安徽省高中数学竞赛初赛试题及答案详解

2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题

一.选择题

1.如果集合.A B 同时满足{}1.

2.

3.4A B ={}1A B =,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（ ）个。

２.设函数()()lg 101x f x -=+,()()122x x f f --=方程的解为()

()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101A B C D --++ 3.设

100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126的余数是()

4.在直角ABC 中,90C ∠=,CD 为斜边上的高,D 为垂足.,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}k u 的通项为()1221,1,2,3,

,k

k k k k k u a a b a b b k --=-+-

+-=则()

5.……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列

{}n a ,易见123451,3,7,9,13

a a a a a =====那么

2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 9597

6.

设

A B ==00

1+cos871-cos87

则():A B =

7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设2007n ≥,且n

为使得n

n a =

取实数值的最小正整数,则对应此n 的

n a 为

9.若正整数n 恰好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个.

10.平行六面体1111ABCD A B C D -中,顶点A 出发的三条棱1,,AB AD AA 的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60那么这个平行六面体的四条对角线1111,,,AC BD DB CA 的长度(按顺序)分别为___________________

11.函数()(),f x g x 的迭代的函数定义为()()()()()()()12,,

f x f x f x f f x ==

()()()()()

()()()()()()()()()()()()

1121,,,

n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --====其中

n =2,3,4…

设()()23,32f x x g x x =-=+,则方程组()()()()()()()()()()()()969696f x g y f y g z f z g x ⎧=⎪⎪

=⎨⎪=⎪⎩的解为_________________

12.设平行四边形ABCD

中，4,2,AB AD BD ===则平行四边形ABCD 绕直线AC 旋转所得的旋转体的体积为_______________

三．解答题

13.已知椭圆22412:3y x +=Γ和点(),0,Q q 直线,l Q A B Γ过且与交于两点(可以重合). 1)若AOB ∠为钝角或平角(O 为原点),4,q =试确定l 的斜率的取值范围.

2)设A 关于长轴的对称点为1A ,,4,F q =为椭圆的右焦点试判断1,A F B 和三点是否共线,并说明理由.

3)问题2)中,若14,,,q A F B ≠那么三点能否共线请说明理由. 14.数列{}n x 由下式确定:112

,1,2,3,,121

n

n n x x n x x +=

==+,试求

[]20072007lg lg .x k x =整数部分(注[]a 表示不大于a 的最大整数,即a 的整数部分.) 15.设给定的锐角ABC 的三边长,,,,,a b c x y z 正实数满足

,ayz bzx cxy

p x y z

++=其中p 为给定的正实数,试求()()()222s b c a x c a b y a b c z =+-++-++-的最大值,并求出当s 取此最大值时,,,x y z 的取值.

2007年安徽省高中数学竞赛初赛答案

一、 选择题

A.3.C.4.A.

第1题解答过程

逐个元素考虑归属的选择. 元素1必须同时属于A 和B .

元素2必须至少属于A 、B 中之一个，但不能同时属于A 和B ，有2种选择：属于A 但不属于B ，属于B 但不属于A .

同理，元素3和4也有2种选择.

但元素2，3，4不能同时不属于A ，也不能同时不属于B .

所以4个元素满足条件的选择共有62222=-⨯⨯种.换句话说，“好集对”一共有6个.答：C.

第2题解答过程

令)110lg(+=-x y ，则0>y ，且y x 10110=+-，11010-=-y x ，)110lg(-=-y x ，

)110lg(--=y x .从而)110lg()(1

--=-x x f

.令t x =2，则题设方程为)()(1

t f

t f -=-，即

)110lg()110lg(--=+t t ，故0)]110)(110lg[(=-+t t ，1)110)(110(=-+t t ，2102=t ，2lg 2=t ，

解得2lg 212==t x .从而1)2(lg log )2lg 2

1

(log 22-==x .答：A. 第3解答过程

注意972126⨯⨯=,2,7和9两两互质.因为0≡A （mod2）, 500102101100++++≡ 2401500100÷⨯+≡）（6120300≡≡（mod9）, 所以6≡A （mod18）.（1） 又因为1103

-≡，n

n

)1(10

3-≡（mod7）,所以i

i i A 34000

10)500(⨯-=∑=i

i i ）（1)500(4000

-⨯-≡∑=

100)101102()495496()497498()499500(+-++-+-+-≡ 6300≡=（mod7）.(2)，（1），（2）两式以及7和18互质，知6≡A （mod126）.答：C.

另解：632126⨯=，99999963，1109999996-=，）

（）（11011066--n ， ,3,2,1=n 所以499500104974981010310410101102101006118811941200+⨯++⨯+⨯+⨯= A

60060300999999+=B 60360999999+=C ，

其中B ，C 为整数.从而6036063+=D A 663+=E ，其中D ，E 为整数.所以A 除以63的余数为6.因为A 是偶数，所以A 除以126的余数也为6.答：C. 第4解答过程

易见BD AD CD ⋅=2，即

ab b a =-2

）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，1)1(=-a a ，012=--a a ；1)1(=+b b ，012=++b b .显然k u 是首项为k a ，公比为a

b

q -=的等比数列

的前1+k 项和.故b

a b a q q a u k k k k k +--=--=+++1

11)(1)1(， 3,2,1=k .

即b a b a b a b a u u k k k k k k +--++--=++++++22111

)()(])()([1

1212++++----++=k k k k b b a a b

a

233])([1

+++=--+=

k k k u b a b

a ， 3,2,1=k . 故答案为A.（易知其余答案均不成立）

另解：易见BD AD CD ⋅=2，即

ab b a =-2

）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，51414)((222

=⨯+=+-=+ab b a b a ），5=+b a .解得