325-3.2 柯西积分定理及其应用

(2) (由复合闭路定理)
蜒 ? 1 dz
dz
dz
C z2 z
C1 z 2 z
C2 z 2 z
蜒 蜒 dz
dz
dz
dz
C1 z 1 z C1
C2 z 1 z C2
C
0 2i 2i 0
C1
C2
0
1
0
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
在D D U上连续, 则
f (z)dz 0
C
D
Ci
n
蜒 或 f (z)dz
f (z)dz.
C
i1 Ci
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
z cos z sin z1 sin1 cos1
0
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例7 计算
3i e 2 z dz i
解： 3i e2zdz 1 3i e2zd (2z)
i
2 i
1 e2z 3i 1 e6i e2i 0. 2 i 2
这恰是 f z 解析的必要条件。事实上，当C为单
通域D内的曲线时，该条件也是充分的。
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
一、 柯西积分定理
若函数 f z 在单连通域D内处处解析， 则 f z沿D内的任意一条闭曲线（可以不
是简单的）C有
c f zdz 0
函数,且 Fz f z ，其中z0F(z)称为f(z)的原函数.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
结论：f z 的任何两个原函数相差一个常数.
利用原函数的这个关系，推得与牛顿—莱布尼兹 公式类似的解析函数积分的计算公式。
定理三 如果函数f(z)在单连域 B内处处解析,
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
3.2 柯西积分定理及其应用
回顾
c f z dz c udx vdy c vdx udy
当 u, v 具有连续偏导时，两个对坐标的曲线积分 在单连通域D内与路径无关（或沿单连通域D内 的任意闭曲线为零） vx uy , ux vy
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
三、复合闭路定理—柯西定理在多连域的推广
定理四：
设C1,C2 , , Cn为简单闭曲线 (互不包含且互不相交)，
C为包含C1 , C2 ,
,
C
的简单闭曲线，
n
D为由边界曲线
C C1
C
2
C
n
所围成的多连通区域， f (z)在D内解析.
i i
1
cos 2zdz 2
1 2
z
1 2
sin
2z
i i
i 1 sin 2i
2
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
1
例 6 计算 0 z sinzdz
1
解： 0 z sinzdz
1
11
0
zd
c os z
z
c os z
0
0
c os zdz
四、闭路变形原理—复合闭路定理的特例
推论：假设C及C1为任意两条简单闭曲线，C1在C内 部，设函数f (z)在C及C1所围的二连域D内解析，在 边界上连续，则
蜒C f z dz C1 f z dz.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
证明：取
C AB C1 BA
蜒 ?
C
AB
C1
BA C
ABaidu Nhomakorabea
蜒 ?
C
C1
C1
D
B
C1
蜒 0
C
C1
这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在 区域内作连续变形而改变它的值。
------闭路变形原理
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
二、 解析函数的原函数与等价定理
定理一 如果函数 f z在单连域内处处解析，那
么积分 c f zdz 与连结从起点到终点的路径无关.
定理二 如果函数 f z u iv 在单连域B内处处 解析，那C 末函数 F(B z) z f (z)dz 必为B内的解析
G(z)为 f (z) 的一个原函数,那么
z2 z1
f (z)dz
G(z2 ) G(z1)
此时实函数积分的换元、分部积分法均可推广使用
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例5 计算
i sin 2 zdz
i
解:
i sin 2 zdz i
例8试求
C
1 z2
z
dz
,
的值，C为包含0和1在内的任何
一条正向简单闭曲线。
1 (z2
z
1 z 1
1) z
解：
(1)
蜒C z
2
1
z
dz
C
dz z 1
?C
dz z
蜒 dz
dz
C2 z 1 z C1
闭路变形原理
2 i 2 i
0
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform