(定稿)再谈人起立过程中地面是否做功问题

再谈人起立过程中地面是否做功问题

项其杰

（江苏省太仓高级中学，江苏 太仓 215400）

摘要：本文从两个不同的角度对人起立过程中地面是否做功这个问题进行了阐述，通过对功的概念中“位移”的深化认识、再建立两个力学模型进行分析，指出了起立过程中对人做功的实际是人自身的内力，并借助简化模型对地面在该过程中到底起到怎样的作用做了一些初步的探索。

关键词：起立 位移 力学模型 内力做功 地面的作用 滞空

“起立”这个动作我们每天都要做很多次，但对于此过程中地面是否对人做功这个问题，不少人都会认为：地面对人有支持力作用，人起立过程中重心又上升了一段距离，因此地面对人做了功。其实，问题在于对功的认识并不到位，因而不能给出正确的回答。下面，笔者将从两个不同的角度对该问题进行分析，并对地面在该过程中到底起到怎样的作用做一些初步的探索。

一、突出位移——深入理解功的概念

在高中物理教材中对功是这样定义的：如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生一段位移，这个力就对物体做了功。这句话的主语是“物体”，因而对于定义中的“位移”，自然也就很容易被人理解成是“物体的位移”。其实，这里的“位移”应该是指“力的作用点的位移”，它不能被简单地看成是“物体的位移”。

如图1和图2所示，两图中物体均在拉力F 的作用下沿水平面运动，且拉力的大小和方向均保持不变，图1中拉力作用点的位移与物体的位移相等，而图2中拉力作用点的位移2cos 2θ

s s ='，与物体的位移却并不相等。事实上，对于单个质点来说，“物体的位移”与“力的作用点的位移”是统一的；但是，当物体不能看作质点时，功的概念中的所指位移就只能是“力的作用点的位移”。人在起立过程中，由于躯干与腿和脚等部分的运动并不相同，人不能再当成一个质点来处理，而应该对脚部（支持力的作用点所在处）进行研究，但是脚又始终没动，因此支持力的“作用点的位移”为零，地面对人自然也就没有做功。 从功能关系的角度来讲，如果地面对人做了功，那么地面的能量就会有所减少，转化为人的机械能。但实际上地面的能量并没有发生任何变化，可见地面并未对人做功。一个不争的事实是：我们无论如何也不可能不用做任何的“努力”，而仅仅指望着地面会自发地对我们做功，从而使我们能够站立起来。

二、构建模型——创新分析在人起立过程中到底谁对人做功

既然人起立过程中地面并未对人做功，那么到底是什么力对人做功了呢？又是什么形式的能量转化为人的机械能呢？借助下面两个力学模型，可以帮助我们说明问题。

图1 图2

如图3所示，人起立之前呈曲膝下蹲姿势，可设膝关节弯曲的角度为θ，起立

过程中由于大、小腿部的肌群收缩，对膝关节产生作用力，可近似认为它们的合力

F 的方向水平向后。很明显，在人起立过程中力F 对人做了正功，从而将人体内

的化学能一部分转化为人的机械能（另一部分转化为内能，人体内大约五分之四的

热能来自于肌肉收缩）。

在图3的基础上进一步将力学模型进行抽象，可得到如图4所示的简化模型：

人腿相当于一根处于压缩状态的弹簧，上半身和脚部则分别相当于质量为1m 和2

m 的两个物体。人起立时腿部肌群的作用力做功的过程，就相当于模型4中弹簧恢复

形变的过程，此时弹簧的弹力对外做正功，将弹性势能转化为1m 的机械能，这就相

当于人腿部肌群的作用力做功时，将人体内的化学能一部分转化成了人的机械能一样。

可见，在人起立过程中对人做功的实际上是人的内力。其实，关于人的内力做功的例子还有很多，如跳高、跳远、跑步、蹦床、荡秋千、爬杆、骑车等过程，人的内力均对人做了正功。

笔者也见到有些人利用动能定理的知识来进行判断，判断过程如下：

由于K G F E W W W N ∆=+=外，其中0≥∆K E ，

又因为人起立过程中重力做负功，故0

所以他们得出结论0>N F W ，即支持力对人做正功。

得出这一错误结论的原因主要是不了解质点组的动能定理，其表达式为K E W W ∆=+内外，即质点组动能的增量在数值上等于一切外力所做功与一切内力所做功的代数和。在我们高中物理教材中所讲的动能定理其实是指单个质点的情况，而对单个质点来说，所有的力均为外力，因此久而久之，很多人就容易以偏概全，误以为质点组动能的增量在数值上也等于合外力所做的功，从而利用K E W ∆=外来进行判断，殊不知质点组动能的改变完全可以通过内力做功来实现。

三、拓展思维——初步探索地面在人起立过程中所起的作用

既然人起立过程中对人做功的是人的内力，而非地面，那为什么人又总要在脚着地时才容易站起来呢？若脚不着地人还能“站”起来吗？地面在人起立过程中到底起到什么样的作用呢？借助图4所示的简化模型，我们可以进行一些初步的探索。

由于人在一次起立过程中最多能够转化多少能量出来是由他自身的能力决定的，对于一个确定的人来说，可以近似地认为该能量是一定的，对应到图4所示的模型中，我们不妨就可以设弹簧弹性势能为某一个定值E 。如果人脚着地，那么图4中2m 的速度可认为始终为零，人起立过程中弹性势能E 就全部转化为1m 的机械能。如果人脚不着地，且不借助其它外力，1m 又会获得多少机械能、多大的速度呢？ 图4 图 3

为了更好地计算1m 获得的机械能以及速度的大小，我们以人的质心为参照建立坐标系（非惯性系）。由于地球引力的作用，该质心会以加速度g 自由下落，因而在这一坐标系中，1m 和2m 除受到自身的重力g m 1和g m 2之外，还要分别受到向上的惯性力g m F 11=*和g m F 22=*，1m 和2m 组成的系统还应满足动量守恒。

设弹簧恢复形变时1m 和2m 在质心系中的速度分别为1v 和2v ，利用动量守恒和能量的知识，可列出下列两个方程：

2211v m v m =

2222112121v m v m E += 解方程组可得到1m 的动能1E 以及它在质心系中的上升速度1v 分别为：

E m m m E 2

121+= )(221121m m m E m v +=

很显然E E <1，说明此时人上半生获得的机械能小于脚着地时的情况。

若再进一步设弹簧恢复形变所需的时间为t ∆，则该过程中质心的速度变化量为t g v ∆⋅=∆，

由此，我们就可以求出1m 此时相对于地面的速度为：

t g m m m E m v v v ∆⋅-+=∆-=)

(221121 对不同的人来说，E 和t ∆的取值一般是不同的。因此，上式中1m 的对地速度v 就可能为正值、负值或为零。若0>v ，则表示人的质心虽然向下运动，但人的上半身1m 的对地速度却是向上的，那么在地面上的其他观察者看来，该人看上去就好像在向上“站”起来；若0=v ，则该人看上去就好像在同一高度上“滞空”了一段时间。

央视10套在08年7月12日做过一档节目——《体育

科学· 超级飞人》，科学家分析了迈克尔·乔丹的罚球线起

跳扣篮视频。如图5中所示，在起跳升高时，乔丹的身体并

不是完全舒展开的，到达最高点后，在即将要开始下落时，

通过肌肉的力量将略微缩起的身体完全舒展开，使得他的上图5