人大附中华杯赛资料：对应法

对应法

例1. （1）10个相同的桔子放到3个不同的盘子里，允许有空盘，有多少种放法?

（2）如果不允许有空盘，有多少种放法?

[答疑编号5721100101]

【答案】（1）66 （2）36

【解答】（1）分析：题目数学化，符号化:

经过前面的分析，我们要计算“ 10只无差别的桔子放到3个不同的盘子里”的放法有多少种, 只需要计算“ 10个0与

2个1排成一行”的排法有多少种。

10个0与2个1排成一行，相当于在12个位置里挑出2个（用来放1），因此有

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种，这也就是本例的答案。

点评：对应法是一种把新的复杂问题转化为我们熟悉的已知问题的解题思路，因此也要求我们对基本的计数问题要熟悉

掌握;

(2)桔子的放法可以看成把2个隔板放入10个桔子之间，因为不能有空盘，所以隔板不能放

在第1个桔子之前、不能放在最后一个桔子后面，也不能放入同一空格，这相当于在10个桔子之间

形成的9个空格中放入2块隔板问题，即有有36种放法.种，因此

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实用文档用心整理例2.有多少组正整数解？有多少组自然数解?

[答疑编号5721100102]

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x 看成盘的个数，36看成桔子的个数，因为是正整数解，所以任何 1个桔子之前，不能放最后一个桔子后面，也不能把两个隔板放一

起，相当于在36个桔子组成的

35个空格中放9个隔板，即有

【答案】（1）

【解答】（1）可以把

都不能为0，所以隔板不能放第

种，因此有

组正整数解.

(2)因为是自然数解，所以x可以为0,相当于可以有空盘了，这样就可以看成

36个0与9

个1的排列，没有什么限制，就是从45个位置中选出9个位置放1，即有

种方法，因此有

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组自然数解.

例3.在擂台赛中，双方各派7名队员按事先排好的顺序出场，胜者与对方下一名队员比赛，直至有一方队员全

被淘汰.求所有可能出现的比赛过程种数

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[答疑编号5721100103]

【答案】

【解答】这就相当于7个甲与7个乙的排列，可以理解为在14个位置排7个甲，剩下的就

种排法，因此，所有可能出现的比赛过程

是乙，即有

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种数有

种。

例4. 一次射击比赛，有三串小球作为靶子，现在要用枪将小球一个一个打落（每次只能打落

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实用文档用心整理一个小球），那么将下面图中小球全部打落有多少种不同的打法

[答疑编号5721100104]

【答案】60

【解答】设有3个球的为A列，2个球的为B列，1个球的为C列，这题相当于3个A, 2

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个B, 1个C 的排列，即有: 此有60种不同的打法.

例5.从一个m n （m n 均为正整数）的方格表的左下端顶点沿格线爬到右上端顶点，最短的 路线共有多少条.

=20X 3=60种排列，因

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千里之行 始于足下

【答案】

【解答】根据题意可知，从 mt< n 的方格的左下端顶点沿格线爬到右上端顶点，就有 右，m 个向上，所以我们要研究 n 个向右，m 个向上有多少种排法，可以理解为在 m+n 个位置中，选

[答疑编号 5721100105]

n 个向

取n个位置放右有多少种排法，即有种放法，因此最

短的路线共有

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千里之行始于足下