高中数学第一章常用逻辑用语章末综合检测一含解析新人教A版选修11

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高中数学第一章常用逻辑用语单元同步测试(含解析)新

【名师一号】2014-2015学年高中数学第一章常用逻辑用语单元同步测试（含解析）新人教A 版选修1-1(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“a >0”是“|a |>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析本题考查充要条件的判断，∵a >0⇒|a |>0，|a |>0D ⇒/a >0，∴“a >0”是“|a |>0”的充分不必要条件．答案 A2．命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋4≤0”的否定为( ) A ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋4≥0 B ．∀x ∉R ，x 2－2x ＋4≤0 C ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋4>0 D ．∃x ∉R ，x 2－2x ＋4>0答案 C3．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 tan(2k π＋π4)＝tan π4＝1，所以充分；但反之不成立，如tan 5π4＝1.答案 A4．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x <1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2解析对于B 选项x ＝1时，(x －1)2＝0，故选B. 答案 B5．如果命题“綈p ”为真，命题“p ∧q ”为假，那么( ) A ．q 为假 B ．q 为真C ．p 或q 为真D ．p 或q 不一定为真解析 ∵命题“綈p ”为真，∴命题“p ”为假，又“p ∧q ”为假，∴q 可真也可以假．∴p 或q 可真也可以假，故应选D. 答案 D6．下列说法正确的是( )①原命题为真，它的否命题为假； ②原命题为真，它的逆命题不一定为真； ③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真； ④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②③④答案 B7．设{a n }是首项大于零的等比数列，则“a 1<a 2”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C8．下列命题中的假命题是( ) A. ∀x >0且x ≠1，都有x ＋1x>2B. ∀a ∈R ，直线ax ＋y ＝a 恒过定点(1,0)C. ∀φ∈R ，函数y ＝sin(x ＋φ)都不是偶函数D ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减解析 A ．当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，∵x ≠1，∴x ＋1x>2，故A 为真命题．B ．将(1,0)代入直线ax ＋y ＝a 成立，B 为真命题．C ．当φ＝π2时，函数y ＝sin(x ＋π2)是偶函数，C 为假命题．D ．当m ＝2时，f (x )＝x －1是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，∴D 为真命题，故选C.答案 C9．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件是( ) A ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b ，且c >dB ．p ：a >1，b >1，q ：f (x )＝a x－b (a >0，且a ≠1)的图象不过第二象限 C. p ：x ＝1，q ：x 2＝xD ．p ：a >1，q ：f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数答案 A10．以下判断正确的是( )A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B ．命题“∀x ∈N ，x 3>x ”的否定是“∃x 0∈N ，x 30>x 0”C ．“a ＝1”是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的必要不充分条件 D ．“b ＝0”是“函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数”的充要条件解析 ∵“负数的平方是正数”即∀x <0，则x 2>0，是全称命题，∴A 不正确；∵对全称命题“∀x ∈N ，x 3>x ”的否定是“∃x 0∈N ，x 30≤x 0”，∴B 不正确；∵f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax ，当最小正周期为π时，有2π|2a |＝π.∴|a |＝1D ⇒a ＝1，∴a ＝1是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件，故C 不正确；D 正确．答案 D11．下列四个命题中，其中真命题是( ) ①“若xy ＝1，则lg x ＋lg y ＝0”的逆命题； ②“若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )”的否命题；③“若b ≤0，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题． A ．①② B ．①②③④ C ．②③④D ．①③④解析 ①逆命题：“若lg x ＋lg y ＝0，则xy ＝1”为真命题．②逆命题：“若a ⊥(b －c )，则a ·b ＝a ·c ”为真命题，根据逆命题与否命题的等价性，则否命题也为真命题．③当b ≤0时，Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ≥0，知方程有实根，故原命题为真命题，所以逆否命题也为真命题．④真命题．答案 B12．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤1解析 ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2，当x ∈[1,2]时恒成立，∴a ≤1. ∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，∴a ≤－2，或a ≥1.又p ∧q 为真，故p ，q 都为真，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ≤－2，或a ≥1.∴a ≤－2，或a ＝1. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．写出命题：“若方程ax 2－bx ＋c ＝0的两根均大于0，则ac >0”的一个等价命题是________．解析一个命题与其逆否命题等价，因此只要写出原命题的逆否命题即可．答案若ac ≤0，则方程ax 2－bx ＋c ＝0的两根不都大于014．已知p ：x 2－x ≥2，q ：|x －2|≤1，且p ∧q 与綈q 同时为假命题，则实数x 的取值范围为________．解析由x 2－x ≥2，得x ≥2，或x ≤－1， |x －2|≤1，得1≤x ≤3， ∵p ∧q 与綈q 同时为假命题， ∴q 为真命题，p 为假命题，∴1≤x <2. 答案 1≤x <215．已知直线l 1：2x －my ＋1＝0与l 2：x ＋(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是l 1⊥l 2的________条件．解析若l 1⊥l 2，只需2×1＋(－m )(m －1)＝0，即m 2－m －2＝0，即m ＝2，或m ＝－1， ∴m ＝2是l 1⊥l 2的充分不必要条件．答案充分不必要 16．下列四种说法：①命题“∀x ∈R ，都有x 2－2<3x ”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2－2≥3x ”； ②若a ，b ∈R ，则2a <2b是log 12a >log 12b 的必要不充分条件；③把函数y ＝sin(－3x )(x ∈R )的图象上所有的点向右平移π4个单位即可得到函数y ＝sin(－3x －π4)(x ∈R )的图象；④若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为2π3，则|a ＋b |＝ 3.其中正确的说法是________．解析 ①正确．②若2a <2b，则a log 12b 不成立，若log 12a >log 12b ，∴0<a <b ，∴2a<2b.故②正确．③把y ＝sin(－3x )的图象上所有点向右平移π4，得到y ＝sin[－3(x －π4)]＝sin(－3x＋3π4)，故③不正确． ④由题可知，a ·b ＝1×2cos 2π3＝－1，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝3，∴|a ＋b |＝3，故④正确．答案 ①②④三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)平面内，凸多边形的外角和等于360°； (2)有一些奇函数的图象过原点； (3)∃x 0∈R,2x 20＋x 0＋1<0； (4)∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤ 2.解 (1)可以改写为“平面内，所有凸多边形的外角和等于360°”，故是全称命题，且为真命题．(2)“有一些”是存在量词，故该命题为特称命题，显然是真命题． (3)是特称命题．∵2x 20＋x 0＋1＝2(x 0＋14)2＋78>0，∴不存在x 0∈R ，使2x 20＋x 0＋1<0，故该命题为假命题．(4)是全称命题．∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2恒成立，∴对任意的实数x ，sin x＋cos x ≤2都成立，故该命题是真命题．18．(12分)写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题，并判断其真假．解逆命题为：“已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集”．由a 2≥4b 知，Δ＝a 2－4b ≥0.这说明抛物线y ＝x 2＋ax ＋b 与x 轴有交点，那么x 2＋ax ＋b ≤0必有非空解集．故逆命题是真命题．19．(12分)设集合M ＝{x |y ＝log 2(x －2)}，P ＝{x |y ＝3－x }，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么条件？解由题设知，M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x ≤3}． ∴M ∩P ＝(2,3]，M ∪P ＝R 当x ∈M ，或x ∈P 时x ∈(M ∪P )＝RD ⇒/x ∈(2,3]＝M ∩P .而x ∈(M ∩P )⇒x ∈R∴x ∈(M ∩P )⇒x ∈M ，或x ∈P .故“x ∈M ，或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件． 20．(12分)写出下列各命题的否定形式并分别判断它们的真假． (1)面积相等的三角形是全等三角形； (2)有些质数是奇数； (3)所有的方程都不是不等式； (4)自然数的平方是正数．解原命题的否定形式：(1)面积相等的三角形不一定是全等三角形，为真命题． (2)所有质数都不是奇数，为假命题． (3)至少存在一个方程是不等式，为假命题． (4)自然数的平方不都是正数，为真命题．21．(12分)已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递减，q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∨q 真，p ∧q 假，求实数a 的取值范围．解对于命题p ：当0<a <1时，函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递减．当a >1时，函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递增，所以如果p 为真命题，那么0<a <1.如果p 为假命题，那么a >1.对于命题q ：如果函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点，那么Δ＝(2a －3)2－4>0，即4a 2－12a ＋5>0⇔a <12，或a >52.又∵a >0，所以如果q 为真命题，那么0<a <12或a >52.如果q 为假命题，那么12≤a <1，或1<a ≤52.∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 与q 一真一假．如果p 真q 假，那么⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12≤a <1，或1<a ≤52，⇔12≤a <1.如果p 假q 真，那么⎩⎪⎨⎪⎧a >1，0<a <12，或a >52，⇔a >52.∴a 的取值范围是[12，1)∪(52，＋∞)．22．(12分)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0.命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)当a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得a <x <3a (a >0)．当a ＝1时，1<x <3，所以p ：1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得2<x ≤3，所以q ：2<x ≤3.若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是{x |2<x <3}．(2)设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a >0}＝{x |a <x <3a ，a >0}，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －6<0，x 2＋2x －8>0＝{x |2<x ≤3}．根据题意可得B A ，则0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 故实数a 的取值范围是{a |1<a ≤2}．。

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优质教案推荐下载第一章检测 (B)(时间 :90 分钟满分 :120 分)一、选择题 (本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.命题 ?x 0∈?R Q∈ Q 的否定是 ()A. ?x 0?? R Q∈ Q B. ?x 0∈ ?R Q ? QC.? x?? R Q ,x 3∈ Q D. ?x ∈ ?R Q ,x 3? Q 答案 :D2.已知命题 p:?x 0∈ (-∞,0) 命题 ? x ∈ (0,1),log 2x< 0,则下列命题为真命题的是 () A. p ∧ q B. p ∨( q) C.( p)∧ q D. p ∧ (q)答案 :C3.设 a,b 为正实数 ,则 “a>b> 1”是“ log 2a> log 2b> 0”的 ( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C.必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件解析 :因为函数 y= log 2x 在 (0,+∞)上是增函数 .故 a>b> 1? log 2a> log 2b> log 21= 0.且 log 2a> log 2b> 0? a>b> 1.故 a>b> 1 是 log 2a> log 2b> 0 的充要条件 .答案 :A4.一元二次方程 ax 2+ 4x+3= 0(a ≠ 0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是() A. a< 0B. a> 0C.a<- 1D. a> 1解析 :一元二次方程 ax 2+4x+ 3= 0(a ≠ 0)有一个正根和一个负根 ? 解得 a< 0,故 a<- 1 是它的一个充分不必要条件 . 答案 :C5.已知 “x>k ”是的充分不必要条件则的取值范围是A.[2, +∞)B.[1, +∞)C.(2,+∞)D.( -∞,-1]解析 :由可得-的充分不必要条件 ,所以 x<- 1 或 x> 2.因为 “x>k ”是所以 k ≥2.答案 :A6.设原命题:若a+b≥2,则a,b中至少有一个不小于1,则原命题与其逆命题的真假情况是( )A. 原命题真 ,逆命题假B. 原命题假 ,逆命题真C.原命题真 ,逆命题真D. 原命题假 ,逆命题假解析 :原命题的逆否命题:若 a,b 都小于 1,则 a+b< 2,是真命题 ,所以原命题为真命题 ; 原命题的逆命题 : 若 a,b 中至少有一个不小于1,则 a+b ≥2,如 a= 3,b=- 3 满足条件 a,b 中至少有一个不小于1,但此时a+b= 0,故逆命题为假命题 .答案 :A7.f(x),g(x)是定义在 R 上的函数,h( x)=f (x)+g (x), f(x),g(x)“均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的 ( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C.必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件解析 :若 f(x),g(x)均为偶函数,则 h(-x)=f (-x) +g (-x)=f (x)+g (x)=h (x),所以 h(x)为偶函数 ;若 h(x)为偶函数 ,则 f(x),g(x)不一定均为偶函数.可举反例说明 ,如 f(x)=x ,g(x)=x 2-x+ 2,则 h(x)=f (x)+g (x)=x 2+ 2 为偶函数 .答案 :B8.下列命题中是假命题的是()A. ?m0∈R ,f(x)= (m0-1 - 是幂函数且在上单调递减B.? x∈ (0,+∞),sin x<xC.? α0,β0∈R,cos(α0+ β0) =cos α0+ sin β0D.? φ∈R ,函数 f(x)= sin(2x+ φ)都不是偶函数解析 :对于选项 A, 当 m0 =2 时 ,满足 f(x)= (m0-1 - 是幂函数 ,即 f(x) 则 f( x)在 (0,+∞)上单调递减,故选项 A 为真命题 ;对于选项 B, 由三角函数线知当 x∈ , 时 ,sin x<x ;当 x∈ , 时 ,sinx≤1故选项 B 为真命题 ; 对于选项 C,当β0= 0 时 ,cos(α0+ β0)= cos α0+sin β0成立 ,所以选项 C 为真命题 ;对于选项 D,当φ时 ,f(x)= cos 2x 为偶函数 ,所以选项 D 为假命题 ,故选 D.答案 :D9.已知平面α,命题甲:若a∥ α,b∥ α,则a∥b,命题乙:若a⊥ α,b⊥ α,则a∥b,则下列说法正确的是()A. 当 a,b 均为直线时 ,命题甲、乙都是真命题B.当 a,b 均为平面时 ,命题甲、乙都是真命题C.当 a 为直线 ,b 为平面时 ,命题甲、乙都是真命题D.当 a 为平面 ,b 为直线时 ,命题甲、乙都是假命题解析 :对于选项 A, 当 a,b 均为直线时 ,命题甲是假命题、乙是真命题,故不正确 ;对于选项 B,当 a,b 均为平面时 ,命题甲是真命题、乙是假命题,故不正确 ;对于选项 C,当 a 为直线 ,b 为平面时 ,命题甲、乙都是假命题 ,故不正确 ;对于选项D,当 a 为平面 ,b 为直线时 ,命题甲、乙都是假命题,正确 .答案 :D10.有下列命题 :① “若 x+y> 0,则 x>0,且 y> 0”的否命题 ; ② “矩形的对角线相等 ”的否命题 ;③ “若 m ≥ 1,则 mx 2-2(m+ 1)x+m+ 3> 0 的解集是 R ”的逆命题 ;④ “若 a+ 7 是无理数 ,则 a 是无理数 ”的逆否命题 .其中真命题是()A. ①②③B. ②③④C.①③④D. ①④解析 :① 的逆命题为 “若 x> 0,且 y> 0,则 x+y> 0”为真 ,故否命题为真;② 的否命题为 “不是矩形的图形对角线不相等”,为假 ;③ 的逆命题为 “若 mx 2-2(m+ 1)x+m+ 3> 0 的解集为 R ,则 m ≥ 1.”∵当 m= 0 时 ,解集不是 R ,∴ 应有, 即 m> 1.∴③ 是真命题 ;,④ 原命题为真 ,逆否命题也为真 .答案 :C二、填空题 (本大题共 5 小题 ,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上 )11.命题 “若 a>b ,则 2a >2b- 1”的否命题为 .a b答案 :若 a ≤b,则 2 ≤2-112.命题 p:若 a,b ∈ R ,则 “ab= 0”是“a= 0”的充分条件 ;命题 q: 函数 y - 的定义域是则 ∨q ”“p ∧ q ”“ p ”中是真命题的为.解析 :p 为假命题 ,q 为真命题 ,故 p ∨ q 为真命题 ,p 为真命题 .答案 :p ∨ q, p13.已知 p(x):x 2+ 2x-m> 0,若 p(1)为假 ,p(2)为真 ,则实数 m 的取值范围为.解析 :因为 p(1) 为假 ,所以 1+ 2-m ≤0,解得 m ≥3;又 p(2) 为真 ,所以 4+ 4-m> 0,解得 m< 8.故实数 m 的取值范围是 [3,8) .答案 :[3,8)14.已知 p:-4<x-a< 4,q:(x-2)(3-x)> 0,若 p 是 q 的充分条件 ,则实数 a 的取值范围是.解析 :p:a-4<x<a+ 4,q:2<x< 3.由 p 是 q 的充分条件 ,可知 q 是 p 的充分条件 ,即 q? p,-, 解得 - 1≤a ≤6.,答案 :[-1,6]15.给出以下四个命题 :①若 ab≤0,则 a≤0或 b≤0;2 2③在△ABC 中 ,若 sin A= sin B,则 A=B ;2 2④在一元二次方程 ax +bx+c= 0 中 ,若 b -4ac< 0,则方程有实数根 .其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题的是.(填序号 )解析 :对命题① ,其原命题和逆否命题为真,但逆命题和否命题为假;对命题② ,其原命题和逆否命题为假,但逆命题和否命题为真 ;对命题③,其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真;对命题④ ,其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假.答案 :③三、解答题 (本大题共 5 小题 ,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)写出命题“若-则且的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假解 :逆命题 : 若 x=2,且 y=- 1,则-真命题.否命题 :若 - ≠ 0,则 x≠2或 y≠-1,真命题 .逆否命题 : 若 x≠2或 y≠-1,则-≠ 0,真命题.17.(8分)设p:关于x的不等式如果 p 和 q 有且仅有一个为真解 :当 p 真时 ,0<a< 1.x 2a > 1(a> 0,且 a≠ 1)的解集为 { x|x< 0}; q:函数 y= lg(ax -x+a )的定义域为R.当 q 真时,即 a - ,∴p 假时 ,a> 1,q 假时 ,a≤又 p 和 q 有且仅有一个为真,∴当 p 真 q 假时 ,0<a ≤当 p 假 q 真时 ,a> 1. 综上 ,得 a∈,∪ (1,+∞).18.(9 分) 已知 m ∈ R ,设 p:x 1 和 x 2 是方程 x 2-ax-2= 0 的两个根 ,不等式 |m-5|≤|x 1-x 2|对任意实数 a ∈ [1,2] 恒成立 ;q:函数 f(x)= 3x 2+ 2mx+m 有两个不同的零点求使且为真命题的实数的取值范围解 :由题设 ,得 x 1+x 2=a ,x 1x 2=- 2,∴ |x 1-x 2| ) -当 a ∈ [1,2] 时的最小值为 3.要使 |m-5|≤|x 1-x 2| 对任意实数 a ∈[1,2] 恒成立 ,只需 |m-5|≤ 3,即 2≤m ≤8.2的判别式 Δ=4m 2解得 m<- 1由已知 ,得 3x + 2mx+m-1或 m>4.综上 ,要使 “p 且 q ”为真命题 ,只需 p 和 q 都是真命题 ,即,解得实数 m 的取值范 , - 或围是 (4,8] .19.(10 分 )已知 a> 1,命题 p:a(x-2)+ 2> 0,命题 q:(x-1) 2>a (x-2)+1.若 p 或q 为真 , q 为假 ,求实数 x 的取值范围 .解 :命题 p:a(x-2)+ 2> 0,即 x-2>解得 x> 22命题q:x -(2+a )x+ 2a> 0,即 (x-2)(x-a)> 0.若 p 或 q 为真 , q 为假 ,则 p 真 ,q 真.① 若 1<a< 2,则 q:x<a 或 x>2.若命题 p,q 同时成立 ,则 2或x> 2.即 x 的取值范围是- ,∪ (2,+∞).② 若 a= 2,则 p:x>1,q:x ≠2.若命题 p,q 同时成立 ,则 x> 1,且 x ≠2.即 x 的取值范围是 (1,2)∪ (2,+∞).③ 若 a> 2,则 q:x<2 或 x>a.若命题 p,q 同时成立 ,则 2或x>a.即 x 的取值范围是- ,∪ (a,+∞).20.(10分)已知c> 0,设命题p:y=c x为减函数,命题q:函数f(x)=x在,上恒成立若∨q 为真命题 ,p∧ q 为假命题 ,求 c 的取值范围 .解 :由 p∨ q 为真 ,p∧ q 为假 ,知 p 与 q 为一真一假 ,对 p,q 进行分类讨论即可.若p 真 ,由 y=c x为减函数 ,得 0<c< 1.当 x∈,时,由不等式x≥ 2x= 1时取等号)知,f(x)=x在,上的最小值为2,若q 真,则即c若p 真 q 假,则 0<c< 1,c≤所以 0<c ≤若 p 假 q 真,则 c≥1,c所以c≥1.综上可得 ,c∈,∪ [1,+∞).7。

人教A版高一数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》章末练习题卷含答案解析(33)

第一章《集合与常用逻辑用语》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共12题）1. 若命题 p:∃x 0∈Z ，e x 0<1，则 ¬p 为 ( ) A ． ∀x ∈Z ，e x <1 B ． ∀x ∈Z ，e x ≥1 C ． ∀x ∉Z ，e x <1D ． ∀x ∉Z ，e x ≥12. 已知 a,b ∈R ，则“1∣b −1∣”的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 命题“若 a ，b 都是偶数，则 a +b 是偶数”的否命题是 ( ) A ．若 a ，b 都是偶数，则 a +b 不是偶数 B ．若 a ，b 都是偶数，则 a +b 不是偶数 C ．若 a ，b 不全是偶数，则 a +b 不是偶数 D ．若 a +b 不是偶数，则 a ，b 不全是偶数4. 已知 x ∈R ，则“x 2>x ”是“x >1”的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件5. 下列表示正确的个数是 ( )（1）0∉∅；（2）∅⊆{1,2}；（3）{(x,y )∣∣∣{2x +y =10,3x −y =5}={3,4}；（4）若 A ⊆B 则 A ∩B =A A ． 3 B ． 4 C ． 2 D ． 16. 命题“∀x ∈R ，(13)x>0”的否定是 ( ) A ． ∃x 0∈R ，(13)x 0<0B ． ∀x ∈R ，(13)x≤0 C ． ∀x ∈R ，(13)x<0D ． ∃x 0∈R ，(13)x 0≤07. 已知集合 A ={x∣x ≤1}，B ={x∣−1<x <2}，则 (∁RA )∩B 等于 ( ) A ． {x∣1<x <2}B ． {x∣x >1}C ． {x∣1≤x <2}D ． {x∣x ≥1}8. 已知集合 M 中的元素 x 满足 x =a +√2b ，其中 a,b ∈Z ，则下列实数中不属于集合 M 中元素的个数是 ( )① 0；② −1；③ 3√2−1；④ 3−2√2；⑤ √8；⑥ 1−√2A ． 0B ． 1C ． 2D ． 39. 设 x ，y 均为实数，则“x =0”是“xy =0”的 ( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件10. 已知集合 U =R ，A ={x ∣x 2<5,x ∈Z }，B ={x ∣∣x <2且x ≠0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ． {2}B ． {1,2}C ． {0,2}D ． {0,1,2}11. 已知集合 A ={x∣ x =3n +2,n ∈N }，B ={6,8,10,12,14}，则集合 A ∩B 中元素的个数为 ( ) A ． 5 B ． 4 C ． 3 D ． 212. 命题“∀x ∈R ，2x 2−1≤0”的否定是 ( ) A ． ∀x ∈R ，2x 2−1≥0 B ． ∃x ∈R ，2x 2−1≤0 C ． ∃x ∈R ，2x 2−1>0D ． ∀x ∈R ，2x 2−1>0二、填空题（共4题）13. 若对于两个由实数构成的集合 X ，Y ，集合的运算 X ⊕Y 定义为：X ⊕Y ={x +y∣ x ∈X,y ∈Y }；集合的运算 X ⊗Y 定义为：X ⊗Y ={x ⋅y∣ x ∈X,y ∈Y }，已知实数集合 X ={a +b √2∣ a,b ∈Q}，X ={a +b √3∣ a,b ∈Q}．试写出一个实数 m ，使得 m ∈X ⊗Y 但 m ∉X ⊕Y ，则 m = ．14. 在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y =2a 与函数 y =∣x −a ∣−1 的图象只有一个交点，则 a的值为．15. 若 f (x ) 是偶函数，其定义域为 (−∞,+∞)，且在[0,+∞) 上单调递减，设 f (−32)=m ，f (a 2+2a +52)=n ，则 m ，n 的大小关系是．16. 已知集合 M ={x∣ x >2}，集合 N ={x∣ x ≤1}，则 M ∪N = ．三、解答题（共6题）17.判断下列命题中p是q的什么条件．(1) p:x>1，q:x2>1；(2) p:△ABC有两个角相等，q:△ABC是正三角形；(3) 若a,b∈R，p:a2+b2=0，q:a=b=0．18.设集合A={x∈N∣ x<4}，B={3,4,5,6}．(1) 用列举法写出集合A．(2) 求A∩B和A∪B．19.已知集合A={x∣ x2−ax+a2−19=0}，B={x∣ x2−5x+6=0}，是否存在a使A，B同时满足下列三个条件：（1）A≠B；（2）A∪B=B；（3）∅⫋(A∩B)．若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．20.用列举法表示下列给定的集合．(1) 大于1且小于6的整数组成的集合A．(2) 方程x2−9=0的实数根组成的集合B．(3) 小于8的质数组成的集合C．(4) 一次函数y=x+3与y=−2x+6的图象的交点组成的集合D．21.真子集对于两个集合A，B，如果，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B 的真子集，记为或，读作“ ”或“ ”．问题：真子集与子集有什么区别？22.已知集合A={x∣ −4<x<6}，B={x∣ x2−4ax+3a2=0}．(1) 若A∩B=∅，求实数a的取值范围；(2) 若A∪B=A，求实数a的取值范围．答案一、选择题（共12题） 1. 【答案】B【解析】若命题为 p:∃x 0∈Z ，e x 0<1，则 ¬p:∀x 0∈Z ，e x ≥1．故选：B ．【知识点】全（特）称命题的否定2. 【答案】B【解析】因为 a −1>∣b −1∣⇔1−a ∣b −1∣ 成立；当 a −1>∣b −1∣ 成立时，如取 b =12，a =2，此时 1∣b −1∣ 的充分不必要条件．【知识点】充分条件与必要条件3. 【答案】C【解析】否命题就是对原命题的条件和结论同时进行否定，则命题“若 a ，b 都是偶数，则 a +b 是偶数”的否命题为：若 a ，b 不都是偶数，则 a +b 不是偶数．【知识点】全（特）称命题的否定4. 【答案】A【知识点】充分条件与必要条件5. 【答案】A【知识点】交、并、补集运算6. 【答案】D【解析】全称命题“∀x ∈R ，(13)x>0”的否定是把量词“∀”改为“∃”，并对结论进行否定，把“>”改为“≤”，即“∃x 0∈R ，(13)x 0≤0”.【知识点】全（特）称命题的否定7. 【答案】A【知识点】交、并、补集运算8. 【答案】A【解析】当 a =b =0 时，x =0；当 a =−1，b =0 时，x =−1；当 a =−1，b =3 时，x =−1+3√2；3−2√2=√2)(3−2√2)(3+2√2)=6+4√2，即 a =6，b =4；当 a =0，b =2 时，x =2√2=√8；1−√2=√2(1−√2)(1+√2)=−1−√2，即 a =−1，b =−1．综上所述：0，−1，3√2−1，3−2√2，√8，1−√2 都是集合 M 中的元素．【知识点】元素和集合的关系9. 【答案】A【知识点】充分条件与必要条件10. 【答案】C【解析】因为集合 U =R ，A ={x ∣x 2<5,x ∈Z }={−2,−1,0,1,2}，B ={x ∣∣x <2且x ≠0}，∁U B ={x ∣∣x ≥2且x =0}，所以图中阴影部分表示的集合为 A ∩(∁U B )={0,2}．【知识点】集合基本运算的Venn 图示11. 【答案】D【知识点】交、并、补集运算12. 【答案】C【知识点】全（特）称命题的否定二、填空题（共4题）13. 【答案】可填“(1+√2)(1+√3)”等【知识点】交、并、补集运算14. 【答案】 −12【知识点】函数的零点分布15. 【答案】 m ≥n【知识点】抽象函数、函数的奇偶性、函数的单调性16. 【答案】 (−∞,1]∪(2,+∞)【知识点】交、并、补集运算三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 因为“x>1”能推出“x2>1”，即p⇒q，但“x2>1”推不出“x>1”，如x=−2，即q⇏p，所以p是q的充分不必要条件．(2) 因为“△ABC有两个角相等”推不出“△ABC是正三角形”，即p⇏q，但“△ABC是正三角形”能推出“△ABC有两个角相等”，即q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．(3) 若a2+b2=0，则a=b=0，即p⇒q；若a=b=0，则a2+b2=0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件．【知识点】充分条件与必要条件18. 【答案】(1) 因为集合A={x∈N∣ x<4}，所以A={0,1,2,3}．(2) 因为B={3,4,5,6}，所以A∩B={3}，A∪B={0,1,2,3,4,5,6}．【知识点】交、并、补集运算、集合的表示方法19. 【答案】假设存在a使得A，B满足条件，由题意得B={2,3}．因为A∪B=B，所以A⊆B，即A=B或A⫋B．由条件（1）A≠B，可知A⫋B．又因为∅⫋(A∩B)，所以A≠∅，即A={2}或{3}．当A={2}时，代入得a2−2a−15=0，即a=−3或a=5．经检验a=−3时，A={2,−5}，与A={2}矛盾，舍去；a=5时，A={2,3}，与A={2}矛盾，舍去．当A={3}时，代入得a2−3a−10=0，即a=5或a=−2．经检验a=−2时，A={3,−5}，与A={3}矛盾，舍去；a=5时，A={2,3}，与A={3}矛盾，舍去．综上所述，不存在实数a使得A，B满足条件．【知识点】包含关系、子集与真子集、交、并、补集运算20. 【答案】(1) A={2,3,4,5}．(2) B={−3,3}．(3) C={2,3,5,7}．(4) D={(1,4)}．【知识点】集合的概念21. 【答案】A⊆B；A⫋B；B⫌A；A真包含于B；B真包含A在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个元素x满足x∈B，但x∉A，也就是说集合B至少要比集合A多一个元素．【知识点】包含关系、子集与真子集22. 【答案】(1) a≤−4或a≥6．<a<2．(2) −43【知识点】交、并、补集运算。

高中数学(新人教A版)必修第一册：第1章章末集合与常用逻辑用语【精品课件】

达标检测
1.已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有
A.2个
√B.4个
C.6个
D.8个
2.命题p：“对任意一个实数x，均有x2≥0”，则命题的否定p为( C ) (A)存在x0∈R，使得x02 ≤0 (B)对任意x∈R，均有x2≤0 (C)存在x0∈R，使得 x02 <0 (D)对任意x∈R，均有x2<0
解题技巧： 1.若已知集合是用描述法给出的,则读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键. 2.若已知集合是用列举法给出的,则整体把握元素的共同特征是解题的关键. 3.对集合中的元素要进行验证,保证集合内的元素不重复.
【跟踪训练1】设集合A={x∈Z|0<x<4},B={x|(x4)(x-5)=0},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则集合M中元素的个数为( )
解：CU B x x 1或x>2 可画数轴如下：
1
12
1
数形结合的思想 x 1 1 2数轴法 x
A B=x 1 x 2 A B=x x>-1
A (CU B) x x 2 A (CU B) x x 1或x 1
点评 (I),画数轴上方的线时，同一集合画同一高度，
不同的集合画不同的高度。
3 2
或
a≥32
解题技巧：
1.若所给集合是有限集,则首先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.另外,针对此类问题,在解答过程中也常常借助Venn图来求解.这样处理起来比较直观、形象,且解答时不易出错.
分析：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系的联系
方法归纳：解决这一类问题一般借用数形结合，借助于Venn 图，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来

高中数学(北师大版,选修11)：第一章常用逻辑用语+课件+同步测试+本章整合+综合素质检测(12份

第一章 §2 第1课时一、选择题1．“x >1”是“|x |>1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 本题主要考查了充要条件．判定不是充分(或必要)条件，可用“特例法”．当x >1时，一定有|x |>1成立，而|x |>1时，不一定有x >1，如x ＝－5.所以“x >1”⇒“|x |>1”而“|x |>1” ⇒/ x >1.2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 本题考查两条直线垂直的充要条件．当a ＝1时，直线x －ay ＝0化为直线x －y ＝0，∴直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直；当直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直时，有1－a ＝0，∴a ＝1，故选C.3．设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 本题考查充要条件，解一元二次不等式．由2x 2＋x －1>0得(x ＋1)(2x －1)>0，即x <－1或x >12，所以x >12⇒2x 2＋x －1>0，而2x 2＋x －1>0⇒/ x >12，选A. 4．(2014·郑州市质检)设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，则“a ∥b ”是“x ＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件[答案] B[解析]a∥b⇔x2－4＝0⇔x＝±2，故a∥b是x＝2的必要不充分条件．5．(2014·甘肃省三诊)设a，b∈R，则(a－b)·a2<0是a<b的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析](a－b)a2<0⇒a－b<0⇒a<b，而a<b，a＝0时(a－b)·a2＝0，∴a<b⇒/(a－b)a2<0∴选A.6．(2014·豫东、豫北十所名校联考)已知数列{a n}为等比数列，则p：a1<a2<a3是q：a4<a5的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]由a1<a2<a3可知等比数列{a n}为递增的，所以a4<a5，充分性成立，但a4<a5时，不能确定{a n}为递增数列，也可能是正负交替数列，例如a n＝2·(－1)n－1，所以必要性不成立．二、填空题7．命题p：x1、x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，命题q：x1＋x2＝－5，那么命题p是命题q的________条件．[答案]充分不必要[解析]∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，∴x1＋x2＝－5.当x1＝－1，x2＝－4时，x1＋x2＝－5，而－1，－4不是方程x2＋5x－6＝0的两根．8．已知数列{a n}，那么“对任意的n∈N＋，点P n(n，a n)，都在直线y＝2x＋1上”是“{a n}为等差数列”的______条件．[答案]充分不必要[解析]点P n(n，a n)都在直线y＝2x＋1上，即a n＝2n＋1，∴{a n}为等差数列，但是{a n}是等差数列时却不一定有a n＝2n＋1.9．命题p：sinα＝sinβ，命题q：α＝β，则p是q的________条件．[答案]必要不充分[解析] sin α＝sin β⇒/ α＝β，α＝β⇒sin α＝sin β，故填必要不充分．三、解答题10．是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围．[答案] p ≥4[解析] x 2－x －2>0的解是x >2或x <－1，由4x ＋p <0得x <－p 4. 要想使x <－p 4时，x >2或x <－1成立，必须有－p 4≤－1，即p ≥4，所以当p ≥4时，x <－p 4⇒x <－1⇒x 2－x －2>0.所以p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件.一、选择题11．“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 由于直线方程中含有字母m ，需对m 进行讨论．(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直的充要条件是(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，即(m ＋2)(4m －2)＝0，所以m ＝－2或m ＝12. 显然m ＝12只是m 取值的一种情况．故为充分不必要条件． 12．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] “tan x ＝1”的充要条件为“x ＝k π＋π4(k ∈Z )”，而“x ＝2kx ＋π4(k ∈Z )”是“x ＝kx ＋π4(k ∈Z )”的充分不必要条件，所以“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的充分不必要条件，故选A.13．(2013·浙江文，3)设α∈R ，则“α＝0”是“sin α<cos α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由α＝0可以得出sin α＝0，cos α＝1，sin α<cos α，但当sin α<cos α时，α不一定为0，所以α＝0是sin α<cos α的充分不必要条件，选A.14．(2014·江西临川十中期中)已知平面向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则“m ＝1”是“(a －m b )⊥a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] ∵|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝1×2×cos60°＝1，(a －m b )⊥a ⇔(a －m b )·a ＝0⇔|a |2－m a ·b ＝0⇔m ＝1，故选C.二、填空题15．“a ＝12”是“y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为2π”的________条件． [答案] 充分不必要[解析] 由a ＝12，得y ＝cos 212x －sin 212x ＝cos x ，T ＝2π；反之，y ＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax ，由T ＝2π|2a |＝2π，得a ＝±12.故是充分不必要条件． 16．下列说法正确的是________．①x 2≠1是x ≠1的必要条件；②x >5是x >4的充分不必要条件；③xy ＝0是x ＝0且y ＝0的充要条件；④x 2<4是x <2的充分不必要条件．[答案] ②④[解析] “若x 2≠1，则x ≠1”的逆否命题为“若x ＝1，则x 2＝1”，易知x ＝1是x 2＝1的充分不必要条件，故①不正确．③中，由xy ＝0不能推出x ＝0且y ＝0，则③不正确．②④正确．三、解答题17．对于实数x 、y ，判断“x ＋y ≠8”是“x ≠2或y ≠6”的什么条件．[答案] 充分不必要条件[解析] 可从集合角度判断，考虑集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ≠8}与B ＝{(x ，y )|x ≠2或y ≠6}的包含关系，A 是平面直角坐标系内除去直线y ＝－x ＋8上所有点的集合；B ＝{(x ，y )|x ≠2}∪{(x ，y )|y ≠6}是直角坐标平面内除去直线x ＝2上的所有点或除去直线y ＝6上的所有点的集合，即除点(2,6)的所有点的集合，知A B ，所以“x ＋y ≠8”是“x ≠2或y ≠6”的充分不必要条件．18．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．[答案] a ≤1[解析] ①a ＝0时适合．②当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a <0；若方程有两个负的实根，则必须满足⎩⎨⎧1a >0，－2a <0，Δ＝4－4a ≥0.解得0<a ≤1. 综上可知，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1；反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.。

人教A版数学必修一第一章集合与常用逻辑用语单元测试(含答案)

人教A版数学必修一第一章一、单选题1．设集合A={x|x2―4x+3≤0}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（）A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4}D．{x|1<x<4}2．集合A={x∈N|―1<x<3}的真子集的个数为（）A．3B．4C．7D．83．下列式子中，不正确的是( )A．3∈{x|x≤4}B．{―3}∩R={―3}C．{0}∪∅=∅D．{―1}⊆{x|x<0} 4．已知集合M={1，4，2x}，N={1，x2}，若N⊆M，则实数x=（）A．-2或2B．0或2C．-2或0D．-2或0或25．下列四个条件中，使a＞b成立的必要而不充分的条件是（）A．a＞b﹣1B．a＞b+1C．|a|＞|b|D．2a＞2b6．在平面直角坐标系xOy中，设Ω为边长为1的正方形内部及其边界的点构成的集合．从Ω中的任意点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M P，N p．所有点M P构成的集合为M，M中所有点的横坐标的最大值与最小值之差记为x(Ω)；所有点N P构成的集合为N，N中所有点的纵坐标的最大值与最小值之差记为y(Ω)．给出以下命题：①x(Ω)的最大值为2：②x(Ω)+y(Ω)的取值范围是[2，22]；③x(Ω)―y(Ω)恒等于0．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③7．已知M={(x，y)|y―3x―2=3}，N={(x，y)|ax+2y+a=0}且M∩N=∅，则a=（）A．-6或-2B．-6C．2或-6D．-28．设集合A={x|(x+2)(x―3)⩽0}，B={a}，若A∪B=A，则a的最大值为（）A．－2B．2C．3D．4二、多选题9．已知命题p：关于x的不等式2x―1≥0，命题q：a<x<a+1，若p是q的必要非充分条件，则实数a 的取值可以为（）A．a≥0B．a≥1C．a≥2D．a≥310．已知集合M={x∣x=kπ4+π4,k∈Z}，集合N={x∣x=kπ8―π4,k∈Z}，则（）A．M∩N≠ϕB．M⊆N C．N⊆M D．M∪N=M11．已知正实数m，n满足9n2―24n+17―4m2+1=2m+3n―4，若方程1m +1n=t有解，则实数t的值可以为（）A．5+264B．2+32C．1D．11412．1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（）A．M={x∈Q|x<2}，N={x∈Q|x≥2}满足戴德金分割B．M没有最大元素，N有一个最小元素C．M没有最大元素，N没有最小元素D．M有一个最大元素，N有一个最小元素三、填空题13．已知集合A＝{x|x2＋2x－3≤0}，集合B＝{x||x－1|<1}，则A∩B＝ .14．设集合M={x|a1x2+b1x+c1=0}，N={x|a2x2+b2x+c2=0}，则方程a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2=0的解集用集合M、N可表示为 .15．若规定集合M={a1，a2，…，a n}（n∈N*）的子集{ a i1，a i2，… a in}（m∈N*）为M的第k个子集，其中k= 2i1―1+ 2i2―1+…+ 2i n―1，则M的第25个子集是 16．记关于x的方程a x2―2ax+1=0在区间(0，3]上的解集为A，若A有2个不同的子集，则实数a的取值范围为 .四、解答题17．已知集合M={x|―2<x<4}，N={x|x+a―1>0}．（1）若M∪N={x|x>―2}，求实数a的取值范围；（2）若x∈N的充分不必要条件是x∈M，求实数a的取值范围．18．已知命题p：∀x∈R，|x|+x≥0；q：关于x的方程x2+mx+1=0有实数根．（1）写出命题p的否定，并判断命题p的否定的真假；（2）若命题“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．19．设全集为R，集合A={x|x2―7x―8>0}，B={x|a+1<x<2a―3}.（1）若a=6，求A∩∁R B；（2）在①A∪B=A；②A∩B=B；③(∁R A)∩B=∅，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围.20．已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}．（Ⅰ）当m＝－3时，求( ∁R A)∩B；（Ⅱ）当A∩B＝B时，求实数m的取值范围．21．已知集合A={―1,1}，B={x|x2―2ax+b=0}，若B≠∅，且A∪B=A求实数a,b的值。

高中数学第一章常用逻辑用语章末演练轻松闯关一含解析新人教A版选修11

高中数学第一章常用逻辑用语章末演练轻松闯关一含解析新人教A 版选修11[学生用书P91(单独成册)])[A 基础达标]1．命题“∃x 0∈R ，1<f (x 0)≤2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，1<f (x )≤2 B ．∃x ∈R ，1<f (x )≤2 C ．∃x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>2 D ．∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>2解析：选D.根据特称命题的否定是全称命题可知原命题的否定形式为“∀x ∈R ，f (x )≤1或f (x )>2”．故选D.2．命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c >b ＋c ，则a >b D ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c解析：选A.否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”，故选A.3．设p ：log 2x <0，q ：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1>1，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.p ：log 2x <0⇔0<x <1；q ：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1>1⇔x <1，所以p ⇒q 但q ⇒/p ，所以p 是q 的充分不必要条件，故选B.4．下列表述错误的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．命题“若a ∈M ，则b ∉M ”的等价命题是“若b ∈M ，则a ∉M ”C ．“x >2”是“x 2>4”的充分不必要条件D ．对任意的φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数解析：选D.当α＝0，β＝π3时，tan ⎝⎛⎭⎪⎫0＋π3＝tan 0＋tan π3成立，故选项A 正确．对于选项B 、C ，显然正确．在D 中，存在φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝sin(2x ＋φ)是偶函数，D 错误．5．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0，命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，则( ) A ．命题p ∨q 是假命题 B ．命题p ∧q 是真命题 C ．命题p ∧(﹁q )是真命题 D ．命题p ∨(﹁q )是假命题解析：选C.当x ＝10时，x －2＝8，lg x ＝lg 10＝1，故命题p 为真命题；令x ＝0，则x 2＝0，故命题q 为假命题．依据复合命题真假性的判断法则，可知命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题，﹁q 是真命题，进而得到命题p ∧(﹁q )是真命题，命题p ∨(﹁q )是真命题．故选C.6．写出命题“若方程ax 2－bx ＋c ＝0的两根都大于0，则ac ＞0”的一个等价命题：________________．解析：一个命题与其逆否命题是等价命题．答案：若ac ≤0，则方程ax 2－bx ＋c ＝0的两根不都大于07．已知p ：－3＜x －a ＜3，q ：(x －1)(2－x )＞0.若﹁p 是﹁q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：p ：－3＜x －a ＜3，即a －3＜x ＜a ＋3；q ：(x －1)(2－x )＞0，即1＜x ＜2，所以﹁p ：x ≤a －3或x ≥a ＋3，﹁q ：x ≤1或x ≥2；而﹁p 是﹁q 的充分条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤1，a ＋3≥2.解得－1≤a ≤4.答案：[－1，4]8．设命题p ：c 2＜c 和命题q ：∀x ∈R ，x 2＋4cx ＋1＞0，且p ∨q 为真，p ∧q 为假，则实数c 的取值范围是________．解析：解不等式c 2＜c ，得0＜c ＜1，即命题p ：0＜c ＜1，所以命题﹁p ：c ≤0或c ≥1. 又由(4c )2－4＜0，得－12＜c ＜12，即命题q ：－12＜c ＜12，所以命题﹁q ：c ≤－12或c ≥12，由题意知p 与q 中一个为真命题，一个为假命题．当p 真q 假时，实数c 的取值范围是12≤c ＜1.当p 假q 真时，实数c 的取值范围是－12＜c ≤0.综上所述，实数c 的取值范围是－12＜c ≤0或12≤c ＜1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，19．指出下列命题中，p 是q 的什么条件： (1)p ：{x |x >－2或x <3}；q ：{x |x 2－x －6<0}； (2)p ：a 与b 都是奇数；q ：a ＋b 是偶数；(3)p ：0<m <13；q ：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．解：(1)因为{x |x >－2或x <3}＝R ，{x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，所以{x |x >－2或x <3}⃘ {x |－2<x <3}，而{x |－2<x <3}{x |x >－2或x <3}．所以p 是q 的必要不充分条件．(2)因为a ，b 都是奇数⇒a ＋b 为偶数，而a ＋b 为偶数⇒/ a ，b 都是奇数，所以p 是q 的充分不必要条件．(3)mx 2－2x ＋3＝0有两个同号不等实根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，3m >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧4－12m >0，m >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m <13，m >0⇔0<m <13. 所以p 是q 的充要条件．10．设函数y ＝lg(－x 2＋4x －3)的定义域为A ，函数y ＝2x ＋1，x ∈(0，m )的值域为B . (1)当m ＝2时，求A ∩B ；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意得－x 2＋4x －3＞0，解得1＜x ＜3，所以A ＝(1，3)，又函数y ＝2x ＋1在区间(0，m )上单调递减，所以y ∈⎝⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2，即B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2，当m ＝2时，B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2，所以A ∩B ＝(1，2)． (2)首先要求m ＞0，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，所以B A ，即⎝⎛⎭⎪⎫2m ＋1，2(1，3)，从而2m ＋1≥1，解得0＜m ≤1. [B 能力提升]11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x <0，m －x 2，x ≥0，给出两个命题：命题p ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解，命题q ：若m ＝19，则f (f (－1))＝0，那么，下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(﹁p )∧qC ．p ∧(﹁q )D ．(﹁p )∧(﹁q )解析：选B.因为3x>0，当m <0时，m －x 2<0，所以命题p 为假命题；当m ＝19时，因为f (－1)＝3－1＝13，所以f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝0，所以命题q 为真命题，逐项检验可知，只有(﹁p )∧q 为真命题，故选B.12．已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，若∀x 1∈[－1，2]，∃x 2∈[－1，2]，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________．解析：当∀x 1∈[－1，2]时，由f (x )＝x 2－2x 得，对称轴是直线x ＝1，f (1)＝－1是最小值，f (－1)＝3是最大值，所以f (x 1)∈[－1，3]．又因为∀x 1∈[－1，2]，∃x 2∈[－1，2]，使得f (x 1)＝g (x 2)，所以当x 2∈[－1，2]时，[－1，3]⊆g (x 2)．因为a >0，所以g (x )＝ax ＋2是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≤－1，2a ＋2≥3，解得a ≥3，综上所述，实数a 的取值范围是[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)13．设有两个命题：p ：关于x 的不等式sin x cos x >m 2＋m2－1的解集是R ；q ：幂函数f (x )＝x7－3m在(0，＋∞)上是减函数．若“p 且q ”是假命题，“p 或q ”是真命题，求m 的取值范围．解：因为“p 且q ”是假命题，所以p ，q 中至少有一个是假命题．因为“p 或q ”是真命题，所以p ，q 中至少有一个是真命题．故p 和q 两个命题一真一假．若p 真，则2m 2＋m －2<－1，即2m 2＋m －1<0，所以－1<m <12.若q 真，则7－3m <0，所以m >73.p 真q 假时，－1<m <12；p 假q 真时，m >73.所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫73，＋∞. 14．(选做题)已知函数f (x )＝4sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －23cos 2x －1.给定p ：x <π4或x >π2，x ∈R .q ：－2<f (x )－m <2.若﹁p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．解：由q 可得⎩⎪⎨⎪⎧m >f （x ）－2m <f （x ）＋2.因为﹁p 是q 的充分条件，所以在π4≤x ≤π2的条件下，⎩⎪⎨⎪⎧m >f （x ）－2m <f （x ）＋2恒成立．又f (x )＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －23cos 2x －1 ＝2sin 2x －23cos 2x ＋1 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，由π4≤x ≤π2，知π6≤2x －π3≤2π3，所以当x ＝5π12时，f (x )max ＝5，当x ＝π4时，f (x )min ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧m >5－2m <3＋2，即3<m <5.所以m 的取值范围是(3，5)．。

人教a版数学【选修1-1】作业：第一章《常用逻辑用语》章末总结(含答案)

第一章章末总结知识点一四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1判断下列命题的真假．(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；(2)若0<x<5，则|x－2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．知识点二充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2若p：－2<a<0,0<b<1；q：关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的正根，则p是q的什么条件？例3设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．知识点三逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4 判断下列命题的真假．(1)对于任意x ，若x －3＝0，则x －3≤0；(2)若x ＝3或x ＝5，则(x －3)(x －6)＝0.例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四全称命题与特称命题全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x ，x >0；(4)有些质数是奇数．例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．例2 解若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .于是0<－a <2,00}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴AB ，∴⎩⎨⎧ a ≤－4a <0或⎩⎨⎧ 3a ≥－2a <0，解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，∴命题为假．例5 解 p ：由ax 2－x ＋116a >0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－4×a ×a 16<0，∴a >2.q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立，令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12， ∴t <1＋a ·t 2－12， ∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a ≥1. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，a >2且a <1不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.故a 的取值范围为1≤a ≤2.例6 解 (1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时，只需m >－4.(2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立，只需m >f (x )min .又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.所以，所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．。

高中数学第一章常用逻辑用语测评(含解析)新人教A版选修11

高中数学第一章常用逻辑用语测评（含解析）新人教A版选修11测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列语句是真命题的是()A.这是一棵大树B.x+y+z=3C.函数f(x)=x2是单调增函数D.素数不一定是奇数解析:选项A和B不是命题,选项C是假命题,2是素数,但不是奇数,故选项D正确.答案:D2.(2016辽宁沈阳高二检测)命题“若x<0,则ln(x+1)<0”的否命题是()A.若x≥0,则ln(x+1)<0B.若x<0,则ln(x+1)≥0C.若x≥0,则ln(x+1)≥0D.若ln(x+1)≥0,则x≥0解析:由原命题与其逆否命题之间的关系可知,原命题的逆否命题为“若x≥0,则ln(x+1)≥0”.答案:C3.(2016四川成都高二月考)已知命题p:若(a-b)3b2>0,则a>b,则在命题p的逆命题、否命题和逆否命题中,错误命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:原命题p为真,故其逆否命题为真;p的逆命题为假,故其否命题也为假,因此错误命题个数为2.答案:C4.(原创题)命题“∀x>0,>0”的否定是()A.∃x<0,≤0B.∃x>0,0<x≤1C.∀x>0,≤0D.∀x<0,0<x≤1答案:B5.(2016河北石家庄月考)已知直线l的倾斜角为α,斜率为k,那么“α>”是“k>”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件解析:当<α<π时,k<0,当k>时,<α<,所以“α>”是“k>”的必要而不充分条件,故答案:B6.(原创题)设命题p:函数y=在定义域上是增函数;命题q:∃a,b∈(0,+∞),当a+b=1时,=3,以下说法正确的是()A.p∨q为真B.p∧q为真C. p为假D.p∨q为假解析:显然命题p为假命题,又当a,b>0,a+b=1时,=(a+b)=2+≥4,故不存在a,b∈(0,+∞),使得=3,即命题q也为假命题.因此p∨q为假,故选D.答案:D7.(2016吉林高二检测)下列命题的否定为假命题的是()A.∃x∈R,x2+2x+2≤0B.∀x∈R,lg x<1C.所有能被3整除的整数都是奇数D.∀x∈R,sin2x+cos2x=1解析:选项A中,因为x2+2x+2=(x+1)2+1>0,所以∃x∈R,x2+2x+2≤0是假命题,其否定为真命题.选项B中,当x>10时,lg x>1,所以∀x∈R,lg x<1是假命题,其否定为真命题.选项C中,6能被3整除,但6是偶数,所以这是假命题,其否定为真命题.选项D中的命题显然成立,所以其否定是假命题,故选D.答案:D8.(2016吉林高二检测)已知命题 p:存在x∈(1,2)使得e x-a>0,若p是真命题,则实数a的取值范围为()A.(-∞,e)B.(-∞,e]C.(e2,+∞)D.[e2,+∞)解析:因为p是真命题,所以 p为假命题,所以∀x∈(1,2),有e x-a≤0,即a≥e x,又y=e x在(1,2)上的最大值为e2,所以a≥e2.答案:D9.(2016河南新乡模拟)已知p:∃x∈R,mx2+1≤0,q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围为()A.m≥2B.m≤-2C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2解析:由p:∃x∈R,mx2+1≤0,可得m<0,由q:∀x∈R,x2+mx+1>0,可得Δ=m2-4<0,解得-2<m<2,因为p ∨q为假命题,所以p与q都是假命题,若p是假命题,则有m≥0;若q是假命题,则有m≤-2或m≥2,故符合条件的实数m的取值范围为m≥2.答案:A10.已知p:函数f(x)=(x-a)2在(-∞,1)上是减函数,q:∀x>0,a≤恒成立,则 p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件解析:由p:函数f(x)=(x-a)2在(-∞,1)上是减函数,得a≥1.所以 p:a<1;由q:∀x>0,a≤恒a≤2,所以 p是q的充分不必要条件.答案:A11.导学号59254013(原创题)已知函数f(x)=,设命题p:∀a∈R,函数f(x)的值域不可能是(0,+∞);命题q:∃a∈R,使函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-2].那么下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∨(q)C.(p)∧qD.(p)∧(q)解析:当a=0时,f(x)=的值域为(0,+∞),故命题p为假命题;要使函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-2],只需y=ax2+2x-1的单调递减区间是(-∞,-2],这时只要满足解得a=,因此命题q为真命题,故(p)∧q为真.答案:C12.(改编题)若“x>1”是“不等式2x>a-x成立”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是()A.a>3B.a<3C.a>4D.a<4解析:若2x>a-x,则2x+x>a,设f(x)=2x+x,该函数为增函数.由题知2x+x>a成立,即f(x)>a成立能得到x>1,并且反之不成立.因为x>1时,f(x)>3,所以a>3.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2016山西大同高二检测)命题“∃x0∈R,sin x0+2>cos x0”的否定为.解析:因为∃x0∈R,sin x0+2>cos x0,所以其否定为∀x∈R,sin x+2x2≤cos x.答案:∀x∈R,sin x+2x2≤cos x14.(2016山东济南高二检测)已知命题p:若a,b∈R,则ab=0是a=0的充分条件,命题q:函数y=的定义域是[3,+∞),则“p∨q”“p∧q”“ p”中是真命题的为.解析:依题意知p假,q真,所以“p∨q”,“ p”是真命题.答案:p∨q, p15.(原创题)函数f(x)=有且只有一个零点的充分必要条件是.解析:当x>0时,x=1是函数的一个零点,要使函数有且只有一个零点,应使函数f(x)在(-∞,0]上没有零点,即-2x+a=0无解,而当x≤0时,0<2x≤1,所以实数a应满足a≤0或a>1.答案:a≤0或a>116.给出如下四个命题:①若“p∧q”为假命题,则p,q均为假命题;②命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a≤b,则2α≤2b-1”;③“∀x∈R,x2+1≥0”的否定是“∃x∈R,x2+1<0”;④在△ABC中,“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件.其中假命题的个数是.解析:若“p∧q”为假命题,则p,q至少有一个为假命题,故①是假命题;②是真命题;“∀x∈R,x2+1≥0”的否定是“∃x∈R,x2+1<0”,故③是假命题;在△ABC中,若A>B,则a>b,根据正弦定理可得sin A>sin B;逆向推理同样成立,故④是真命题.故假命题有2个.答案:2三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)写出下列命题的逆命题、否命题以及逆否命题:(1)若α-β=,则sin α=cos β;a,b,c,d为实数,若a≠b,c≠d,则a+c≠b+d.解:(1)逆命题:若sinα=cosβ,则α-β=;否命题:若α-β≠,则sinα≠cosβ;逆否命题:若sinα≠cosβ,则α-β≠.(2)逆命题:已知a,b,c,d为实数,若a+c≠b+d,则a≠b,c≠d;否命题:已知a,b,c,d为实数,若a=b或c=d,则a+c=b+d;逆否命题:已知a,b,c,d为实数,若a+c=b+d,则a=b或c=d.18.(本小题满分12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题,并判断其真假:(1)对数函数都是单调函数;(2)至少有一个整数,它既能被11整除,又能被9整除;(3)∀x∈(0,+∞),x+≥2;(4)∃x0∈Z,log2x0>2.解:(1)本题隐含了全称量词“所有的”,其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”,是全称命题,真命题.(2)命题中含有存在量词“至少有一个”,因此是特称命题,真命题.(3)命题中含有全称量词“∀”,是全称命题,真命题.(4)命题中含有存在量词“∃”,是特称命题,真命题.19.(本小题满分12分)已知命题:“∃x∈(-1,1),使等式x2-x-m=0成立”是真命题.(1)求实数m的取值集合M;(2)设不等式(x-a)(x+a-2)<0的解集为N,若x∈N是x∈M的必要条件,求a的取值范围.解:(1)由题意知,方程x2-x-m=0在(-1,1)上有解,即m的取值范围为函数y=x2-x在(-1,1)上的值域,易得M=.(2)因为x∈N是x∈M的必要条件,所以M⊆N.当a=1时,解集N为空集,不满足题意;当a>1时,a>2-a,此时集合N={x|2-a<x<a},则解得a>;当a<1时,a<2-a,此时集合N={x|a<x<2-a},则解得a<-.综上,a>或a<-.20.(本小题满分12分)已知曲线C:x2+y2+Gx+Ey+F=0(G2+E2-4F>0),求曲线C在x轴上所截线段长度为1的充要条件,并证明.解:所求的充要条件是G2-4F=1.(1)必要性:令y=0,则x2+Gx+F=0.设x1,x2为此方程的根,若|x1-x2|==1,则G2-4F=1.(2)充分性:若G2-4F=1,x2+Gx+F=0有两根为x1,x2,且x1+x2=-G,x1·x2=F,|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1·x2=G2-4F=1.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1],设命题p:“f(x)的定义域为R”;命题q:“f(x)的值域为R”.(1)分别求命题p,q为真时实数a的取值范围;p是q的什么条件?请说明理由.解:(1)命题p为真,即f(x)的定义域是R,等价于(a2-1)x2+(a+1)x+1>0恒成立,等价于a=-1或解得a≤-1或a>.故实数a的取值范围为(-∞,-1]∪;命题q为真,即f(x)的值域是R,等价于u=(a2-1)x2+(a+1)x+1的值域范围大于(0,+∞),等价于a=1或解得1≤a≤,故实数a的取值范围为.(2)由(1)知, p:a∈;q:a∈.而,故 p是q的必要不充分条件.22.导学号59254014(本小题满分12分)已知命题p:函数f(x)=|2x+3c|在[-1,+∞)上单调递增;命题q:函数g(x)=+2有零点.(1)若命题p和q均为真命题,求实数c的取值范围;c,使得p∧( q)是真命题?若存在,求出c的取值范围;若不存在,说明理由.解:由于f(x)=|2x+3c|=所以f(x)的单调递增区间是,又因为f(x)在[-1,+∞)上单调递增,所以-≤-1,解得c≥;由于函数g(x)=+2有零点,所以方程+2=0有实数根,即2x2+cx+2=0有实数根,因此c2-16≥0,解得c≥4或c≤-4.(1)当命题p和q均为真命题时,应有因此c≥4.(2)要使p∧(q)是真命题,应使p真q假,因此有≤c<4,故存在实数c,使得p∧( q)是真命题,其取值范围是.。

(好题)高中数学选修1-1第一章《常用逻辑用语》检测(含答案解析)

一、选择题1．命题x R ∀∈，1x e x ≥+的否定是（）A ．x R ∀∈，1x e x <+B ．x R ∃∈，1x e x <+C ．x R ∃∉，1x e x <+D ．x R ∀∉，1x e x <+2．已知命题:p “2,20x x x ∀∈-+≥R ”，则p ⌝是（）A ．2,20x x x ∀∉-+>RB ．2000,20x x x ∃∈-+≤RC ．2000,20x x x ∃∈-+<RD ．2000,20x x x ∃∉-+≤R3．已知平面α，直线,l m 且//m α，则“l m ⊥”是“l α⊥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．不充分也不必要条件 4．“∀x ∈R ，e x -x +1≥0”的否定是（）A ．∀x ∈R ，e x -x +1<0B ．∃x ∈R ，e x -x +1<0C ．∀x ∈R ，e x -x +1≤0D ．∃x ∈R ，e x -x +1≤0 5．设x 、y R ∈，则“0x >，0y >”是“0xy >”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知命题:(0,)p x ∀∈+∞，lg x x >，则p 的否定是（） A ．000(0,),lg x x x ∃∈+∞≤ B ．(0,),lg x x x ∀∈+∞≤C ．000(0,),lg x x x ∃∈+∞>D ．(0,),lg x x x ∀∈+∞< 7．下列结论错误的是（）A ．若“p 且q ”与“p ⌝或q ”均为假命题，则p 真q 假.B ．命题“存在R x ∈，20x x ->”的否定是“对任意的R x ∈，20x x -≤”.C ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真.D ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件.8．命题“,40x x ∀∈>R ”的否定是（）A ．,40x x ∀∉<RB ．,40x x ∀∈≤RC ．00,40x x ∃∉<RD ．00,40x x ∃∈≤R 9．语句“若a b >，则a c b c +>+”是（）A ．不是陈述句B ．真命题C ．假命题D ．不能判断真假 10．设a ，b 都是不等于1的正数，则“222a b >>”是“log 2log 2a b <”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11．设非空集合,M N 满足MN N =，则（） A ．0,x N ∃∈ 有x M ∉ B ．,x N ∀∉有x M ∈C ．0,x M ∃∉ 有0x N ∈D ．,x N ∀∈有x M ∈ 12．清远市是广东省地级市，据此可知“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．已知集合{}260A x x x =+-≤，{}35B x m x m =-≤≤+，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求m 的范围为__________.14．已知命题():1,p x ∃∈+∞，24x >，则命题p ⌝为__________．15．命题“如果22x a b <+，那么2x ab <”，请写出它的逆否命题____________. 16．已知p ：“关于x ，y 的方程2224520()x y mx m m m R +-++-=∈表示圆”q ：“实数m 满足()(4)0m a m a ---<．若p 是q 的充分不必要条件”，则实数a 的取值范围是__________．17．1x ∀>，2210x x -+>的否定是___________.18．命题p ：已知0a >，且满足对任意正实数x ，总有1a x x+≥成立.命题q ：二次函数2()6f x x ax a =-+在区间[]1,2上具有单调性.若“p 或q ⌝”与“q ”均为真命题，则实数a 的取值范围为_________；19．已知a ∈R ，命题“存在x ∈R ，使20x ax a -+≤”为假命题，则a 的取值范围为__. 20．对于函数①()2f x x =+；②2()(2)f x x =-；③()cos(2)f x x =-.现有命题:(2)p f x +是偶函数；命题:()q f x 在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数.则能使p q ∧为真命题的所有函数的序号是___________.三、解答题21．已知命题p ：不等式240x x m -+≥对x R ∀∈恒成立，命题q ：2450m m --≥．若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围． 22．已知命题:p 当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，1a x x ≤+恒成立；命题:q 对任意的x ∈R ，不等式20x ax a -+>恒成立，若命题p q ∧是真命题，求实数a 的取值范围.23．已知集合{}3A x x a =<+，501x B xx ⎧⎫-=>⎨⎬+⎩⎭. （1）若2a =-，求()R A B ；（2）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.24．已知a>0,设命题p:函数y=a x在R 上单调递减,q:函数y=2-2(2),2(2)x a x a a x a ≥⎧⎨<⎩且y>1恒成立,若p ∧q 为假,p ∨q 为真,求a 的取值范围.25．已知命题:p x R ∀∈，210ax ax ++>；:q x R ∃∈，20x x a -+=.若“p q ∨”与“q ⌝”均为真命题，求实数a 的取值范围.26．已知集合A 是函数()2lg 208y x x =--的定义域，集合B 是不等式22210x x a -+-≥（0a >）的解集，p ：x A ∈，q ：x B ∈．（1）若A B =∅，求实数a 的取值范围；（2）若p ⌝是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】命题x R ∀∈，1x e x ≥+的否定是x R ∃∈，1x e x <+．故选：B ．2．C解析：C【分析】根据全称命题的否定是特称命题，即可求出．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题:p “2,20x x x ∀∈-+≥R ”，则p ⌝是2000,20x x x ∃∈-+<R ．故选：C ． 3．B解析：B【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合线面垂直的判定定理即可得出选项.【详解】直线,l m 且//m α，若“l m ⊥”，不一定推出l α⊥，因为线面垂直的判定定理，需满足线垂直于面内的两条相交线，充分性不满足；反之，l α⊥，则直线l 垂直于面内的任意一条直线，由//m α，可得l m ⊥，必要性满足，所以“l m ⊥”是“l α⊥”的必要不充分条件.故选：B4．B解析：B【分析】由全称命题的否定即可得解.【详解】因为命题“∀x ∈R ，e x -x +1≥0”为全称命题，所以该命题的否定为：∃x ∈R ，e x -x +1<0.故选：B.5．A解析：A【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】充分性：若0x >且0y >，则0xy >，充分性成立；必要性：若0xy >，则00x y >⎧⎨>⎩或00x y <⎧⎨<⎩，必要性不成立. 因此，“0x >，0y >”是“0xy >”的充分不必要条件.故选：A.6．A解析：A【分析】直接根据全称命题的否定写出结论.【详解】命题:(0,)p x ∀∈+∞，lg x x >为全称命题，故p 的否定是：000(0,),lg x x x ∃∈+∞≤. 故选：A【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．7．C解析：C【分析】对于A ，由或命题为假可得p ⌝和q 均为假命题，从而可判断，对于B ，根据特称命题的否定为全称命题可得解；对于C ，利用特值判断即可；对于D 直接根据条件和结论的关系判断即可.【详解】对于A ，若“p 且q ”与“p ⌝或q ”均为假命题，则p ⌝和q 均为假命题，所以p 真q 假，A 正确；对于B ，命题“R x ∈存在20x x ->”的否定是“对任意的R x ∈，20x x -≤”.B 正确；对于C ，“若22am bm <，则a b <”的逆命题为：“若a b <，则22am bm <”，当0m =时不成立，C 不正确；对于D ，“1x =”时，“2320x x -+=”成立，充分性成立，“2320x x -+=”成立时，“1x =或2x =”，必要性不成立，所以“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，D 正确.故选：C.8．D解析：D【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】命题“,40x x ∀∈>R ”的否定是“00,40x x ∃∈≤R ”，故选：D. 9．B解析：B【分析】利用不等式的性质以及命题与真命题的定义求解即可．【详解】因为可以判断真假的语句叫命题，判断为真的语句叫做真命题，而当a b >时，a c b c +>+一定成立．所以语句“若a b >，则a c b c +>+”是真命题故选：B ．10．A解析：A【分析】根据充分和必要条件的定义即可求解.【详解】由222a b >>可得1222a b >>，即1a b >>，可推出log 2log 2a b <，当01a <<，1b >时，不等式log 2log 2a b <成立，但推不出222a b >>，根据充分和必要条件的定义可得“222a b >>”是“log 2log 2a b <”的充分不必要条件，故选：A.11．D解析：D【分析】根据交集的结果可得N M ⊆，分析选项，即可得答案.【详解】因为M N N =，所以N M ⊆，所以,x N ∀∈有x M ∈.故选：D12．C解析：C【分析】利用充分性必要性的定义，先考虑充分性，再考虑必要性.【详解】先考虑充分性：学生甲在广东省，则学生甲不一定在清远市，所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的非充分条件；再考虑必要性：学生甲在清远市，则学生甲一定在广东省，所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的必要条件.所以“学生甲在广东省”是“学生甲在清远市”的必要非充分条件.故选：C【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法判断.二、填空题13．【分析】首先根据题意得到从而得到再解不等式组即可【详解】因为是的充分不必要条件所以即所以的范围为故答案为：解析：[)6,+∞【分析】首先根据题意得到A B ⊆，从而得到5233m m +≥⎧⎨-≤-⎩，再解不等式组即可. 【详解】 {}{}26032A x x x x x =+-≤=-≤≤，因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊆，即52633m m m +≥⎧⇒≥⎨-≤-⎩. 所以m 的范围为[)6,+∞.故答案为：[)6,+∞14．【分析】根据含一个量词命题否定的定义即可求得答案【详解】命题则为：故答案为：解析：()21,,4x x ∀∈+∞≤【分析】根据含一个量词命题否定的定义，即可求得答案.【详解】命题():1,p x ∃∈+∞，24x >，则p ⌝为：()21,,4x x ∀∈+∞≤. 故答案为：()21,,4x x ∀∈+∞≤ 15．如果那么【分析】根据逆否命题的概念即可写出它的逆否命题【详解】原命题的逆否命题为：如果那么解析：如果2x ab ≥，那么22x a b ≥+.【分析】根据逆否命题的概念，即可写出它的逆否命题【详解】原命题的逆否命题为：如果2x ab ≥，那么22x a b ≥+.16．【分析】根据充分不必要条件的定义结合圆的方程特征一元二次不等式的解法集合之间的关系进行求解即可【详解】当关于xy 的方程表示圆时由所以有即当实数m 满足时由即因为p 是q 的充分不必要条件所以即因此实数a解析：[3,2]--【分析】根据充分不必要条件的定义，结合圆的方程特征、一元二次不等式的解法、集合之间的关系进行求解即可.【详解】当关于x ，y 的方程2224520()x y mx m m m R +-++-=∈表示圆时，由2222224520(2)2x y mx m m x m y m m +-++-=⇒-+=--+，所以有22021m m m --+>⇒-<<，即(2,1)∈-m ，当实数m 满足()(4)0m a m a ---<时，由()(4)04m a m a a m a ---<⇒<<+，即(,4)m a a ∈+因为p 是q 的充分不必要条件，所以(2,1)- (,4)a a +，即14322a a a ≤+⎧⇒-≤≤-⎨≤-⎩，因此实数a 的取值范围是[3,2]--.故答案为：[3,2]--17．【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得结果【详解】因为全称命题的否定是特称命题否定全称命题时一是要将全称量词改写为存在量词二是否定结论所以的否定是故答案为：解析：01x ∃>，200210x x -+≤【分析】根据全称命题“(),x M p x ∀∈”的否定为特称命题“()00,x M p x ∃∈⌝”即可得结果.因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，所以1x ∀>，2210x x -+>的否定是01x ∃>，200210x x -+≤，故答案为：01x ∃>，200210x x -+≤.18．或【分析】依据题意知p 均为真命题再计算p 为真命题时的取值范围求公共解即得结果【详解】若或与均为真命题则p 均为真命题若命题为真命题即且满足对任意正实数总有成立而当且仅当时等号成立故则若命题为真命题即二解析：1143a ≤≤或23a ≥ 【分析】依据题意知p ，q 均为真命题，再计算p ，q 为真命题时a 的取值范围，求公共解即得结果.【详解】若“p 或q ⌝”与“q ”均为真命题，则p ，q 均为真命题.若命题p 为真命题，即0a >，且满足对任意正实数x ，总有1a x x +≥成立，而a x x +≥=a x x =时等号成立，故min 1a x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则14a ≥. 若命题q 为真命题，即二次函数2()6f x x ax a =-+在区间[]1,2上具有单调性，由对称轴3x a =，故31a ≤或32a ≥，故13a ≤或23a ≥. 由p ，q 均为真命题，知14a ≥，且13a ≤或23a ≥，故1143a ≤≤或23a ≥. 故答案为：1143a ≤≤或23a ≥. 19．【分析】由题意可知命题对使恒成立为真命题可得出进而可解得实数的取值范围【详解】命题存在使为假命题命题对使恒成立为真命题所以故所以的取值范围为故答案为：解析：()0,4【分析】由题意可知，命题“对x ∀∈R ，使20x ax a -+>恒成立”为真命题，可得出∆<0，进而可解得实数a 的取值范围.命题“存在x ∈R ，使20x ax a -+≤”为假命题，命题“对x ∀∈R ，使20x ax a -+>恒成立”为真命题，所以240a a ∆=-<，故04a <<，所以a 的取值范围为()0,4.故答案为：()0,4.20．②【分析】为真命题则pq 均为真命题对所给函数逐个判断即可得出结论【详解】对于①不是偶函数故p 为假命题故为假命题；对于②是偶函数则p 为真命题；在上是减函数在上是增函数则q 为真命题故为真命题;对于③显然解析：②【分析】p q ∧为真命题，则p 、q 均为真命题，对所给函数逐个判断，即可得出结论.【详解】对于①，(2)|4|f x x +=+不是偶函数，故p 为假命题，故p q ∧为假命题；对于②，2(2)f x x +=是偶函数，则p 为真命题；2()(2)f x x =-在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数，则q 为真命题，故p q ∧为真命题;对于③，()cos(2)f x x =-显然不是(2,)+∞上的增函数，故q 为假命题，故p q ∧为假命题．故答案为：②【点睛】本题考查复合命题真假的判断，考查学生分析解决问题的能力，确定p q ∧为真命题，则p 、q 均为真命题是关键，属于中档题.三、解答题21．(,1][4,5)-∞-【分析】先求得命题,p q 为真命题时，实数m 的范围，再根据p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，得到p 和q 一真一假，分类讨论，即可求解.【详解】若p 为真命题，即不等式240x x m -+≥对x R ∀∈恒成立，可得1640m -≤，解得4m ≥，若q 为真命题，由2450m m --≥，解得5m ≥或1m ≤-，因为p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，所以p 和q 一真一假当p 真q 假时，可得415m m ≥⎧⎨-<<⎩，解得45m ≤< 当p 假q 真时，可得451m m m <⎧⎨≥≤-⎩或，解得1m ≤-综上所述，实数m 的取值范围是(,1][4,5)-∞-．22．(]0,2【分析】利用基本不等式可求得当命题p 为真命题时，实数a 的取值范围，利用∆<0可求得当命题q 为真命题时实数a 的取值范围，由题意可知，命题p 、q 均为真命题，由此可求得实数a 的取值范围.【详解】若p 真，则min1a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭， 1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，12x x ∴+≥=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，2a ∴≤. 若q 真，则240a a ∆=-<，04a ∴<<.因为p q ∧是真命题，所以p 、q 均为真命题，204a a ≤⎧∴⎨<<⎩，02a ∴<≤. 因此，实数a 的取值范围是(]0,2.23．（1）{}11x x -<≤；（2）(],4-∞-. 【分析】（1）先求出集合A ，B 和B R ，再利用交集运算即得结果；（2）先根据充分不必要条件得到集合A ，B 的包含关系，再列关系计算即可. 【详解】（1）∵{|1B x x =<-或}5x >，∴{}15R B x x =-≤≤，当2a =-时，{}1A x x =<，因此，{}11R A B x x =-≤<；（2）∵x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，∴A B ⊆，且A B ≠，又{}3A x x a =<+，{|1B x x =<-或}5x >.∴31a +≤-，解得4a ≤-.因此，实数a 的取值范围是(],4-∞-.24．a|0<a≤12或a≥1}. 【解析】试题分析：化简命题p 可得01a <<，化简命题q 可得12a >，由p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，可得,p q 一真一假，分两种情况讨论，对于p 真q 假以及p 假q 真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数m 的取值范围.试题若p 是真命题,则0<a<1,若q 是真命题,则y>1恒成立, 即y 的最小值大于1,而y 的最小值为2a,只需2a>1,所以a>12, 所以q 为真命题时,a>12. 又因为p ∨q 为真,p ∧q 为假,所以p 与q 一真一假,若p 真q 假, 则0<a≤12; 若p 假q 真, 则a≥1,故a 的取值范围为a|0<a≤12或a≥1}. 25．1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】求出当命题p 为真命题时实数a 的取值范围，以及命题q 为真命题时实数a 的取值范围，由题意可知，命题p 为真命题，命题q 为假命题，由此可求得实数a 的取值范围.【详解】若命题p 为真命题，则x R ∀∈，210ax ax ++>.若0a =，则有10>恒成立，合乎题意；若0a ≠，则21040a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<. 所以，当命题p 为真命题时，04a ≤<.若命题q 为真命题，则x R ∃∈，20x x a -+=，则2140a ∆=-≥，解得14a ≤. 由于“p q ∨”与“q ⌝”均为真命题，则p 真q 假，所以0414a a ≤<⎧⎪⎨>⎪⎩，即144a <<. 综上所述，实数a 的取值范围是1,44⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数，考查了利用一元二次不等式在实数集上恒成立求参数，考查计算能力，属于中等题.26．（1） 11a ≥；（2） 01a <≤．【分析】（1）分别求函数()2lg 208y x x=--的定义域和不等式22210(0)x x a a -+->的解集化简集合A B ，，由AB =∅得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到a 的取值范围；（2）求出p ⌝对应的x 的取值范围，由p ⌝是q 的充分不必要条件得到对应集合之间的关系，由区间端点值的关系列不等式组求解a 的范围．【详解】（1）由条件得： {|102}A x x =-<<， {|1B x x a =+或1}x a -若A B =Φ，则必须满足121100a a a +≥⎧⎪-≤-⎨⎪>⎩所以，a 的取值范围为： 11a ≥（2）易得： p ⌝： 2x ≥或10x ≤-，∵p ⌝是q 的充分不必要条件，{|2x x ∴或10}x -是{|1B x x a =+或1}x a -的真子集，则121100a a a +≤⎧⎪-≥-⎨⎪>⎩，解得：01a <≤∴a 的取值范围为： 01a <≤【点睛】本题考查的知识点是充要条件的定义，考查了对数函数的定义域以及一元二次不等式的解法，正确理解充要条件的定义，是解答的关键．。

人教A版高一数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》章末练习题卷含答案解析(32)

第一章《集合与常用逻辑用语》章末练习题卷（共26题）一、选择题（共10题）1. 已知集合 A =(−2,5]，B =[m +1,2m −1]，若 B ⊆A ，则实数 m 的取值范围是 ( ) A ． (−3,3] B ． [−3,3] C ． (−∞,3] D ． (−∞,3)2. “a ≤0”是“函数 f (x )=∣(ax −1)∣x 在区间 (0+∞) 内单调递增”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 若集合 A ={x∣ a <x <2a −1}，B ={x∣ 1<x <3}，且 A ⫋B ，则 a 的取值范围是 ( ) A ． a ≤1 B ． a <2 C ． 1<a <2 D ． a ≤24. “a >0”是“∣a ∣>0”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 若方程组 {3a 1x +2b 1y =5c 1,3a 2x +2b 2y =5c 2 的解集是 {(x,y )∣ (3,4)}，则方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2 的解集是( ) A ． {(x,y )∣ (4,8)} B ． {(x,y )∣ (9,12)} C ． {(x,y )∣ (15,20)}D ． {(x,y )∣ (95,85)}6. 设集合 S ，T ，S ⊆N ∗，T ⊆N ∗，S ，T 中至少有两个元素，且 S ，T 满足： ①对于任意 x,y ∈S ，若 x ≠y ，都有 xy ∈T ； ②对于任意 x,y ∈T ，若 x <y ，则 y x∈S ．下列命题正确的是 ( ) A ．若 S 有 4 个元素，则 S ∪T 有 7 个元素 B ．若 S 有 4 个元素，则 S ∪T 有 6 个元素 C ．若 S 有 3 个元素，则 S ∪T 有 4 个元素 D ．若 S 有 3 个元素，则 S ∪T 有 5 个元素7. 若集合 {1,a,ba }={0,a 2,a +b }，则 a 2019+b 2020 的值为 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． −1 D ． ±18. 若命题“存在 x 0∈R ，使 e ∣x 0−2∣∣−m ≤0”是假命题，则实数 m 的取值范围是 ( )A．(−∞,1)B．(−∞,2)C．(−1,1)D．(−∞,e)9.设整数n≥4，集合X={1,2,3,⋯,n}，令集合S={(x,y,z)∣ ∈X,且三条件x<y<z,y<z<x,z<x<y恰有一个成立}，若(x,y,z)和(z,w,x)都在S中，则下列选项正确的是( ) A．(y,z,w)∈S，(x,y,w)∉SB．(y,z,w)∈S，(x,y,w)∈SC．(y,z,w)∉S，(x,y,w)∈SD．(y,z,w)∉S，(x,y,w)∉S10.命题“任意x∈[0,+∞)，有x3+x≥0”的否定是( )A．任意x∈(−∞,0)，有x3+x<0B．任意x∈(−∞,0)，有x3+x≥0C．存在x∈[0,+∞)，使x3+x<0D．存在x∈[0,+∞)，使x3+x≥0二、填空题（共8题）11.设命题p:k>5，b<5，命题q:一次函数y=(k−4)x+b−5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则p是q的条件；q是p的条件．（用“充分”“必要”填空）,1}含有三个元素，集合B={a2,a+b,0}，若A=B，则a+ 12.已知a,b∈R，集合A={a,bab=．13.写出∣x+y∣<2的一个必要非充分条件．14.设a，b是实数，则“a+b>0”是“ab>0”的条件．15.已知A={x∣ ax2+2x+1=0,a∈R,x∈R}，若A中只有一个元素，则a=，若A中至少有一个元素，则a的取值范围是．16.“∀x∈R，x2+2x+1>0”的否定是．17.已知条件p:2k−1≤x≤1−k，q:−3≤x<3，且p是q的必要条件，则实数k的取值范围为．18.如果不等式∣x−m∣≤1成立的充分不必要条件是1<x≤2，则实数m的取值范围是．三、解答题（共8题）19.对于正整数集合A={a1,a2,⋯,a n}(n∈N∗,n≥3)，如果去掉其中任意一个元素a i(i=1,2,⋯,n)之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”．(1) 判断集合{1,2,3,4,5}是否是“和谐集（不必写过程）；(2) 请写出一个只含有7个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集；(3) 当n=5时，集合A={a1,a2,a3,a4,a5}，求证：集合A不是“和谐集”．20.如图，在半径为√3，圆心角为60∘的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在⊙B上，设矩形PNMQ的面积为y．(1) 按下列要求写出函数的关系式：①设PN=x,将y表示成x的函数关系式；②设∠POB=θ,将y表示成θ的函数关系式；(2) 请你选用( 1)中的一个函数关系式，求出y的最大值．21.已知集合A={a1,a2,a3,⋯,a n}，其中a i∈R(1≤i≤n,n>2)，l(A)表示a i+a j(1≤i<j≤n)的所有不同值的个数．(1) 已知集合P={2,4,6,8}，Q={2,4,8,16}，分别求l(P)，l(Q)；(2) 若集合A={2,4,8,⋯,2n}，求证：l(A)=n(n−1)2．22.用量词“∀”表达下列命题：(1) 实数都能写成小数形式；(2) 凸n边形（n≥3，且n∈N）的外角和等于360∘；(3) 任意一个实数乘−1都等于它的相反数．23.已知π2<α<π，sinα=45．(1) 求sinα+cosα的值；2sinα−cosα)的值．(2) 求cos2α+sin(α+π224.若集合A={x∣ x2+px−12=0}，B{x∣ x2+qx+r=0}，A≠B，A∪B={−3,4}，A∩B={−3}，求p，q，r的值．25.已知集合A={x∣ x<a}，B={x∣ x<−1或x>0}，若A∩(∁R)B=∅，求实数a的取值范围．26.给出下面三个集合：① {x∣ y=x2+1}；② {y∣ y=x2+1}；③ {(x,y)∣ y=x2+1}．(1) 它们各自的含义是什么？(2) 它们是不是相同的集合？答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】C【解析】当集合 B =∅ 时，m +1≥2m −1，解得 m ≤2，此时满足 B ⊆A ；当 B ≠∅，即 m >2 时，应有 {m +1>−2,2m −1≤5, 可得 2<m ≤3．综上可得，实数 m 的取值范围是 (−∞,3]．【知识点】包含关系、子集与真子集2. 【答案】C【解析】f (x )=∣(ax −1)x ∣=∣ax 2−x ∣，若 a =0，则 f (x )=∣x ∣，此时 f (x ) 在区间 (0,+∞) 上单调递增．若 a <0，则二次函数 y =ax 2−x 的图象的对称轴 x =12a在 y 轴左侧，且 x =0 时 y =0，此时 y =ax 2−x 在区间 (0,+∞) 上单调递减且 y <0 恒成立，故 f (x )=∣ax 2−x ∣ 在区间 (0,+∞) 上单调递增，故当 a ≤0 时，f (x ) 在区间 (0,+∞) 上单调递增．若 a >0，则二次函数 y =ax 2−x 的图象的对称轴 x =12a 在 y 轴右侧，且在区间 (0,12a) 上 y <0，此时 f (x )=∣ax 2−x ∣ 在区间 (0,12a ) 上单调递增，在区间 (12a ,1a ) 上单调递减，故函数 f (x ) 不可能在区间 (0,+∞) 上单调递增．【知识点】二次函数的性质与图像、充分条件与必要条件3. 【答案】D【知识点】包含关系、子集与真子集4. 【答案】A【解析】因为 ∣a ∣>0⇔a >0 或 a <0，所以 a >0⇒∣a ∣>0．但 ∣a ∣>0≠a >0，所以 a >0 是 ∣a ∣>0 的充分不必要条件，故选A ．【知识点】充分条件与必要条件5. 【答案】D【解析】因为方程组 {3a 1x +2b 1y =5c 1,3a 2x +2b 2y =5c 2的解集是 {(x,y )∣ (3,4)}，所以 {9a 1+8b 1=5c 1,9a 2+8b 2=5c 2,两边都除以 5 得 {95a 1+85b 1=c 1,95a 2+85b 2=c 2,对照方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2,可得方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2 的解集为 {(x,y )∣ (95,85)}．【知识点】集合的表示方法6. 【答案】A【解析】首先利用排除法：若取 S ={1,2,4}，则 T ={2,4,8}，此时 S ∪T ={1,2,4,8}，包含 4 个元素，排除选项D ；若取 S ={2,4,8}，则 T ={8,16,32}，此时 S ∪T ={2,4,8,16,32}，包含 5 个元素，排除选项C ；若取 S ={2,4,8,16}，则 T ={8,16,32,64,128}，此时 S ∪T ={2,4,8,16,32,64,128}，包含 7 个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合 S ={p 1,p 2,p 3,p 4}，且 p 1p 4p 2>p 4p 3>1，故p 4p 3=p 4p 22=p 2，所以 p 4=p 23，故 S ={1,p 2,p 22,p 23}，此时 p 25∈T ，p 2∈T ，故 p 24∈S ，矛盾，舍．若 p 1≥2，则 p 2p 1p 4p 1>p 4p 2>p 4p 3>1，故 p 4p 3=p4p 13=p 1，所以 p 4=p 14，故 S ={p 1,p 12,p 13,p 14}，此时 {p 13,p 14,p 15,p 16,p 17}⊆T ．若 q ∈T ，则qp 13∈S ，故qp 13=p 1i ，i =1,2,3,4，故 q =p 1i+3，i =1,2,3,4，即 q ∈{p 13,p 14,p 15,p 16,p 17}，故 {p 13,p 14,p 15,p 16,p 17}=T ，此时 S ∪T ={p 1,p 12,p 13,p 14,p 14,p 15,p 16,p 17}，即 S ∪T 中有 7 个元素．故A 正确．【知识点】包含关系、子集与真子集、交、并、补集运算7. 【答案】C}={0,a2,a+b}，易知a≠0，【解析】因为{1,a,ba所以b=0，所以a2=1，即a=±1．当a=1时，{0,a2,a+b}不满足集合中元素的互异性，所以a=−1，所以a2019+b2020=(−1)2019+02020=−1．【知识点】集合相等8. 【答案】A【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断9. 【答案】B【知识点】元素和集合的关系10. 【答案】C【解析】“任意x∈[0,+∞)”的否定为“存在x∈[0,+∞)”，“x3+x≥0”的否定为“x3+x<0”，因此原命题的否定为“存在x∈[0,+∞)，使x3+x<0”，故选C．【知识点】全（特）称命题的否定二、填空题（共8题）11. 【答案】充分；必要【知识点】充分条件与必要条件12. 【答案】−1【解析】因为A=B，0∈B，所以0∈A．又a≠0，=0，则b=0，所以ba所以B={a,a2,0}．因为1∈B，所以a2=1，a=−1或1，由元素的互异性知，a=−1，所以a+b=−1．【知识点】集合相等13. 【答案】∣x+y∣<3等（答案不唯一）【解析】设所求条件为 α，则 α⇒∣x +y ∣<2，而 ∣x +y ∣<2⇒α，依据推出关系与集合包含关系写出对应的语句． ∣x +y ∣<3⇒∣x +y ∣<2，∣x +y ∣<2⇒∣x +y ∣<3，所以 ∣x +y ∣<3 是 ∣x +y ∣<2 的一个必要非充分条件．【知识点】充分条件与必要条件14. 【答案】既不充分又不必要【知识点】充分条件与必要条件15. 【答案】 0 或 1 ； (−∞,1]【解析】当 a =0 时，x =−12，所以 A ={−12}，符合题意；当 a ≠0 时，Δ=4−4a =0⇒a =1，所以 A ={−1}，符合题意．综上，a =0或1．若 A 中只有一个元素，则 a =0或1；若 A 中有两个元素，则 {a ≠0,Δ=4−4a >0, 解得 a <1 且 a ≠0．故 a 的取值范围是 (−∞,1]．【知识点】元素和集合的关系16. 【答案】 ∃x 0∈R ，使得 x 02+2x 0+1≤0【解析】“∀x ∈R ，x 2+2x +1>0”的否定是：“∃x 0∈R ，使得 x 02+2x 0+1≤0”．【知识点】全（特）称命题的否定17. 【答案】 (−∞,−2]【解析】因为条件 p ：2k −1≤x ≤1−k ，q ：−3≤x <3，且 p 是 q 的必要条件，所以 {2k −1≤3,3≤1−k, 解得 k ≤−2，则实数 k 的取值范围是 (−∞,−2]．【知识点】充分条件与必要条件18. 【答案】 {m∣ 1≤m ≤2}【解析】由 ∣x −m ∣≤1，得 m −1≤x ≤m +1，由不等式 ∣x −m ∣≤1 成立的充分不必要条件是 1<x ≤2 可得 {1≥m −1,2≤m +1, 解得 1≤m ≤2．故实数 m 的取值范围是 {m∣ 1≤m ≤2}．【知识点】充分条件与必要条件三、解答题（共8题） 19. 【答案】(1) 集合{1,2,3,4,5}不是“和谐集”．(2) 集合{1,3,5,7,9,11,13}．证明如下：因为3+5+7+9=11+13．1+9+13=5+7+11，9+13=1+3+7+11，1+9+11=3+5+13，1+3+5+11=7+13，3+7+9=1+5+13，1+3+5+9=7+11，所以集合{1,3,5,7,9,11,13}是“和谐集”．(3) 不妨设a1<a2<a3<a4<a5，将集合{a1,a3,a4,a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a1+a5=a3+a4, ⋯⋯①或a5=a1+a3+a4, ⋯⋯②将集合{a2,a3,a4,a5}分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有a2+a5=a3+a4, ⋯⋯③或a5=a2+a3+a4, ⋯⋯④由①③，得a1=a2，矛盾，由①④，得a1=−a2，矛盾，由②③，得a1=−a2，矛盾，由②④，得a1=a2，矛盾，故当n=5时，集合A一定不是“和谐集”．【知识点】数列创新题20. 【答案】(1) ①因为QM=PN=x，所以MN=ON−OM=√3−x2√3，所以y=MN⋅PN=x⋅√3−x2−√33x2(0<x<32)．②当∠POB=θ时，QM=PN=√3sinθ，则OM=sinθ，又ON=√3cosθ，所以MN=ON−OM=√3cosθ−sinθ，所以y=MN⋅PN=3sinθcosθ−√3sin2θ(0<θ<π3)．(2) 由②得，y=√3sin(2θ+π6)−√32，当θ=π6时，y取得最大值为√32【知识点】三角函数模型的应用21. 【答案】(1) 由 2+4=6，2+6=8，2+8=10，4+6=10，4+8=12，6+8=14，得 l (P )=5，由 2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，得 l (Q )=6． (2) 因为 a i +a j (1≤i <j ≤n ) 共有 (n −1)+(n −2)+(n −3)+⋯+4+3+2+1=n (n−1)2个值，所以 l (A )≤n (n−1)2．又集合 A ={2,4,8,⋯,2n }，不妨设 a m =2m ，m =1,2,⋯,n ．a i +a j ，a k +a l （1≤i <j ≤n ，1≤k <l ≤n ），当 j ≠l 时，不妨设 j <l ，则 a i +a j <2a j =2j+1≤a l <a k +a l ，即 a i +a j ≠a k +a l ，当 j =l ，i ≠k 时，a i +a j ≠a k +a l ，因此当且仅当 i =k ，j =l 时，a i +a j =a k +a l ．即所有 a i +a j (1≤i <j ≤n ) 的值两两不同，因此 l (A )=n (n−1)2．【知识点】交、并、补集运算22. 【答案】(1) ∀x ∈R ，x 能写成小数形式．(2) ∀x ∈{x∣ x 是凸n 边形,n ≥3,且n ∈N}，x 的外角和等于 360∘． (3) ∀x ∈R ，有 x ⋅(−1)=−x ．【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断23. 【答案】(1)111．(2) −2225．【知识点】二倍角公式、同角三角函数的基本关系24. 【答案】 p =−1，q =6，r =9．【解析】因为 A ∪B ={−3} , 所以 (−3)2−3p −12=0，p =−1，所以 A ={x∣ x 2−x −12=0}={x∣ x =−3或x =4}，又因为 A ≠B ，A ∪B ={−3,4}，所以 B ={−3} ,所以 {(−3)2+q (−3)+r =0,q 2−4r =0,所以 q =6，r =9．综上，p =−1，q =6，r =9．【知识点】交、并、补集运算25. 【答案】因为B={x∣ x<−1或x>0}，所以∁RB={x∣ −1≤x≤0}，所以要使A∩(∁RB)=∅，结合数轴分析（如图），可得a≤−1．【知识点】包含关系、子集与真子集26. 【答案】(1) 集合① {x∣ y=x2+1}的代表元素是x，满足条件y=x2+1中的x∈R，故{x∣ y=x2+1}=R．集合② {y∣ y=x2+1}的代表元素是y，满足条件y=x2+1中y的取值范围是y≥1，故{y∣ y=x2+1}={y∣ y≥1}．集合③ {(x,y)∣ y=x2+1}的代表元素是(x,y)，可以认为是满足y=x2+1的有序数对(x,y)的集合；也可以认为是平面直角坐标系内的点(x,y)构成的集合，且这些点的坐标满足y=x2+ 1．(2) 由（1）可知集合①是实数集，集合②是大于或等于1的实数集，集合③是二次函数图象上的点构成的点集，故它们是互不相同的集合．【知识点】集合相等、集合的表示方法11。

新教材人教A版高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语习题课件(精选配套习题,含解析)

A．1
B．2
C．3
D．4
解析：方程 x2－5x＋6＝0 的解为 x＝2 或 x＝3，x2－x－2＝0 的解为 x＝2 或 x＝－1，所以集合 M 中含有 3 个元素．
4．设x∈N，且1x∈N，则x的值可能是( B )
A．0
B．1
C．－1
D．0或1
解析：∵－1∉N，∴排除C；0∈N，而 10 无意义，排除A、D，故选B.
——能力提升—— 14．若11－＋aa∈A，且集合 A 中只含有一个元素 a，则 a 的值为 ______－__1_±__2___.
解析：由题意，得11－＋aa＝a， ∴a2＋2a－1＝0且a≠－1，∴a＝－1± 2.
15．已知数集 A 满足条件：若 a∈A，则1－1 a∈A(a≠1)，如果 a＝2，试求出 A 中的所有元素．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形．
8．有下列说法：
①集合 N 中最小的数为 1；②若－a∈N，则 a∈N；③若 a∈
N，b∈N，则 a＋b 的最小值为 2；④所有小的正数组成一个集合．
其中正确命题的个数是( A )
A．0
解析：深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．
10．设直线 y＝2x＋3 上的点集为 P，点(2,7)与点集 P 的关系为(2,7)___∈__ P(填“∈”或“∉”)．
解析：直线 y＝2x＋3 上的点的横坐标 x 和纵坐标 y 满足关系： y＝2x＋3，即只要具备此关系的点就在直线上．由于当 x＝2 时，y ＝2×2＋3＝7，∴(2,7)∈P.
(2)不能．理由：若－5 为集合 A 中的元素，则 a－3＝－5 或 2a－1＝－5.

高中数学人教A版选修1-1章末综合测评1含答案

章末综合测评(一)常用逻辑用语(时间120分钟，总分值150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．“经过两条相交直线有且只有一个平面〞是()A．全称命题B．特称命题C．p∨q形式D．p∧q形式【解析】此命题暗含了“任意〞两字，即经过任意两条相交直线有且只有一个平面．【答案】 A2．(20xx·湖南高考)设x∈R，那么“x>1”是“x3>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由于函数f(x)＝x3在R上为增函数，所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立．因此“x>1〞是“x3>1”的充要条件，应选C.【答案】 C3．(20xx·湖北高考)命题“∀x∈R，x2≠x〞的否认是()A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝xC．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝x【解析】全称命题的否认，需要把全称量词改为特称量词，并否认结论．【答案】 D4．全称命题“∀x ∈Z,2x ＋1是整数〞的逆命题是( )A ．假设2x ＋1是整数，那么x ∈ZB ．假设2x ＋1是奇数，那么x ∈ZC ．假设2x ＋1是偶数，那么x ∈ZD ．假设2x ＋1能被3整除，那么x ∈Z【解析】易知逆命题为：假设2x ＋1是整数，那么x ∈Z .【答案】 A5．命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．那么以下命题为真命题的是( )A ．p ∧¬qB ．¬p ∧qC ．¬p ∧¬qD ．p ∧q【解析】命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以命题¬q 为真命题，所以p ∧¬q 为真命题，应选A.【答案】 A6．(20xx·皖南八校联考)命题“全等三角形的面积一定都相等〞的否认是( )A ．全等三角形的面积不一定都相等B ．不全等三角形的面积不一定都相等C ．存在两个不全等三角形的面积相等D ．存在两个全等三角形的面积不相等【解析】命题是省略量词的全称命题．易知选D.【答案】 D7．原命题为“假设a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，那么{a n }为递减数列〞，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的选项是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假【解析】从原命题的真假入手，由于a n ＋a n ＋12＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，那么逆命题、否命题和逆否命题均为真命题，选A.【答案】 A8．给定两个命题p ，q .假设¬p 是q 的必要而不充分条件，那么p 是¬q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 q ⇒¬p 等价于p ⇒¬q ，¬pD ⇒/ q 等价于¬qD ⇒/ p .故p 是¬q 的充分而不必要条件．【答案】 A9．一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a ＜0B ．a ＞0C ．a ＜－1D ．a ＞1【解析】一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根⇔3a ＜0，解得a ＜0，故a ＜－1是它的一个充分不必要条件．【答案】 C10．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2,3)∈A ∩(∁U B )的充要条件是( )【导学号：26160027】A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞5【解析】 ∵P (2,3)∈A ∩(∁U B )，∴满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2×2－3＋m ＞0，2＋3－n ＞0，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－1，n ＜5. 【答案】 A11．以下命题中为真命题的是( )A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0B ．∀x ∈R,2x >x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b ＝－1D ．a >1，b >1是ab >1的充分条件【解析】对于∀x ∈R ，都有e x >0，应选项A 是假命题；当x ＝2时，2x ＝x 2，应选项B 是假命题；当a b ＝－1时，有a ＋b ＝0，但当a ＋b ＝0时，如a ＝0，b ＝0时，a b 无意义，应选项C 是假命题；当a >1，b >1时，必有ab >1，但当ab >1时，未必有a >1，b >1，如当a ＝－1，b ＝－2时，ab >1，但a 不大于1，b 不大于1，故a >1，b >1是ab >1的充分条件，选项D 是真命题．【答案】 D12．以下命题中真命题的个数为( )①命题“假设x ＝y ，那么sin x ＝sin y 〞的逆否命题为真命题；②设α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，那么“α<β 〞是“tan α<tan β 〞的充要条件；③命题“自然数是整数〞是真命题；④命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0”的否认是“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0.〞A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ①命题“假设x ＝y ，那么sin x ＝sin y 〞为真命题，所以其逆否命题为真命题；②因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 时，正切函数y ＝tan x 是增函数，所以当α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，α<β⇔tan α<tan β，所以“α<β〞是“tan α<tan β〞的充要条件，即②是真命题；③命题“自然数是整数〞是全称命题，省略了“所有的〞，故③是真命题；④命题“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0”的否认是“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1≥0”，故④是假命题．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．设p ：x ＞2或x ＜23；q ：x ＞2或x ＜－1，那么¬p 是¬q 的________条件．【解析】 ¬p ：23≤x ≤2.¬q ：－1≤x ≤2.¬p ⇒¬q ，但¬qD ⇒/ ¬p .∴¬p 是¬q 的充分不必要条件．【答案】充分不必要14．假设命题“对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是假命题，那么实数a 的取值范围是________．【解析】假设对于任意实数x ，都有x 2＋ax －4a >0，那么Δ＝a 2＋16a <0，即－16<a <0；假设对于任意实数x ，都有x 2－2ax ＋1>0，那么Δ＝4a 2－4<0，即－1<a <1，故命题“对于任意实数x ，都有x 2＋ax－4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是真命题时，有a ∈(－1,0)．而命题“对于任意实数 x ，都有x 2＋ax －4a >0且x 2－2ax ＋1>0”是假命题，故a ∈(－∞，－1]∪[0，＋∞)．【答案】 (－∞，－1]∪[0，＋∞)15．给出以下四个命题：①“假设xy ＝1，那么x ，y 互为倒数〞的逆命题；②“相似三角形的周长相等〞的否命题；③“假设b ≤－1，那么关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实数根〞的逆否命题；④假设sin α＋cos α>1，那么α必定是锐角．其中是真命题的有________．(请把所有真命题的序号都填上)．【解析】 ②可利用逆命题与否命题同真假来判断，易知“相似三角形的周长相等〞的逆命题为假，故其否命题为假．④中α应为第一象限角．【答案】 ①③16．p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(3－x )＞0，假设¬p 是¬q 的充分条件，那么实数a 的取值范围是________．【解析】 p ：a －4＜x ＜a ＋4，q ：2＜x ＜3，∵¬p 是¬q 的充分条件(即¬p ⇒¬q )，∴q ⇒p ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，∴－1≤a ≤6. 【答案】 [－1,6]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题总分值10分)指出以下命题的构成形式，并写出构成它的命题：(1)36是6与18的倍数；(2)方程x2＋3x－4＝0的根是x＝±1；(3)不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4或x<－3}．【解】(1)这个命题是p∧q的形式，其中p：36是6的倍数；q：36是18的倍数．(2)这个命题是p∨q的形式，其中p：方程x2＋3x－4＝0的根是x ＝1；q：方程x2＋3x－4＝0的根是x＝－1.(3)这个命题是p∨q的形式，其中p：不等式x2－x－12>0的解集是{x|x>4}；q：不等式x2－x－12>0的解集是{x|x<－3}．18．(本小题总分值12分)写出以下命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)全等三角形一定相似；(2)末位数字是零的自然数能被5整除．【解】(1)逆命题：假设两个三角形相似，那么它们一定全等，为假命题；否命题：假设两个三角形不全等，那么它们一定不相似，为假命题；逆否命题：假设两个三角形不相似，那么它们一定不全等，为真命题．(2)逆命题：假设一个自然数能被5整除，那么它的末位数字是零，为假命题；否命题：假设一个自然数的末位数字不是零，那么它不能被5整除，为假命题；逆否命题：假设一个自然数不能被5整除，那么它的末位数字不是零，为真命题．19．(本小题总分值12分)写出以下命题的否认并判断真假：(1)所有自然数的平方是正数；(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(3)∀x∈R，x2－3x＋3>0；(4)有些质数不是奇数．【解】(1)所有自然数的平方是正数，假命题；否认：有些自然数的平方不是正数，真命题．(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根，假命题；否认：∃x0∈R,5x0－12≠0，真命题．(3)∀x∈R，x2－3x＋3>0，真命题；否认：∃x0∈R，x20－3x0＋3≤0，假命题．(4)有些质数不是奇数，真命题；否认：所有的质数都是奇数，假命题．20．(本小题总分值12分)(2016·汕头高二检测)设p：“∃x0∈R，x20－ax0＋1＝0”，q：“函数y＝x2－2ax＋a2＋1在x∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)〞，假设“p∨q〞是假命题，务实数a的取值范围．【解】由x20－ax0＋1＝0有实根，得Δ＝a2－4≥0⇒a≥2或a≤－2.因为命题p为真命题的范围是a≥2或a≤－2.由函数y＝x2－2ax＋a2＋1在x∈[0，＋∞)上的值域为[1，＋∞)，得a≥0.因此命题q为真命题的范围是a≥0.根据p∨q为假命题知：p，q均是假命题，p为假命题对应的范围是－2<a<2，q为假命题对应的范围是a<0.这样得到二者均为假命题的范围就是⎩⎨⎧－2<a <2，a <0⇒－2<a <0. 21．(本小题总分值12分)(2016·惠州高二检测)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0；命题q ：实数x 满足x 2－5x ＋6≤0.(1)假设a ＝1，且p ∧q 为真，务实数x 的取值范围；(2)假设p 是q 成立的必要不充分条件，务实数a 的取值范围．【解】 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得(x －3a )·(x －a )<0，又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1<x <3，由x 2－5x ＋6≤0得2≤x ≤3，所以q 为真时，实数x 的取值范围是2≤x ≤3.假设p ∧q 为真，那么2≤x <3，所以实数x 的取值范围是[2,3)．(2)设A ＝{x |a <x <3a }，B ＝{x |2≤x ≤3}，由题意可知q 是p 的充分不必要条件，那么B A ，所以⎩⎨⎧0<a <2，3a >3⇒1<a <2，所以实数a 的取值范围是(1,2)． 22．(本小题总分值12分)二次函数f (x )＝ax 2＋x ，对任意x ∈[0,1]，|f (x )|≤1恒成立，试务实数a 的取值范围. 【导学号：26160028】【解】由f (x )＝ax 2＋x 是二次函数，知a ≠0.|f (x )|≤1⇔－1≤f (x )≤1⇔－1≤ax 2＋x ≤1，x ∈[0,1]，①当x ＝0，a ≠0时，①式显然成立；当x ∈(0,1]时，①式化为－1x 2－1x ≤a ≤1x 2－1x ，当x ∈(0,1]时恒成立．设t ＝1x ，那么t ∈[1，＋∞)，所以－t 2－t ≤a ≤t 2－t .令f (t )＝－t 2－t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14，t ∈[1，＋∞)，所以f (t )max ＝－2.令g (t )＝t 2－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14，t ∈[1，＋∞)，所以g (t )min ＝0.所以只需－2≤a ≤0.综上所述，实数a 的取值范围是[－2,0)．。

(压轴题)高中数学选修1-1第一章《常用逻辑用语》检测(有答案解析)

一、选择题1．已知命题:p 对任意1x >，有ln 1x x x >-成立，则p ⌝为（） A ．存在01x ，使000ln 1x x x -成立 B ．存在01x >，使000ln 1x x x -成立 C ．对任意01x ，有000ln 1x x x ≤-成立 D ．对任意01x >，有000ln 1x x x -成立2．要证明命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，只需（）A ．证明所有实数的平方都不是正数B ．证明平方是正数的实数有无限多个C ．至少找到一个实数，其平方是正数D ．至少找到一个实数，其平方不是正数3．已知条件p ：12x +>，条件q ：x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（） A ．](,1-∞B ．](,3-∞-C ．[)1,-+∞D ．[)1,+∞ 4．语句“若a b >，则a c b c +>+”是（） A ．不是陈述句B ．真命题C ．假命题D ．不能判断真假5．已知命题:p “x R ∀∈，10x ->”，则p ⌝为（） A ．x R ∃∈，10x -≤ B ．x R ∀∈，10x -< C ．x R ∃∈，10x -< D ．x R ∀∈，10x -≤6．已知函数y =f (x )的定义域为A ，则“x A ∀∈，都有f (x )≥4”是“函数y =f (x )最小值为4”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．命题“若1x <，则21x <”的逆命题是（）A ．若1≥x ，则21x >B ．若21x <，则1x <C ．若21x >，则1≥xD ．若21x <，则1x ≤ 8．命题“若1x =，则22x <”的否命题是（）A ．“若22,x <则1x =”B ．“若1≥x ，则1x ≠”C ．“若1x =，则22x >”D ．“若1x ≠，则22x ≥”9．若0a >，0b >，则“1a b +≥”是“1≥”的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．下列说法错误的是（） A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”C ．命题p ：x ∃∈R ，使得210x x ++<，则p ⌝：x ∀∈R ，均有210x x ++≥D ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题 11．若“x a ≥”是“12x ≥”的充分条件，则下列不可能是a 的一个取值的是（） A ．sin3πB ．13C ．2D ．π12．“函数2()(33)m f x m m x =-+是幂函数”是“函数22()2g x mx m x m =-+值域为[)0，+∞”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．已知命题():1,p x ∃∈+∞，24x >，则命题p ⌝为__________． 14．若命题“2,10x x ax ∃∈-+≤R ”是假命题，则a 范围是_________． 15．若命题:p x R ∃∈，230x x -≥，则命题p 的否定为_________. 16．若,m n R ∈，则“0+≥m n ”是“0m ≥且0n ≥”的_________条件．17．若命题x R ∃∈，使得()2110x a x +-+<成立是真命题，则实数a 的取值范围是______.18．若“[]1,2,0x x a ∃∈-≤”是假命题，则实数a 的取值范围是__________． 19．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |﹣1＜x ＜m +1}，若x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围是_____．. 20．设集合0,{03}1x A xB x x x ⎧⎫=<=<<⎨⎬-⎩⎭，那么“m A ∈”是“m B ∈”的_______条件.（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个）三、解答题21．已知“{}22x x x ∃∈-<<，使等式220x x m --=”是真命题. （1）求实数m 的取值范围M ：（2）设关于x 的不等式()(1)0x a x a ---<的解集为N ，若“x ∈N ”是“x M ∈”的充分条件，求a 的取值范围.22．已知命题2:30p x mx -+≥对x R ∀∈恒成立，命题:q 方程22126x y m m+=--表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，且p q ∨为真命题，求m 的取值范围.23．设命题p ：实数x 满足()()130x x --<，命题q ：实数x 满足302x x -≤-．若p q ∧为真，求实数x 的取值范围．24．已知命题p ：x R ∀∈，2210x ax -+>，命题q ：函数(21)y a x =-单调递增，（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题q 为真命题，求实数a 的取值范围；（3）若命题p q ∧是假命题，命题p q ∨是真命题，求实数a 的取值范围； 25．已知0,a >给出下列两个命题：:p 函数()()ln 1ln2af x x x=+--小于零恒成立； :q 关于x 的方程()2110x a x +-+=一根在0,1上，另一根在1,2上．若p q ∨为真命题， p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．26．已知命题()():230p x x -+≤；命题():110q a x a a -≤≤+>．（1）若6a =，“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数x 的取值范围．（2）若q ⌝是p ⌝的充分条件，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据全称命题的否定形式可求p ⌝. 【详解】命题:p 对任意1x >，有ln 1x x x >-，其否定为：存在01x >，使000ln 1x x x -成立，故选：B.2．D解析：D 【分析】全称命题是假命题，则其否定一定是真命题，判断选项. 【详解】命题“所有实数的平方都是正数”是全称命题，若其为假命题，那么命题的否定是真命题，所以只需“至少找到一个实数，其平方不是正数. 故选：D3．D解析：D 【分析】根据充分不必要条件的定义及集合包含的关系求解．【详解】123x x +>⇔<-或1x >，p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件，所以1a ≥，故选：D ．【点睛】命题p 对应集合A ，命题q 对应的集合B ，则（1）p 是q 的充分条件⇔A B ⊆；（2）p 是q 的必要条件⇔A B ⊇；（3）p 是q 的充分必要条件⇔A B =；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件⇔集合,A B 之间没有包含关系．4．B解析：B 【分析】利用不等式的性质以及命题与真命题的定义求解即可．【详解】因为可以判断真假的语句叫命题，判断为真的语句叫做真命题，而当a b >时，a c b c +>+一定成立．所以语句“若a b >，则a c b c +>+”是真命题故选：B ．5．A解析：A 【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出p ⌝ 【详解】∵:p “x R ∀∈，10x ->”， ∴p ⌝：x R ∃∈，10x -≤ 故选：A 【点睛】全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．6．B解析：B 【分析】根据充分必要条件，函数最值可判断必要性，利用特殊函数形式，可判断充分性，即可得解. 【详解】若“()f x 在A 上的最小值为4”则“x A ∀∈，()4f x ≥”成立，即必要性成立；函数()254f x x =+≥恒成立，但()f x 在A 上的最小值不是4，即充分性不成立，“x A ∀∈，()4f x ≥”是“()f x 在A 上的最小值为4”的必要不充分条件．故选：B.7．B解析：B 【分析】根据逆命题的定义即可得出答案. 【详解】由命题“若1x <，则21x <”，其逆命题为：若21x <，则1x <. 故选：B8．D解析：D 【分析】直接根据否命题的定义解答即可. 【详解】因为求原命题的否命题时，既否定条件又否定结论，所以命题“若1x =，则22x <”的否命题是“若1x ≠，则22x ≥”, 故选：D.9．A解析：A 【分析】根据充分必要条件的定义判断，注意基本不等式的应用即在0,0a b >>的情况下，判断两个命题11a b +≥⇒≥和11a b ≥⇒+≥．.【详解】解：取1a =，19b =，满足1a b +≥，但213=<，充分性不满足；反过来，1a b +≥≥成立，故必要性成立.故选：A ．10．D解析：D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义可判断选项A ，根据逆否命题的定义可判断选项B ，根据特称命题的否定是全称命题即可判断选项C ，根据复合命题的真假判断命题的真假可判断选项D ，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A ：1a >可得11a <，但11a <可得1a >或0a <，所以“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，所以选项A 说法是正确的，对于选项B ：“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠” 所以选项B 说法是正确的，对于选项C ：命题p ：x ∃∈R ，使得210x x ++<，则p ⌝：x ∀∈R ，均有210x x ++≥，所以选项C 说法是正确的，对于选项D ：若p q ∧为假命题，则p 和q 至少有一个为假命题，不一定都是假命题，所以选项D 说法是错误的，故选：D.11．B解析：B 【分析】根据已知条件得出实数a 的取值范围，由此可得出合适的选项. 【详解】因为“x a ≥”是“12x ≥”的充分条件，则12a ≥，而sin 32π=.故满足条件的选项为B. 故选：B.12．B解析：B 【分析】先已知条件计算参数m 的取值，再根据包含关系判断充分条件和必要条件即可. 【详解】“函数2()(33)m f x m m x =-+是幂函数”等价于：2331m m -+=，即2320m m -+=，故1m =或2m =，即取值集合为{}1,2A =；“函数22()2g x mx m x m =-+值域为[)0，+∞”等价于：()2223()2g x mx m x m m x m m m =-+=-+-中，0m >且30m m -=，即()()110m m m +-=，故1m =，即取值集合为{}1B =.故B 是A 的真子集，“1m =或2m =”是“1m =”的必要不充分条件，即“函数2()(33)m f x m m x =-+是幂函数”是“函数22()2g x mx m x m =-+值域为[)0，+∞”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）p 是q 的必要不充分条件，等价于q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，等价于p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，等价于p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，等价于q 对应集合与p 对应集合互不包含．二、填空题13．【分析】根据含一个量词命题否定的定义即可求得答案【详解】命题则为：故答案为：解析：()21,,4x x ∀∈+∞≤【分析】根据含一个量词命题否定的定义，即可求得答案. 【详解】命题():1,p x ∃∈+∞，24x >，则p ⌝为：()21,,4x x ∀∈+∞≤.故答案为：()21,,4x x ∀∈+∞≤14．【分析】由题设可得为真命题利用判别式可得a 的范围【详解】因为命题是假命题故恒成立故即故答案为：解析：(2,2)-【分析】由题设可得2,10x x ax ∀∈-+>R 为真命题，利用判别式可得a 的范围. 【详解】因为命题“2,10x x ax ∃∈-+≤R ”是假命题，故x ∀∈R ，210x ax -+>恒成立，故240a ∆=-<即22a -<<. 故答案为：(2,2)-.15．【分析】利用特称命题的否定可得出结论【详解】命题为特称命题该命题的否定为：故答案为：解析：x R ∀∈，230x x -< 【分析】利用特称命题的否定可得出结论. 【详解】命题p 为特称命题，该命题的否定为：x R ∀∈，230x x -<. 故答案为：x R ∀∈，230x x -<16．必要不充分【分析】根据充分必要条件的定义判断【详解】时成立是必要的时有即时不一定有且不充分因此应是必要不充分条件故答案为：必要不充分解析：必要不充分【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】0,0m n ≥≥时，0+≥m n 成立，是必要的．2,1m n ==-时，有10m n +=>，即0+≥m n 时不一定有0m ≥且0n ≥．不充分，因此应是必要不充分条件．故答案为：必要不充分．17．【分析】由题意得从而解出实数a 的取值范围【详解】若命题使得成立是真命题则在上有解即解得或故答案为：【点睛】关键点点睛：开口向上的二次函数图象的应用解析：()(),13,-∞-+∞【分析】由题意得()2140a ∆=-->，从而解出实数a 的取值范围．【详解】若命题x R ∃∈，使得()2110x a x +-+<成立是真命题，则()2110x a x +-+<在R 上有解，即()2140a ∆=-->，解得3a >或1a <-. 故答案为：()(),13,-∞-+∞【点睛】关键点点睛：开口向上的二次函数图象的应用.18．【分析】由题转化为命题为真命题即恒成立故可求解实数的取值范围【详解】由题转化为命题为真命题即恒成立又在上单调递增所以故故答案为：解析：()1+∞，【分析】由题转化为命题“[]1,2x ∀∈，0x a ->”为真命题，即a x <恒成立，故可求解实数a 的取值范围. 【详解】由题转化为命题“[]1,2x ∀∈，0x a ->”为真命题，即a x <恒成立，又y x =在[]1,2上单调递增，所以min 1y =，故1a <.故答案为：()1+∞， 19．（1+∞）【分析】由充分必要条件与集合的关系得：AB 列不等式组运算得解【详解】由x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件得：A B 即即m ＞1故答案为：（1+∞）【点睛】本题考查了充分必要条件与集合间解析：（1，+∞）．【分析】由充分必要条件与集合的关系得：A B ，列不等式组运算得解【详解】由x ∈A 是x ∈B 成立的一个充分不必要条件，得：A B ，即1112m m +>-⎧⎨+>⎩，即m ＞1，故答案为：（1，+∞）．【点睛】本题考查了充分必要条件与集合间的包含关系，属简单题．20．充分不必要【分析】先化简集合A 再利用集合法判断即可【详解】因为所以AB 所以是的充分不必要条件故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查集合法判断逻辑条件以及分式不等式的解法属于基础题解析：充分不必要【分析】先化简集合A ，再利用集合法判断即可. 【详解】因为{}001,{03}1x A xx x B x x x ⎧⎫=<=<<=<<⎨⎬-⎩⎭，所以A B ，所以“m A ∈”是“m B ∈”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查集合法判断逻辑条件以及分式不等式的解法，属于基础题.三、解答题21．（1）[)1,8M =-；（2）17a -≤≤. 【分析】（1）利用参数分离法将m 用x 表示，结合二次函数的性质求出m 的范围即可求解；（2）先求出集合N ，有已知条件可得N 是M 的子集，结合数轴即可求解【详解】（1）若“{}22x x x ∃∈-<<，使等式220x x m --=”是真命题，则()22211m x x x =-=--，因为22x -<<，所以()[)2111,8m x =--∈-，所以[)1,8M =-，（2）由不等式()(1)0x a x a ---<可得1a x a <<+，所以{}|1N x a x a =<<+，若“x ∈N ”是“x M ∈”的充分条件，则N 是M 的子集，所以118a a ≥-⎧⎨+≤⎩解得17a -≤≤，经检验1a =-、7a =符合题意，所以a 的取值范围是17a -≤≤ 【点睛】结论点睛：从集合的观点分析充分、必要条件，根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．22．[(4,6)-【分析】分别求出命题,p q 为真时m 的范围，然后求并集求得结论．【详解】若p 为真命题，则2120m ∆=-≤，即m -≤若q 为真命题，则206026m m m m ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，得46m <<由于p q ∨为真命题，则m -≤46m <<∴m的取值范围为[(4,6)-．故答案为：[(4,6)-．【点睛】方法点睛：本题考查由命题的真假求参数，考查复合命题的真假判断．掌握复合命题的真值表是解题关键．复合命题的真值表：23．(2,3)．【分析】先利用一元二次不等式的解法化简两个命题，再根据若p q ∧为真，则p ，q 同时为真求解.【详解】由()()130x x --<，则p ：13x <<，由302x x -≤-解得23x <≤．即q ：23x <≤．若p q ∧为真，则p ，q 同时为真，即2313x x <≤⎧⎨<<⎩，解得23x <<， ∴实数x 的取值范围(2,3)． 24．（1）()1,1-；（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（3）[)11,1,2a ⎛⎤∈-⋃+∞ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）由x R ∀∈，2210x ax -+>恒成立，利用判别式法求解.（2）根据函数(21)y a x =-单调递增，由210a ->求解.（3）根据命题p q ∧是假命题，命题p q ∨是真命题，则由p 、q 一真一假求解.【详解】（1）因为命题p 为真命题，即x R ∀∈，2210x ax -+>恒成立，所以2440a ∆=-<，解得11a -<<，所以实数a 的取值范围是()1,1-.（2）若命题q 为真命题，即函数(21)y a x =-单调递增，则210a ->，解得12a >，所以实数a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. （3）因为命题p q ∧是假命题，命题p q ∨是真命题，所以p 、q 一真一假，①若p 真、q 假，则1112a a -<<⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得112a -<≤；②若p 假、q 真，则1112a a a ≤-≥⎧⎪⎨>⎪⎩或，解得1a ≥；综上：[)11,1,2a ⎛⎤∈-⋃+∞ ⎥⎝⎦25．][97,3,42⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭．【分析】由()0f x <恒成立，采用分离参数法求得a 的取值范围，再由方程根的存在定理求出a 的范围，而p q ∨为真命题， p q ∧为假命题，则,p q 一真一假，结合集合的运算，由此可得a 的范围．【详解】由已知得()12a ln x ln x +<-恒成立，即010{0212a x a x a x x>+>>-+<-恒成立，即 21924a x ⎛⎫>--+ ⎪⎝⎭在()1,2x ∈-恒成立；函数21924a x ⎛⎫>--+ ⎪⎝⎭在()1,2-上的最大值为94；9;4a ∴>即9:4p a >；设()()211,f x x a x =+-+则由命题()()()010:{1302720f q f a f a =>=-<=->，解得： 73;2a <<即7:3;2q a << 若p q ∨为真命题， p q ∧为假命题，则,p q 一真一假． ①若p 真q 假，则： 9{403a a ><≤或994{,3,742a a a >∴<≤≥或7;2a ≥ ②若p 假q 真，则： 904{,;732a a a <≤∴∈∅<< ∴实数a 的取值范围为][97,3,42⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】由“p 或q”为真，“p 且q”为假判断出p 和q 一真一假后，再根据命题与集合之间的对应关系求m 的范围．逻辑联结词与集合的运算具有一致性，逻辑联结词中“且”“或”“非”恰好分别对应集合运算的“交”“并”“补”．26．（1）[)(]5,32,7--⋃；（2）4a ≥.【分析】（1）分别求出p 是真命题和q 是真命题时x 的取值范围，在根据p 、q 一真一假讨论即可；（2）题目中给的条件等价于p 是q 的充分条件，设命题,p q 的解集分别为集合,A B ，根据A B ⊆即可求得a 的取值范围.【详解】由()()230x x -+≤得 :32p x -≤≤，():110q a x a a -≤≤+>，设[3,2],[1,1]A B a a =-=-+（1）6a =时:57q x -≤≤，由已知可知p 与q 一真一假若p 为真命题，q 为假命题，则3275x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或，所以x φ∈ 若p 假命题，q 为真命题，则5723x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或，则[)(]5,32,7x ∈--⋃，综上：[)(]5,32,7x ∈--⋃ （2）根据题意知：q ⌝是p ⌝的充分条件，p 是q 的充分条件，即A B ⊆ 1312a a -≤-⎧⎨+≥⎩，解得4a ≥，所以实数a 的取值范围4a ≥.【点睛】本题主要考查了由符合命题的真假性求参数的取值范围，属于基础题.。

高中数学(北师大版,选修11)：第一章常用逻辑用语+课

第一章 §2 第2课时一、选择题1．设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，那么“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 先分别写出适合条件的“x ∈M 或x ∈P ”和“x ∈M ∩P ”的x 的范围，再根据充要条件的有关概念进行判断．由已知可得x ∈M 或x ∈P 即x ∈R ，x ∈M ∩P 即2<x <3，∴2<x <3⇒x ∈R ，但x ∈R ⇒/ 2<x <3，∴“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的必要不充分条件，故应选B.2．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0[答案] D[解析] 本题考查了两向量垂直的坐标运算．∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1,2)·(2,1)＝2(x －1)＋2＝2x ＝0，即x ＝0.a 与b 垂直和共线对应的坐标之间的关系不要混淆．[点评] 即a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；a ∥b ＝x 1y 2－x 2y 1＝0.3．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)“α＝2k π＋β，k ∈Z ”是“sin α＝sin β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 由三角函数诱导公式可知，α＝2k π＋β，k ∈Z 时，sin α＝sin β；反之，由sin α＝sin β可得，α＝2k π＋β，k ∈Z 或α＝(2k ＋1)π－β，k ∈Z ，所以，“α＝2k π＋β，k ∈Z ”是“sin α＝sin β”的充分不必要条件，选A.4．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析]若l1∥l2，则2a－2＝0，∴a＝1，故选C.5．已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是()A．存在一条直线b，a∥b且b⊂αB．存在一条直线b，a⊥b且b⊥αC．存在一个平面β，a⊂β且α∥βD．存在一个平面β，a∥β且α∥β[答案] C[解析]A选项中，有可能a⊂α，B，D选项中也有可能a⊂α，C选项中，∵α∥β，又a⊂β，∴a与α无公共点．∴a∥α，故选C.6．(2013·福建理，2)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]本题考查了充要条件的判断．当a＝3时，A＝{1,3}，故A⊆B，若A⊆B⇒a＝2或a＝3，故为充分不必要条件．7．(2014·浙江文，2)设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析]菱形的对角线互相垂直，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．故选A.8．(2014·南昌市高二期中)设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] ∵l ⊥α，m ⊂α，n ⊂α，∵l ⊥m 且l ⊥n ，故充分性成立；又l ⊥m 且l ⊥n 时，m 、n ⊂α，不一定有m 与n 相交，∴l ⊥α不一定成立，∴必要性不成立，故选A.二、填空题9．“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的________条件．[答案] 充分不必要[解析] 圆心为(a ，b )，半径r ＝ 2.若a ＝b ，有圆心(a ，b )到直线y ＝x ＋2的距离d ＝r ，所以直线与圆相切．若直线与圆相切，有|a －b ＋2|2＝2，则a ＝b 或a －b ＝－4，所以“a ＝b ”是“直线与圆相切”的充分不必要条件．三、解答题10．求不等式(a 2－3a ＋2)x 2＋(a －1)x ＋2>0的解集是R 的充要条件．[答案] a ≤1或a >157[解析] 讨论二次项系数：(1)由a 2－3a ＋2＝0，得a ＝1或a ＝2.当a ＝1时，原不等式为2>0恒成立，∴a ＝1适合．当a ＝2时，原不等式为x ＋2>0，即x >－2，它的解集不是R ，∴a ＝2不符合．(2)当a 2－3a ＋2≠0时，必须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2>0Δ＝(a －1)2－8(a 2－3a ＋2)<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <1或a >2a <1或a >157， ∴a <1或a >157. 综上可知，满足题意的充要条件是a 的取值范围是a ≤1或a >157.一、选择题11．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 若a 1<a 2<a 3，则a 1<a 1q <a 1q 2，若a 1>0，则q >1，此时为递增数列，若a 1<0，则0<q <1，同样为递增数列，故充分性成立，必要性显然成立．12．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要不充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，则命题丁是命题甲的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件[答案] B[解析] 由条件知，甲⇒乙⇒丙⇔丁，∴甲⇒丁且丁⇒/ 甲，故选B.13．(2014·辽宁省协作校联考)有下列说法：①“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；②“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件；③“p 或q ”为真是“綈p ”为假的必要不充分条件；④“綈p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D.4[答案] B[解析] p 且q 为真⇒p 真且q 真⇒p 或q 为真，p 或q 为真⇒p 真或q 真⇒/ p 且q 为真，∴①正确；p 且q 为假⇒p 假或q 假⇒/ p 或q 为真，p 或q 为真⇒p 真或q 真⇒/ p 且q 为假，②正确；綈p 为假⇒p 为真⇒p 或q 为真，p 或q 为真⇒p 真或q 真⇒/ 綈p 为真，③正确；④错误，故选B.14．命题甲：“a 、b 、c 成等差数列”，命题乙：“a b ＋c b＝2”，则甲是乙的( ) A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵a ＝b ＝c ＝0，则a 、b 、c 也成等差数列，但推不出a b ＋c b＝2；反过来由a b ＋c b＝2⇒a ＋c ＝2b ，即a 、b 、c 成等差数列．综上所述，“a 、b 、c 成等差数列”是“a b ＋c b＝2”的必要不充分条件，故选A. [点评] 要注意区分“A 是B 的充分条件”和“A 是B 的充分非必要条件”，若A ⇒B ，则A 是B 的充分条件，若A ⇒B 且B ⇒/ A ，则A 是B 的充分非必要条件．二、填空题15．“ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根”是“ac <0”的________条件．[答案] 必要条件[解析] ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根⇒b 2－4ac ≥0⇒b 2≥4ac ⇒/ ac <0.反之，ac <0⇒b 2－4ac >0⇒ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根．所以“ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根”是“ac <0”的必要条件．16．命题p ：|x |<a (a >0)，命题q ：x 2－x －6<0，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________，若p 是q 的必要条件，则a 的取值范围是________．[答案] a ≤2 a ≥3[解析] p ：－a <x <a ，q ：－2<x <3，若p 是q 的充分条件，则(－a ，a )⊆(－2,3)，∴⎩⎨⎧－a ≥－2a ≤3，∴a ≤2，若p 是q 的必要条件，则(－2,3)⊆(－a ，a )， ∴⎩⎨⎧ －a ≤－2a ≥3，∴a ≥3. 三、解答题17．方程mx 2＋(2m ＋3)x ＋1－m ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是什么？[答案] m >1或m <0[解析] 由题意知⎩⎨⎧ (2m ＋3)2－4m (1－m )>0，1－m m <0.∴m >1或m <0，即所求充要条件是m >1或m <0.18．不等式x 2－2mx －1>0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围．[答案] m <0[解析] 令f (x )＝x 2－2mx －1要使x 2－2mx －1>0对一切1≤x ≤3都成立，∵f (x )的图像开口向上，且f (0)＝－1<0(如图)，∴f (1)>0，即1－2m －1>0，∴m <0.∴m 的取值范围是m <0.。