五年级三大原理数学原理学生版

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五年级下册数学奥数课件3加法原理和乘法原理人教版(27张PPT)

五年级下册数学奥数课件3加法原理和乘法原理人教版(27张PPT)
在加法原理中,把完成一件事的各种办法分成几类, 每一类中的任何一种方法都能完成这件事。凡是“分 类”完成的事情用加法原理。
北京
5种
天津
4种
5+4=9(种)
答:有9种不同的走法。
小结
加法原理:
一般地,如果完成一件事需要k类方法, 第一类方法中有m1种不同的方法,第二类方 法中有m2种不同的方法……第k类方法中有mk 种不同的做法,则完成这件事共有
N=m1+m2+…+mk种不同的方法。
即学即练
在一个纸箱内装有5个小球,另一个纸箱内装有9个小球,所 有小球颜色各不相同。从这两个纸箱里任取一个小球,有多少种 不同的取法?
答:有18种不同的选法。
例3:一个口袋内装有3个小球,另一个口袋内装有8个小球, 所有这些小球颜色各不相同。
问:(1)从两个口袋内任取一个小球,有多少种不同的取法?
小球装在两个口袋内相当于分成了两类!
例3:一个口袋内装有3个小球,另一个口袋内装有8个小球, 所有这些小球颜色各不相同。
问:(1)从两个口袋内任取一个小球,有多少种不同的取法?
即学即练
希望小学的歌唱小组由10名男生和8名女生组成。 (1)现在要从这些学生中挑选一名男生和一名女生配成一组去 参加演唱比赛,有多少种不同的搭配方法?
10×8=80(种)
答:有80种不同的搭配方法。
(2)如果要从男生或女生中任选一人去登台领奖,,有多少种 不同的选法?
10+8=18(种)
答:有18种不同的选法。
种不同的选法?
1.探索因数中间或末尾有0的乘法的计算方法及简便写法,进一步认识0在乘法运算中的特殊性,培养迁移类推及概括等能力。
2.妈妈比小明大24岁,而且妈妈今年的年龄是小明的3倍。小明和妈妈今年分别是多少岁?

五年级奥数专题 加法原理和乘法原理综合(学生版)

五年级奥数专题 加法原理和乘法原理综合(学生版)

学科培优数学“加法原理和乘法原理综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲力求让学生懂得并运用加法乘法原理来解决问题,掌握常见的计数方法,会使用这些方法来解决问题知识梳理乘法原理我们在完成一件事时往往要分为多个步骤,每个步骤又有多种方法,当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理.乘法原理:一般地,如果完成一件事需要n个步骤,其中,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法 ,…,做第n步有mn种不同的方法,则完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.乘法原理运用的范围:这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成,这几步是完成这件任务缺一不可的,这样的问题可以使用乘法原理解决.我们可以简记为:“乘法分步,步步相关”.加法原理无论自然界还是学习生活中,事物的组成往往是分门别类的,例如解决一件问题的往往不只一类途径,每一类途径往往又包含多种方法,如果要想知道一共有多少种解决方法,就需要用到加法原理.加法原理:一般地,如果完成一件事有k类方法,第一类方法中有m1种不同做法,第二类方法中有m2种不同做法 ,…,第k类方法中有mk种不同的做法,则完成这件事共有N= m1 + m2 +…+mk 种不同的方法.加法原理运用的范围:完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,这样的问题可以使用加法原理解决.我们可以简记为:“加法分类,类类独立”.例题精讲【试题来源】【题目】从五年级8个班中评选出学习、体育、卫生先进集体,如果要求同一个班级只能得到一个先进集体,那么一共有多少种评选方法?【试题来源】【题目】用5种不同颜色的笔来写“智康教育”这几个字,相邻的字颜色不同,共有多少种写法?【试题来源】【题目】北京到广州之间有10个站,其中只有两个站是大站(不包括北京、广州),从大站出发的车辆可以配卧铺,那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票?【试题来源】【题目】7个相同的球放在4个不同的盒子里,每个盒子至少放一个,不同的放法有多少种?【试题来源】【题目】如图所示,沿线段从A 走最短路线到B 有多少种走法?【试题来源】【题目】如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读,那么共有多少种不同的选择?GD F CE BA106343211111BA【试题来源】【题目】用1,2,3,4这4个数字,组成各位数字互不相同的四位数,例如1234,4321等,求全体这样的四位数之和.【试题来源】【题目】某条铁路线上,包括起点和终点在内原来共有7个车站,现在新增了3个车站,铁路上两站之间往返的车票不一样,那么,这样需要增加多少种不同的车票?【试题来源】【题目】用0~9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数.【试题来源】【题目】12个人围成一圈,从中选出三个人,其中恰有两人相邻,共有多少种不同选法?【试题来源】【题目】A、B、C三个小朋友互相传球,先从A开始发球(作为第一次传球),这样经过了5次传球后,球恰巧又回到A手中,那么不同的传球方式共多少种.【试题来源】【题目】在2000到2999这1000个自然数中,有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数?【试题来源】【题目】将一些数字分别填入下列各表中,要求每个小格中填入一个数字,表中的每横行中从左到右数字由小到大,每一竖列中从上到小数字也由小到大排列。

五年级上册数学解方程原理

五年级上册数学解方程原理

五年级上册数学解方程原理
五年级上册数学解方程的原理主要是基于等式的性质。

首先,等式的性质告诉我们,如果等式的两边同时加上或减去同一个数,那么等式仍然成立。

这个性质在解方程时非常重要,因为它允许我们在等式的两边同时进行相同的操作,从而简化问题。

其次,等式的性质还告诉我们,如果等式的两边同时乘或除以同一个非零数,那么等式仍然成立。

这个性质在解方程时也很有用,因为它允许我们在等式的两边同时进行相同的数学运算,从而得到新的等式。

在解方程时,我们通常会使用这些性质来消去方程中的未知数。

例如,如果我们有一个方程2x+5=10,我们可以先从等式的两边同时减去5,得到2x=5.然后再从等式的两边同时除以2,得到x=2.5.这样我们就找到了方程的解。

总的来说,五年级上册数学解方程的原理就是利用等式的性质来简化问题,找到未知数的值。

五年级数学奥数讲义-位值原理与数的进制(学生版)

五年级数学奥数讲义-位值原理与数的进制(学生版)

“位值原理与数的进制”学生姓名授课日期教师姓名授课时长本讲是数论知识体系中的两大基本问题,也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。

通过本讲的学习,要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式,掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。

并学会在其它进制中位值原理的应用。

从而使一些与数论相关的问题简单化。

一、位值原理位值原理的定义:同一个数字,由于它在所写的数里的位置不同,所表示的数值也不同。

也就是说,每一个数字除了有自身的一个值外,还有一个“位置值”。

例如“2”,写在个位上,就表示2个一,写在百位上,就表示2个百,这种数字和数位结合起来表示数的原则,称为写数的位值原理。

二、数的进制我们常用的进制为十进制,特点是“逢十进一”。

在实际生活中,除了十进制计数法外,还有其他的大于1的自然数进位制。

比如二进制,八进制,十六进制等。

二进制:在计算机中,所采用的计数法是二进制,即“逢二进一”。

因此,二进制中只用两个数字0和1。

二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……,=1二进制数也可以写做展开式的形式,例如100110在二进制中表示为:(100110)2×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

二进制的运算法则是“满二进一”、“借一当二”,乘法口诀是:零零得零,一零得零,零一得零,一一得一。

注意:对于任意自然数n,我们有n0=1。

n进制:n进制的运算法则是“逢n进一,借一当n”,n进制的四则混合运算和十进制一样,先乘除,后加减;同级运算,先左后右;有括号时先计算括号内的。

【试题来源】【题目】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除,商等于与的差;ab与ba 的差被9除,商等于与的差;ab与ba的和被11除,商等于与的和。

【试题来源】【题目】如果ab×7= ,那么ab等于多少?【试题来源】【题目】从1~9九个数字中取出三个,用这三个数可组成六个不同的三位数。

第九讲组合三大原理总结每周一爽

第九讲组合三大原理总结每周一爽

第九讲组合三大原理总结每周一爽【例1】(难度等级 ※)有一堆火柴共12根,如果规定每次取1~3根,那么取完这堆火柴共有多少种不同取法?【分析与解】取1根火柴有1种方法,取2根火柴有2种方法,取3根火柴有4种取法,以后取任意根火柴的种数等于取到前三根火柴所有情况之和,以此类推,参照上题列表如下:1根2根3根4根5根6根7根8根9根10根11根12根1 2 4 7 13 24 44 81 149 274 504 927 取完这堆火柴一共有927种方法。

【例2】(难度等级 ※)(2005年走美杯决赛)某数学竞赛共160人进入决赛,决赛共四题,做对第一题的有136人,做对第二题的有125人,做对第三题的有118人,做对第四题的有104人,在这次决赛中至少有()人得满分?【分析与解】没得满分的人每人做对3题时,得满分的人最少,所以至少有136+125+118+104-160×3=3(人)。

【例3】(难度等级 ※※)计算机上编程序打印出前10000个正整数:1、2、3、……、10000时,不幸打印机有毛病,每次打印数字3时,它都打印出x,问其中被错误打印的共有多少个数?【分析与解】共有10000个数,其中不含数字3的有:五位数1个,四位数共8×9×9×9=5832个,三位数共8×9×9=648个,二位数共8×9=72个,一位数共8个,不含数字3的共有1+5832+648+72+8=6561 所求为10000-6561=3439个。

【例4】(难度等级 ※※)在1,2,3,…,2013,2014这2014个自然数中,最多能取出()个数,使取出的这些数中任意两个不同的数的和都不是9的倍数。

【分析与解】这些数按照除以9的余数分类,有0、1、2、3、4、5、6、7、8,因为9=1+8=2+7=3+6=4+5,所以(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)这四组余数中最多只能各选一个,因为2014除以9商为223,余数为7,所以我们选择所有除以9的余数为1,2,3,4的数和一个能被9整除的数,总共可以有224+224+224+224+1=897(个)。

五年级三大原理数学原理学生版

五年级三大原理数学原理学生版

知识要点容斥原理【例1】 某班一共24人,每人至少订阅一份报纸,订阅数学报的有18人,订阅语文报的有16人,数学报和语文报都订阅的有多少人?计数是数学中一个有趣的分支,它所涉及到的方法非常广泛,本节主要介绍关于重叠问题的计数——容斥原理,以及分类分步计数法——加乘原理。

容斥原理基本公式:A B A B A B=+-U I A B C A B C A B B C C A A B C =++---+U U I I I I I 加法原理:如果完成一件事情有k 类方法,第一类方法有1m 种不同做法,第二类方法有2m 种不同做法,…第k 类方法有k m 种不同做法,则完成这件事情有123()k m m m m ++++L 种不同做法。

乘法原理:如果完成一件事情有k 个步骤,第一步有1m 种不同做法,第二步有2m 种不同做法,…第k 步有k m 种不同做法,则完成这件事情有123m k k k k ⨯⨯⨯⨯L 种不同做法。

数学原理【例2】少先队员外出旅游,途经一个小卖部,有15人要喝可乐,有12人要喝雪碧,有4人既要可乐,又要雪碧,没有人不喝饮料。

问有多少少先队员参加这次旅游?【例3】有100种食品.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是多少?【例4】图书室有100本书,借阅图书者要在图书上签名.已知这100本书中有甲、乙、丙签名的分别有33、44和55本,其中同时有甲、乙签名的有29本,同时有甲、丙签名的有25本,同时有乙、丙签名的有36本.问这批图书中至少有多少本没有被甲、乙、丙中的任何一人借阅过?【例5】某年级的课外学科小组分语、数、外三个小组,参加语数外三个小组的人数分别为27人,23人和18人,同时参加语数、数外、语外小组的人数分别是4人、7人、5人,三个小组都参加的有2人。

问这个年级参加课外小组的共有多少人?【例6】某学校组织学生订阅报纸,学校一共400人,订阅数学报的有180人,订阅语文报的有160人,订阅科技报的有320人,三种报纸都订了的有50人,每个人都至少订了一种报纸,有多少人订阅了两份报纸?【例7】四年级一班有46名学生参加3项课外活动.其中有24人参加了数学小组,20人参加了语文小组,参加文艺小组的人数是既参加数学小组也参加文艺小组人数的3.5倍,又是3项活动都参加人数的7倍,既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍,既参加数学小组又参加语文小组的有10人.求参加文艺小组的人数五年级三班学生参加课外【例8】兴趣小组,每人至少参加一项.其中有25人参加自然兴趣小组,35人参加美术兴趣小组,27人参加语文兴趣小组,参加语文同时又参加美术兴趣小组的有12人,参加自然同时又参加美术兴趣小组的有8人,参加自然同时又参加语文兴趣小组的有9人,语文、美术、自然3科兴趣小组都参加的有4人.求这个班的学生人数.【例9】盛夏的一天,有10个同学去冷饮店,向服务员交了一份需要冷饮的统计表:要可乐、雪碧、橙汁的各有5人;可乐、雪碧都要的有3人;可乐、橙汁都要的有2人;雪碧、橙汁都要的有2人;三样都要的只有1人,证明其中一定有1人这三种饮料都没有要.【例10】新年联欢会上,共有90人参加了跳舞、合唱、演奏三种节目的演出.如果只参加跳舞的人数三倍于只参加合唱的人数;同时参加三种节目的人比只参加合唱的人少7人;只参加演奏的比同时参加演奏、跳舞但没有参加合唱的人多4人;50人没有参加演奏;10人同时参加了跳舞和合唱但没有参加演奏;40人参加了合唱;那么,同时参加了演奏、合唱但没有参加跳舞的有________人.【例11】五一班有28位同学,每人至少参加数学、语文、自然课外小组中的一个。

小学五年级上册数学教案:数学原理与实践案例分析

小学五年级上册数学教案:数学原理与实践案例分析

小学五年级上册数学教案:数学原理与实践案例分析数学原理与实践案例分析随着各项科技的不断发展,数学已经成为人们必须具备的基本能力之一。

数学教育是一项长期而重要的事业,而小学五年级上册数学教案的编写和实践则是数学教育的重要一环。

在这篇文章中,我们将着重分析小学五年级上册数学教案的数学原理和实践案例。

此外,我们会通过案例分析的方式,来说明数学原理在实践中的应用。

一、数学原理数学原理是所有数学学科的基础,也是数学教育的大门和窗口。

小学五年级上册数学教案的编写必须符合数学原理,这是确保教育质量和水平的关键。

1.数学的系统性原理数学是一门系统科学。

这就要求我们在教学过程中,应该按照数学的系统性原则来组织课程和安排教学内容。

比如,我们要让学生掌握数的大小比较、小数的概念和运算规则,以及整数的概念和运算,这些知识都应该在系统的框架下,逐步有计划的进行。

2.数学的逻辑性原理数学是一门具有严格的逻辑性的科学。

这就要求我们在教学过程中,应该注重思维训练,让学生在逻辑分析中提高自己的思维能力。

比如,我们可以让学生通过解一些简单的数学问题,来训练逻辑推理和思维能力。

3.数学的实用性原理数学是一门非常实用的科学。

在教学过程中,应该注重实用性原则,关注数学知识在实际中的应用。

比如,我们可以让学生通过测量长度、体积、重量等常见量的实际情况,来体会数学知识在实际中的应用。

二、实践案例分析教育实践才是考验数学原理的时候,它能够验证数学知识是否符合生活以及实际应用。

下面我们就来看看小学五年级上册数学教案中概念的具体实践案例,并探究如何应用数学原理来实现更好的教学效果。

1.十进位制在小学五年级的数学课上,学生们要掌握的一个重要概念是“十进位制”。

十进位制也被称为“阿拉伯数码”,在比较大小、算数运算、小数等方面起着非常重要的作用。

为了让学生更好的掌握十进位制的概念,我们可以依照数学系统性原则和逻辑性原则来设计教学内容,让学生逐步掌握十进位制的概念及其运用。

五年级数学方法技巧练——出入相补原理

五年级数学方法技巧练——出入相补原理

出入相补原理是五年级数学学习中重要的方法技巧之一,主要是用于
解决一些平衡问题,即把一些不平衡的数量变成平衡的数量。

此外,它还
可以用于解决几个均等之间的关系,或者把不等式化为等式。

出入相补原理是指:当你在一边出去的时候,另一边就要相应地补入,即出入相补,以重新使系统保持平衡。

出入相补原理可以用于解各种数学题,常用于解释数量问题,是一种常用的数学方法。

出入相补原理的思想基本是“等量交换”的思想,当出去的时候,就
要补足,使整个体系保持平衡。

它最常用的场景是实物交换,当一边出去
一样实物,另一边就要补充一样实物,以保持整体的均衡。

出入相补原理也可以用于解决一些数量问题,如给定一组数,要求求
解使这组数能够变成等额的,这时可以采用出入相补原理,把不等的数量
变成等式,使得孩子有更多的机会去探索数学思想。

操作起来也很简单,首先要仔细观察题目中给定的数,确定它们的不
平衡的数量关系,然后再考虑出入相补的变化,使得题目得到正确的解决。

需要注意的是,在操作的时候,要准确地标出出入相补的数量关系,也可
以采用画图法,以便更直观地了解出入相补的变化。

出入相补原理的实践也是很多解数学题的基础。

五年级三大原理组合学生版

五年级三大原理组合学生版

知识要点一般地,从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n )元素组成一组不计较组内各元素的次序,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

从排列和组合的定义可以知道,排列与元素的顺序有关,而组合与顺序无关。

如果两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,都是相同的组合,只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合。

从n 个不同元素中取出m 个元素(m ≤n )的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数。

记作m n C 或m n ⎛⎫⎪⎝⎭。

接下来研究如何求组合数。

举个例子,从3个不同元素a ,b ,c 的当中取出2个元素的组合数是多少?由于从3个不同元素中取出2个的排列数可以求得,我们可以考察一下组合数与排列数的关系,从3个不同元素a ,b ,c 中取出2个元素的组合与排列的关系如下:a b , a b ,;b a , b c , b c ,;c b , a c , a c ,;c a ,从上面可以看出,每一个组合对应着2个排列。

因此,求从3个不同的元素中取出2个元素的排列数,可以分为以下两步:第一步,考虑从3个不同元素中取出2个元素的组合,由组合数公式,有23C 种取法; 第二步,对每一个组合中的2个不同元素作全排列,有22P 种排法。

根据乘法原理,222332P C P =⨯。

因此,组合数222332(32)23C P P =÷=⨯÷=。

在数学中可以把a b ÷(0b ≠)记作a b,其中a 叫做分子,b 叫做分母,所以223322P C P =一般地,求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数n m P 可分成以下两步: 第一步,从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组,共有m C 种方法;组 合组合的计算【例 1】 计算:①26C ,46C ;②27C ,57C【例 2】 计算:①198200C ; ②5556C ; ③981001001002C C -【例 3】 计算:⑴ 312C ;⑵ 9981000C ;⑶ 2288P C -.简单组合【例 4】 平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条? 第二步:将每一个组合中的m 个元素进行全排列,共有m mP 种排法。

5.3 容斥原理(二)

5.3 容斥原理(二)
博易新思维数学
五年级秋季拓展版
5.3 容斥原理 (二)
容斥原理一:
如果被计数的事物有A、B两类,那么,A类或B类元素个数
=A类元素个数+B类元素个数-既是A类又是B类的元素个数。
A
B
C
A或B的个数=A+B-C
准备题1:一次期末考试,某班有15人数学得满分,有 12人语文得满分,并且有4人语、数都是满分,那么这个班 至少有一门得满分的同学有多少人?
128+145+136-75-56-82+13 =209(个)
答:六年级一共有209个学生。
例2:某校六(1)班有学生44人,每人在暑假里都参加体育训练队, 其中参加足球队的有25人,参加排球队的有22人,参加游泳队的有 34人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加的有18人, 排球、游泳都参加的有14人,问:三项都参加的有多少人?
红色 白色 黑色 红、白色 红、黑色 白、黑色 红白黑三色
95 102 89
34
42
54
21
求活动现场的观众有多少?
喜欢3种颜色的人:95+102+89-34-42-54+21 =177(人) 现场的观众:177+35=212(人)
答:活动现场的观众有212人。
例5:在1到100的自然数中: (1)是3的倍数或是5的倍数的数共有多少个?
数学得满分 15人
4人
语文得满分 12人
语数都得满分
15+12-4=23(人)
答:这个班至少有一门得满分的同学有23人。
准备题2:有一根180厘米长的绳子,从一端开始,每3厘 米作一记号,每4厘米也作一记号,然后将作有记号的地方剪 断,绳子共被剪成多少段?
3厘米作记号 60段
4厘米作记号 45段

五年级三大原理数学原理学生版

五年级三大原理数学原理学生版

知识要点加法原理【例1】 1~100的所有自然数中,是2或3的倍数的数有多少个?计数是数学中一个有趣的分支,它所涉及到的方法非常广泛,本节主要介绍关于重叠问题的计数——容斥原理,以及分类分步计数法——加乘原理。

容斥原理基本公式:A B A B A B=+- A B C A B C A B B C C A A B C =++---+ 加法原理:如果完成一件事情有k 类方法,第一类方法有1m 种不同做法,第二类方法有2m 种不同做法,…第k 类方法有k m 种不同做法,则完成这件事情有123()k m m m m ++++种不同做法。

乘法原理:如果完成一件事情有k 个步骤,第一步有1m 种不同做法,第二步有2m 种不同做法,…第k 步有k m 种不同做法,则完成这件事情有123m k k k k ⨯⨯⨯⨯种不同做法。

数学原理【例2】(xx年中环杯决赛五年级)在不大于1000的自然数中,不能被3、5、7中任何一个整除的数共有()个。

【例3】有一根长木棍,上有两种刻度线,第一种刻度线将木棍分成十等分;第二种刻度线将木棍分成十五等分。

如果沿着每条刻度线将木棍锯断,木棍总共被锯成了多少段?【例4】A、B、C三个小朋友互相传球,先从A开始发球(作为第一次传球),这样经过了5次传球后,球恰巧又回到A手中,那么不同的传球方式共多少种.【例5】甲乙二人打乒乓球,谁先连胜两局谁赢,若没有人连胜头两局,则谁先胜三局谁赢,打到决出输赢为止.问:一共有多少种可能的情况?【例6】七届中环杯初赛)妈妈要外地出差,临走前交给小李10粒糖,并告诉他每天吃1粒或者2粒,吃完为止.那么,小李有()种不同的方法把糖吃完.【例7】(第七届中环杯初赛)从2006到5550的整数中,十位数字与个位数字相同的数共有多少个?【例8】(第八届中环杯复赛)三位数中各位数之和为10的数共有()个。

【例9】如图所示,沿线段从A到B有多少条最短路线?GFE D C B A【例10】 如下图所示,要从A 点沿线段走到B 点,要求每一步都是向右、向上或者是向斜上方。

五年级三大原理排列组合学生版

五年级三大原理排列组合学生版

知识要点1.使学生正确理解排列、组合的意义;正确区分排列、组合问题;2.了解排列、排列数和组合数的意义,能根据具体的问题,写出符合要求的排列或组合;3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系;4.会分析与数字有关的计数问题,以及与其他专题的综合运用,培养学生的抽象能力和逻辑思维能力;通过本讲的学习,对排列组合的一些计数问题进行归纳总结,重点掌握排列与组合的联系和区别,并掌握一些排列组合技巧,如捆绑法、挡板法等。

一、排列问题在实际生活中经常会遇到这样的问题,就是要把一些事物排在一起,构成一列,计算有多少种排法,就是排列问题.在排的过程中,不仅与参与排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关。

一般地,从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.根据排列的定义,两个排列相同,指的是两个排列的元素完全相同,并且元素的排列顺序也相同.如果两个排列中,元素不完全相同,它们是不同的排列;如果两个排列中,虽然元素完全相同,但元素的排列顺序不同,它们也是不同的排列.排列的基本问题是计算排列的总个数.从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数,我们把它记做m n P .排列组合n m ⋅⋅-+)(n m -+)(开始,后面每个因数比前一个因数小,共有m 个因数相乘。

一般地,对于m n =的情况,排列数公式变为1321n n ⋅-⋅⋅⋅⋅⋅()().个不同元素中取个元素排成一列所构成排列的排列数.这种n 个排列全部取个不同元素的全排列.式子右边是从开始,后面每一个因数比前一个因还可以写为:n n P =321⋅⋅⋅⋅)日常生活中有很多“分组”问题.如在体育比赛中,把参赛队分为几个组,从全班同学中选出几人参加某项活动等等.这种我们将着重研究有多少种分组方法的问题。

五年级奥数专题 容斥原理(学生版)

五年级奥数专题 容斥原理(学生版)

容斥原理学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位容斥原理中的知识点比较简单,是计数问题中比较浅的一支。

这个知识点经常和数论知识结合出综合型题目。

这个原理本身并不是很难理解,不过经常和数论知识结合出题,所以对学生的理解层次要求较高,学生必须充分理解、吃透。

1.充分理解和掌握容斥原理的基本概念2.利用图形分析解决容斥原理问题知识梳理授课批注:本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透,这个原理本身并不是很难理解,不过经常和数论知识结合出题所以对学生的理解层次要求较高。

一. 容斥原理的概念定义在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算。

我们用|A|表示有限集A 的元素个数。

求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成:|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|,我们称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理。

图示如右:A表示小圆部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为:A∩B,即阴影面积。

用法:包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数,可分以下两步进行:第一步:分别计算集合A、B的元素个数,然后加起来,即先求|A|+|B|(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来,加在一起);第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C=|A∩B|(意思是“排除”了重复计算的元素个数)二.竞赛考点1. 容斥原理的基本概念2. 与数论相结合的综合型题目例题精讲【试题来源】【题目】在一个炎热的夏日,10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。

其中6人买了汽水,6人买了可乐,4人买了果汁,有 3人既买了汽水又买了可乐,1人既买了汽水又买了果汁,2人既买了可乐又买了果汁。

问:(1)三样都买的有几人?(2)只买一样的有几人?【试题来源】【题目】某班有学生46人,在调查他们家中是否有电子琴和小提琴时发现,有电子琴的22人,两种琴都没有的14人,只有小提琴的与两种琴都有的人数之比是5∶3。

三大数学原理—容斥原理考前冲刺

三大数学原理—容斥原理考前冲刺

在计数时,为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。

两个集合的容斥原理用式子表示成:A ∪B =A +B -A∩B(其中符号“∪”读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“∩”读作“交”,相当于中文“且”的意思。

)三个集合的容斥原理用式子表示为:A ∪B ∪C =A +B +C -A∩B -B∩C -A∩C +A∩B∩C(第五届“聪明小机灵”小学数学邀请赛(复赛)试题四年级)儿童会有成员567人,有两个议案要投票表决是否赞同。

每个人各投一票,则结果为赞成第一议案的有345人,赞成第二议案的有234人,同时反对第一和第二议案的有123人。

同时赞成第一和第二议案的有_______人。

(两个议案每个人都必须投赞成票或反对票)某大学某班学生总数为32人,在第一次考试中有26人及格,在第二次考试中有24人及格,若两次考试中,都没有及格的有4人,那么两次考试都及格的人数是( )。

学校对100名学生进行调查,结果发现有58人喜欢上数学课,有38人喜欢上语文课,有52人喜欢上英语课,既喜欢上数学又喜欢上语文的有18人,既喜欢上英语又喜欢上语文的有16人,三门功课都喜欢的有12人,如果被调查学生都至少有1门喜欢的课,请问有多少同学既喜欢上数学又喜欢上英语?有多少名同学只喜欢英语课?在一根长的木棍上有三种刻度线,第一种刻度线将木棍分成10等份,第二种将木棍分成12等份,第三种将木棍分成15等份。

如果沿每条刻度线将木棍锯断,木棍总共被锯成多少段?50名同学面向老师站成一行。

老师先让大家从左至右按1,2,3…49,50依次报数;再让报数是4的倍数的同学向后转,接着又让报数是6的倍数的同学向后转。

问:现在面向老师的同学还有多少名?有2000盏亮着的电灯,各有一个拉线开关控制着,现按其顺序标号为1,2,3…2000,然后将编号为2的倍数的灯线拉一下,再将编号为3的倍数的灯线拉一下,最后将编号为5的倍数的灯线拉一下,3次拉完后亮着的灯有多少盏?测试题1.京华小学五年级学生采集标本。

五年级奥数加乘原理之数字问题(一)学生版

五年级奥数加乘原理之数字问题(一)学生版

五年级奥数加乘原理之数字问题(一)学生版2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力.3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题,掌握常见的计数方法,会使用这些方法解决问题.在分类讨论中结合分步分析,在分步分析中结合分类讨论;教师应该明确并强调哪些是分类,哪些是分步.并了解与加、乘原理相关的常见题型:数论类问题、染色问题、图形组合.一、加乘原理概念 生活中常有这样的情况:在做一件事时,有几类不同的方法,在具体做的时候,只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成,并且这几类方法是互不影响的.那么考虑完成这件事所有可能的做法,就要用到加法原理来解决.还有这样的一种情况:就是在做一件事时,要分几步才能完成,而在完成每一步时,又有几种不同的方法.要知道完成这件事情共有多少种方法,就要用到乘法原理来解决.二、加乘原理应用应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点:⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和.⑵乘法原理是把一件事分几步完成,这几步缺一不可,所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积.⑶在很多题目中,加法原理和乘法原理都不是单独出现的,这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理,综合分析,正确作出分类和分步.加法原理运用的范围:完成一件事的方法分成几类,每一类中的任何一种方法都能完成任务,这样的问题可以使用加法原理解决.我们可以简记为:“加法分类,类类独立”.乘法原理运用的范围:这件事要分几个彼此互不影响....的独立步骤....来完成,这几步是完成这件任务缺一不可的.....,这样的问题可以使用乘法原理解决.我们可以简记为:“乘法分步,步步相关”.【例 1】 由数字1,2,3 可以组成多少个没有重复数字的数?【考点】加乘原理之综合运用 【难度】2星 【题型】解答教学目标例题精讲知识要点7-3-2.加乘原理之数字问题(一)【解析】因为有1,2,3共3个数字,因此组成的数有3类:组成一位数;组成二位数;组成三位数.它们的和就是问题所求.⑴组成一位数:有3个;⑵组成二位数:由于数字可以重复使用,组成二位数分两步完成;第一步排十位数,有3种方法;第二步排个位数也有3种方法,因此由乘法原理,有326⨯=个;⑶组成三位数:与组成二位数道理相同,有326⨯=个三位数;所以,根据加法原理,一共可组成36615++=个数.【答案】15【例 2】用数字1,2,3可以组成6个没有重复数字的三位数,这6个数的和是。

L 五上 第3、4讲 乘法原理和加法原理(一)(二)(20170922版和20170929版)

L 五上 第3、4讲 乘法原理和加法原理(一)(二)(20170922版和20170929版)

第3讲乘法原理和加法原理(一)姓名得分【例1】马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋,他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。

问:小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配?【例2】从甲地到乙地有2条路,从乙地到丙地有3条路,从丙地到丁地也有2条路。

问:从甲地经乙、丙两地到丁地,共有多少种不同的走法?【例3】用数字1,2,3,4,5,6可以组成多少个三位数(各位上的数字允许重复)?【例4】用数字1,2,3,4,5,6可以组成多少个三位数(各位上的数字不允许重复)?【例5】用数字0,1,2,3,4,5可以组成多少个三位数(各位上的数字允许重复)?【举一反三】1.甲组有6人,乙组有8人,丙组有9人。

从三个组中各选一人参加会议,共有多少种不同选法?2.要从四年级六个班中评选出学习和体育先进集体各一个(不能同时评一个班),共有多少种不同的评选结果?【例6】从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船。

一天中火车有4班,汽车有3班,轮船有2班。

问:一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地,共有多少种不同走法?【例7】有红、黄、蓝小旗各一面,从中选用1面、2面或3面升上旗杆,做出不同的信号,一共可以做出多少种不同的信号?【例8】两次掷一枚骰子,两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种?【举一反三】从19、20、21、22、…93、94这76个数中,选取两个不同的数,使其和为偶数的选法共有多少种?第4讲乘法原理和加法原理(二)姓名得分【例9】1995的数字和是1+9+9+5=24,问:小于2000的四位数中,数字和等于24的数共有多少个?【举一反三】从1---9这九个数中,每次取2个数,这两个数的和必须大于10,能有多少种取法。

【例10】从3名男生与2名女生中选出3名三好学生,其中至少有一名女生,共有多少种选法?【举一反三】从8个班选11个三好学生,每班至少1名,共有多少种不同的选法。

【例11】有3个工厂共订300份《南方日报》,每个工厂最少订99份,最多订101份,一共有多少种不同的订法?【举一反三】把12支铅笔分给3个人,每人分得偶数支,且最少得2支,共有多少种分法?【例12】一位小朋友横着一排画了6个苹果,其中至少有3个苹果连在一起画的方法有多少种?【例13】在左下图中,从A点沿实线走最短路径到B点,共有多少条不同路线?【举一反三】左下图是某街区的道路图。

第8讲[1].抽屉原理(二).学生版

第8讲[1].抽屉原理(二).学生版

一、知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理,它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题,因此,也被称为狄利克雷原则.抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理,利用它可以解决很多有趣的问题,并且常常能够起到令人惊奇的作用.许多看起来相当复杂,甚至无从下手的问题,在利用抽屉原则后,能很快使问题得到解决.二、抽屉原理的定义(1)举例桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,有的抽屉可以放一个,有的可以放两个,有的可以放五个,但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。

(2)定义一般情况下,把n +1或多于n +1个苹果放到n 个抽屉里,其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。

我们称这种现象为抽屉原理。

三、抽屉原理的解题方案(一)、利用公式进行解题苹果÷抽屉=商……余数余数:(1)余数=1, 结论:至少有(商+1)个苹果在同一个抽屉里 (2)余数=x ()()11x n - , 结论:至少有(商+1)个苹果在同一个抽屉里(3)余数=0, 结论:至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 (二)、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论,将复杂的题目变得非常简单,也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法.【例 1】 在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个,小聪明和其他六个小朋友一起做游戏,每人可以从口袋中随意取出2个球,那么不管怎样挑选,总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一样.你能说明这是为什么吗?【巩固】 11名学生到老师家借书,老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书,每名学生最多可借两本不同类的书,最少借一本.试说明:必有两个学生所借的书的类型相同【巩固】 体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球,有66个同学来仓库拿球,要求每个人至少拿一个,最多拿两个球,问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的?【巩固】 幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机,每个小朋友任意选择两件不同的,那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的?【例 2】 红、蓝两种颜色将一个25⨯方格图中的小方格随意涂色(见下图),每个小方格涂一种颜色.是第八讲:抽屉原理(二)否存在两列,它们的小方格中涂的颜色完全相同?第二行第一行第五列第四列第三列第二列第一列【例 3】 从2、4、6、8、 、50这25个偶数中至少任意取出多少个数,才能保证有2个数的和是52?【巩固】 证明:在从1开始的前10个奇数中任取6个,一定有2个数的和是20.【巩固】 从1,4,7,10,…,37,40这14个数中任取8个数,试证:其中至少有2个数的和是41.【巩固】 从2、4、6、…、30这15个偶数中,任取9个数,证明其中一定有两个数之和是34.【例 4】 从1,2,3,4,…,1994这些自然数中,最多可以取 个数,能使这些数中任意两个数的差都不等于9.【巩固】 从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中,至少任选几个数,就可以保证其中一定包括两个数,它们的差是12.【巩固】 从1,2,3,4,…,1988,1989这些自然数中,最多可以取____个数,其中每两个数的差不等于4.【例 5】 从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多选出 个数,使得在选出的数中,每一个数都不是另一个数的2倍.【巩固】 从1到20这20个数中,任取11个不同的数,必有两个数其中一个是另一个数的倍数.【巩固】 从1,3,5,7,…,97,99中最多可以选出多少个数,使得选出的数中,每一个数都不是另一个数的倍数?【巩固】从整数1、2、3、…、199、200中任选101个数,求证在选出的这些自然数中至少有两个数,其中的一个是另一个的倍数.【例6】从1,2,3,……49,50这50个数中取出若干个数,使其中任意两个数的和都不能被7整除,则最多能取出多少个数?【例7】从1,2,3,…,99,100这100个数中任意选出51个数.证明:(1)在这51个数中,一定有两个数互质;(2)在这51个数中,一定有两个数的差等于50;(3)在这51个数中,一定存在9个数,它们的最大公约数大于1.【例8】有49个小孩,每人胸前有一个号码,号码从1到49各不相同.现在请你挑选若干个小孩,排成一个圆圈,使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100,那么你最多能挑选出多少个孩子?【例9】要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中,每个盒子最多可以装5个乒乓球,问:至少有多少个盒子中的乒乓球数目相同?【例10】有苹果和桔子若干个,任意分成5堆,能否找到这样两堆,使苹果的总数与桔子的总数都是偶数?【例11】在长度是10厘米的线段上任意取11个点,是否至少有两个点,它们之间的距离不大于1厘米?【巩固】在1米长的直尺上任意点五个点,请你说明这五个点中至少有两个点的距离不大于25厘米.【巩固】在20米长的水泥阳台上放12盆花,随便怎样摆放,请说明至少有两盆花它们之间的距离小于2米.【例12】在边长为3的正三角形内,任意放入10个点,求证:必有两个点的距离不大于1.【巩固】 在边长为3米的正方形中,任意放入28个点,求证:必定有四个点,以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米.【巩固】 在一个矩形内任意放五点,其中任意三点不在一条直线上。

五年级容斥原理求阴影部分面积

五年级容斥原理求阴影部分面积

五年级容斥原理求阴影部分面积容斥原理是集合论中的一个重要原理,它用于解决计数问题和概率问题。

在几何中,容斥原理也可以用来求解非常规的面积问题,例如求解几何图形的阴影部分面积。

在五年级数学学习中,容斥原理的应用可能比较抽象和复杂,但我们可以通过具体的例子来理解和应用容斥原理来求解阴影部分的面积。

首先,让我们来看一个例子。

假设有一个矩形,上面有一个半圆,我们需要求解整个图形的阴影部分的面积。

这个问题可以通过容斥原理来进行求解。

首先我们可以分别计算矩形和半圆的面积,然后再减去它们的交集部分的面积,最后就能得到整个图形的阴影部分的面积。

矩形的面积可以用长乘以宽来进行计算,假设矩形的长为L,宽为W,则矩形的面积为S1=L*W。

半圆的面积可以用πr^2/2来进行计算,假设半圆的半径为r,则半圆的面积为S2=πr^2/2。

接下来,我们需要求解矩形和半圆的交集部分的面积。

首先我们可以通过计算矩形和半圆的重叠部分的面积来进行求解。

具体的计算方法可以通过几何解析或者代数解析来进行计算。

假设我们已经计算出了矩形和半圆的交集部分的面积为S3。

最后,我们可以通过容斥原理来计算整个图形的阴影部分的面积。

根据容斥原理,整个图形的阴影部分的面积为S=S1+S2-S3。

通过这个例子,我们可以看到容斥原理的应用在几何图形的面积求解中具有非常重要的作用。

在实际的数学学习中,学生可以通过类似的例子来理解容斥原理的应用,然后尝试应用容斥原理来求解其他阴影部分的面积问题。

除了几何图形的面积求解,容斥原理还可以应用在其他的问题中,例如计数问题和概率问题。

通过学习容斥原理,学生可以建立起一种抽象思维方式,从而更好地理解和解决复杂的数学问题。

在进行容斥原理的应用时,学生需要掌握一些基本的数学概念和计算方法,例如几何图形的基本面积计算公式、交集部分的计算方法等。

通过不断练习和实践,学生可以逐渐提高对容斥原理的理解和应用能力。

在教学实践中,老师可以通过启发式的问题引导学生进行思考和讨论,帮助他们建立起对容斥原理的直观理解和应用能力。

五年级三大原理数学原理学生版

五年级三大原理数学原理学生版

知识要点加法原理【例1】 1~100的所有自然数中,是2或3的倍数的数有多少个?计数是数学中一个有趣的分支,它所涉及到的方法非常广泛,本节主要介绍关于重叠问题的计数——容斥原理,以及分类分步计数法——加乘原理。

容斥原理基本公式:A B A B A B=+- A B C A B C A B B C C A A B C =++---+ 加法原理:如果完成一件事情有k 类方法,第一类方法有1m 种不同做法,第二类方法有2m 种不同做法,…第k 类方法有k m 种不同做法,则完成这件事情有123()k m m m m ++++种不同做法。

乘法原理:如果完成一件事情有k 个步骤,第一步有1m 种不同做法,第二步有2m 种不同做法,…第k 步有k m 种不同做法,则完成这件事情有123m k k k k ⨯⨯⨯⨯种不同做法。

数学原理【例2】(2009年中环杯决赛五年级)在不大于1000的自然数中,不能被3、5、7中任何一个整除的数共有()个。

【例3】有一根长木棍,上有两种刻度线,第一种刻度线将木棍分成十等分;第二种刻度线将木棍分成十五等分。

如果沿着每条刻度线将木棍锯断,木棍总共被锯成了多少段?【例4】A、B、C三个小朋友互相传球,先从A开始发球(作为第一次传球),这样经过了5次传球后,球恰巧又回到A手中,那么不同的传球方式共多少种.【例5】甲乙二人打乒乓球,谁先连胜两局谁赢,若没有人连胜头两局,则谁先胜三局谁赢,打到决出输赢为止.问:一共有多少种可能的情况?【例6】七届中环杯初赛)妈妈要外地出差,临走前交给小李10粒糖,并告诉他每天吃1粒或者2粒,吃完为止.那么,小李有()种不同的方法把糖吃完.【例7】(第七届中环杯初赛)从2006到5550的整数中,十位数字与个位数字相同的数共有多少个?【例8】(第八届中环杯复赛)三位数中各位数之和为10的数共有()个。

【例9】如图所示,沿线段从A到B有多少条最短路线?GFE D C B A【例10】 如下图所示,要从A 点沿线段走到B 点,要求每一步都是向右、向上或者是向斜上方。

五年级三大原理排列学生版

五年级三大原理排列学生版

知识要点在实际生活中经常会遇到这样的问题,就是要把一些事物排在一起,构成一列,计算有多少种排法,就是排列问题。

在排的过程中,不仅与参与排列的事物有关,而且与各事物所在的先后顺序有关。

根据排列的定义,两个排列相同,指的是两个排列的元素完全相同,并且元素的排列顺序也相同。

如果两个排列中,元素不完全相同,它们是不同的排列;如果两个排列中,虽然元素完全相同,但元素的排列顺序不同,它们也是不同的排列。

排列的基本问题是计算排列的总个数。

从n 个不同的元素中取出m (m ≤n )个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数,我们把它记做m n P 或m n A 。

根据排列的定义,做一个m 元素的排列由m 个步骤完成:步骤1:从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位,有n 种方法;步骤2:从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位,有(1n -)种方法;……步骤m :从剩下的[()1n m --]个元素中任取一个元素排在第m 个位置,有()11n m n m --=-+ 种方法;由乘法原理,从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是()()()121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+L L ,即()()()121m n P n n n n m =---+L L ,这里,m ≤n ,且等号右边从n 开始,后面每个因数比前一个因数小1,共有m 个因数相乘。

排 列简单排列【例 1】 计算:(1)25P (2)4377P P -【例 2】 计算:⑴ 23P ;⑵ 32610P P -【例 3】 计算:⑴321414P P -; ⑵53633P P -.【例 4】 有五面颜色不同的小旗,任意取出三面排成一行表示一种信号,问:共可以表示多少种不同的信号?【例 5】 在航海中,船舰常以“旗语”相互联系,即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号。

如有红、黄、绿三面不同颜色的旗子,按一定顺序同时升起表示一定的信号,问这样总共可以表示出多少种不同的信号?【例 6】 幼儿园里的6名小朋友去坐3把不同的椅子(每把椅子只能坐一个人),有多少种坐法?【例 7】幼儿园里3名小朋友去坐6把不同的椅子(每人只能坐一把),有多少种不同的坐法?【例 8】4名同学到照相馆照相。

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知识要点
加法原理
【例1】 1~100的所有自然数中,是2或3的倍数的数有多少个?
计数是数学中一个有趣的分支,它所涉及到的方法非常广泛,本节主要介绍关于重叠问题的计数——容斥原理,以及分类分步计数法——加乘原理。

容斥原理基本公式:
A B A B A B
=+- A B C A B C A B B C C A A B C =++---+ 加法原理:
如果完成一件事情有k 类方法,第一类方法有1m 种不同做法,第二类方法有2m 种不同做法,…第k 类方法有k m 种不同做法,则完成这件事情有123()k m m m m ++++种不同做法。

乘法原理:
如果完成一件事情有k 个步骤,第一步有1m 种不同做法,第二步有2m 种不同做法,…第k 步有k m 种不同做法,则完成这件事情有123m k k k k ⨯⨯⨯
⨯种不同做法。

数学原理
【例2】(2009年中环杯决赛五年级)在不大于1000的自然数中,不能被3、5、7中任何一个整除的数共有()个。

【例3】有一根长木棍,上有两种刻度线,第一种刻度线将木棍分成十等分;第二种刻度线将木棍分成十五等分。

如果沿着每条刻度线将木棍锯断,木棍总共被锯成了多少段?
【例4】A、B、C三个小朋友互相传球,先从A开始发球(作为第一次传球),这样经过了5次传球后,球恰巧又回到A手中,那么不同的传球方式共多少种.
【例5】甲乙二人打乒乓球,谁先连胜两局谁赢,若没有人连胜头两局,则谁先胜三局谁赢,打到决出输赢为止.问:一共有多少种可能的情况?
【例6】七届中环杯初赛)妈妈要外地出差,临走前交给小李10粒糖,并告诉他每天吃1粒或者2粒,吃完为止.那么,小李有()种不同的方法把糖吃完.
【例7】(第七届中环杯初赛)从2006到5550的整数中,十位数字与个位数字相同的数共有多少个?【例8】(第八届中环杯复赛)三位数中各位数之和为10的数共有()个。

【例9】如图所示,沿线段从A到B有多少条最短路线?
G
F
E D C B A
【例10】 如下图所示,要从A 点沿线段走到B 点,要求每一步都是向右、向上或者是向斜上方。

问有多
少种不同的走法?
B
A
乘法原理
【例1】 一个盒子内装有5个小球,另一个盒子内装有9个小球,所有这些小球颜色各不相同,问:从两个盒子内各取一个小球,有多少种不同的取法?
【例2】
如图所示,地图上有,,,A B C D 四个区域,现在用红蓝黄绿四种颜色给地图染色,使相邻区域的颜色不同,问有多少种不同的染色方法。

D
C
B
A
【例3】
参加会议的人见面都要握手一次,如果每人都要和其他人握手一次,一共握手136次,那么参加会议的人数是多少?
【例4】 从7名候选人中,首先选出一名班长,再选出4名班干部,共有多少种不同的选法
【例5】 从8人的数学兴趣小组中选2人,①分别担任正副组长,有多少种不同的选法?②一起参加一次数学竞赛,有多少种不同的选法?
【例6】
车间内亮着50盏灯,编号为1~50,有50名工人,第一个工人把编号为1的倍数的灯的开关拉一下,第二个工人把编号为2的倍数的灯的开关拉一下,第三个工人把编号为3的倍数的灯的开关拉一下……,以此类推,问,当50名工人都拉过一遍开关之后,哪些灯被关掉了?
【例7】7个人排成一排照相,其中甲乙丙3人必须排在一起,有多少种不同的排法?
【例8】有五对夫妇围成一圈,使每一对夫妇的夫妻二人都相邻的排法有多少种?
一课一练
【练习1】分母是209的最简真分数有多少个?
【练习2】1~300这300个自然数中,既不是3的倍数又不是7的倍数的数一共有多少个?
【练习3】有一根长180厘米的绳子,从一端开始,每隔3厘米作一个记号,每隔4厘米也作一个记号,然后将标有记号的地方剪断。

问绳子共被剪成了多少段?
【练习4】 从5幅国画、3幅油画和2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室,问有多少种不同的选
法?
【练习5】 如图所示,从甲地到乙地有4条路可走,从乙地到丙地有2条路可走,从甲地到丙地有三条路
可走。

那么从甲地到丙地共有多少种走法?



【练习6】 下图共有16个方格,要把,,,A B C D 四个不同的棋子放在方格中,并使每行每列出现一个棋子,
问:共有多少种不同的放法?。

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