高数 第九章-二阶线性微分方程(第3节)

分方程通解的和.实际上,对于二阶非齐次线性微分方程也有同样的结构. 下面讨论二阶非齐次线性微分方程
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = f (x) （3）
通解的结构.
定理 3如果 y∗ (x) 是二阶非齐次线性微分方程（3）的一个特解, Y (x) 是对应的齐次方程（1）
的通解, 则
=y Y (x) + y∗(x)
（2）特征方程（6）有两个相等的实根 r1 =
r2
=
−
p 2
此时我们只得到一个特解 y1 = e r1x ,还需求出另一个与 y1 = e r1x 线性无关的特解.
可以证明，
y2 (x)
=
xer1x
也是方程（5）的解，且
y2 (x)= y1 ( x)
x ≠ 常数.
故方程（5）的通解为
=y (C1 + C2 x)er1x .
(b0 xm
+ b1xm−1
其中函数 P1(x) , P2 (x) ,…, Pn (x) 称为方程的系数,当 f (x) ≡ 0 时,称为 n 阶齐次线性微分方程, 否则,称为 n 阶非齐次线性微分方程.
二、二阶线性微分方程通解的结构
我们先讨论二阶齐次线性微分方程
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = 0
（1）
定理 1 若函数 y1(x) , y2 (x) 是方程（1）的两个解,那么
y = eαx (C1 cos βx + C2 sin βx)
例 1 求微分方程 y′′ − 5 y′ + 6 y = 0 的通解及满足初始条件 x = 0 时= , y 1,=y′ 2
的特解. 解特征方程为
r 2 − 5r + 6 = 0 ,
解得 r1 = 2 , r2 = 3 ,是两个不相等的实根,故所求方程的通解为
根据特征方程的根,下面分三种不同情形讨论微分方程（5）的通解:
（1）特征方程（6）有两个不相等的实根 r1, r2
e e 则 r1x , r2x 是方程（5）的两个线性无关的特解,因为
r1x
= e e ≠ (r1−r2 )x 常数 e r2 x
故方程（5）的通解为
y = C1e r1x + C2e r2x .
只含有一个任意常数 C ，所以它不是方程（1）的通解.要使 y = C1 y1 + C2 y2 成为方程（1）的通解，
需要引入函数组的线性无关概念.
定义 设 y1(x), y2 (x),, yn (x) 为定义在区间 I 上的 n 个函数，如果存在 n 个不全为零的常数
k1, k2 ,, kn ，使得当时有恒等式
解特征方程为
r2 + 4r + 4 =0 ,
解得 r1 = r2 = −2 ，是两个相等的实根, 故所求方程的通解为
=y (C1 + C2 x)e−2x .
例 3 求微分方程 y′′ + 2 y′ + 5 y = 0 的通解.
解 特征方程为
r2 + 2r + 5 =0 ,
解得 r1 =−1+ 2i , r2 =−1− 2i ,是一对共轭复根,故所求方程的通解为
y1(x) =
1 2
(
y1
+
y2 )
=
eαx cos β x , y2 (x)=
则方程（5）的通解为
1 2i
(
y1
−
y 2
)=
eαx sin β x
y = eαx (C1 cos βx + C2 sin βx) .
综上所述,我们可得到求解二阶常系数齐次线性微分方程（5）的步骤如下: （1）写出微分方程（5）的特征方程（6），并求出特征根； （2）根据特征根的不同情况写出其通解,即
图 9-1
振动方程
d2x dt 2
+
µ m
dx dt
+
k m
x
=
H m
sin ωt
,
上述方程可以归结为形如
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = f (x)
的微分方程，称为二阶线性微分方程,当 f (x) ≡ 0 时，称为二阶齐次线性微分方程,否则,称为二阶非
齐次线性微分方程.
n 阶线性微分方程的一般形式为 y (n) + P1 (x) y (n−1) + + Pn−1 (x) y′ + Pn (x) y = f (x)
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = 0
中,函数 P(x) , Q(x) 都是常数,即
y′′ + py′ + qy = 0 ,
（5）
其中 p, q 是常数,则称方程(5)为二阶常系数齐次线性微分方程.
由定理 2 可知,要求齐次线性微分方程（5）的通解,只要求出其两个线性无关的特解即可.从方程的
通 解 中 应 该 含 有 两 个 相 互 独 立 的 任 意 常 数 C1 和 C2 . 例 如 y1(x) 是 方 程 （ 1 ） 的 一 个 解 ， 则
y2 (x) = 2 y1(x) 也是方程（1）的解，但由于
y =C1 y1 + C2 y2 =(C1 + 2C2 ) y1(x) =Cy1(x) （其中 C= C1 + 2C2 ），
动. 设物体的运动位移为 x = x(t) .阻力 R 的大小与物体的速度成正比（但与物体运动
方向相反），即 R = −µ dx .则由牛顿第二定律不难得到无阻尼情形下物体作自由振动的 dt
方程为
O
d 2 x + µ dx + k x = 0 . dt 2 m dt m
x x
若物体在振动过程中受到铅直干扰力 F (t) = H sin ωt 的作用,则有受迫
（4）
是二阶非齐次线性微分方程（3）的通解. 证 把式（4）代入方程（3）的左端,得
(Y (x) + y∗(x)(x))′′ + P(x)(Y (x) + y∗(x))′ + Q(x)(Y (x) + y∗(x))
=Y ′′(x) + y∗′′(x) + P(x)(Y ′(x) + y∗′(x)) + Q(x)(Y (x) + y∗(x))
=y e−x (C1 cos 2x + C2 sin 2x) .
四、二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性方程的形式为
y′′ + py′ + qy = f (x) ，
(7)
其中 p, q 为常数, f (x) 称为自由项. 由定理 3 可知, 要求方程（7）的通解,只要求出其对应的齐次方
程的通解与它的一个特解即可. 而第三部分已讨论了齐次方程通解的求法问题, 所以下面着重讨论求 二阶常系数非齐次线性微分方程特解的方法.
（3）特征方程（6）有一对共轭复根 r1,2 = α ± iβ
方程（5）有两个线性无关的特解
y1(x) = e(α +iβ )x , y2 (x) = e(α −iβ )x
由于这种复数形式的解在应用上不方便,所以我们利用欧拉公式
= eiθ cosθ + i sinθ
把上述复数形式的解化成如下形式的解
k1 y1 + k2 y2 + + kn yn =0
成立，则称这 n 个函数在区间 I 上线性相关；否则称为线性无关.
我们不加证明地给出以下结论：若方程（1）的两个解
y1(x) 与
y2 ( x)
之比
y1 ( x) y2 ( x)
≠
常数，则
y1 ( x)
与 y2 (x) 是两个线性无关的解源自文库由此结论即得
第三节 二阶线性微分方程
本节我们将讨论在实际问题中应用较多的高阶线性微分方程,讨论时我们主要以二阶线性微分方程 为主.
一、高阶线性微分方程的概念
考虑以下问题：
设一弹性系数为 k 的弹簧上端固定,下端挂一个质量为 m 的物体,如图 9-1 所示. 以 O 点表示平衡点的坐标.将物体向下一拉，随即放开，物体就会在平衡位置作上下振
=C1 [ y1′′+ P(x) y1′ + Q(x) y1] + C2 [ y2′′ + P(x) y2′ + Q(x) y2 ] =0
所以, y = C1 y1 + C2 y2 是方程（1）的解.
解（2）形式上也含有两个常数 C1 和 C2 ,但是它不一定是方程（1）的通解.这是因为方程（1）的
特征方程 r 2 + pr + q =0 的两个根 r1, r2
对应微分方程 y′′ + py′ + qy = 0 的通解
r1 ≠ r2 为两个不相等实根
y = C1e r1x + C2e r2x
r1 = r2 为两个相等实根
=y (C1 + C2 x)er1x
r1 , r2 为一对共轭复根 r1,2 = α ± iβ
定理 2 若函数 y1(x) , y2 (x) 是方程（1）的两个线性无关的特解,则
y = C1 y1 + C2 y2 （ C1 , C2 是任意常数）
就是方程（1）的通解. 由定理 2 可知,要求方程（1）的通解,只要求出它的两个线性无关的特解即可. 在前面讨论一阶非齐次微分方程的通解时,我们知道它的通解等于其一个特解与对应齐次线性微
例 如 ， 方 程 y′′ + y =x2 是 二 阶 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 . 已 知 其 对 应 齐 次 方 程 线 性 微 分 方 程
y′′ + y =0 的通= 解为 Y C1 sin x + C2 cos x ；又容易验证 y=∗ x2 − 2 是该方程的一个特解,所以
=y C1 sin x + C2 cos x + x2 − 2
求一阶和二阶导数,得
y′ = rerx , y′′ = r 2erx ,
把 y , y′ , y′′ 代入方程（5）,整理得
r2 + pr + q =0 .
（6）
由此可见,只要 r 满足代数方程（6）,则函数 y = e rx 就是方程（5）的一个特解.这样, 齐次方程
的求解问题就转化为求代数方程（6）的根的问题,称一元二次代数方程（6）为微分方程（5）的特征方 程.特征方程的根称为微分方程的特征根.
=[Y ′′(x) + P(x)Y ′(x) + Q(x)Y (x)] + [ y∗′′(x) + P(x) y∗′(x) + Q(x) y∗(x)] = f (x)
即=y Y (x) + y∗ (x) 是方程（3）的解.由于对应的齐次线性微分方程的通解
Y= (x) C1 y1 + C2 y2
中含有两个相互独立的任意常数,所以=y Y (x) + y∗ (x) 是方程（3）的通解.
也是方程（1）的解.
y = C1 y1 + C2 y2 （ C1 , C2 是任意常数）
证 因为 y1 , y2 是方程（1）的解,所以
（2）
y1′′+ P(x) y1′ + Q(x) y1 = 0 , y2′′ + P(x) y2′ + Q(x) y2 = 0 ,
于是
(C1 y1 + C2 y2 )′′ + P(x)(C1 y1 + C2 y2 )′ + Q(x)(C1 y1 + C2 y2 )
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = f1 (x) 和 y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = f2 (x)
的特解,则 y= ∗ (x) y1∗ (x) + y2∗ (x) 是方程（3）的特解.
这个定理称为非齐次线性微分方程解的叠加原理.
三、二阶常系数齐次线性微分方程
若在二阶齐次线性微分方程
将初始条件代入方程组
y = C1e2x + C2e3x .
=y = y′
C1e2x + C2e3x ， 2C1e2x + 3C2e3x
得
C1 + C2 = 1, 2C1 + 3C2 = 2 ，
解得= C1 1,= C2 0 ,故所求满足初始条件的特解为 y = e2x .
例 2 求微分方程 y′′ + 4 y′ + 4 y = 0 的通解.
形式上可以看出, y , y′ , y′′ 各乘以一个常数后相加等于零，如果我们能够找到一个函数 y ,使
y , y′ , y′′ 之间只相差一个常数,那么这个函数就有可能是方程（5）的特解.而指数函数 y = e rx 正好
满足这一条件,所以我们有理由猜想形如 y = erx （其中 r 为常数）的函数可能是方程的解.对 y = e rx
是所给方程的通解. 下面的定理有助于我们求解更复杂的二阶非齐次线性微分方程.
定理 4 若二阶非齐次线性微分方程（3）中, f (x) = f1 (x) + f 2 (x) ,即
y′′ + P(x) y′ + Q(x) y = f1 (x) + f2 (x) ,
而 y1∗ (x) 和 y2∗ (x) 分别是方程
下面仅对 f (x) 取两种常见形式进行讨论，使用的方法是待定系数法.
1. f (x) = eλx Pm (x) 型.其中 λ 是常数， Pm (x) = a0 x m + a1 x m−1 + + am−1 x + am .根 据 λ 与特征方程的关系，则
（1）若 λ 不是特征方程的根，可设 y=*