等比数列讲义(学生版)
人教版高数必修五第6讲：等比数列的概念、性质(学生版)
等比数列的概念、性质__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点： 掌握并理解等比数列的概念及性质，通项公式的求解，等比数列与指数函数的关系 教学难点： 理解等比数例性质及与指数函数的关系1. 等比数列的概念一般地，如果一个数列从第_______项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_________，公比通常用__________表示。
2. 等比数列的通项公式____________________3. 等比中项如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，其中___________4. 等比数列的性质（1）公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列仍是等比数列，公比仍为q（2）若,,,,m n p q m n p q N ++=+∈，则__________________（3）若等比数列{}n a 的公比为q ，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以_________为公比的等比数列 （4）等比数列{}n a 中，序号成等差数列的项构成等比数列（5）若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列5. 等比数列与指数函数的关系等比数列{}n a 的通项公式111n n n a a a q q q-== 当0q >且1q ≠时，x y q =是一个指数函数，设1a c q=则n n a cq =，等比数列{}n a 可以看成是函数x y cq =，因此，等比数列{}n a 各项所对应的点是函数x y cq =的图像上的一群孤立的点。
《等比数列的前 n 项和》 讲义
《等比数列的前 n 项和》讲义一、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
例如，数列 2，4，8，16，32，就是一个公比为 2 的等比数列。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式为：＼（a_n ＝ a_1 q^｛n-1}＼），其中＼（a_1\）为首项，＼（n\）为项数。
通项公式可以帮助我们快速求出等比数列中任意一项的值。
三、等比数列的前 n 项和公式推导我们先来考虑一个简单的等比数列：＼（a_1\），＼（a_1q\），＼（a_1q^2\），，＼（a_1q^｛n-1}＼）。
设其前 n 项和为＼（S_n\），则＼（S_n ＝ a_1 ＋ a_1q ＋ a_1q^2 ＋＋ a_1q^｛n-1}＼）①两边同乘以公比 q ，得到＼（qS_n ＝ a_1q ＋ a_1q^2 ＋ a_1q^3 ＋＋ a_1q^｛n}＼）②用①②，可得：＼＼begin{align}S_n qS_n&＝a_1 a_1q^n\＼S_n(1 q)＆＝a_1(1 q^n)＼end{align}＼当＼（q≠1\）时，＼（S_n ＝＼frac{a_1(1 q^n)｝｛1 q}＼）；当＼（q ＝ 1\）时，＼（S_n ＝ na_1\）。
这就是等比数列的前 n 项和公式。
四、等比数列前 n 项和公式的应用（一）已知首项、公比和项数求前 n 项和例 1：在等比数列中，首项＼（a_1 ＝ 2\），公比＼（q ＝ 3\），求前 5 项的和＼（S_5\）。
因为＼（q≠1\），所以＼（S_5 ＝＼frac{a_1(1 q^5)｝｛1 q} ＝＼frac{2×（1 3^5)｝｛1 3} ＝ 242\）。
（二）已知前 n 项和、首项和公比求项数例 2：等比数列的前 n 项和＼（S_n ＝ 189\），首项＼（a_1 ＝3\），公比＼（q ＝ 3\），求项数 n 。
等比数列第一课时(学生版)
等比数列（第1课时，总2课时）班级 姓名 学号 学习目标1.掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；2.能在具体的问题中发现数列的等比关系，体会等比数列与指数函数的关系。
学习重点：等比数列的概念及通项公式学习难点：灵活应用定义式及通项公式解决相关问题教 学 过 程 设 计一、温故知新：1.等差数列的定义： ， 即)2(1≥=--n d a a n n ，我们把这个常数就叫做等差数列的 ，用符号 来表示。
2.等差数列的通项公式为 ，而+=m n a a （ ）d 。
3.等差中项的概念： 。
二、新课讲解：活动1：观察下面4个数列，分析它们具有什么的特点？数列①：1，2，4，8，… 数列②：1，,81,41,21… 数列③：,20,20,20,132… 数列④：10000 1.0198⨯,210000 1.0198⨯,310000 1.0198⨯,410000 1.0198⨯,…分析：对于数列①，从第二项起，每一项与前一项的比都等于 ；对于数列②，从第二项起，每一项与前一项的比都等于 ； 对于数列③，从第二项起，每一项与前一项的比都等于 ； 对于数列④，从第二项起，每一项与前一项的比都等于 ； 结论1：上面4个数列的共同特点是 。
等比数列的定义： 。
结论2：根据等比数列的定义知上面4个数列都是 ，而且它们的公比依次是 ， ， ， 。
活动2：等差数列具有通项公式，给研究等差数列带来了极大的方便，那么等比数列是否同样具有通项公式呢？下面让我们一起来探究等比数列的通项公式。
设等比数列的首项为1a ，公比为q )0(≠q ，根据等比数列的定义可以得到：公式中共涉及到4个量分别为 ， ， ， ，它们知 求 。
例1：分别写出活动1中4个数列的通项公式：数列① 数列② 数列③ 数列④ 例2：已知一个等比数列{}n a 的第3项和第4项分别是12和18，①求它的第1项和第2项；活动3G 叫做b a ,的等比中项，此时=G 。
《等比数列》 讲义
《等比数列》讲义一、什么是等比数列在数学的世界里，等比数列是一种非常有趣且重要的数列形式。
那到底什么是等比数列呢？简单来说，等比数列就是从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的数列。
这个常数就被称为公比，通常用字母 q 来表示（q≠0）。
例如，数列 2，4，8，16，32就是一个等比数列，因为每一项与前一项的比值都是 2，公比 q ＝ 2。
再比如数列 10，5，25，125，0625也是等比数列，公比 q ＝ 05。
二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式是研究等比数列的重要工具，它可以帮助我们快速求出数列中的任意一项。
通项公式为：an ＝ a1×q^（n 1) ，其中 an 表示第 n 项，a1 表示首项，q 表示公比，n 表示项数。
以等比数列 2，4，8，16，32为例，首项 a1 ＝ 2，公比 q ＝ 2。
那么第 5 项 a5 ＝ 2×2^（5 1) ＝ 2×2^4 ＝ 2×16 ＝ 32，与数列中的实际值相符。
通项公式的作用非常大，只要知道了首项、公比和项数，就可以轻松求出任意一项的值。
三、等比数列的性质1、等比中项如果在 a、b 两个数之间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a、b 的等比中项。
根据等比数列的定义可得：G^2 ＝ ab ，所以 G ＝±√（ab) 。
例如，在 2 和 8 之间插入一个等比中项 G，G ＝±√（2×8) ＝ ±4 。
2、若 m、n、p、q∈N+，且 m ＋ n ＝ p ＋ q ，则 am×an ＝ ap×aq 。
比如在等比数列 3，6，12，24，48中，a2×a5 ＝ 6×48 ＝ 288 ，a3×a4 ＝ 12×24 ＝ 288 ，两者相等。
四、等比数列的前 n 项和公式等比数列的前 n 项和公式有两种情况：当公比 q ＝ 1 时，Sn ＝ na1 。
等比数列及其前n项和讲义-高三数学一轮复习
等比数列及其前n项和一．学习目标1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.体会等比数列与指数函数的关系.二．知识整合1.等比数列的有关概念等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q≠0)表示，符号表示为a n+1a n=q(n∈N∗)等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时提醒：由a n+1=qa n，q≠0，并不能立即断定{a n}为等比数列，还要验证a1≠0.2.等比数列的有关公式通项公式a n=；推广：a n=a m⋅q n−m(m,n∈N∗)前n项和公式S n={ ,q=1,q≠1提醒：在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情况而导致解题失误.知识拓展：（1）当q≠0，q≠1时，S n=k−k⋅q n(k≠0)是{a n}成等比数列的充要条件，此时k=a11−q.（2）等比数列的单调性当{a 1＞0，q ＞1 或{a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列{a n } 是递增数列. 当{a 1＞0，0＜q ＜1 或{a 1＜0，q ＞1时，等比数列{a n } 是递减数列. 当q =1 时,等比数列{a n } 是常数列.当q =−1 时,等比数列{a n } 是摆动数列.三．典型例题考点一 等比数列基本量的运算例1（1） 已知等比数列{a n } 的前3项和为168，a 2−a 5=42 ，则a 6= ( )A. 14B. 12C. 6D. 3（2） 已知等比数列{a n } 的前n 项和为S n ，a 1=1 ，a 5=8a 2 ，若S n =31 ，则n = .方法感悟：等比数列基本量运算的解题策略（1）方程思想：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1 ，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求关键量a 1 和q ,问题便可迎刃而解.（2）分类讨论思想：等比数列{a n } 的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q =1 时，{a n } 的前n 项和S n =na 1 ；当q ≠1 时，{a n } 的前n 项和S n =a 1(1−q n )1−q =a 1−a n q 1−q .考点二 等比数列的判定与证明例2已知数列{a n } 的首项a 1=12 ，且满足a n+1=a n3−2a n (n ∈N ∗) .（1） 证明：{1a n −1} 是等比数列，并求数列{a n } 的通项公式；（2） 记b n =n (1a n −1) ，求{b n } 的前n 项和S n .变式：已知各项都为正数的数列{a n } 满足a n+1+a n =3⋅2n ，a 1=1 .（1） 若b n =a n −2n ，求证：{b n } 是等比数列；（2） 求数列{a n } 的通项公式.方法感悟：判定等比数列的四种常用方法定义法 若a n+1a n =q （q 为非零常数，n ∈N ∗ ）或a n a n−1=q （q为非零常数，且n ≥2 ,n ∈N ∗ ），则{a n } 是等比数列等比中项法 在数列{a n } 中，若a n ≠0 且a n+12=a n ⋅a n+2(n ∈N ∗) ，则{a n } 是等比数列通项公式法 若数列{a n } 的通项公式可以写成a n =c ⋅q n （c ,q均是不为0的常数，n ∈N ∗ ）的形式，则{a n } 是等比数列前n 项和公式法 若数列{a n } 的前n 项和S n =k ⋅q n −k （k 为常数，且k ≠0 ,q ≠0 ,q ≠1 ），则{a n } 是等比数列五．达标练习1．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝－3，ac ＝9B ．b ＝3，ac ＝9C ．b ＝－3，ac ＝－9D ．b ＝3，ac ＝－92．已知等比数列{a n }的前3项和为168，a 2－a 5＝42，则a 6＝ ( )A ．14B ．12C ．6D ．33．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n＝( )A ．2n －1B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n －14．在数列{a n }中，满足a 1＝2，a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，S n 为{a n }的前n 项和．若a 6＝64，则S 7的值为( )A ．126B ．256C ．255D ．2545. 已知正项等比数列{a n}的首项为1，且4a5,a3,2a4成等差数列，则{a n}的前6项和为( )A. 31B. 3132C. 6332D. 636. 数列{a n}中，a1=2,a m+n=a m a n.若a k+1+a k+2+⋯+a k+10= 215−25，则k=( )A. 2B. 3C. 4D. 57. 已知等比数列{a n}，其前n项和为S n.若a2=4，S3=14，则a3=.8. 已知等比数列{a n}的公比为−1，前n项和为S n，若{S n−1}也是等比数列，则a1=.9．设等比数列{a n}满足a1+a2=4，a3−a1=8. 记S n为数列{log3a n}的前n项和.若S m+S m+1=S m+3，则m=.10．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n=−a n+n(n∈N∗). （1）证明：数列{a n−12}为等比数列；（2）求数列{a n−1}的前n项和T n.。
《等比数列》 讲义
《等比数列》讲义一、什么是等比数列在数学的奇妙世界里，等比数列是一个非常重要的概念。
那到底什么是等比数列呢？想象一下，有一组数，从第二项开始，每一项与它前一项的比值都相等，这个固定的比值被称为公比，用字母 q 表示。
这样的一组数，就被称为等比数列。
例如，数列 2，4，8，16，32……就是一个等比数列，因为每一项与前一项的比值都是 2，这里的公比 q 就是 2。
再比如，数列 10，5，25，125，0625……也是等比数列，公比 q 为05。
等比数列的通项公式是：＼（a_n ＝ a_1 ＼times q^｛n-1}＼），其中\（a_n\）表示第 n 项的值，＼（a_1\）表示首项。
这个通项公式非常重要，它就像是一把钥匙，能让我们轻松找到等比数列中任意一项的值。
二、等比数列的性质等比数列有很多有趣的性质，掌握了这些性质，能让我们更深入地理解和解决与等比数列相关的问题。
性质 1：如果\（m\），＼（n\），＼（p\），＼（q\）是正整数，且\（m ＋ n ＝ p ＋ q\），那么在等比数列中，＼（a_m ＼times a_n ＝a_p ＼times a_q\）。
比如说，在等比数列 2，4，8，16，32……中，如果\（m ＝ 2\），＼（n ＝ 4\），＼（p ＝ 1\），＼（q ＝ 5\），因为\（m ＋ n ＝ 2 ＋ 4 ＝ 6\），＼（p ＋ q ＝ 1 ＋ 5 ＝ 6\），所以\（a_2 ＼times a_4 ＝ 4 ＼times 16 ＝ 64\），＼（a_1 ＼times a_5 ＝ 2 ＼times 32 ＝ 64\），两者相等。
性质 2：在等比数列中，连续若干项的和构成的新数列也是等比数列。
例如，对于等比数列 1，2，4，8，16…… ，前两项的和是 3，前三项的和是 7，前四项的和是 15，它们构成的新数列 3，7，15……也是等比数列。
性质 3：若等比数列的公比\（q ＞ 1\），则数列单调递增；若\（0＜q ＜1\），则数列单调递减；若\（q ＜0\），则数列的项正负交替。
中学数学 等比数列 - 难 - 讲义
等比数列知识讲解一、等比数列1.定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母(0)q q ≠表示．等 比数列中的项不为0．2.通项公式：11n n m n m a a q a q --==(*,2)n N n ∈≥ ；3.前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩．4.等比数列{}n a 的性质（其中公比为q ）：1）n mn m a a q -=，nn m ma q a -=(*,*)n N m N ∈∈ ； 2）若p q m n +=+，则有p q m n a a a a ⋅=⋅；若2m p q =+，则有2mp q a a a =⋅； 3）等距离取出若干项也构成一个等比数列，即n a ，n m a +，2n m a +，为等比数列，公比为m q ．4）等比数列的n 项和也构成一个等比数列，即232n n n n n S S S S S --，，，为等比数列，公比为n q ．5)当且仅当两个数a 和b 同号是才存在等比中项，且等比中项为G ab =±6)若,,a G b 成等比数列，则2G ab =7)若数列{}n a ，{}n b 都是等比数列且项数相同，则2{}(0),{},{}{}n n n n n n a ka k a b a b ≠，都是等比数列；8)用方程思想处理等比数列相关参数问题，对于1,,,,n n a n S a q这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”；二、等差与等比数列1.若正项数列{}n a 为等比数列，则数列{log }a n a 为等差数列；2.若数列{}n a 为等差数列，则数列{}na b 为等比数列； 3.任意两数,a b 都存在等差中项为2a b+，但不一定都存在等比中项，当且仅当,a b 同号时才存在等比中项为4.任意常数列都是等差数列，但不一定都是等比数列，当且仅当非零的常数列即是等差数列又是等比数列；判断一个数列为等比数列的方法：1）定义法：10a ≠,1.nn a q a -=（常数）(*,2)n N n ∈≥ {}n a ⇔为等比数列． 2）等比中项法：211,(*,2)n n n a a a n N n -+=∈≥ {}n a ⇔为等比数列．3）前n 项和法：数列{}n a 的前n 项和n n S A Aq =-（A 是常数，0,0,1A q q ≠≠≠）⇔数列{}n a 为等比数列；经典例题一．选择题（共14小题）1．（2018•天津模拟）设{a n }是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．若a 1=1，a 5=4，则a 3=﹣2B ．若a 1+a 3＞0，则a 2+a 4＞0C ．若a 2＞a 1，则a 3＞a 2D ．若a 2＞a 1＞0，则a 1+a 3＞2a 2【解答】解：A ．由等比数列的性质可得：a 32=a 1•a 5=4，由于奇数项的符号相同，可得a 3=2，因此不正确．B ．a 1+a 3＞0，则a 2+a 4=q （a 1+a 3），其正负由q 确定，因此不正确；C ．若a 2＞a 1，则a 1（q ﹣1）＞0，于是a 3﹣a 2=a 1q （q ﹣1），其正负由q 确定，因此不正确；D ．若a 2＞a 1＞0，则a 1q ＞a 1＞0，可得a 1＞0，q ＞1，∴1+q 2＞2q ，则a 1（1+q 2）＞2a 1q ，即a 1+a 3＞2a 2，因此正确． 故选：D ．2．（2018•马鞍山二模）等比数列{a n }的前n 项和为S n =32n−1+r ，则r 的值为（ ）A ．13B ．−13 C ．19D ．−19【解答】解：当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=32n ﹣1+r ﹣32n ﹣3﹣r=8•32n ﹣3， 当n=1时，a 1=S 1=32﹣1+r=3+r ， ∵数列是等比数列， ∴当a 1满足a n =8•32n ﹣3，即8•32﹣3=3+r=8，3，即r=﹣13故选：B．3．（2018•天津模拟）已知各项不为0的等差数列{a n}满足a4﹣2a72+3a8=0，数列{b n}是等比数列，且b7=a7，则b3b7b11等于（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：等差数列{a n}中，∵a4+3a8=（a4+a8）+2a8=2a6+2a8=4a7，a4﹣2a72+3a8=0，∴4a7−2a72=0，且a7≠0，∴a7=2，又b7=a7=2，故等比数列{b n}中，b3b7b11=b73=8．故选：D．4．（2018•益阳模拟）已知在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a5a6=3，a9a l0=9，则a7a8=（）A．√3B．2√3C．4√3D．3√3【解答】解：由a5a6=3，a9a l0=9，∴各项均为正数的等比数列{a n}的性质可得：则a7a8=√a5a6⋅a9a10=√3×9=3√3．故选：D．5．（2018•濮阳二模）设{a n}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b n=a n+1（n=1，2，…），若数列{b n }有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则q 等于（ ）A ．−12 B ．12C ．−32 D ．32【解答】解：{b n }有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中且b n =a n +1 a n =b n ﹣1则{a n }有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中∵{a n }是等比数列，等比数列中有负数项则q ＜0，且负数项为相隔两项 ∴等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值18，﹣24，36，﹣54，81}相邻两项相除−2418=﹣43，36−24=﹣32，−5436=﹣32，81−54=﹣32则可得，﹣24，36，﹣54，81是{a n }中连续的四项q=﹣32或 q=﹣23（|q |＞1，∴此种情况应舍）∴q=﹣32故选：C ．6．（2018•泉州模拟）已知{a n }是等比数列，a 1=1，a 3=2，则a 5+a 10a 1+a 6=（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1=1，a 3=2，∴q 2=2．则a 5+a 10a 1+a 6=q 4=4． 故选：C ．7．（2018•兰州模拟）已知数列{a n }为等比数列，且a 2a 6+2a 42=π，则tan （a 3a 5）=（ ）A ．√3B ．−√3C ．−√33D ．±√3【解答】解：由等比数列{a n }的性质可得：a 2a 6=a 3a 5=a 42， ∴a 2a 6+2a 42=π=3a 3a 5，∴a 3a 5=π3．则tan （a 3a 5）=tan π3=√3．故选：A ．8．（2018•淮南二模）已知等比数列{a n }中，a 5=2，a 6a 8=8，则a 2018−a 2016a 2014−a 2012=（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【解答】解：等比数列{a n }中，a 5=2，a 6a 8=8，设公比为q ， ∴a 5q•a 5q 3=8， 即4q 4=8， 解得q 4=2，∴a 2018−a 2016a 2014−a 2012=q 4(a 2014−a 2012)a 2014−a 2012=q 4=2， 故选：A ．9．（2018•开封一模）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且9S 3=S 6，a 2=1，则a 1=（ ）A ．12B ．√22C ．√2D ．2【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ≠1，∵9S 3=S 6，a 2=1，∴9a 1(1−q 3)1−q =a 1(1−q 6)1−q，a 1q=1．则q=2，a 1=12．故选：A ．10．（2018•濮阳一模）已知等比数列{a n }各项均为正数，满足a l +a 3=3，a 3+a 5=6则a l a 3+a 2a 4+a 3a 5+a 4a 6+a 5a 7=（ ） A ．62 B ．62√2C ．61D ．61√2【解答】解：设正项等比数列{a n }的公比为q ＞0，∵a l +a 3=3，a 3+a 5=6． ∴a 1（1+q 2）=3，a 1（q 2+q 4）=6， 联立解得：a 1=1，q 2=2．．a n+1a n+3a n a n+2=q 2=2，a 1a 3=q 2=2．则a l a 3+a 2a 4+a 3a 5+a 4a 6+a 5a 7=2(25−1)2−1=62．故选：A ．11．（2018•湖南三模）已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若a 1=﹣24，a 4=﹣89，则当T n 取最大值时，n 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6【解答】解：等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若a 1=﹣24，a 4=﹣89，可得q 3=a 4a 1=127， 解得q=13，T n =a 1a 2a 3…a n =（﹣24）n •q 1+2+…+（n ﹣1） =（﹣24）n •（13）12n(n−1)， 当T n 取最大值时，可得n 为偶数，函数y=（13）x 在R 上递减，当n=2时，T 2=242•13=192；当n=4时，T 4=244•（13）6=849；当n=6时，T 6=246•（13）15=8639，则T 2＜T 4＞T 6，当n ＞6，且n 为偶数时， T n ＜T 6，故n=4时，T n 取最大值． 故选：C ．12．（2017•红桥区一模）已知等比数列{a n }的首项为1，若4a 1，2a 2，a 3成等差数列，则数列{1a n}的前5项和为（ ）A ．3316B ．2C ．3116D ．3164【解答】解：等比数列{a n }的首项为1，∵4a 1，2a 2，a 3成等差数列， ∴2×2a 2=a 3+4a 1，∴4a 1q=a 1（q 2+4），解得q=2． ∴a n =2n ﹣1，1a n=(12)n−1．则数列{1a n }的前5项和=1−1251−12=3116．故选：C ．13．（2017•杨浦区三模）已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，则下列结论正确的是（ ） A ．若a 1+a 2＞0，则a 1+a 3＞0B ．若a 1+a 3＞0，则a 1+a 2＞0C．若a1＞0，则S2017＞0D．若a1＞0，则S2016＞0【解答】解：对于A：a1+a2＞0，即a1（1+q）＞0，那么a1+a3=a1（1+q2），当a1＞0，可得a1+a3＞0，当a1＜0时，a1+a3＞0不成立．对于B：a1+a3＞0，即a1+a3=a1（1+q2）＞0，可得a1＞0，a1+a2＞0，即a1（1+q）＞0，当1+q＜0时，不成立．对于C：a1＞0，则S2017=a1(1−q 2017)1−q，当q＞1时，S2017＞0．当0＜q＜1时，1﹣q＞0，1﹣q2017＞0，∴S2017＞0．当﹣1＜q＜0时，1﹣q＞0，1﹣q2017＞0，∴S2017＞0．当q＜﹣1时，1﹣q＜0，1﹣q2017＜0，∴S2017＞0．对于D：a1＞0，则S2016=a1(1−q 2016)1−q，当q＞1时，1﹣q＜0，1﹣q2016＜0，∴S2016＞0．当0＜q＜1时，1﹣q＞0，1﹣q2016＞0，∴S2016＞0．当﹣1＜q＜0时，1﹣q＞0，1﹣q2016＞0，∴S2016＞0．当q＜﹣1时，1﹣q＞0，1﹣q2016＜0，∴S2016＜0．故选：C．14．（2016秋•周口期末）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，a1=120，9S3=S6，设T n=a1•a2•a3•…•a n，则使得T n取最小值时，n的值为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵{a n}是等比数列，∴a n=a1q n﹣1，S3=a1+a1q+a1q2，S 6=a 1+a 1q +a 1q 2+a 1q 3+a 1q 4+a 1q 5， 由9S 3=S 6，解得q=2．若使T n =a 1a 2a 3…a n 取得最小值， 则a n ＜1， ∵a 1=120，∴120•2n ﹣1＜1， 解得n ＜6，n ∈N *，∴使T n 取最小值的n 值为5． 故选：C ．二．填空题（共4小题）15．（2018•道里区校级二模）等比数列{a n }中，a 3=18，a 5=162，公比q= ±3 ． 【解答】解：∵a 3=18，a 5=162， ∴q 2=16218=9， 公比q=±3． 故答案为：±3．16．（2018•呼和浩特一模）等比数列{a n }中，a 1=1，前n 项和为S n ，且满足S 3﹣3S 2+2S 1=0，则S n = 2n ﹣1 ．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1=1，且S 3﹣3S 2+2S 1=0，得1+q +q 2﹣3﹣3q +2=0， 解得：q=2（q ≠0）．∴S n =1×(1−2n)1−2=2n −1．故答案为：2n﹣1．17．（2018•东莞市模拟）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e2，则lna1+lna2+…+lna20=20【解答】解：由等比数列{a n}的性质可得：a1a20=a2a19=……，∵a10a11+a9a12=2e2，∴a1a20=e2．则lna1+lna2+…+lna20=ln（a1a2……a20）=ln(a1a20)10=10lne2=20．故答案为：20．18．（2018•渭南一模）数列{a n}中a1=2，a n+1=2a n（n∈N+），令b n=log2a n，则b2018= 2018．【解答】解：数列{a n}中a1=2，a n+1=2a n（n∈N+），∴数列{a n}是等比数列，首项与公比为2．∴a n=2n．∴b n=log2a n=n．则b2018=2018．故答案为：2018．三．解答题（共2小题）19．（2018•广西二模）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和S n，S1+1，S3，S4成等差数列，且a1、a2，a5成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若S 4，S 6，S n 成等比数列，求n 及此等比数列的公比．【解答】解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ≠0． ∵S 1+1，S 3，S 4成等差数列，且a 1、a 2，a 5成等比数列， ∴2S 3=S 1+1+S 4，a 22=a 1a 5，即a 2+a 3=1+a 4，(a 1+d)2=a 1（a 1+4d ），d ≠0． 可得a 1=1，d=2．∴a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1．（2）由（1）可得：S n =n(1+2n−1)2=n 2，∴s 4=42=16，s 6=62=36． ∵s 4，s 6，s n 成等比数列，∴S 62=S 4•S n ，∴362=16×n 2，化为：36=4n ，解得n=9．此等比数列的公比=3616=94． 20．（2018•新乡二模）已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，b n −a n =2n +1，且S n +T n =2n+1+n 2−2．（1）求T n ﹣S n ；（2）求数列{b n 2n }的前n 项和R n ． 【解答】解：（1）依题意可得b 1﹣a 1=3，b 2﹣a 2=5，…，b n −a n =2n +1， ∴T n ﹣S n =（b 1+b 2+…+b n ）﹣（a 1+a 2+…+a n ）=n +（2+22+…+2n ）=2n +1+n ﹣2．（2）∵2S n =S n +T n ﹣（T n ﹣S n ）=n 2﹣n ，∴S n =n 2−n 2， ∴a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2−n 2﹣(n−1)2−(n−1)2=n ﹣1． ∴a n =n ﹣1．又b n −a n =2n +1，∴b n =2n +n ．∴b n 2=1+n2， ∴R n =n +(12+222+⋯+n n )，则12R n =12n +(122+223+⋯+n 2n+1)， ∴12R n =12n +(12+122+⋯+12n )−n 2n+1， 故R n =n +2×12−12n+11−12−n 2n =n +2−n+22n ．。
人教版高数必修五第7讲：等比数列的前n项和公式(学生版)
等比数列的前n 项和公式__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点： 掌握等比数列前n 项和通项公式及性质，理解等比数列前n 项和公式与函数的关系 教学难点： 等比数列前n 项和通项公式的性质的应用1. 等比数列前n 项和通项公式设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则12...n n S a a a =+++ （1） 当1q =时，_________________（2） 当1q ≠时，___________________2. 等比数列前n 项和公式的性质（1） 等比数列中，连续m 项的和（如232,,,...m m m m m S S S S S --）仍组成等比数列（注意：公比1q ≠-）（2）{}n a 是公比不为1的等比数列()0n n S Aq B A B ⇔=++=（3） mn m m n S S q S +=+（q 为公比）（4） 若等比数列的项数为()2k k N +∈，则SS偶/奇q = ；若等比数列的项数为()21k k N ++∈ ，则S aS- 奇/偶q =3. 等比数列前n 项和公式与函数的关系（1） 当 1q =时，1n S na =是关于n 的正比例函数（常数项为0的一次函数）；当1q ≠时，________________________是n 的一个指数式与一个常数的和，其中指数式的系数和常数项互为相反数，且11a A q=- （2） 当1q =时，数列123,,,...,,...n S S S S 的图像是正比例函数1y a x =的图像上的一群孤立的点；当1q ≠时，数列123,,,...,,...n S S S S 的图像是函数___________________的图像上的一群孤立的点。
数列与推理证明——学生版
第1讲 等差数列、等比数列【高考考情解读】 高考对本讲知识的考查主要是以下两种形式：1.以填空题的形式考查，主要利用等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式及其性质解决与项、和有关的计算问题，属于基础题；2.以解答题的形式考查，主要是等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式及其性质等知识交汇综合命题，考查用数列知识分析问题、解决问题的能力，属低、中档题．1． a n 与S n 的关系S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.2． 等差数列和等比数列等差数列 等比数列 定义 a n －a n －1＝常数(n ≥2) a na n －1＝常数(n ≥2) 通项公式a n ＝a 1＋(n －1)da n ＝a 1q n －1(q ≠0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ≥1)⇔{a n }为等差数列(3)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p 、q 为常数)⇔{a n }为等差数列(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }为等差数列(5){a n }为等比数列，a n >0⇔{log a a n }为等差数列 (1)定义法(2)中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2 (n ≥1)(a n ≠0) ⇔{a n }为等比数列(3)通项公式法：a n ＝c ·q n (c 、q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列(4){a n }为等差数列⇔{aa n }为等比数列(a >0且a ≠1)性质(1)若m 、n 、p 、q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (2)a n ＝a m ＋(n －m )d(3)S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等差数列(1)若m 、n 、p 、q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q (2)a n ＝a m q n－m(3)等比数列依次每n 项和(S n ≠0)仍成等比数列 前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d(1)q ≠1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q(2)q ＝1，S n ＝na 1考点一 与等差数列有关的问题例1 在等差数列{a n }中，满足3a 5＝5a 8，S n 是数列{a n }的前n 项和．(1)若a 1>0，当S n 取得最大值时，求n 的值；(2)若a 1＝－46，记b n ＝S n －a nn ，求b n 的最小值．(1)(2012·浙江改编)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是________．(填序号)①若d <0，则数列{S n }有最大项；②若数列{S n }有最大项，则d <0；③若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0；④若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列．(2)(2013·课标全国Ⅰ改编)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________.考点二 与等比数列有关的问题例2 (1)(2012·课标全国改编)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________.(2)(2012·浙江)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.(2013·湖北)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．考点三 等差数列、等比数列的综合应用 例3 已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1－3a n ＝3n (n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝3－n a n .(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)设S n ＝a 13＋a 24＋a 35＋…＋a n n ＋2，求满足不等式1128<S n S 2n <14的所有正整数n 的值．1． 在等差(比)数列中，a 1，d (q )，n ，a n ，S n 五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个．解这类问题时，一般是转化为首项a 1和公差d (公比q )这两个基本量的有关运算．2． 等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形． 3． 等差、等比数列的单调性(1)等差数列的单调性d >0⇔{a n }为递增数列，S n 有最小值．d <0⇔{a n }为递减数列，S n 有最大值．d ＝0⇔{a n }为常数列．(2)等比数列的单调性当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }为递增数列，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }为递减数列． 4． 常用结论(1)若{a n }，{b n }均是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，则{ma n ＋kb n }，{S nn }仍为等差数列，其中m ，k 为常数．(2)若{a n }，{b n }均是等比数列，则{ca n }(c ≠0)，{|a n |}，{a n ·b n }，{ma n b n }(m 为常数)，{a 2n }，{1a n }等也是等比数列．(3)公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…成等比数列，且公比为a 3－a 2a 2－a 1＝(a 2－a 1)qa 2－a 1＝q .(4)等比数列(q ≠－1)中连续k 项的和成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其公差为q k . 等差数列中连续k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d . 5． 易错提醒(1)应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．(2)三个数a ，b ，c 成等差数列的充要条件是b ＝a ＋c2，但三个数a ，b ，c 成等比数列的必要条件是b 2＝ac .1． 已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7＝________.2． 已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为________．3． 已知等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，公比是q ，且满足：a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝12，S 2＝b 2q .(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝3b n －λ·2a n3，若数列{c n }是递增数列，求λ的取值范围．(推荐时间：60分钟)一、填空题1． (2013·江西改编)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于________．2． (2013·课标全国Ⅱ改编)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝________. 3． 等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 4＋a k ＝0，则k ＝________.4． 已知等比数列{a n }为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝________.5． 已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4 000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，Q (2 011，a 2 011)，则OP →·OQ →＝________.6． 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于________． 7． 各项均为正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝________.8． 在等差数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5·a 6的最大值等于________．9． 已知数列{a n }的首项为a 1＝2，且a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n ) (n ∈N *)，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＝________，a n ＝________. 二、解答题10．已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和．(1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；(2)当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列．11．设数列{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .12．(2013·湖北)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m ≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．第2讲数列求和及数列的综合应用【高考考情解读】高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：1.以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题.2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题．1．数列求和的方法技巧(1)分组转化法：有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．(2)错位相减法：这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n·b n}的前n项和，其中{a n}，{b n}分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法：这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法：利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为1a n a n＋1的数列的前n项和，其中{a n}若为等差数列，则1a n a n＋1＝1d⎝⎛⎭⎫1a n－1a n＋1.常见的拆项公式：①1n(n＋1)＝1n－1n＋1；②1n(n＋k)＝1k(1n－1n＋k)；③1(2n－1)(2n＋1)＝12(12n－1－12n＋1)；④1n＋n＋k＝1k(n＋k－n)．2．数列应用题的模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的模型．(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型．如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．(5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项a n与它的前一项a n－1(或前n项)间的递推关系式，我们可以用递推数列的知识来解决问题.考点一分组转化求和法例1等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行9818(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .(2013·安徽)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n，求数列{b n }的前n 项和S n .考点二 错位相减求和法例2 (2013·山东)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *，求{b n }的前n 项和T n .设数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＝3·22n－1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝na n，求数列{b n}的前n项和S n.考点三裂项相消求和法例3(2013·广东)设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n＝a2n＋1－4n－1，n∈N*, 且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：a2＝4a1＋5；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1<12.已知x，f(x)2，3(x≥0)成等差数列．又数列{a n}(a n>0)中，a1＝3，此数列的前n项和为S n，对于所有大于1的正整数n都有S n＝f(S n－1)．(1)求数列{a n}的第n＋1项；(2)若b n是1a n＋1，1a n的等比中项，且T n为{b n}的前n项和，求T n.考点四 数列的实际应用例4 (2012·湖南)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．某产品在不做广告宣传且每千克获利a 元的前提下，可卖出b 千克．若做广告宣传，广告费为n (n ∈N *)千元时比广告费为(n －1)千元时多卖出b2n 千克．(1)当广告费分别为1千元和2千元时，用b 表示销售量S ；(2)试写出销售量S 与n 的函数关系式；(3)当a ＝50，b ＝200时，要使厂家获利最大，销售量S 和广告费n 分别应为多少？1． 数列综合问题一般先求数列的通项公式，这是做好该类题型的关键．若是等差数列或等比数列，则直接运用公式求解，否则常用下列方法求解：(1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)S n －S n －1(n ≥2).(2)递推关系形如a n ＋1－a n ＝f (n )，常用累加法求通项．(3)递推关系形如a n ＋1a n＝f (n )，常用累乘法求通项．(4)递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q (p 、q 是常数，且p ≠1，q ≠0)”的数列求通项，此类通项问题，常用待定系数法．可设a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{a n ＋λ}是一个等比数列．(5)递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q n (q ，p 为常数，且p ≠1，q ≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以q n 转化为类型(4)，或同除以p n＋1转为用迭加法求解．2． 数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：(1)错位相减法求和时将问题转化为等比数列的求和问题求解．(2)并项求和时，将问题转化为等差数列求和． (3)分组求和时，将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并项法求和的几个数列的和求解． 提醒：运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n ＋1项中的前n 项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零．3． 数列应用题主要考查应用所学知识分析和解析问题的能力．其中，建立数列模型是解决这类问题的核心，在试题中主要有：一是，构造等差数列或等比数列模型，然后用相应的通项公式与求和公式求解；二是，通过归纳得到结论，再用数列知识求解.1． 在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么称这个数列为等积数列，称k 为这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.2． 秋末冬初，流感盛行，特别是甲型H1N1流感．某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则该医院30天入院治疗甲流的人数为________．3． 已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足：a 2·a 4＝65，a 1＋a 5＝18. (1)若1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 的值；(2)设b n ＝n(2n ＋1)S n ，是否存在一个最小的常数m 使得b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立，若存在，求出常数m ；若不存在，请说明理由．(推荐时间：60分钟)一、填空题1． 已知数列112，314，518，7116，…，则其前n 项和S n ＝________.2． 在等差数列{a n }中，a 1＝－2 013，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 013的值等于________．3． 对于数列{a n }，a 1＝4，a n ＋1＝f (a n )，n ＝1,2，…，则a 2 013＝________.x 1 2 3 4 5 f (x )543124． 设{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，记M n ＝ab 1＋ab 2＋…＋ab n ，则数列{M n }中不超过2 013的项的个数为________．5． 在等差数列{a n }中，其前n 项和是S n ，若S 15>0，S 16<0，则在S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的是________．6． 数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 012＝________.7． 已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2(n 为奇数)，－n 2(n 为偶数)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 012＝________.8． 数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝________.9． 已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝4(n ≥1)且a 1＝9，其前n 项之和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|<1125的最小整数n 是________．10．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910(n ∈N *)元，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用这台仪器的平均耗资最少)，一共使用了________天．二、解答题11．已知等差数列{a n}满足：a5＝9，a2＋a6＝14.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝a n＋qa n(q>0)，求数列{b n}的前n项和S n.12．将函数f(x)＝sin 14x·sin14(x＋2π)·sin12(x＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a n}(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2n a n，数列{b n}的前n项和为T n，求T n的表达式．13．在等比数列{a n}中，a2＝14，a3·a6＝1512.设b n＝log2a2n2·log2a2n＋12，T n为数列{b n}的前n项和．(1)求a n和T n；(2)若对任意的n∈N*，不等式λT n<n－2(－1)n恒成立，求实数λ的取值范围．第3讲推理与证明【高考考情解读】 1.高考主要考查对合情推理和演绎推理的理解及应用；直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列、不等式、解析几何等综合命题．考查“归纳—猜想—证明”的模式，常与数列结合考查.2.归纳推理和类比推理等主要是和数列、不等式等内容联合考查，多以填空题的形式出现，难度中等；而考查证明问题的知识面广，涉及知识点多，题目难度较大，主要考查逻辑推理能力、归纳能力和综合能力，难度较大．1． 合情推理(1)归纳推理①归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．②归纳推理的思维过程如下：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论 (2)类比推理①类比推理是由特殊到特殊的推理②类比推理的思维过程如下：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论 2． 演绎推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般性原理．②小前提——所研究的特殊情况．③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确． 3． 直接证明(1)综合法：用P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q(2)分析法：用Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为 Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→ 得到一个明显成立的条件4． 间接证明：反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p 则q ”的过程可以用如图所示的框图表示．考点一 归纳推理例1 (2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________.(1)在数列{a n }中，若a 1＝2，a 2＝6，且当n ∈N *时，a n ＋2是a n ·a n ＋1的个位数字，则a 2 014＝________.(2)(2012·江西改编)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝________.考点二 类比推理例2 (1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2.那么对于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝________.(1)现有一个关于平面图形的命题，如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________． (2)命题p ：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，过F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q ：已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上的一个动点，过F 2作∠F 1PF 2的________的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值________．考点三 直接证明与间接证明例3 已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0 (n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明：数列{a n }不是等比数列；(2)试判断数列{b n }是否为等比数列．1． 合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比推理．归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式．类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式．2． 直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式．在实际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．1． 将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第45行从左向右的第17个数为________．2． 在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项，k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，…n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]．相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)”的结果为________．(推荐时间：60分钟)一、填空题1． 下列关于五角星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是________．2． 已知结论：在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2.若把该结论推广到空间中，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM等于________． 3． 已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是________．4． 已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________________________________________________________________________．5． 把非零自然数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表(每行比上一行多一个数)．设a ij (i 、j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8，若a ij ＝2 014，则i ，j 的值的和为________．6． 有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3,5}，第三组含三个数{7,9,11}，第四组含四个数{13,15,17,19}，…，现观察猜想每组内各数之和为a n 与其组的编号数n 的关系为________．7． (2013·陕西)观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为______________．8． 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数，且两端的数均为1n ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第3个数(从左往右数)为________．9． 对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23⎩⎨⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为________． 二、解答题10．已知a >0且a ≠1，f (x )＝1a x ＋a.(1)求值：f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)；(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数x 都成立的一个等式，并加以证明； (3)若n ∈N *，求和：f (－(n －1))＋f (－(n －2))＋…＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋…＋f (n )．11．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．12．已知数列{a n }有a 1＝a ，a 2＝p (常数p >0)，对任意的正整数n ，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，并有S n 满足S n ＝n (a n －a 1)2.(1)求a 的值并证明数列{a n }为等差数列；(2)令p n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2，是否存在正整数M ，使不等式p 1＋p 2＋…＋p n －2n ≤M 恒成立，若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由．。
第三讲等比数列及数列求和讲义
第三讲 等比数列及数列求和一.知识提要:1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q 表示即{a n }成等比数列⇔nn a a 1+=q （n ∈N +,q ≠0）注意：等比数列的定义隐含了任一项a n≠0且q ≠02.等比数列的通项公式1:a n = a 1 q n-1（a 1 q ≠0）；等比数列的通项公式2:a n =a m q n-m（a 1q ≠0）3.既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．4.等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G,使a,G,b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项.即G=±ab ;a,G,b成等比数列⇔G 2=ab （a ·b ≠0）5.等比数列的性质:若m+n=p+q,则a n a m =a p a q6.等比数列的前n 项和公式：当q=1时，S n =na 1当q ≠1时,q q a S nn--=1)1(1 ① 或qqa a S n n --=11 ②;7.特殊数列求和：⑴1+2+3+…+n=2)1(+n n ;⑵1+3+5+…+（2n-1）=n 2;⑶6)12)(1(3212222++=++++n n n n ;⑷23333]2)1([321+=++++n n n8. S n 是等比数列{a n }的前n 项和①当q=－1且k 为偶数时, S n , S 2k －S k ,S 3k －S 2k 不是等比数列.②当q ≠－1或k 为奇数时, S n ,S 2k －S k ,S 3k －S 2k 仍成等比数列。
二.应用举例例 1.求下列各等比数列的通项公式:⑴a 1=-2,a 3=-8；⑵a 1=5,且2a n+1=-3a n例2.求数列1a =5, 且11+=+n n a a nn 的通项公式例3.已知{a n }、{b n }是项数相同的等比数列，求证{a n b n }是等比数列.例4. 已知：b 是a 与c 的等比中项，且a 、b 、c 同号，求证：3,3,3abc ca bc ab cb a ++++ 也成等比数列。
第04讲《等比数列》学案学生版
第04讲 《等比数列》典型例题例1 （1）已知数列{a n }是等比数列，S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于 .（2）已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于 .（3）已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －（2a n ＋1－1）a n －2a n ＋1＝0，则a n ＝ .例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.（1）求a 4的值；（2）证明：{a n ＋1－12a n }为等比数列.例3 （1）若等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＋2a 2＝3，a 23＝4a 2a 6，则a 4＝ .（2）已知各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为其前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝ .课后作业1.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝ .2.已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝ .3.（教材习题改编）设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝ .4.在等比数列{a n }中，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a 6＝ .5.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝ .6.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝ .7.已知等比数列{a n }中，a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为 .8.在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝ .9.已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n . （1）求{a n }的通项公式；（2）求{b n }的前n 项和.10.数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2（n ∈N *），设b n ＝a n ＋1－2a n .（1）求证：{b n }是等比数列；（2）设c n ＝a n 3n －1，求证：{c n }是等比数列.。
《等比数列》 讲义
《等比数列》讲义一、等比数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
例如，数列2，4，8，16，32，就是一个等比数列，其公比q ＝2。
等比数列的通项公式为：an ＝ a1×q^（n 1) ，其中 a1 为首项，n 为项数。
二、等比数列的性质1、等比中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项。
根据等比数列的定义，有 G²＝ ab ，所以 G＝±√（ab) 。
2、通项公式的推广an ＝ am×q^（n m) （m，n 为正整数）3、若 m ＋ n ＝ p ＋ q （m，n，p，q 为正整数），则 am×an ＝ap×aq 。
例如，在等比数列中，若 a3×a7 ＝ 16 ，a4 ＋ a6 ＝ 10 ，因为 3 ＋7 ＝ 4 ＋ 6 ，所以 a3×a7 ＝ a4×a6 ＝ 16 ，联立 a4 ＋ a6 ＝ 10 ，可解出a4 ＝ 2 ，a6 ＝ 8 或 a4 ＝ 8 ，a6 ＝ 2 ，从而求出公比 q 。
4、等比数列的前 n 项和公式当 q ＝ 1 时，Sn ＝ na1 ；当q ≠ 1 时，Sn ＝ a1×（1 q^n) ／（1 q) 。
三、等比数列的判定方法1、定义法若 an ／ an 1 ＝ q （n ≥ 2，q 为常数且q ≠ 0），则数列{an}为等比数列。
2、等比中项法若 an²＝ an 1 × an ＋ 1 （n ≥ 2，an 1 ，an ，an ＋1 ≠ 0），则数列{an}为等比数列。
3、通项公式法若 an ＝ c×q^n （c，q 为非零常数），则数列{an}为等比数列。
四、等比数列的应用1、经济领域在金融领域，等比数列常用于计算复利。
等比数列-简单难度-讲义
等比数列知识讲解一、等比数列概念概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，常用字母(0)q q ≠表示．即数列{}n a 的递推公式为1n na q a +=（常数）（*N n ∈）． 【注意】（1）由于等比数列每一项都可能作为分母，故每一项均不为0，因此q 也不为0； （2）从第二项开始，因此首项没有前一项；（3）1n na a +均为同一个常数，即比值相等；（4）常数列都是等差数列，但不一定是等比数列．若常数列各项都为0的数列，它就不是等比数列，当常数列各项不为0时，是等比数列．二、等比数列的通项公式及推导1.等比数列的通项公式为：1*1n n a a q n N -=∈，．2.等比数列的公式的推导：累乘法3.等比数列通项公式的推导：2132121n n nn a q a a q a a q a a q a ---====，将这1n -个式子的等号两边分别相乘得：11n na q a -=，即11n n a a q -=．由等差数列的通项公式易知：n m m n a a q -=．三、等比中项定义：如果三个数x G y ，，组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，即2G xy =．两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数；一个正数与一个负数没有等比中项．四、等比数列的常用性质1.公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列仍为等比数列，公比仍为q ；2.若*(,,,)p q m n m n p q N +=+∈，则有p q m n a a a a ⋅=⋅；若2m p q =+，则有2m p q a a a =⋅；3.等距离取出若干项也构成一个等比数列，即n a ，n m a +，2n m a +，为等比数列，公比为m q ．4.若等比数列{}n a 的公比为q ，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1q 为公比的等比数列；5.若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列；6.101a q >⎧⎨>⎩或{}1001n a a q <⎧⇔⎨<<⎩递增；1001a q >⎧⎨<<⎩或{}101n a a q <⎧⇔⎨>⎩递减；{}1n q a =⇔为常数列；{}0n q a <⇔为摆动数列．五、等比数列的前n 项和及推导过程1.等比数列前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩2.等比数列由等比数列的定义知公式的推导：方法一：由等比数列的定义知2132121n n n n a a q a a q a a q a a q ---====，，，，， 将这n 个等式的两边分别相加得：23121()n n a a a a a a q -+++=+++，即1()n n n S a S a q -=-，整理得111(1)nn n S q a a q a a q -=-=-，当1q ≠时，1(1)(2)1n n a q S n q-=-≥，显然此式对1n =也成立； 当1q =时，1n S na =．方法二：由前n 项定义知211111n n S a a q a q a q -=++++， 将上式两边同乘以q 得：n qS =231111n a q a q a q a q ++++两式相减得： 11(1)n n q S a a q -=-， 以下讨论同法一．注：方法二称为错位相减法，是数列求和中常用的一种方法．错位相减求和法：非零的等差数列{}n a 、等比数列{}n b 构造数列{},{}nn n na ab b ，数列称为差比数列，求它的前n 项和可用错位相减法．六、等比数列前n 项和的性质1.公比为q 的等比数列，按m 项分组，每m 项之和组成一个新数列，认为等比数列，其公比为m q （也就是说：232m m m m m S S S S S --，，，为等比数列，公比为m q ．2.对于项数为*2()k k N ∈的等比数列，有=S q S 偶奇．典型例题一．选择题（共10小题）1．（2018•保定二模）已知正项等比数列{a n}满足a3=1，a5=，则a1的值为（）A．4 B．2 C．D．【解答】解：∵正项等比数列{a n}满足a3=1，a5=，∴，解得，，∴a1的值为2．故选：B．2．（2018•盐湖区校级三模）在等差数列{a n}中，已知a4，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣18 B．9 C．18 D．20【解答】解：a4，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，由韦达定理可知：a4+a7=4，，故选：D．3．（2018•石家庄模拟）在等比数列{a n}中，a2=2，a5=16，则a6=（）A．28 B．32 C．64 D．14【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2=2，a5=16，∴a1q=2，=16，解得a1=1，q=2．则a6=25=32．故选：B．4．（2018•泉州模拟）已知{a n}是等比数列，a1=1，a3=2，则=（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=1，a3=2，∴q2=2．则=q4=4．故选：C．5．（2018•香坊区校级二模）已知在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a3=16，a3+a4=24，则a5=（）A．128 B．108 C．64 D．32【解答】解：∵a1a3=16，∴a22=a1a3=16，∴a2=4，设公比为q，∵a3+a4=24，∴4q+4q2=24，解得q=2或q=﹣3（舍去），∴a5=a2q3=4×23=32，故选：D．6．（2018•安庆二模）设等比数列{a n}的公比q=3，前n项和为S n，则=（）A．B．4 C．D．3【解答】解：根据题意，等比数列{a n}的公比q=3，则a2=a1q=3a1，S4==40a1；则==；故选：A．7．（2018•天津模拟）设{a n}是等比数列，则下列结论中正确的是（）A．若a1=1，a5=4，则a3=﹣2 B．若a1+a3＞0，则a2+a4＞0C．若a2＞a1，则a3＞a2 D．若a2＞a1＞0，则a1+a3＞2a2【解答】解：A．由等比数列的性质可得：=a1•a5=4，由于奇数项的符号相同，可得a3=2，因此不正确．B．a1+a3＞0，则a2+a4=q（a1+a3），其正负由q确定，因此不正确；C．若a2＞a1，则a1（q﹣1）＞0，于是a3﹣a2=a1q（q﹣1），其正负由q确定，因此不正确；D．若a2＞a1＞0，则a1q＞a1＞0，可得a1＞0，q＞1，∴1+q2＞2q，则a1（1+q2）＞2a1q，即a1+a3＞2a2，因此正确．故选：D．8．（2018•玉溪模拟）已知等比数列{a n}公比为q，其前n项和为S n，若S3、S9、S6成等差数列，则q3等于（）A．﹣B．1 C．﹣或1 D．﹣1或【解答】解：若S3、S9、S6成等差数列，则S3+S6=2S9，若公比q=1，则S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1，即3a1+6a1=18a1，则方程不成立，即q≠1，则=，即1﹣q3+1﹣q6=2﹣2q9，即q3+q6=2q9，即1+q3=2q6，即2（q3）2﹣q3﹣1=0，解得q3=，故选：A．9．（2018•济宁二模）各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，a2+a3=6，a3•a5=64，则S6=（）A．31 B．32 C．63 D．64【解答】解：∵各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，a2+a3=6，a3•a5=64，∴，且q＞0，解得a1=1，q=2，∴S6==63．故选：C．10．（2018•河南一模）已知数列{a n}为正项等比数列，且a1a3+2a3a5+a5a7=4，则a2+a6=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵数列{a n}为正项等比数列，且a1a3+2a3a5+a5a7=4，∴a1a3+2a3a5+a5a7==（a2+a6）2=4，∵数列{a n}为正项等比数列，∴a2+a6=2．故选：B．二．填空题（共4小题）11．（2018•江苏模拟）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足，且a2a8=2a5+3，则a9=18．【解答】解：各项均为正数的等比数列{a n}，公比设为q，q＞0，，且a2a8=2a5+3，可得q•q7=2•q4+3，解得q4=6（负的舍去），则a9=a1q8=×36=18．故答案为：18．12．（2017•启东市校级模拟）等比数列{a n}中，S n表示前n顶和，a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q为3．【解答】解：∵a3=2S2+1，a4=2S3+1两式相减可得，a4﹣a3=2（S3﹣S2）=2a3整理可得，a4=3a3利用等比数列的通项公式可得，a1q3=3a1q2，a1≠0，q≠0所以，q=3故答案为：313．（2011秋•亭湖区校级期中）在等比数列{a n}中，若a1=2，a9=8，则a5=4．【解答】解：设公比为q，则由若a1=2，a9=8，可得8=2×q8，解得q4=2，∴a5=a1•q4=4，故答案为2．14．（2010•泉山区校级模拟）等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，则{a n}的前4项和为120．【解答】解：q3==27∴q=3∴a1==3∴S4==120故答案为120三．解答题（共1小题）15．（2005秋•成都期末）在等比数列{a n}中，a1+a n=66，a2•a n﹣1=128，且前n项和S n=126，求n以及公比q．【解答】解：由a2•a n﹣1=a1•a n=128，又a1+a n=66得，a1，a n是方程x2﹣66x+128=0的两根，解这个方程得，或，由得或．。
必修五 第二章 等比数列复习讲义
等比数列公式及性质运用一．基础知识梳理1.等比数列(1)定义：成等比数列}{)0,0,2(1n n n na q a n q a a ⇔≠≠≥=- (2)通项公式：11-=n n q a a (3)前n 项和⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n nn等比数列121111{}(0)(2,*)n nn n n n n n a a a q q a a a n n N a a q +--+⇔=≠⇔=≥∈⇔=.2.等比数列的性质① 若{}n a 、{}n b 是等比数列，则{}n ka 、{}n n a b 等也是等比数列； ② 111111(1)1111(1)(1)(1)(1)n n n n q q a a a a a q q q q na q na q S q q q ------==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨-+≠=≠⎪⎪⎩⎩③ m n l k m n l k a a a a +=+⇒=(反之不一定成立)； ④ 等比数列中232,,,m m m m m S S S S S --(注：各项均不为0)仍是等比数列.二．典例讲练题型1： 等比数列公式及性质的应用例1 （1）已知{}n a 为等比数列，32a =，24203a a +=，求{}n a 的通项公式。
（2）记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知166n a a +=，43128n a a -=，126n S =，求n 和公比q 的值。
变式1．已知等比数列{}n a 的公比=q －31,则86427531a a a a a a a a ++++++=______.变式2．已知数列{}n a 为等比数列，(1)若,252,0644342=++>a a a a a a a n 且求.53a a +(2)na a a a a aa 求,8,7321321==++例2（1）（08浙江）已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（ ）（A ）16（n --41） （B ）16（n --21） （C ）332（n --41） （D ）332（n --21） （2）等比数列{}n a 中，93,a a 是方程20x x -+=２７６的两个根，则6a =（ ） A ．3 B ．±3 C ．± 3 D ．以上皆非变式1.等比数列{}n a 中，0n a >且5681a a =，则3132310log log log a a a +++的值是（ ）A ．20B ．10C ． 5D ．40变式2 设{n a }为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程24830x x ++=的两根，则=+20072006a a _____.变式3 (1)在等比数列{n a }中，3,1101==a a 则98432a a a a a ⋯等于( ) A ．81 B ．27527 C. 3D ．243例3：在等比数列{}n a 中，若前10项的和10S =10，前20项和20S =30，求30S变式：(2009·辽宁卷)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36S S =3，则69S S＝( ) A ．2 B.73 C.83D ．3变式：（2007陕西）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若S 10=2,S 30=14,则S 40等于（ ）（A ）80 （B ）30 (C)26 (D)16例4：等比数列{}n a 共有2n 项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则求公比q变式：数列{n a }的前n 项和=+++-=22221,12n n n a a a S 则（ ）A ．2)12(-nB ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n变式：若等比数列{}n a 的前n 项之和S n =3n +a ,则a 等于（ ） A.3 B.1 C.0 D.－1变式：在等比数列{}n a 中，已知643524,64a a a a -==.求{}n a 前8项的和8S变式：等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ ；题型2：等比数列判定及证明例1已知数列{}n a 满足：lg 35n a n =+，试用定义证明{}n a 是等比数列.练习：数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+ ① 求证{1}n a +是等比数列； ② 求数列{}n a 的通项公式。
等比数列的性质(学生版)
4.3.2等比数列的性质性质一、 已知数列{a n }通项公式a n =2n ，则{a n }前五项是___________________________,很明显，该数列是一个首项为______,公比为_______的________数列。
同理，若a n =a 1q ∙q n ，则{a n }前五项是___________________________________________,很明显，该数列是一个首项为______,公比为_______的________数列。
例如① a n =3∙2n ，该数列首项为________,公比为_________，且单调递_____.② a n =3∙(12)n ，该数列首项为________,公比为_______，且单调递______. ③ 若等比数列{a n }首项为3,公比为2，则a n =________,该数列单调递______. ④ 若等比数列{a n }首项为3,公比为12，则a n =________,该数列单调递_____. ⑤ 若等比数列{a n }首项为3,公比为2，则a n =________,该数列为___________. 性质二、已知数列{a n }是等比数列，公比为q ，则a 1∙a 8=a 1∙a 1q 7=a 12∙q 7； a 2∙a 7=a 12∙______= a 3∙_____ 所以a 1∙a 8=a 2∙a 7= a 3∙_____= a 4∙_____.性质三、已知数列{a n }是等比数列，公比为q ，则（1） a 1,a 4,a 7,a 10,a 13…也成等比数列，a 4,a 6,a 8,a 10…也成等比数列，也就是说，等比数列中_________________也构成等比数列。
（2） a 1,a 2,a 3,a 4,a 5…中，若a 1为正数，则__________也一定为正数；若a 2为正数，则__________也一定为正数。
【新高考】高三数学一轮基础复习讲义：第六章 6.3等比数列-(学生版+教师版)
等比数列1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( )(2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( )(4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( )2、已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( ) A ．－12B ．－2C ．2 D.123、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( )A ．31B ．32C ．63D ．644、在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则插入的两个数分别为________．5、设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________. 无题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( ) A ．2 B ．1 C.12 D.18(2)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，a 1＝2，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则S 10－S 4等于( )A ．1 008B ．2 016C ．2 032D ．4 032【同步练习】 (1)已知等比数列{a n }的首项a 1＝1，且a 2，a 4，a 3成等差数列，则数列{a n }的公比q ＝________，数列{a n }的前4项和S 4＝________.(2)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 题型二 等比数列的判定与证明例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．引申探究若将例2中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变，求数列{a n }的通项公式．【同步练习】1、已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32. 1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1.3．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列． 5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q. 6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .【知识拓展】等比数列{a n }的单调性(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列． (2)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列． (3)当⎩⎪⎨⎪⎧a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列．(4)当q <0时，{a n }为摆动数列．题型三 等比数列性质的应用例3 （1）若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝________. 【同步练习】(1)已知在等比数列{a n }中，a 1a 4＝10，则数列{lg a n }的前4项和等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A.18 B ．－18 C.578 D.558题型四 分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (15分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)． 一、等比数列的证明(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．二、等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．1．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7等于( )A ．4B ．6C ．8D ．8－4 22．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( )A.32B.23 C ．－23 D.23或－233．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( )A ．12B ．13C ．14D ．154．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 5等于( )A ．32B ．62C ．27D ．815．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则15793log ()＋＋a a a 的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.156．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( ) A.12B.32 C ．1 D ．－327．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________.8．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝________.9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________.10．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________. 11．已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }是等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和．12．已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．13．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .等比数列1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × )(2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × )(4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × )2、已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( ) A ．－12B ．－2C ．2D.12答案 D解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12. 3、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( )A ．31B ．32C ．63D ．64答案 C解析 根据题意知，等比数列{a n }的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C.4、在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则插入的两个数分别为________． 答案 27,81解析 设该数列的公比为q ，由题意知，243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.5、设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________. 答案 －11解析 设等比数列{a n }的公比为q ，∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0.∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q ·1－q a 1(1－q 2)＝1－q 51－q 2＝1－(－2)51－4＝－11. 无题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( ) A ．2 B ．1 C.12 D.18(2)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，a 1＝2，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则S 10－S 4等于( )A ．1 008B ．2 016C ．2 032D ．4 032答案 (1)C (2)B解析 (1)由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 24，又a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 24＝4(a 4－1)，解得a 4＝2.设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 4＝a 1q 3，得2＝14q 3，解得q ＝2， 所以a 2＝a 1q ＝12.故选C. (2)由题意知2(a 4＋2)＝a 2＋a 5，即2(2q 3＋2)＝2q ＋2q 4＝q (2q 3＋2)，得q ＝2，所以a n ＝2n ，S 10＝2(1－210)1－2＝211－2＝2 046，S 4＝2(1－24)1－2＝25－2＝30， 所以S 10－S 4＝2 016.故选B.思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．【同步练习】(1)已知等比数列{a n }的首项a 1＝1，且a 2，a 4，a 3成等差数列，则数列{a n }的公比q ＝________，数列{a n }的前4项和S 4＝________.(2)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.答案 (1)1或－12 4或58(2)3n －1 解析 (1)由a 2，a 4，a 3成等差数列得2a 1q 3＝a 1q ＋a 1q 2，即2q 3＝q ＋q 2，解得q ＝1或q ＝－12. 当q ＝1时，S 4＝4a 1＝4，当q ＝－12时，S 4＝1－(－12)41－(－12)＝58.(2)由3S 1,2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3， 可得a 3＝3a 2，所以公比q ＝3， 故等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝3n －1. 题型二 等比数列的判定与证明 例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 得a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2.∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3. 又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2(n ≥2)， ② 由①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)， 故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列．(2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1， ∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， 故{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列． ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14，故a n ＝(3n －1)·2n －2.引申探究若将例2中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变，求数列{a n }的通项公式． 解 由已知得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n .∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1＋1，∴a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ≥2，又a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋2，a 2＝3，当n ＝1时上式也成立，故{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.【同步练习】1、已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32. 证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3(a n ＋12)． 又a 1＋12＝32， 所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列． 所以a n ＋12＝3n 2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1. 因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1 ＝32(1－13n )<32， 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32. 1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1.3．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列． 5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q. 6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .【知识拓展】等比数列{a n }的单调性(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列． (2)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列． (3)当⎩⎪⎨⎪⎧a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列． (4)当q <0时，{a n }为摆动数列．题型三 等比数列性质的应用例3 （1）若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝________. 答案 (1)50 (2)34解析 (1)因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln [(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.(2)方法一 ∵S 6∶S 3＝1∶2，∴{a n }的公比q ≠1.由a 1(1－q 6)1－q ÷a 1(1－q 3)1－q＝12，得q 3＝－12， ∴S 9S 3＝1－q 91－q 3＝34. 方法二 ∵{a n }是等比数列，且S 6S 3＝12，∴公比q ≠－1， ∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34. 【同步练习】(1)已知在等比数列{a n }中，a 1a 4＝10，则数列{lg a n }的前4项和等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A.18 B ．－18 C.578 D.558答案 (1)C (2)A解析 (1)前4项和S 4＝lg a 1＋lg a 2＋lg a 3＋lg a 4＝lg(a 1a 2a 3a 4)，又∵等比数列{a n }中，a 2a 3＝a 1a 4＝10， ∴S 4＝lg 100＝2.(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且公比不等于－1，在等比数列中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以有8(S 9－S 6)＝(－1)2，S 9－S 6＝18，即a 7＋a 8＋a 9＝18. 题型四 分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (15分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)． 思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明．规范解答(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12. [3分]又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . [5分] (2)证明 由(1)知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， S n ＋1S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭⎫－12n ＝⎩⎨⎧ 2＋12n (2n ＋1)，n 为奇数，2＋12n (2n －1)，n 为偶数. [8分]当n 为奇数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136. [11分]当n 为偶数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小， 所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512. [13分]故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136（n ∈N *）. [15分]一、等比数列的证明 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．二、等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．1．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7等于( )A ．4B ．6C ．8D ．8－4 2答案 C解析 在等比数列中，a 3a 7＝a 25，a 2a 6＝a 3a 5，所以a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8.2．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( )A.32B.23 C ．－23 D.23或－23答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝18，a 1q 3＝8解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝27，q ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－27，q ＝－23. 又a 1<0，因此q ＝－23. 3．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12， 可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324， 因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，故选C.4．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 5等于( )A ．32B ．62C ．27D ．81答案 B解析 设正项等比数列{a n }的公比为q ，则q >0，由a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，得a 2＋a 5＝2(a 4＋2)，即2q ＋2q 4＝2(2q 3＋2)，(q －2)(1＋q 3)＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，∴S 5＝2(1－25)1－2＝62，故选B. 5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15答案 B解析 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1，即log 3a n ＋1a n ＝1，解得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以＝＝－5.6．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为() A.12 B.32C ．1D ．－32答案 B解析 因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以 15793log ()＋＋a a a 15793log ()＋＋a a a 513log 3π343.＝alog 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74＝＝7π3，所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. 7．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________. 答案 4解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧3S 3＝a 4－2， ①3S 2＝a 3－2， ② 由①－②，得3a 3＝a 4－a 3，即4a 3＝a 4，则q ＝a 4a 3＝4. 8．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝________. 答案 150解析 依题意，知数列{a n }的公比q ≠－1，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，故S 40－S 30＝80，S 40＝150.9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 答案 12n解析 ∵a n ＋S n ＝1，① ∴a 1＝12，a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)， ② 由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝12(n ≥2)， ∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列， π337log 3则a n ＝12×(12)n －1＝12n . 10．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________. 答案 1 024解析 ∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3a 2， ∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2，∵b 3＝a 4a 3， ∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3·…·b n －1，∴a 21＝b 1b 2b 3·…·b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1 024.11．已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }是等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和．解 (1)设等差数列的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝12－33＝3， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ∈N *)．设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2. 所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1.从而b n ＝3n ＋2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ∈N *)，数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)， 数列{2n －1}的前n 项和为1×1－2n1－2＝2n －1. 所以数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n －1. 12．已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)由题意，得a 2＝12，a 3＝14. (2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12. 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列， 因此a n ＝12n －1. 13．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .解 (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12， ∵a 1＝1，a 1·a 2＝12， ∴a 2＝12⇒b 1＝a 1＋a 2＝32. ∴{b n }是首项为32，公比为12的等比数列． ∴b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n . (2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ， ∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列，∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n .。
等比数列讲义
等比数列公式及性质运用一．基础知识梳理1.等比数列(1)定义：成等比数列}{)0,0,2(1n n n na q a n q a a ⇔≠≠≥=- (2)通项公式：11-=n n q a a (3)前n 项和⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n nn等比数列121111{}(0)(2,*)n nn n n n n n a a a q q a a a n n N a a q +--+⇔=≠⇔=≥∈⇔=.2.等比数列的性质① 若{}n a 、{}n b 是等比数列，则{}n ka 、{}n n a b 等也是等比数列；② 111111(1)1111(1)(1)(1)(1)n n n n q q a a a a a q q q q na q na q S q q q ------==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨-+≠=≠⎪⎪⎩⎩③ m n l k m n l k a a a a +=+⇒=(反之不一定成立)； ④ 等比数列中232,,,m m m m m S S S S S --(注：各项均不为0)仍是等比数列.二．典例讲练题型1： 等比数列公式及性质的应用例1 （1）已知{}n a 为等比数列，32a =，24203a a +=，求{}n a 的通项公式。
（2）记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知166n a a +=，43128n a a -=，126n S =，求n 和公比q 的值。
变式1．已知等比数列{}n a 的公比=q －31,则86427531a a a a a a a a ++++++=______. 变式2．已知数列{}n a 为等比数列，(1)若,252,0644342=++>a a a a a a a n 且求.53a a +(2)na a a a a aa 求,8,7321321==++例2（1）（08浙江）已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（ ） （A ）16（n--41） （B ）16（n--21）（C ）332（n --41） （D ）332（n--21）（2）等比数列{}n a 中，93,a a 是方程20x x -+=２７６的两个根，则6a =（ ） A ．3 B ．±3 C ．± 3 D ．以上皆非变式1.等比数列{}n a 中，0n a >且5681a a =，则3132310log log log a a a +++的值是（ ）A ．20B ．10C ． 5D ．40变式2 设{n a }为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程24830x x ++=的两根，则=+20072006a a _____.变式3 (1)在等比数列{n a }中，3,1101==a a 则98432a a a a a ⋯等于( )A ．81B ．27527 C. 3D ．243例3：在等比数列{}n a 中，若前10项的和10S =10，前20项和20S =30，求30S变式：(2009·辽宁卷)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36S S =3，则69S S＝( ) A ．2B.73C.83D ．3变式：（2007陕西）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若S 10=2,S 30=14,则S 40等于（ ）（A ）80 （B ）30 (C)26 (D)16例4：等比数列{}n a 共有2n 项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则求公比q变式：数列{n a }的前n 项和=+++-=22221,12n n n a a a S 则（ ）A ．2)12(-nB ．)12(31-nC ．14-nD ．)14(31-n变式：若等比数列{}n a 的前n 项之和S n =3n +a ,则a 等于（ ）A.3B.1C.0D.－1变式：在等比数列{}n a 中，已知643524,64a a a a -==.求{}n a 前8项的和8S变式：等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ ；题型2：等比数列判定及证明例1已知数列{}n a 满足：lg 35n a n =+，试用定义证明{}n a 是等比数列.练习：数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+ ① 求证{1}n a +是等比数列； ② 求数列{}n a 的通项公式。