刚体模型质点

三、转动惯量 1. 举例给出常用物体形状的转动惯量计算 例3.1 圆盘绕轴心旋转的转动惯量
例3.2 圆球绕通过球心某轴旋转的转动惯量
例3.3 细棒绕通过中心且与棒垂直轴旋转的转动惯量
6/10/2020 1:55 AM
8
2. 平行轴定理
刚体对任一转动轴 的转动惯量 等于 刚体过质心且平行 这一转动轴的转动 惯量 再加上刚体 质量乘上两平行轴 之间的距离的平方。
m2rr
mr
2
0
dL
0
dt
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例3.7 行星的俘获截面
演示
有心力作用：角动量守恒 保守力作用：机械能守恒
3. 刚体的角动量守恒 刚体的角动量定理
若刚体的合外力矩等于零，则角动量守恒。
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六、刚体的平面平行运动
作用在刚体上的外力都在同一平面内，则刚体与该平面相交之截 面将始终在此平面内运动，称为刚体的平面平行运动。
对应质点位置矢量：
更一般表述：
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刚体的 质心
4
2 刚体绕某点（如质心） 合外力矩 的转动
刚
体
的 转
=0
动
定
律
刚体所受的合外力矩等于刚体对所选原点的合动量矩 随时间的变化率。
6/1刚0/20体20 1的:55 A运M 动=质心平动+刚体绕质心的转动
演示 5
2 刚体绕固定轴的转动 实质：简化刚体的转动、一维的转动问题
心。容易证明，P是瞬时静止的。即vp= 0，同时有
外 力对质点所作的功等于质点 动 能 的增加。
直
角
线
运
运
动
动
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四、角动量守恒定律
v
1.
质点的角动量
L
r
mv
L mrvsin
L
I
mr
2
mrv
2. 质点在有心力作用下的角动量守恒
m(r r2 ) f (r)
F
f
(r)r0
图解
m(r 2r) 0
d2
dt (mr ) 6/10/2020 1:55 AM
角速度成为刚体重要的运动特征，它在刚体运动中占 有特殊显要的地位。
一该6/10般点/2020刚以1:5体角5 AM的 速运 度动，作可转以动看的成合某运点动的。平动运动和刚体绕 3
二、刚体动力学 1 刚体的质心
刚体的平动
刚体在合外力作用下，其运动特征类似于一个质量等 于刚体质量的质点的运动。
运动特征：
3. 垂直轴（正交轴）定理
薄板状刚体对板面两正 交轴的转动惯量之和 等于垂直该板面且通过 板6/面10/2内020两1:5正5 AM交轴交点的 轴的转动惯量。
I
Ic
o d oc dm y x
z
x
y
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例3.4 细棒绕通过端部且与棒垂直轴旋转的转动惯量
例3.5 通过矩形平板中心且垂直板面轴的转动惯量 b
a
例3.6 平板中开孔后绕板中心且
垂6/直10/20板20 1面:55 轴AM 的转动惯量
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四、刚体的能量
绕定轴转动
1. 动能
刚体中任一质元mi绕定轴转动的动能EiK
Eik
1 2
mi
vi2
1 2
mi
Ri2
2
刚体转动的总动能为
x
Ri dm
y
I / 2 Ek
Eik
12
2
mi Ri2
2
或
1 2
考虑与轴垂直的力，有
dA Fi dRi Fi Ri cos id
i i
Ri Fi d id d
i
i
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12
A
d
I d
I
d
d
I d
dt
1 2
I22
1 2
I12
dA d
dA
d
功率定义：
p dA d
dt
dt
结论：外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增加。
(Ic
md
2 ) 2
1 2
Ic 2
1 2
mv
2 c
即：刚体绕定轴转动的动能等于质心绕定轴的动能加
6/10/2上020刚1:55体AM绕质心平行轴转动的动能。
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2. 总能量
加上重力势能
E
Ek
Ep
1 2
mv
2 c
1 2
Ic 2
mghc
3. 外力矩对刚体作的功
刚体绕定轴转动时，只有与轴垂直的力分量才能作功， 与轴平行的力分量将和轴上的约束力平衡。
第三章 刚体力学
一、什么是刚体？（刚体模型）
质点
一般物体 塑性体、流体…
1. 刚体定义
刚体
在外力作用下，物体的形状和大小（尺寸）保持不变，而且内 部各部分相对位置保持恒定（没有形变），这种理想物理模型 称之为刚体。
刚体是一种特殊的质点组。任意质点间相对位置不变
刚体
无穷质点组合 （质点组）
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(1) 合力作用线过质心，刚体作纯平动。所
谓平动是指刚体在运动中，其中任意两点
F
间的连线始终保持方向不变。
(2)合力等于零，但力矩不为零。合力作用 F
lc
等价于一力偶。刚l体作F绕轴I的纯转动。
F
(3) 合力的作用线不过质心，刚体运动等价
于合力作用在质心的纯平动加上力偶矩作
用下的纯转动。
F
l c
F
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vv6/1cc0</=202001，:5r5是AM出现0是滚纯体空原转地，打俗空称转打的滑情。况，
演示
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纯滚动处理方法：
（1）以过质心且垂直于运动平面的轴为转轴，把刚体 滚动分解为: 质心平动 + 绕质心转动。
（2）以过滚体与地面触点P且垂直于运动平面的轴为
转动轴，把刚体运动作为绕P点的纯转动。称P点为瞬
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例3.8 滚动
摩擦力在滚动中作用: 如果摩擦力足够大，则其运动形式为无滑动的纯滚动。 若摩擦力不够大，会出现又滑动又滚动的情况， 摩擦力为0，则只滑动无滚动。
设滚体质心速度为vc，绕质心转动的角速度为 。在单位时间内，
质心前进了vc t，而由滚动产生的移动为 r t
vc > r是又有滑动又有滚动的情况。 vc = r是纯滚动的情况。
Ri dm
ri y
x
角速度单位矢量
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6
Ri dm
ri
引入转动惯量
y
则有：
x 刚体绕固定轴的转动定律为：
对应关系
直
角
线
运
运 6/10/2020 1:55 AM
动7
动
一质般心刚以体 角的 速运 度动，作可转以动看的成合质运心动的。平动运动和刚体绕
* 质心运动定律 * 绕质心的转动定律
刚体运动
质点组的 运动
1
2. 刚体的受力模型
第 i 个质点受力
整个质点组（刚体）受力
刚体受到的力矩 相对O点的力矩 * 合内力的力矩
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=0 内力演示
y ri
rj o
x
=0 2
刚体受力特征：
y
合内力和合内力矩都为零。
ri
合外力 合外力矩
rj o
x
Байду номын сангаас
3. 刚体的运动特征 刚体的各点在任意时刻具有相同的角速度。 证明