高中数学 球的概念
(仅供参考)高中数学几何体外接球求法
高中数学几何体外接球求法一、知识梳理：1．常见平面图形：正方形，长方形，正三角形的外接圆和内切圆（1）长方形（正方形）的外接圆半径为对角线长的一半，正方形的内切圆半径为边长的一半；（2）正三角形的内切圆半径：6a 外接圆半径：3a （3）正三角形三心合一，三线合一，心把高分为2:1两部分。
2．球的概念：概念1：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球.定长叫球的半径；概念2：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球3．球的截面：用一平面α去截一个球O ，设OO '是平面α的垂线段，O '为垂足，且OO d '=，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r =球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆.4.空间几何体外接球、内切球的概念：定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
长方体的外接球正方体的内切球5．外接球和内切球性质：（1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
（2）正多面体的内切球和外接球的球心重合。
（3）正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。
（4）基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
（5）体积分割是求内切球半径的通用做法。
（1）长方体（或各个顶点都落在长方体顶点上的几何体）的外接球半径公式：2222c b a R ++=，,,a b c 分别为长方体共顶点的3条棱长例：三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA 平面ABC，ABBC，又SA=AB=BC=1，则球O 的表面积为()(A)(B)(C)3(D)12（2）正棱锥（底面是正多边形，顶点落在底面中心的几何体）的外接球半径公式：2,2a R h =，a 为侧棱长，h 为正棱锥的高例：如图所示，已知四棱锥P ﹣ABCD 的高为3，底面ABCD 为正方形，PA ＝PB ＝PC ＝PD且AB ＝，则四棱锥P ﹣ABCD 外接球的半径为（）A．B ．2C ．D ．3（3）正四面体外接球半径公式：a 46R =，内切球半径：a 126R =，a 为棱长例：，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．D．6π（4）侧棱垂直于底面的凌锥或棱柱外接球半径公式：22)2(R hr +=，h 为几何体的高，r 为底面图形外接圆半径例：某几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积是（）A ．41πB ．C ．D ．57π（5）求外接球一般方法：找球心求半径例：四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥面ABCD ，PA ＝PD ＝AD ＝3，AB ＝4，则四棱锥ABCD 的外接球的表面积为．三、两种特殊情况1、特殊位置例：在矩形ABCD 中，3,4==BC AB ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（）A.π12125 B.π9125 C.π6125D.π31252、对角线构造例、在三棱锥BCD A -中，2==CD AB ，5==BC AD ，7==BD AC ，则三棱锥BCD A -外接球的表面积是__________．练习1、三棱锥A ﹣BCD 中，，AC ＝BD ＝2，，则该几何体外接球的表面积为．2、如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6cm 2，4cm 2和3cm 2，那么它的外接球的体积为______．3、在平行四边形ABCD 中，∠ABD ＝90°，且AB ＝1，BD ＝，若将其沿BD 折起使平面ABD ⊥平面BCD ，则三棱锥A ﹣BDC 的外接球的表面积为．4、若三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，⊥SA 平面ABC ，32=SA ，1=AB ，2=AC ，︒=∠60BAC ，则球O 的表面积为__________．5、已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 是球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（）A.6B.6C.3D.26、三棱锥P ﹣ABC 的底面ABC 是等腰三角形，∠C ＝120°，侧面PAB 是等边三角形且与底面ABC 垂直，AC ＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为．7、某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（）A ．25πB ．C ．D ．40π8、如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A ．B ．C ．441πD ．31π9、某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A ．36πB ．29πC ．28πD ．25π10、如图，正三棱锥A BCD -的侧棱长为2，底面BCD 的边长为，E 、F 分别为BC 、BD 的中点，则三棱锥A BEF -的外接球半径R =__________，内切球半径r =__________．。
高考数学关于球的知识点
高考数学关于球的知识点在高考数学中，涉及到球体的知识点是较为常见和重要的内容之一。
球体作为一种几何体，具有独特的性质和特点，对于高考来说是必须掌握和理解的知识。
本文将针对高考数学中关于球的知识点进行详细的阐述，希望能够给广大考生带来一些帮助。
一、球的基本概念球是由空间中一点到距离不超过该点到一定正实数为半径的所有点组成的集合。
在数学中，我们用O表示球心，用r表示球的半径。
球表面的所有点到球心的距离都等于半径r，这就是球体的特点。
二、球的性质和运算1. 球的面积和体积球的表面积S和体积V是球的重要性质。
我们可以根据球的半径r计算球的表面积和体积。
球的表面积公式为：S = 4πr²球的体积公式为：V = 4/3πr³2. 球的三视图绘制球的三视图是常见的考点之一。
我们可以通过将球投影到不同的平面上，得到球的正视图、侧视图和俯视图。
球的正视图是一个圆，从正方向看，我们可以看到球的全貌。
球的侧视图是一个点，从侧方向看，只能看到球心。
球的俯视图也是一个圆，从上方向看，可以看到球正上方的面。
3. 球与平面的相交当球与平面相交时，几何问题的解决方法和技巧就会不同。
根据球与平面的相交情况，可以分为以下几种情况：当球与平面相交于一个圆时，我们可以通过求圆的面积和周长等性质来解决问题。
当球与平面相交于两个点时，我们可以通过求两点的距离来解决问题。
当球与平面相切时，我们可以通过求切点的坐标和距离来解决问题。
当球与平面没有交点时，我们可以通过球心到平面的距离来解决问题。
4. 球的旋转体当球沿着某条轴线进行旋转时，我们可以得到球的旋转体。
通过对球的旋转体进行计算，可以求出球的体积和表面积等值。
三、球的应用问题球的知识点在高考数学中有着广泛的应用，不仅在几何题目中常常出现，也涉及到其他学科和领域的问题。
1. 球的容器问题在物理学和工程学中，常常遇到需要计算球的容器问题。
例如，如何选择球形容器的大小，能够完美地容纳某种物质体积，又或者是球形容器与其他形状容器的比较等等。
球的方程式
球的方程式
摘要：
一、引言
二、球的定义与性质
三、球的几何方程式
四、球在数学中的应用
五、结论
正文：
【引言】
球，作为数学中的一个基本概念，无论是在日常生活还是在科学研究中都有着广泛的应用。
本文将主要介绍球的定义、性质，以及其在数学中的重要应用。
【球的定义与性质】
球，通常定义为一个平面上的所有点到某一点的距离都相等的点的集合。
这个点被称为球的球心，而相等的距离被称为球的半径。
根据这个定义，我们可以得知球具有以下几个重要的性质：
1.球心是球的中心，所有直径都相交于球心。
2.半径是球的大小，决定了球的体积和表面积。
3.球是各向同性的，即无论从哪个方向观察，球的形状都是相同的。
【球的几何方程式】
球的几何方程式可以由球心坐标和半径表示。
设球心为(x0, y0, z0)，半径
为r，则球的几何方程式可以表示为：
(x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2 = r^2
【球在数学中的应用】
球在数学中有广泛的应用，包括物理学、工程学、计算机科学等。
以下是一些具体的应用：
1.物理学：在物理学中，球常被用来描述行星、原子核等具有球对称性的物体。
2.工程学：在工程学中，球常被用来描述轴承、齿轮等机械零件的形状。
3.计算机科学：在计算机科学中，球常被用来描述三维空间中的数据分布，如球面投影等。
【结论】
总的来说，球作为一个基本的几何概念，在数学中有着广泛的应用。
高中数学中的球体体积计算
高中数学中的球体体积计算在高中数学中，我们经常会遇到求解球体体积的问题。
球体是一种非常特殊的几何体，它具有很多独特的性质和特点。
通过学习球体的体积计算方法，我们可以更好地理解几何学中的一些基本概念和原理。
首先，我们需要了解球体的定义和性质。
球体是由所有到一个给定点的距离不超过一个给定长度的点的集合组成的。
这个给定点叫做球心，给定长度叫做半径。
球体具有对称性，即球心到球体上任意一点的距离都相等。
接下来，我们来讨论如何计算球体的体积。
球体的体积可以通过以下公式来计算：V = (4/3)πr³，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示半径。
这个公式是由数学家阿基米德在古希腊时期首次提出的。
这个公式的推导过程相对复杂，但我们可以通过一些简单的方法来理解它。
首先，我们可以将球体划分为无数个小的体积元素，每个体积元素都是一个小的球体。
然后，我们可以通过求解这些小球体的体积之和来得到整个球体的体积。
当我们将这些小球体的体积之和求极限时，就可以得到球体的体积公式。
在实际应用中，我们经常需要计算球体的体积。
例如，在建筑设计中，如果我们需要设计一个球形的建筑物，就需要计算球体的体积来确定建筑物的大小和空间分配。
在物理学中，球体的体积计算也经常被用于计算物体的密度和质量。
除了球体的体积计算，我们还可以进一步探讨一些相关的问题。
例如，如果我们已知球体的体积，我们可以通过反推来计算球体的半径。
同样地，如果我们已知球体的体积和半径，我们也可以计算球体的表面积。
这些问题都可以通过数学公式和几何原理来解决。
在实际问题中，我们还经常遇到一些特殊的球体体积计算问题。
例如，如果一个球体被切割成两个部分，我们可以通过计算每个部分的体积之和来得到整个球体的体积。
同样地，如果一个球体被放置在一个容器中，我们可以通过计算容器的体积减去球体未被占据的部分的体积来得到球体的体积。
总之，高中数学中的球体体积计算是一个重要的概念和技巧。
通过学习球体的定义、性质和计算方法，我们可以更好地理解几何学中的一些基本原理和应用。
人教版高中数学必修二《球的体积及表面积》
证明:设球的半径为R,则圆柱的底面 半径为R,高为2R.
R
O
（1） S球 4 R 2
2
4 3 R S圆柱全 2 R +2 R 2 R （2） V球 3 2 6 R V圆柱 R 2 2R 2 R 3 2 S 球 S圆柱全 2 V球 V圆柱 3 3
A1
（ 3） D1 C1
O
（ 1）
（ 2）
B1
A （ 4） （ 5） （ 6） B
D
C
（ 7）
（ 8）
（ 9）
类型二、有关球的切、接问题
变式2、在三棱锥S ABC中，SA AB AC 1， BAC SAC =SAB 90, 则三棱锥的外接球的表面积为
S
？
O A C
B
球的体积及表面积
复习
球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半 圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。
A O
（1）半圆的半径叫做球的半径。 半圆的直径叫做球的直径。 （2）半圆的圆心叫做球心。
半径
（3）球的表示： 用表示球心的字 球心 母表示，如球O
B
知识拓展
球的概念：在空间中 与定点的距离等于或小于定长的点 的集合，叫做 球体 ？简称球． 与定点距离等于定长的 点的集合叫做 球面 ． C A R O
类型二、有关球的切、接问题
变式3、在三棱锥S ABC中，SA BC =2， SB=AC 3，SC=AB= 5 则三棱锥的外接球的体积为
A S B1
O
？ A A1 C S1 A D C
D1
C B
B
C
课堂小结
半径（直径） 球心 1、球： 表示：球O
高中内切球知识点总结
高中内切球知识点总结一、内切球概念及性质内切球通常指一个几何图形内部与该图形的每一条边或面都相切的球；或指一个凸多面体内与每个面都相切的球。
在高中数学中，我们通常研究的是平面图形的内切圆和立体图形的内切球。
1. 内切球的定义内切圆：对于一个给定的平面图形，如果存在一个圆，使得该圆恰好与这个图形的边界相切，那么我们称这个圆为这个图形的内切圆。
内切球：对于一个给定的凸多面体，如果存在一个球，使得该球恰好与这个多面体的每个面相切，那么我们称这个球为这个多面体的内切球。
2. 内切球的性质（1）内切球与多边形的关系内切圆与圆内接多边形的面积关系：对于一个正多边形，其内切圆的半径r、多边形的边长a和面积S的关系为：S = πr² = 1/2 * a * r * n（n为边数）内切球与圆锥体的关系：对于一个圆锥体，其内切球与底面和侧面的关系为：r = 1/3 * h （r为内切球的半径，h为圆锥体的高）内切球与立体图形的关系：对于一个立体图形，其内切球的体积一般为4/3πr³，而其立体图形的体积为（4/3πr³） = 1/3 * 原立体图形的体积（2）内切球的作用在实际生活中，内切球有很多实际应用，比如在工程结构中，内切球可以用来计算空心圆柱体的体积；在建筑设计中，内切球可以用来计算建筑物内部的空间利用率等。
二、内切球相关定理和性质内切球相关定理和性质是指与内切球相关的一些数学定理和性质，这些定理和性质在解决内切球问题时起到了重要的作用，通常在高中数学中会涉及到下面这些内切球相关定理和性质：1. 内切球定理关于内切圆和多边形的定理：对于一个正多边形，其内切圆的半径r、多边形的边长a和面积S的关系为：S = πr² = 1/2 * a * r * n（n为边数）。
2. 内切球性质关于内切球和圆锥体的性质：对于一个圆锥体，其内切球与底面和侧面的关系为：r = 1/3 * h（r为内切球的半径，h为圆锥体的高）。
高中数学中的解析几何中的球面
高中数学中的解析几何中的球面解析几何是数学中的一个重要分支，其中的球面是一个常见的几何图形。
本文将就高中数学中的解析几何中的球面进行探讨。
一、球面的定义和性质球面是以一个定点为球心，一个定数为半径所确定的空间图形。
球面上的每一个点到球心的距离都等于半径，这是球面的基本性质。
二、球面的方程和参数方程球面的方程可以用一元二次方程表示，其一般方程为：(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2其中，(a, b, c)为球心的坐标，r为半径。
这是球面的一般方程。
另外，球面还可以用参数方程来表示。
常见的参数方程有：x = a + r*sinθ*cosφy = b + r*sinθ*sinφz = c + r*cosθ其中，θ和φ分别是球面上的两个参数。
三、球面与其它几何图形的关系球面与直线的关系：若一条直线与球面相交，那么直线的方程必须满足球面方程。
球面与平面的关系：一个平面与一个球面相交得到的曲线被称为截折线，当平面与球面相切时，截折线就是一个点。
球面与球面的关系：两个球面的位置关系可以分为四种情况：相离、相切、相交和同心球。
四、球面的应用球面在现实生活中有着广泛的应用。
以下是球面在几个领域的具体应用：1. 天文学：地球可以近似看作一个球面，球面的性质和方程可以帮助我们研究地球的地理和气象现象。
2. 地图制作：地球的表面被投影到一个平面上来绘制地图，这就涉及到了球面与平面的关系，球面的几何性质也被用来进行地图的测量和计算。
3. 球体的表面积和体积：球面的性质可以帮助我们计算球体的表面积和体积，这在工程学和物理学中有着重要的应用。
4. 计算机图形学：计算机图形学中的三维建模和渲染需要用到球面的方程和参数方程，以及球面与其他几何图形的相交关系。
五、总结解析几何中的球面是一个重要的几何图形，具有许多有趣的性质和应用。
通过学习球面的方程和参数方程，以及与其他几何图形的关系，可以加深对解析几何的理解。
球的表面积和体积高中数学北师大版2019必修第二册
3．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的
体积为Байду номын сангаас )
4π
2
A. 3
B. 3 π
C. 23π
π D.6
A [由题意得，球的直径为正方体的棱长，即球的半径为1，所 以V球＝43π×13＝43π.]
4．用一个平面截半径为25
cm的球，截面圆的面积是225π
cm2，则球心到截面的距离为________ cm.
20 [由题意知，球的半径R＝25(cm)，易知截面圆的半径r＝ 15(cm)，则球心到截面的距离d＝ 252－152＝20(cm)．]
合作探究 提素养
类型一：球的体积与表面积
【例1】 (1)球的体积是323π，则此球的表面积是( )
A．12π
B．16π
16π C. 3
64π D. 3
(2)若圆锥与球的体积相等，且圆锥底面半径与球的直径相等，
1．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积； (2)已知球的体积为1038π，求它的表面积．
[解] (1)因为直径为2，所以半径R＝1， 所以表面积S球＝4πR2＝4π×12＝4π， 体积V球＝43πR3＝43π×13＝43π. (2)因为V球＝43πR3＝1308π， 所以R3＝27，R＝3，所以S球＝4π×32＝36π.
则圆锥侧面积与球面面积之比是________．
5 (1)B (2) 2 16π.
[(1)
4 3
πR3＝
32 3
π，故R＝2，球的表面积为4πR2＝
(2)设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，球的半径为R，
则由题意得31πr2·h＝43πR3， r＝2R，
∴13π(2R)2·h＝43πR3，∴R＝h，r＝2h，
高中数学知识点总结：柱、锥、台、球的结构特征
高中数学知识点总结：柱、锥、台、球的结构特征柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''EDCBAABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''EDCBAP-几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台'''''EDCBAP-几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
人教版高中数学必修二：球的概念和性质
定义2：到一个定点的距离小于或等于定长的点 的集合是一个球体（简称“球”）。
用旋转的观点定义： 半圆以它的直径所在的直线为轴旋转所成的曲面 叫做球面。 半圆面以它的直径所在的直线为轴旋转所成的几 何体叫做球体。(球是旋转体 )
A
. .
O
绕直径旋转一周
.
O
B
二、球的画法及组成元素
1、球心：半圆的圆心；如 O；记作：球O。 2、球的半径：连接球心 和球面上任意一点的线段； 3、球的直径：连接球面 B 上两点并且经过球心的 线段； 4、球面
一、情景设置
1、圆的定义
平面内到一个定点距离等于定长的点的轨迹 叫做圆。 圆只是一条曲线，而不是一个“ 圆面”。 圆面：平面内到一个定点的距离小于或等于 定长的点的轨迹叫做圆面。
问题1：谁能模仿圆和圆面，给球面和球下定义？ 定义1：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合 是一个球面。定点——球心，定长——球半径
• 球面被经过球心的平面 截得的圆叫做大圆 • 如灰色圆面、绿色圆面
• 球面被不经过球心的平 面截得的圆叫做 小圆 • 如蓝色圆面、红色圆面
4、球的性质：
1°用一个平面去截球，截面是圆面， 用一个平面去截球面，截线是圆 。
2°球心和不过球心的截面圆心的连线 垂直于截面 3°球心到截面的距离d与球的半径R及 截面圆的半径r，有下面的关系：
球面距离
• 在球面上两点 之间的最短距离 就是经过这两点 的大圆在这两点 间的劣弧的长度 ——这个弧长叫 两点的球面距离。
P O
Q
口
答
1．A、B 为球面上相异两点，则通过A、 B两点可作球的大圆有（ ） A．一个 C．零个 B．无穷多个 D．一个或无穷多个
球的性质-高中数学知识点讲解
球的性质
1．球的性质
【知识点的知识】
1、球的定义：
（1）球的旋转定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面．球面所围成的几何体叫做球体．（2）球的集合定义：空间中，与定点（球心）的距离等于或小于定长（半径）的点的集合叫做球体，简称球．2、球的相关概念：
（1）球心：半圆的圆心叫做球心．
（2）连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径．
（3）连结球面上两点并经过球心的线段叫做球的直径．
（4）球的体积：V 球=4
3πR3．
（5）球的表面积：4πR2．
3、球的截面及其性质：
（1）截面的定义：用一个平面去截一个球，截面是圆面．
（2）球的截面的性质：
①球心和截面圆心的连线垂直于该截面；
②球心到截面的距离d 与球的半径R，小圆半径r 有下面的关系：d =푅2―푟2．
（3）大圆和小圆：
①球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆．
②球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆．
4、两点间的球面距离：
球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣孤的长度．即：球面距离是球面上过两点的大圆在这两点之间的劣弧的长度．
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高中数学外接球与内切球的定心方法
高中数学外接球与内切球的定心方法数学中，外接球和内切球是重要的概念，在几何学、三角学和代数学等领域都有广泛的应用。
外接球是指将一个空间几何体的球完全包裹住的最小球，而内切球是指一个球完全被一个空间几何体的内切。
本文将从几何学角度介绍外接球和内切球的定义、性质和求解方法，并附上一些实际问题的例子，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、外接球1.定义：对于一个几何体（如正方体、圆锥、圆柱等），外接球是完全包容该几何体的一个球。
外接球的半径等于几何体的边长、高或半径的一半。
以正方体为例，假设正方体的边长为a，那么该正方体的外接球的半径R等于a的一半，即R=a/22.性质：外接球的球心与几何体的重心重合，在三维空间中位于几何体的中心位置。
以正方体为例，该正方体的外接球的球心与正方体的重心重合，位于正方体的中心位置。
3.求解方法：求解外接球的定心位置可以使用数学模型和几何关系。
以正方体为例，可以使用重心定理来求解外接球的球心位置。
重心定理：对于任意一个几何体，其重心位于几何体的所有顶点连线的交点上，即几何体的所有顶点到这一点的距离之和最短。
对于正方体而言，由于正方体的顶点都在几何体的边上，因此可以通过连接正方体的两个对角线，其交点即为正方体的重心，也就是外接球的球心位置。
二、内切球1.定义：对于一个几何体（如正方体、圆锥、圆柱等），内切球是完全被该几何体内切的一个球。
内切球的半径等于几何体的边长、高或半径的一半。
以正方体为例，假设正方体的边长为a，那么该正方体的内切球的半径r等于a的一半，即r=a/22.性质：内切球的球心位于几何体的重心，且与几何体的所有顶点连线相交于几何体的中点。
以正方体为例，该正方体的内切球的球心位于正方体的重心，且与正方体的所有顶点连线相交于正方体的中点。
3.求解方法：求解内切球的定心位置可以使用数学模型和几何关系。
以正方体为例，可以使用重心定理来求解内切球的球心位置。
由于内切球的球心位于几何体的重心，因此可以通过连接正方体的两个对角线，其交点即为正方体的重心，也就是内切球的球心位置。
立体几何多面体与球体的性质
立体几何多面体与球体的性质立体几何多面体与球体的性质是高中数学课程中的重要内容。
在本文中，将介绍多面体和球体的基本概念，以及它们的特性和性质。
一、多面体的性质多面体是由多个平面多边形所组成的立体图形。
根据多边形的形状和特点不同，多面体可以分为正多面体和非正多面体。
1. 正多面体正多面体是指所有的面都是相等的正多边形，并且相邻面的交线都通过一个点。
常见的正多面体有四面体、八面体和二十面体。
- 四面体：四面体是最简单的正多面体，它由四个面组成，每个面都是一个三角形。
四面体的特点是任意两个面都有共边线，且相邻的三个面的交点在同一直线上。
- 八面体：八面体是由六个四边形面和八个顶点组成的正多面体。
八面体的特点是每个面都是正方形，且每个顶点都与其他四个面相交。
- 二十面体：二十面体是由十二个五边形面和二十个顶点组成的正多面体。
二十面体的特点是每个面都是正五边形，且每个顶点都与其他五个面相交。
2. 非正多面体非正多面体是除正多面体以外的所有多面体。
非正多面体的面可以是任意的多边形，相邻面的交线也可以是任意的曲线。
二、球体的性质球体是由一个平面上的圆绕着直径旋转一周形成的。
球体是一种特殊的立体图形，具有许多独特的性质。
1. 半径与直径球体的半径是从球心到球面上的任意一点的距离，而直径是球面上通过球心的任意两点间的距离。
球体的半径和直径具有以下关系：直径等于半径的二倍。
2. 表面积和体积球体的表面积和体积是球体的两个重要性质。
- 表面积：球体的表面积是指球体表面所包围的所有面积的总和。
球体的表面积公式为：4πr²，其中r是球体的半径。
- 体积：球体的体积是指球体所包围的空间的大小。
球体的体积公式为：(4/3)πr³，其中r是球体的半径。
3. 球面上的点与圆的关系球面上的任意一点与球心之间的距离等于球心附近的一个圆的半径。
这个关系被称为球面上的点与圆的关系。
4. 球切割与球切线球体可以被一个平面切割成两部分或多部分。
高中数学关于球的教案
高中数学关于球的教案
教学目标：
1. 了解球的定义和性质；
2. 掌握球的体积和表面积的计算方法；
3. 能够应用球的性质和计算方法解决问题。
教学重点：
1. 掌握球的定义和性质；
2. 熟练计算球的体积和表面积。
教学难点：
1. 熟练运用球的定义和性质解决问题；
2. 计算复杂形式的球的体积和表面积。
教学准备：
1. 教材：高中数学教材；
2. 工具：计算器、小黑板、彩色粉笔等；
3. 教学课件：包含相关公式和例题。
教学过程：
一、导入
介绍球的定义和性质，引出本节课的学习内容。
二、讲解
1. 讲解球的定义，包括球面、球心、半径等；
2. 讲解球的体积和表面积的计算公式；
3. 讲解计算球的体积和表面积的方法。
三、练习
1. 练习基础题目，加强学生对球的性质和计算方法的理解；
2. 练习较难的应用题目，培养学生解决问题的能力。
四、总结
总结本节课的学习内容，强调球的性质和计算方法的重要性。
五、作业布置
布置相关作业，巩固学生对球的性质和计算方法的掌握。
六、课后反馈
收集学生作业，根据学生的表现调整教学内容和方法，及时纠正学生的错误。
教学延伸：
1. 鼓励学生进行实际测量，计算不同大小的球的体积和表面积；
2. 引导学生拓展相关知识，如球的体积对温度的影响等。
教学评价：
针对学生在课堂上的表现和作业的完成情况进行评价，及时给予反馈和指导。
教学反思：
总结本课程的教学过程和效果，不断调整和优化教学方法，提高教学质量。
球体切面知识点总结高中
球体切面知识点总结高中一、基本概念球体是一个由无数条平行的圆组成的立体物体，每一个圆都和球心有一条半径相连。
球面是球的表面，由无数个点组成。
球体切面是指通过球心，将球体分成两个部分的平面。
球体切面通常是一个圆。
二、球体切面的性质1. 切面的位置：球体切面可以有无数个位置，每一个位置都可以将球体切割成两个部分，其中切面过球心时，切出的两部分球的半径相等。
2. 切面的形状：切面可以是任意形状的平面，但是在球心处始终是一个点，所以在球心处切出的形状都是圆形的。
3. 切面的面积：对于球体来说，无论切出的是大的一部分还是小的一部分，切面的面积都是相等的。
这是因为球面上每一个点都和球心有相同的距离。
三、球体切面的应用1. 地理学中的地球切面：地球是一个近似球体，为了更好地研究地球的内部结构和地形地貌，地理学家常常使用地球切面图来描述地球内部的构造。
2. 数学中的球体切面图形：在数学中，球体切面图形是一个重要的概念，通过分析球体切面图形，可以帮助学生更好地理解球的性质和结构。
3. 工程中的球体切割：在工程领域中，常常需要将球体进行切割，以便做成各种不同形状的零部件。
对球体切面的研究可以帮助工程师更好地完成球体的切割工作。
四、球体切面的实验1. 利用割土法测球面积：在实验室中，可以通过割土法来测算球的表面积，即通过将球体分成无数个小块，再将这些小块展开来测算表面积。
2. 通过切纸圆来观察球体切面：在课堂中，老师可以通过让学生亲自操作切出一个球体切面，然后将其展开来观察，从而帮助学生更好地理解球体切面的性质。
五、球体切面的拓展通过对球体切面的研究，可以拓展出一些与球体切面相关的数学问题，例如：球体切面的形状和面积之间的关系，球体切面的位置对切出的形状的影响等，这些都是值得进一步探讨的方向。
六、总结球体切面是一个很有趣的数学概念，它不仅仅可以帮助我们更好地理解球的性质和结构，还可以应用到地理学和工程学中，为我们的学习和工作带来更多的启发和帮助。
高中数学球
球
前言：
球，圆形的立体物，生活中也指球形的体育用品、球类运动，包括手球、篮球、足球、排球、网球、高尔夫球、沙滩排球、棒球、垒球、藤球、乒乓球、台球、板球、壁球、曲棍球、水球、马球、保龄球、健身球、门球、弹球等.
定义：
集合定义：
（1）在空间中到定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，简称球. （2）在空间中到定点的距离等于定长的点的集合叫做球面，即球的表面. （3）定点叫做球的球心，定长叫做球的半径.
数学中的定义：
（1）以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.
（2）半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径.
球的组成：
球的表面是一个曲面，这个曲面就叫做球面.球和圆类似，也有一个中心，叫做球心.
球的截面
用一个平面去截一个球，截面是圆面.球的截面有以下性质：
（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面.
（2）球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：
r2=R2-d2.
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆.
在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离.。
球的体积与表面积
Байду номын сангаас
球
球的概 念和性 质
一 球的概念
如图所示，半圆以它的直径为旋转
轴，旋转所成的曲面叫做球面.
球面所围成的几何体叫做球体，简称球. 半圆的圆心叫球心,图中点O.
连结球心和球面上任意一点的线段叫做 球的半径，(图中线段R).
连结球面上两点并且经过球心的线段叫 做球的直径，(图中线段AB).
R
R
步骤
１．拿出圆锥 和圆柱
２．将圆锥倒立放 入圆柱
３．取出半球和新的几何体做它们的截面
R
结论:截面面积相等
则两个几何体的体积相等
R
R
R
1
2 V球 ＝
R2 R 1 R2 R
3
球
的体
积计算
公 式 ：V球
4 R3
3
七、球的表面积
窄圈面积 = 2 r h = 圆柱上窄圈面积
球面面积= 圆柱侧面积= 4 r 2
则这两个平行平面间的距离为__1_或___7___．
3.钢球由于热膨胀而使半径增加千分之一，那么它的体积 增加约几分之几？
4.计算地球的表面积.（地球的半径约为６３７０km）
八、正方体与球的位置关系
1. 内切球； ——棱长为直径 2. 外接球； ——体对角线长为直径
例２ 一个正方体内接于半径为R的球内,求正方体的体积. 解:设正方体的边长为a
Δh
r
探究２
S1
R
4 R3
3
V球
1
1
1
3 RS1 3 RS2 3 RS3
1 3 RS球面
S球面 4R2
例1 半径是R的球,如果半径发生了下述变化,则其体积分别增 加了多少倍? (1)半径增大到原来的2倍 (2)半径增大了2倍
高三数学内切球知识点
高三数学内切球知识点在高中数学中，内切球是一个重要的几何概念，它与圆锥曲线和三角形有着密切的联系。
本文将介绍内切球的概念、性质以及相关定理和公式。
一、内切球的概念内切球是指一个球与给定的几何体（通常是一个多边形或三维几何体）的每一条边或面都有且只有一个公共点的球。
这个公共点是边或面的内切点，同时也是球的圆心。
二、内切球的性质1. 内切球的圆心和几何体表面上的内切点在同一条直线上，这条直线被称为内切球的切线。
2. 内切球的半径是几何体边长或面积的一半。
3. 内切球的半径和外接球的半径满足关系：r = (a + b + c)/4，其中a、b、c是三角形的三边长。
三、内切球的相关定理和公式1. 三角形内切圆的半径公式：r = Δ/s，其中r是内切圆的半径，Δ是三角形的面积，s是三角形的半周长。
2. 三角形内切圆的圆心到三边的距离：d = 2Δ/(a + b + c)，其中d是内切圆圆心到三边的距离，a、b、c是三角形的三边长。
3. 直角三角形的内切圆半径：r = (a + b - c)/2，其中r是内切圆的半径，a、b是直角三角形的两条直角边长，c是斜边长。
4. 正多边形的内切圆半径：r = a/(2tan(π/n))，其中r是内切圆的半径，a是正多边形的边长，n是正多边形的边数。
四、内切球的应用1. 内切球可以用于计算多边形的面积和周长，通过内切圆的半径公式可以求得多边形的面积和半周长。
2. 内切球还可以用于构造几何体，通过给定的几何体的边或面的内切点，可以确定内切球的位置和大小，进而构造出内切球。
五、总结内切球作为一个重要的数学概念，在几何学中有着广泛的应用。
通过了解内切球的概念和性质，以及掌握与其相关的定理和公式，我们可以更好地理解和应用几何学知识。
希望本文对你在高三数学学习中有所帮助。
以上就是关于高三数学内切球的知识点的介绍。
希望通过本文的阅读，你对内切球有了更深入的了解，并能够运用这些知识解决实际问题。
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B
二、球的截面
R C A r
d D B
性质：1.球心和截面圆心的连线垂直于截面； 2.球心到截面的距离d与球的半径R以及截面圆半径 r 有下面关系： R 2 = r 2 + d 2； 3.与球心距离相等的截面所截得的圆相等。距球心越近，截面圆越大。
三、球的大圆和小圆
d
o
大圆：球面被经过球心的平面所截得的圆 叫做大圆。（d=0 ） 小圆：球面被不经过球心的截面所截得的
2、已知球面上两点A与B的球面距离为5 cm，过这两点的 两条球半径的夹角为AOB=50o，则这个球的半径为______. 18cm 3、过半径为6cm的球的一条半径的中点作一个垂直于该半径
的平面，所得的截面面积为____________. 27 cm2
4、正方体的8个顶点在半径为1的球面上，则此正方体的棱 长为____________. 5、A、B是半径为R的球面上的两点，它们的球面距离为R/2， 则过A，B的平面中，与球心的最大距离为_______.
圆叫做小圆。（0dR ）
（附：当d=R时，平面与球相切）
练习：如果把地球看作是一个球体，请你说出由经纬线所构成的大圆有哪些？
四、球面距离
P O Q
练习： 1、判断正误：（对的打√，错的打×） （1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球。 （2）经过球面上不同的两点只能作一个大圆。 （3）球半径是5，截面圆半径为3，则球心到截面 所在平面的距离为4。 （√ ） （4）球的任意两个大圆的交点连线是球的直径。（√） ） × （ ） × （
球
一、球的概念：
1、球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。
（另一定义：与一定点的距离等于一定值的点的集合叫做球面。）
A
2、球体（球）：球面所围成的几何体叫做球体，即球。 （另一定义：与一定点的距离小于或等于 一定值的点的集合叫做球。）
3、相关概念：球心，球的半径，球的直径。
R
C
O
4、球的表示：若球心为O，则记为：球O。
QB、QC，求QA2+QB2+QC2的值。
解：以QA、QB、QC为三条棱作
A B C Q
出球的内接长方体，则QA2+QB2+QC2
的值等于该长方体的对角线的平方， 即球的直径的平方， QA2+QB2+QC22.球的截面及其性质。 3.球的大圆和小圆。 4.球面距离。 5.应用。
2 R 2 2 3 3
6、球面上有M、N两点，在过M、N的球的大圆O上，弧MN
的度数为90o，在过M、N的小圆O1上，弧MN的度数为120o， 又MN= 3 cm，求OO1的长度及M、N的球面距离。
（ OO1=
2 2
cm，M、N的球面距离为
6 （cm) 4
）
思考题 ￭自半径为R的球面上一点Q作球的三条两两垂直的弦QA、