高中数学 球的概念
(仅供参考)高中数学几何体外接球求法
高中数学几何体外接球求法一、知识梳理：1．常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的外接圆和内切圆（1）长方形（正方形）的外接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半径为边长的一半；（2）正三角形的内切圆半径：6a 外接圆半径：3a （3）正三角形三心合一，三线合一，心把高分为2:1两部分。
2．球的概念：概念1：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球.定长叫球的半径；概念2：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球3．球的截面：用一平面α去截一个球O ，设OO '是平面α的垂线段，O '为垂足，且OO d '=，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r =球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆.4.空间几何体外接球、内切球的概念：定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
长方体的外接球正方体的内切球5．外接球和内切球性质：（1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
（2）正多面体的内切球和外接球的球心重合。
（3）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
（4）基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
（5）体积分割是求内切球半径的通用做法。
（1）长方体（或各个顶点都落在长方体顶点上的几何体）的外接球半径公式：2222c b a R ++=，,,a b c 分别为长方体共顶点的3条棱长例：三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA 平面ABC，ABBC，又SA=AB=BC=1，则球O 的表面积为()(A)(B)(C)3(D)12（2）正棱锥（底面是正多边形，顶点落在底面中心的几何体）的外接球半径公式：2,2a R h =，a 为侧棱长，h 为正棱锥的高例：如图所示，已知四棱锥P ﹣ABCD 的高为3，底面ABCD 为正方形，PA ＝PB ＝PC ＝PD且AB ＝，则四棱锥P ﹣ABCD 外接球的半径为（）A．B ．2C ．D ．3（3）正四面体外接球半径公式：a 46R =，内切球半径：a 126R =，a 为棱长例：，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．D．6π（4）侧棱垂直于底面的凌锥或棱柱外接球半径公式：22)2(R hr +=，h 为几何体的高，r 为底面图形外接圆半径例：某几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积是（）A ．41πB ．C ．D ．57π（5）求外接球一般方法：找球心求半径例：四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥面ABCD ，PA ＝PD ＝AD ＝3，AB ＝4，则四棱锥ABCD 的外接球的表面积为．三、两种特殊情况1、特殊位置例：在矩形ABCD 中，3,4==BC AB ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（）A.π12125 B.π9125 C.π6125D.π31252、对角线构造例、在三棱锥BCD A -中，2==CD AB ，5==BC AD ，7==BD AC ，则三棱锥BCD A -外接球的表面积是__________．练习1、三棱锥A ﹣BCD 中，，AC ＝BD ＝2，，则该几何体外接球的表面积为．2、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6cm 2，4cm 2和3cm 2，那么它的外接球的体积为______．3、在平行四边形ABCD 中，∠ABD ＝90°，且AB ＝1，BD ＝，若将其沿BD 折起使平面ABD ⊥平面BCD ，则三棱锥A ﹣BDC 的外接球的表面积为．4、若三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，⊥SA 平面ABC ，32=SA ，1=AB ，2=AC ，︒=∠60BAC ，则球O 的表面积为__________．5、已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 是球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（）A.6B.6C.3D.26、三棱锥P ﹣ABC 的底面ABC 是等腰三角形，∠C ＝120°，侧面PAB 是等边三角形且与底面ABC 垂直，AC ＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为．7、某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A ．25πB ．C ．D ．40π8、如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A ．B ．C ．441πD ．31π9、某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A ．36πB ．29πC ．28πD ．25π10、如图，正三棱锥A BCD -的侧棱长为2，底面BCD 的边长为，E 、F 分别为BC 、BD 的中点，则三棱锥A BEF -的外接球半径R =__________，内切球半径r =__________．。
高考数学关于球的知识点
高考数学关于球的知识点在高考数学中，涉及到球体的知识点是较为常见和重要的内容之一。
球体作为一种几何体，具有独特的性质和特点，对于高考来说是必须掌握和理解的知识。
本文将针对高考数学中关于球的知识点进行详细的阐述，希望能够给广大考生带来一些帮助。
一、球的基本概念球是由空间中一点到距离不超过该点到一定正实数为半径的所有点组成的集合。
在数学中，我们用O表示球心，用r表示球的半径。
球表面的所有点到球心的距离都等于半径r，这就是球体的特点。
二、球的性质和运算1. 球的面积和体积球的表面积S和体积V是球的重要性质。
我们可以根据球的半径r计算球的表面积和体积。
球的表面积公式为：S = 4πr²球的体积公式为：V = 4/3πr³2. 球的三视图绘制球的三视图是常见的考点之一。
我们可以通过将球投影到不同的平面上，得到球的正视图、侧视图和俯视图。
球的正视图是一个圆，从正方向看，我们可以看到球的全貌。
球的侧视图是一个点，从侧方向看，只能看到球心。
球的俯视图也是一个圆，从上方向看，可以看到球正上方的面。
3. 球与平面的相交当球与平面相交时，几何问题的解决方法和技巧就会不同。
根据球与平面的相交情况，可以分为以下几种情况：当球与平面相交于一个圆时，我们可以通过求圆的面积和周长等性质来解决问题。
当球与平面相交于两个点时，我们可以通过求两点的距离来解决问题。
当球与平面相切时，我们可以通过求切点的坐标和距离来解决问题。
当球与平面没有交点时，我们可以通过球心到平面的距离来解决问题。
4. 球的旋转体当球沿着某条轴线进行旋转时，我们可以得到球的旋转体。
通过对球的旋转体进行计算，可以求出球的体积和表面积等值。
三、球的应用问题球的知识点在高考数学中有着广泛的应用，不仅在几何题目中常常出现，也涉及到其他学科和领域的问题。
1. 球的容器问题在物理学和工程学中，常常遇到需要计算球的容器问题。
例如，如何选择球形容器的大小，能够完美地容纳某种物质体积，又或者是球形容器与其他形状容器的比较等等。
球的方程式
球的方程式
摘要：
一、引言
二、球的定义与性质
三、球的几何方程式
四、球在数学中的应用
五、结论
正文：
【引言】
球，作为数学中的一个基本概念，无论是在日常生活还是在科学研究中都有着广泛的应用。
本文将主要介绍球的定义、性质，以及其在数学中的重要应用。
【球的定义与性质】
球，通常定义为一个平面上的所有点到某一点的距离都相等的点的集合。
这个点被称为球的球心，而相等的距离被称为球的半径。
根据这个定义，我们可以得知球具有以下几个重要的性质：
1.球心是球的中心，所有直径都相交于球心。
2.半径是球的大小，决定了球的体积和表面积。
3.球是各向同性的，即无论从哪个方向观察，球的形状都是相同的。
【球的几何方程式】
球的几何方程式可以由球心坐标和半径表示。
设球心为(x0, y0, z0)，半径
为r，则球的几何方程式可以表示为：
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = r^2
【球在数学中的应用】
球在数学中有广泛的应用，包括物理学、工程学、计算机科学等。
以下是一些具体的应用：
1.物理学：在物理学中，球常被用来描述行星、原子核等具有球对称性的物体。
2.工程学：在工程学中，球常被用来描述轴承、齿轮等机械零件的形状。
3.计算机科学：在计算机科学中，球常被用来描述三维空间中的数据分布，如球面投影等。
【结论】
总的来说，球作为一个基本的几何概念，在数学中有着广泛的应用。
高中数学中的球体体积计算
高中数学中的球体体积计算在高中数学中，我们经常会遇到求解球体体积的问题。
球体是一种非常特殊的几何体，它具有很多独特的性质和特点。
通过学习球体的体积计算方法，我们可以更好地理解几何学中的一些基本概念和原理。
首先，我们需要了解球体的定义和性质。
球体是由所有到一个给定点的距离不超过一个给定长度的点的集合组成的。
这个给定点叫做球心，给定长度叫做半径。
球体具有对称性，即球心到球体上任意一点的距离都相等。
接下来，我们来讨论如何计算球体的体积。
球体的体积可以通过以下公式来计算：V = (4/3)πr³，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示半径。
这个公式是由数学家阿基米德在古希腊时期首次提出的。
这个公式的推导过程相对复杂，但我们可以通过一些简单的方法来理解它。
首先，我们可以将球体划分为无数个小的体积元素，每个体积元素都是一个小的球体。
然后，我们可以通过求解这些小球体的体积之和来得到整个球体的体积。
当我们将这些小球体的体积之和求极限时，就可以得到球体的体积公式。
在实际应用中，我们经常需要计算球体的体积。
例如，在建筑设计中，如果我们需要设计一个球形的建筑物，就需要计算球体的体积来确定建筑物的大小和空间分配。
在物理学中，球体的体积计算也经常被用于计算物体的密度和质量。
除了球体的体积计算，我们还可以进一步探讨一些相关的问题。
例如，如果我们已知球体的体积，我们可以通过反推来计算球体的半径。
同样地，如果我们已知球体的体积和半径，我们也可以计算球体的表面积。
这些问题都可以通过数学公式和几何原理来解决。
在实际问题中，我们还经常遇到一些特殊的球体体积计算问题。
例如，如果一个球体被切割成两个部分，我们可以通过计算每个部分的体积之和来得到整个球体的体积。
同样地，如果一个球体被放置在一个容器中，我们可以通过计算容器的体积减去球体未被占据的部分的体积来得到球体的体积。
总之，高中数学中的球体体积计算是一个重要的概念和技巧。
通过学习球体的定义、性质和计算方法，我们可以更好地理解几何学中的一些基本原理和应用。
人教版高中数学必修二《球的体积及表面积》
证明:设球的半径为R,则圆柱的底面 半径为R,高为2R.
R
O
（1） S球 4 R 2
2
4 3 R S圆柱全 2 R +2 R 2 R （2） V球 3 2 6 R V圆柱 R 2 2R 2 R 3 2 S 球 S圆柱全 2 V球 V圆柱 3 3
A1
（ 3） D1 C1
O
（ 1）
（ 2）
B1
A （ 4） （ 5） （ 6） B
D
C
（ 7）
（ 8）
（ 9）
类型二、有关球的切、接问题
变式2、在三棱锥S ABC中，SA AB AC 1， BAC SAC =SAB 90, 则三棱锥的外接球的表面积为
S
？
O A C
B
球的体积及表面积
复习
球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半 圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。
A O
（1）半圆的半径叫做球的半径。 半圆的直径叫做球的直径。 （2）半圆的圆心叫做球心。
半径
（3）球的表示： 用表示球心的字 球心 母表示，如球O
B
知识拓展
球的概念：在空间中 与定点的距离等于或小于定长的点 的集合，叫做 球体 ？简称球． 与定点距离等于定长的 点的集合叫做 球面 ． C A R O
类型二、有关球的切、接问题
变式3、在三棱锥S ABC中，SA BC =2， SB=AC 3，SC=AB= 5 则三棱锥的外接球的体积为
A S B1
O
？ A A1 C S1 A D C
D1
C B
B
C
课堂小结
半径（直径） 球心 1、球： 表示：球O
高中内切球知识点总结
高中内切球知识点总结一、内切球概念及性质内切球通常指一个几何图形内部与该图形的每一条边或面都相切的球；或指一个凸多面体内与每个面都相切的球。
在高中数学中，我们通常研究的是平面图形的内切圆和立体图形的内切球。
1. 内切球的定义内切圆：对于一个给定的平面图形，如果存在一个圆，使得该圆恰好与这个图形的边界相切，那么我们称这个圆为这个图形的内切圆。
内切球：对于一个给定的凸多面体，如果存在一个球，使得该球恰好与这个多面体的每个面相切，那么我们称这个球为这个多面体的内切球。
2. 内切球的性质（1）内切球与多边形的关系内切圆与圆内接多边形的面积关系：对于一个正多边形，其内切圆的半径r、多边形的边长a和面积S的关系为：S = πr² = 1/2 * a * r * n（n为边数）内切球与圆锥体的关系：对于一个圆锥体，其内切球与底面和侧面的关系为：r = 1/3 * h （r为内切球的半径，h为圆锥体的高）内切球与立体图形的关系：对于一个立体图形，其内切球的体积一般为4/3πr³，而其立体图形的体积为（4/3πr³） = 1/3 * 原立体图形的体积（2）内切球的作用在实际生活中，内切球有很多实际应用，比如在工程结构中，内切球可以用来计算空心圆柱体的体积；在建筑设计中，内切球可以用来计算建筑物内部的空间利用率等。
二、内切球相关定理和性质内切球相关定理和性质是指与内切球相关的一些数学定理和性质，这些定理和性质在解决内切球问题时起到了重要的作用，通常在高中数学中会涉及到下面这些内切球相关定理和性质：1. 内切球定理关于内切圆和多边形的定理：对于一个正多边形，其内切圆的半径r、多边形的边长a和面积S的关系为：S = πr² = 1/2 * a * r * n（n为边数）。
2. 内切球性质关于内切球和圆锥体的性质：对于一个圆锥体，其内切球与底面和侧面的关系为：r = 1/3 * h（r为内切球的半径，h为圆锥体的高）。
高中数学中的解析几何中的球面
高中数学中的解析几何中的球面解析几何是数学中的一个重要分支，其中的球面是一个常见的几何图形。
本文将就高中数学中的解析几何中的球面进行探讨。
一、球面的定义和性质球面是以一个定点为球心，一个定数为半径所确定的空间图形。
球面上的每一个点到球心的距离都等于半径，这是球面的基本性质。
二、球面的方程和参数方程球面的方程可以用一元二次方程表示，其一般方程为：(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2其中，(a, b, c)为球心的坐标，r为半径。
这是球面的一般方程。
另外，球面还可以用参数方程来表示。
常见的参数方程有：x = a + r*sinθ*cosφy = b + r*sinθ*sinφz = c + r*cosθ其中，θ和φ分别是球面上的两个参数。
三、球面与其它几何图形的关系球面与直线的关系：若一条直线与球面相交，那么直线的方程必须满足球面方程。
球面与平面的关系：一个平面与一个球面相交得到的曲线被称为截折线，当平面与球面相切时，截折线就是一个点。
球面与球面的关系：两个球面的位置关系可以分为四种情况：相离、相切、相交和同心球。
四、球面的应用球面在现实生活中有着广泛的应用。
以下是球面在几个领域的具体应用：1. 天文学：地球可以近似看作一个球面，球面的性质和方程可以帮助我们研究地球的地理和气象现象。
2. 地图制作：地球的表面被投影到一个平面上来绘制地图，这就涉及到了球面与平面的关系，球面的几何性质也被用来进行地图的测量和计算。
3. 球体的表面积和体积：球面的性质可以帮助我们计算球体的表面积和体积，这在工程学和物理学中有着重要的应用。
4. 计算机图形学：计算机图形学中的三维建模和渲染需要用到球面的方程和参数方程，以及球面与其他几何图形的相交关系。
五、总结解析几何中的球面是一个重要的几何图形，具有许多有趣的性质和应用。
通过学习球面的方程和参数方程，以及与其他几何图形的关系，可以加深对解析几何的理解。
球的表面积和体积高中数学北师大版2019必修第二册
3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的
体积为Байду номын сангаас )
4π
2
A. 3
B. 3 π
C. 23π
π D.6
A [由题意得，球的直径为正方体的棱长，即球的半径为1，所 以V球＝43π×13＝43π.]
4．用一个平面截半径为25
cm的球，截面圆的面积是225π
cm2，则球心到截面的距离为________ cm.
20 [由题意知，球的半径R＝25(cm)，易知截面圆的半径r＝ 15(cm)，则球心到截面的距离d＝ 252－152＝20(cm)．]
合作探究 提素养
类型一：球的体积与表面积
【例1】 (1)球的体积是323π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
16π C. 3
64π D. 3
(2)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，
1．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积； (2)已知球的体积为1038π，求它的表面积．
[解] (1)因为直径为2，所以半径R＝1， 所以表面积S球＝4πR2＝4π×12＝4π， 体积V球＝43πR3＝43π×13＝43π. (2)因为V球＝43πR3＝1308π， 所以R3＝27，R＝3，所以S球＝4π×32＝36π.
则圆锥侧面积与球面面积之比是________．
5 (1)B (2) 2 16π.
[(1)
4 3
πR3＝
32 3
π，故R＝2，球的表面积为4πR2＝
(2)设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R，
则由题意得31πr2·h＝43πR3， r＝2R，
∴13π(2R)2·h＝43πR3，∴R＝h，r＝2h，
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B
二、球的截面
R C A r
d D B
性质：1.球心和截面圆心的连线垂直于截面； 2.球心到截面的距离d与球的半径R以及截面圆半径 r 有下面关系： R 2 = r 2 + d 2； 3.与球心距离相等的截面所截得的圆相等。距球心越近，截面圆越大。
三、球的大圆和小圆
d
o
大圆：球面被经过球心的平面所截得的圆 叫做大圆。（d=0 ） 小圆：球面被不经过球心的截面所截得的
2、已知球面上两点A与B的球面距离为5 cm，过这两点的 两条球半径的夹角为AOB=50o，则这个球的半径为______. 18cm 3、过半径为6cm的球的一条半径的中点作一个垂直于该半径
的平面，所得的截面面积为____________. 27 cm2
4、正方体的8个顶点在半径为1的球面上，则此正方体的棱 长为____________. 5、A、B是半径为R的球面上的两点，它们的球面距离为R/2， 则过A，B的平面中，与球心的最大距离为_______.
圆叫做小圆。（0dR ）
（附：当d=R时，平面与球相切）
练习：如果把地球看作是一个球体，请你说出由经纬线所构成的大圆有哪些？
四、球面距离
P O Q
练习： 1、判断正误：（对的打√，错的打×） （1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球。 （2）经过球面上不同的两点只能作一个大圆。 （3）球半径是5，截面圆半径为3，则球心到截面 所在平面的距离为4。 （√ ） （4）球的任意两个大圆的交点连线是球的直径。（√） ） × （ ） × （
球
一、球的概念：
1、球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。
（另一定义：与一定点的距离等于一定值的点的集合叫做球面。）
A
2、球体（球）：球面所围成的几何体叫做球体，即球。 （另一定义：与一定点的距离小于或等于 一定值的点的集合叫做球。）
3、相关概念：球心，球的半径，球的直径。
R
C
O
4、球的表示：若球心为O，则记为：球O。
QB、QC，求QA2+QB2+QC2的值。
解：以QA、QB、QC为三条棱作
A B C Q
出球的内接长方体，则QA2+QB2+QC2
的值等于该长方体的对角线的平方， 即球的直径的平方， QA2+QB2+QC22.球的截面及其性质。 3.球的大圆和小圆。 4.球面距离。 5.应用。
2 R 2 2 3 3
6、球面上有M、N两点，在过M、N的球的大圆O上，弧MN
的度数为90o，在过M、N的小圆O1上，弧MN的度数为120o， 又MN= 3 cm，求OO1的长度及M、N的球面距离。
（ OO1=
2 2
cm，M、N的球面距离为
6 （cm) 4
）
思考题 ￭自半径为R的球面上一点Q作球的三条两两垂直的弦QA、