【教案】校级公开课--幂函数

课题：§2.3幂函数
授课教师:
开课班级：高一（3）班 指导老师： 开课时间：
一、三维目标： 1、知识与技能
（1）通过具体实例了解幂函数概念
（2）会画幂函数的图象并能通过图像了解几个常见的幂函数的性质，加深学生对研究函数性质的基本
方法，培养学生概括抽象的能力。

（3）通过几个常见的幂函数的性质总结幂函数的性质，了解幂函数和指数函数的本质区别。

（4）应用幂函数的图像和性质解决有关简单问题，培养学生观察分析归纳能力。

2、过程与方法
能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质． 3、情感态度与价值观
（1）通过具体实例的引入使学生体会到生活中处处有数学，激发学生学习的兴趣。

（2）通过对计算机，几何画板的应用激发学生学习的欲望 二、教学重、难点：
1、重点：从五个具体幂函数中认识幂函数概念和性质．
2、难点：（1）画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质
（2）根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小 三、教具准备
多媒体 PPT 几何画板 四、教学过程 （一）导入新课
1、如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克， 那么她需要支付的钱数p 元和购买的蔬菜w 之间有何关系？（p=w ）→y=x
2、如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积: (2a S =)→2x y =
3、如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积: (3a V =) →3x y =
4、如果正方形的面积为S ，那么正方形的边长 (S a =
) →x y =
5、如果某人t 秒内骑车行进了1km ，那么他骑车的速度: (1-=t v )→1-=x y
我们通常用字母x 来表示自变量，用y 来表示函数值,因此我们可以把这五个式子分别写成：
x y =、
2x y =、3x y =、x y =、1-=x y 。

下面请大家观察下，这些函数都有什么共同的特点呢？（底数都是自变量x ，指数是常数）
像这样的函数就是我今天跟大家一起研究的幂函数。

（二）、推进新课
1、幂函数的概念：
（1）定义：一般的，函数α
x y =叫做幂函数。

注：（
1）幂函数的定义与指数函数和对数函数的定义类似，都是形式上的定义。

（2）幂函数底数位置是自变量，指数位置是常数。

（2）寻找幂函数：①3
2x y =，②31x
y = ，③34
-=x y ，④x y 4=，⑤x x y +=3
，⑥3x y -=
2、幂函数的图象与性质：
我们通常用函数图象来研究函数的性质，如定义域、值域、单调性、奇偶性等。

用描点法在同一坐标系下画出函数x y =、2
x
y =、3
x y =、x y =、1-=x y 的图象。

x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 9 4 1 0 1 4 9 … … -27 -8 -1 0 1 8 27 … …
0 1 1.41
1.73
…
…
31- 21- -1
1
21 3
1 …
描点、作图：
图（1） （ⅰ）引导学生观察图像得出五个函数的性质 函数
性质 x y =
2x y =
3x y =
2
1x
y =
1-=x y
定义域 R R
R {}0|≥x x {}0|≠y y 值域 R {}0|≥y y
R {}0|≥y y
{}0|≠y y
奇偶性 奇
偶
奇
非奇非偶 奇
单调性
在R 上 单调递增 在)0,(-∞单调递减，
在),0(+∞单调递增
在R 上
单调递增
在
{}
0|≥x x 上单调递
增
在),0(+∞单调递减， 在)0,(-∞单调递减
x y =2x y =3
x y =2
1
x
y =1
-=x y
①五个函数图像都经过第一象限，且都过（1，1）点；
②函数x y =、3
x
y =、1-=x y 是奇函数；函数2
x y =是偶函数。

③在区间()+∞,0上，函数
x
y =、2x y =、3
x y =、21
x y =是增函数；
函数1
-=x y 是减函数。

④在第一象限内，函数图像向上与y 轴无限趋近，向下与x 轴无限接近。

（ⅱ）通过以上五个函数的性质归纳总结所有幂函数的性质：
①所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
②当0>α时,幂函数的图像都经过原点，且在()+∞,0上是增函数；
特别地，当10<<α时，幂函数的图象上凸；当1>α时,幂函数的图象下凸；
③当0<α时,幂函数的图像均不经过原点，且在()+∞,0上是减函数。

3.应用举例
Ⅰ、比较下列各组数的大小：
分析：因为(1)(2)要比较的数的指数相同，所以可以 利用幂函数的单调性。

解：（1）1
.01
.02
.1,1.1可以看作函数1
.0x
y =的两个函数值
因为函数1
.0x
y =在区间()+∞,0上单调递增，
又因为1.1<1.2， 所以1.01
.02.11.1<
（2）2.02
.025.0,24
.0--可以看作函数2.0-=x y 的两个函数值
因为函数在区间()+∞,0上单调递减， 又因为0.24<0.25, 所以2.02
.025.024
.0-->
（3）首先比较指数相同的两个数的大小，3.03
.03.0,2.0可以看作函数3.0x y =的两个函数值，
因为函数3
.0x
y =在区间()+∞,0上单调递增，又因为0.2<0.3，
所以3.03
.03.02
.0<；
再比较同底数的两个数的大小，2
.03
.03
.0,3.0可以看作函数x
y 3.0=的两个函数值，
;25.0,24.0)2(2.02.0--2
.03.03.03.0,3.0,2.0)3(;
2.1,1.1)1(1.01.0
因为函数x
y 3.0=在定义域内单调递减，又因为0.3>0.2，
所以2.03
.03.03
.0<；
所以2.03.03
.03.03.02
.0<<
说明：本题主要考察学生对幂函数及指数函数性质的掌握及应用，指数相同的幂的大小比较
可以利用幂函数的单调性；底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性。

Ⅱ、证明函数 在 上是增函数 证明：任取两个实数 ，且 ，则
，即函数 在 上是增函数. 说明：本题主要考察学生对函数单调性的证明的掌握情况，证明函数单调性要
严格按步骤和格式书写，利用作商的方法比较大小。

五、课堂小结
1、幂函数的定义
2、幂函数的性质及其应用] 六、作业 课本 七、板书设计
八、教后反思
()x
x f =[)+∞,0[)+∞∈,0,21x x 2
1x x <()()2121x x x f x f -=-(
)(
)
(
)
2
12
1212
121
x x x x x x x x x x +-=++-=021<-x x 0,21>+x x 02
121<+-∴x x x x ()()21x f x f <∴()x
x f =[)+∞,0。