0, x∈M的解与原优化问题的解是等价的。
Nehari流形的构造方法通常基于原优化问题的KKT条件，通过适当的变换和投影得到一个较低维度的流形。
这个流形通常是非线性的，但在流形上的优化问题可以通过一些数值方法求解。
通过适当设计流形的形状和参数，Nehari流形方法可以更快地找到最优解，并且在一些问题上具有更好的收敛性能。
二、Nehari流形方法的应用Nehari流形方法在凸优化领域有着广泛的应用。
它可以用于求解各种类型的凸优化问题，包括线性规划、二次规划、半正定规划等。
在实际应用中，Nehari流形方法通常与其他数值方法结合使用，以提高求解效率和稳定性。
除了在传统的凸优化问题中应用外，Nehari流形方法还可以用于解决一些特殊的凸优化问题，例如在信号处理、机器学习和最优控制等领域。
在这些应用中，Nehari流形方法可以更好地适应问题的特点，提高求解的精度和速度。
三、Nehari流形方法的优缺点分析Nehari流形方法作为一种数值方法，有其优缺点。
Nehari流形方法可以更快地收敛到最优解，尤其是在高维问题和复杂约束条件下具有一定的优势。
一类非局部椭圆方程正解的存在性
一类非局部椭圆方程正解的存在性陈林【摘要】本文研究了一类非局部椭圆方程非平凡弱解的存在性问题.利用Nehari 流形及纤维环映射,获得了该问题正解的存在性条件,推广了该领域的相关结果.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2019(039)002【总页数】11页(P249-259)【关键词】椭圆型方程;Nehari流形;纤维环映射;正解【作者】陈林【作者单位】伊犁师范学院数学与统计分院,新疆伊宁835000【正文语种】中文【中图分类】O175.251 引言椭圆型方程是偏微分方程理论的一个重要组成部分,其解的存在性问题具有很高的学术价值和理论价值,是偏微分方程领域中一个重要的研究课题.文献[1]研究了如下拟线性椭圆边值问题多个正解的存在性,其中是边界光滑的有界区域,函数且满足本文运用Nehari流形和极小-极大原理证明了当Ω是一不可收缩区域且g在¯Ω上恒等于1而f在¯Ω上充分小时,问题(1.1)至少存在三个解,从而进一步证明了对于一般的区域,当f的正部在¯Ω上足够小时,问题(1.1)至少存在两个正解.近年来,对非局部椭圆方程的研究日益受到人们的重视[2–5].本文研究如下一类非局部椭圆方程非平凡弱解的存在性,其中λ>0是实参数,1<p<N(N≥3),1<n<p<m<p∗,0≤a<(N−p)/p,p∗=Np/(N−pd),a≤b<a+1,d=a+1−b>0,h( x),H(x)是在RN上可变号的权函数.文献[6]运用Nehari流形及纤维环映射的方法得到当a=0,p=2时,问题(1.2)在有界区域上至少存在两个正解;文献[7]运用山路引理和Ekeland变分原理证明了当a=0时,问题(1.2)至少存在两个非平凡的弱解.受文献[1,6,7]的启发,我们将运用Nehari流形及纤维环映射证明问题(1.2)在全空间RN上至少存在两个非平凡的弱解.由于所讨论的问题定义区域是全空间RN,从而本文不能得到类似于文献[1]中三个弱解的存在性结果.设是空间的完备化空间,其上的范数定义为而问题(1.2)所使用的函数空间为它是空间关于范数的完备化空间.由文献[8]可知,存在一常数S>0使得其中−∞<a<(N−p)/p,a≤b<a+1,d=a+1−b,p∗=pN/(N−pd).此不等式被称为Ca ff arelli-Kohn-Nirenberg不等式.在证明本文的主要结论时,此不等式将被反复使用.为研究问题的方便,做如下假设:本文的主要结果为定理1.1 若条件(A1)–(A3)成立.则存在正数λ1使当λ∈(0,λ1)时,问题(1.2)至少具有两个正解.2 预备知识定义2.1若u∈X且对于任意的ϕ∈X有成立,则称u为问题(1.2)的一个弱解.显然问题(1.2)具有变分结构.设Iλ(u)是问题(1.2)所对应的Euler泛函,其具体表达式为其中σ=p(τ+1).则Iλ(u)∈C1(X,R)且对于任意的ϕ∈X 有特别地,由于Iλ在X上无界,因此引入Nehari流形其中指的是通常的对偶积.从而u∈Nλ当且仅当从而当u∈Nλ时,有引入纤维环映射φu:t∈ R+7→ Iλ(tu),则易见,u∈Nλ当且仅当(1)=0.更一般地,(t)=0当且仅当tu∈Nλ.将Nλ分成由于当u∈Nλ时,(1)=0,从而引理2.2 Iλ是强制的且在Nλ上有下界.证由Hölder不等式及不等式(1.3),得其中同理其中从而有由于n<p≤σ<m,从而Iλ在Nλ上强制有下界.引理2.3存在λ0>0使得当λ∈(0,λ0)时=∅.证设.假设结论不真,则存在λ ∈(0,λ0)使得从而存在u∈使得将(2.18)及(2.19)式运用于(2.21)式得从而由此可得λ≥λ0,矛盾！因此,存在λ0>0使当λ∈(0,λ0)时=∅.引理2.4假定u0是Iλ在Nλ上的一个局部极小值点.如果u06∈,则u0是Iλ(u)的一个临界点.证设考虑最优化问题:在F(u)=0的条件下求由Lagrange乘子原理知存在µ∈R使得因由于u0∈Nλ,从而然而因此,如果u06∈,则.进而由(2.25)式知µ=0.从而.证毕.由引理2.3,当λ∈(0,λ0)时,.定义引理2.5设则当0<λ<λ1时有(1)<0;(2)存在k0>0,使得≥k0.证(1)设u∈N+λ,则由(2.13)和(2.17)式得从而从而<0.(2)设u∈,则由(2.14)和(2.16)式得从而对于任意u∈,当0<λ<λ1时,存在某常数k0=k0(m,n,p,hα,Hβ,S)>0,使得Iλ(u)≥ k0.证毕.设u∈X且.令则z0(t)=tp−n−1E(t),其中则令E0(t)=0得则E(t)在[0,t∗)单调递增,在(t∗,+∞)单调递减.从而E(t)在t∗处取得最大值.由于E(0)=k(p−n)kukp>0,E(+∞)=−∞,因此存在唯一的tl>t∗>0,使得E(tl)=0且当t∈[0,tl)时函数z(t)递增,当t∈(tl,+∞)时,函数z(t)递减;在tl处取得最大值.特别地,当l=0时,有由E(t0)=E(tl)=0可知t0≤tl.从而引理2.6对于满足的u∈X及0<λ<λ0,有(1)若H(x)|u|ndx≤0,则存在唯一的t−>tl使得t−u∈且有Iλ(t−u)=(2)若H(x)|u|ndx>0,则存在唯一的0<t+<tl<t−使得且证设则(1)若,则存在唯一的t−>tl使得z以及z0(t−)<0.从而Ψ0(t−)=0且有t−u∈Nλ.又,从而易见,且当t∈ [0,t−)时 (t)>0;当t∈ [t−,+∞)时(t)<0.所以Ψ2(t)在t−处取得最大值,即(2)若.由(2.36)式,当λ∈(0,λ0)时有从而由函数z(t)的特性可知存在0<t+<tl<t−使得以及z0(t+)>0>z0(t−).由于Ψ1(t)=tn+1z0(t),从而t+u∈,t−u∈N−λ.由于当t∈ [0,t+)时,<0;当t∈ [t+,tl)时,(t)>0,从而另外,易验证当t∈ [t+,t−)时,(t)>0;当t∈ [t−,+∞)时,(t)<0;当t∈ [0,t+]时,Ψ2(t)≤ 0.又由于t−u∈,从而由引理2.5中的(2)可知Ψ2(t−)>0.从而由Ψ2(t)的单调性可知证毕.对于任意.定义函数则η(0+)=−∞,η(+∞)=0,η(t)在某个t=Tl>0处取得最大值.引理2.7对于每一满足的u∈X,当0<λ< λ1时,有(1)若h(x)|u|mdx≤0,则存在唯一的0<t+<Tl使得t+u∈且有Iλ(t+u)=(2)若,则存在唯一的0<t+<Tl<t− 使得t+u∈,t−u∈且有证由于,从而可应用引理2.6的证明方法得到引理2.7的证明,故在此略去.引理2.8假定(A1)–(A3)成立.若{uk}在X中收敛于u∈X,则存在{uk}的一个子列(不妨仍记为{uk})满足证只证明(2.42),(2.41)式的证明是类似的,在此略去.因为从而对于任意ε>0,存在R0>0使得其中Br={x∈RN:|x|≤r}而.由于{uk}在X中弱收敛于u,则{uk}在X中有界且{uk}在空间中弱收敛于u.进而,由不等式(2.43)推出{uk}在空间中有界.因此,存在的子列(不妨仍记为)使得在中弱收敛于u,在RN中几乎处处收敛于u.从而对于任意k≥1存在与k无关的常数M使得因此对于足够大的k成立,另一方面,由Hölder不等式,当k足够大时,有因此.证毕!3 正解的存在性引理3.1如果0<λ<λ1,则泛函Iλ在上存在一个最小值点且有(1)Iλ(u0)=;(2)u0是问题(1.2)的一个非平凡的非负解.证由引理2.2知Iλ在Nλ上有下界(从而在上有下界),因此存在一个极小化序列使得因为泛函Iλ 是强制的,所以{uk}在X 中有界.不失一般性,可假定{uk}在X中弱收敛于u0.由引理2.5和引理2.8可得,当k→∞时,有由(2.8)式得因此在(3.3)式的两边取极限k→∞,则有.进而由引理2.7,存在唯一的<Tl使得接下来证明{un}在X中强收敛于.假若结论不成立,则有,则对两边当n→∞取极限,再由=0可得,当n充分大时,另一方面,由{un}⊆可知,且当0<t<1时,从而由(3.5)式知>1.因为在上是递减的,所以这与下确界的定义矛盾！故{un}在X中强收敛于.从而即是Iλ在上的一个极小值点.又由于且从而由引理2.4可知是问题(1.2)的非负弱解.再由极值原理(参见文献[9])知引理3.2假定λ∈(0,λ1),则泛函Iλ在上有极小值点使得(1)(2)是问题(1.2)的一个非平凡的非负解.证由引理2.2知Iλ在上是强制的.从而存在一极小化序列{uk}⊆使得由于Iλ强制,从而{uk}在X中有界.因此,存在{uk}的一个子列(不妨仍记为{uk})在X 中弱收敛于元.由引理2.5可知,当u∈时,Iλ(u)>0,因此有进而由(2.9)式得令k→ ∞,由引理2.8得.因此由引理2.6,存在唯一的t0使得接下来证明{uk}在X中强收敛于.假若不然,则有由于uk∈,从而当t≥0时,Iλ(uk)≥Iλ(tuk).因此有这与δ−的定义矛盾！从而{uk}在X中强收敛于.从而类似于引理3.1的讨论可知是问题(1.2)的一个正解.证毕！定理1.1的证明由引理3.1和引理3.2知,当λ∈(0,λ1)时,问题(1.2)有两个非平凡的正解∈和∈.又由于∩=∅,从而和是问题(1.2)的两个不同的正解.定理1.1证毕！参考文献【相关文献】[1]Fan H N,Liu X C.Multiple positive solutions to a class of quasi-linear elliptic equations involving critical Sobolev exponent[J].Monatsh Math.,2014,174:427–447.[2]Figueiredo G M,Morales-Rodrigo C,Santos Júnior J R.Study of a nonlinear Kirchho ffequation with non-homogeneous material[J].J.Math.Anal.Appl.,2014,416:597–608. [3]Aouaoui S.Multiplicity result for some nonlocal anisotropic equation via nonsmooth critical point theory approach[J]pu.,2011,218:532–541.[4]Cheng B.New existence and multiplicity of nontrivial solutions for nonlocal elliptic Kirchho fftype problems[J].J.Math.Anal.Appl.,2012,394:488–495.[5]Wu Y Z,Huang Y S,Liu Z.On a Kirchho fftype problem inRN[J].J.Math.Anal.Appl.,2015,425:548–564.[6]Chen C Y,Kuo Y C,Wu T F.The Nehari manifold for a Kirchho fftype problem involving signchanging weight functions[J].J.Di ff.Equ.,2011,250:1876–1908.[7]Chen C S,Huang J C,Liu L H.Multiple solutions to the nonhomogeneous p-Kirchho ffelliptic equation with concave-convex nonlinearities[J].Appl.Math.Lett.,2013,26:754–759.[8]Ca ff arelli L,Kohn R,Nirenberg L.First order interpolation inequalities withweights[J].Compos.Math.,1984,53:437–477.[9]Struwe M.Variational methods,applications to nonlinear partial differential equations and Hamiltonian systems(3rd ed.)[M].New York:Springer-Verlag,2000.。
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非线性椭圆型方程的nehari流形
首先，让我们先来了解非线性椭圆型方程的定义。
非线性椭圆型方程
是指形式为$-\Delta u=f(u)$的偏微分方程，其中$\Delta$是拉普拉斯算子，$f(u)$是关于未知函数$u$的非线性项。
这类方程的解可以具有多个极小值点，而且其极小值点可能不止一个。
为了解决这个问题，我们需要引入最小极值解的概念。
最小极值解是指在
给定边界条件下，满足一定条件下解的存在性和唯一性的解。
然而，要得
到最小极值解并非易事。
Nehari流形的引入正是为了解决非线性椭圆型方程最小极值解的确
定性问题。
Nehari流形是指在给定边界条件下，满足一定能量条件的函
数的集合。
具体来说，设$H^1_0(\Omega)$是在区域$\Omega$上的
Sobolev空间，定义Nehari流形为：
$$
\mathcal{N}=\{u\in H^1_0(\Omega)\backslash \{0\} \mid
I'(u)u=0\},
$$
其中$I(u)$是与非线性椭圆型方程相关的能量泛函。
Nehari流形的
定义意味着在流形上的每一点，曲线在该点的切向量与其自身的导数正交。
为了更好地理解Nehari流形的性质，我们需要研究其切空间的结构。
Nehari流形上的曲线可以通过切向量的线性组合来表示。
设$v\in
\mathcal{N}$，则$\varphi(t)=u+tv$对应于一个流形上的曲线。
根据曲
线在点$u$处的切向量定义，我们可以得到：
$$
\frac{d}{dt}\bigg，_{t=0}\，\varphi(t)\，
^2=\frac{d}{dt}\bigg，_{t=0}(u+tv,u+tv)=2(u,v).
$$
因此，曲线在点$u$处的切向量为$v$。
我们可以看出，切空间是由与$u$的内积为0的函数$v$组成的，即$\{v\in H^1_0(\Omega)\mid
(u,v)=0\}$。
了解了Nehari流形的切空间后，我们可以通过对切空间进行适当的限制来获得最小极值解的存在性和唯一性。
具体来说，我们需要将切空间限制为与$f(u)$正交的函数的集合，即$\{v\in H^1_0(\Omega)\mid (u,v)=0, (u,f(u))=0\}$。
这样，通过Nehari流形的限制，我们可以得到非线性椭圆型方程的最小极值解。
此外，Nehari流形还可以用于研究非线性椭圆型方程的变分结构。
通过在Nehari流形上定义适当的等价关系，可以构建出变分框架。
这为研究非线性椭圆型方程的解的存在性和唯一性提供了方便。
综上所述，Nehari流形是用于描述非线性椭圆型方程最小极值解的一个重要工具。
通过研究Nehari流形的性质，我们可以得到非线性椭圆型方程解的存在性和唯一性的结果。
希望本文的介绍对读者对Nehari流形的理解有所帮助。