【教案】校级公开课--幂函数

课题：§2.3幂函数

授课教师:

开课班级：高一（3）班 指导老师： 开课时间：

一、三维目标： 1、知识与技能

（1）通过具体实例了解幂函数概念

（2）会画幂函数的图象并能通过图像了解几个常见的幂函数的性质，加深学生对研究函数性质的基本

方法，培养学生概括抽象的能力。

（3）通过几个常见的幂函数的性质总结幂函数的性质，了解幂函数和指数函数的本质区别。 （4）应用幂函数的图像和性质解决有关简单问题，培养学生观察分析归纳能力。 2、过程与方法

能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质． 3、情感态度与价值观

（1）通过具体实例的引入使学生体会到生活中处处有数学，激发学生学习的兴趣。 （2）通过对计算机，几何画板的应用激发学生学习的欲望 二、教学重、难点：

1、重点：从五个具体幂函数中认识幂函数概念和性质．

2、难点：（1）画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质

（2）根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小 三、教具准备

多媒体 PPT 几何画板 四、教学过程 （一）导入新课

1、如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克， 那么她需要支付的钱数p 元和购买的蔬菜w 之间有何关系？（p=w ）→y=x

2、如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积: (2a S =)→2x y =

3、如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积: (3a V =) →3x y =

4、如果正方形的面积为S ，那么正方形的边长 (S a =

) →x y =

5、如果某人t 秒内骑车行进了1km ，那么他骑车的速度: (1-=t v )→1-=x y

我们通常用字母x 来表示自变量，用y 来表示函数值,因此我们可以把这五个式子分别写成：

x y =、

2x y =、3x y =、x y =、1-=x y 。

下面请大家观察下，这些函数都有什么共同的特点呢？（底数都是自变量x ，指数是常数）

像这样的函数就是我今天跟大家一起研究的幂函数。 （二）、推进新课

1、幂函数的概念：

（1）定义：一般的，函数α

x y =叫做幂函数。

注：（

1）幂函数的定义与指数函数和对数函数的定义类似，都是形式上的定义。 （2）幂函数底数位置是自变量，指数位置是常数。

（2）寻找幂函数：①3

2x y =，②31x

y = ，③34

-=x y ，④x y 4=，⑤x x y +=3

，⑥3x y -=

2、幂函数的图象与性质：

我们通常用函数图象来研究函数的性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性等。 用描点法在同一坐标系下画出函数x y =、2

x

y =、3

x y =、x y =、1-=x y 的图象。

x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 9 4 1 0 1 4 9 … … -27 -8 -1 0 1 8 27 … …

0 1 1.41

1.73

…

…

31- 21- -1

1

21 3

1 …

描点、作图：

图（1） （ⅰ）引导学生观察图像得出五个函数的性质 函数

性质 x y =

2x y =

3x y =

2

1x

y =

1-=x y

定义域 R R

R {}0|≥x x {}0|≠y y 值域 R {}0|≥y y

R {}0|≥y y

{}0|≠y y

奇偶性 奇

偶

奇

非奇非偶 奇

单调性

在R 上 单调递增 在)0,(-∞单调递减，

在),0(+∞单调递增

在R 上

单调递增

在

{}

0|≥x x 上单调递

增

在),0(+∞单调递减， 在)0,(-∞单调递减

x y =2x y =3

x y =2

1

x

y =1

-=x y

①五个函数图像都经过第一象限，且都过（1，1）点；

②函数x y =、3

x

y =、1-=x y 是奇函数；函数2

x y =是偶函数。

③在区间()+∞,0上，函数

x

y =、2x y =、3

x y =、21

x y =是增函数；

函数1

-=x y 是减函数。

④在第一象限内，函数图像向上与y 轴无限趋近，向下与x 轴无限接近。

（ⅱ）通过以上五个函数的性质归纳总结所有幂函数的性质：

①所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

②当0>α时,幂函数的图像都经过原点，且在()+∞,0上是增函数；

特别地，当10<<α时，幂函数的图象上凸；当1>α时,幂函数的图象下凸；

③当0<α时,幂函数的图像均不经过原点，且在()+∞,0上是减函数。 3.应用举例

Ⅰ、比较下列各组数的大小：

分析：因为(1)(2)要比较的数的指数相同，所以可以 利用幂函数的单调性。 解：（1）1

.01

.02

.1,1.1可以看作函数1

.0x

y =的两个函数值

因为函数1

.0x

y =在区间()+∞,0上单调递增，

又因为1.1<1.2， 所以1.01

.02.11.1<

（2）2.02

.025.0,24

.0--可以看作函数2.0-=x y 的两个函数值

因为函数在区间()+∞,0上单调递减， 又因为0.24<0.25, 所以2.02

.025.024

.0-->

（3）首先比较指数相同的两个数的大小，3.03

.03.0,2.0可以看作函数3.0x y =的两个函数值，

因为函数3

.0x

y =在区间()+∞,0上单调递增，又因为0.2<0.3，

所以3.03

.03.02

.0<；

再比较同底数的两个数的大小，2

.03

.03

.0,3.0可以看作函数x

y 3.0=的两个函数值，

;25.0,24.0)2(2.02.0--2

.03.03.03.0,3.0,2.0)3(;

2.1,1.1)1(1.01.0