人大附中华杯赛资料：环形行程问题
华杯总决赛集训讲义
华杯赛小高总决赛集训队赛前集训讲义—应用题(一)——行程问题【知识点总结】:★行程问题中包括:相遇问题、追及问题、火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程等等。
★每一类问题都有自己得特点,解决方法也有所不同,但就是,行程问题无论怎么变化,都离不开“三个量,三个关系”:三个量就是: 路程(s)、速度(v)、时间(t)三个关系:1、简单行程:路程=速度×时间2、相遇问题:路程与=速度与×时间3、追击问题:路程差=速度差×时间把握住这三个量以及它们之间得三种关系,就会发现解决行程问题还就是有很多方法可循得。
【经典例题】:例1.A、B两地相距125千米,甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地同时出发,相向而行。
丙骑摩托车以每小时63千米得速度,与甲同时从A第出发,在甲、乙两人之间来回穿梭。
若甲骑车速度为每小时9千米,且当丙第二次回到甲处时,甲、乙两人相距45千米,问:当甲、乙两人相距20千米时,甲与丙相距多少千米？例2.如图,ABCD四个球按顺时针方向均匀分布在周长为48米得圆周上,分别以1米/秒,2米/秒,3米/秒,4米/秒得速度做顺时针运动。
当有两个球碰到一起得时候,两个球交换速度,但运动方向不变,当三个球碰到一起得时候,中间球得速度不变,其她两个球相互交换速度。
请问:从四个球出发开始,经过多少秒四个球第一次同时碰到一起？(不考虑球得半径)例3.如图,A、B两地相距54千米,D就是AB得中点。
甲、乙、丙三人骑车分别同时从A、B、C三地出发,甲骑车去B地,乙骑车去A地,丙总就是经过D之后往甲、乙两人将要相遇得地方骑,结果三人在距离D点5400米得E点相遇。
如果乙得速度提高到原来得3倍,那么丙必须提前52分钟出发三人才能相遇,否则甲、乙相遇得时候,丙还差6600米才到D。
请问:甲得速度就是每小时多少千米？A例5.甲、乙、丙三人同时从山脚开始爬山,到达山顶后立即下山,不断往返运动。
华杯赛培训讲义行程问题
行 程 问 题行程问题为小学和初中数学学习的重要应用问题，在行程问题中，除特别指出外，都假定速度是常数，即匀速运动，匀速运动的基本公式十分简单： 路程=时间⨯速度但是由于路程的多样化，时间前后的差别，以及速度的变化，使得行程问题变得复杂而丰富多彩。
行程问题虽然是实际问题的初级近似，但地，由于它的各色各样的变化，使得中小学的数学知识中的许多知识点能有趣而生动地融汇其中，而成为学生能力培养的有力工具。
在各届华杯赛中，行程问题是各类问题出现频率最高的问题之一。
求解行程问题一般分如下步骤：1。
审题 2。
画示意图 3。
找关键要素 4。
列关系式 5。
分析 6。
给出答案。
下面将通过具体的问题来解释这六个步骤。
行程问题中的方程方法列方程求解行程问题是最通常的方法，也是最为有效的方法。
多数行程问题可以用列方程解方程的方法来求解。
列方程就是上述步骤中第四步中建立一个或几个含有未知数的条件等式，而第五步中的分析就是解方程。
例1．甲、乙二人从相距60千米的两地同时相向而行，6小时后相遇。
如果二人的速度每小时个增加1千米，那么相遇地点距前一次相遇地点1千米。
问：甲、乙二人速度个多少？解。
设甲的速度为每小时v 千米。
因为，两人6小时相遇，所以，二人的速度和为10千米。
乙的速度为每小时10-v 千米。
二人的速度个增加1千米，速度和为12千米，因此，需要小时）(51260=相遇。
第一次甲的行程为6v ，第二次甲的行程为5（v +1）,相差1千米：.6,1)1(56==+-v v v 答。
二人的速度分别为每小时6千米和每小时4千米。
例2． 快、中、慢三辆车同时从同一地出发， 沿一公路追赶前面一个骑自行车的人，这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑自行车的人。
现知快车每小时走24千米，中车每小时走20千米。
那么慢车每小时走多少千米？解。
设自行车速度为每小时v 千米，慢车每小时a 千米，三车出发时自行车在他们前面L 千米。
人大附中 华杯赛资料--运动与区域
例1.一条直线上放着一个长和宽分别为4cm和3cm的长方形Ⅰ（如图）.它的对角线长恰好是5cm.让这个长方形绕顶点B顺时针旋转90°后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，A点到达E点的位置.求A点走过的路程的长（圆周率按3计算）.
[答疑编号505721460101]
【答案】18cm.
【解答】2π×（3＋4＋5）× ＝18cm。
4×（18＋16＋16）＋2×2＋4π＋π＋π×16× ＝28.07平方厘米
例5.如下左图，半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动，当小铁环沿大铁环滚动一周回到原位时，问：小铁环绕自身转了几圈？
思考：如果小铁环在圆外滚动一周回到原位，到底自身滚动几圈呢？
[答疑编号505721460105]
因为硬币相互间滚过的圆弧长是相等的，
所以这时它与两枚硬币的交点分别是C和D.
当到达阴影所示的部分时，硬币又滚过了三分之一的圆弧长，
所以与X点重合的是F点.
例2.如图是一个直径为3cm的半圆，让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60°，此时B点移动到B′点，求阴影部分的面积.
[答疑编号505721460102]
【答案】4.71cm2.
【解答】S阴影＋S扇＝S扇＋S扇BAB’
所以 S阴影＝S扇BAB’
S＝π×r2× ＝π×9× ＝4.71cm2
例3.如图，将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB＝4，BC＝3，AC＝5，求AD边扫过部分的面积.
[答疑编号505721460104]
【答案】228.07平方厘米.
【解答】
我们逐段画出小圆板的运动轨迹，
可以看到：圆板经过的区域可以分成几个部分求解，
而且每部分的主要组成都是长方形，
环形路上的行程问题
追及问题
相差路程÷速度之差=追上时间
追上时间×速度之差=相差路程
相差路程÷追上时间=速度之差
相遇问题
速度之和×相遇时间=相遇路程（路程之和） 相遇路程÷相遇时间=速度之和 相遇路程÷速度之和=相遇时间
复习：
1
2
3
4
5
6
STEP5
STEP4
STEP3
STEP2
STEP1
分析：
小明走4分钟的路程相当于小强走6分钟的路程。
16
1
3
5
7
9
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15
1
2
3
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6
7
8
8
则它们从出发到初次相遇经过的时间是： 1+3+5+7+9+11+13+15=64分钟 第一次相遇在下半圆，折返向上半圆爬去，须爬行17分钟。去掉在下半圆的8分钟，在上半圆须爬行17－8=9分钟。但在上半圆爬行8分钟就会相遇，因此总时间用去了8+8=16分钟。 即：在第一次64分钟相遇后再过16分钟第二次相遇。 （相遇位置在上半圆）
后一半用时：80－36=44（秒）
答：小明后一半路程用了44秒。
2.小明在360米长的环形跑道上跑了一圈。已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，那么小明后一半路程用了多少秒？
分析：
假设小王走了2小时10分：4×2=8（千米）
小张在这段时间走了：
2×[ (60－10)÷10]+1=11（千米）
8 .三个环形跑道相切排列，每个环形跑道的周长均为210厘米。甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示的方向出发，甲爬虫绕1、2号环形跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕3、2号环形跑道作“8”字形循环运动，甲、乙两只爬虫的速度分别是每分钟20、15厘米。问甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米？
环形行程问题
环形行程问题《环形行程问题》咱来聊聊环形行程问题，这可有点像一场在环形跑道上的追逐游戏。
我记得学校开运动会的时候，有个项目就是 400 米环形跑道的长跑比赛。
那些运动员们站在起跑线上，一个个都精神抖擞，就像即将出征的战士。
发令枪响，他们就像脱缰的野马一样冲了出去。
这时候就有环形行程问题里的“同向而行”和“相向而行”的情况啦。
你看啊，跑在最前面的那个同学，他的速度比其他同学快不少。
后面的同学想要追上他，就得加快速度，这就是同向而行的追赶问题。
就像我和我的小伙伴们在操场玩的时候，我骑自行车，我的朋友在后面跑着追我。
我故意骑得快一点，他就在后面气喘吁吁地喊：“你慢点，等等我！”我呢，还时不时回头看看他离我有多远，心里想着我要保持这个速度，不能让他追上。
这就和环形跑道上的运动员一样，领先的要保持优势，落后的要想办法缩短差距，这里面就涉及到速度差和路程差的关系。
如果知道领先者的速度、追赶者的速度以及他们之间的距离，就能算出多久能追上，这就是环形行程问题中的一个小奥秘。
还有啊，在接力赛的时候，就会出现相向而行的情况。
两个不同方向跑来的同学，要在跑道的某个点交接接力棒。
我当时看着他们交接棒的时候，心都提到嗓子眼了，生怕出什么差错。
这就好比两个人从环形跑道的两端出发，朝着对方跑去，他们相遇的时间就和他们的速度以及跑道的长度有关。
如果两人速度快，那肯定很快就能相遇，顺利交接棒；要是有一方速度慢了，那就可能会耽误时间，甚至掉棒，那就糟糕了。
从这些运动会的场景就能明白，环形行程问题在生活中还挺常见的。
它不仅仅是数学课本上的一道道题目，更是在体育赛事、日常玩耍等各种场景中都会出现的情况。
我们只要搞清楚速度、路程、时间这几个关键要素之间的关系，不管是同向还是相向的环形行程问题，都能轻松应对，就像运动员们在跑道上把握好自己的节奏一样，我们也能在解决这类问题时游刃有余，不再被那些看似复杂的环形行程问题搞得晕头转向啦。
五年级数学—环形路上的行程问题
五年级奥数——环形路上的行程问题1、环形运动问题：环形周长=（大速度+小速度）×相遇的时间环形周长=（大速度-小速度）×相遇的时间环形运动的追及问题和相遇问题：同时同向起点运动，第一次相遇，速度快的比速度慢的多跑一圈。
在环形跑道上同时同向，速度快的在前，慢的在后。
不是封闭的跑道追及问题，速度慢的在前，快的在后。
1.两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑，甲分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙，如果两人同时同地反向而跑，经过多少钟后两人相遇？2.甲，乙两运动员在周长为400米的环形跑道上同向竞走，已知乙的平均速度是每分钟80米，甲的平均速度是乙的1.25倍，甲在乙前面100米处，问几分钟后，甲第1次追上乙？3.如图，A、B是圆的直径的两端，小军在A点，小勇在B点，同时出发相向而行，他俩第1次在C点相遇，C离A点50米；第2次在D点相遇，D点离B点3O米.求这个圆的周长是多少米？4.在一个长800米的环行湖边上，小明，小张两人同时从同一点出发，反向跑步，5分钟两人第一次相遇，小明每分钟跑100米，张静每分钟跑多少米？如果两人同时从同一点出发，同向跑步，多少分钟后小明能追上张静？(湘麓P29)5.有一条长400米的环形跑道，甲乙二人同时同地出发，反向而行，1分钟后第一次相遇，若二人同时同地出发，同向而行，则10钟后第一次相遇，若甲比乙快，那第甲乙二人的速度分别是多少米？(湘麓P29)6.跑马场一周之长为1080。
甲乙两人骑自行车从同一地点同时出发，朝同一方向行驶，经过45分钟，甲追上乙，如果甲的速度分钟减少50米，乙的速度每分钟增加30米，从同一地点同时背向而行，则经过3分钟两人相遇。
求原来甲，乙两人每分钟各行多少米？(湘麓P30)※7.在300米的环形跑道上，甲，乙两从同时从起跑线出发反向而跑，甲每秒跑4米，乙每秒跑6米，当他们第一次相遇在起跑点时，他们已在途中想遇多少次？(湘麓P30)8.小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.小王的速度是180米/分。
第五讲环形道路上的行程问题
第五讲环形道路上的行程问题一、知识要点和基本方法1．行程问题中的基本数量关系式：速度×时间＝路程；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间．2．相遇问题中的数量关系式：速度和×相遇时间＝相遇路程；相遇路程÷速度和＝相遇时间；相遇路程÷相遇时间＝速度和．3．追及问题中的数量关系式：速度差×追及时间＝追及距离；追及距离÷速度差＝追及时间；追及距离÷追及时间＝速度差．4．流水问题中的数量关系式：顺水速度＝船速十水速；逆水速度＝船速一水速；船速＝（顺水速度＋逆水速度）÷2；水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2．5．应该注意到：（1）顺逆风中的行走问题与顺逆水中的航行问题考虑方法类似；（2）在一条路上往返行走与在环形路上行走解题思考方法类似，因此不要机械地去理解环形道路长的行程问题．二、例题精讲例1 李明和王林在周长为400米的环形道路上练习跑步．李明每分钟跑200米，是王林每分钟所跑路程的89．如果两人从同一地点出发，沿同一方向前进，问至少要经过几分钟两人才能相遇？分析 由于两人从同一地点同向出发，因此是追及问题，追及距离是400米，可用公式“追及距离÷速度差＝追及时间”．解 追及距离＝400米；返及时的速度差＝200÷89－200． 由公式列出追及时间＝400÷（200÷89－200） ＝400 ÷（225－200）＝400 ÷ 25＝16（分）．答 至少经过16分钟两人才能相遇．例2 如图5－1，A、B是圆的直径的两个端点，亮亮在点A，明明在点B，他们同时出发，反向而行．他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D 点第二次相遇，D点离B点80米．求这个圆的周长．图5-1分析第一次相遇，两人合起来走了半圈，第二次相遇，两个人合起来又走了一圈，所以从开始出发到第二次相遇，两个人合起来走了一圈半．也就是说，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，也就是每个人在第二次相遇时所走的行程是第一次相遇时所走的行程的3倍，所以从A到D（A→C→B→D）的距离应该是从A到C（A直接到C）的距离的3倍．于是有解法如下．解 A 到D（A→C→B→D）的距离：100 × 3＝300（米）．半个圆圈长：300－80＝220（米）．整个圆圈长：220 × 2＝440（米）．答这个圆的周长是440米．例3 一个圆的周长为1．44米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发，沿圆周相向爬行．l分钟后它们都调头而行，再过3分钟，他们又调头爬行，依次按照1、3、5、7，…（连续奇数）分钟数调头爬行．这两只蚂蚁每分钟分别爬行5．5厘米和3．5厘米．那么经过多少时间它们初次相遇？再次相遇需要多少时间？分析半圆的周长是÷．．（米）=72（厘米）．1442=072先不考虑往返的情况，那么两只蚂蚁从出发到相遇所花时间为÷（．．）=8（分）．7255+35再考虑往返的情况，则有表5－1．表5－1经过时间（分） 1 3 5 7 9 11 13 15 16在上半圆爬行时间 1 3 5 7 8在下半圆爬行时间 2 4 6 8此可求出它们初次相遇和再次相遇的时间．解由题意可知它们从出发到初次相遇经过时间＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝64（分）．第一次相遇时，它们位于下半圆，折返向上半圆爬去，须爬行17分钟，此时，爬行在下半圆的时间仍为8分钟（与上次在下半圆爬行时间相同），爬行在上半圆的时间应为9（＝17－8）分钟，但在上半圆（相向）爬行8分钟就会相遇，此时总时间又用去了16（＝8＋8）分钟，因此，第二次相遇发生在第一次相遇后又经过了16分钟（从总时间计算则为64＋16＝80（分））．此时，相遇位置在上半圆．答它们经过时分钟初次相遇，再经过16分钟再次相遇，例4 一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点，同时出发同向爬行，用以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇，问爬虫乙原来的速度是多少？图5－2分析根据题意画出示意图5－2．观察示意图可知：甲共行了70－30＝40（厘米），所需时间是40÷4＝10（秒）．在10秒内，乙按原速度走了15厘米，按2倍的速度走了15＋30＝45（厘米），假如全按原速走，乙10秒共走15＋45÷2＝37．5（厘米），由此可求出乙原来的速度．解（70－30）÷4＝40 ÷ 4＝10（秒），［（30＋15）÷2＋15］÷ 10．÷10＝375?．（厘米/秒）．＝375?答爬虫乙原来的速度是每秒爬3．75厘米例5 如图5-3，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米，当乙第一次追上甲时是在正方形的哪一条边上？图5-3分析这是环形追及问题．这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环形”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上．解设追上甲时乙走了x分钟．依题意，甲在乙前方3 × 90＝270（米），故有72x ＝65x ＋ 270，解得x ＝2707 在这段时间内乙走了72×2707＝277717 由于正方形边长为90米，共四条边，所以由277717＝3 0× 90＋7717＝（4× 7＋2）×90＋7717， 可以推算出这时甲和乙应在正方形的AD 边上．答 当乙第一次追上甲时在正方形的AD 边上．例6 150人要赶到90千米外的某地去执行任务．已知步行每小时可行10千米．现有一辆时速为70千米的卡车，可乘50人．请你设计一种乘车及步行的方案，能使这150人在最短的时间内全部赶到目的地．其中，在中途每次换车（上、下车）时间均忽略不计．解 显然，只有人、车不停地向目标前进，车一直不停地往返载人，最后使150人与车同时到达目的地时，所用的时间才会最短．由于这辆车只能乘坐50人，因此将150分为3组，每组50人来安排乘车与步行．图5－4中，实线表示汽车往返路线（AE →EC →CF →FD →DB ），虚线表示步行路段．显然每组乘车、步行的路程都应一样多．所以图5-4AE ＝CF ＝DB ，且AC ＝CD ＝EF ＝FB ．若没AE ＝CF ＝DB ＝x ，AC ＝CD ＝EF ＝FB ＝y ，则290x y +=．且因为汽车在AE 十EC 上所用的时间与步行AC 所用时间相同，所以()7010x x y y +-= 解方程组290x y += ()7010x x y y +-=得60,15x y ==．则150人全部从A 到B 最短时间为602156370107⨯+=小时 答 方案是50人一组，共分3组，先后分别乘60千米车，先后分段步行30千米，由A 同时出发，最后同时到B ，最短时间是637小时． 例7 甲、乙二人沿椭圆形跑道作变速跑训练：他们从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈。
小升初培优专题五环形线路问题行程问题篇
小升初培优专题五环形线路问题行程问题篇在小学奥数的行程问题中，环形线路问题是一个比较有挑战性的专题。
今天，我们就来深入探讨一下环形线路中的行程问题。
首先，我们来了解一下环形线路的基本概念。
环形线路，简单来说，就是一个封闭的曲线形状的道路，比如圆形跑道、环形公园小路等。
在环形线路上运动，物体的运动方向可以是同向的，也可以是反向的。
我们先来看同向运动的情况。
假设甲和乙在环形跑道上同时同地出发，甲的速度比乙快。
由于甲的速度快，所以甲会逐渐追上乙。
当甲第一次追上乙时，甲比乙多跑了一圈。
举个例子，环形跑道的周长是 400 米，甲的速度是每分钟 250 米，乙的速度是每分钟 200 米。
那么甲每分钟比乙多跑 250 200 ＝ 50 米。
甲第一次追上乙所用的时间就是跑道的周长除以甲每分钟比乙多跑的距离，即 400 ÷ 50 ＝ 8 分钟。
接下来，我们再看反向运动的情况。
还是在同样的环形跑道上，甲和乙同时同地出发，方向相反。
那么两人相遇时，他们所跑的路程之和就是跑道的周长。
比如说，跑道周长依然是 400 米，甲的速度是每分钟 250 米，乙的速度是每分钟 200 米。
两人的速度之和就是 250 ＋ 200 ＝ 450 米/分钟。
所以他们相遇所用的时间就是 400 ÷ 450 ＝ 8/9 分钟。
下面我们来看一些稍微复杂一点的环形线路行程问题。
例 1：在一个周长为 600 米的环形跑道上，甲、乙两人同时从同一地点按顺时针方向跑步，甲的速度是每分钟 300 米，乙的速度是每分钟 250 米。
问经过多少分钟甲第一次追上乙？思路：甲要追上乙，就要比乙多跑一圈，也就是 600 米。
甲每分钟比乙多跑 300 250 ＝ 50 米，所以追上乙所用的时间就是 600 ÷ 50 ＝ 12 分钟。
例 2：在周长为 400 米的圆形操场上，小明和小红同时从 A 点出发，小明逆时针跑步，速度是每分钟 200 米，小红顺时针跑步，速度是每分钟 150 米。
环形行程问题优选
典型例题1甲、乙两人同时从同一地点出发，同向绕一环形跑道赛跑，甲每秒跑 4 米，乙每秒跑 6 米，过了 4 分钟，乙追上了甲，问跑道一周长多少米？贯穿交融11、小玲和小兰绕一环形跑道赛跑，她们同时同地同向起跑，小玲每分钟跑80 米，小兰每分钟跑 50米，过了20 分钟小玲追上了小兰，问跑道一周的长是多少米？2、王叔叔和李叔叔同时从体育场的同一地点出发，同向绕体育场跑道赛跑，王叔叔每分钟跑 300 米，李叔叔每分钟跑 280 米，过了 20 分钟，王叔叔追上了李叔叔，问跑道一周长多少米？3、两名运动员同时同地出发，同向绕周长为1000 米的环形广场竞走，已知第一位运动员每分钟走125 米，第二位运动员的速度是第一位运动员的 2 倍。
第二位运动员追上第一位运动员需要多少分钟？典型例题2兄妹二人在周长米，妹每秒走米。
他们第60 米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池行走，兄每秒走10 次相遇时需要多长时间？贯穿交融21、姐弟二人在周长 420 米的圆形花园边玩，从同一地点同时背向绕水池行走，姐姐每分钟走 60 米，弟弟每分钟走 40 米。
他们第五次相遇时需要多长时间？2、小红和小玲绕一环形跑道骑自行车。
她们从同一地点背向绕水池前进。
小红每分钟行 200 米，小玲每分钟行 160 米。
已知环形跑道一周的长为 1080 米。
他们第 8 次相遇小红走了多少米？3、甲、乙二人绕圆形场所跑步。
场所一周的长是而行。
甲每分钟行80 米，乙每分钟行70 米，他们第300 米，他们从同一地点出发背向6 次相遇时甲比乙一共多走多少米？典型例题3一个圆形荷花池的周长为 400 米，甲、乙两人绕荷花池顺时针跑步。
甲每分钟跑 250，乙每分钟跑 200 米，现在甲在今后边 50 米，甲第二次追上乙需要多少分钟？贯穿交融31、甲、乙二人绕一环形跑道顺时针跑步，圆形跑道的长是600 米，甲每分钟跑米，乙每分钟跑280 米，现在甲在乙后边40 米，甲第二次追上乙需要多少分钟？3002、绕湖一周的长是 500 米，小许和小张顺时针绕湖竞走。
第5讲 环形路上的行程问题
第5讲环形路上的行程问题（一）例题1、如图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。
甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。
两人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙。
如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？（答案：5）米/分米/分250米/分200米/2、如图是一个图形中央花园，A、B是直径的两端。
小军在A点，小明在B点，同时出发相向而行，他俩第1次在C点相遇，C点离A点有50米；第2次在D点相遇，D点离B点有30米。
问这个花园一周长多少米？（答案：240）3、如图，一个边长为100米的正方形跑道。
甲从A点出发，乙从C点出发都逆时针同时起跑，甲的速度每秒7米，乙的速度每秒5米。
他们拐弯处都要停留5秒，当甲第一次追上乙时，乙跑了多少米？（答案：600）乙4、如图所示是一个玩具火车轨道，A点有个变轨开关，可以连结B或者C。
小圈轨道的周长是1.5米，大圈轨道的周长是3米。
开始时，A连结C，火车从A点出发，按照顺时针方向在轨道上移动，同时变轨开关每隔1分钟变换一次轨道连结。
若火车的速度是每分钟10米，则火车第10次回到A点时用了几分钟？（答案：2.1）B5、甲乙两人在一条圆形跑道上同时同向出发，绕圆形跑道跑步。
已知两人在跑步过程中速度均保持不变，且甲跑得比乙快。
当甲第一次追上乙时，乙离开出发点250米；当甲第二次追上乙时，乙离开出发点50米。
求跑道长。
（答案：150或550）6、如图，三个环形跑道相切排列，每个环形跑道周长均为210厘米。
甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发。
甲爬虫绕1、2号环形跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕3、2号环形跑道作“8”字循环运动，已知甲乙两只爬虫的速度分别是每分钟20、15厘米。
问甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少米？（答案：300）（二）练习1、甲乙两运动员在周长为400米的环形跑道上同向竞走，已知乙的平均速度是每分钟80米，甲的平均速度是乙的1.25倍，甲在乙前面100处。
环形路上行程问题
环形路上行程问题在田径运动会上，甲、乙、丙三人沿400米环形跑道进行800米跑比赛。
当甲跑完1圈时，乙比甲多跑1/7圈，丙比甲少跑1/7圈。
如果他们各自跑步的速度始终不变。
那么，当乙到达终点时，丙离终点还有_____米。
一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A点开始爬行一周。
在三条边上爬行的速度分别为每分钟50厘米、每分钟20厘米、每分钟30厘米。
求它爬行一周的平均速度。
环形跑道周长400米，甲、乙两名运动员同时顺时针自起点出发，甲每分钟跑400米，乙每分钟跑375米。
求多少时间后甲、乙再次相遇？小张、小王、小李同时从湖边同一地点出发，绕湖行走。
小张速度是每小时5.4千米，小王速度是每小时4.2千米，他们两人同方向行走，小李与他们反方向行走。
半小时后小张与小李相遇，再过5分钟，小李与小王相遇。
那么绕湖一周的行程是_____千米。
甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。
相遇后甲比原来速度每秒增加2米，乙比原来速度每秒减少2米，结果都用24秒同时回到原地。
甲原来的速度是每秒_____米。
甲、乙两人沿着300米环形跑道从同一地点同时出发背向跑步。
甲每秒跑3.5米，乙每秒跑2.5米，第15次相遇时，甲还要跑_____米才回到出发点。
在400米的环形跑道上，甲、乙两人同时从起跑线出发，反向而跑，甲每秒跑4米，乙每秒跑6米，当他们第一次相遇在起跑点时，他们已在途中相遇了_____次。
一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行。
这两只蚂蚁每秒分别爬行5.5厘米和3.5厘米。
它们每爬行1秒、3秒、5秒···（连续奇数）就调头爬行。
那么，它们相遇时，已爬行的时间是_____秒。
在400米环形跑道上，A、B两点相距100米。
甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒。
揭秘华杯赛试题中的行程问题
揭秘华杯赛试题中的行程问题揭秘华杯赛试题中的行程问题行程问题与数论问题都是学生们最头疼的知识点。
在解题时，行程问题与数论问题大致相同，都需要将各个已知条件合理的组合到一起并最终得到结论，这也是这两类问题相对的难点所在。
行程问题虽然难，但是它的出镜率并不高，平均每个杯赛出现1次。
在几个杯赛中，希望杯对行程题目考查数量在3-5题，但是难度不大。
其它杯赛均是1道题，难度都是中等偏上的题目。
不管是哪个年级，解决行程问题必须先要熟练掌握三个要素之间的关系(路程、速度、时间)。
其实行程问题也可以分为相遇问题与追及问题两大类，那么相遇与追及的基本公式也是必须要掌握的。
对于四年级的学生来说，还需要掌握几个基本类型，如多次相遇与追及问题、流水型船问题、、火车过桥问题、猎狗追兔问题、环形跑道问题等。
下面我们看一下2008年走美杯的一道题，题目如下：早晨，小张骑车从甲地出发去乙地。
下午1点，小王开车也从甲地出发，前往乙地。
下午2点时两人之间的距离是l5千米。
下午3点时，两人之间的距离还是l5千米.下午4点时小王到达乙地，晚上7点小张到达乙地.小张是早晨出发。
分析：本题的第一个突破口就是“下午2点时两人之间的距离是l5千米.下午3点时，两人之间的距离还是l5千米”，由这个条件我们可以得到两人的速度差是每小时30千米。
再由3点开始计算，我们知：小王再有一小时就可走完全程，在这一小时当中，小王比小张多走30千米，那小张3小时多走(15+30)千米，故小张的速度是15千米/小时，小王的速度是45千米/小时。
全程是45×3=135千米，135÷15-7=2小时，即上午10点出发。
点评：这道题虽然不是固定的题型，但是它却体现出了行程题目的固定解法——分段求解。
其实它就是一种分析题目的方式，我们需要找到相同的时间or路程里所同步放生的事情。
“下午2点时两人之间的距离是l5千米.下午3点时，两人之间的距离还是l5千米”这句话翻译过来就是在2点到3点这1个小时里，两个人的距离被拉开(追及)了30千米。
环形行程问题解题思路
环形行程问题解题思路环形行程问题啊，这就像是一群小伙伴在一个圆形操场上跑步玩耍呢。
环形行程问题里，有几个关键的事儿得弄明白。
比如说，两个人或者几个人在环形跑道上跑，他们的速度不一样，这就像是不同速度的小蚂蚁在一个圆形的饼干边缘爬一样。
如果是同向跑呢，那快的就会逐渐追上慢的，这就好比骑自行车的人追前面慢慢走路的人。
那什么时候能追上呢？这就和他们的速度差有关系啦。
就像有个快腿小蚂蚁和一个慢腿小蚂蚁，快腿小蚂蚁每秒能多爬一点距离，那经过一段时间，这个多爬的距离积累起来，就正好等于一圈跑道的长度，这不就追上了嘛。
要是相向跑呢，那就像两个人从圆形操场的两端对着跑过来。
这时候啊，他们相遇的时间就和他们的速度和有关系啦。
你想啊，两个人一起努力缩短距离，速度加起来就相当于两个人合作来跑完这一圈。
就好像两个人一起抬一桶水，每个人出的力加起来就能把这桶水抬走一样。
还有啊，环形行程问题里可能会涉及多次相遇或者多次追及呢。
这就有点像两个人在操场上玩闹，跑了一圈又一圈。
每多跑一圈，就会有新的相遇或者追及情况。
比如说，第一次追及是快的比慢的多跑了一圈，那第二次追及就是多跑了两圈，第三次就是多跑了三圈，依此类推。
这就像我们数手指头，一个一个地数下去，每次多跑一圈就多一次追及。
在解决环形行程问题的时候，我们得好好利用路程、速度和时间的关系。
路程就像是我们要走的路的长度，速度就是我们走路或者跑步的快慢，时间就是我们在路上花费的工夫。
这三者就像三个好伙伴，谁也离不开谁。
如果知道了其中两个，就能算出第三个。
就好比你知道你走了多远的路，也知道你走得有多快，那你肯定能算出你走了多长时间啊。
这在环形行程问题里也是一样的道理。
再说说环形行程问题里的一些特殊情况吧。
有时候会有在环形轨道上的火车之类的。
这时候啊，火车的长度可不能忽略。
这就像一个长长的毛毛虫在一个圆形的树叶上爬，毛毛虫的长度也得算进去。
如果不算进去，那算出的结果可就不对喽。
这就像做菜的时候少放了一种调料，做出来的菜味道就不对了。
人大附中华杯赛资料：基本行程问题
基本行程问题基本关系式：路程=速度′时间比例关系：当速度一定时，路程与时间成正比；当时间一定时，路程与速度成正比；当路程一定时，速度与时间成反比.常用方法：图示法（即用线段表示行驶的路程，用箭头表示行驶的方向）例1.一名警察坐在公共汽车上发现一个小偷下车向反方向跑去，10秒钟后，警察下车立即去追小偷.如果警察速度是小偷的2倍，小偷速度是车速的，那么，警察追上小偷要用多少秒？[答疑编号0518390101]1【答案】110【解答】设小偷每秒的速度为“1”，则警察的速度为“2”，车速为“10”，警察开始追小偷时，两人的距离是（1＋10）×10=110，追及的时间是110÷（2－1）＝110（秒）.总结：1）用图示法将过程表示清晰是解决行程问题的第一步；2）这里已经出现了追及问题的一般公式：追及时间=追及距离?速度差例2.甲、乙、丙三人同时从A地向B地跑，当甲跑到B地时，乙离B地还有30米，丙离B地还有40米；当乙跑到B地时，丙离B地还有16米.A、B两地相距多少米？[答疑编号0518390102]【答案】80【解答】由题意知，乙跑30米，丙跑40－16＝24（米）.由此推知，乙、丙速度比为30:24＝5:4，当乙离B地还有30米，丙离B地还有40米时，2乙比丙多跑10米，此时丙跑10÷（－1）＝40（米）.两地相距40+40＝80（米）.总结：1）在比较基本的行程问题中，速度一般是不改变的，因此对同一个人而言，路程与时间成正比；2）对多个人而言，当大家所用时间相等时，路程之比等于速度之比.例3.一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，每小时可以飞1500千米，飞回时逆风，每小时可以飞1200千米，这架飞机最多飞出多少千米，就需往回飞？[答疑编号0518390103]【答案】4000【解答】往返的速度之比是1500:1200=5:4，3因此时间之比是4:5.那么顺风飞行时间最多为6×小时，即最多飞出1500×=4000千米，就要返回.例4.小明从家去学校，如果他每小时比原来多走1.5千米，他走这段路只需原来时间的4；如果他每小时比原来少走1.5千米，那么他走这段路的时间就比原来时间多几分之几？[答疑编号0518390104]5【答案】【解答】由于速度提高后所用时间是原来的，所以速度是原来的倍，原来速度是每小时1.5÷6（-1）=6千米.现在速度是原来的（6-1.5）÷6=，因此所用时间比原来多7-1=.例5.甲、乙两车先后以相同的速度从A站开出，10点整甲车距A站的距离是乙车距A站距离的三倍，10点10分甲车距A站的距离是乙车距A站距离的二倍.问：甲车是何时从A站出发的？[答疑编号0518390105]【答案】9点30分【解答】因为两车速度相同，所以两车距A站的距离之比就是两车行驶的时间之比.可设10点整时，乙行驶的时间为“1”份，则甲为3份，差为2份；到10点10分时，（3－1）÷（2－1）＝2，说明此时乙行驶的时间为2份.因此两车行驶1份的时间是10分钟，甲车出发时间为9点30分.8例6.A、B两地相距2400米.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行.两人在途中某处相遇后，甲又继续行进18分钟到达B地，乙又继续行进50分钟到达A地.那么甲比乙每分钟多走多少米？[答疑编号0518390106]【答案】20【解答】记甲、乙的速度分别是M、N.则由题意我们知道，甲18分钟走的路程等于相遇前乙走的路程，而乙50分钟走的路程等于相遇前甲走的路程.如果记两人从出发到相遇这段时间为T，则有M′T=N′50和N′T=M′18，由此易得T?50=18?T，所以T=30分钟.于是由相遇问题的解法知M+N=2400?30=80，且3′M=5′N，所以容易求得M=50米/分，N=30米/分.所以甲每分钟比乙多走20米.例7.一列火车通过长320米的隧道，用了52秒.当它通过长864米的大桥时，速度比通过隧道9时提高了，结果用了1分36秒.求：（1）火车通过大桥时的速度；（2）火车车身的长度.[答疑编号0518390107]【答案】（1）10米/秒（2）96米【解答】（1）假设火车通过大桥时的速度不变，10则它通过大桥时的时间为96×（1+）=120秒.这就是说，火车以相同的速度分别通过320米的隧道和864米的大桥，所用时间差为120-52=68秒.火车通过大桥时的速度为：（864-320）÷（120-52）×（1+）=10米/秒.（2）火车车身长为10×96-864=96米.总结：在火车问题中，火车的车身长是不能忽略的，我们需要将车身长加入到路程当中去考虑.例8.一座铁路桥上相向驶来两列火车，还有一个铁路维修工正沿着铁路在桥上行走.当两列火车相遇时，它们的车尾恰好位于桥的两端，此时维修工恰好在两个车头相遇处；60秒后当两列火车11离开时，它们的车头又恰好位于桥的两端，此时维修工恰好在两个车尾离开处.已知两列火车的速度比是5:3，维修工的行走速度是每秒5米，那么这座铁路桥的长度是多少米？[答疑编号0518390108]【答案】1200米【解答】维修工60秒行走的路程是5′60=300米，这也是两列火车车身长度的差.而每列火车在这60秒的时间里所行驶的路程是桥的长度减去自己的车身长度，也就是对方的车身长度，因此两列火车在这60秒里的路程差也是300米.而它们的速度比是5:3，所以路程比也是5:3，所以两列火车的车身长分别是米和12米，那么铁路桥的长度是450+750=1200米.行程问题之停靠例1.一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行驶750米，预计50分钟到达.但行驶到路程时汽车出了故障，用5分钟修理完毕.如果要在预定时间到达乙地，那么在余下的路程中，每分钟必须比原来快米.13[答疑编号0518390201]【答案】250【解答】出故障时距离乙地还有米，14而还剩下时间分钟，所以在余下的路程中，速度应为15000÷15＝1000（米/分钟），每分钟比原来快1000－750＝250米.例2.小明原计划中午1:15出发，以每小时3.6千米的速度步行，于1:27到达邮局，寄信后1:30从邮局出发，1:40到达学校.但是由于出发一段时间后发现信落在了家里，于是返回家中取信后到达邮局，只花1分钟就办好了寄信手续，然后以原来速度的两倍赶到学校，恰好还是1:40.那么小明是从家走出多少米时发现自己没有带信的？[答疑编号0518390202]【答案】210【解答】小明正常的速度是每分钟3600÷60＝60米，他从家到邮局用了12分钟，从邮局到学校用了10分钟。
华杯赛行程问题汇编(1-18届)
1. （第一届华杯赛初赛第8题）早晨8点多钟有两辆汽车先后离开化肥厂向幸福村开去。
两辆车的速度都是每小时60千米。
8点32分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的三倍。
到了8点39分的时候，第一辆汽车离开化肥厂的距离是第二辆汽车的2倍。
那么，第一辆汽车是8点几分离开化肥厂的?2. （第一届华杯赛初赛第16题）有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。
每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要走15分钟。
有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。
他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。
在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，才到达甲站。
这时候，恰好又有一辆电车从甲站开出。
问他从乙站到甲站用了多少分钟?3. （第一届华杯赛决赛第12题）上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4公里的地方追上了他，然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上他时候，离家恰好是8公里。
问这时是几点几分？4. （第一届华杯赛总决赛一试第13题）如下图，甲、乙、丙是三个站，乙站到甲、丙两站的距离相等。
小明和小强分别从甲、丙两站同时出发相向而行，小明过乙站100米后与小强相遇，然后两人又继续前进，小明走到丙站立即返回，经过乙站后300米又追上小强。
问甲、丙两站的距离是多少米？5. （第一届华杯赛总决赛二试第4题）快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人，这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人，现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米？6. （第二届华杯赛初赛第2题）一个充气的救生圈（如右图）．虚线所示的大圆，半径是33厘米．实线所示的小圆，半径是9厘米．有两只蚂蚁同时从A点出发，以同样的速度分别沿大圆和小圆爬行．问：小圆上的蚂蚁爬了几圈后，第一次碰上大圆上的蚂蚁？7. （第二届华杯赛决赛第11题）王师傅驾车从甲地开乙地交货。
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来速度逆时针前进，10分钟后乙与丙相遇.已知甲每分钟走80米，丙每分钟走40米.
（1）求乙每分钟走多少米?
（2）这个跑道的周长是多少米?
[答疑编号0518420107]
【答案】56米/分钟，4080米。
乙的速度：960十10-40=56米/分钟
例5.在一次汽车耐力赛中，甲、乙两车从A点同时出发，绕着周长为3000米的跑道逆时针行
驶。甲、乙两车的速度分别是每小时90千米和每小时117千米，但是由于雨后跑道泥泞的原因，两 车在每圈最后400米（从B到A）的速度都是每小时72千米。那么乙车在出发后第5次追上甲车的 地点距离A有多少米？（结果用假分数表示）
【答案】320米。
甲的速度是：3X60=180（米/分钟），
乙的速度是：180—40=140（米/分钟），
这也就是A、B两地之间的跑道长度。
注：从解法中可见，重要的是两人的速度差，因此解法可以简化为
例4.甲、乙和丙三只蚂蚁爬行的速度之比是& 6:5，它们沿一个圆圈从同一点同时同向爬行, 当它们首次同时回到出发点时，就结束爬行。问蚂蚁甲追上蚂蚁乙一共多少次？（包括结束时刻）。
相遇时乙骑行的距离：3000-1800=1200（米），
乙骑行的速度：1200十6=1200（米/分），
乙骑一圈的时间：3000+200=15（分钟）；
（2）将每次相遇看成路程为3000米的相遇问题,
3000+(300+200)=6(分钟)。
例2.将例1中的条件改为两人从环形公路上同一地点同时出发，同向而行，那么甲第一次追上 乙时需要多少分钟?
1:2，即
记当乙跑到点C时，甲的位置是F。考察乙从B到4号标志牌和从4号标志牌到C这两段路程,
乙的速度没有变化，因此这两段的时间比就是路程比，即
而在此期间，甲相应的从A跑到B,和从B跑到F,速度也没有变化，因此这两段的路程比也是
分析：这是一个正比关系，因为蚂蚁运动时间相同，所以所行的路程比与其速度比成正比，圈 数比与速度比成正比。
[
【答案】2次。
【解答】甲、乙、丙三只蚂蚁的速度之比为8：6:5，
所以，当它们首次同时回到出发点时，它们所爬行的圈数比也为
因此，甲运动8圈，乙运动6圈，蚂蚁甲比蚂蚁乙每多运动1圈,
就追上蚂蚁乙1次，所以，甲一共追上乙2次。
环形行程问题
例1.甲、乙两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。这条公路长
甲骑一圈需要10分钟。如果第一次相遇时甲骑了1800米，求:
(1)乙骑一圈需要多少分钟?
(2)再过多久他们第二次相遇?
图示:
[
【答案】15分钟，6分钟。
【解答】(1)甲骑行的速度：3000十10=300(米/分)
相遇时间：1800+300=6（分钟）
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ发时的速度
是每秒 米.
[
【答案】4.5米。
【解答】当甲从D跑回A时，乙同时从7号标志牌跑到A,两人的路程之比是3:2，而所用时间
相同，可得乙在DA边上的速度是
记当乙跑到点D时，甲的位置是E。考察乙从D到7号标志牌和从7号标志牌到A这两段路程,
乙的速度没有变化，因此这两段的时间比就是路程比，即
而在此期间，甲相应的从E跑到D,和从D跑到A,速度也没有变化，因此这两段的路程比也是
图示:
[答疑编号0518420105]
【答案】
【解答】甲跑一圈的时间为124秒，乙跑一圈的时间为100秒。
2500秒时，甲跑了20圈多20秒，乙跑了25圈，说明乙已经追上甲4次,
并且此时两车的距离为500米。
乙下一次追上甲需要
米或者说是
米。
例6.有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙 相背而行.甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米.出发后，甲和乙相遇后3分钟和 丙相遇.这花圃的周长是多少米?
甲乙相遇所需时间：480*（56—40）=30分钟
跑道周长：（80+56）X30=4080米。
例1.如图，在正六边形的跑道上，甲乙二人分别从A、D同时出发，各自以固定不变的速度逆
时针方向跑步.只有当两人在同一条边上时，他们才能相互看到对方
C,此时他第一次看到了乙.他立刻返身继续按原来的速度跑，又过了88秒，甲再次看到了乙.那么 乙跑完一圈需要
例2.如图，甲乙两人沿着长方形跑道ABCD以逆时针方向练习跑步，在跑道每条边的三等分点
处各有一个写着数字的标志牌.甲从A出发，始终以每秒5.4米的速度前进，乙从
B同时出发，在
BC CD DA三条边上以不同的速度前进(但是在同一条边内速度不变)
.当甲到达
现乙正跑到4号、6号和7号标志牌处，并且最终两个人同时到达A点，那么乙从
[
【答案】8892米。
【解答】由已知可知，甲先与乙相遇.在甲乙相遇这段时间里,
乙丙所行的路程差正是甲丙在3分钟内相向而行的路程之和:
（米）.
从出发到甲乙相遇所用时间为: 所以，花圃的周长为（40+38）X114=8892（米）.
例7.在一个圆形跑道上，甲、乙、丙三人同时从同一点出发，其中甲按逆时针方向前进，乙和
相遇时间=周长+速度和;
当两人同向而行时，相当于追及问题
追及时间=周长十速度差
请你思考：运用这些公式的前提条件是什么?
例3.在800米长的环形跑道上，甲、乙两人分别从AB两地同时出发，同向而行。8分钟后,
甲第一次追上乙，又经过20分钟后甲第二次追上乙。已知甲的速度是每秒3米，那么A、B两地之 间的跑道有多少米?
[
【答案】258秒
【解答】甲在每一条边上需要跑的时间是：256*8=32（秒），
因为32X2<88<32X3,所以第二次看到乙时，甲跑到了AF边上,
经过分析可知此时乙恰好跑到了F点,
因此乙在每一条边上需要跑的时间是(256+88)-8=43秒。
那么乙跑完一圈需要43X6=258秒。
备注：大家可以做一做第九届华杯赛全国总决赛的行程问题。
图示:
[
【答案】30分钟。
【解答】当甲追上乙时，甲比乙多走的路程恰好等于环形公路一圈的长度，利用追及问题的方 法，可以得到追及时间是
3000+(300—200)=30(分钟)
进一步思考：再过多久甲第二次追上乙?
出发100分钟后，甲已经追上乙多少次?
总结：在环形公路（或跑道）上，当两人背向而行时，相当于相遇问题