向量组的线性组合与线性相关性
4.3-向量组的线性相关性
β , β ,⋯, β
T 1 T 2
T n
2/23
定义1 定义1 对于给定的一组m n维向量组成 个 的向量组 A: a1, a2 , ⋯, am, 对任何一组实数 c1, c2 , ⋯, cm, 向量
c1a1 + c2a2 +⋯+ cmam
的一个线性组合 线性组合. 称为向量组 A的一个线性组合
4个3维向量一定线性相关 维向量一定线性相关， 解：4个3维向量一定线性相关，故 线性相关． α1,α2 ,α3,α4线性相关．
22/23
作业
习题4－ 习题 －3 1（2） （ ） 4（2） （ ） 6 8 9 （1），（ ） ），（3） ），（
23/23
T
讨论它的线性相关性． 讨论它的线性相关性．
10/23
解 设 k1e + k2e2 +⋯+ knen = 0 1 即
(1)
T
( k1, k2 ,⋯, kn )
T
= ( 0,0,⋯,0)
于是必有 k1 = k2 =⋯= kn = 0. 全为零时， ) 即只有当 k1, k2 ,⋯ kn , 全为零时，(1)式才成立 线性无关. 所以向量组 e , e2 ,⋯, en 线性无关 1
c1, c2 , ⋯, cm 称为这个线性组合的系数 称为这个线性组合的系数.
3/23
给定向量组 A： 1, a2 , ⋯, am 和向量 b， a 如果存在一组数
3.3线性相关性
关于齐次线性方程组的推论1：如果齐次线性方程组
的方程个数小于未知数个数，则它必有非零解。 向量维数 < 向量个数
a11 x1 a12 x2 a1 n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2 n xn 0 齐次线性方程组 am1 x1 am 2 x2 amn xn 0 n 1 2 O 可表示为 x11 x2 2 xn n O
3.向量的线性运算：加法和数乘运算。
4.线性方程组的向量形式： （1）一般的线性方程组 x11 x2 2 xn n 其有解等同于存在一组数x1, x2,·, xn , 使得： · ·
β=x11+x22+·+xnn · ·
（2）齐次线性方程组 x11 x2 2 xn n O 其有非零解等同于存在一组不全为零的数
2.定理：向量β能用向量组1, 2, ·, s线性表示的 · · · · · · 充要条件是：r(1, 2, ·, s)= r(1, 2, ·, s, β)
注：等同于 x11+x22+·+xss=β 有解。 · · 注：(1) r(1, 2, ·, s)= r(1, 2, ·, s,β)=s时，表 · · · ·
方程组x11+x22+x33=O的解， 前三个方程是 x11+x2 2+x3 3=O ，从而x1=x2=x3=0
结论： 线性无关向量组的“加长”向量组线性无关； 线性相关向量组的“减短”向量组线性相关。 “加长”— 指加入相同序号的分量 “减短” 指减去相同序号的分量 —
2.定理：若1,2,·,s 线性无关，而1,2,·,s , β · · · ·
线性相关性：如何判断向量组是否线性相关及其应用
线性相关性：如何判断向量组是否线性相关及其应用线性相关性：如何判断向量组是否线性相关及其应用2023年，随着科技的不断发展，线性代数在各行各业中的应用不断扩展，尤其是在数据科学、机器学习和人工智能领域中。
而线性相关性作为线性代数中的一个重要概念，在这些领域中也得到了广泛应用。
本文将重点讨论线性相关性的概念、判断方法和应用，以帮助读者更好地理解和使用线性相关性。
一、概念线性相关性是指向量组中存在线性关系，即其中至少存在一个向量可以表示为其它向量的线性组合的形式，或者说存在一个向量可以由其它向量线性表示。
具体地，对于向量组$V={\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\cdots,\mathbf{v_n}}$，若存在一个非零向量$\mathbf{v}$，满足$\mathbf{v}=\sum\limits_{i=1}^n c_i\mathbf{v_i}$，其中$c_i$为任意实数，则称向量组$V$是线性相关的，否则称其线性无关。
二、判断方法下面介绍两种判断向量组线性相关的方法，分别为行列式法和向量空间法。
1.行列式法行列式法是最常用的判断向量组线性相关的方法，其基本思想是求出向量组的行列式，如果其值为0，则向量组线性相关，否则其线性无关。
具体地，对于向量组$V={\mathbf{v_1},\mathbf{v_2},\cdots,\mathbf{v_n}}$，可以将其写成矩阵形式，即：$$ A=\begin{bmatrix} v_{11}&v_{12}&\cdots&v_{1n}\\v_{21}&v_{22}&\cdots&v_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ v_{n1}&v_{n2}&\cdots&v_{nn} \end{bmatrix} $$然后求出其行列式$|A|$，若$|A|=0$，则向量组$V$是线性相关的，否则其线性无关。
4.3 向量组的线性相关性
证 （方法1） 设 B 1, 2,L n , 且
有数x1,x2,…,xn，使得 x11 x22 L xnn 0,
即
x1
1, 2,L
,
n
x2
M
0,
xn
右边等式两边同时左乘矩阵A，得
ABx 0, 即 Ex 0, 所以 x 0, 即 x1 x2 L xn 0, 故由定义可知，
0
0
1
证 令 A (1,2,L ,n ),
则A恰为单位矩阵E，故R(A)=n。 根据判定定理，单位向量组线性无关。
例8
已知向量组 , ,
1
2
3
线性无关， 1
1
2
, ,
2
2
3
3
3
1
证明向量组 , ,
1
2
3
也线性无关.(典型考题,典型方法）
证明：（方法 1: 根据定义) 设有数k1,k2,k3,使得
则称向量组A 线性相关，否则称它线性无关。
当且仅当k1 k2 L ks =0时，
表达式 k11 k22 L kss 0成立。
定理2
线性相关和无关的判定定理
1,2 ,L ,s 线性无关
x11 x22 L xss 0 仅有零解
对矩阵 A=(1,2,L ,s ), R( A) 向量的个数s.
例2 零向量是任何一个同维向量组的线性组合
Q 0 01 02 L 0m
线性表示的表示系数可以是零
例3 向量组中的任何一个向量都是该向量组的线性组合。
i 01 02 L 1i L 0m
例4 对如下向量
(0,1,2)T ,1 (1,1,0)T ,2 (0,1,1)T ,3 (3, 4,0)T ,
4.1 向量组的线性组合及线性相关性
黄凤英 信息科学与计算学院
黄凤英 4.1向量组的线性组合及线性相关性
一、n 维向量与向量组的定义
1. 向量的定义 定义1
n 个有次序的数 a1 , a2 , · · · , an 所组
成的数组称为 n 维向量, 这 n 个数称为该向量的
n 个分量, 第 i 个数 ai 称为第 i 个分量. 分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数 的向量称为复向量. 在这里我们只讨论实向量.
就是一个由四个 3 维列向量 1, 2, 3, 4 构成的
向量组.
黄凤英 4.1向量组的线性组合及线性相关性
3. 矩阵与向量组的关系
对于一个 m×n 矩阵 A = (aij) :
若令
a11 a21 A a m1
a12 a22 am 2
a1n a2 n , amn
黄凤英 4.1向量组的线性组合及线性相关性
定理 1 向量 b 能由向量组a1 , a2 , · · · , am 线性表
示的充要条件是
R(A) =R(A, b),
其中矩阵 A = (a1 , a2 , · · · , am).
黄凤英 4.1向量组的线性组合及线性相关性
进一步，R(A) =R(A, b) = m，则向量 b 能够由 向量组a1 , a2 , · · · , am 线性表示，且表法唯一； 如果 R(A) =R(A, b) < m，则向量 b 能够由向量
黄凤英 4.1向量组的线性组合及线性相关性
定理的比较
本节的定理 1 向量 b 能由向量组a1 , a2 , · · · , am
线性表示的充要条件是 R(A) =R(A, b), 其中矩阵 A = (a1 , a2 , · · · , am).
4.1向量组的线性组合和线性相关性
线性表示的充分必要条件是：
矩阵A=（
）的秩等于矩阵B=（
，b）的秩
2.向量组B:
能由向量组A：
线性表示充要条件是
矩阵A=（ （
）的秩等于矩阵（A,B）= ）
的秩，即R(A)=R(A,B)
推论: 向量组A与向量组B等价的充分必要条件是： R(A)=R(B)=R(A,B)
3.设向量组B：
能由向量组A：
R（
一定线性相关，特别的n+1个n维向量也一定线性相关
3. 设向量组A：
线性无关，而向量组B：
线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且唯一表示
对于定理2.1：可以简单记为小的线性相关，大的才线性相关 大的线性无关，小的才线性无关
线性相关性定 义和定理
已知
讨论
及向量组 线性相关性
解：
可见R(
)=2，故向量组
）≤R（
）
线性表示，则：
3个定理
•设
证明向量 组
与向量组
证明:证出 R(A)=R(B)=R(A,B)即可
等价。
容易看出R（B）≤R(A,B)=2
R(A)=2
所以R(A)=R(B)=R(A,B)
因此证明向量 组
与向量组
等价。
线性组合例题
• 定义：给定向量组A： 使：
如果存在不全为0的数 则称向量组A是线性相关的
• 定理1：向量组A：
线性相关的充分必要条件是它
所构成的矩阵A=（
）的秩小于向量个数m；
向量组A线性无关的充分必要条件是R(A)=m
线性相关性定义 和定理
• 定理2：
1. 若向量组A：
线性相关，则向量组B：
空间向量的线性相关性与线性组合
空间向量的线性相关性与线性组合空间向量是线性代数中的重要概念，它们在多个领域中有着广泛的应用。
在学习空间向量时，了解线性相关性与线性组合是非常重要的概念。
本文将详细介绍空间向量的线性相关性以及线性组合，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、线性相关性线性相关性是指一组向量是否可以通过线性组合（即加法和数量乘法）等方式表示为零向量的形式。
对于向量组V = {v₁, v₂, ..., vₙ}，如果存在不全为零的系数c₁, c₂, ..., cₙ，使得c₁v₁ + c₂v₂ + ... +cₙvₙ = 0，则向量组V是线性相关的。
例如，考虑以下向量组V = {(1, 2), (3, 4)}。
我们可以发现存在不全为零的系数c₁ = 2, c₂ = -1，使得2(1, 2) - (3, 4) = (0, 0)。
因此，向量组V是线性相关的。
线性相关性的判断可以通过求解向量组的线性方程组来实现。
将向量组的元素作为方程组的系数矩阵，并将其等于零向量作为方程组的常数向量。
如果该线性方程组存在非零解，则向量组线性相关；否则，向量组线性无关。
二、线性组合线性组合是指将一组向量按照一定的系数进行加权相加的操作。
对于向量组V = {v₁, v₂, ..., vₙ}和系数c₁, c₂, ..., cₙ，v = c₁v₁ +c₂v₂ + ... + cₙvₙ即为线性组合。
线性组合的应用非常广泛，在几何学、物理学、经济学等领域中都有重要的作用。
例如，在几何学中，我们可以通过线性组合来表示向量之间的线性相关性，判断它们是否共线。
三、应用举例1. 几何学中的线性相关性与线性组合在几何学中，线性相关性与线性组合的概念可以帮助我们判断向量之间的关系。
如果一组向量线性相关，则它们位于同一直线上或共面；如果一组向量线性无关，则它们可以构成一个向量空间。
举个例子，考虑三维空间中的向量组V = {(2, 1, 3), (4, 2, 6)}。
我们可以发现第二个向量是第一个向量的倍数，即第二个向量是第一个向量的线性组合。
第9讲 向量组及其线性相关性
是否有非0解
方法二
考虑由
a1,a 2 ,a 3
组成的行列式
1 30 1 0 0 2 1 1 = 2 7 1 =1(1)11 7 1 = 31 0
10 3 3 1 3 3 10 3
方程组只有0解 所以: 向量组线性无关
定理3 向量组a1，a2， ，am线性相关 向量组中至少有一个向量能由其余向量
(1) 线性相关与线性无关定义:
设有向量组
a1，a2， ，am
如果存在不全为零的数 l 1，l2， ，lm，
使得 l1a1l2a2 lmam= o
则称向量组a1，a2， ，am线性相关
否则称它线性无关
(2) 线性相关与线性无关的判定
定理2 向量组a1，a2， ，am线性相关
齐次方程组 x1a1 x2a2 xm am =0 有非0
a1,n1
a2,n1
an,n1
r(A) = (a1 ,a2 ,...,an1) n
所以 a1 ,a2 ,...,an1 线性相关
(5) 推论 Rn中的任意n+1个向量一定线性相关 证明 证法二
设a1
,a 2
,...,a n1
为给定的n维向量
因为
a1
,a 2
,..
.
,a
组
n1
能被Rn
中的初单位向量组
a11 a12 a1n A= a21 a22 a2n
am1 am2 amn
1 =( a11 a12 a1n ) 2 =(a21 a22 a2n )
... ... ...
m = (am1 am2 amn)
a11
a1 =
a21
am1
a12
初中数学知识点向量的线性组合与线性相关
初中数学知识点向量的线性组合与线性相关初中数学知识点：向量的线性组合与线性相关在初中数学学习中，向量是一个非常重要的概念，它是指具有大小和方向的量，常用在几何学和物理学中描述平移、力的大小和方向等。
而向量的线性组合与线性相关也是我们需要了解的重要概念。
本文将详细介绍向量的线性组合与线性相关的概念及其性质。
一、向量的线性组合在初中数学中，我们学习到，如果给定向量a和b，那么它们的线性组合可以表示为ka+lb，其中k和l是实数。
这个表达式的意思是将向量a乘以k，然后和向量b乘以l相加，这就构成了向量a和b的线性组合。
举个例子来说，如果给定向量a=[3,4]和b=[1,2]，那么它们的线性组合可以表示为ka+lb，其中k和l是任意实数。
比如，当k=2，l=1时，线性组合就变成了2a+1b=[2*3, 2*4]+[1*1, 1*2]=[7,10]。
同样地，我们可以选择其他的k和l的值，得到不同的线性组合。
在进行向量的线性组合时，我们需要注意以下几点：1. 线性组合是对向量进行乘法和加法运算，所得到的向量也是二维或三维空间中的一个向量。
2. 线性组合中的系数k和l可以是任意实数，也可以是零。
3. 同一个向量可以出现多次，也可以不出现，其对应的系数可以不同。
4. 线性组合的顺序可以任意调整，不影响结果。
二、线性相关和线性无关在进行向量的线性组合时，我们还需要了解线性相关和线性无关的概念。
如果给定n个向量a1, a2, ..., an，如果他们之间存在一组不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1a1+k2a2+...+knan=0，那么我们称这些向量是线性相关的。
相反地，如果给定n个向量a1, a2, ..., an，如果他们之间不存在一组不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1a1+k2a2+...+knan=0，那么我们称这些向量是线性无关的。
线性相关和线性无关的概念可以通过以下几点来理解：1. 如果一个向量能够表示成其他若干个向量的线性组合，那么它们就是线性相关的。
向量组的线性组合与线性相关性
线性组合的几何意义
几何解释
在几何上，线性组合可以表示为向量 的平移和伸缩变换。通过改变标量的 值，可以得到不同的线性组合结果， 从而描绘出不同的几何图形。
应用
线性组合在解析几何、计算机图形学 等领域有广泛应用，如通过线性组合 表示平面上的点、线、面等几何对象 。
PART 03
线性相关与线性无关
REPORTING
性质
线性组合满足交换律、结合律、分配律等基本的数学运算规 则。
线性组合的几何意义
几何解释
在几何上，线性组合可以表示为向量 的平移和伸缩变换。通过改变标量的 值，可以得到不同的线性组合结果， 从而描绘出不同的几何图形。
应用
线性组合在解析几何、计算机图形学 等领域有广泛应用，如通过线性组合 表示平面上的点、线、面等几何对象 。
PART 01
引言
REPORTING
WENKU DESIGN
PART 01
引言
REPORTING
WENKU DESIGN
目的和背景
研究向量组的线性组合与线性相关性的目的
揭示向量组内部元素间的依赖关系，为向量空间的理论研究和实际应用提供基础 。
线性组合与线性相关性的重要性
在数据分析、机器学习、图像处理等领域中，向量组的线性组合与线性相关性是 理解数据结构和特征提取的关键。
关；否则，线性无关。
行列式法
对于$n$个$n$维向量，可以 构造一个$n$阶行列式。如果 行列式为零，则向量组线性 相关；否则，线性无关。
线性相关与线性无关的判断方法
观察法
通过观察向量组是否包含零 向量或是否共线/共面来判断 其线性相关性。包含零向量 或共线/共面的向量组必定线
性相关。
5.2 向量组的线性相关性
一、向量组的线性组合
二、向量组的线性相关性
1
由若干个相同维数的列向量(或相同维数 的行向量)所组成的集合称为列(行)向量组。
设矩阵A (aij )m n , 若按列分块, 则得 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A (a1 a2 an ) a am 2 amn m1
11
(2)关于向量组等价的性质
两向量组的等价 ,显然满足下列性质 : (1) 自身性 A ~ A
(2) 对称性 若A ~ B, 则B ~ A (3) 传递性 若A ~ B, B ~ C 则A ~ C
12
(3)线性表示的矩阵表达法 如果向量组A : a1, a2 , , ar可由向量组B : b1, b2 ,
其中bi (ai1, ai 2 , , ain ) (i 1, 2, , m)是n维 行向量。
即矩阵可构成一个n维行向量组成的行向量组。 反之, 有限个同维行向量也可以构成一个矩阵。
由此可见, 矩阵问题可以就转化为向量的问题。
3
若对A按列分块, 记作A (a1 a2 an ), 则 方程组 Ax b x1 x 2 b a1 a2 an xn 即 x1a1 x2a2 xnan b 这里a1, a2,, an, b都是m维列向量。 由此可见,方程组的问题也可以就转化为向量的
15
设向量组A : a1, a2 , , am , 那么向量组A 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 k1a1 k2a2 kmam 0 有非零解。
即Ax 0有非零解,其中A (a1, a2,, am )。
定理2 设n维向量组a1, a2 , , am ,记矩阵 A (a1, a2 , , am ), x ( x1, x2 , , xm )T ,那么下列 三个命题等价: (1)向量组a1, a2 , , am线性相关 (2)齐次线性方程组Ax 0有非零解。 (3)R( A) m,即矩阵A的秩小于向量组所含 向量的个数m。
第三章 第一讲 向量及其线性相关性
a1 j a2 j βj = M a mj
加法： 加法：
加法 减法
n维向量 α = (a1, a2 ,L, an ), β = (b1 , b2 ,L , bn )
α + β = (a1 + b1, a2 + b2 ,L, an + bn ) α − β = α + (−β) = (a1 −b1, a2 −b2 ,L, an −bn )
+ k3 + 3k 3 + 6k 3 = 0, = 0, = 0,
+ 2k 2 + 5k 2 这是关于 k1 , k2 , k3 的齐次方程组
1 D = 1 1
0 2 5
1 3 6
=0
有非 零解
即有不全为零的数 k1 , k 2 , k3 ，使 k1a1 + k2a 2 + k3a3 = 0 也可直接求解得 ， k1 = 1, k2 = 1, k3 = −1, 即 a 1 + a 2 - a 3 = 从而向量组
例4
解
k1 亦即 k 1 k 1
讨论向量组 a1 = (1,1,1), a 2 = (0, 2, 5), a3 = (1,3, 6) 的线性相关性. 的线性相关性 设 有 数 k1 , k 2 , k 3 , 使 k1a 1 + k 2 a 2 + k 3 a 3 = 0 则 ( k1 + k 3 , k1 + 2 k 2 + 3k 3 , k1 + 5 k 2 + 6 k 3 ) = 0
三、 向量组的线性相关性
定义3 定义 的数 给定向量组 A : α 1 α 2 L α r , 如果存在不全为零 k1 , k 2 , L , k r ，使
线性代数 第4章 向量组的线性相关性
线性组合: 线性组合
定义 2 给定向量组 A : α 1 , α 2 , ⋯ , α m , 对于任何一组 实数 k1， k 2， ， k m，向量 ⋯ k1α 1 + k 2α 2 + ⋯ + k mα m 称为向量组 A 的一个 线性组合 ， k1， k 2， ， k m 称为这 ⋯ 个线性组合的系数。
《线性代数》
学习要求： 学习要求：
第四章向量组的线性相关
维向量； 向量组的线性组合 向量组的线性组合； １、掌握下列基本概念：[1] n维向量；[2]向量组的线性组合；[3] 掌握下列基本概念： 维向量 向量的线性表示； 向量组的线性相关与线性无关 向量组的线性相关与线性无关； 向量组的 向量的线性表示；[4]向量组的线性相关与线性无关；[5]向量组的 极大无关组； 向量组的秩 向量组的秩； 两向量组的等价 两向量组的等价。 极大无关组；[5]向量组的秩；[6]两向量组的等价。 ２、知道向量组线性相关的性质；初步掌握用定义、定理判别向量 知道向量组线性相关的性质；初步掌握用定义、 组的线性相关性。 组的线性相关性。 ３、理解矩阵的秩和向量组的秩之间的关系，熟炼掌握用矩阵的初 理解矩阵的秩和向量组的秩之间的关系， 等变换求向量组的秩和它的极大无关组。 等变换求向量组的秩和它的极大无关组。 ４、理解线性方程组解的结构、基础解系、通解及解空间的概念。 理解线性方程组解的结构、基础解系、通解及解空间的概念。 ５、理解非齐次方程解的结构和通解的概念。 理解非齐次方程解的结构和通解的概念。 ６、熟炼掌握用矩阵来表示向量组，用矩阵及线性方程组理论判 熟炼掌握用矩阵来表示向量组， 别向量组的线性相关性。 别向量组的线性相关性。 ７、知道向量空间、子空间的概念；会求向量空间的基和维数。 知道向量空间、子空间的概念；会求向量空间的基和维数。
3.1 3.2向量及向量组的线性相关性
, 2
a22
,, s
a2s
ar1
ar2
ars
则 k11 k22 kss k11 k22 kss
k11
k2 2
ks s
a11
k1
a21
a12
k2
a22
a1s
ks
a2s
k1a11 k1a21
k2a12 ksa1s
k2a22 ksa2s
ars
k1ar1
k2ar 2
ksa1s 0
ksa2s
0
ksars
0
ksa2s 0
ksa1s
0
ksars
0
a11
a12
a1s
1
a21
,
2
a22
, s
a2s
,
ar1
ar2
ars
ka11
ka12
ka1s
1
a21
通常用希腊字母α, β, γ等表示.
说明
①行向量也是1×n的行矩阵，列向量也是n×1的列矩阵； ②行向量可看作是列向量的转置； ③为统一起见，以后所讨论的向量均指列向量.
分量全为零的向量称为零向量, 记作θ ---读作“西塔”
二、向量的运算
如: (a1, a2 , , an )T , (b1, b2 , , bn )T 定义2. 若向量 和 对应的分量分别相等，即ai=bi ，i=1,2,…,n
a22
,
a1s
s
a2
s
,
a11
a21
a12
a22
a1s
a2s
ar1
ar
线性组合与线性相关2
⇔ x1α1+x2α2+···+xsαs=β 有解 ⇔ r(α1,α2,···,αs)=r(α1,α2,···,αs,β)
在此前提下，表示法唯一
⇔ x1α1+x2α2+···+xsαs=β 有唯一解 ⇔ r(α1,α2,···,αs)=r(α1,α2,···,αs ,β)=s ⇔ α1,α2,···,αs线性无关。
7. 向量个数大于维向量维数时，向量组线性相关。 8. n个n维向量组线性相关的条件是它们所构成矩阵 的行列式等于零。 小结：判断n维向量组α1,α2,···,αs是否线性相关 ，可先 比较向量个数s与向量维数n的大小： 1.若s>n ，则向量组线性相关，无需计算。 2.若s=n ，则可计算向量组构成矩阵A的行列式， A 当|A|＝0时 ，向量组线性相关； ＝ 此法也适用于 ，向量组线性无关。 当|A|≠0时 前两种情形。 3.若s<n ，则计算r(α1,α2,···,αs) 当r(α1,α2,···,αs) < s时，向量组线性相关； 当r(α1,α2,···,αs) = s时，向量组线性无关。
1 −1 2 0 −1 3 0 0 0 0 0 0
r (α1 , α 2 , α 3 ) = 2 < 3
所以α1,α2,α3线性相关；
r (α1 , α 2 ) = 2 所以α1,α2线性无关。
例：如果β可由α1,α2,···,αs 线性表示，则表示法唯一的 充要条件是α1,α2,···,αs线性无关。 分析：β可由α1,α2,···,αs线性表示
例：设有向量组α1=(1,0,－1,2)T,α2=(－1,－1,2,－4)T,
α3=(2,3,－5,10)T, 试讨论向量组α1,α2,α3及向量组 α1,α2的线性相关性。 1 −1 2 1 −1 2 解：α1 , α 2 , α 3 ) = 0 − 1 3 0 − 1 3 ( − 1 2 − 5 0 1 −3 2 − 4 10 0 − 2 6
向量组的线性表示与线性相关性
向量组等价结论：向量组A : a1 ,a2 , ,am与B : b1,b2 , ,bl 等价的充分必要条件是： R( A) R(B) R( A, B)
分析：由定理2和向量组等价定义易推出结论成立
不等式推论: 若向量B : b1,b2, ,bs能由向量组A : a1,a2, ,am 线性表示,则: R( A) R(a1,a2, ,am ) R(B) R(b1,b2, ,bs )
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教学目的 重点
掌握向量的概念，掌握向量组线性表示向量 （组）的判定方法，会用初等变换求解向量 的线性表达式。掌握线性相关性的概念和基 本判定方法。
向量组的线性表示、相关性及判定方法
作业
练习册
难点 向量组线性表示方法
讲授方法 讲授
讲授内容 主线
向量定义-分类—线性组合—线性表示及秩的 判断定理和推论—练习—向量组线性表示及 等价和秩的判断方法—向量组线性相关定义 －判定方法
给定向量组 A ：a1, a2 , , am 和向量 b ， 如果存在一组数 1, 2 , , m , 使
b 1a1 2a2 m am ,
则向量b 是向量组 A 的线性组合， 这时称向量 b能由向量组 A 线性表示。 线性表示的关键是线性表示系数的存在与求解
线性代数 第四章 向量组的线性相关性
这是s个同系数A的方程组AX1 b1, AX2 b2 , , AXs bs , 写成矩阵形式,即: ( AX1, AX2 , , AXs ) (b1,b2 , ,bs ), 令X ( X1, X2 , , X s ), B (b1,b2 , ,bs ),则上式成 矩阵方程组: AX B
向量的线性组合和线性相关性
向量的线性组合和线性相关性向量是数学中的一个重要概念，用来描述一些有方向又有大小的量。
掌握好向量的定义和特性，对于进行高等数学和线性代数的学习非常重要。
其中向量的线性组合和线性相关性是比较基础的概念，下面我们来探讨一下。
一、向量的线性组合向量的线性组合指的是将若干个向量按着一定的比例相加的结果。
比如说，如果有两个向量a和b，我们可以将它们组合起来并且乘以一定的系数k1和k2，得出一个新的向量：c = k1a + k2b这里的c就是a和b的线性组合，k1和k2则分别是a和b的系数。
在这种情况下，a和b称为c的基底向量。
在实际应用中，向量的线性组合经常被用来描述一些复杂的物理或数学模型。
二、线性相关性和线性无关性向量的线性相关性指的是在向量组中，是否存在一些向量可以被其它向量的线性组合表示出来。
如果我们有两个向量a和b，那么只有当它们的线性组合中，k1和k2都不为0时，a和b才是线性相关的。
否则它们就是线性无关的。
在向量组中，如果存在某个向量可以被其它向量的线性组合表示，那么这个向量就是冗余的。
比如说，如果我们有一个三维向量组{a, b, c}，如果c可以表示为a和b的线性组合，那么c就是冗余的。
线性相关的向量有一些比较有趣的性质。
比如说，如果一个向量组中有一个向量是线性相关的，那么整个向量组都是线性相关的。
同时，如果向量组中有足够多的向量是线性无关的，那么这些向量就可以构成一个新的基底向量组。
这个基底向量组的维度，就是向量组中线性无关的向量的个数。
三、应用场景向量的线性组合和线性相关性在实际应用中也有很多的用处。
比如说，在计算机图像处理中，我们可以用基于向量的方法来进行图像的压缩和放大。
还有，在机器学习领域，我们经常用到向量计算来进行数据分析和预测。
同时，向量的线性相关性也被广泛应用于线性代数的教学和科研中。
在进行一些高等数学学科的学习时，也需要掌握好向量的线性组合和线性相关性，以便更好地理解一些高阶数学的概念。
线性组合与线性相关
在此前提下，表示法唯一
x11+x22+···+xss=β 有唯一解 r(1,2,···,s)=r(1,2,···,s ,β)=s 1,2,···,s线性无关。
例：如果1,2,···,s 线性无关，1,2,···,s,β线性相关， 则β可由1,2,···,s线性表示。 分析：1,2,···,s线性无关 r(1,2,···,s)=s
有非零解，其充要条件是 r(A)<s,
即r(1,2,···,s) <s. 线性无关的含义是方程组只有零解 r(A)=s,
即r(1,2,···,s) =s.
例：设有向量组1=(1,0,－1,2)T,2=(－1,－1,2,－4)T, 3=(2,3,－5,10)T, 试讨论向量组1,2,3及向量组 1,2的线性相关性。
线性组合与线性相关
二、向量组的线性组合
1.线性表示：如果β=k11+k22+···+kss，则称β可由 1,2,···,s 线性表示，或称β是1,2,···,s 的线性组合。 2.β能由1,2,···,s线性表示的含义是线性方程组
x11+x22+···+xss=β
有解，其充要条件是 r(A)=r(A|β)
三、向量组的线性相关性
1.线性相关定义：存在一组不全为零的数k1,k2,···,ks,
使得k11+k22+···+kss=O. 若k1,k2,···,ks必须全为零，则称1,2,···,s 线性无关。 2.1,2,···,s线性相关的含义是齐次线性方程组
x11+x22+···+xss=O （即Ax=0）
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kss
成立， 则称向量 可由向量组1,2 , ,s 线性表示 （或线性表出） , 或称 是 1,2 , ,s 的一个线性组合，称数 k1 , k2 ,, ks 为表出系数 或组合系数.
1 0 0 例：设 E e1 , e2 , e3 0 1 0 0 0 1
第九讲 向量组的线性组合与线性相关性
主要内容
● 向量的概念
● 向量的线性运算
● 线性组合与线性表示
● 向量组与线性方程组 ● 向量组的线性相关性
一、向量的概念
定义 1 由数域 P 中的 n 个数 a1, a2 ,, an 组成的有序数组
(a1, a2 , , an ) 称为一个 n 维向量．通常用希腊字母 ，，，…
ks 0 时，才使得式（*）成立，
则称向量组 1,2 , ,s 是线性无关的.
向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关
m 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解
R(A) < m
备注：
给定向量组 A，不是线性相关，就是线性无关，两者必居 其一．
向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关，通常是指 m ≥2 的情形. 若向量组只包含一个向量：当 a 是零向量时，线性相关； 当 a 不是零向量时，线性无关． 向量组 A：a1, a2, …, am (m ≥2) 线性相关，也就是向量组 A 中，至少有一个向量能由其余 m－1 个向量线性表示． 特别地， a1, a2 线性相关当且仅当 a1, a2 的分量对应成比例，其几 何意义是两向量共线． a1, a2, a3 线性相关的几何意义是三个向量共面．
方程组有解？
5 3 4 1 向量 是否能用 , , 线性表示？ 1 1 1 2
一般地，设有线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 an1 x1 an 2 x2 a1n xn b1 a2 n xn b2 ann xn bn
(6) (kl ) k (l ).
a , b, c . ) 例1 设向量 ( 3,1, 2), (a 2, b 2c, a c ，求
解：由 (3, 1, 2) (a 2, b 2c, a c) 知
a 2 3 b 2c 1 a c 2
1 2 3
五、向量组的线性相关性
1.线性相关性的定义
定义 5 设 n 维向量组1,2 , ,s ， （1）若存在一组不全为 0 的数 k1, k2 , , ks ，使得
k11 k22 kss 0
（*）
则称向量组 1,2 , ,s 是线性相关的. （2）若当且仅当 k1 k2
9 13 1 , 3, , 2 2 2
三、线性组合与线性表示
定义 3 若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为 向量组．
a11 A34 a21 a 31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
有限向量组
1T a14 T a24 1 , 2 , 3 , 4 2 T a34 3
称为列向量 .
所有分量都是零的向量称为零向量，零向量记作0 0,0,,0 ．
设 n 维向量 a1, a2 , , an ， b1, b2 , , bn ， 称 a1,a2 ,,an 为 的负向量，记作 ． 若 , 的对应分量相等，即 ai bi i 1,2,, n ，则称这两个向量相 等，记作 ．
e1 , e 2 , e3 的 线性组合
2 1 0 0 那么 b 3 2 0 3 1 7 0 2e1 3e2 7e3 7 0 0 1 线性组合的系数
0 0 bn 0 1 0 0 0 1
n 阶单位矩阵 En 的列 (行) 向量叫做 n 维基本单位向量．
四、向量组与线性方程组
1.一般形式
2. 增广矩阵的形式
3 x1 4 x2 x3 5 x1 x2 2 x3 1
等表示向量.
如: (a1, a2 , , an ) ,其中， a i 称为向量 的 第 i 个分量 (i 1,2, , n) .
(a1 , a2 , a3 , a4 )
4维行向量
向量 (a1, a2 , , an ) 称为行向量，
b1 b 向量 2 b1 , b2 , bn , bn
故 a 5, b 13, c 7
例2 设向量 (3,0, 2, 1), ( 2, 2,5,0) ，若 3 2 0
求向量 . 解：由 3 2 0 可得
1 (3 ) 2 1 3( 2, 2, 5, 0) (3, 0, 2, 1) 2
因为向量组 a1, a2, a3 线性无关，所以Kx = 0 ．
Байду номын сангаас
又 |K| = 2 0，那么Kx = 0 只有零解 x = 0 ，
从而向量组 b1, b2, b3 线性无关．
解法2 转化为矩阵的秩的问题．
1 0 1 ( b , b , b ) ( a , a , a ) 1 1 0 已知 1 2 3 1 2 3 ，记作 B = AK ． 0 1 1
解：
1 0 2 1 0 2 r 1 2 4 ~ 0 2 2 1 5 7 0 0 0
可见 R(a1, a2, a3 ) = 2，故向量组 a1, a2, a3 线性相关；
同时，R(a1, a2 ) = 2，故向量组 a1, a2 线性无关．
二、向量的线性运算
定 义 2 设 n 维 向 量 (a1 , a2 , , an ), (b1 , b2 , , bn ), 规 定
(a1 b 1 a , 2 b
,2 an ,bn
) ,
2 n
( ) a1 ( b 1 a ,2 b
3. 向量方程的形式
3 4 1 5 1 1 2 1
4.向量组线性组合的形式
x1 3 4 1 5 x2 1 1 2 1 x3 Ax b
3 4 1 5 x1 x2 x3 1 1 2 1
例6 已知向量组 a1, a2, a3 线性无关，且 b1 = a1+a2， b2 = a2+a3， b3 = a3+a1， 试证明向量组 b1, b2, b3 线性无关． 解题思路： 转化为齐次线性方程组的问题；
转化为矩阵的秩的问题．
解法1 转化为齐次线性方程组的问题．
1 0 1 已知 (b1 , b2 , b3 ) (a1 , a2 , a3 ) 1 1 0 ，记作 B = AK ． 0 1 1 设 Bx = 0 ，则(AK)x = A(Kx) = 0 ．
结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．
定义 4 设 n 维向量组 1,2 , ,s , ， （1）若 k1 , k2 ,, ks 是一组任意常数 , 称 k11 k22 kss 为向量 组 1,2 , ,s 的一个线性组合． （2）若存在一组数 k1, k2 , , ks ，使得
例4 试讨论 n 维基本单位向量组的线性相关性．
1 0 2 例5 已知 a1 1 , a2 2 , a3 4 , 1 5 7
试讨论向量组 a1, a2, a3 及向量组a1, a2 的线性相关性．
1 0 0 b1 0 1 0 b2 b b3 b1 0 b2 0 b3 1 0 0 0 b n 1 0 En 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
k (ka1 , ka2 , , kan ),
a , bn ,
向量的运算性质
(1) ;
(2) ( ) ( );
(3) 0 ; 1 ;
(4) ( ) 0;
(5) k( ) k k ; (k l ) k l ;
一般地，对于任意的 n 维向量b ，必有 b1 1 0 0 0 b 0 1 0 2 0 b b3 b1 0 b2 0 b3 1 bn 0 0 0 0 1 b n
1 ,2 ,3 线性表出？
解：设 k11 k22 k33 ，则有
k1 2k2 3k3 0 2k1 3k2 k3 4 3k k 2k 2 2 3 1
解得 k1 1, k2 1, k3 1，所以 能由 1 ,2 ,3 唯一地 线性表出，且
则其向量组线性组合的形式为
1 x1 2 x2
向量 能由 向量组 A 线性表示
n xn
线性方程组 Ax = 有解
0 1 2 3 例3 设 4 , 1 2 , 2 3 , 3 1 , 问 能否由 2 3 1 2
则其向量方程的形式为
a11 a12 a21 a22 am 1 am 2 a1n x1 b1 a2 n x2 b2 amn xn bm