人教B版必修二与球有关的空间几何体问题

考点一：球的内接柱体
设柱体上底的外心为1O ，下底的外心为2O ，则有柱体的外接球球心O 为21O O 的中点。

若
柱体底面外接圆半径为r ，高为h ，则外接球半径R 满足：22
2
2h r R +=； 由已学知识可总结出：
（1）边长为a 的正三角形的外接圆半径a r 3
3=； （2）长为a ，宽为b 的的矩形的外接圆半径2
2
2b a r += （3）斜边为c 的直角三角形的外接圆半径2
c r = 注：球的内接长方体满足：球的直径于长方体的大对角线相等
考点二：球的内接椎体
1. 球的内接直三棱锥，直四棱锥（有一条侧棱与底面垂直）：与长方体相同，是长方体的部分顶点构成的椎体
2. 球的内接正三棱锥，正四棱锥：
设顶点为P ，底面外接圆圆心1O ，则有正棱锥外接球球心在1PO 上，若正棱锥底面外接圆
半径为r ，高为h ，则外接球半径R 满足：2
22)(R h r R -+=或h l R 22
=（l 为侧棱）
考点三：多面体的内切球
1 多边形内切圆圆心把多边形分成多个高相等的三角形，由面积法可知
多边形的内切圆半径r 满足：P
S r 2=（S 为多边形面积，P 为多边形周长） 2 多面体内切球球心把多面体分成多个高相等的椎体，由体积法可知 多面体的内切求半径r 满足：S V r 3=
（V 为多面体体积，S 为多面体表面积）
考点四：圆锥内切球与外接球
1 圆锥的外接球：与正棱锥的外接球相同
2 圆锥的内切球：圆锥的内切球半径即为圆锥截面三角形的内切圆半径，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则内切球半径R 满足：22222h
r r h r R P S r R ++⋅=⇒=
=
小结： 1 球的内接柱体，直椎体：22
2
2h r R += 2 球的内接正棱锥，内接圆锥：h
l R 22
=（l 为侧棱） 3 多面体的内切球：S V R 3=
4 圆锥的内切球：r h r h r R 2222++⋅=
典型例题
例1 一个球的外切正方体的全面积为6，则球的体积为（ ） A 34π B 86π C 6
π D 66π 答案:C
解析:多面体的内切球，所以球的半径S
V R 3=，正方体的棱长为1，则1=V ，所以2163==
R ，所以球的体积为6
)21(343ππ=⋅⋅，故选C
例2 某长方体的三视图的面积分别为20，15，12，求该长方体的外接球的表面积
答案：π50
解析：设长方体的三边分别为c b a ,,，则有⎪⎩
⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧===534121520c b a ab bc ac ，所以外接球半径为：
2
252222=++=c b a R ，所以ππ50)225(42=⋅=S
例3 某圆锥的截面为边长为2的正三角形，则该圆锥的内切球的表面积为_______ 答案：3
3 解析：边长为2的正三角形的内切圆半径为3
36322=⋅==P S r ，则内球球的半径也为3
3
例4 一三棱锥ABC P -，PC PB PA ,,两两垂直，且3,3,1===PC PB PA ，则该三棱锥外接球的表面积是（ ）
A π16
B π64 C
π332 D π3252 答案：A
解析：易知，C B A P ,,,是长方体中相邻四个顶点构成的棱锥，所以外接球半径： 22
961=++=
R ，所以ππ1644=⋅=S ，选A
例 5 一底面半径为r ，母线长为r 3的圆锥有一内接正方体，求该正方体的表面积
答案：23
16r 解析：由题知，圆锥的高为r 22，设正方体的棱长为a ，可知：r
a r a r 2222=-，所以： r a a a r 322222=
⇒=-，所以，正方体的表面积为：223166r a =
例6 若半球内有一内接正方体，则这个半球的表面积与正方体的表面积之比为（ ）
A 12:5π
B 6:5π
C 3:2π
D 4:3π
答案：D
解析：设半球的半径为R ，正方体的棱长为a ，则有222223)22(
a a a R =+=，半球的表面积：2221342
1R R R S πππ=+⋅=，正方体的表面积226a S =，所以： 4
322363222
221πππ=⋅==a a a R S S ，故选D
例7 某圆柱的底面半径为2，里面有一定的水，现把圆柱横着放，水面的高度变为1，求圆柱里的水的体积与圆柱的体积比 答案：π
π4334- 解析：已知横着放时，底面是一个弓形，所以343
1-⋅=πS ，所以体积比为： π
π4334-
例8 正四面体外接球与内切球的半径之比为_______
答案：3
解析：设正四面体半径为a ，则底面积为24
3a ，高为a 36，所以内切球半径a a a S V R 126336433231=⋅⋅==，外接球半径a a a h l R 463
622222===，所以： 312
6:46:12==a a R R
练习
1 已知一个多面体的内切球的半径为1，多面体的表面积为18，则多面体的体积为（ ）
A 18
B 12
C 6
D π12
答案： C
解析： 5cos )54cos(54cos ππππ-=--=；5
2cos )53cos(53cos ππππ-=--=，所以 内切球半径满足631833===⇒=
RS V S V R ，选C
2 用与球心距离为1的平面去截球面，所得截面积为π，则球的体积为________ 答案：π3
28 解析：截面半径为1，所以球的半径2=
R ，球的体积为ππ3282234=⋅
3. 64个直径都是4
a 的球，记它的体积为1V ，表面积之和为1S ，1个直径都是a 的球，记它的体积为2V ，表面积之和为2S ，则（ ）
A 2121,S S V V >>
B 2121,S S V V <<
C 2121,S S V V >=
D 2121,S S V V ==
答案： C
解析： 左221331464)8
(4;664)8(34a a S a a V ππππ=⋅⋅==⋅⋅=， 221331)2
(4;6)2(34a a S a a V ππππ=⋅==⋅=，所以2121,S S V V >=，选C
4 高与底面直径之比为1:2的圆柱内接于球，且圆柱的体积为π500，则球的体积为（ ） A 3500π B 32500π C π332500 D 3
12500π 答案： C
解析：设圆柱底面半径为r ，则高为r 4，20,550042
==⇒=⋅⋅h r r r ππ，所以有： 55125)2
(222=⇒=+=R h r R ，所以球的体积ππ352500562534=⋅=V ，选C
5 求半径为2的球的内接正四面体的体积
答案 27
364 解析：设正四面体的棱长为a ，则底面外接圆半径a r 33=，高a r a h 3622=-=，所以外接球半径满足：a a a h l R 463
62222===，所以 364=a ，27
36427666412212236433132=⋅⋅==⋅⋅=a a a V。