人大附中华杯赛资料：环形行程问题

例5.在一次汽车耐力赛中，甲、乙两车从A点同时出发，绕着周长为3000米的跑道逆时针行
驶。甲、乙两车的速度分别是每小时90千米和每小时117千米，但是由于雨后跑道泥泞的原因，两 车在每圈最后400米（从B到A）的速度都是每小时72千米。那么乙车在出发后第5次追上甲车的 地点距离A有多少米？（结果用假分数表示）
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【答案】258秒
【解答】甲在每一条边上需要跑的时间是：256*8=32（秒），
因为32X2<88<32X3,所以第二次看到乙时，甲跑到了AF边上,
经过分析可知此时乙恰好跑到了F点,
因此乙在每一条边上需要跑的时间是(256+88)-8=43秒。
那么乙跑完一圈需要43X6=258秒。
备注：大家可以做一做第九届华杯赛全国总决赛的行程问题。
环形行程问题
例1.甲、乙两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。这条公路长
甲骑一圈需要10分钟。如果第一次相遇时甲骑了1800米，求:
(1)乙骑一圈需要多少分钟?
(2)再过多久他们第二次相遇?
图示:
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【答案】15分钟，6分钟。
【解答】(1)甲骑行的速度：3000十10=300(米/分)
相遇时间：1800+300=6（分钟）
丙按顺时针方向前进.甲首先和乙相遇，4分钟后甲和丙相遇.当甲和乙第二次相遇时，乙转身以原
来速度逆时针前进，10分钟后乙与丙相遇.已知甲每分钟走80米，丙每分钟走40米.
（1）求乙每分钟走多少米?
（2）这个跑道的周长是多少米?
[答疑编号0518420107]
【答案】56米/分钟，4080米。
乙的速度：960十10-40=56米/分钟
例2.如图，甲乙两人沿着长方形跑道ABCD以逆时针方向练习跑步，在跑道每条边的三等分点
处各有一个写着数字的标志牌.甲从A出发，始终以每秒5.4米的速度前进，乙从
B同时出发，在
BC CD DA三条边上以不同的速度前进(但是在同一条边内速度不变)
.当甲到达
现乙正跑到4号、6号和7号标志牌处，并且最终两个人同时到达A点，那么乙从
1:2，即
记当乙跑到点C时，甲的位置是F。考察乙从B到4号标志牌和从4号标志牌到C这两段路程,
乙的速度没有变化，因此这两段的时间比就是路程比，即
而在此期间，甲相应的从A跑到B,和从B跑到F,速度也没有变化，因此这两段的路程比也是
相遇时间=周长+速度和;
当两人同向而行时，相当于追及问题
追及时间=周长十速度差
请你思考：运用这些公式的前提条件是什么?
例3.在800米长的环形跑道上，甲、乙两人分别从AB两地同时出发，同向而行。8分钟后,
甲第一次追上乙，又经过20分钟后甲第二次追上乙。已知甲的速度是每秒3米，那么A、B两地之 间的跑道有多少米?
【答案】320米。
甲的速度是：3X60=180（米/分钟），
乙的速度是：180—40=140（米/分钟），
这也就是A、B两地之间的跑道长度。
注：从解法中可见，重要的是两人的速度差，因此解法可以简化为
例4.甲、乙和丙三只蚂蚁爬行的速度之比是& 6:5，它们沿一个圆圈从同一点同时同向爬行, 当它们首次同时回到出发点时，就结束爬行。问蚂蚁甲追上蚂蚁乙一共多少次？（包括结束时刻）。
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【答案】8892米。
【解答】由已知可知，甲先与乙相遇.在甲乙相遇这段时间里,
乙丙所行的路程差正是甲丙在3分钟内相向而行的路程之和:
（米）.
从出发到甲乙相遇所用时间为: 所以，花圃的周长为（40+38）X114=8892（米）.
例7.在一个圆形跑道上，甲、乙、丙三人同时从同一点出发，其中甲按逆时针方向前进，乙和
图示:
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【答案】30分钟。
【解答】当甲追上乙时，甲比乙多走的路程恰好等于环形公路一圈的长度，利用追及问题的方 法，可以得到追及时间是
3000+(300—200)=30(分钟)
进一步思考：再过多久甲第二次追上乙?
出发100分钟后，甲已经追上乙多少次?
总结：在环形公路（或跑道）上，当两人背向而行时，相当于相遇问题
B出发时的速度
是每秒 米.
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【答案】4.5米。
【解答】当甲从D跑回A时，乙同时从7号标志牌跑到A,两人的路程之比是3:2，而所用时间
相同，可得乙在DA边上的速度是
记当乙跑到点D时，甲的位置是E。考察乙从D到7号标志牌和从7号标志牌到A这两段路程,
乙的速度源自文库有变化，因此这两段的时间比就是路程比，即
而在此期间，甲相应的从E跑到D,和从D跑到A,速度也没有变化，因此这两段的路程比也是
图示:
[答疑编号0518420105]
【答案】
【解答】甲跑一圈的时间为124秒，乙跑一圈的时间为100秒。
2500秒时，甲跑了20圈多20秒，乙跑了25圈，说明乙已经追上甲4次,
并且此时两车的距离为500米。
乙下一次追上甲需要
米或者说是
米。
例6.有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙 相背而行.甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米.出发后，甲和乙相遇后3分钟和 丙相遇.这花圃的周长是多少米?
分析：这是一个正比关系，因为蚂蚁运动时间相同，所以所行的路程比与其速度比成正比，圈 数比与速度比成正比。
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【答案】2次。
【解答】甲、乙、丙三只蚂蚁的速度之比为8：6:5，
所以，当它们首次同时回到出发点时，它们所爬行的圈数比也为
因此，甲运动8圈，乙运动6圈，蚂蚁甲比蚂蚁乙每多运动1圈,
就追上蚂蚁乙1次，所以，甲一共追上乙2次。
相遇时乙骑行的距离：3000-1800=1200（米），
乙骑行的速度：1200十6=1200（米/分），
乙骑一圈的时间：3000+200=15（分钟）；
（2）将每次相遇看成路程为3000米的相遇问题,
3000+(300+200)=6(分钟)。
例2.将例1中的条件改为两人从环形公路上同一地点同时出发，同向而行，那么甲第一次追上 乙时需要多少分钟?
甲乙相遇所需时间：480*（56—40）=30分钟
跑道周长：（80+56）X30=4080米。
例1.如图，在正六边形的跑道上，甲乙二人分别从A、D同时出发，各自以固定不变的速度逆
时针方向跑步.只有当两人在同一条边上时，他们才能相互看到对方
C,此时他第一次看到了乙.他立刻返身继续按原来的速度跑，又过了88秒，甲再次看到了乙.那么 乙跑完一圈需要