函数的极值与导数公开课说课稿
函数的极值与导数说课
学情分析
在前面的学习中，学生已经学习了导数，了解 了导数的一些用途，思想中也有了一点运用导数的基 本思想去分析和解决实际问题的意识，本节课利用导 数知识求可导函数的极值，将继续加强这方面的意识 和能力的培养。不过鉴于学生在导数的应用方面水平 普遍偏低，理解和应用知识的能力还是不足，所以在 教学中，有必要从基础入手，指导学生先做到对解题 方法和步骤的机械模仿，在此基础上，努力提升认识 水平，力争让尽可能多的学生达到知识的融会贯通。
教学目标
知识与技能
1.掌握函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的 极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提 升思维水平；
2.掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法及步骤.
过程与方法
1.培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问 题的能力; 2.培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和 规律的学习能力.
2.函数的极大值一定大于极小值吗？ 3.在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？
小组讨论，解疑合探
（一）小组合探
小组内讨论解决自探中未解决的问题.
（二）小组展示
教师选择一个小组的同学展示讨论结果.
（三）评价
1.学生评价； 2.教师评价.
Hale Waihona Puke 深入学习，质疑再探对于刚才的学习内容，谁还有什么问题或 不明白的地方，请提出来,大家一起来解决！
为了提高课堂教学效率，我采用多媒体辅助教学.本节课的 学习效果主要通过学生回答问题和展示探究结果来检验，还要 通过做相应的练习题进行巩固.
创设情境，设疑自探 小组讨论，解疑合探 深入学习，质疑再探 练习巩固，运用拓展 课堂小结，课后作业
教 学 过 程 与 设 计
创设情境，设疑自探
函数的极值说课稿
函数的极值说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的题目是“函数的极值”。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析“函数的极值”是高中数学选修 1-1 第三章《导数及其应用》中的重要内容。
函数的极值是函数单调性的一个重要应用，它反映了函数在某一点附近的局部性质。
通过对函数极值的学习，学生能够更深入地理解导数与函数的关系，进一步提高运用导数解决实际问题的能力。
本节课在教材中的地位和作用主要体现在以下几个方面：1、承上启下：函数的极值是在学生已经学习了函数的单调性和导数的基础上进行的，它是对导数应用的进一步深化，同时也为后续学习函数的最值奠定了基础。
2、培养能力：通过对函数极值的探究，有助于培养学生的观察能力、分析问题和解决问题的能力，以及数学思维能力。
3、实际应用：函数的极值在实际生活中有着广泛的应用，如优化问题、经济问题等，能够让学生体会到数学与实际生活的紧密联系。
二、学情分析授课对象为高二年级的学生，他们已经掌握了函数的单调性和导数的基本概念和运算，但对于函数极值的概念和求法还比较陌生。
在思维能力方面，高二学生具备了一定的抽象思维和逻辑推理能力，但对于复杂问题的分析和解决还需要进一步的引导和训练。
此外，学生在学习过程中可能会遇到以下困难：1、对极值概念的理解不够准确，容易与最值概念混淆。
2、在运用导数求极值的过程中，可能会出现计算错误或忽略定义域等问题。
三、教学目标基于以上对教材和学情的分析，我制定了以下教学目标：1、知识与技能目标（1）理解函数极值的概念，能够区分极值与最值。
（2）掌握利用导数求函数极值的方法和步骤。
2、过程与方法目标（1）通过观察函数图象，引导学生发现函数极值的存在，培养学生的观察能力和归纳能力。
（2）通过求解函数的极值，让学生体会导数在研究函数性质中的作用，提高学生运用导数解决问题的能力。
函数的极值与导数(教案)
函数的极值与导数(教案)第一章：极值的概念教学目标：1. 理解极值的概念；2. 能够找出函数的极值点；3. 能够判断函数的极值类型。
教学内容：1. 引入极值的概念；2. 讲解极值的判断方法；3. 举例讲解如何找出函数的极值点；4. 讲解极大值和极小值的概念；5. 举例讲解如何判断函数的极大值和极小值。
教学活动：1. 引入极值的概念，引导学生思考什么是极值；2. 通过示例讲解如何找出函数的极值点，引导学生动手尝试；3. 讲解极大值和极小值的概念，引导学生理解极大值和极小值的区别；4. 通过示例讲解如何判断函数的极大值和极小值，引导学生进行判断。
作业布置：1. 练习找出给定函数的极值点；2. 练习判断给定函数的极大值和极小值。
第二章：导数的基本概念教学目标：1. 理解导数的概念；2. 能够计算常见函数的导数；3. 能够利用导数判断函数的单调性。
教学内容：1. 引入导数的概念；2. 讲解导数的计算方法；3. 举例讲解如何利用导数判断函数的单调性；4. 讲解导数的应用。
教学活动：1. 引入导数的概念，引导学生思考什么是导数；2. 通过示例讲解如何计算常见函数的导数，引导学生动手尝试；3. 讲解导数的应用，引导学生理解导数在实际问题中的应用；4. 通过示例讲解如何利用导数判断函数的单调性，引导学生进行判断。
作业布置：1. 练习计算给定函数的导数；2. 练习利用导数判断给定函数的单调性。
第三章：函数的单调性教学目标：1. 理解函数单调性的概念；2. 能够利用导数判断函数的单调性；3. 能够找出函数的单调区间。
教学内容：1. 引入函数单调性的概念；2. 讲解如何利用导数判断函数的单调性；3. 举例讲解如何找出函数的单调区间；4. 讲解函数单调性的应用。
教学活动：1. 引入函数单调性的概念，引导学生思考什么是函数单调性；2. 通过示例讲解如何利用导数判断函数的单调性，引导学生动手尝试；3. 讲解如何找出函数的单调区间，引导学生理解单调区间的概念；4. 通过示例讲解如何找出给定函数的单调区间，引导学生进行判断。
§1.3.2函数的极值与导数(说课稿)
《函数的极值与导数》说课稿永宁县回民高级中学马国宝二O一三年三月二十七日《函数的极值与导数》说课稿尊敬的各位领导，老师们：大家，下午好！今天，我说课的内容是《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2》第一章第三节，导数在研究函数中的应用二：函数的极值与导数。
大家知道，为了描述现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了函数。
随着对函数的不断深化，产生了微积分，而微积分的创立与处理四类科学问题直接相关：①求速度与加速度问题；②求曲线切线；③求函数最值；④求长度、面积、体积和重心等。
而导数又是微积分的核心概念之一，它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题的最一般、最有效工具，因而也是解决现实生活中用料最省、利用最大、效率最高等实际问题的最有利的工具。
本节课是学生在学习了上一节（函数的单调性与导数）的基础上，进一步探索导数在研究函数其他性质中的应用，也是为后面学习函数的最值与导数做铺垫，因此具有承前启后的作用。
极值对学生而言，是一个全新的概念，但学生已经有了上节课利用导数研究函数性质的思想方法和经验，所以这节课理解起来难度不大。
下面我说一下本节课所要达到的教学目标：①知识目标：理解极值的概念，掌握求极值的方法；结合函数图像，理解可导函数在某一点取得极值的充要条件；②过程与方法：结合实例，借助函数图形直观感受，然后上升到理性认识，并且让学生亲身经历由特殊到一般的认识过程，然后探索函数的极值与导数的关系；③情感态度方面：通过学生积极主动参与，培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力；感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，增强学生数形结合的思维意识。
教学重点：对极值概念的理解及求函数极值的方法与步骤。
教学难点：函数在某一点取得极值的充要条件和如何求一个可导函数的极值。
课型：概念课。
教学方法：引导式、启发式。
教学流程：创设情境，导入新课提出问题，激发学生的求知欲组织学生自主探索，获得函数极值的定义通过例题和练习，深化提高对函数的极值的定义的理解。
函数的极值与导数的教案
函数的极值与导数一、教学目标1. 理解导数的定义和几何意义2. 学会求函数的导数3. 理解函数的极值概念4. 学会利用导数研究函数的极值二、教学内容1. 导数的定义和几何意义2. 常见函数的导数3. 函数的极值概念4. 利用导数研究函数的单调性5. 利用导数求函数的极值三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义和几何意义，常见函数的导数，函数的极值概念，利用导数求函数的极值2. 难点：导数的运算法则，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值四、教学方法1. 采用讲授法讲解导数的定义、几何意义、常见函数的导数及函数的极值概念2. 利用例题解析法讲解利用导数研究函数的单调性和求函数的极值3. 组织学生进行小组讨论和互动，巩固所学知识五、教学过程1. 导入：复习导数的定义和几何意义，引导学生思考如何求函数的导数2. 新课：讲解常见函数的导数，引导学生掌握求导数的方法3. 案例分析：利用导数研究函数的单调性，求函数的极值，引导学生理解和应用所学知识4. 练习与讨论：布置练习题，组织学生进行小组讨论，解答练习题5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置课后作业，引导学生思考如何利用导数研究更复杂的函数极值问题六、课后作业1. 复习导数的定义和几何意义，常见函数的导数2. 练习求函数的导数3. 利用导数研究函数的单调性，求函数的极值七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态2. 练习与讨论：评估学生在练习题和小组讨论中的表现，检验学生对知识的掌握程度3. 课后作业：检查课后作业的完成情况，评估学生对课堂所学知识的巩固程度六、教学策略的调整1. 根据学生的课堂反馈，适时调整教学节奏和难度，确保学生能够跟上教学进度。
2. 对于学生掌握不够扎实的知识点，可以通过举例、讲解、练习等多种方式加强巩固。
3. 鼓励学生提出问题，充分调动学生的主动学习积极性，提高课堂互动性。
七、教学案例分析1. 通过分析具体案例，让学生理解导数在实际问题中的应用，例如在物理学中的速度、加速度的计算。
《函数的极值与导数》教案完美版
《函数的极值与导数》教案完美版第一章：极值的概念与性质1.1 极值的定义引入极值的概念，解释函数在某一点的局部性质。
通过图形和实例直观展示极值的存在。
1.2 极值的判定条件介绍函数的导数与极值的关系，讲解导数为零的必要性和充分性。
分析导数为正和导数为负时函数的单调性，得出极值的判定条件。
1.3 极值的判定定理介绍罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理在极值判定中的应用。
证明极值的判定定理，并通过实例进行验证。
第二章：导数与函数的单调性2.1 导数的定义与计算引入导数的概念，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
讲解导数的计算规则，包括常数函数、幂函数、指数函数和三角函数的导数。
2.2 导数与函数的单调性分析导数正负与函数单调性的关系，得出单调递增和单调递减的定义。
通过实例和图形展示导数与函数单调性的联系。
2.3 单调性的应用讲解利用单调性解决函数极值问题的方法。
分析函数的单调区间和极值点，得出函数的单调性对极值的影响。
第三章：函数的极值点与导数3.1 极值点的定义与判定引入极值点的概念，解释极值点是函数导数为零或不存在的点。
讲解极值点的判定方法，包括导数为零和导数不存在的条件。
3.2 极值点的求解方法介绍求解极值点的方法，包括解析法和数值法。
讲解如何利用导数和图形求解函数的极值点。
3.3 极值点的应用分析极值点在实际问题中的应用，如最优化问题。
举例说明如何利用极值点解决实际问题。
第四章：函数的拐点与导数4.1 拐点的定义与判定引入拐点的概念，解释拐点是函数导数由正变负或由负变正的点。
讲解拐点的判定方法，包括导数的正负变化和二阶导数的符号。
4.2 拐点的求解方法介绍求解拐点的方法，包括解析法和数值法。
讲解如何利用导数和图形求解函数的拐点。
4.3 拐点的应用分析拐点在实际问题中的应用，如曲线拟合和物体的运动。
举例说明如何利用拐点解决实际问题。
第五章：函数的极值与图像5.1 极值与函数图像的关系分析极值点在函数图像中的位置和特征。
函数的极值与导数课件公开课
x (–∞, –3)
f (x) +
f (x) 单调递增
–3 (–3, 3)
0
–
54 单调递减
3
( 3, +∞)
0
+
54 单调递增
所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .
思考
(1)导数为0的点一定是 函数的极值点吗？
y y=x3
当 x＝ 2时，f(x)有极小值 5－4 2.
(2)由(1)的分析知 y＝f(x)的图象的 大致形状及走向如图所示．所以， 当 5－4 2＜a＜5＋4 2时，直线 y ＝a 与 y＝f(x)的图象有三个不同 交点，即方程 f(x)＝a 有三个不同 的解．
【名师点评】 用求导的方法确定方程根的个数, 是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况， 运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点 个数，从而判断方程根的个数．
【解】 (1)f′(x)＝3x2－6，令 f′(x)＝0， 解得 x1＝－ 2，x2＝ 2. 因为当 x＞ 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0. 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)和( 2， ＋∞)；单调递减区间为(－ 2， 2)． 当 x＝－ 2时，f(x)有极大值 5＋4 2；
若f ’(x０)左正右负，则f(x０)为极大值； 若 f ’(x０)左负右正，则f(x０)为极小值
求导—求极点—列表—求极值
练习:
求下列函数的极值:
(1) f (x) x3 27x; (2) f (x) 3x x3
解:
(3) f (x) ln x 1 ; x
(1) 令f (x) 3x2 27 0, 解得 x1 3, x2 3.列表:
函数的极值与导数公开课说课稿
1.3.2函数的极值与导数习题课说课稿
高二数学组康海萍
[教材分析]：
《函数的极值与导数》是在学生学习了《函数的单调性与导数》，初步具备了运用导数研究函数的能力后学习的，并为《函数的最大（小）值与导数》奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用。
本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。
[学情分析]：
学生已经初步学习了函数极值与导数的关系，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。
本节课能够进一步提高学生运用导数研究函数的能力,体会导数的工具作用。
[教学目标]：
知识与技能：
•掌握函数极值的定义，会从几何图形直观求解函数极值，增强学生的数形结合意识；
•利用导数求函数极值的一般方法求解较复杂函数的极值；
•探究含有参数的极值问题。
过程与方法：
•培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。
情感态度与价值观：
•体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性；
•培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神；
[教学重点和教学难点]：
教学重点：利用求导数的方法求解函数极值的问题。
教学难点：含有参数的极值问题。
[教法学法分析]：
教法分析和教学用具：
本节课我将采用定义检测—夯实基础—合作探究—教师点拨—巩固提高的教学环节。
并利用信息技术创设实际问题的情境。
发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在我引导下的“再创造”过程。
学法分析
通过图像研究函数的极值定义，提高了学生的导数概念的认识。
通过用较复杂求极值问题巩固求极值的方法，通过分类讨论解决含有参数的极值问题。
函数的极值与导数(教案
函数的极值与导数一、教学目标：1. 理解极值的概念，掌握求函数极值的方法。
2. 掌握导数的定义，了解导数与函数极值的关系。
3. 能够运用导数判断函数的单调性，解决实际问题。
二、教学内容：1. 极值的概念：局部最小值、局部最大值、全局最小值、全局最大值。
2. 求函数极值的方法：（1）利用导数求极值；（2）利用二阶导数判断极值类型；（3）利用图像观察极值。
3. 导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。
4. 导数与函数极值的关系：（1）函数在极值点处的导数为0；（2）函数在极值点附近的导数符号发生变化。
5. 利用导数判断函数的单调性：（1）导数大于0，函数单调递增；（2）导数小于0，函数单调递减。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）极值的概念及求法；（2）导数的定义及求法；（3）导数与函数极值的关系；（4）利用导数判断函数的单调性。
2. 教学难点：（1）二阶导数判断极值类型；（2）利用导数解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法；2. 使用多媒体课件辅助教学，增强直观性；3. 设置典型例题，引导学生思考、探究；4. 注重引导学生发现规律，提高学生解决问题的能力。
五、教学安排：1. 课时：本章共需4课时；2. 教学过程：第一课时：极值的概念及求法；第二课时：导数的定义及求法；第三课时：导数与函数极值的关系；第四课时：利用导数判断函数的单调性，解决实际问题。
六、教学评价：1. 课堂讲解：观察学生对极值概念、导数定义及应用的理解程度，以及他们在课堂上的参与度和提问反馈。
2. 作业练习：通过布置相关的习题，评估学生对求极值方法、导数计算和单调性判断的掌握情况。
3. 小组讨论：评估学生在小组内的合作能力和解决问题的创造性思维。
4. 课后反馈：收集学生的疑问和反馈，以便对教学方法和内容进行调整。
七、教学反思：1. 教学方法是否适合学生的学习水平，是否需要调整以提高教学效果。
函数的极值与导数(教案
函数的极值与导数第一章：函数极值概念的引入1.1 教学目标让学生了解极值的概念，理解极大值和极小值的区别。
学会通过图像来观察函数的极值。
掌握利用导数求函数极值的方法。
1.2 教学内容函数极值的定义利用图像观察函数极值利用导数求函数极值1.3 教学步骤1. 引入极值的概念，让学生通过具体的例子来理解极大值和极小值。
2. 通过图像来观察函数的极值，引导学生学会从图像中找出极大值和极小值。
3. 讲解利用导数求函数极值的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。
1.4 作业布置f(x) = x^3 3x^2 + 3x 1g(x) = x^2 4x + 4第二章：函数的单调性2.1 教学目标让学生理解函数单调性的概念，学会判断函数的单调性。
掌握利用导数来判断函数的单调性。
2.2 教学内容函数单调性的定义利用导数判断函数单调性2.3 教学步骤1. 引入函数单调性的概念，让学生通过具体的例子来理解函数单调性。
2. 讲解利用导数来判断函数单调性的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。
2.4 作业布置h(x) = x^3 3xk(x) = x^2 4x + 3第三章：函数的极值定理3.1 教学目标让学生了解函数的极值定理，学会应用极值定理来解决问题。
3.2 教学内容函数的极值定理3.3 教学步骤1. 讲解函数的极值定理，让学生理解极值定理的意义。
2. 通过例题让学生学会应用极值定理来解决问题。
3.4 作业布置求函数f(x) = x^3 3x^2 + 3x 1 的极大值和极小值。
第四章：函数的拐点4.1 教学目标让学生了解拐点的概念，学会通过导数来找函数的拐点。
4.2 教学内容拐点的定义利用导数找拐点4.3 教学步骤1. 引入拐点的概念，让学生通过具体的例子来理解拐点。
2. 讲解利用导数来找拐点的方法，让学生通过例题来掌握这个方法。
4.4 作业布置m(x) = x^3 3xn(x) = x^2 4x + 4第五章：函数的单调性与极值的应用5.1 教学目标让学生学会运用函数的单调性和极值来解决实际问题。
完整版函数极值与导数的说课稿
函数极值与导数的说课稿各位老师大家好！今天我要为大家说课的课题是：函数的极值与导数首先我对本节教材进行一些分析：一、教材分析:教材的背景、地位及作用《函数极值>>是高中数学人教A版选修2-2第一章第三节导数应用中的第二节（第一节是利用导数知识判断函数的单调性），在此之前我们已经学习了导数，学生们已经了解了导数的一些用途，思想中已有了一点运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的意识，本节课将继续加强这方面的意识和能力的培养——利用导数知识求可导函数的极值。
其后还有利用导数求函数的最值问题、曲线的切线问题，利用导数研究不等式恒成立、方程根的讨论、函数图像交点等问题，因此本节课还要起到承上启下的作用。
从高考角度分析，以中高档题为主，所以导数是非常重要的知识点。
这为我们学习这一节起着铺垫作用。
二、学情分析在前面的学习中，学生已经有了一定的知识准备。
不过鉴于我校学生的水平普遍偏低，理解和应用知识的能力稍显不足，所以在教学中，有必要从基础入手，指导学生先做到对解题方法和步骤的机械模仿，在此基础上，努力提升认识水平，力争让尽可能多的学生达到知识的融会贯通。
．新课程理念的显著特征和核心任务就是从根本上转变教学方式真正成和学习方式。
因此要让学生在自主学习和合作探究的过程中，为知识的发现者和知识的应用者。
三、目标定位考虑根据本课教学内容的特点以及新课标对本节课的教学要求，学生已有的认知结构与心理特征，我制定以下教学目标：（一）知识技能：掌握函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其1. 导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平； 2.掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法及步骤；的逻辑关系；3.了解可导函数极值点与=0?)(xxf00. 4.培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力（二）过程与方法：分析探究归纳得出数学概念和规律的培养学生观察学习能力。
（三）情感态度与价值观：培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神；体会数学中的局部与整体的辨证关系.（四）教学重、难点本着新课程标准的教学理念和考试大纲的要求，针对教学内容的特点，我确立了如下的教学重点、难点：教学重点：掌握求可导函数的极值的一般方法.=0的逻辑关系为函数极值点与、 1教学难点：?)xf(x00 2、将知识和方法内化为技能。
函数的极值与导数 说课稿 教案 教学设计
导数在研究函数中的应用一、教学目标：知识与技能：1．了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．2．掌握函数极值的判定及求法．3．掌握函数在某一点取得极值的条件．过程与方法：通过具体函数和函数图形的分析形成极值的概念，并探究出运用导数求极值的方法；情感、态度与价值：让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.二、教学重点、难点重点：掌握函数极值的判定及求法．难点：掌握函数在某一点取得极值的条件．三、教学模式与教法、学法教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．四、教学过程（一）温故知新在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题？又如何求出这些值？这就是本节我们要研究的主要内容．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.（二）探究新知探究点一函数的极值与导数的关系思考1如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？结论 思考1中点d 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (d )叫做函数y ＝f (x )的极小值；点e 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (e )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 思考2 函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？答 函数的极大值与极小值并无确定的大小关系，一个函数的极大值未必大于极小值；在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个．思考3 若某点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明．答 可导函数的极值点处导数为零，但导数值为零的点不一定是极值点．可导函数f (x )在x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x 0两侧f ′(x )的符号不同．例如，函数f (x )＝x 3可导，且在x ＝0处满足f ′(0)＝0，但由于当x <0和x >0时均有f ′(x )>0，所以x ＝0不是函数f (x )＝x 3的极值点．思考4 函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有 个极小值点． 【答案】 1例1 求函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极值．解 f ′(x )＝x 2－4.解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 由f ′(x )>0，得x <－2或x >2；由f ′(x )<0，得－2<x <2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )单调递增283单调递减－43单调递增由表可知：当x ＝－2时，f (x )有极大值f (－2)＝283；当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－43.反思与感悟 求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值． 跟踪训练1 求函数f (x )＝3x ＋3ln x 的极值．解 函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3x －1x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ f (x )单调递减3单调递增因此，当x ＝1时，f (x )探究点二 利用函数极值确定参数的值思考 已知函数的极值，如何确定函数解析式中的参数？例2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值． 解 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′－1＝0，f －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0.解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)．当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数；当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数， 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.反思与感悟 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．跟踪训练2 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． 解 (1)∵f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ，∴f ′(x )＝ax ＋2bx ＋1.由极值点的必要条件可知：f ′(1)＝f ′(2)＝0，∴a ＋2b ＋1＝0且a 2＋4b ＋1＝0，解方程组得，a ＝－23，b ＝－16.(2)由(1)可知f (x )＝－23ln x －16x 2＋x ，且函数f (x )＝－23ln x －16x 2＋x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1＝－x －1x －23x.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0； 所以，x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点．探究点三 函数极值的综合应用例3 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围．所以，f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2)． 当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42；当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2. (2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如图所示．所以，当5－42＜a ＜5＋42时，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点， 即方程f (x )＝a 有三个不同的实根．反思与感悟用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．跟踪训练3若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是单调增函数．f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.要使函数f(x)只有一个零点，只需4＋k<0或－4＋k>0(如图所示)或即k<－4或k>4.∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．（三）当堂达标1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】 B【解析】对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.2．函数y＝1＋3x－x3有()A．极小值－2，极大值2 B．极小值－2，极大值3C．极小值－1，极大值1 D．极小值－1，极大值3【答案】 D∴当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】 A【解析】 由f ′(x )的图象可知，函数f (x )在区间(a ，b )内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f (x )在区间(a ，b )内只有一个极小值点．4．下列函数中，x ＝0是极值点的是( ) A ．y ＝－x 3B ．y ＝cos 2xC ．y ＝tan x －xD ．y ＝1x【答案】 B【解析】 y ＝cos 2x ＝1＋cos2x2，y ′＝－sin2x ，x ＝0是y ′＝0的根且在x ＝0附近，y ′左正右负，∴x ＝0是函数的极大值点． 5．求下列函数的极值： f (x )＝x 3－22x －12；【解析】 函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)． ∵f ′(x )＝x －22x ＋12x －13，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － ＋ 0 ＋ f (x )单调递增－38单调递减单调递增3单调递增故当x ＝－1时，函数有极大值，并且极大值为f (－1)＝－38，无极小值．6．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，在x ＝1和x ＝－1处有极值，且f (1)＝－1，求a 、b 、c 的值，并求出相应的极值．又f (1)＝－1，则有a ＋b ＋c ＝－1，此时函数的表达式为f (x )＝12x 3－32x .∴f ′(x )＝32x 2－32.令f ′(x )＝0，得x ＝±1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值1极小值－1五、小结。
《函数的极值与导数》教案完美版
《函数的极值与导数》教案完美版第一章：极值的概念与定义1.1 极值的概念引入极值的概念，让学生了解函数在某一点取得局部最值的含义。
通过图像和实际例子来说明极值的存在和重要性。
1.2 极值的定义介绍极值的定义，包括局部极值和全局极值。
解释极值的必要条件和充分条件。
第二章：导数与极值的关系2.1 导数的定义与性质复习导数的定义和基本性质，包括导数的符号变化与函数单调性的关系。
2.2 导数与极值的关系引入导数与极值的关系，讲解导数为零的点可能是极值点的原理。
通过实例来说明导数在判断极值中的作用。
第三章：一元函数的极值判定3.1 判定极值的存在性介绍判定极值存在性的方法，包括罗尔定理和拉格朗日中值定理。
3.2 判定极值的具体方法讲解利用导数符号变化判断极值的方法，包括导数单调性和零点存在性定理。
第四章：多元函数的极值4.1 多元函数极值的概念引入多元函数极值的概念，让学生了解多元函数在不同维度上的极值问题。
4.2 多元函数极值的判定讲解多元函数极值的判定方法，包括拉格朗日乘数法和海森矩阵。
第五章：实际应用中的极值问题5.1 应用背景介绍通过实际例子介绍极值在各个领域中的应用，如优化问题、物理学、经济学等。
5.2 实际应用案例分析分析具体案例，让学生了解如何运用极值理论和方法解决问题。
第六章：利用极值解决实际问题6.1 优化问题概述介绍优化问题的概念，解释最小值和最大值在优化问题中的作用。
举例说明优化问题在工程、经济等领域的应用。
6.2 利用极值解决优化问题讲解如何利用函数的极值解决优化问题，包括确定最优解的方法和步骤。
通过实际案例分析，让学生掌握优化问题的解决技巧。
第七章：函数极值的存在性定理7.1 拉格朗日中值定理复习拉格朗日中值定理的内容，解释其在函数极值存在性判断中的应用。
利用拉格朗日中值定理证明函数极值的存在性。
7.2 罗尔定理与极值存在性讲解罗尔定理的内容及其在函数极值存在性判断中的应用。
结合罗尔定理和拉格朗日中值定理，证明函数极值的存在性。
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《函数的极值与导数》教案完美版第一章：极值的概念与性质1.1 极值的定义介绍函数极值的概念，解释局部极值和全局极值的区别。
通过图形和实例来说明函数极值的存在性。
1.2 极值的判定条件介绍导数与极值的关系，讲解导数为零的必要性和充分性。
分析一阶导数和二阶导数在极值判定中的作用。
1.3 极值的性质探讨极值的单调性，解释局部极值和全局极值之间的相互关系。
研究极值点的稳定性，分析函数在极值点附近的behavior。
第二章：导数的基本概念与计算2.1 导数的定义引入导数的概念，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
通过图形和实例来说明导数的几何意义。
2.2 导数的计算介绍导数的计算规则，包括常数函数、幂函数、指数函数和三角函数的导数。
讲解和练习四则运算、链式法则和高阶导数的计算。
2.3 导数的应用探讨导数在函数图像上的应用，分析函数的单调性、凹凸性和拐点。
引入洛必达法则，讲解其在函数极限计算中的应用。
第三章：函数的单调性与凹凸性3.1 单调性的判定介绍单调性的概念，讲解单调递增和单调递减的定义。
分析导数与函数单调性的关系，给出单调性的判定条件。
3.2 凹凸性的定义与判定引入凹凸性的概念，解释函数凹凸性的几何意义。
讲解凹凸性的判定条件，分析函数图像的凹凸特征。
3.3 单调性与凹凸性的应用探讨单调性和凹凸性在实际问题中的应用，例如最优化问题。
通过实例讲解如何利用单调性和凹凸性来分析函数的性质。
第四章：函数的极值问题4.1 局部极值的判定与计算讲解局部极值的判定条件，分析一阶导数和二阶导数在局部极值问题中的应用。
通过实例来说明局部极值的计算方法。
4.2 全局极值的判定与计算介绍全局极值的概念，讲解全局极值的判定方法。
分析函数在不同区间上的单调性，确定全局极值的存在性和位置。
4.3 实际问题中的应用通过实际问题来探讨函数极值的应用，例如最值问题、优化问题等。
讲解如何利用函数极值来解决实际问题。
第五章：函数的拐点与曲线的凹凸性5.1 拐点的定义与判定引入拐点的概念，解释拐点表示函数图像的凹凸性变化。
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《函数的极值与导数》教案§1.3.2函数的极值与导数（1）【教学目标】1．理解极大值、极小值的概念．2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值． 3．掌握求可导函数的极值的步骤．【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤． 【教学难点】对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤． 【内容分析】对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明．并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的． 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法．判断极值点的关键是这点两侧的导数异号． 【教学过程】一、复习引入：1． 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数．2．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x )． ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间． 二、讲解新课：1．极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点． 2．极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0)．就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点． 3．极大值与极小值统称为极值．在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．4． 判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值． 5． 求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) ． (2)求方程f ′(x )=0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值三、讲解范例：例1求y =31x 3－4x +4的极值． 解：y ′=(31x 3－4x +4)′=x 2－4=(x +2)(x －2) ．令y ′=0，解得x 1=－2，x 2=2． 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表．∴当x =－2时，y 有极大值且y 极大值=328．当x =2时，y 有极小值且y 极小值=3例2求y =(x 2－1)3+1的极值．解：y ′=6x (x 2－1)2=6x (x +1)2(x －1)2令y ′=0解得x 1=－1，x 2=0，x 3=1．当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表．∴当x =0时，有极小值且极小值=0求极值的具体步骤：第一，求导数f ′(x )．第二，令f ′(x )=0求方程的根，第三，列表，检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么f (x )在这根处无极值．如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点． 四、课堂练习：1．求下列函数的极值．(1)y =x 2－7x +6 (2)y =x 3－27x(1)解：y ′=(x 2－7x +6)′=2x －7令y ′=0，解得x =27．当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表．∴当x =27时，y 有极小值，且y 极小值=－425． (2)解：y ′=(x 3－27x )′=3x 2－27=3(x +3)(x －3)令y ′=0，解得x 1=－3，x 2=3．当x∴当x =－3时，y 有极大值，且y 极大值=54． 当x =3时，y 有极小值，且y 极小值=－54． 五、小结 ：函数的极大、极小值的定义以及判别方法．求可导函数f (x )的极值的三个步骤．还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续．可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号．函数的不可导点可能是极值点． 六、课后作业：§1.3.2函数的极值与导数（2）【课 题】函数的极值（2）【教学目标】熟练掌握求可导函数的极值的步骤，灵活应用．【教学重点】极大、极小值的判别方法，求可导函数的极值的步骤的灵活掌握． 【教学难点】求可导函数的极值． 【教学过程】1．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x )． ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间．2．极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点．3．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点．4．极大值与极小值统称为极值，注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点． 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．5． 判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值． 6． 求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) ； (2)求方程f ′(x )=0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值． 二、讲解范例：例1 对可导函数，在一点两侧的导数异号是这点为极值点的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：C ． 充要条件．由极大、极小值的判别方法可以知道是充分条件． 由极大值点的定义，任意x ＜x 0，f (x )＜f (x 0)．所以左侧是增函数，所以f ′(x )＞0，任意x ＞x 0，f (x )＜f (x 0)． 所以右侧是减函数，所以f ′(x )＜0，所以x 0两侧的导数异号． 当x 0是极小值时，同样可以证明．例2下列函数中，x =0是极值点的函数是(B)A ．y =－x 3B ．y =cos 2xC ．y =tanx －xD ．y =x1 分析：做这题需要按求极值的三个步骤，一个一个求出来吗？不需要，因为它只要判断x =0是否是极值点，只要看x =0点两侧的导数是否异号就可以了．解：A ． y =－x 3，∵y ′=(－x 3)′=－3x 2，当x ＜0或x ＞0时，y ′＜0，∴x =0不是极值点．B ． y =cos 2x ． ∵y ′=(cos 2x )′=2cosx (－sinx )=－sin 2x ． 当x ＜0时，－sin 2x ＞0，y ′＞0． 当x ＞0时，－sin 2x ＜0，y ′＜0．∴x =0是y =cos 2x 的极大值点．C ．y =tanx －x ，y ′=(tanx －x )′=x2cos 1－1,当x ＜0或x ＞0时，0＜cos 2x ＜1，y ′＞0．∴x =0不是极值点．D ． y =x 1． y ′=(x 1)′=－21x, 当x ＜0或x ＞0时y ′＜0，∴x =0不是极值点，故选B ．例3 下列说法正确的是(C)A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大．B ．函数在闭区间上的最大值一定是极大值．C ．对于f (x )=x 3+px 2+2x +1，若｜p ｜＜6，则f (x )无极值．D ．函数f (x )在区间(a ，b )上一定存在最值．答案：C ．∵f (x )=x 3+px 2+2x +1．∴f ′(x )=3x 2+2px +2．∵Δ=4p 2－4×3×2=4(p 2－6)． 若｜p ｜＜6．则Δ＜0，∴f ′(x )=0无实根，即f ′(x )＞0， ∴f (x )无极值．选项A 、B 、D 可以通过举出反例说明是假命题． 例4 函数f (x )=asinx +31sin 3x 在x =3π处具有极值，求a 的值． 分析：f (x )在x =3π处有极值，根据一点是极值点的必要条件可知，f ′(3π)=0可求出a的值．解：f ′(x )=(asinx +31sin 3x )′=acosx +cos 3x ∵f ′(3π)=0，∴a ·cos3π+cos 3×3π=0，21a －1=0，∴a =2． 例5 y =alnx +bx 2+x 在x =1和x =2处有极值，求a 、b 的值． 解：y ′=(alnx +bx 2+x )′=xa+2bx +1．∵y ′｜x =1=0，y ′｜x =2=0． ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=++61320142012b a b a b a ． 例6 确定函数y =12+x x的单调区间，并求函数的极大、极小值． 解：y ′=222222222)1()1)(1()1(1)1(21)1(+-+=+-=+⋅-+='+x x x x x x x x x x x 令22)1()1)(1(+-+x x x ＞0，解得－1＜x ＜1．∴y =12+x x的单调增区间为(－1，1)．令22)1()1)(1(+-+x x x ＜0，得x ＜－1或x ＞1，∴y =12+x x减区间为(－∞，－1)与(1，+∞)．令y ′=22)1()1)(1(+-+x x x =0，解得x 1=－1，x 2=1． 当x 变化时，′，的变化情况如下表：∴当x =－1时，y 有极小值，且y 极小值=－21，当x =1时，y 有极大值，且y 极大值=21． 例7 求函数y =25431xx ++的极值与极值点．解：y ′=(25431xx ++)′232222)54(5125454210)31(543x x x x xx x +-=+++-+=，令y ′=0，解得x =512． x 变化时，y′，y 的变化情况如下表：∴当x =512时，y 有极大值，且y 极大值=10．例8 求函数y =x 2lnx 的极值．解：定义域为(0，+∞)，y ′=(x 2lnx )′=2xlnx +x 2·x1=2xlnx +x =x (2lnx +1)． 令y ′=0，得x =21-e．当x∴当x =21-e时，y 有极小值，且y 极小值=－e21． 三、课堂练习：求下列函数的极值．1．y =2x 2+5x ．解：y ′=(2x 2+5x )′=4x +5． 令y ′=0，解得x =－45． 当x 变化时，当x =－45时，y 有极小值，且y 极小值=－825．2．y =3x －x 3．解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=3(1+x )·(1－x )．令y ′=0，解得x 1=－1，x 2=1． 当x当x =极小值极大值四、小结 ：这节课主要复习巩固了求可导函数的极值的方法，以及有关极值问题的题目，注意极大、极小值与最大、最小值的区别 极值点的充分条件、必要条件． 五、课后作业：风，没有衣裳；时间，没有居所；它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且，还有诗和远方的田野。
函数的极值与导数(公开课)
单调性与极值
单调性
函数在某区间内单调增加或单调减少 的性质。
单调性与极值的关系
单调性可以用来判断函数是否存在极 值，以及极值的类型（极大值或极小 值）。
02 导数与极值的关系
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有连续性、可导性、可积性等 性质，这些性质在研究函数的极值时 非常重要。
在量子力学中，极值理论也被广泛应 用于描述微观粒子的行为。通过求解 薛定谔方程，可以找到微观粒子的波 函数和能量状态。
在光学中，极值理论可以用于研究光 的传播和干涉现象。通过分析光波的 振幅和相位变化，可以解释光的干涉 和衍射等现象。
极值在工程领域的应用
在工程设计中，极值理论被广泛应用于结构分析和优 化设计。通过分析结构的应力和应变分布，可以找到3Fra bibliotek极大值
当函数在某点的值大于其邻近点的值时，该点为 函数的极大值点，函数在该点的值为极大值。
极值的条件
一阶导数测试
若一阶导数在某点的左右两侧由正变负或由负变正， 则该点可能是函数的极值点。
二阶导数测试
若二阶导数在某点的值为零，且一阶导数在该点的左 右两侧变号，则该点可能是函数的极值点。
凹凸性判断
若函数在某点的凹凸性发生改变，则该点可能是函数 的极值点。
总结词
导数可以用于计算函数的极值点，通过求 导并令导数为0，可以找到函数的极值点。
VS
详细描述
在极值点处，函数的导数由正变负或由负 变正，即一阶导数为0。通过求解一阶导 数等于0的点，可以找到函数的极值点， 并进一步计算极值。
导数在函数图像绘制中的应用
总结词
《导数与函数的极值、最值》示范公开课教学课件
典例分析
例2 已知函数f（x）＝ 1 x3－4x＋4，求函数的极值，并作出函数图像的示意图． 3
为方便起见，上面步骤也可以用表格形式表示（↗表示递增，↘表示递减），x fΒιβλιοθήκη （x） f（x）（－∞，－2）
－2
＋
0
↗
极大值 9 1
3
（－2，2）
2
－
0
↘
极小值 11
3
（2，＋∞） ＋ ↗
典例分析
求可导函数极值的步骤为： ➢ 确定函数的定义区间，求导数f′（x）； ➢ 求方程f′（x）＝0的根； ➢ 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小区间，并列成 表格． 检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这 个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值； 如果左右不变符号，那么f（x）在这个根处无极值．
a
（2）函数f（x）在a、b点的导数值是多少？
（3）在a、b点附近，y＝f（x）的导数的符号分别是什么？
O b
x y＝f（x）
追问3：观察y＝f（x）的图像在x＝b点的函数值f（b）与x＝b附近的其他点的函数值的特征， 并描述在x＝b点及其附近导数的正负．
新知探究
一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x， 都有 （1）f（x）＜f（x0），则称x0为函数f（x）的一个极大值点，且f（x）在x0处取极大值； （2）f（x）＞f（x0），则称x0为函数f（x）的一个极小值点，且f（x）在x0处取极小值． 极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值．显然，极大值点在其 附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小．
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1.3.2函数的极值与导数习题课说课稿
高二数学组康海萍
[教材分析]：
《函数的极值与导数》是在学生学习了《函数的单调性与导数》，初步具备了运用导数研究函数的能力后学习的，并为《函数的最大（小）值与导数》奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用。
本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。
[学情分析]：
学生已经初步学习了函数极值与导数的关系，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。
本节课能够进一步提高学生运用导数研究函数的能力,体会导数的工具作用。
[教学目标]：
知识与技能：
•掌握函数极值的定义，会从几何图形直观求解函数极值，增强学生的数形结合意识；
•利用导数求函数极值的一般方法求解较复杂函数的极值；
•探究含有参数的极值问题。
过程与方法：
•培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。
情感态度与价值观：
•体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性；
•培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神；
[教学重点和教学难点]：
教学重点：利用求导数的方法求解函数极值的问题。
教学难点：含有参数的极值问题。
[教法学法分析]：
教法分析和教学用具：
本节课我将采用定义检测—夯实基础—合作探究—教师点拨—巩固提高的教学环节。
并利用信息技术创设实际问题的情境。
发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在我引导下的“再创造”过程。
学法分析
通过图像研究函数的极值定义，提高了学生的导数概念的认识。
通过用较复杂求极值问题巩固求极值的方法，通过分类讨论解决含有参数的极值问题。