325-3.2 柯西积分定理及其应用
柯西积分定理的应用
柯西积分定理的应用
柯西积分定理是微积分中一个重要的定理,它解决了微积分中一些重要的问题,并在众多领域得到了广泛的应用。
以下是柯西积分定理的一些应用:
1. 泰勒公式:泰勒公式是柯西积分定理的一个特殊情况,它描述了函数在某一点处的切线斜率。
这个公式通常在物理、工程和经济学等领域中应用。
2. 极值问题:柯西积分定理可以用来解决极值问题,例如求解函数的极值、曲线的最值等。
3. 导数和积分的关系:柯西积分定理可以用来证明导数和积分之间的关系。
例如,如果函数 $f(x)$ 的导数与它的积分之间有某种关系,那么根据柯西积分定理,我们可以得到一个公式,用来计算函数的积分。
4. 多元函数微积分:柯西积分定理在多元函数微积分中也有广泛的应用。
例如,我们可以使用柯西积分定理来解多元函数的极值问题、偏导数、曲线方程等。
5. 曲线的形状:柯西积分定理可以用来预测曲线的形状。
例如,如果函数 $f(x)$ 在点 $a$ 处的导数和在点 $b$ 处的积分相等,那么根据柯西积分定理,函数 $f(x)$ 在点 $a$ 和点 $b$ 处的形状应该相同。
柯西积分定理是微积分中一个非常重要的定理,它在很多领域都有广泛的应用。
3.2 柯西积分定理
C
0
Γ
sin x d x cos x
2
2 0
1 cos 2 .
问: 是否可以直接计算？
即 I sin z d z sin z d z cos z
C
0 2
2 0
1 cos 2 .
五、原函数
§3.2 柯西积分定理
一、柯西积分定理 二、闭路变形原理 三、复合闭路定理 四、路径无关性 五、原函数
一、柯西积分定理
定理 设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析，
P60 定理 3.2
D G
G 为 D 内的任意一条简单闭曲线，
则有
Γ f ( z ) d z 0 .
Green公式
(?) C - R方程
[G( z ) H ( z )] G( z ) H ( z ) f ( z ) f ( z ) 0 ,
G( z ) H ( z ) c , 其中，c 为任意常数。
定义 函数 f ( z ) 的原函数 F ( z ) c 称为 f ( z ) 的不定积分，
F F ( z Δ z ) F ( z ) 1 zΔ z 证明 (1) f ( ) d , z z z z (思路)
(跳过?)
1 zΔ z f (z) f ( z ) d , z z
F 1 f (z) z | z |
z
zΔ z
| f ( ) f ( z ) | ds,
f (z) dz
f (z) dz
C2
f (z) dz .
可见，解析函数在单连域内的积分只与起点和终点有关，
柯西定理与留数定理的应用
柯西定理与留数定理的应用柯西定理和留数定理是复变函数理论中的两个重要定理，它们在数学分析、电磁学、流体力学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍柯西定理和留数定理的基本概念，并讨论它们在实际问题中的应用。
1.柯西定理柯西定理是复变函数中的一个核心定理，它建立了复变函数在闭合区域内的全纯性与边界上的积分之间的联系。
若$f(z)$是沿逆时针方向取正的简单闭曲线$\Gamma$内的解析函数，那么对于闭合曲线$\Gamma$围成的任一区域$D$内的任意一点$z_0$，都有如下公式成立：$$f(z_0)=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_\Gamma \dfrac{f(z)}{z-z_0}\mathrm{d}z$$其中，积分路径$\Gamma$也围成区域$D$。
这个公式又叫做柯西积分定理。
柯西定理的应用很广泛，比如在研究解析函数的全纯性的时候，柯西定理可以通过积分的方式得到函数的导数，从而进一步研究它的全纯性。
此外，在实际问题中，我们也经常会用到柯西积分定理。
2.留数定理在柯西定理的基础上，留数定理将解析函数的全局性转化为它的局部性质，关注函数在离散点的特征。
留数定理是复变函数中的一个重要定理，它描述了解析函数在离散点处的奇异性，并提供了求解积分的有效方法。
设$f(z)$在点$a$的领域内除去点$a$外是解析函数，则$f(z)$在$a$处的留数为$$\operatorname{Res}(f,a)=\dfrac{1}{2\pi i}\oint_\Gammaf(z)\mathrm{d}z$$其中，积分路径$\Gamma$是围绕点$a$以逆时针方向旋转的一个充分小的圆。
留数定理的一个重要应用是求解积分。
对于一个有理函数$f(z)$，可以通过分解分母，分别计算每个分式的留数，将它们加起来得到整个积分的值。
此外，在实际问题中，留数定理也可以解决一些看似棘手的问题。
比如，在电路分析中，我们可以通过留数定理求解电路中的电流和电压分布。
在实际应用中柯西积分公式的用途 正文
在实际应用中柯西积分公式的用途1 前言《复变函数论》是高师院校数学与应用数学专业的必修课，同时也是综合性大学理工科的基础课程，是实变函数微积分的推广和发展，其中柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数理论的基础，是研究复变函数理论的关键，也是19实际最独特的创造，是抽象科学中最和谐的理论之一．许多重要的性质定理由它们直接或者间接推导出来的．柯西积分公式是复变函数的基本公式，是解析函数的一种积分表达式，它深刻地反映了解析函数在解析区域内边界值与内部值的关系．柯西积分公式的基本理论和相关性质已经有了详细而全面的阐述．但柯西积分公式仍然存在一些有待解决和完善的方面．有些理论的证明比较复杂，为初学者带来了诸多的不便；柯西积分公式只给出了求解光滑周线域的复积分方法；已经证明了的理论给出的例题还不够．考虑到柯西积分公式是复变函数积分的基础，对其进行研究具有较强的理论意义和现实意义．通过阅读大量的专著，期刊还有网上的资料，本文将对复变函数中的柯西积分公式和它的几个重要的推论的意义及其性质进行归纳总结，并举出相应的例子，化抽象为具体；还将对柯西积分公式的使用条件和使用方法进行总结；然后总结归纳参考文献中得到的结论，并试图将归纳得到的这些结论做进一步的推广；在论文的最后，会选取一些经典例题做供大家参考！为完成本文我查阅大量的相关资料，力求把课本上的知识运用到实践中去．2 预备知识2.1 柯西积分定理设函数)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析，C 为D 内任一条周线，则0)(=⎰cdz z f ．2.2 推广的柯西积分定理设C 是一条周线，D 为C 之内部，函数)(z f 在闭域C D D +=上解析，则0)(=⎰cdz z f ．2.3 复周线柯西积分定理设D 是有复周线---++++=n C C C 210C C 所围成的有界1+n 连通区域，函数)z (f在D 内解析，在C D D +=上连续，则0)(=⎰cdz z f ．2.4 柯西积分公式设区域D 的边界是周线(或复周线)C ，函数)(z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则有⎰-=c d zf i z f ζζζπ)(21)( (D z ∈)． 3 柯西积分公式的推论3.1 解析函数平均值定理如果函数)(z f 在R z <-0ζ内解析，在闭圆R z ≤-0ζ上连续，则ϕππϕd e R z f z f i ⎰+=2000)(21)(，即)(z f 在圆心0z 的值等于它在圆周上的值的算术平均数． 证：设C 表示圆周R z =-0ζ，则πϕζϕ20,0≤≤=-i e R z ， 即ϕζi e R z +=0，由此 ϕζϕd e iR d i =， 根据柯西积分公式⎰⎰+=-=c i i i c d e R e iR e R z f i d z f i z f ϕπζζζπϕϕϕ)(21)(21)(000ϕππϕd e R z f i ⎰+=200)(213.2 高阶导数公式设区域D 的边界是周线(或复周线)C ，函数)(z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则函数)(z f 在区域D 内有各阶导数，并且有),2,1()()()(2!)(1)( =∈-=⎰+n D z d z f i n z f c n n ζζζπ这是一个用解析函数)(z f 的边界值表示其各阶导函数内部值的积分公式．现行教材中，仅应用数学归纳法证明了它的特殊形式——高阶导数公式，而数学归纳法比较繁琐．下面首先给出引理，然后利用该结论导出高阶导数公式一种简单的证明．引理 设Γ是一条可求长的曲线，)(z f 是Γ上的连续函数，对于每个自然数m 及复平面C 上的每个点Γ∉z ，定义函数⎰Γ-=ζζζd z f z F m m )()()(那么每个)(z F m 在区域Γ-=C D 上解析，且)()(1z mF z F m m +='证明：首先证明)(z F m 是区域G 上的连续函数，即要证明，对于G 内的任意点a ，不论0>ε多么小，总存在0>δ，只要δ<-a z （z 在G 内的点），就有ε<-)()(a F z F m m ．因为]))((1)()(1)()(1)[()()(1)11()(1)(12111mm m mk k k m m m a z a z a z a z a z a z a z --++--+---=-----=----=--∑ζζζζζζζζζζζζ (1)所以ζζζζζζζζζζζd az az f a z d a f z f a F z F mmmm m m ]11[)(])()()()([)()(--++---≤---=-⎰⎰ΓΓ（2）因为)(z f 在Γ上连续，所以存在某个常数0>M ，使得对于Γ上一切点ζ，M f ≤)(ζ．设a 与Γ的距离为r ．那么对于任意Γ∈ζ及2ra z <-，有2,2rr z r r a >≥->≥-ζζ．于是有（2）得 l rMm a z a F z F m m m 1)2()()(+-<-，其中l 为曲线Γ的长．令 lMm r a z l r Mm a z m m m 1112)2(+++<-⇒<-εε． 取 )21,2min(11l Mm r m m ++=εδ． 那么，当δ<-a z ，就有ε<-)()(a F z F m m ．其次证明)(z F m 在区域G 上解析，且满足)()(1z mF z F m m +='，在G 内任取一点a ，设a z G z ≠∈,，由（1）得⎰⎰Γ-Γ---++--=--ζζζζζζd za z f d z a z f a z a F z F mm m m ))(()())(()()(1 ，因为Γ∈a ，所以对于满足不等式m k ≤≤1的每个k ，kz z f --))((ζ在Γ上连续．根据前一部分的证明，上式右边的每个积分都在G 上定义了一个变量z 的连续函数，因此，当a z →时的极限存在，即)()()()()()(111a mF d z f d a f a F m m m m+Γ+Γ+=-++-='⎰⎰ζζζζζζ ．对于G 内的一切a 均成立．下面使用这个引理证明高阶导数公式:证明：由柯西积分公式，对于G 内的任意点z ，有 ⎰Γ-=ζζζπd zf i z f )(21)(，⎰Γ-=ζζζπd z f i z F m m )()(21)(． 记)()(1z F z f =根据引理，)(!)()(!3)(!2)()(!2)()()()()(1)(433221z F m z fz F z F z f z F z F z f z F z F z f m m +=='='''='=''='='即 ⎰Γ+-=ζζζπd z f i m z f m m1)()(2!)(． 3.3 柯西不等式设函数)(z f 在区域D 内解析，a 为D 内一点，以a 为心作圆周R a r =-ζ:，只要r及其内部K 均含于D ，则有,2,1,)(max )(,)(!)()(==≤=-n z f R M RR M n a fR a z n n ． 证：由上面的推导可由柯西积分公式得到高阶导数公式，下面再有高阶导数公式证明柯西不等式．应用上面得到的定理，则有nn c n n R R M n R R R M n d a f i n a f )(!2)(2!)()(2!)(11)(=⋅⋅≤-=++⎰ππζζζπ注：柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式，说明解析函数在解析点a 的各阶导数的估计与它的解析区域的大小密切相关．3.4 刘维尔定理 有界整函数)(z f 必为常数证：设)(z f 的上界为M ，则在柯西不等式中，对无论什么样的R ，均有M R M ≤)(．于是命1=n 时有RMa f ≤')(， 上式对一切R 均成立，让+∞→R ，即知0)(='a f ，而a 是z 平面上任一点，故)(z f 在z 平面上的导数为零，所以，)(z f 必为常数3.5 摩勒拉定理若函数)(z f 在单连通区域D 内连续，且对D 内任一周线C ，有 0)(=⎰cdz z f ，则)(z f 在D 内解析．证：在假设条件下，即知)()()(00D z d f z F zz ∈=⎰ζζ在D 内解析，且)()()(D z z f z F ∈='．但解析函数)(z F 的导函数)(z F '还是解析的．即是说)(z f 在D 内解析．4 奇点在积分路径C 上的柯西积分公式我们一般讨论的复积分，要就被积函数在积分路径上有界，并且奇点不在积分路径上，这类积分可以直接套用柯西积分公式可求，如果积分路径上存在奇点，就不满足条件了，就不能直接用柯西积分公式了，此时一般用复积分概念，利用极限来求解，但比较复杂，甚至求不出结果．下面结合Holder 条件和奇异积分相关知识，对被积函数分析变形，针对奇点在积分路径上的复积分得出一种新的求解公式．定义1 设C 是复平面内的简单逐段光滑曲线，C z ∈0，函数)(z f 在}{0z C -上连续，在0z 附近无界，在C 上0z 的两边各取一点21,z z ，若⎰-→21021,,)(limz z c z z z dz z f存在，则称此极限值是f 沿C 的奇异积分，记为⎰⎰-→=21021,,)(lim)(z z c z z z cdz z f dz z f定义2 设C 是复平面内的简单逐段光滑曲线，C z ∈0，函数)(z f 在}{0z C -上连续，在0z 附近无界，以0z 为心、充分小的正数ε为半径做圆周，使它与C 的交点恰为21,z z ，若极限dz z z z f i z z c ⎰-→-21,00)(21limπε存在，则称此极限值是f 沿C 的柯西主值积分，记为dz z z z f i dz z z z f i z z c c ⎰⎰-→-=-21,000)(21lim )(21ππε 定理1 设C 施光滑曲线，取正向，若f 满足Holder 条件，即 )10(,)()(2121<≤-≤-a z z K z f z f a（其中a K ,都是实常数，21,z z 是C 上任意两点）则称柯西主值积分存在，且有)(),(21)(21)(210000C z z f dz z z z f i dz z z z f i c c ∈+-=-⎰⎰ππ证：dz z z dzi z f dz z z z f z f i dz z z z f i z z c z z c c ⎰⎰⎰---+--=-2121,00,0002)()()(21)(21πππ 又 )0(,)]arg()[arg()]log()[log(102010201,021→→---=---=-⎰-επi z z z z i z z z z dz z z z z c（其中)log(0z z -为21,z z c -上任意连续分支，ε=-=-0201z z z z ），)]arg()[arg(0201z z z z ---为当z 从2z 沿21,z z c -变动到1z 时0z z -的幅角改变量，当0→ε即02,1z z z →时，它的极限值为π．又因为)(z f 满足Holder 条件，即az z Kz z z f z f --≤--1000)()( 而10<≤a ，则积分 dz z z z f z f i c ⎰--00)()(21π 存在． 于是，得⎰⎰⎰--→-+--=-c z z c z z c z z dzi z f dz z z z f z f i dz z z z f i ]2)()()(21[lim )(212121,,000000πππε )(21)()(21000z f dz z z z f z f i c +--=⎰π定理2 若C 是简单逐段光滑曲线，D 是以C 为边界的有界单连通区域，)(z f 在D 内解析，在}{0z D -上连续)(0C z ∈，在0z 的邻域有K z D z a z z K z f a},{,10,)(00-∈<≤-≤为常数则0)(=⎰dz z f c．证：以0z 为心，充分小的0>ε为半径作圆，在C 上取下一小段弧εC ，在D 内得到圆弧εL ，取正向，有柯西积分定理,0)()(=+⎰⎰--εεL c c dz z f dz z f设εL 的参数方程为,,210θθθεθ<≤=-i e z z)0(,0)()(121021→→-==-≤-⎰⎰⎰εθθθθεεεεθθaL a aL K d K dz z z K dz z f ． 故0)(lim )(lim )(00=+=⎰⎰⎰-→→εεεεc c L cdz z f dz z f dz z f定理3 设区域D 的边界是周线（或复周线）C ，)(z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，且在C 上)(z f 满足Holder 条件，则有)(,)(21)(21000C z z z z f i z f c ∈-=⎰π 此式称为0z 在边界C 上的柯西积分公式． 证：)(z f 满足Holder 条件，则有)10(,)()(2121<≤-≤-a z z K z f z f a那么由定理1知： )(),(21)(21)(210000C z z f dz z z z f i dz z z z f i c c ∈+-=-⎰⎰ππ而)10(,)()(1000<≤-≤---a z z Kz z z f z f a于是由定理3得 0)()(00=--⎰dz z z z f z f c故有)(,)(21)(21000C z dz z z z f i z f c ∈-=⎰π 另外，当C 是复平面内的简单逐段光滑曲线，C z ∈0，函数)(z f 在}{0z C -上连续，在0z 附近无界，以0z 为心、充分小的正数ε为半径做圆周，使它与C 的交点恰为21,z z ，若极限dz z z z f i z z c ⎰-→-21,00)(21limπε不一定存在．因此，此时的柯西积分主值不能确定，故此时0z在边界C 上的柯西积分公式也不能确定．5.3 柯西积分公式的方法与技巧柯西积分公式是复积分基本公式，是解析函数的一种积分表达式，它深刻地反映了解析函数在解析区域内边界值与内部值的关系．解析函数的高阶导数给我们一个利用导数来求积分的公式，是求沿闭曲线的积分更加简洁．而尤其重要的是，高阶导数公式告诉我们：只要函数)(z f 在D 内处处可导（解析），则它的各阶导数在区域D 内存在．到此为止，我们已经掌握了关于复积分计算的基本定理和公式．因此，计算复积分不再是应用某一定理或某一公式，而往往是同时应用几个定理或几个公式，这就要求我们加强对综合问题的分析、研究和求解能力的培养．当被积函数为有理函数或被积函数可化为分母为多项式的函数式，如果在封闭曲线C 内含有分母的一个零点而分子在C 内处处解析（即对⎰cdz z g )(，0)()(z z z f z g -=或10)()(+-n z z z f ，0z 在C 内，而)(z f 在C 内处处解析），则可直接应用柯西积分公式或高阶导数公式来计算积分．而在有理函数情形，若C 内含有分母一个以上零点而分子解析，则要先将被积函数化为部分分式，然后依据具体问题是用恰当的方法去求积．6 举例应用例1 计算积分x y x C zz dz c 4:,cos )4(222=+-⎰． 解：化x y x 422=+为4)2(22=+-y x ，即22=-z ．C 内有奇点2,2π，作以2π和2为心的位于C 内的互不相交且互不包含的小圆周1C 和2C ，依复闭合定理与柯西积分公式，有]2cos 41164[2]cos )2(1[2]41[22cos )2(1cos 11cos )4(cos )4(cos )4(222222222121+-=++-=-++-=-+-=-==⎰⎰⎰⎰⎰πππππi zz i z i dz z z z dz z z zz dzz z dz z z dz z z c c c c c例2 计算积分 （1）⎰=-++1)3141(z dz z z ，（2）⎰=-++4)3141(z dz z z分析：（1）和（2）的主要区别在于积分路径上是否存在奇点，（1）的结果很好求，符合积分定理的条件，可直接使用柯西积分定理．（2）应为奇点4-=z 在积分路径上，所以就不能直接用柯西积分定理来求，但满足定理3条件，可利用定理3求值．解（1）直接用柯西积分定理得034)3141(111=-++=-++⎰⎰⎰===z z z z dzz dz dz z z （2）因为 ⎰⎰⎰===-++=-++44434)3141(z z z z dz z dz dz z z又有柯西积分公式有 i i z dzz z ππ2|12334=⨯=-==⎰ 由定理3有 i z f i z dzz z ππ=⨯=+-==⎰4040|2)(24 所以 i i i dz z z z πππ32)3141(4=+=-++⎰= 例3 计算积分⎰+∞sin dx x x分析：此题如果用广义积分来求解，计算繁冗，有一定难度，但通过变形，转化为复数，利用定理3求解就简单多了．解：dx ix xi x dx x x dx x x dx x x R R RR R R ⎰⎰⎰⎰+-+-+∞→+∞→+∞∞-+∞+===sin cos lim 21sin lim 21sin 21sin 0dx xe i dx ix e RR ixR R R ix R ⎰⎰+-+-+∞→+∞→==lim 21lim 21（其中经过定积分的计算可以得到积分⎰+-=RRdx x x0cos ） 设ize zf =)(，)(z f 满足Holder 条件，且zz f )(的奇点0=z 在积分路径上，由定理3得i z f i dz z e dx x e z izR RixR ππ==+=Γ+-⎰⎰000|2)(2（其中R Γ是连接R -和R +的一段弧，则],[R R C R +-+Γ=是闭曲线）由约当引理知0=⎰Γdz ze R iz所以 221lim 21sin 0ππ=⨯==⎰⎰+-+∞→+∞i i dx x e dx x x R R ix R 例4 求积分⎰-c dz z z 14sin2π（1）211:=+z C （2）211:=-z C （3）2:=z C解：（1）211:=+z C ，则D ∈-1由于)1(14sin 14sin 2---=-z z z z z ππ选取14sin )(-=ξξπξf )(ξf 在D 内解析，在C D D +=上连续，故由柯西积分公式有：i if d f dz z zc c πξπξξξπξ22|)(2)1()(14sin12==--=--=⎰⎰ （2）211:=-z C ，可见D z ∈=1，而D ∉-1因此将被积函数做如下变形：114sin 14sin 2-+=-ξξξπξξπ选取14sin )(+=ξξπξf ，)(ξf 在D 内解析，在C D D +=上连续，故由柯西积分公式有： i if d f dz z z c c πξπξξξπξ22|)(21)(14sin12==-=-=⎰⎰ （3）2:=z C ，则D z ∈±=1这样D 内有两个点．依柯西积分公式将积分化成两个复积分求之，有：⎰⎰⎰⎰+--=+-=-c c c c dz z z dz z z dz z z dz z z 14sin 2114sin 21)1)(1(4sin 14sin2ππππ i i i πππππ2))4sin(24sin 2(21=--= 例5 计算积分dz z z z I z ⎰=-+-=222)1(12． 解：有高阶导数公式可得：i z z i I z ππ6|)12(212='+-⨯==．例6 计算积分 dz z z e I z z⎰=+=23)1(． 解：被积函数 3)1(+z z e z 在区域2≤z 内有0,1-两个奇点，运用挖奇点法，分别以0,1-为圆心作互不相交的小圆21,C C 且21,C C 包含在2=z 内．由柯西积分公式和高阶导数公式有03133|])1([2|)(!22)1()1(21=-=++''=+++=⎰⎰z z z z c z c zz e i z e i dz z z e dz z z e I ππ )52(25i ei i e πππ-=+-= 例7 求积分dz z e z nz⎰=1，其中n 为整数． 解：当0≤n 时，n zze 在1=z 上及其内部解析，由柯西积分定理得 01=⎰=dz z e z nz当1=n 时，由柯西积分公式得i e i dz ze z z z n zππ2|)(201====⎰ 当1>n 时，由高阶导数公式知：)!1(2|)()!1(20)1(1-=-==-=⎰n i e n i dz z e z n n z n z ππ参考文献[1] 钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,2009[2] 孙清华,孙昊.复变函数内容、方法和技巧[M].武汉:华中科技大学出版社,2003[3] 西安交大.复变函数第四版[M].西安:高等教育出版社,2007[4] 杨丽,张伟伟.柯西积分公式的应用[J].沧州师范专科学校学报.2006,22(3):65-67[5]易才凤,潘恒毅.柯西积分公式及其在积分中的应用[J].江西师范大学学报.2010,34 (1):5-7,12[6] 邱双月.复积分的计算[J].邯郸学院学报.2009,19 (3):57-60z在积分路径c上的柯西积分公式[J].阜阳师范学院学报.2004,21[7] 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柯西积分定理及其应用
f ( z) f ( z) d z闭路变形原理 dz z z0 z z0 z z0
f z f z0 0
f ( z0 )
z z0
1 d z 2 π if ( z0 ). z z0
C
z0
D
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
1 0
sin 1 cos1
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例3 计算
解：
2z
3i
i
e
2z
dz
3 i
i
1 3 i 2 z e dz e d (2 z ) 2 i
1 2 z 3i 1 6i 2i e e e 0. i 2 2
所围成的多连通区域， f ( z )在D内解析.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
在D D 上连续, 则
D
C
或
Hale Waihona Puke f ( z )dz 0Ci
C
f ( z )dz
i 1
n
Ci
f ( z )dz.
复变函数与积分变换
一、柯西积分公式
定理(柯西积分公式) 如果f ( z )在区域D内处处解析， C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D, z0为C内的任一点，则
f ( z0 ) 1 2πi
C
f ( z) d z. z z0
【完整版】柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用
（2012 届）本科毕业论文（设计）题目：柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用学院：教师教育学院专业：数学与应用数学（师范）班级：数学082学号：姓名：指导教师：完成日期：教务处制诚信声明我声明，所呈交的论文(设计)是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文(设计)中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得＿＿＿＿＿＿或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。
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论文(设计)作者签名：签名日期：年月日授权声明学校有权保留送交论文（设计）的原件，允许论文（设计）被查阅和借阅，学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容，可以影印、缩印或其他复制手段保存论文（设计），学校必须严格按照授权对论文(设计)进行处理，不得超越授权对论文（设计）进行任意处置。
论文(设计)作者签名：签名日期：年月日柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用王莉莉（嘉兴学院数学与信息工程学院）摘要:复变函数是综合性大学或师院类院校理工专业的必修课，是实变函数微积分的推广和发展.其中柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数理论的基础，是研究复变函数理论的关键.它的核心内容是柯西积分定理,即解析函数沿围线的积分值为零.本文研究了柯西积分定理和柯西积分公式的相关概念、证明、推广及在代数基本定理证明、实积分计算中的应用，论述了柯西积分定理与复变函数的积分有着密切的联系，利用柯西积分定理很容易导出著名的柯西积分公式，还对留数定理作了简要介绍，利用留数定理可以分别得到复变函数中的柯西积分定理、柯西积分公式和高阶导数公式.关键词:复变函数；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理Cauchy Integral Theorem and Cauchy Integral Formulas ofthe Origin and its ApplicationWanglili（College of Mathematics and Information Engineering , Jiaxing University）Abstract:Complex-variable function is a comprehensive university or institute of technology of normal colleges and universities professional required courses. It is real veriables function of the promotion and development of calculus. One cauchy integral theorem and cauchy integral formula is a complex function theory foundation. It is the key of sresearching complex function theory. One of its important contents is the cauchy integral theorem, which says that the integral along a contour of an analytic function is zero. This paper studies the cauchy integral theorem and cauchy integral formula related concepts and prove, promotion and in algebra fundamental theorem of integral proof, in the calculation of the application. It discusses the closely related of the cauchy integral theorem and cauchy complex functions. The famous cauchy integral formula can follows easily from the cauchy integral theorem. Also residue theorem are briefly introduced. Use of residue theorem can get the complex functions respectively cauchy integral theorem and cauchy integral formulas and high derivatives formula.Key words:Complex-variable function;cauchy integral theorem;cauchy integral formula;residue theorem目录1 绪论 (1)1.1 研究背景 (1)1.1.1 复变函数概况 (1)1.1.2 复积分的定义 (2)1.1.3 柯西积分定理的引入 (3)1.2 本文的研究工作 (4)1.3 本文的未来工作 (4)2 柯西积分定理 (5)2.1 柯西积分定理 (5)2.2 柯西积分定理的证明 (5)2.3 柯西积分定理的推广 (6)2.4 柯西积分定理的应用 (9)3 柯西积分公式 (12)3.1 柯西积分公式 (12)3.2 柯西积分公式的证明 (12)3.3 柯西积分公式的推广 (13)3.4 柯西积分公式的应用 (14)4 复变函数积分之间的关系 (18)4.1 柯西积分定理与柯西积分公式的关系 (18)4.2 复变函数积分与留数定理的关系 (19)参考文献 (22)1 绪论1.1 研究背景在18世纪后半叶到19世纪初，开始了复函数的偏导数与积分性质的探索.复分析真正作为现代分析的一个研究领域是在19世纪建立起来的，主要奠基人：柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯.柯西建立了复变函数的微分和积分理论.1814年、1825年的论文《关于积分限为虚数的定积分的报告》建立了柯西积分定理，1826年提出留数概念，1831年获得柯西积分公式，1846年发现积分与路径无关定理[3].1.1.1 复变函数概况复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况.在很长时间里，人们对这类数不能理解.但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显a ，其中i是虚数单位.以复数作为自变量的函数就叫做复现出来.复数的一般形式是：bi变函数，而与之相关的理论就是复变函数论.解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论.复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学.当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一.复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们之间有着许多的相似之处.但是，复变函数又有与实变函数不同之点,它是数学分析在研究领域的扩展.在我们学习中，要勤于思考，善于比较，既要注意共同点，更要弄清不同点.这样，才能抓住本质，融会贯通.复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容.如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数.复变函数研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具.由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面.利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和支点概念在几何上有非常直观的表示和说明.对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数.黎曼曲面理论是复变函数论和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何性质联系起来.近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学产生了比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质.复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映像理论为它的性质提供几何说明.导数处处不是零的解析函数所实现的映像都都是共形映像，共形映像也叫做保角变换.共形映像在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用.留数理论是复变函数论中一个重要的理论.留数也叫做残数，它的定义比较复杂.应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便.计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁.把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数.广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。
柯西积分公式的应用
柯西积分公式的应用柯西积分公式是复变函数理论中的一个重要公式，它是由法国数学家柯西在19世纪提出的，用于计算复变函数沿封闭曲线的积分。
它在数学和物理学中有着广泛的应用，包括计算复变函数的导数、求解积分、解析函数的展开以及在电磁学中的应用等等。
设函数f(z)在闭合曲线C的内部连续、且在C及其内部全纯，那么对于C内的每一点z来说,我们有f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(w)}{w-z}dw, 其中w是曲线C上的变量，w≠z。
1.计算复变函数的导数f'(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{f(w)}{(w-z)^2}dw.2.计算复变函数的积分柯西积分公式可以用来计算复变函数沿闭合曲线的积分。
由公式可知，对于闭合曲线C上的任意一点z，f(z)可以表示为曲线C上的积分。
因此，我们可以将复变函数的积分转化为对曲线上的积分的计算，从而简化计算过程。
3.解析函数的展开根据柯西积分公式，我们可以将解析函数表示为一个无穷级数的形式，这就是泰勒级数展开。
根据泰勒级数展开，我们可以将一个解析函数表示为以其中一点为中心的一系列点的幂级数之和，从而研究函数在该点的性质。
4.物理学中的应用柯西积分公式在物理学中有着广泛的应用，特别是在电磁学领域。
例如，柯西积分公式可以用来求解电场和磁场的分布，计算电荷的密度、电势差以及导线的电流等问题。
在电磁学的应用中，柯西积分公式常与高斯定律、安培定理等联合使用，以解决实际问题。
以上仅是柯西积分公式的一些基本应用，实际上，柯西积分公式在复变函数论的研究中还有许多深刻的应用，例如，计算留数、求解边界值问题、研究整函数的性质等等。
这些应用不仅在数学领域中起着重要作用，而且在物理学、工程学以及其他各个领域中也具有很高的实用价值。
综上所述，柯西积分公式是复变函数理论中的重要工具，它在数学和物理学中都有广泛的应用。
掌握柯西积分公式的应用，对于深入理解和研究复变函数理论，以及解决相关实际问题具有重要意义。
柯西积分定理和留数定理的应用
柯西积分定理和留数定理的应用柯西积分定理和留数定理是数学中非常重要的概念，它们的应用领域非常广泛，如电动力学、量子力学等等。
在本文中，作者将探讨柯西积分定理和留数定理的应用，并介绍两种定理的定义、性质和推导过程。
一、柯西积分定理柯西积分定理是基于复数理论的一个定理，它描述了一个在某个有界区域内解析的复函数的积分在这个区域的任何路径上都相等。
这个定理在复变函数论中起着非常重要的作用，可以用来计算函数在一个复平面内的积分值，其一般形式如下：设f(z)是在闭合区域D内解析的复函数，而C是D内的一条简单封闭曲线，则有：∮Cf(z)dz=0其中∮C表示C上的积分，它表示为沿C逆时针方向运动时，复函数f(z)在路径上的点z的导数沿路径方向的积分。
柯西积分定理的证明可以用Green定理来完成，即将f(z)表示为实部u(x,y)和虚部v(x,y)的和，将C分为无限小的短线段连接起来，然后套用Green定理将曲线积分转化为面积积分，进而将面积积分转化为两个正交方向上的一阶导数的积分，最后通过偏导数的相等性得证。
柯西积分定理的应用非常广泛，例如它可以用于计算复定积分、判断曲线的正向和逆向等等。
一个经典的例子是计算沿着单位圆逆时针方向运动的积分：∮C(1+z^2)dz这个积分可以使用柯西积分定理来计算，因为f(z)=1+z^2在整个复平面都是解析的。
由柯西积分定理可知，在内部是没有奇点的，因此围绕整个圆形的积分是0。
二、留数定理留数定理是复变函数论中另一个非常重要的定理，它被用来计算复函数在奇点处的积分值。
留数定理也是在解析函数f(z)的基础上得出的，其一般形式如下：设f(z)是在含有奇点z0的开集合U内解析的，那么对于U内的任何简单闭曲线C，都有：∮Cf(z)dz=2πiRes(z0)其中Res(z0)表示f(z)在奇点z0处的留数，它是由f(z)在z0处的误差项决定的。
留数定理的证明可以通过柯西积分定理和对残积的定义进行推导。
3-2柯西积分定理
复 变 函 数 与 积 分 变 换
首先: 若复积分与路径无关,则 C2 对任意围线C,在其上任取两点 C a 按a(起点),b(终点)将曲线C分 C1 成两部分因为积分与路径无关, 所以: f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz 0
C C1 C2
b
反之 : 若对任意围线C, f ( z )沿着C的积分为零 ,
复 变 函 数 与 积 分 变 换
例1 计算积分 z 1
c
1 dz . 2z 3
n
例2 证明 ( z ) d分
哈 尔 滨 工 程 大 学
z 1
1 dz . 2z 3
1 在 z 1 内解析 , 解 函数 2z 3 1 根据柯西定理, 有 z 1 2z 3 dz 0.
哈 尔 滨 工 程 大 学
( z )n 在除点 的整个 z 平面上解析 ,
情况一: 若 C 不包围 点,
( z )n 在 C 围成的区域内解析 ,
复 变 函 数 与 积 分 变 换
由柯西－古萨定理,
c
( z ) dz 0;
n
情况二: 若 C 包围 点,
由上节例1.3可知,
内处处解析 , 由复合闭路定理,
a
C1
复 变 函 数 与 积 分 变 换
2 i , n 1 1 1 ( z a )n dz ( z a )n dz 0, n 1. C C1
哈 尔 滨 工 程 大 学
e 例5 计算积分 dz , 为正向圆周 z 2 z 和负向圆周 z 1 所组成 .
复 变 函 数 与 积 分 变 换
f z dz
(完整版)柯西不等式各种形式的证明及其应用(最新整理)
柯西不等式各种形式的证明及其应用柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。
但从历史的角度讲，该不等式应当称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz 不等式，因为，正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式应用到近乎完善的地步。
柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。
柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。
一、柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //==扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc≥=等号成立条件：三角形式的证明：222111nn n k k k k k k k a b a b ===⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑∑()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()123123112233112233=,,,,,,,,,cos ,,cos ,1n n n n n n m a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m nm nm n a b a b a b a b =⋅=++++==≤∴++++≤令一般形式211212⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k n k k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或、均为零。
数学公式知识：柯西中值定理的定义、证明及其应用
数学公式知识：柯西中值定理的定义、证明及其应用柯西中值定理是微积分中一个重要的定理，它是由法国数学家柯西提出的，用于描述函数在闭区间上的平均变化率与某点的导数之间的关系。
柯西中值定理在微积分和实分析中有着广泛的应用，是许多定理的基础和前提。
本文将对柯西中值定理的定义、证明及其应用进行深入探讨。
一、柯西中值定理的定义：在谈论柯西中值定理之前，我们首先需要了解两个概念：可导和连续。
一个函数在某一点可导意味着它在该点有导数，而一个函数在某一区间上连续意味着它在该区间上没有间断。
柯西中值定理的具体表述如下：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且在开区间(a, b)上可导，那么存在一个点c∈(a, b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
这个定理的含义是，如果一个函数在一个区间上连续并且在该区间内可导，那么在这个区间内一定有一个点，这个点的导数等于函数在这个区间两端的变化率。
二、柯西中值定理的证明：柯西中值定理的证明可以通过拉格朗日中值定理来完成。
拉格朗日中值定理是一个更一般的结论，是柯西中值定理的基础。
它的具体表述如下：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且在开区间(a, b)上可导，那么存在一个点c∈(a, b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
要证明柯西中值定理，我们可以先证明拉格朗日中值定理，然后将其特殊情况代入即可得到柯西中值定理。
首先我们假设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且在开区间(a, b)可导。
为了方便证明，我们引入一个新的函数g(x) = f(x) - (f(b) - f(a))/(b - a)*x，这样g(x)在闭区间[a, b]上连续且在开区间(a, b)可导。
因为g(a) = f(a)和g(b) = f(b)，所以g(a)和g(b)在区间[a, b]内有相同的函数值。
然后我们注意到g(x)在闭区间[a, b]上满足罗尔定理的条件：它在该区间上连续且在开区间(a, b)可导，并且g(a) = g(b)。
柯西中积分值定理
柯西中积分值定理1. 引言柯西中积分值定理（Cauchy’s Mean Value Theorem）是微积分学中的一个重要定理，它建立了函数在闭区间上的平均值与函数在内部某点的导数之间的关系。
这个定理为我们研究函数的性质提供了有力的工具。
本文将从定理的基本概念、证明方法以及应用等方面进行详细介绍。
2. 定义与表述柯西中积分值定理可以通过以下方式进行表述：定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则存在ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a其中，f′(ξ)表示f(x)在点ξ处的导数。
3. 证明思路柯西中积分值定理可以通过罗尔定理来证明。
罗尔定理是微积分学中另一个重要的基本定理，它指出：如果一个函数在闭区间两端点处取得相同的函数值，并且在开区间内可导，则在开区间内至少存在一个点使得该点处的导数为零。
证明思路如下：1.首先，我们定义一个辅助函数F(x)，使得F(x)在闭区间[a,b]上满足罗尔定理的条件。
具体而言，我们可以令F(x)=f(x)−f(b)−f(a)b−a(x−a)。
2.由于f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，因此辅助函数F(x)也满足相应的条件。
3.根据罗尔定理，存在ξ∈(a,b)，使得F′(ξ)=0。
由于F′(x)=f′(x)−f(b)−f(a)b−a ，我们可以得到f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a。
4.因此，根据辅助函数的定义和导数的性质，我们可以得到f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a。
这就证明了柯西中积分值定理。
4. 应用柯西中积分值定理在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：4.1 平均值定理柯西中积分值定理给出了函数在闭区间上的平均值与函数在内部某点处的导数之间的关系。
这个关系可以用来证明平均值定理，即函数在某个点处的导数等于函数在整个闭区间上的平均变化率。
4.2 求解方程柯西中积分值定理可以用来求解一些方程。
柯西定理的分类应用
柯西定理的分类应用摘要柯西定理是复变函数理论中的重要定理之一，它描述了一个解析函数的路径积分与其在该路径围成的区域内的值之间的关系。
该定理在数学和物理学中有广泛的应用，特别是在复积分、复数分析、流体力学以及电磁学等领域。
引言柯西定理最早是由法国数学家柯西在19世纪提出的，其主要内容是：设f(z)是一个解析函数，并且C是一个没有自交的闭合路径，包围了一个有序连通的域G。
那么，对于C内的任意点z，都有$$\oint_C f(z)dz = 0$$这个定理的分类应用包括柯西积分公式和柯西的积分定理。
柯西积分公式柯西积分公式是柯西定理的一个重要推论，它建立了复变函数与它在其内部点的导数之间的关系。
假设f(z)在区域G内解析，C 是G的一个简单闭合路径，z0是C内的一个点，则在C内部的任意点z处，有以下公式成立：$$f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(\zeta)}{\zeta - z} d\zeta$$这个公式表明，如果我们知道了解析函数在闭合路径C上的积分，那么我们就能够计算出函数在C内部的所有点的值。
柯西的积分定理柯西的积分定理是柯西定理的另一个重要推论，它描述了解析函数的全局性质，即函数在路径C内部的积分只与C的边界相关。
假设f(z)在区域G内解析，C是G的一个闭合路径，则在C内部的任意点z处，有以下公式成立：$$\oint_C f(z)dz = 0$$根据这个定理，我们可以通过计算路径C上的积分来推断解析函数在整个区域G内的性质。
应用领域柯西定理的分类应用不仅仅局限于数学领域，还广泛应用于其他科学领域。
以下是柯西定理的一些主要应用：复积分柯西定理为复积分提供了基础性的理论支持。
复积分在应用中经常用于计算曲线下的面积、计算沿曲线的路径积分等。
通过柯西定理，我们可以将复积分转化为解析函数在围成区域内的积分，从而简化计算过程。
复数分析柯西定理是复数分析中的核心内容之一。
柯西积分定理与留数定理的应用
柯西积分定理与留数定理的应用在数学中，柯西积分定理和留数定理是非常重要的两个定理，它们有广泛的应用。
在本文中，我们将着重讲述其应用。
1. 柯西积分定理的应用柯西积分定理是说，如果在一个连通的区域内给定了一个函数f(x,y)，那么对于这个区域内的任何简单闭合曲线，函数的沿曲线的积分是零。
这个定理在复变函数中有重要的应用。
例如，如果函数是解析函数，则可以用柯西积分定理来证明柯西—黎曼方程；如果函数的奇点数量有限，则可以用柯西积分定理来证明柯西—黎曼方程对于这个函数的任何一个奇点都成立。
另外，柯西积分定理还可以用来求解一些变分问题。
例如，在一个平面区域内悬挂一条链条，如果链条的形状不是直线，而是弯曲的，则根据最小势能原理可以求得链条的形状。
这个求解问题的过程可以用到柯西积分定理。
2. 留数定理的应用留数定理是说，如果f(z)在有限个孤立奇点上解析，那么它沿一个简单闭合曲线的积分等于这些奇点的留数之和。
这个定理在复变函数中有非常重要的应用。
例如，可以用留数定理来证明当f(z)在一个辐角为2pi的扇形区域内解析时，其边界上的积分等于它在极点处的留数之和。
这个定理在求圆弧上的积分时非常有用。
另外，留数定理还可以用来求解一些特殊的积分。
例如，在高等数学中，求取一些复杂函数的积分时，可以将其化为留数的形式，然后求出这些留数再进行计算，这个过程直接用到了留数定理。
3. 应用举例柯西积分定理和留数定理的应用非常广泛，下面我们分别给出几个应用举例。
（1）柯西积分定理在流体力学中应用广泛。
当一个液体被加热时，它会膨胀，但是由于液体是不可压缩的，所以加热会导致液体的密度发生变化。
因此，在液体中的温度场就可以看作是一个可压缩的流，可以用连续体力学中的Navier-Stokes方程来描述。
这个方程的求解可以用到柯西积分定理。
（2）留数定理在电磁场中的应用也非常广泛。
例如，在交流电路中，当电流通过一个电感器时会产生磁场；而当电流通过一个电容器时会产生电场。
【完整版】柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用
（2012 届）
本科毕业论文（设计）
题目：柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用
学院：教师教育学院
专业：数学与应用数学（师范）
班级：数学082
学号：
姓名：
指导教师：
完成日期：
教务处制
诚信声明
我声明，所呈交的论文(设计)是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文(设计)中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得＿＿＿＿＿＿或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。
我承诺，论文(设计)中的所有内容均真实、可信。
论文(设计)作者签名：签名日期：年月日。
复变函数积分数学物理方法柯西定理推论及应用
M Q N 图 2.3
l
P D
定理 3 . 10 设 C C C 柯西定理2 1 2
Cn 是复周线, D I (C )
如果: ( 1) f ( z ) A( D), ( 2) f ( z ) C( D),
C
f ( z )dz f ( z )dz
例
中心，r为半径的正方向，n 为整数
dz 计算 c n 1其中 C 以 z0为 ( z z0 )
2i dz n 1 z z r ( z z ) 0 0
0
n0 n0
f
n
n! z 2 i
z
l
f
n 1
d , n 1, 2,
例 计算积分 I
l z
n
其中 n 为整数。 dz，
【解】 若回路 l 不包含 α，则被积函数在整个复平面上是解 析的，积分等于零；若 l 包含 α，但是 n
0,
则被积函数在
整个 l 内部解析，因而积分为零；对于 l 包含 α，且 n 情况，按照导数的柯西公式，可得：
0的
2i n 1 l ( z ) dz 0 n 1
k 1 k 1 n
n
Ck
C f ( z )dz 0,
f ( z )dz ,
C1
Cn
C3
C
C2
Ck
其中 C 及 Ck 均取正方向; D
这个定理可用来计算周线内部有奇点 的积分!
柯西积分公式
有界区域的单连通柯西积分公式
定理 （柯西积分公式） 如果 f ( z ) 在有界
区域D处处解析，L为D内的任何一条正向简单闭
柯西积分定理的推广及应用
柯西积分定理的推广及应用柯西积分定理是复变函数中的重要定理，它把辐角可微分的函数与圆周积分联系起来。
在此基础上，可以进一步推广柯西积分定理，并应用于更广泛的问题中。
一、推广1. 单连通域的柯西积分定理柯西积分定理适用于单连通域（一个没有洞的域）内的函数，如果域内存在洞，那么就需要推广柯西积分定理。
对于一个有洞的单连通域Ω，可以将它拆分成若干个单连通域，再用柯西积分定理求得每个单连通域内的圆周积分。
最后将这些圆周积分相加即可得到整个Ω内的积分。
2. 多连通域的柯西积分定理如果一个域内有多个不相交的单连通域，那么就需要推广到多连通域的柯西积分定理。
对于一个多连通域Ω，可以先将它划分为若干个单连通域Ω1,Ω2,…,Ωn，再分别在每个单连通域上应用柯西积分定理，最后将得到的积分相加即可。
3. 超越路径的柯西积分定理除了圆周积分以外，还可以使用其他路径进行积分，比如抛物线、双曲线、椭圆等。
这些路径被称为超越路径，它们的长度和弧长都可计算。
对于一个圆心为a，半径为r的圆周C，可以将它参数化为：z=a+re^{it}，0\leq t\leq 2\pi对于一条参数化的超越路径L，我们可以使用公式计算其参数表示：z=z(t)，a\leq t\leq b然后将积分式中的z(t)替换成其参数表示式即可。
二、应用推广的柯西积分定理在实际问题中有广泛的应用，比如：1. 应用于边值问题对于某些偏微分方程的边值问题，可以通过将问题转化为柯西积分问题来求解。
比如，对于拉普拉斯方程的边值问题，可以使用柯西积分定理将其转化为圆周积分问题，然后通过圆周积分的计算求解。
2. 应用于数学物理问题在数学物理领域，柯西积分定理也有着广泛的应用。
比如，它可以用于求解电磁场问题、流体力学中的流场问题等。
3. 应用于许多其他领域柯西积分定理还可以用于解析数论、复分析、半群论等许多其他领域中的问题。
例如，它可以用于证明某些初等函数无法写成有理函数的形式、进行复积分的计算、证明解析函数的极值存在等。
柯西定理及其应用
柯西定理及其应用柯西定理是高等数学中一个非常重要的定理，它具有广泛的应用价值。
本文将介绍柯西定理的定义、性质以及它在实际问题中的应用。
一、柯西定理的定义与性质柯西定理又称柯西积分定理。
它是指：设 $D$ 是一个有界闭区域， $\gamma$ 是 $D$ 的分段光滑的封闭曲线， $f(z)$ 在 $D$ 内解析，则对于 $\gamma$ 内任意一点 $z_0$，有：$$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma\frac{f(z)}{z-z_0}dz$$其中，积分号表示沿着曲线$\gamma$ 的逆时针方向进行积分。
柯西定理的条件可以简化为“如果一函数在某个区域内解析，那么它一定满足柯西积分定理”。
柯西定理的另外一个重要性质是：对于解析函数 $f(z)$，若在某个区域内 $f(z) \neq 0$，那么解析函数 $\frac{1}{f(z)}$ 的奇点只能是 $f(z)$ 的奇点。
二、柯西定理的应用1. 求解，证明和推广一系列积分公式由柯西定理可以得出各种积分公式，如：单极点在区域内的留数公式、单极点留数定理，在有界区域内的逆时针方向围道的积分为 $0$ 等。
2. 求解复积分问题通过柯西定理可以将复积分转换为区域内一些简单的曲线积分。
这样就可以极大地简化计算过程。
3. 用于求解热传导方程热传导方程是数学中的一个经典问题，柯西定理可以用于求解这个问题。
通过对热传导方程进行变量分离，得到一个复数形式的函数，在柯西定理的条件下求出该函数的值，再回代到原方程中，从而得到解。
4. 用于量子力学和场论中的计算柯西定理也被广泛应用于量子力学和场论中的计算过程中。
在这两个领域中，计算中会用到许多复数形式的函数，柯西定理可以帮助我们将这些复数形式的函数转换为曲线积分的形式，进而化简计算。
三、总结柯西定理是高等数学中的一个非常重要的定理，它将解析函数与曲线积分联系起来，具有广泛的应用价值。
(完整版)柯西定理及其应用
(完整版)柯西定理及其应用柯西定理及其应用柯西定理是分析数学中的一个重要定理，它在复变函数理论中有着广泛的应用。
本文将介绍柯西定理的原理以及它在几个具体问题中的应用。
柯西定理的原理柯西定理是指在复平面上，如果一个函数在一个简单闭合曲线内是全纯的（即在该曲线内的每个点上有定义且可导），那么该函数在这个曲线内的任何一点的复积分都等于零。
具体来说，设函数f(z)在曲线C内是全纯函数，则对于曲线C内任意一点z0，有以下公式成立：∮C f(z)dz = 0其中∮C表示沿曲线C的积分，f(z)dz表示f(z)乘以dz的积分。
柯西定理的应用柯西定理在许多问题的求解中起着关键作用。
下面将介绍其中几个经典的应用。
1. 柯西积分公式柯西积分公式是柯西定理的一个重要推论。
它表明，如果函数f(z)在一个围绕点z0的简单闭合曲线内是全纯的，那么函数f(z)在该曲线内的任意一点z的导数可以通过曲线上的积分来计算。
具体来说，如果函数f(z)在简单闭合曲线C内是全纯的，那么对于曲线C内任意一点z，有以下公式成立：f^(n)(z0) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{C} \frac{f(z)}{(z -z0)^{n+1}}dz其中f^(n)(z0)表示f(z)在z0处的n阶导数。
2. 柯西积分定理柯西积分定理是柯西定理的另一个重要推论。
它表明，如果函数f(z)在一个简单闭合曲线内是全纯的，那么函数f(z)在该曲线内的积分只取决于曲线C所围成的区域，而与曲线C的具体形状无关。
具体来说，如果函数f(z)在简单闭合曲线C内是全纯的，那么对于曲线C内的两条等价曲线C'和C''，有以下公式成立：\int_{C'} f(z)dz = \int_{C''} f(z)dz其中C'和C''是等价曲线，即它们由于同一个简单闭合曲线而围成的区域相同。
3. 柯西不等式柯西不等式是柯西定理的一个重要推论。
柯西积分公式的应用
柯西积分公式的应用柯西积分公式是高等数学中的一个重要公式，它在复分析、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
柯西积分公式的应用之一是计算复变函数的积分，可以通过柯西积分公式将积分问题转化为解析函数在闭合曲线上的积分。
在本文中，我将讨论柯西积分公式的应用。
若f(z)在闭合曲线上连续，在曲线内部有一个解析函数F(z)，则有∮[f(z)/(z-a)]dz=2πiF(a)其中，∮代表沿着闭合曲线的积分，a代表曲线内部的一点，i为虚数单位。
1.计算复变函数积分：例如，要计算函数f(z)=exp(z)/z在围绕原点的单位圆上的积分，可以选择解析函数F(z)=exp(z)。
根据柯西积分公式，有∮[exp(z)/(z-a)]dz=2πiF(a)。
原函数的积分为f(z)=2πiexp(z)，即在单位圆上的积分为2πi。
2.解析函数展开：例如，要展开函数f(z)=1/(z-a)在围绕a的单位圆上的展开形式，可以选择解析函数F(z)=1、根据柯西积分公式，有∮[1/(z-a)]dz=2πiF(a)。
即展开系数为1/(2πi)。
3.复数公式中的应用：例如，可以使用柯西积分公式证明复平面上的柯西黎曼方程。
柯西黎曼方程是复变函数理论中的一个重要定理，它描述了解析函数的充要条件。
通过柯西积分公式，可以得到复平面上的全纯函数必然满足柯西黎曼方程。
此外，柯西积分公式还可以应用于解析函数的边界性质的研究，如解析函数的奇点、极点等。
综上所述，柯西积分公式在计算复变函数积分、解析函数展开和复数公式中起着重要的作用。
它不仅提供了一种计算复变函数积分的方法，还为解析函数的展开、复数公式的推导以及解析函数的边界性质研究提供了便利。
因此，柯西积分公式在数学和许多应用领域中被广泛使用。
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复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
在D D U上连续, 则
f (z)dz 0
C
D
Ci
n
蜒 或 f (z)dz
f (z)dz.
C
i1 Ci
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
(2) (由复合闭路定理)
蜒 ? 1 dz
dz
dz
C z2 z
C1 z 2 z
C2 z 2 z
蜒 蜒 dz
dz
dz
dz
C1 z 1 z C1
C2 z 1 z C2
C
0 2i 2i 0
C1
C2
0
1
0
函数,且 Fz f z ，其中z0F(z)称为f(z)的原函数.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
结论：f z 的任何两个原函数相差一个常数.算公式。
定理三 如果函数f(z)在单连域 B内处处解析,
z cos z sin z1 sin1 cos1
0
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例7 计算
3i e 2 z dz i
解： 3i e2zdz 1 3i e2zd (2z)
i
2 i
1 e2z 3i 1 e6i e2i 0. 2 i 2
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
二、 解析函数的原函数与等价定理
定理一 如果函数 f z在单连域内处处解析，那
么积分 c f zdz 与连结从起点到终点的路径无关.
定理二 如果函数 f z u iv 在单连域B内处处 解析，那C 末函数 F(B z) z f (z)dz 必为B内的解析
这恰是 f z 解析的必要条件。事实上，当C为单
通域D内的曲线时，该条件也是充分的。
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
一、 柯西积分定理
若函数 f z 在单连通域D内处处解析， 则 f z沿D内的任意一条闭曲线（可以不
是简单的）C有
c f zdz 0
四、闭路变形原理—复合闭路定理的特例
推论：假设C及C1为任意两条简单闭曲线，C1在C内 部，设函数f (z)在C及C1所围的二连域D内解析，在 边界上连续，则
蜒C f z dz C1 f z dz.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例8试求
C
1 z2
z
dz
,
的值，C为包含0和1在内的任何
一条正向简单闭曲线。
1 (z2
z
1 z 1
1) z
解：
(1)
蜒C z
2
1
z
dz
C
dz z 1
?C
dz z
蜒 dz
dz
C2 z 1 z C1
闭路变形原理
2 i 2 i
0
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
三、复合闭路定理—柯西定理在多连域的推广
定理四：
设C1,C2 , , Cn为简单闭曲线 (互不包含且互不相交)，
C为包含C1 , C2 ,
,
C
的简单闭曲线，
n
D为由边界曲线
C C1
C
2
C
n
所围成的多连通区域， f (z)在D内解析.
G(z)为 f (z) 的一个原函数,那么
z2 z1
f (z)dz
G(z2 ) G(z1)
此时实函数积分的换元、分部积分法均可推广使用
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例5 计算
i sin 2 zdz
i
解:
i sin 2 zdz i
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
3.2 柯西积分定理及其应用
回顾
c f z dz c udx vdy c vdx udy
当 u, v 具有连续偏导时，两个对坐标的曲线积分 在单连通域D内与路径无关（或沿单连通域D内 的任意闭曲线为零） vx uy , ux vy
i i
1
cos 2zdz 2
1 2
z
1 2
sin
2z
i i
i 1 sin 2i
2
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
1
例 6 计算 0 z sinzdz
1
解： 0 z sinzdz
1
11
0
zd
c os z
z
c os z
0
0
c os zdz
证明：取
C AB C1 BA
蜒 ?
C
AB
C1
BA C
A
蜒 ?
C
C1
C1
D
B
C1
蜒 0
C
C1
这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在 区域内作连续变形而改变它的值。
------闭路变形原理
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform